Defence R&D Canada – Atlantic
DEFENCE DÉFENSE&
Semiempirical Component Based Modeling of
Submarine Hydrodynamics and Systems: the
DSSP21 (build 061102) Companion
M. Mackay
Technical Report
DRDC Atlantic TR 2007-039
March 2007
Copy No. _____
Defence Research andDevelopment Canada
Recherche et développementpour la défense Canada
This page intentionally left blank.
!
∀# ∃ %
! ∀ # ∃ !
% & ∀ ∋(()∗ % + + + + ∋(()
%
,∃ −
. /
∃ 0 1 2 33
4 5∃
∃
∀& &
∀∗∗ ∋6 7 , 3 7 + 38 + + , 3 ,
+ + + + 3 + ,/ + + 3 + ,
9+ 9 3 3 7 9 9 :9 ∀ +3 2+
7 +3 + + + ; 3< 9 ∀∗∗ ∋6 7
+ + + < + ,3 + =
−
∋( )
∗
∀#∀! ∗ ∗ ∋ 6 > ? ∃∃ 1 .
≅ , Α ∃Α
∃
: −
+
.∃
%
∗ % Β∃
3 ∗ :
, )
1∃ ∃ 1∃ ,
∀ 1: !Χ∀
− ∃ ∃
∋(() ∗ ! ; ∗ ,∗ ∀∗∗ ∋6 > (Ε66(∋? ! ∀#∀! −# ∋(()Φ
(ΓΗ ∀ #Ι∀ ! Φ
∗
, #∀∀! ∋ 6 >∀∗∗ ∋6? + + + +Α + 8 + , + ,
1 + + 9 : ,≅ 3 + + + + +3 3 + +3 9 Α + , : + 9 +∀∗∗ ∋6 + + + + 3
8 + + 9+ 9+ 7 =7 + 4 9 + : +
9 + + + + + + + 93 + + + 3 +
∗
∀∗∗ ∋6 + Α ++ 7 , 9 9 7 3 +%7 + ,
; 3 9 % + 9 9= 9 + + +
7 9 3 , + ,% + 7 + 7
Β 7 7 + ∀∗∗ ∋6 7 ,3 9 : 9 + 7 9+3
& 3 :
% ) (
ϑ + + : : ++ + 7 ∀∗∗ ∋67 9 + +
3 + 8 7
7 + :+ : + 9 3 + 3 0 ,
7 % 7 3 9 7 7+ 2 +
∋(() ∗ ! ; ∗ ,∗ ∀∗∗ ∋6 > (Ε66(∋? ! ∀#∀! −# ∋(()Φ
(ΓΗ #Ι∀ + ! Φ 3
−
#+ +
ϑ: ∗
∗
− !
Χ
−
6 1 6
∋ Κ ϑ3 ∋
∋ 6 ∀ ∋
∋ ∋ Γ
∋ Γ ! Β ; Λ
∋ Λ ! ; Μ
Γ : ∗ Ε
Λ )
Λ 6 Χ ! Ν
Λ ∋ ϑ Η
Λ Γ ∀ Η
Λ Λ ∀ Η
Μ 6∋
Μ 6 ∗ 6∋
Μ ∋ − ϑΒ 6Ν
Ε ≅ , , ∋6
) ∋∋
Ν ! ∀ 0 ∋Λ
Η ∋Μ
6( ; ∃ ; ∋)
66 ! Χ Γ6
6∋ Κ Γ∋
6Γ Χ ,∗∃ Κ ∗ ΓΜ
6Γ 6 ∗ Κ ϑ3 ΓΜ
6Γ ∋ 1 1Ο : Γ)
6Γ Γ − % ΓΝ
6Γ Λ − 1 Λ(
6Λ # ∀∗∗ ∋6 Λ6
6Μ ! # Λ∋
# ΛΓ
: ϑ: Χ ΛΕ
ΜΛ
. ,
Χ 6 ,Α: ,Α: : )
Χ ∋ ! ∃ , 6(
Χ Γ − 2 66
Χ Λ Π 6Λ
Χ Μ ϑ 6Λ
Χ Ε Χ 6Μ
Χ ) ∗ 6Ε
Χ Ν ∗ 6)
Χ Η 5 ; Π∗ ∋(
Χ 6( 1
, Α ∋(
Χ 66 − 2 Π ;ΛΦ)(
∋Γ
Χ 6∋ ∃ ∋Ε
Χ 6Γ ∃ ∃ Γ(
Χ 6Λ − 0 ∃ ∃ Γ6
Χ 6Μ − 2 % ΓΓ
Χ 6Ε − 2 : ∃ ΓΛ
Χ 6 ϑ: ΛΕ
Χ ∋ ϑ: ΛΝ
. −
− 6 6Ν
− ∋ ∗ 3 Λ6
− 6 ϑ: > Μ? Λ)
∗
∀#∀! ∃Θ6Ρ 1 ,
∗ ,
3 ! ,Χ ∀
# Θ6Ρ: − 9
1 ,∃ ∃
.∃
Β 3
1,
: Σ :Σ , ,
! 3 ∃ 44Κ ∃Α2 ∃ #≅Κ ∃
Β
Χ , ∋ 6Γ1
∃ Β∃ 0
3 ∃ ∃ :∃
0 3
− % ∃− : Α : ∀
−: : ϑ >Τ Μ9?
:
1 Α/ : −
% > ? ∃. ∃
/ ∋0
− ∃ ∃ 3∃ −∃ Β
1
Α: 1∃ 9 ∃
Ο Υ >6?
∃:
− : ,Α: : : 3 Σ∃ ∃ Χ :
3 : 3: Θ∋Ρ
ς Ο > ς ? Ο > ς Ο ? Ο Υ >∋?
3
ς > ? > ς ? > ς Ο ?
Ο Θ > ς Ο ? > ς Ο ?Ρ Υ >Γ?
∃ > ? > ?> ?
!5 / :ΜΛΦΜΝ Χ ∃ ∃
∃ ∗ 6Γ : 3∃ %
! 3 >6? ϑ:
1
, 2 ∃∗ : Υ > ?
3
> Ο ? ς Υ > ? Ο > ? Ο > ? Ο > ? Ο >Λ?
∃ : :: > ?
> 0 ∃ ?,
: ∃ ∃ 1 :ϑ Σ ∃ 6Γ Γ
Χ0
ϑ3 >Λ? Α Χ∃
> Ο ? ς Υ > ? Ο > ? Ο > ? Ο > ? >Μ?
3 >Μ?%
0
Χ ,3
Υ > Ο ? ς > ? > ? > ? >Ε?
1%
Χ . /∃
Υ > ? > ? > ? >)?
1 .
1 3 >Μ? >)? :> ? 1
! ∀
3 ∃ ΘΓΡ
− 2 > ?2 , 2 ∃ 2 ∗
0 ∃ ∃
12 3
Χ 0 ∃ − : > ? Θ∋Ρ
> ? Υ Ο Ο Ο >Ν?
∃ Υ > ? . − > ?Β ∃ Α
( ∃, Β ∃ Α :
3 ; Α: − :
. 3
− 0 ∃ %Α : Β Χ :5 ∗ ∗ ϑ3 ΘΛΡ
> ?
> ? Υ Ο Ο Ο Ο Ο Ο
Ο Ο >Η?
> ? Υ Ο Ο Ο Ο Ο Ο
Ο Ο >6(?
∃ 3 >Η? >6(?− , ,
:∃ ΘΜΡ ≅
Χ ΘΕΡ Α 0 ∃ 2∗
> ? Υ Ο Ο > ? > ? > ? Ο > ? Ο
> ? > > ?? Ο
Ο Ο >66?
∃ 3 >Η? 1 ∃3
Β ϑ3 > ?Α
∃Β : ∃ , Α
∃ ∃ : ∃ 3 ,Β 1
1 ,∃ , :> Β ?
ΒΒ1 Β
Β
Ξ Β Χ :− , ,Χ Β 3
! Β 0 :4
Β :3 Β
14
∃∃
Χ % ∃ 6 ∋
> ? Υ > ? Ο > ? Ο > ? Ο > ? >6∋?
∃ > ? > ? > ?> ? ∃ 1
: 0 ∃: ,
∃ ,
> ? Υ > ? Ο > ? >6Γ?
− 3 >6Γ? 3Θ) ΝΡ
1 Α 01
∃
− 0 :/
∃ ∃ ;
: : Α :,∃ ∃ :
> : : 0 ∃ ∃ ∃? −
−∃
3 ,− ∃
/ΘΝΦ6∋Ρ
,∃ − 3 >Μ? >Ε? >)?
/ ∃ ,3 >6Γ?
; ΒΒ Θ)Ρ
0 : : :
2 %(
− : Γ ΛΑ 6 1 : ∃ :
: / : ∃ Α,Α: :
ϑ: 13 : ∃ %
,Α: : ; / :∃ ∃ ∃
Κ : ∃ Α 6 Α
xs
xu
yp
yl
yu
yszl
zp
zs
zu
Subscripts:
u - upper
l - lower
p - port
s - starboard
Tail AppendageLocal Axes
x
x
x
y
y
y
z
z
z
VehicleAxes
ReferenceAxes
Initial Ref.Axes
ReferenceTrajectory
Earth-FixedAxes
y0
z0
x0
(Surface)
, 1 !∀ # # ∃ !∀ # ∀ % % % &% ∋ (
4 .
, ∃, , ∃
Χ : ∃ , ,, 1 , ∃
∃ , , Ε
1 , 0 ∃ ∃9 0 ∃Θ6∋Ρ/ ∃ ,
− ∃ 9 Θ6ΓΡ
41 ,
ϑ: 0 ∃ 0 ∃ ,Α ∃
∃ 1:
Υ Ο >6Λ?
Υ Ο
∃ Β3 >Η? >6(?
3 >6Λ? ∃Τ 9 Θ6ΓΡ > 3
? ∃ >? : −: ∃
0 ∃ ∃Α 3
− > ?
Υ!
Λ> ? >6Μ?
Υ!
Λ> ?
> ?
∃ : !;> ( (? % :
− 3 >6Λ?0 ∃ > ? > ?Θ6ΓΡ
Υ6
∋> ? > ? > ? > ? >6Ε?
Υ6
∋> ? > ? > ? > ? > ?
∃ :∃ : 6Μ Θ6∋Ρ
∃ ∃
− , ∃Α −
)
∃− ∃ ∃ ∃
Θ6∋Ρ ,2
41 ∋
− (Ε66(∋ ,9 Θ6ΛΡ Β 3 >6Λ? 1Β Γ∋ :
∃ Β ∀#∃ ∃ . Θ6∋Ρ 2
∃ ∃ − ∃ ,# > ?
: Ε Γ ∋Γ− ∃
, # ∃
Χ ∋ ∃ ∃ :>Κ ? ∃
, , ∃ Β
412 5 6
− : ∃∃ Α :
− Α Γ1−
Π Π ∃
414
− 3 :
∀ :: :
Θ6(Ρ ∃
% Υ ∃6
∋>6)?
-30 -20 -10 0 10 20 30
0Z'
Alpha, deg
HulFor
Neural Net
Kriging
Data
∗ +
-30 -20 -10 0 10 20 30
0M'
Alpha, deg
HulFor
Neural Net
Kriging
Data
∗∃+
, 1 & % ∃ , # # # # % − ∃ .∋ (/ ∗ + # ∗∃+
-20 -10 0 10 20
0
Sid
efo
rce
, Y
'
Yaw Angle, deg
Hk
H
Hk - H
∗ +
-20 -10 0 10 20
0
Sid
efo
rce
, Y
'
Yaw Angle, deg
Hd
H
Hd - H
∗∃+
, 21 0 − 1 # # 1 % # − ∋ (/ ∗ + − ∃ . #1 2 312 # ∗∃+ − 4 # # 5 # . # # 12 3#
6 % 2 3 % − .
− 3 : ∃ − . , ∃
∃ Υ∋
& >6 Ο ? Ο ∋ Ο( (∋Η &
&>6Ν?
∃ & ∃ / Β ∃∗ 0 ∃ Θ6ΜΡ/ Β >
?/ ∋ ∃ Β > ?/& −
Θ6ΕΡ
7 . % .
∃ : ∃ ΘΗΡ −∃ ∃ ∃ Α
. ∃ Β ∃∃
71 % .
∃ : Β. − Β
Α 9 Α Θ6)Ρ
Υ >( Ο ( ? ∋ 6( >6Η?
Υ ( (6 Ο ( ) ( Ο ( ∋ 6( Ο >∋(?
∋!)
) ∀Ο
)
)
∗
− 3 6Η ∋(∃ − 3
∃( ,
−∃ Α >(? ∃ /
>(? 0
( Υ ( Ο ( >∋6?
∃( Υ ∋ ∋ ∀+ ,> ? ( >∋∋?
( Υ ∋ + ,> ?6
∋
∀ ∋
+− . Ο / Ο >∋Γ?
/ Ψ#∃ Ο 6 Ο6
Λ ∋
5 , ∃ ( . , 3( Θ6ΝΡ
( Υ 6 Ο6
Λ∋, Ο / ( >∋Λ?
− Θ6)Ρ
Υ∋! 6 Γ )
∋ Ε Ο Ψ ∋ ΟΨ
>∋Μ?
3 3Α Λ Ε Χ : 2∋ ∀ ∋ ∀ Θ6Η ∋(Ρ
Υ∋
)6 Ο >∋ ∀ 6?
∀∋ ∀ >∋Ε?
≅ 3 >6Η? >∋Ε? Α ∃
Υ ∀ Ο >6# ∀ Ο 6# ? ∃ ∃3 .
: ∃
% : Β #) Θ6ΕΡ 13
∀ ∃0 , 1
∀ # ∃ 3
/ ∃ 3 ( Λ− ∃ : :
∀ 2 Θ∋6Ρ
/∀Υ ( Λ Ο >0 ( Μ? ( (6∋Μ ( (((ΓΜ >∋)?
bexp
r
b
bsp(exp)
, 41 3. 7% & & . / ∗ + ∀ % && . 2∗∃+ 8. ∀ % && . 2 # ∗ + %
bep
b
h
h'
, 71 9 # & & .
c
r
cf
b1
b2
bexp
, 1 : # # ; & & .
∋ ∀ ∃ / Θ6ΗΡ
∋ ∀ Υ 6 Ο 6 Η1
∋( Μ
1
∋
1∋ Μ >∋Ν?
Χ ∋ ∀ 3
∋ ∀ Θ∋(Ρ/:
∋ ∀ Υ 6 Ο ∋1
1( Μ >∋Η?
Χ ∋ ∀ 3
∗ Β ∋ Υ >6 Ο # ? ΘΝΡ ∃Α ) : −
∃ Υ /∃ ∋ 3
, 81 4 # # 1 % ; & & .
∗ Β ∋ ∀ Θ∋∋Ρ
∋ ∀ Υ 6∀
>Γ(?
Χ 3 ∀
∀ ∃ Α Ν/ ΑΑ )
∋! 0 Α : Β / Α
+ ∋ Β 0Θ∋ΓΡ − Μ ∋
2 0 4 ! Υ ! 0
Υ6 6 Ε)∋Μ Ο 6 66∋Μ ( 2 ( Μ)Μ
( Γ)ΝΕΜ Ο ( 6ΗΕΜΝ> ( Μ)Μ? ( Μ)Μ 2 6 (Μ>Γ6?
! , −: /
∃ 6Μ ΘΗΡ
− 0 Β 1 3∀# ∀
, 91 4 & & .
∗ ∃ 0 Β . 3 . . ∃ .
. Υ >6 Ε ( Γ∋0?∀
>( Ε ( Γ∋0?∀
3 Υ 6 ∋ >Γ∋?
0 >Α Ε? . Π
. Υ∗%∗ ∀
>ΓΓ?
, ΘΗΡ
! ∃ 0 Β
Υ ( )ΓΜ)
)Ο ( ΕΛ)
)
)>ΓΛ?
0 3 , ΘΗΡ
∃ . ∃ /, > ? ∃ 9 Θ∋ΛΡ ∃ :
,> ? , ∋!
∋Υ 6 6 Ν∋ Ο ( Ν ∋ >ΓΜ?
∃ ∋ Υ #>!#∋?
> Ε ∋ Ε Γ ? − 3 >6Η? >∋Ε?.
2 − . 6 ∃
− 1 # ; # & # # ∗ # # ∃ 12 +%% ; # . ∃ ∗ + # ; # ∗∃+
∗ +
− ∋ ∋ ∀ + ∋ ,> ?
!∃ ∀ 6 6 6 6 ( 6%% 6 6 ( 6
6 6 6 ( 6∀ 6 6 6 ( 6
∃ ∀ 6 6 6& ∀ 6 6 ( 6∋ 6 6 ( 6
∗∃+
! − + ∋ − .
( 6∀∀ %
−
∃ : ∗ ∀/
∃% : /
%
ϑ3 >6Η? >∋(? ∃:
ΥΛ
Γ!>ΓΕ?
∃ ∃ Θ6)Ρ
# Υ ( (Μ Ο ( 6 2 Γ >Γ)?
Α ∃ΘΗΡ , 3 >ΓΕ?
71 − ∋3
1 Β 0 ∋ ∃+ / ΘΗΡ ∋&
)
ϑΒ ∋& ∃ ∀ 9 Θ∋ΜΡ; 9 Θ∋(Ρ # −
; 9 Α ∗Θ∋Γ ∋ΕΡ
1 Β Β 3 ∃ −> ∃ , Α
? ∃ ∃∃ 1
3 Β
+ Υ4
4 >ΓΝ?
∋ Υ4 !
4 >ΓΗ?
∃
4Υ ∋
.) .
46
.Ο ∋
4 .Ο
6
! 46
.
6 Ο ∋
∋ ∋
∋ ∋
6 Ο ∋
Ο
∋)
4>Λ(?
4 !Υ ∋
.) .
46
.Ο ∋
4 .Ο
6
!∋46 Ο
. .
.
46
.
∋ ∋
6 Ο ∋
>Λ6?
5 3 3 Α Η/ 4 ,. )
Χ 0 ∃ 5 %
0 ∃ Θ∋) ∋ΝΡ 3 , ,: 0 ∃
b
rte
Hull
Centerlinea.
γ
Centerline
Hull
rte
ξ
r(ξ)
σ(ξ)b
c1
b.
, :1 < & − = & 4 5 # ∋ (/ ∗ + > # !∀ # # . # ∗∃+ % ;. 8. & % %
# % & 2 # % # # ; % % & %
ϑ: ∃ .∃ ∃ ∃
∃ Α 6( Κ Β ; ,∗∃ ∃ ∃ 3
1
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
Pitch angle α (degrees)
0
Incre
me
nta
l n
orm
al fo
rce
A1/S2
A2/S2
A3/S2
Symbols – data
Lines – slope at α = 0
Hull Reynolds number is 20 million
, 1 6 & & − ; − . # ;!;. %/ 74 2 74 2 # 74 ∋ (2 % ; % & .## %
. % , ; − 2 ) # # ; %2 %
: 6
6 Υ ( ΕΜ Ο ( ΓΜ, > ? ( ΛΜ>6 , >5?? >Λ∋?
∃ , ,
, > ? Υ6
6 Ο 7 > ?>ΛΓ?
, >5? Υ6
6 Ο 7 ( )>ΛΛ?
− ∃ ∃ ∀#∀!1 8 ∃
; ,∗ Β Β
8 >( 5? Υ 6 >6 6?7 >ΛΜ?
− Β ∃
+ Υ 8 >( 5?+ >ΛΕ?
∋ Υ 8 >( 5? ∋
∃ 3 >ΓΝ? >Λ6?
− − ∋ )∗∗
∀ 9 Θ∋ΜΡ +; ,∗ Β ∋ #+ ∋ Α
Β − Β 3! ∃
∃ Β , /∀ 9
; < < .
, , ∃> ? −
31
Π ++
! > ∃? ∃ 0 ∃
, ∃ − Θ66Ρ: ∃
∃ 3. ∗
1 Θ66Ρ ∃∃
Υ > ? Υ > ? >Λ)?
∃
> ? Υ> ?,> ? ∗ >ΛΝ?
∗ &9 :/ ,> ?
∗ ∗ 0 ∃ > ?3 0 ∃ 1 0 ∃
∗ :
− ,> ? Α
,> ? Υ 6 >ΛΗ?
Υ% +
; ;
Υ (
∃ Α ><#? ∃ <#Α Χ <# Υ < 1 Υ 6
∃ 0Υ 6 Ο ∋<# ∃ ∋ ; Υ , Υ −
: ∃ Θ66Ρ ∃ :6ΟΓ< >∃ < ? 6 ∋< 1 ∃
∃ ∃ ∋ ∃Α , ,
>∋ Υ ( Υ 6? −
8
, ∃ −3 Β + +.
#
+ Υ
= ∃>Μ(?
+. Υ>
= ∃
∃ = ># ? ∃
> 3
− ∃ ∀#∀!1 Β ;ΛΦ)(
Θ∋ΗΡ , .Π : Β 1
∃ ( Ε # 2 Θ∋ΗΡ− 2 Π
Α 66/ Β Α Α< Υ Θ?#>( )!=∃ ?Ρ
Υ
Θ? <Ρ /∃>Μ6?
. Υ>
Θ? <Ρ /∃
∃ + +. Β ; , , ∃ ,∃ ; ΘΓ(Ρ
, 1 0 − 7# & ? ; ; =% % # ∋ (
4 ∃ ; Β ∃ +∀
− ∃ , ∃& ∃
Α ≅ ΘΜΡ
# 2 =# ∃2 3
Ζ=Ο ∋≅ Α ς=Ο Α = Υ Α =# >Μ∋?
∀ ≅ 3 Α Α ∃ ( , −ς= ς= ∃ ( & ! 1
# =#∃ : ∃∃ ∃ & ∀ 1
=#
Χ 3 >Μ∋? ∃ Α 3
= Υ ς= >ΜΓ?
ς= Υ ∋≅ Α ς=Ο Α >=# =?
∃ # 3∃
9 =
# 0 2 ,3
ΖΟ ∋≅!Α!ς Ο Α! Υ Α! # >ΜΛ?
∀ ≅! 3 Α! Α ∃ & , −ς ς ∃ & !
0 ,: − : 6Λ
∃ # ∃Κ #
Χ 3 >ΜΛ? ∃ Α 3
Υ ς >ΜΜ?
ς Υ ∋≅!Α!ς Ο Α! > # ?
: %
− 6(ϑ ∃ Χ
/, Υ #
∗ 0
∗ 0Ο Β , >ΜΕ?
/, Υ # , >Μ)?
∃ ∃
/, Υ 9 ∃# 9 ∃
, >ΜΝ?
Υ Θ # Ρ ,
Υ ∃# ∃
,
/, Υ # , >ΜΗ?
1 3 >ΜΕ? >ΜΗ? ϑ6
− /1
ς/1 Υ(
/, Ο ς/, /1 >Ε(?
∃ ( Χ/1 (/,
>/1 (/,? Υ(Θ>/1 (/,? Ο >( 6?/, Ρ >Ε6?
− /1 1∀
/1 Υ + /, Ο+2 /, Ο+ ς/, >Ε∋?
1 3 >Ε∋?ς/, Β
: /,
∋ ς/, Ο ∋ /, Υ /, >ΕΓ?
/1 Υ + Ο+
∋/, Ο+2 /, +
∋
∋/, >ΕΛ?
− 3 >ΕΛ? /,Α 3
/, Υ /, >ΕΜ?
/, Υ6
∋/,
∋
∋/,
! 6 1
: ∃ . ∃Α 6∋
0 1 2 3 4 5 6
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
Time, sec
Signal 1
Signal 2J
C (phase lead)
JC (PID)
.
J'E
JE
J'E
, 1 . % % , % % ; %/ ∗ + & . 7 & # ,# ∗ + % . 7 & # , % # & % ( Υ Γ # Υ ∋ 6
& % ∋ Υ ( Μ2 ∋ Υ 62 + Υ 6 Μ2 +2 Υ ( (∋2 # + Υ ( Μ
− ( 1∀Β ∋ ∋ + +2 + . 3 3 ,, ϑ : Α
ϑ , 1
.
1Β. Χ 2 0 Β2
>
− ∃ ΑΘΓ6Ρ ΘΜΡ −
0 ∃ Θ6Ρ
− 0 ∃ ..: 0 ∃ ς 3
ΘΓ∋Ρ − 0 ∃
3 Υ ς 3 63
3>ΕΕ?
∃ ∃
3 > ? Υ 3 6 :ς 3
3>Ε)?
1 ΘΓΓΡ : , 0 ∃ ∃5 Α
3 > ? Υ 3 6 6 Ο5 6
∋
ς 3
3>ΕΝ?
Χ ς 3 3 53 6 Λ 3 >Ε)? >ΕΝ? −
:
− 0 ∃ ∃ 9 > ? Α > ?9 ) Υ ∃ :
93 > ? Υ 93 63 > ?
3
)
>ΕΗ?
1 ∃ 93
∃ ς 3 ∃ .. −Χ3 3
3 Υ93 Χ36 3
>)(?
6 33 ∃
∃ .. ∃
9 > ? Υ 9 % Ο >)6?
∃ 9 % ∃ ∃> Α , ∃ ?
− 0 ∃ .... 93 #9 ΘΓΛΡ
Υ∋
6 Ο 5>)∋?
∃ 6 ΝΗ∋Η 5 Υ 6 Λ 93 Β
∃
1 −∃
: 9 ΘΜ Γ6 Γ∋Ρ −. −
> ? Υ9 > ?
6 >)Γ?
Χ
Χ > ? Υ3 > ?
> ?>)Λ?
Χ : ∃0 1∃
Χ
> ? Υ Θ > ?Ρ Χ > ? >)Μ?
Χ ∃
)
∃ :
∃∃
>− 3 ∃Α ∃
? :
∃..
3 > ? Υ93 > ?Χ3
> 3 3 > ??6>)Ε?
− ..∃ ∃ 0 ∃ ΘΓΛΡ
> ? Υ∋
6 Ο 5 3 > ? >))?
−
> ? Υ9 > ?
6 > ?>)Ν?
∃ : Χ
Χ > ? Υς 3 > ?
> ?>)Η?
% : −∃ Α
> ? Υ> ?
Χ > ?>Ν(?
∃ > ? 3 > ? % Χ −
> ? Υ Θ > ?Ρ Χ > ? >Ν6?
1 ∃:
∃ 1 Α 5∃
5>9 ? ∃ :3 − 2
0: 3 Χ
0 ∃ ..
9 ∃
; ∃ Α 3 >ΕΕ?
Χ Υς ς 4
>Ν∋?
Χ ς 4
∃
ϑ: Α
− ∃ ∃ Α 6Γ 2∃ Α ∃ : :
Α 2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Bu
oya
ncy F
orc
e,
ton
ne
s
Time, sec
Adiabatic
Isothermal
, 21 & % ∃ , ∃ , ; & # % % % 5= .&∃ −%.∃& ∀ − .% ;. # 6 % ∃ , − & =< ,
# ; # % & # >
,
− 3 0 ∃ 0 ΘΜΡ
Υ!∃
Λ∋ >ΝΓ?
∃ ∃ > ? 0: ∃Β
− 0 ∃: Α ∃
∃ Α 6Λ 1 ∃. Ε1 ∃
0 − : 0 ∃>6 Ε1?
0o
30o
20o
10o
-40o
-30o40
o
-20o
-10o
30%70%50%
10%
90%
Cylindrical Watertight Compartment, L/D = 2.5
Flooded volume fraction, 10% increments
Pitch angle, 5o increments
, 41 # − ≅ #, , ; & & Α ∃ . ## % ! − & & : # # .& −
% − − ∃ .& : , # % ;
0 ∃ ∃ ∃ : ∃∃ :
− Α 0∃
∃
ϑ 0 ∃ :Α
/
; ∃ 0 ∃ !53 >1 ∃ 3 ∃ ,
3 ? 1,
> ? 3 ς3 >∋? >Γ? ∃ 1
∃Κ
− ∃6(Φ6Μ
∃ 31 Α
, , ,∃
Χ ∃3
∃ 3: > Ο ?
Χ∃
∃ !5 12 Α ∃ ∃
− ∃ : 2∃ ∃ . ∃
Α: >
Γ( ? − : : ∀ /
− ∃ . ∀ ∗ ∀ ∀ &
− /
∀& 0/ 1 23 − & 4 ∗ % ∀& &
5 & 6
− ∀ ∗ % ∀&
7181 0/82 % &9% 1 − & : ∀ & % & & &; <
7181 0/82 & % ∀& − & % ∀&
& % ∀& & ∀
9
3 & ∀
− Ν∋(( ∃ − 2 Υ ( ∃
3 ;− ∃ − %∃ ∃ ∃ Α 6Μ −2 ∃
Σ Τ 9
-50
0
50
100
150
250
200
150
100
50
0
-50
200
150
100
50
0
default
NoMass option
z0 , m
y0 , m
x0 , m
, 71 9∀ & / 0 − Β Χ −. ∃ % ∃ ,, . ;
! Α / ;− ∃ % ∃∗ ∃ 2
: : ∃ > ? ∃ Χ 6Ε∃ ∗ /
2 − ∃
:
Χ ∃ 3 Α∗ ΘΓΜΡ
∗∃ . Θ∋Ρ
3 6Γ 6
0 20 40 60 80 100 120
0
2
4
6
8
Axia
l sp
ee
d,
u, m
/s
Time, sec, from blow
default
NoMass option
∗ +
0 20 40 60 80 100 120
0
1
2
3
4
Ya
w r
ate
, r,
de
g/s
Time, sec, from blow
default
NoMass option
∗∃+
, 1 9∀ & / 0 − ∗ + ∀ % ## ∗∃+ ,
2 , < > /
− & & ∗∗ & ∀& ( ,∃
∃∃ 0
21 / ∋0
− 3 Θ∋ ΛΡ∃ , , ς > ? ς > ?
∗ 3
ς Ο > ς ? Ο > ς Ο ? Ο >ΝΛ?
%5 ς Ο% ς Ο% ς %∀ ς Ο% ς Ο% ς Ο
ς > Ο ?
Υ %> ? Ο 9 > ? >Φ ? Ο%
∗∃ 3
ς Ο > ς ? Ο > ς Ο ? Ο >ΝΜ?
% ς Ο ς Ο ς ∀ ς Ο ς Ο ς Ο
ς > Ο ?
Υ > ? Ο 96 > ? Ο >Φ ? Ο
3
ς Ο > ς ? Ο > ς Ο ? Ο >ΝΕ?
% ς Ο ς Ο ς ∀ ς Ο ς Ο ς Ο
ς > Ο ?
Υ > ? Ο 9 > ? Ο >Φ ? Ο
# 3
ς > ? > ς ? > ς Ο ? Ο >Ν)?
Θ > ς Ο ? > ς Ο ?Ρ
%∀ ς Ο ∀ ς Ο ∀ ς +∀ ς Ο+ ς Ο+ ς Ο
ς ς ς Ο ς > ?
Υ +> ? Ο 97> ? Ο
> Φ ? > Φ ? Ο+
3
ς > ? > ς ? > ς Ο ? Ο >ΝΝ?
Θ > ς Ο ? > ς Ο ?Ρ
% ς Ο ς Ο ς + ς Ο ς Ο ς Ο
ς ς ς Ο ς > ?
Υ > ? Ο 9 > ?
> Φ ? > Φ ? Ο
Ξ ∃ 3
ς > ? > ς ? > ς Ο ? Ο >ΝΗ?
Θ > ς Ο ? > ς Ο ?Ρ
% ς Ο ς Ο ς + ς Ο ς Ο ς Ο
ς ς ς Ο ς > ?
Υ > ? Ο 98 > ? Ο
> Φ ? Ο > Φ ? Ο
≅ ς ΘΓΜΡ0 ∃ ΘΓΕΡ 5 Υ % Υ
> ? %> ? > ?> ? 9 > ? 98 > ?
! % .
% Υ >9 Ο% ? >Η(?
Υ >98 Ο ?
∃ % , 0: − %
.
ϑ3 >ΝΛ? >ΝΗ? #∃
Υ > ? >Η6?
∃ ,∃ ∃ :
Υ Ο >Η∋?
:
Υ
( ( (( ( (( ( ((
((
>ΗΓ?
:
Υ
%5 % % %∀ % %% ∀
% ∀
%∀ ∀ ∀ +∀ + +% +% +
>ΗΛ?
− %5 Υ %5
: 2, ., > ∃
? ΘΓΕΡ ∃∃ Θ6Ρ
1 0 ∃Β % Υ ΘΓΕΡ
Β 3
21 ∗ ) ∗?% (
∗ 2 ∃ ,3 >Η6?
; ∃ :∃ Φ ∃ 0 ,
−
1 (Ε66(∋ ∃: ,
!; !52, . 1, ∃
∗ Κ ∀ ΘΓ)Ρ∃ = ∀ > ∋∋ Γ ? 4
2 ∗ Γ Λ
212 − ≅ %
% −3 ∃ ,Α: : ,Α: :
Α 6 − % > ? ∃
Υ >ΗΜ?
∃
ΥΒ Β Β
= = =>ΗΕ?
: : :
≅ : ∃ : :ϑ > ? − ∃
: 3 >ΝΛ? >ΝΗ?∃ ϑ Α
∃ Α
1 ϑ Θ∋Ρ
Β Υ >Η)?
Β Υ
Β Υ
Υ Ο
Υ Ο
Υ
= Υ Ο
= Υ Ο
= Υ
ϑ ∃
Υ
Ο ς
Ο>ΗΝ?
∃ .
− Β ∃ ϑ ς ς ∃Υ !#∋ ∃ ∃
∃ − ∃
)
> ? ∃ ∃ ∃44Κ Χ ∃
:
3 ΘΓΝΡ ,; ∃ ∃ .: ϑ ∃
3 >ΝΛ? >ΝΗ? − ∃:
∗ 3 Ο >Φ ?Β Ο >ΗΗ?
∗∃ 3 Ο >Φ ? Ο
3 Ο >Φ ?= Ο
# 3 Ο > Φ ?= > Φ ? Ο
3 Ο > Φ ?Β > Φ ?= Ο
Ξ ∃ 3 Ο > Φ ? > Φ ?Β Ο
1 3 ϑ >7 77 7 ? ∃
7 Ο 7 Ο 7 Ο 7 Υ 6 >6((?
− ϑ ,# ΘΓΝΡ − ,: : 3
Β Υ 7 Ο 7 7 7 >6(6?
Β Υ ∋>7 7 Ο 7 7 ?
Β Υ ∋>7 7 7 7 ?
Υ ∋>7 7 7 7 ?
Υ 7 7 Ο 7 7
Υ ∋>7 7 Ο 7 7 ?
= Υ ∋>7 7 Ο 7 7 ?
= Υ ∋>7 7 7 7 ?
= Υ 7 7 7 Ο 7
3
7777
Υ6
∋
7 7 77 7 Ο 77 Ο 7 77 Ο 7 Ο 7
>6(∋?
∃ >6 ( ( (? # .3 >6((?
− Χϑ
− . ∃3 >Η)?
Υ=
= Υ ( >6(Γ?
Υ ( ∃
Υ > Β ? >6(Λ?
ΥΒ
ΒΒ Υ ( >6(Μ?
Υ ( ∃
3 Β ΘΓΝΡ ,∃ ϑ 3
# 9 ! ) ∋∋ ∋ ! ∃∃ ∃ 2 Β ∃
2 3∃
Α , − ϑ ∃
214 − ∗
− 3 : 2 3>Γ Λ? # , ∃ >
? ϑ ΘΓΗ Λ(Ρ ≅∃ −: : ∃
:
1 ∃ 3∃ ς Υ > ς ?
∃ :3 1 (Ε66(∋
3 4 : ∃Α / .
− . ∋ : 3Υ > ?
− ς > ∋
5∋+ +?∋ ∃!+≅=) ∋ !++
− 1 4 % & − 8. % ; # − & . % &. 6 # %# # & & % ; &Α & ; −. . ∃. #%
9 9. ; 8. 8. % , ∃ 2 ∃. ∃
1 :3 ϑ3 > ?
6 ∋ >Ε6? >ΕΜ?Γ Λ >Ε6? >ΕΜ?Μ Ε >Ε6? >ΕΜ?) Ν >Ε6? >ΕΜ?
Η Γ∋ 0 >ΜΜ?ΓΓ ΓΝ # >ΜΓ?ΓΗ ΛΕ ;− ∃ >Ν∋?Λ) ΜΜ ;5 >ΕΕ?ΜΕ ΕΓ 0 ∃ −! >ΝΓ?ΕΛ ΕΗ >Η6?)( )∋ >ΗΜ?)Γ )Μ >ΗΝ?)Ε )Η 7 7 7 7 >6(∋?
4 ∀ %
∃ ∃−
/2
− 3 Α∃ ∃
1 ∃ : Τ% 9Α Α
∃ >Χ ?
− ; > &&∀ΑΒΒ & ? Σ : ,Α − ; Σ
∃ 3 ∃ ∃ :
Χ % ∀ %
− 3 ∃ − ; ,Α ≅
− 1∃ Α ∃
, ∃ Α ∃ ϑ: ∃
∗∗
∗ . & % % ∀ %
Α)
− Α − :∃ ∃ Α Α
1 Α Α 1 :Α Α
7 ∀ 6
− ∃∃ 1
∃ :∃∃
∃ − ∃ ∃
∀
! Α∀
6 >∋((Ε? ; (Ε66(∋ 4 5 ∀#∀! − ∋((ΕΦ∋Μ∋∀ #Ι∀ ! Φ
∋ ∃ . >6Η)∋? >? ! 1−
Γ 5 ∀ >6ΗΝΝ? ϑ ,! ∀∗ Κ 1 − ∀ ∀#ϑ − ΝΝΠ∋6Γ∀ # ϑ
Λ 5 5 # >6ΗΕ)? ∗ ϑ3 ∗∗ ∗#∀! # ∋Μ6( ∗ # ∀ !
Μ >6ΗΗ∋? ∀#ϑ ∗ ∗ Κ ( ∋ >∀∗∗ (∋?Σ # ∀#ϑ −! Η∋ΠΓ(Ν ∀ # ϑ
∀
Ε Χ >6Η)Η? ∀− ∗#∀! # ∗ ∗ ϑ3 ,∀− ∗#∀! ∗ ∀Φ(ΓΗΓΦ(Η ∀ − ∗ # ∀ ,!
) ; >6ΗΗ6? ∗1 ! ∀ #∃% &∀ ∋&( ∋ & ) ,
# 1
Ν >6ΗΗΜ? ϑ Χ ∗ ∗ ∗1 ∗ + & ∋ ∋ ,
: − 4 ∗
Η >6ΗΗΜ? # ∃ ∗Χ ∀#ϑ # ΗΜΠ6(∋ ∀ # ϑ∀
6( >∋((Γ? − ∗ ∗ ∗ ∗ ,ϑ: ∗ ∀#∀! −# ∋((Γ,()Η
∀ #Ι∀ ! Φ
66 >∋((Λ? # ∃ ∗ ≅ , , Χ ,∀#∀! − ∋((Λ,6ΓΜ ∀ #Ι∀ ! Φ
6∋ >∋((Ε? ϑ 1 , ∗ ,1 ∀#∀! − ∋((Ε,(∋( ∀ #Ι∀ ! Φ
6Γ >6ΗΝΕ? Χ − ,∀ ; #1 #()ΕΜΗΦ6Φ ≅ # 1 ∀ ,
6Λ ; # >6ΗΗ(? ϑ: Χ ,; # Κ Χ # # Χ ∃
#ϑ −#Η(Γ(Ν # ϑ ∀
6Μ ! >6ΗΕ)? ∀ ∋ > ? ∃Ξ ∗ ϑ
6Ε ∗ Χ >6ΗΜΝ? − ∋ ,. & .
6) >6ΗΝ6? ∀ 3 ∗ , Χ ∗ /∋
# & & 0 Λ ∋ 1
6Ν ϑ ; >6Η)∋? . & & ∀ − ∃ Ξ
6Η ∗ Χ ; Κ > ? >6Η)Μ? − ∋ ,. & ; − ∃
∋( ∀ ; >6ΗΛΜ? ∗∗ # Χ ∃ ∀ ! !∗ #! #Ι ∋Γ(Ν # !
∋6 1 ∀ 2 ϑ >6ΗΜΗ? ∗ ! ∃ Ξ∀
∋∋ ∀ − ∗ Ξ ∀ >6Η)Λ? − ∋ >? ϑ ∃ > ?
∋Γ ; 5 ∀ >∋((∋? ∗− ϑΒ 1 . & 0 & 1 0
+ 2∋ 0 0 0 ∀ >#−≅Φ Φ(ΗΜ?−≅ #−≅
∋Λ ∃ − >6ΗΜΛ? − ϑ2 ∗ Χ ∀ ,ϑ > ? # ΜΕΠΜΛ ϑ:
∋Μ ∀ ϑ >6Η))? ∗ ∗ ! ∗ ∗∗ ! ∗ ; # ∀− ∗#∀! # ))Φ((ΝΜ∀ − ∗ # ∀ !
∋Ε ∗ # >6ΗΜ(? − Χ ∗ , ! ,; ! ! # ΗΕ∋ !
∋) ! >6Η)∋? Χ : Χ ∃! ∗ ,1 Α ; #! ! Φ6∋6Ε # !
∋Ν − ϑ >6ΗΜΜ? & !− ; # ∗ Χ ∃
> ? ! − 6Γ)Η ! ,
∋Η ∀ ≅ ! >6ΗΕΗ? −;Φ∗ ∃ ∗ 3 ∗ Κ )) ∃ Ξ ∗
ϑ
Γ( ; − ϑ >6ΗΗΝ? ∀ 4 4 ∃ ΚΓ(Π∋Ε ≅ !Π# ∀ 11 ∀#ϑ !# ΗΝΠΛ6Ν ∀ # ϑ ,
∀
Γ6 ; − ; # ! >6ΗΝ(? ∀ !∗ > ? >4? −ϑ> ? − − Ν((∋Ν
− ϑ #
Γ∋ Κ 5 ∗ # ϑ >6Η)Ε? −∋ & ∗ & ,
& > ? ∃ Ξ
ΓΓ 1 [ >6ΗΗΗ? # Χ 1 ! ∀ #∃∃
&∀ ∋&( ∋ & 4 # 1
ΓΛ # 5 ∃ Ξ >6ΗΗ∋? 3 ∗ & & ! +
∗ > ? ∃ Ξ
ΓΜ ∗ >6ΗΕ(? ϑ3 ∗ ; ∃ Κ∗1− # ∀ ΦΕ(ΦΗΦ))6 ∗ 1 −
ΓΕ 1 Χ >6ΗΕ6? − ! ϑ: ∴ ] # ;1 Χ ∀− ; # 6Μ∋Ν ∀ − ;
Γ) − ∗ Κ − Χ ; >6ΗΗ∋? ∋,
& ∀ − ∗ ϑ ! !4
ΓΝ Χ ! ϑ 5 5 >∋(((? # ∃ Χ ∀ > 1 ∋(((ΦΛΓ(∋? 1
&∋ ∗ 0 . 0 1 ,
ΓΗ ϑ # ⊥ ∗ − 5 >6ΗΝΕ? 1 ,# , Χ ∗ & 5
Κ 6∋ Γ !
Λ( ϑ # ⊥ ∗ − 5 >6ΗΝΝ? ϑ2∗ ∀ 1Κ 4 # , Χ ∃ 1 ,
∀∀ & &∀∋ Κ ∋) ϑ
% ( %1 ∋( , )
− : : Μ : ϑ− Α : ∀ ∃
Α 6
− 6 1∃
Α ∋ ϑ Λ ∃ Υ ∋(Η) Υ ∋Μ(
1 ∃ > ? > ? Α ∋ −> ?
Α : > ∋ ?3 : ,
∃ 1: 3 ∃ ∃ 1
:Θ6Ρ Α
, %1 1 9∀ & ; & / % % #. # , 5Ε . . ∋ (
∗ Α ∋ Σ> ? > ? > ? > ?
>%? ∃ ∃. :
Χ ∋)( Λ(( > ?∃
> ? ∋( ≅ Λ((∃
− %1 1 9∀ & − & . ∗% & + && #% 6 # # % #, % & # 1
ϑ !
& % ∀& Χ ∀& & Ε
∀ 26 Χ ? ∀ % ∗ & & &,
6 36 % Φ % 6 Χ % & & % ∀& ∀ 0
∋ 03 & % ∀& & ∀ Χ & & ( ,
Γ 02 ∀ 3 Χ , &
Λ 0 ∀ 3 Χ ) ∗∗ ∀ ∀ & ∀ 4
0 ∃ Χ # & 9 , ,
Μ 0 ∃ & ∀ Χ 9 ∗&
Ε 8 % & ∀ Χ ∗ %
) 3 = & Χ ∀ %% & 9 , ,
3 ∀ 8 Χ ∀ % & ∀∀ . 6 &
3 5∀ 3 Χ
Ν 2 & % ∀& Χ % % ∀& &
86 & ∀
0 60 120 180 240 300 360 420 480
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
4
2
5
6
8
7
1
Tim
este
p, se
c
Time, sec
∗ +
0 60 120 180 240 300 360 420 480
120
100
80
60
40
20
0
5
7
8
1
De
pth
z0, m
Time, sec∗∃+
, %1 1 9∀ & − & . & % %/ ∗ + & % % > 2∗∃+ # .&∃ ∃ % − % % # ∀ ∗ . #+
)
0 60 120 180 240 300 360 420 480
-10
-5
0
5
10
15
20
25 8
7
3
Pitch
an
gle
θ,
de
g
Time, sec
∗ +
0 60 120 180 240 300 360 420 480
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
753
864
Axia
l ve
locity u
, m
/s
Time, sec
∗#+
, %1 1 1! 9∀ & − & . & % %/ ∗ + 2 ∗#+ ∀.&∃ ∃ % − % % # ∀ ∗ . #+
0 60 120 180 240 300 360 420 480
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
7
8
4
5
No
rma
l ve
locity w
, m
/s
Time, sec∗ +
0 60 120 180 240 300 360 420 480
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
3
8
7
Pitch
ra
te q
, d
eg
/s
Time, sec
∗−+
, %1 1 1! 9∀ & − & . & % %/ ∗ + & 2∗−+ .&∃ ∃ % − % % # ∀ ∗ . #+
0 60 120 180 240 300 360 420 480
-30
-20
-10
0
10
20
30Autopilot
8
7
4
3
Ste
rnp
lan
e a
ng
le δ
S, d
eg
Time, sec
AutopilotManual
∗;+
0 60 120 180 240 300 360 420 480
0
20
40
60
80
100
120
7
Pro
pe
ller
RP
M
Time, sec
∗ +
, %1 1 1! 9∀ & − & . & % %/ ∗;+ % ; 2∗ + 5 .&∃ ∃ % − % % # ∀ ∗ . #+
0 60 120 180 240 300 360 420 480
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
87
3
Qu
ate
rnio
ns e
0,
e 1,
e2, an
d e
3
Time, sec
e0
e1
e2
e3
∗ +
0 60 120 180 240 300 360 420 480
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
8
2
Err
or
an
d c
ontr
ol sig
na
ls,
JE
(d
epth
) an
d J
C (
dep
th)
Time, sec
JE (depth)
JC (depth)
∗Β+
, %1 1 1! 9∀ & − & . & % %/ ∗ + 8.& %2 ∗Β+ # # % ; % .&∃ ∃ % −
% % # ∀ ∗ . #+
0 60 120 180 240 300 360 420 480
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
7
6
5
4
1
∆ m
ass, kg
Time, sec∗1+
0 60 120 180 240 300 360 420 480
-8
-4
0
4
8
12
4
6
7
5
Change in w
eig
ht
W, to
nnes
X Axis Title
Floodwater
Blown ballast
1
∗ +
, %1 1 1! 9∀ & − & . & % %/ ∗1+ ; & %%2∗ + ≅ #, # ∃ , ∃ % .&∃ ∃ % − % % # ∀
Α
1 ∃ ! ,3 / ∃
:
. ∃ ΘΛΡ
Υ Υ?
Β Β
2
− : Β
:
&
& ∃
2
∀ ∃
∀ :
∀ ∃
∃ 0 :
/
) )
) 0
) ∃
3
3 Γ
1
Χ 9 0 ∃
,
Β / 0 Β
Χ 9
. 3 Β ;
∃
# ∃
: Β
% : Β
∀
Β
∀ , ∃
Β
∃ 0
∃
∃ . ,
, / / ≅≅
, , Α Β
1 1
:
/ ∃ ,
/1/, /,∋ , , / ∃ 9 #>!#∋?
∋ ∀ ∋ ∀
∋ ∃
∋
∋ ∀
∋ Β 0
∋ ∋ 1∀ 3 Β
∋! 0 Α
+ ∃
+ +2 + 1∀ Β
+ Β
+. 3 Β
+ Β
. ;
: :/
Β
= :
/ : ≅≅
:
3
∃ ;−
0 ∃
=
Ε1 −!
∃
9 ∃
9 93 > ?
9 98
> 3
6 / Α Β
∗
∗ ∀ :
∗% ,
/
:
3:
:
Α
Χ Χ3Χ 9 > ∃ ? 0 ∃
Φ ∃
: :
% :
−
9 > ?
:
:
,
,Α: :
≅≅
%
∗
>Τ∃ 9?
∃
≅≅
( /
( ∃
( 3 ( ∃
(
( 0 (
( (
< /
<#5 / Α
0
2 0 0
≅ #
≅! 0
− 0
0
4 :
∃
;−
. ∃ 0 Β / ∃
. . Π .
∃ 0 Β / /
/
∃
Α # 3
Α! 3
Ψ#∃ , ∃
)
/
%
;5 ; 5
!; ! ;
!5 ! 5
; ; ∃
;− ; −
≅≅ ≅ ,≅ ,
1∀ ,1 ,∀ > ?
#≅Κ # ≅ Κ
44Κ 4 4 ∃ Κ
Κ# Κ #
−! − !
1 ( Υ > # ? < Υ > # ?
)
Β +
; Β ∋Α− ;Α−∀;. %−%
∀ #Ι∀ ! Φ 4 Α
∗ ! ; ∗∗ ∀∗∗ ∋6 > (Ε66(∋? !
∋(() ΕΕ Λ(
∀#∀! − #
665 (∋
! ∀ # #
∀#∀! −# ∋(()Φ(ΓΗ! #
#
4
# # ∃%& ∋%()∗)+, &∗−. /
∃−
/∃ 0 1
2 3 3
4 5∃ ∃
0 1
∗∗∀∗∗ ∋6
Β +
This page intentionally left blank.
This page intentionally left blank.
