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8/15/2019 Sequencias e Series-principal- Didatico
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Capıtulo 1
Series Innitas
Um processo innito que intrigou os matem´ aticos por seculos foi a soma de series innitas.
Algumas vezes uma soma innita de termos resultava em um n´ umero, como em
12
+ 14
+ 18
+ 116
+ . . . = 1
(Voce pode vericar isso pela adi¸ cao das areas indicadas no quadrado unit´ ario ”innitamente
dividido ao meio”abaixo.) Entretanto, algumas vezes a soma innita era innita, como em
11
+ 12
+ 13
+ 14
+ 15
+ . . . = + ∞(embora isso esteja longe de ser ´obvio), e algumas vezes era impossıvel denir a soma innita,
como em
1 −1 + 1 −1 + 1 −1 + . . .
(E 0? E 1? Nao e nenhum dos dois?)
Apesar disso, matem´aticos como Gauss e Euler usaram com sucesso series innitas para
obter resultados anteriormente inalcan¸ caveis. Laplace usou series innitas para provar a esta-
bilidade do sistema solar. Passaram-se muito anos ate que analistas cuidadosos como Cauchy
desenvolvessem o fundamento te´ orico para c alculos de series, mandando muitos matem´ aticos
(inclusive Laplace) de volta para a escrivaninha para vericar seus resultados.
Series innitas formam a base para uma tecnica not´ avel que nos permite expressar muitas
funcoes como ”polinomios innitos”e, ao mesmo tempo, calcular o erro quando truncamos esses
polinomios para torn´a-los nitos. Alem de produzir aproxima¸ coes polinomiais ecazes de fun coes
diferenci aveis, esses polin omios innitos (chamados series de potencias) tem muitas outras utili-
dades. As series innitas fornecem uma maneira eciente para avaliar integrais n˜ ao elementares
1
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e resolvem equa coes diferenciais que nos permitem compreender o uxo de calor, a vibra¸ cao, a
difusao quımica e a transmiss˜ ao de sinais.
1.1 Limites de sequencias de n´ umeros
Informalmente, uma sequencia e uma lista ordenada de coisas, mas aqui as coisas ser˜ ao ge-
ralmente n´umeros. Sequencias de n´ umeros s ao frequentes em Matem´ atica. Por exemplo, os
numeros
2, 4, 6, 8, 10
formam uma sequencia denominada nita pois ha um ultimo n umero. Se o conjunto de n´umeros
que formam uma sequencia n˜ ao tiver um ultimo n umero, a sequencia e denominada innita .
Por exemplo, a sequencia 13
, 25
, 37
, 49
, . . . (1.1)
e innita pois os tres pontos sem nenhum n´ umero em seguida indicam que n˜ao ha um ultimo
numero. Estamos interessado aqui em sequencias innitas e quando usamos a palavra ”sequencia”devemos
entender que se trata de uma sequencia innita.
Deni¸ cao 1.1 - Sequencia e uma fun c˜ ao cujo domınio e o conjunto
{1, 2, 3, . . . , n , . . .
}de todos os n´ umeros inteiros positivos.
Os numeros na imagem de uma sequencia s˜ ao chamados de elementos da sequencia.
Se o n-esimo elemento for dado por f (n), ent ao a sequencia ser´a o conjunto de pares orde-
nados da forma ( n, f (n)), onde n e um inteiro positivo.
Ilustra¸ cao 1.1 - Se f (n) = n
2n + 1, ent ao
f (1) = 13
f (2) = 25
f (3) = 37
f (4) = 49
e assim por diante. A imagem de f consiste nos elementos da sequencia (1.1). Alguns dos
pares ordenados da sequencia f sao (1, 13 ), (2, 2
5 ), (3, 37 , (4, 4
9 ) e (5, 511 ). Um esboco do graco
da sequencia est´ a na Figura 1.1. Geralmente o n-esimo termo da sequencia e dado quando os
elementos aparecem em ordem. Assim, os elementos da sequencia (1.1) podem ser escritos como
13
, 25
, 37
, 49
, . . . , n
2n + 1, . . .
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Figura 1.1:
Como o domınio de toda sequencia e o mesmo, a nota¸ cao {f (n)}pode ser usada para denotar
a sequencia. Assim sendo, (1.1) pode ser denotada por { n2n +1 }. A nota cao {an }e tambem usada
para denotar a sequencia para a qual f (n) = an .
Dizemos que a sequencia
a1, a 2, a3, . . . , a n , . . .
e igual a sequenciab1, b2, b3, . . . , bn , . . .
se, e somente se, ai = bi para todo i inteiro positivo. Lembre-se que uma sequencia consiste
em uma ordena¸cao de elementos. Dessa forma, e possıvel duas sequencias terem os mesmos
elementos e n ao serem iguais. Por exemplo,
Ilustra¸ cao 1.2 - A sequencia {1/n } tem como elementos os recıprocos dos n´ umeros inteiros
positivos.
1, 12
, 13
, 14
, . . . , 1n
, . . . (1.2)
A sequencia para a qual
f (n) =
1 se n for ımpar
2n + 2
se n for par
tem como elementos
1, 12
, 1, 13
, 1, 14
, . . . (1.3)
Os elementos das sequencias (1.2) e (1.3) s˜ ao os mesmos, contudo, as sequencias s˜ ao diferentes.
Esbo cos dos gracos das sequencia (1.2) e (1.3) s˜ao dados nas Figuras (1.2) e (1.3), respectiva-
mente.
Vamos colocar agora, num eixo horizontal, os ponto correspondentes aos sucessivos elementos
de uma sequencia. Isso foi feito na Fig. 1.4 para a sequencia (1.1) que e n
2n + 1. Observe
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Figura 1.2:
Figura 1.3:
que os sucessivos elementos da sequencia est˜ ao cada vez mais pr´oximos de 12 , muito embora
nenhum elemento da sequencia assuma o valor 12 . Intuitivamente, vemos que e possıvel obter
um elemento da sequencia t˜ ao pr oximo de 12 quanto desejarmos, bastando para isso tomar o
numero de elementos sucientemente grande. Ou, expressando-se de outra forma,n
2n + 1 − 12
pode-se tornar menor que qualquer n´ umero positivo , contanto que n seja sucientemente
grande. Por isso, dizemos que o limite da sequencia n
2n + 1
e 12 .
Figura 1.4:
Em geral, se existe um n umero L tal que |an −L| seja arbitrariamente pequeno para n
sucientemente grande, dizemos que a sequencia {an } tem o limite L. Segue a denicao precisa
de limite.
Deni¸ cao 1.2 - A sequencia {an} tem o limite L se para qualquer > 0 existir um n umero
N > 0, tal que se n for inteiro e se n > N , ent ao
|an −L| <
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e escrevemos
limn→+ ∞
an = L
Exemplo 1.1 - Use a Denicao (1.2) para provar que a sequencia n
2n + 1 tem limite 1
2 .
Solu¸cao:
Ilustra¸ cao 1.3 - Considere a sequencia (−1)n +1
n. Note que o n-esimo elemento dessa
sequencia e (−1)n +1
n , e (−1)n +1 e igual a +1 quando n for ımpar e igual a −1 quando n for par.
Assim sendo, podemos escrever os elementos da sequencia da seguinte forma:
1, −12
, 13
, −14
, 15
, . . . , (−1)n +1
n , . . .
Na Figura 1.5 foram colocados os pontos correspondentes a sucessivos elementos dessa
sequencia. Na gura, a1 = 1 , a 2 = −12 , a 3 = 1
3 , a4 = −14 , a5 = 1
5 , a 6 = −16 , a 7 = 1
7 , a8 =
−18 , a 9 = 1
9 , a 10 = −110 . O limite dessa sequencia e 0, e os elementos oscilam en torno de 0.
Compare a deni¸cao de limite de sequencias com a deni cao de limite de fun coes com x
tendendo ao innito. As duas deni¸ coes sao quase identicas; contudo, quando estabelecemos
que limx→+ ∞
f (x) = L, a funcao f e denida para todos os n´ umeros reais maiores do que um
certo real r , enquanto que quando consideramos limn→+ ∞
an , n esta restrito aos n´umeros inteiros
positivos. Porem, o Teorema abaixo estabelece uma rela¸ cao bastante clara entre os dois limites.
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Figura 1.5:
Teorema 1.1 - Se limx→+ ∞
f (x) = L e f estiver denida para todo inteiro positivo, ent˜ ao tambem
limn→+ ∞
f (n) = L quando n for um inteiro positivo qualquer.
Figura 1.6:
Ilustra¸ cao 1.4 - Vamos vericar o teorema anterior para a sequencia do Exemplo 1.1, para a
qual f (n) = n
2n + 1. Assim, f (x) =
x2x + 1
e
limx→+ ∞
x2x + 1
= limx→+ ∞
12 + 1
x=
12
Segue, ent ao, do Teorema 1.1, que limn→+ ∞
f (n) = 12
quando n for qualquer inteiro positivo. Isso
est a de acordo com a solu cao dada no Exemplo 1.1.
Deni¸ cao 1.3 - Se a sequencia {an } tiver um limite, dizemos que ela e convergente, e an
converge para o limite. Se a sequencia n˜ao for convergente, ela ser´a divergente .
Exemplo 1.2 - Determine se a sequencia 4n2
2n2 + 1 e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
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Exemplo 1.3 - Prove que se |r | < 1, ent ao a sequencia {r n } sera convergente e rn convergir a
para zero.
Solu¸cao:
Exemplo 1.4 - Determine se a sequencia {(−1)n + 1 }e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
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Exemplo 1.5 - Determine se a sequencia n sen πn
e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
Existem teoremas de limites para sequencias, an´ alogos aos que foram dados para fun¸coes.
No enunciado desses teoremas e usada a terminologia de sequencias.
Teorema 1.2 - Se {an } e {bn} forem sequencias convergentes e c for uma constante, ent˜ ao
(i) a sequencia constante {c} tem c como seu limite;
(ii) limn→+ ∞
can = c limn→+ ∞
an ;
(iii) limn→+ ∞
(an ±bn ) = limn→+ ∞
an ± limn→+ ∞
bn ;
(iv) limn→+ ∞
an bn = limn→+ ∞
an limn→+ ∞
bn ;
(v) limn→+ ∞
an
bn= limn→+ ∞ an
limn→+ ∞
bn, se lim
n→+ ∞bn = 0 e todo bn = 0.
Exemplo 1.6 - Use o teorema anterior para provar que a sequencia n2
2n + 1 sen
πn
e conver-
gente e ache o seu limite.
Solu¸cao:
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1.1.1 Lista de exercıcios
Exercıcio 1.1 - Nos exercıcios de 1 a 12, escreva os quatro primeiros elementos da sequencia e
determine se ela e convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
1. n + 12n −1
2. 2n2
+ 13n2 −n
3. n2
+ 1n
4.3n3 + 12n2 + n
5.3 −2n2
n2 −1 6.
e2
n
7.ln nn2 8.
nn + 1
sen nπ
2 9.
1√ n2 + 1 −n
10 . √ n + 1
−√ n 11 .
{cos nπ
} 12. 1 +
1
3n
n
Sugest˜ ao: use limx→0
(1 + x)1/x = e
Exercıcio 1.2 - Mostre que as sequencias n2
n −3 e
n2
n + 4 divergem, porem, a sequencia
n2
n −3 − n2
n + 4 e convergente.
Exercıcio 1.3 - Prove que se a sequencia {an} for convergente e limn→+ ∞
an = L, ent ao a
sequencia {a2n} tambem ser´ a convergente e lim
n
→+
∞
a2n = L2.
1.2 Sequencias Mon´ otonas e Limitadas
Certos tipos de sequencias recebem nomes especiais.
Deni¸ cao 1.4 - Dizemos que uma sequencia {an}e
(i) crescente , se an ≤an +1 para todo n ;
(ii) decrescente , se an ≥an +1 para todo n.
Chamamos de mon´otona uma sequencia que seja crescente ou decrescente.
No caso de an < a n +1 , a sequencia e dita estritamente crescente; se an > a n +1 , a
sequencia e estritamente decrescente.
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Exemplo 1.7 - Determine se as seguintes sequencias s˜ ao crescentes, decrescentes ou n˜ ao-
monotonas:
(a) n
2n + 1 (b)
1n
(c)(−1)n +1
n
Solu¸cao:
Deni¸ cao 1.5 - Uma sequencia {an }e limitada superiormente se existir um n umero M tal
que
an ≤M, para todo n.
E e limitada inferiormente se existir um n umero m tal que
an ≥m, para todo n.
Se ela for limitada superiormente e inferiormente, ent˜ ao
{a
n}e uma sequencia limitada.
Exemplo 1.8 -
(a) A sequencia 1 , 2, 3, . . . , n , . . . nao e limitada superiormente, mas e limitada inferiormente por
m = 1.
(b) A sequencia 12 , 2
3 , 34 , . . . , n
n +1 , . . . e limitada superiormente por M = 1 e inferiormente por
m = 12 .
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(c) A sequencia −1, 2, −3, 4, . . . , (−1)n n , . . . nao e limitada nem superiormente e nem inferior-
mente.
Observe que nem toda sequencia limitada e convergente pois, por exemplo, a sequencia
{(
−1)n
}e limitada (
−1
≤an
≤1), mas e divergente. Alem disso, nem toda sequencia mon´ otona
converge, pois a sequencia 1 , 2, 3, . . . , n , . . . dos numeros naturais e mon´ otona, mas diverge. Se,
entretanto, uma sequencia e tanto limitada quanto mon´ otona, ent˜ao ela deve convergir. Isto e
o que diz o seguinte teorema.
Teorema 1.3 - Toda sequencia mon´ otona e limitada e convergente.
Exemplo 1.9 - A sequencia n
n + 1e convergente pois ela e crescente e limitada inferiormente
por m = 0 e superiormente por M = 1.
Solu¸cao:
Exemplo 1.10 - A sequencia2n
n! e convergente.
Solu¸cao:
11
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Exemplo 1.11 - Investigue a sequencia {an } denida pela rela¸cao de recorrencia,
a1 = 2 , an +1 = 12
(an + 6) para n = 1 , 2, 3, 4, . . .
Solu¸cao:
12
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1.2.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 1.4 - Nos exercıcios de 1 a 10, determine se a sequencia dada e crescente, decrescente
ou nao-mon otona.
1. 3n −14n + 5 2. 2n −14n −1 3. 1 −2n2
n2
4.n3 −1
n 5.
2n
1 + 2 n 6. 5n
1 + 5 2n
7. n2n 8. {sen(nπ )} 9. cos
nπ3
10 . n2 + ( −1)n n
Exercıcio 1.5 - Determine se a sequencia dada e limitada.
(a)n3 + 3n + 1
(b) {3 −(−1)n−1}Exercıcio 1.6 - Calcule o limite da sequencia
√ 2, √ 2, √ 2, . . .
1.3 Series Innitas
Uma parte importante do estudo do C´ alculo envolve a representa¸ cao de fun coes como ”somas
innitas”. Isso requer que a opera¸ cao usual de adi cao em conjuntos nitos de n´umeros seja esten-
dida para conjuntos innitos. Para tanto, usamos um processo de limite atraves de sequencias.
Associemos a sequencia
u1, u2, . . . , u n , . . .
uma ”soma innita”denotada por
u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .
Mas, qual e o signicado de tal express˜ ao? Isto e, o que queremos denotar com a ”soma”de
um n umero innito de termos e em quais circunstˆ ancias essa soma existe? Para termos uma
ideia intuitiva do conceito dessa soma, consideremos um peda¸ co de o com 2 m de comprimento
e suponhamos que ele seja cortado ao meio. Uma das partes e deixada de lado, enquanto que
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a outra e novamente dividida ao meio. Um dos peda¸ cos com 1/2 m de comprimento e posto
de lado, enquanto que o outro e cortado ao meio, e ent ao obtemos dois peda¸cos com 1/4 m
de comprimento cada um. Tomando apenas um deles e dividindo-o ao meio, obtemos dois
peda cos com 1/8 m de comprimento. Novamente, cortamos um dos peda¸ cos ao meio. Se esse
processo continuar indenidamente, o n´ umero de metros na soma dos comprimentos dos peda¸ cos
separados pode ser considerado como a soma innita
1 + 12
+ 14
+ 18
+ 116
+ . . . + 12n−1 + . . . (1.4)
Figura 1.7:
Como comecamos com um o com 2 m de comprimento, nossa intui¸ cao indica que a soma
innita (1.4) deve ser 2. Mais adiante demonstraremos que realmente e o que ocorre. No entanto,
precisamos primeiro de algumas deni¸ coes preliminares.
Da sequencia
u1, u2, u2, . . . , u n , . . .
vamos formar uma nova sequencia {sn} adicionando os sucessivos elementos de {un }:
s1 = u1
s2 = u1 + u2
s3 = u1 + u2 + u3
s4 = u1 + u2 + u3 + u4...
sn = u1 + u2 + u3 + u4 + . . . + un
A sequencia
{sn
} obtida dessa maneira e chamada de serie innita.
Deni¸ cao 1.6 - Se {un } for uma sequencia e
sn = u2 + u2 + u3 + . . . + un
ent ao a sequencia {sn} sera chamada de serie innita , a qual e denotada por+ ∞
n =1un = u1 + u2 + u3 + . . . + un + . . .
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Os numeros u1, u2, u3, . . . , u n , . . . sao chamados de termos da serie innita. Os n´umeros
s1, s2, s3, . . . , s n , . . . sao chamados de somas parciais da serie innita.
Ilustra¸ cao 1.5 - Considere a sequencia {un }, onde un = 12n−1 :
1, 12
, 14
, 18
, 116
, . . . , 12n−1 , . . .
A partir dela vamos formar uma sequencia de somas parciais:s1 = 1 s1 = 1
s2 = 1 + 12 ⇔ s2 = 3
2
s3 = 1 + 12 + 1
4 ⇔ s3 = 74
s4 = 1 + 12 + 1
4 + 18 ⇔ s4 = 15
8
s5 = 1 + 1
2 + 1
4 + 1
8 + 1
16 ⇔ s5 = 31
16...
sn = 1 + 12 + 1
4 + 18 + 1
16 + . . . + 12n − 1
Essa sequencia de somas parciais {sn }e a serie innita denotado por
+ ∞
n =1
12n−1 = 1 +
12
+ 14
+ 18
+ 116
+ . . . + 12n−1 . . .
Observe que essa e a soma innita 1.4 obtida no come¸ co desta se cao, na discuss ao sobre o
corte de um o de 2 m de comprimento. Ela e exemplo de uma serie geometrica a ser estudada
posteriormente.
Quando {sn }e uma sequencia de somas parciais,
sn−1 = u1 + u2 + u3 + . . . + un−1.
Assim,
sn = sn−1 + un .
Usaremos essas f ormula no exemplo a seguir.
Exemplo 1.12 - Dada a serie innita
+ ∞
n =1un =
+ ∞
n =1
1n(n + 1)
.
(a) Determine os quatro primeiros elementos da sequencia de somas parciais {sn}.
(b) Determine a f´ormula para sn em termos de n .
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Solu¸cao:
O metodo de resolu¸ cao do exemplo acima aplica-se somente a casos particulares. Em geral,
nao e possıvel obter tal express˜ ao para sn .
Deni¸ cao 1.7 - Seja+ ∞
n =1un uma dada serie innita, e seja {sn }a sequencia das somas parciais
que denem a serie. Ent˜ ao, se limn→+ ∞sn existir e for igual a S , dizemos que a serie dada ser´a
convergente , sendo S a soma da serie innita dada. Se limn→+ ∞
sn nao existir, a serie ser´a
divergente e nao ter a soma.
Essencialmente a deni¸cao acima estabelece que uma serie innita ser´ a convergente se e
somente se a sequencia de somas parciais correspondentes for convergente.
Se uma serie innita tiver uma soma S , dizemos tambem que a serie converge para S .
Ilustra¸ cao 1.6 - A serie innita da Ilustra¸ cao 1.5 e
+ ∞
n =1
12n−1 = 1 +
12
+ 14
+ 18
+ 116
+ . . . + 12n−1 . . . (1.5)
e a sequencia das somas parciais e {sn } onde
sn = 1 + 12
+ 14
+ 18
+ 116
+ . . . + 12n−1 (1.6)
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Para determinar se a serie innita 1.5 tem uma soma, precisamos calcular limn→+ ∞
sn . Em primeiro
lugar, encontremos uma f´ ormula para sn . Da Algebra, temos que
an −bn = ( a −b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + . . . + abn−2 + bn−1)
Aplicando essa f ormula com a = 1 e b = 12 obtemos
1 − 12n = 1 −
12
1 + 12
+ 122 +
123 + . . . +
12n−1
ou seja,
1 + 12
+ 14
+ 18
+ . . . + 12n−1 =
1− 12n
12
Comparando essa equa¸cao com (1.6), temos
sn = 2 1
− 1
2n
Como limn→+ ∞
12n = 0 obtemos
limn→+ ∞
sn = 2
Assim sendo, a serie innita (1.5) tem por soma 2.
Exemplo 1.13 - Determine se a serie innita do Exemplo 1.12 e convergente.
Solu¸cao:
17
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Exemplo 1.14 - Determine a serie innita que tem a seguinte sequencia de somas parciais:
sn = 12n .
Tambem determine se a serie innita e convergente ou divergente; se for convergente obtenha a
soma.
Solu¸cao:
Como ja mencionamos acima, na maioria dos casos n˜ ao e possıvel obtermos uma express˜ ao
para sn em termos de n; sendo assim, precisamos de outros meios para determinar se uma dada
serie innita tem uma soma, isto e, se uma dada serie e convergente ou divergente.
Teorema 1.4 - Se a serie innita+ ∞
n =1un for convergente, ent˜ao lim
n→+ ∞un = 0.
Demonstra¸ cao:
18
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O Teorema 1.4 fornece um teste simples para a divergencia, pois se limn→+ ∞
un = 0, ent˜ao
podemos concluir que+ ∞
n =1un e divergente.
Exemplo 1.15 - Prove que as duas series seguintes s˜ ao divergente:
(a)+ ∞
n =1
n2 + 1n2
(b)+ ∞
n =1(−1)n +1 3
Solu¸cao:
O inverso do Teorema 1.4 e falso. Isto e, se limn→+ ∞
un = 0, ent ao nao e necessariamente
verdadeiro que a serie seja convergente. Em outras palavras, e possıvel ter uma serie divergente
para a qual limn→+ ∞
un = 0. Um exemplo disso e a chamada serie harmˆ onica , que e dada por
+ ∞
n =1
1n
= 1 + 12
+ 13
+ . . . (1.7)
Obviamente, limn→+ ∞
1n
= 0. Mas provaremos a seguir que a serie harmˆ onica diverge.
Exemplo 1.16 - Mostre que a serie harmˆ onica
+ ∞
n =1
1n
= 1 + 12
+ 13
+ . . .
e divergente.
Solu¸cao: Observe que
19
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s1 = 1
s2 = 1 + 12
s4 = 1 + 12
+13
+ 14
> 1 + 12
+14
+ 14
= 1 + 22
s8 = 1 + 12
+13
+ 14
+15
+ 16
+ 17
+ 18
> 1 + 12 + 14 + 14 + 18 + 18 + 18 + 18
= 1 + 12
+ 12
+ 12
= 1 + 32
s16 = 1 + 12
+13
+ 14
+15
+ . . . + 18
+19
+ . . . + 116
> 1 + 12
+14
+ 14
+18
+ . . . + 18
+ 116
+ . . . + 116
= 1 + 12
+ 12
+ 12
+ 12
+ = 1 + 42
Similarmente, s32 > 1 + 52
, s64 > 162
, e em geral,
s2n > 1 + n2
.
Isto mostra que s2n −→ ∞ quando n −→ ∞ e assim {sn } e divergente. Portanto a serie
harm onica diverge.
Uma serie geometrica e da forma+ ∞
n =1ar n−1 = a + ar + ar 2 + . . . + ar n−1 + . . .
A serie innita (1.5), discutida nas Ilustra¸ coes 1.6 e 1.7, e uma serie geometrica com a = 1
e r = 12
. A soma parcial da serie geometrica acima e dada por
sn = a(1 + r + r2 + . . . + r n−1) (1.8)
20
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Da identidade
1 −r n = (1 −r )(1 + r + r2 + . . . + r n−1)
podemos escrever (1.8) como
sn
a(1
−r n )
1 −r , se r = 1 (1.9)
Teorema 1.5 - A serie geometrica converge para a soma a1 −r
se |r | < 1 e a serie geometrica
diverge se |r | ≥1.
Demonstra¸ cao: Sabemos que limn→+ ∞
r n = 0 se |r | < 1. Logo de (1.9), podemos concluir que se
|r | < 1,
limn→+ ∞
sn = a1 −r
Assim sendo, se —r—¡1, a serie geometrica converge e sua soma e a1−r .
Se r = 1, sn = na . Ent ao, limn→+ ∞ sn = + ∞, se a > 0 e limn→+ ∞ sn = −∞, se a < 0.Se r = −1, ent ao a serie geometrica torna-se
a −a + a −a + . . . + ( −1)n−1a + . . .
Assim, sn = 0, se n for par e sn = a, se n for ımpar. Logo, limn→+ ∞
sn nao existe. Ent ao, a serie
geometrica diverge se |r | = 1.
Se |r | > 1, limn→+ ∞
ar n−1 = a limn→+ ∞
r n−1 = 0 pois |r n−1| pode se tornar t˜ao grande quanto
desejarmos, tomando n sucientemente grande. Logo, pelo Teorema 1.4, a serie e divergente.
Isso completa a demonstra¸ cao.
O teorema acima pode ser usado para expressar uma dızima peri´ odica como uma fra cao
comum. Veja no exemplo seguinte.
Exemplo 1.17 - Expresse a dızima peri´ odica 0, 3333 . . . como uma fra cao comum.
Solu¸cao:
21
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1.3.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 1.7 - Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequencia de so-
mas parciais {sn }, e obtenha uma f´ormula pra sn em termos de n. Determine tambem se a serie
innita e convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
(a)+ ∞
n =1
1(2n −1)(2n + 1)
(b)+ ∞
n =1
5(3n + 1)(3 n −2)
(c)+ ∞
n =1ln
nn + 1
(d)+ ∞
n =1
25n−1
Exercıcio 1.8 -Nos itens abaixo, encontre a serie innita que produz a sequencia de somas par-
ciais dada. Determine tambem se a serie innita e convergente ou divergente; se for convergente,
encontre a sua soma.
(a) {sn}= 2n
3n + 1 (b) {sn}=
13n (c) {sn}= {ln(2n + 1) }
Exercıcio 1.9 - Nos itens abaixo, escreva os quatro primeiros termos da serie innita dada e
determine se ela e convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
(a)+ ∞
n =1
2n + 13n + 2
(b)+ ∞
n =1
23
n
(c)+ ∞
n =1ln
1n
(d)+ ∞
n =1(−1)n +1 3
2n (e)+ ∞
n =1cos(πn ) (f )
+ ∞
n =1e−n
Exercıcio 1.10 - Nos itens abaixo, expresse a dızima peri´ odica decimal como uma fra¸cao or-
din aria.
(a) 0, 272727 . . . (b) 2, 0454545 . . . (c) 1, 234234234 . . . (d) 0, 465346534653. . .
22
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Exercıcio 1.11 - A trajet´oria de cada oscilac˜ao de um pendulo e 0,93 do comprimento da
trajet´oria da oscila cao anterior (de um lado ate o outro). Se a trajet´ oria da primeira oscila¸cao
mede 56 cm de comprimento e se a resistencia do ar leva o pendulo ao repouso, quanto mede o
caminho percorrido pelo pendulo ate que ele pare?
Exercıcio 1.12 - Qual a dist ancia total percorrida por uma bola de tenis ate o repouso, se ela
cai de uma altura de 100 m e se ap´os cada queda ela rebate no ch˜ ao e volta a uma distˆancia de
11/20 da altura anterior?
Exercıcio 1.13 - Ap os tirar os pes dos pedais, a roda da frente de uma bicicleta gira 200 vezes
durante os 10 primeiros segundos e em cada um dos 10 segundos seguintes ela gira 4/5 do que
girou no perıodo anterior. Determine o n´ umero de voltas da roda ate que a bicicleta pare.
1.4 Quatro Teoremas sobre Series Innitas
O primeiro teorema dessa se¸ cao estabelece que o car´ater convergente ou divergente de uma serie
innita n ao e afetado quando se muda um n´ umero nito de termos.
Teorema 1.6 - Se + ∞
n =1an e
+ ∞
n =1bn s˜ ao duas series innitas que diferem somente pelo seus m
primeiros termos (isto e, ak = bk , se k > m ), ent˜ ao ambas convergem ou ambas divergem.
Exemplo 1.18 - Determine se a serie innita+ ∞
n =1
1n + 4
e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
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Exemplo 1.19 - Determine se a seguinte serie e convergente ou divergente:
+ ∞
n =1
cos 3πn + 23n
(Aqui o sımbolo [ .] esta representando a fun¸ cao maior inteiro.)Solu¸cao:
Como consequencia do Teorema 1.6, para uma dada serie innita, podemos adicionar ou
subtrair um n´umero nito de termos, sem afetar seu car´ ater convergente ou divergente. Por
exemplo, no Exemplo 1.18, a serie dada pode ser considerada como a serie harmˆ onica da qual
foram subtraıdos os quatro primeiros termos. Como a serie harmˆ onica e divergente, a serie dada
tambem ser´ a divergente. No Exemplo 1.19 poderıamos considerar a serie geometrica convergente
236 +
237 +
236 + . . . (1.10)
e obter a serie dada somando cinco termos. Como uma converge a outra tambem e convergente.
O teorema seguinte estabelece que se uma serie innita for multiplicada termo a termo por
uma constante n˜ ao-nula, seu car´ater convergente ou divergente n˜ ao sera afetado.
Teorema 1.7 - Seja k uma constante n˜ ao-nula.
(i) Se a serie + ∞
n =1un for convergente e sua soma for S , ent˜ ao a serie
+ ∞
n =1ku n tambem ser´ a
convergente e sua soma ser´ a k S .
(ii) Se a serie + ∞
n =1un for divergente, ent˜ ao a serie
+ ∞
n =1ku n tambem ser a divergente.
Exemplo 1.20 - Determine se a serie+ ∞
n =1
14n
e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
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Teorema 1.8 - Se+ ∞
n =1an e
+ ∞
n =1bn sao series innitas convergentes com somas S e R, respecti-
vamente, ent˜ao
(i)+ ∞
n =1(an + bn ) e uma serie convergente e sua soma e S + R.
(ii)+ ∞
n =1(an −bn ) e uma serie convergente e sua soma e S −R.
Teorema 1.9 - Se a serie + ∞
n =1an for convergente e a serie
+ ∞
n =1bn for divergente, ent˜ ao a serie
+ ∞
n =1(an + bn ) ser´ a divergente.
Determine se a serie innita abaixo e convergente ou divergente.+ ∞
n =1
14n
+ 14n
Solu¸cao:
Se ambas as series+ ∞
n =1an e
+ ∞
n =1bn forem divergentes, a serie
+ ∞
n =1(an + bn ) podera ou n ao ser
convergente. Por exemplo, se an = 1n
e bn = 1n
, ent ao an + bn = 2n
e+ ∞
n =1
2n
sera divergente.
Mas, se se an = 1
n e bn =
−1
n, ent ao an + bn = 0 e
+ ∞
n =10 sera convergente.
1.4.1 Lista de Exercıcios
Exemplo 1.21 Exercıcio 1.14 - Nos itens a seguir, determine se a serie e convergente ou di-
vergente. Se for convergente, ache a sua soma.
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(a)+ ∞
n =1
1n + 2
(b)+ ∞
n =1
32n
(c)+ ∞
n =1
32n (d)
+ ∞
n =1
43
57
n
(e)+ ∞
n =1
1
2n +
1
2n (f )
+ ∞
n =1
1
2n +
1
3n (g)
+ ∞
n =1e−n + en (h)
+ ∞
n =1
1
2n − 1
3n
Exercıcio 1.15 - De um exemplo para mostrar que mesmo sendo+ ∞
n =1an e
+ ∞
n =1bn divergentes,
e possıvel que+ ∞
n =1an bn seja convergente.
1.5 Series Innitas de Termos Positivos
Se todos os termos de uma serie innita forem positivos, a sequencia das somas parciais ser´ a
crescente. Assim sendo, segue o teorema a seguir.
Teorema 1.10 - Uma serie innita de termos positivos ser´ a convergente se e somente se sua
sequencia de somas parciais for limitada superiormente.
Exemplo 1.22 - Prove que a serie+ ∞
n =1
1n!
e convergente.
Solu¸cao:
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No exemplo acima, os termos da serie dada foram comparados com os de uma serie que
sabemos ser convergente. Esse e um caso particular do teorema a seguir, conhecido como o teste
da compara¸c˜ ao.
Teorema 1.11 - Seja+
∞n =1
un uma serie de termos positivos.
(i) Se+ ∞
n =1vn for uma serie de termos positivos que sabemos ser convergente e se un ≤vn para
todo n inteiro positivo, ent˜ao+ ∞
n =1un sera convergente.
(ii) Se+ ∞
n =1wn for uma serie de termos positivos que sabemos ser divergente e se un ≥wn para
todo n inteiro positivo, ent˜ao+
∞n =1
un sera divergente.
Exemplo 1.23 - Determine se a serie innita+ ∞
n =1
43n + 1
e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
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Exemplo 1.24 - Determine se a serie innita+ ∞
n =1
1√ n e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
O teorema a seguir, conhecido como teste da compara¸c˜ ao com limite , e consequencia do
teorema anterior, e sua aplica¸ cao e, em muitos casos, mais f´acil.
Teorema 1.12 - Sejam+ ∞n =1
un e+ ∞n =1
vn duas series de termos positivos.
(i) Se limn→+ ∞
un
vn= c > 0, ent ao ambas as series convergem, ou ambas as series divergem.
(ii) Se limn→+ ∞
un
vn= 0 , e se
+ ∞
n =1vn converge, ent ao
+ ∞
n =1un converge.
(iii) Se limn→+ ∞
un
vn= + ∞, e se
+ ∞
n =1vn diverge, ent ao
+ ∞
n =1un diverge.
Exemplo 1.25 - Resolva o Exemplo 1.23, usando o teste da compara¸ cao com limite.
Solu¸cao:
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Exemplo 1.26 - Resolva o Exemplo 1.24, usando o teste da compara¸ cao com limite.
Solu¸cao:
Exemplo 1.27 - Determine se a serie+ ∞
n =1
n3
n! e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
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Teorema 1.13 - Se+ ∞
n =1un for uma serie convergente de termos positivos, seus termos poder˜ ao
ser agrupados de qualquer maneira, e a serie resultante continuar´ a convergente e com a mesma
soma que a serie original.
Uma serie frequentemente usada no teste da compara¸ cao e aquela conhecida como serie p
ou serie hiper-harmˆ onica . Ela e
11 p +
12 p +
13 p . . . +
1n p . . . onde p e uma constante. (1.11)
Na ilustra¸cao a seguir vamos mostrar que a serie hiper-harmˆ onica diverge se p ≤1 e converge
se p > 1.
Ilustra¸ cao 1.7 - Se p = 1, a serie p e a serie harmˆonica que sabemos e divergente. Se p < 1,ent ao n p < n e assim
1n p ≥
1n
para todo n inteiro positivo.
Logo, pelo item (ii) do Teorema 1.11, a serie hiper-harmˆ onica e divergente se p < 1.
Se p > 1, vamos agrupar os termos da seguinte forma:
11 p +
12 p +
13 p +
14 p +
15 p +
16 p +
17 p +
18 p +
19 p + . . . +
115 p + . . . (1.12)
Consideremos a serie
11 p +
22 p +
44 p +
88 p + . . . +
2n−1
(2n−1) p + . . . (1.13)
Trata-se de uma serie geometrica cuja raz˜ ao e 22 p =
12 p−1 , que e um n umero positivo menor
do que 1. Assim sendo, a serie (1.13) e convergente. Vamos reescrever os termos da serie (1.13)
para obter
11 p +
12 p +
12 p +
14 p +
14 p +
14 p +
14 p +
18 p +
18 p + . . . +
18 p + . . . (1.14)
Comparando as series (1.12) e (1.14) vemos que o grupo de termos em cada conjunto entre
parenteses, ap´ os o primeiro grupo, tem soma menor em (1.12) do que em (1.14). Logo, pelo
teste de compara¸cao, a serie (1.12) e convergente. Como (1.12) e um mero reagrupamento da
serie p quando p > 1, segue, do Teorema 1.13, que a serie p e convergente, se p > 1.
Observe que a serie do Exemplo 1.24 e uma serie hiper-harmˆ onica com p = 12
< 1 e, portanto,
e divergente.
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Exemplo 1.28 - Determine se a serie innita e convergente ou divergente.
+ ∞
n =1
1(n2 + 2) 1/ 3
1.5.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 1.16 - Nos itens abaixo, determine se a serie dada e convergente ou divergente.
(a)+ ∞
n =1
1n2n (b)
+ ∞
n =1
3n + 12n2 + 5
(c)+ ∞
n =1
cos2 n3n (d)
+ ∞
n =1
1√ n2 + 4 n
(e)+ ∞
n =1
n!(n + 2)!
(f )+ ∞
n =1
n5n2 + 3
(g)+ ∞
n =1
n!(2n)!
(h)+ ∞
n =1
1n√ n2 −1
(i)+ ∞
n =1
32n −√ n (j)
+ ∞
n =1
ln nn2 + 2
(k)+ ∞
n =1
(n + 1) 2
(n + 2)!
1.6 O Teste da Integral
O teorema conhecido como o teste da integral faz uso da teoria das integrais impr´ oprias para
testar a convergencia de uma serie de termos positivos.
Teorema 1.14 - O Teste da Integral Seja f uma fun cao contınua, decrescente e com valores
positivos para todo x ≤1 e suponha que f (n) = an . Ent ao, a serie innita
+ ∞
n =1an = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
sera convergente se a integral impr´ opria
+ ∞1 f (x)dx
existir e ser a divergente se
limb→+ ∞
b
1f (x)dx = + ∞.
31
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Figura 1.8:
Exemplo 1.29 - Use o teste da integral para mostrar que a serie hiper-harmˆ onica diverge se
p ≤1 e converge se p > 1.
Solu¸cao:
Exemplo 1.30 - Determine se a serie+ ∞
n =1ne−n e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
32
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Se para uma serie innita o ındice do somat´ orio comeca com n = k em vez de n = 1, a
integral impr´opria do teste da integral tambem deve ser calculada no intervalo [ k, + ∞) ou inves
de [1, + ∞).
Exemplo 1.31 - Determine se a serie+
∞n =1
1n√ ln n
e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
1.6.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 1.17 - Nos itens abaixo, use o teste da integral para determinar se a serie dada e
convergente ou divergente.
(a)+ ∞
n =1
12n + 1
(b)+ ∞
n =1
1(n + 2) 3/ 2 (c)
+ ∞
n =1
4n2 −4
(d)+ ∞
n =1e−5n
Exercıcio 1.18 - Nos itens abaixo, determine se a serie dada e convergente ou divergente.
(a)+ ∞
n =1
ln nn
(b)+ ∞
n =1
1n ln n
(c)+ ∞
n =1
ln nn3 (d)
+ ∞
n =1n2e−n (e)
+ ∞
n =1
e1/n
n2
33
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Exercıcio 1.19 - Prove que a serie+ ∞
n =1
1n(ln n) p
e convergente se e somente se p > 1.
1.7 Series Alternadas
Nesta se cao e na seguinte consideraremos series innitas constando tanto de termos negativos
como positivos. Discutiremos primeiramente um tipo de serie cujos termos s˜ ao alternadamente
positivos e negativos - as chamadas series alternadas .
Deni¸ cao 1.8 - Se an > 0 para todo n inteiro positivo, ent˜ao a serie
+ ∞
n =1(−1)n +1 an = a1 −a2 + a3 −a4 + . . . + ( −1)n +1 an + . . . (1.15)
e a serie + ∞
n =1(−1)n an = −a1 + a2 −a3 + a4 −. . . + ( −1)n an + . . . (1.16)
sao chamadas de series alternadas .
Ilustra¸ cao 1.8 - Um exemplo de serie alternada do tipo (1.15), onde o primeiro termo e
positivo, e+ ∞
n =1(−1)n +1 1
n = 1 −
12
+ 13 −
14
+ . . . + ( −1)n +1 1n
+ . . .
Uma serie alternada do tipo (1.16), onde o primeiro termo e negativo, e+ ∞
n =1(−1)n 1
n! = −1 +
12! −
13!
+ 14! −. . . + ( −1)n 1
n! + . . .
O teorema a seguir fornece um teste de convergencia para uma serie alternada. Ele e chamado
de teste de series alternadas; tambem e conhecido como teste de Leibniz, pois foi formulado por
ele em 1705.
Teorema 1.15 - (Teste de Leibniz) Considere a serie alternada+ ∞
n =1
(
−1)n +1 an (ou a do outro
tipo), onde an > 0 e an +1 < a n para todo n inteiro positivo. Se limn→+ ∞
an = 0, a serie alternada
converge.
Exemplo 1.32 - Prove que a serie alternada+ ∞
n =1(−1)n +1 1
n e convergente.
Solu¸cao:
34
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Exemplo 1.33 - Determine se a serie+ ∞
n =1(−1)n n + 2
n(n + 1) e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
Deni¸ cao 1.9 - Se uma serie innita for convergente e sua soma for S , ent ao o resto obtido
quando aproximamos a soma da serie pela k-esima soma parcial sk sera denotado por Rk e
Rk = S −sk
Teorema 1.16 - Considere a serie alternada + ∞
n =1(−1)n +1 an (ou a outra forma), onde an > 0
e an +1 < a n para todo n inteiro positivo, e limn→+ ∞
an = 0 . Se Rk for o resto obtido quando
aproximamos a soma da serie pela soma dos k primeiros termos ent˜ ao |Rk| < a k+1 .
Exemplo 1.34 - Uma serie para calcular ln(1 + x) se x esta no intervalo aberto ( −1, 1) e
ln(1 + x) =+ ∞n =1
(−1)n +1 xn
n
Ache um limitante superior para o erro cometido quando aproximamos o valor de ln 1 , 1 pela
soma dos tres primeiros termos da serie.
Solu¸cao:
35
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1.7.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 1.20 - Nos itens abaixo, determine se a serie dada e convergente ou divergente.
(a)
+ ∞
n =1 (−1)n +1 1
2n (b)
+ ∞
n =1 (−1)n 3
n2 + 1 (c)
+ ∞
n =1 (−1)n 1
ln n (d)
+ ∞
n =1 (−1)n +1 n2
n3 + 2
(e)+ ∞
n =1(−1)n +1 ln n
n2 (f )+ ∞
n =1(−1)n 3n
n2 (g)+ ∞
n =1(−1)n n
2n
Exercıcio 1.21 - Nos itens abaixo, ache um limitante superior para o erro, quando aproxima-
mos a soma da serie innita dada pela soma dos quatro primeiros termos.
(a)+
∞n =1
(−1)n +1 1n
(b)+
∞n =1
(−1)n +1 1(2n −1)2
(c)+ ∞
n =1(−1)n 1
n2 (d)+ ∞
n =1(−1)n +1 1
(n + 1) ln( n + 1)
Exercıcio 1.22 - Nos itens abaixo, obtenha a soma da serie innita dada, com precis˜ ao de
tres casas decimais.
(a)+ ∞
n =1(−1)n +1 1
2n (b)+ ∞
n =1(−1)n +1 1
n!
(c)+ ∞
n =1(−1)n +1 1
(2n)3 (d)+ ∞
n =1(−1)n +1 1
n2n
1.8 Convergencia Absoluta e Condicional; O Teste da Razao e
o Teste da Raiz
Se todos os termos de uma dada serie innita forem substituıdos pelos seus valores absolutos e
a serie resultante for convergente, ent˜ ao dizemos que a serie dada e absolutamente convergente.
36
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Deni¸ cao 1.10 - Dizemos que a serie innita + ∞
n =1un e absolutamente convergente se a
serie + ∞
n =1|un | for convergente.
Ilustra¸ cao 1.9 - Considere a serie
+ ∞
n =1(−1)n +1 2
3n = 23 −
232 +
233 −
234 + . . . + ( −1)n +1 2
3n + . . . (1.17)
Essa serie ser´a absolutamente convergente se a serie
+ ∞
n =1
23n =
23
+ 232 +
233 +
234 + . . . +
23n + . . .
for convergente. Como se trata de uma serie geometrica de raz˜ ao r = 1
3 < 1, ela e convergente.
Logo, a serie (1.17) e absolutamente convergente.
Ilustra¸ cao 1.10 - Uma serie convergente que n˜ ao e absolutamente convergente e, por exemplo,
+ ∞
n =1(−1)n +1 1
n
J a mostramos que essa serie e convergente porem n˜ ao e absolutamente convergente pois a
serie dos valores absolutos e a serie harmˆ onica, que e divergente.
A serie da Ilustra¸ cao (1.10) e exemplo de uma serie condicionalmente convergente .
Deni¸ cao 1.11 - Uma serie que e convergente, mas n˜ ao e absolutamente convergente, e deno-
minada condicionalmente convergente .
Ent ao, e possıvel que uma serie seja convergente, mas n˜ ao absolutamente convergente. Por
outro lado, se uma serie for absolutamente convergente, ela dever´ a ser convergente.
Teorema 1.17 - Se a serie innita+ ∞
n =1un for absolutamente convergente, ela ser´ a convergente
e + ∞
n =1un ≤
+ ∞
n =1|un |
Exercıcio 1.23 - Determine se a serie+ ∞
n =1
cos nπ3
n2 e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
37
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O teste da raz˜ ao, dado no pr oximo teorema, e usado frequentemente para determinar se uma
dada serie e absolutamente convergente.
Teorema 1.18 - (O Teste da Raz˜ ao) Seja+ ∞
n =1un uma serie innita dada para a qual todo un
e n ao-nulo. Ent˜ao,
(i) se limn→+ ∞
un +1
un= L < 1, a serie dada e absolutamente convergente.
(ii) se limn→+ ∞
un +1
un= L > 1, ou se lim
n→+ ∞un +1
un= + ∞ a serie dada e divergente.
(iii) se limn→+ ∞
un +1
un= 1, nenhuma conclus˜ ao quanto a convergencia pode ser tirada do teste.
Exemplo 1.35 - Determine se a serie+ ∞
n =1(
−1)n +1 n
2n e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
Exemplo 1.36 - Provamos anteriormente que a serie
+ ∞
n =1(−1)n n + 2
n(n + 1)
e convergente. Essa serie e absolutamente convergente ou condicionalmente convergente?
Solu¸cao:
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Teorema 1.19 - (O Teste da Raiz) Seja+ ∞
n =1un uma serie innita dada para a qual todo un e
nao-nulo. Ent˜ao,
(i) se limn→+ ∞
n
|un
|= L < 1, a serie dada e absolutamente convergente.
(ii) se limn→+ ∞
n
|un | = L > 1, ou se limn→+ ∞
n
|un | = + ∞ a serie dada e divergente.
(iii) se limn→+ ∞
n
|un | = 1, nenhuma conclus˜ ao quanto a convergencia pode ser tirada do teste.
Exemplo 1.37 - Use o teste da raiz para determinar se a serie+ ∞
n =1(−1)n 32n +1
n2n e convergente
ou divergente.
Solu¸cao:
Os testes da raz˜ao e da raiz est ao intimamente relacionados; contudo, o primeiro e, em geral,
mais facil de ser aplicado. Se os termos da serie contiverem fatoriais, ent˜ ao certamente ser´a esseo caso. Por outro lado, se os termos contiverem potencias de n, como no exemplo acima, poder´a
ser mais vantajoso o uso do teste da raiz.
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Exemplo 1.38 - Determine se a serie+ ∞
n =1
1[ln(n + 1)]n e convergente ou divergente.
Solu¸cao:
1.8.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 1.24 - Nos itens abaixo, determine se a serie dada e convergente ou divergente.
(a)+ ∞
n =1−
23
n
(b)+ ∞
n =1(−1)n +1 2n
n! (c)
+ ∞
n =1
n2
n! (d)
+ ∞
n =1(−1)n n!
2n +1
(e)+ ∞
n =1
1 −2sen nn3 (f )
+ ∞
n =1(−1)n +1 3n
n! (g)
+ ∞
n =1(−1)n +1 sen πn
n (h)
+ ∞
n =1
1(ln n)n
Exercıcio 1.25 - Se |r | < 1, prove que a serie
+ ∞
n =1r n sen nt e absolutamente convergente para
todos os valores de t .
Exercıcio 1.26 - Dada a serie+ ∞
n =1
12n +1+( −1) n . (a) Mostre que o teste da raz˜ao falha para essa
serie. (b) Use o teste da raiz para determinar se a serie e convergente ou divergente.
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Capıtulo 2
Series de Potencias
As series innitas do capıtulo anterior envolvem termos constantes. Discutiremos agora um tipo
importante de series de termos vari´ aveis chamados series de potencias, que podem ser conside-
radas como uma generaliza¸ cao da fun cao polinomial. Voce aprender´ a, neste capıtulo, como usar
series de potencias para calcular valores de fun¸ coes como senx, e x , ln x e √ x, os quais n ao po-
dem ser calculados pelas opera¸coes da Aritmetica, usadas para determinar os valores de fun¸ coes
racionais. Voce poder´ a aplicar a teoria de series de potencias para encontrar aproxima¸ coes de
numeros irracionais tais como √ 2,π,e, ln5 e sen0, 3. Outra aplicac˜ ao e feita para aproximar
as integrais indenidas para as quais o integrando n˜ ao tem antiderivada que possa ser expressa
em termos de fun coes elementares. Por exemplo, voce aprender´ a a usar series de potencias paracalcular valores de integrais tais como
1/ 2
0e−t 2
dt, 1
0cos√ xdx e . . .
0,10 ln(1 + sen x)dx para
qualquer precis˜ao exigida. Alem disso, solu¸coes de equa coes diferenciais podem ser expressas
como series de potencias.
Deni¸ cao 2.1 - Uma serie de potencia em x −a e uma serie da forma
c0 + c1(x −a) + c2(x −a)2 + c3(x −a)3 + . . . + cn (x −a)n . . . (2.1)
Usaremos a nota¸cao+ ∞
n =0
cn (x −a)n para representar a serie (2.1). (Observe que considera-
remos (x −a)0 = 1 mesmo quando x = a, por conveniencia, ao escrever o termo geral. Se x
for um determinado n´umero, a serie de potencias (2.1) tornar-se-´ a uma serie innita de termos
constantes. Um caso especial de (2.1) ocorre quando a = 0, e a serie torna-se uma serie de
potencias em x, que e+ ∞
n =1cn xn = c0 + c1x + c2x2 + . . . + cn xn + . . . (2.2)
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Alem das series de potencias em x −a e x, existem series de potencias da forma
+ ∞
n =0cn [φ(x)]n = c0 + c1φ(x) + c2[φ(x)]2 + . . . + cn [φ(x)]n + . . .
onde φ e uma fun cao de x. Tais series s ao chamadas de series de potencias em φ(x). Aquitrataremos exclusivamente de series de potencias da forma (2.1) ou (2.2) e, quando usarmos o
termo “series de potencias”, estaremos nos referindo a uma dessas duas formas. Restringiremos
a nossa discuss ao as series de potencias da forma (2.2). A forma mais geral (2.1) pode ser obtida
de (2.2) atraves da transla¸ cao x = x −a; assim sendo, nossos resultados aplicam-se igualmente
as series da forma (2.1).
Ao tratarmos de series innitas de termos constantes, est´ avamos interessados em quest˜ oes
de convergencia ou divergencia da serie. Ao considerarmos series de potencias, perguntamos:
para que valores de x a serie converge? Para cada valor de x para o qual a serie converge,
ela representa um n´umero que e a sua soma. Assim sendo, uma serie de potencias dene uma
funcao. A fun cao f , com valores funcionais
f (x) =+ ∞
n =0cn xn
tem como domınio todos os valores de x para os quais a serie de potencias converge. E claro
que toda serie de potencias (2.2) e convergente para x = 0. Existem algumas series que s˜ ao
convergentes somente para esse valor de x, enquanto h´a tambem series que convergem para todo
valor de x.
Os tres exemplos a seguir ilustram como o teste da raz˜ ao pode ser usado para determinar
os valores de x para os quais uma serie de potencias e convergente. Quando n! for usado na
representac˜ ao do n-esimo termo de uma serie de potencias, convem lembrar que 0! = 1, de tal
forma que a representa¸ cao do n-esimo termo ser´a valida tambem quando n = 0.
Exemplo 2.1 - Ache os valores de x para os quais a serie de potencias
+ ∞
n =1(−1)n +1 2n xn
n3n
e convergente.
Solu¸cao:
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Exemplo 2.2 - Ache os valores de x para os quais a serie de potencias
+ ∞
n =0
xn
n!
e convergente.Solu¸cao:
Exemplo 2.3 - Ache os valores de x para os quais a serie de potencias
+ ∞
n =0n!xn
e convergente.
Solu¸cao:
43
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No pr oximo exemplo, o teste da raiz ser´a usado para determinar quando uma serie de
potencias e convergente.
Exemplo 2.4 - Ache os valores de x para os quais a serie de potencias
+ ∞n =1
n3xn
e convergente.
Solu¸cao:
Teorema 2.1 - Seja+ ∞
n =0cn xn uma dada serie de potencias. Ent˜ ao uma, e somente uma das
seguintes arma¸coes e verdadeira:
(i) a serie converge somente para x = 0;
(ii) a serie e absolutamente convergente para todos os valores de x;
(iii) existe um n umero R > 0 tal que a serie e absolutamente convergente para todos os valores
de x para os quais |x| < R e e divergente para todos os valores de x para os quais |x| > R .
Se, em vez da serie de potencias+ ∞
n =0cn xn , tivermos a serie
+ ∞
n =0cn (x−a)n , ent ao nas arma coes
(i) e (iii) do Teorema (2.1), x sera substituıdo por x −a. As arma coes alteram-se para:
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(i) a serie converge somente para x = a;
(iii) existe um n umero R > 0 tal que a serie e absolutamente convergente para todos os valores
de x para os quais |x −a| < R e e divergente para todos os valores de x para os quais
|x −a| > R .
Ao conjunto de todos os valores de x para os quais uma dada serie de potencias e convergente,
chamamos intervalo de convergencia da serie de potencias. O n´ umero R da arma cao (iii)
do Teorema 2.1 e denominado raio de convergencia da serie de potencias. Se a arma¸ cao (ii)
for verdadeira, ent˜ ao R = + ∞.
Ilustra¸ cao 2.1 - Para a serie de potencias do Exemplo 2.1, R = 32
e o intervalo de convergencia
e
−3
2, 3
2. No Exemplo 2.2, R = +
∞, e o intervalo de convergencia e escrito como (
−∞, +
∞).
Se R for o raio de convergencia da serie+ ∞
n =0cn xn , o intervalo de convergencia ser´ a um dos
seguintes: ( −R, R ), [−R, R ], (−R, R ] ou [−R, R ). No caso mais geral da serie de potencias+ ∞
n =0cn (x −a)n , o intervalo de convergencia ser´ a
(a −R, a + R), [a −R, a + R], (a −R, a + R], [a −R, a + R).
Uma dada serie de potencias dene uma fun¸ cao cujo domınio e o intervalo de convergencia.
O metodo mais vantajoso para determinar o intervalo de convergencia de que dispomos e o testeda raz ao. No entanto, tal teste nada revela sobre o que acontece nos pontos extremos do intervalo
de convergencia, quanto a convergencia ou divergencia da serie de potencias. Nas extremidades
do intervalo de convergencia a serie de potencias pode ser absolutamente convergente, condicio-
nalmente convergente, ou ainda divergente. Se uma serie de potencias convergir absolutamente
numa extremidade, segue da deni¸ cao de convergencia absoluta que a serie ser´ a absolutamente
convergente nas extremidades. Se uma serie de potencias convergir numa extremidade e divergir
na outra, a serie ser´ a condicionalmente convergente no extremo no qual convergir. H´ a casos
em que a convergencia ou divergencia de uma serie de potencias nos extremos n˜ ao pode ser
determinada por metodos do C´ alculo Elementar.
Exemplo 2.5 - Determine o intervalo de convergencia da serie de potencias
+ ∞
n =1n(x −2)n
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Solu¸cao:
Exemplo 2.6 - Determine o intervalo de convergencia da serie de potencias
+ ∞
n =1
xn
2 + n2
Solu¸cao:
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2.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 2.1 - Nos itens abaixo, determine o intervalo de convergencia da serie de potencia
dada.
(a)+ ∞
n =0
xn
n + 1 (b)
+ ∞
n =0
xn
n2 −3 (c)
+ ∞
n =1
2n xn
n2 (d)+ ∞
n =1
nx n
3n
(e)+ ∞
n =1(−1)n +1 x2n−1
(2n −1)! (f )
+ ∞
n =0
(x + 3) n
2n (g)+ ∞
n =1(−1)n xn
(2n −1)32n−1 (h)+ ∞
n =1(−1)n +1 (x
(i)+ ∞
n =2(−1)n +1 xn
n(ln n)2 (j)+ ∞
n =1
n2
5n (x −1)n (k)+ ∞
n =1
ln n(x −5)n
(n + 1) (l)
+ ∞
n =1
xn
nn
Exercıcio 2.2 - Se a e b sao inteiros positivos, determine o raio de convergencia da serie de
potencias+ ∞
n =1
(n + a)!n!(n + b)!
xn .
2.2 Deriva¸ cao de Series de Potencias
Vimos na se cao anterior que uma serie de potencias+ ∞
n =0cn xn dene uma fun cao em que o domınio
e o intervalo de convergencia da serie.
Ilustra¸ cao 2.2 - Considere a serie geometrica com a = 1 e r = x, isto e,+ ∞
n =0xn . Pelo Teorema
1.5, a serie converge para a soma 11 −x
, se |x| < 1. Logo, a serie de potencias+ ∞
n =0xn dene a
funcao f , tal que f (x) = 11 −x
se |x| < 1. Logo,
1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . = 11 −x
se |x| < 1 (2.3)
A serie (2.3) pode ser usada para formar outras series de potencias cujas somas podem ser
determinadas.
Ilustra¸ cao 2.3 - Se em (2.3) x for substituıdo por −x, teremos
1 −x + x2 −x3 + . . . + ( −1)n xn + . . . = 11 + x
se |x| < 1 (2.4)
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Seja x = x2 em (2.3), teremos
1 + x2 + x4 + x6 + . . . + x2n + . . . = 1
1 −x2 se |x| < 1 (2.5)
Se em (2.3) x for substituıdo por −x2, obteremos
1 −x2 + x4 −x6 + . . . + ( −1)n x2n + . . . = 1
1 + x2 se |x| < 1 (2.6)
Nesta se cao e na pr oxima, outras series interessantes s˜ ao obtidas de series como as acima re-
feridas, por deriva¸cao e integra cao. Provaremos que se R (onde R = 0) for o raio de convergencia
de uma serie de potencias que dene a fun¸ cao f , ent ao f sera diferenci avel no intervalo ( −R, R )
e a derivada de f poder a ser obtida ao derivarmos a serie de potencias termo a termo. Alem
disso, mostraremos que f e integr´avel em todo subintervalo fechado de ( −R, R ), e calculamos
a integral de f , integrando a serie de potencias termo a termo. Precisamos primeiro de alguns
teoremas preliminares.
Teorema 2.2 - Se+ ∞
n =0cn xn for uma serie de potencias com um raio de convergencia R > 0,
ent ao a serie+ ∞
n =1ncn xn−1 tambem ter´ a R como raio de convergencia.
Este teorema estabelece que a serie, obtida com a deriva¸ cao de cada termo de uma dada
serie de potencias, ter´ a o mesmo raio de convergencia que a serie dada.
Ilustra¸ cao 2.4 - Vericaremos o Teorema 2.2 para a serie de potencias+ ∞
n =0
xn +1
(n + 1) 2 = x + x2
4 +
x3
9 + . . . +
xn +1
(n + 1) 2 + xn +2
(n + 2) 2 + . . .
Determinamos o raio de convergencia aplicando o teste da raz˜ ao,
limn→+ ∞
un +1
un= lim
n→+ ∞(n + 1) 2xn +2
(n + 2) 2xn +1
= |x| limn→+ ∞
n2 + 2 n + 1n2 + 4 n + 4
= |x|48
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Dessa forma, a serie de potencias e convergente quando |x| < 1; assim sendo, seu raio de
convergencia e R = 1.
A serie de potencias obtida da serie dada com deriva¸ cao termo a termo e
+ ∞
n =0(n + 1) x
n
(n + 1) 2 =+ ∞
n =0x
n
n + 1
= 1 + x2
+ x2
3 +
x3
4 + . . . +
xn
n + 1 +
xn +1
n + 2 + . . .
Aplicando o teste da raz˜ ao a essa serie de potencias, temos
limn→+ ∞
un +1
un= lim
n→+ ∞(n + 1) xn +1
(n + 2) xn
= |x| limn→+ ∞
n + 1n + 2
= |x|Essa serie e convergente se |x| < 1; assim, o seu raio de convergencia e R = 1. Como R = R ,
est a cumprido o Teorema 2.2.
Teorema 2.3 - Se o raio de convergencia da serie de potencias+ ∞
n =0cn xn for R > 0, ent ao o raio
de convergencia da serie+ ∞
n =2n(n −1)cn xn−2 tambem ser´ a R.
Para provar o Teorema 2.3 basta aplicar o Teorema 2.2 ` a serie+ ∞
n =1ncn xn−1.
Estamos agora em condi¸coes de enunciar o teorema sobre deriva¸ cao termo a termo de uma
serie de potencias.
Teorema 2.4 - Seja+ ∞
n =0cn xn uma serie de potencias cujo raio de convergencia e R > 0. Ent ao,
se f for a funcao denida porf (x) =
+ ∞
n =0cn xn (2.7)
f (x) existir a para todo x no intervalo aberto ( −R, R ), sendo dada por
f (x) =+ ∞
n =1ncn xn−1.
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Exemplo 2.7 - Seja f a funcao denida pela serie de potencias da Ilustra¸ cao 2.4 . (a) Ache o
domınio de f ; (b) escreva a serie de potencias que dene f e determine o domınio de f .
Solu¸cao:
O exemplo anterior ilustra o fato de que se uma fun¸ cao f for denida por uma serie de
potencias e se essa serie for derivada termo a termo, a serie de potencias resultante, que dene f ,
ter a o mesmo raio de convergencia, mas n˜ ao necessariamente o mesmo intervalo de convergencia.
Exemplo 2.8 - Obtenha a serie de potencias que represente
1(1 −x)2
Solu¸cao:
50
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Exemplo 2.9 - Mostre que para todos os valores reais de x
ex =+ ∞
n =0
xn
n! = 1 + x +
x2
2! +
x3
3! + . . . +
xn
n! + . . .
Solu¸cao:
Exemplo 2.10 - Use o Exemplo 2.9 para achar uma representa¸ cao em serie de potencias de
e−x .
Solu¸cao:
51
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Exemplo 2.11 - Use a serie do Exemplo 2.10 para determinar o valor exato de e−1 ate a quinta
casa decimal.
Solu¸cao:
Nos calculos com series innitas ocorrem dois tipos de erros. Um deles e o erro dado pelo
resto ap os os n primeiros termos. O outro e o arredondamento que ocorre quando cada termo
da serie e aproximado por um decimal com um n´ umero nito de casas. No caso do Exemplo
2.11, querıamos o resultado preciso para cinco casas decimais; assim, cada termo foi arredondado
para seis casas decimais. Depois de calcular a soma, arredondamos o resultado para cinco casas
decimais. Naturalmente, o erro dado pelo resto pode ser reduzido, se considerarmos termos
adicionais da serie, enquanto que o erro de arredondamento pode ser reduzido se usarmos mais
casas decimais.
Num curso de Equa¸coes Diferenciais voce ver´a que e possıvel expressar as solu¸ coes de muitas
equa coes diferenciais como series de potencias. O exemplo a seguir ilustra isso.
Exemplo 2.12 - Mostre que
y = x ++ ∞
n =0
xn
n! (2.8)
e uma solu cao da equa cao diferencial d2ydx2 −y + x = 0.
Solu¸cao:
52
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2.2.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 2.3 - Nos itens abaixo, fa ca o seguinte: (a) ache o raio de convergencia da serie de
potencias dada e o domınio de f ; (b) escreva a serie de potencias que dene a fun¸ cao f e ache
seu raio de convergencia usando os metodos da se¸ cao 2.1; (c) ache o domınio de f .
(a) f (x) =+ ∞
n =1
xn
n2 (b) f (x) =+ ∞
n =1
xn
√ n (c) f (x) =+ ∞
n =1(−1)n−1 x2n−1
(2n −1)!
(d )f (x) =+ ∞
n =1(n + 1)(3 x −1)n (e) f (x) =
+ ∞
n =1
(x −1)n
n3n
Exercıcio 2.4 - Use o resultado do Exemplo 2.8 para achar uma representa¸ cao em serie de
potencias de 1(1 −x)3 .
Exercıcio 2.5 - Use o resultado do Exemplo 2.9 para achar uma representa¸ cao em serie de
potencias para e√ x .
Exercıcio 2.6 - Obtenha uma representa¸ cao em serie de potencias de 1
(1 + x)2 , se |x| < 1,
derivando a serie (2.4) termo a termo.
Exercıcio 2.7 - (a) Use a serie (2.3) de modo a encontrar uma representa¸ cao em series de
potencias para 11 −2x
. (b) Derive termo a termo a serie encontrada na parte (a), a m de
achar uma representa¸ cao em serie de potencias para 2
(1 −2x)2 .
Exercıcio 2.8 - (a) Use o resultado do Exemplo 2.9, a m de encontrar uma representa¸ cao
em serie de potencias para ex 2
. (b) Derive termo a termo a serie encontrada em (a) de modo
a achar uma representa¸ cao em serie de potencias para xex 2
.
Exercıcio 2.9 - Use o resultado do Exemplo 2.10 para determinar o valor de 1√ e com precisao
de cinco casas decimais.
Exercıcio 2.10 - Use o resultado do Exemplo 2.8 para encontrar a soma da serie+ ∞
n =1
n2n .
Exercıcio 2.11 - (a) Ache uma representa¸cao em serie de potencias para x2e−x . (b) Por
deriva cao termo a termo da serie de potencias da parte (a), mostre que+ ∞
n =1(−2)n +1 n + 2
n! = 4.
53
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Exercıcio 2.12 - Suponha que uma fun¸cao f tenha a representa¸ cao dada pela serie de potencias+ ∞
n =0cn xn . Se f for uma fun cao par, mostre que cn = 0 quando n for ımpar.
Exercıcio 2.13 - Nos itens (a), (b) e (c), mostre que a serie de potencias e uma solu¸ cao da
equa cao diferencial.
(a) y =+ ∞
n =0
2n
n!xn ;
dydx −2y = 0
(b) y =+ ∞
n =1
(−1)n +1
(2n −1)!x2n−1;
d2ydx2 + y = 0
(c) y =+ ∞
n =0(−1)n 2
n
n!(2n + 1)! x2n +1 ; d2
ydx2 + x dydx + y = 0
2.3 Integra¸ cao de Series de Potencias
O teorema que diz respeito `a integra cao termo a termo e uma consequencia direta do Teorema
2.4.
Teorema 2.5 - Seja+ ∞n =0
cn xn uma serie de potencias cujo raio de convergencia e R > 0. Ent ao,
se f for a funcao denida por
f (x) =+ ∞
n =0cn xn
f sera integr avel em todo subintervalo fechado de ( −R, R ), e calculamos a integral de f inte-
grando termo a termo a serie de potencias dada; isto e, se x esta em (−R, R ), ent ao
x
0
f (t)dt =+ ∞
n =0
cn
n + 1xn +1 .
Alem disso, o raio de convergencia da serie resultante e R .
O Teorema 2.5 e usado com frequencia para o c´ alculo de uma integral denida, a qual n˜ ao
pode ser determinada diretamente, achando uma antiderivada do integrando. Os exemplos a
seguir ilustram essa tecnica. A integral denida x
0e−t 2
dt que aparece nesses dois exemplos e
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similar aquela que representa a medida da ´ area de uma regi˜ao sob a “curva de probabilidade
normal.”
Exemplo 2.13 - Ache uma representa¸ cao em serie de potencias de
x
0e−t 2
dt .
Solu¸cao:
Exemplo 2.14 - Use o resultado do Exemplo 2.13 para calcular, com precis˜ ao de ate tres casas
decimais, o valor de 1/ 2
0e−t 2
dt .
Solu¸cao:
55
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Exemplo 2.15 - Obtenha uma representa¸ cao em serie de potencias para ln(1 + x).
Solu¸cao:
No Exemplo 2.15, o Teorema 2.5 permite-nos concluir que a serie de potencias obtida repre-
senta a fun cao somente para os valores de x no intervalo aberto ( −1, 1). No entanto, a serie de
potencias e convergente no extremo direito 1, conforme j´ a foi mostrado anteriormente. Quando
x = −1, a serie de potencias torna-se a serie harmˆ onica negativa que e divergente. Logo o
intervalo de convergencia da serie de potencias e ( −1, 1].
Na ilustra¸cao a seguir mostramos que a serie de potencia do Exemplo 2.15 representa ln(1+ x)
em x = 1, provando que a soma da serie+ ∞
n =1
(−1)n−1
n e ln 2.
Ilustra¸ cao 2.5 - Para a serie innita+ ∞
n =1
(−1)n−1
n , a n-esima soma parcial e
sn = 1 − 12
+ 13 − 1
4 + . . . + ( −1)n−1 1
n (2.9)
Assim, da deni cao, se mostrarmos que limn→+ ∞
sn = ln 2 , provamos que a soma da serie e ln 2.
Da Algebra, temos a seguinte f´ormula para a soma de uma serie geometrica nita:
a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n−1 = a −ar n
1 −r
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Dessa formula com a = 1 e r = −t ,
1 −t + t2 −t3 + . . . + ( −t)n−1 = 1−(−t)n
1 + t
que pode ser escrita como
1 −t + t2 −t3 + . . . + ( −1)n−1tn−1 = 11 + t
+ ( −1)n−1 tn
1 + t
Integrando de 0 a 1, obtemos
1
0[1−t + t2 −t3 + . . . + ( −1)n−1tn−1]dt =
1
0
11 + t
dt + ( −1)n−1 1
0
tn
1 + tdt
que d a
1 − 12
+ 13 −
14
+ . . . + ( −1)n−1 1n
= ln2 + ( −1)n−1
1
0
tn
1 + tdt (2.10)
De (2.9), vemos que o primeiro membro de (2.10) e sn . Seja
Rn = (−1)n−1 1
0
tn
1 + tdt
ent ao (2.10) pode ser escrito como
sn = ln2 + Rn (2.11)
Como tn
1 + t ≤tn para todo t em [0, 1], segue que
1
0tn
1 + t dt ≤ 1
0tn dt
Logo,
0 ≤ |Rn | = 1
0
tn
1 + tdt ≤
1
0tn dt =
1n + 1
Como limn→+ ∞
1n + 1
= 0, segue da desigualdade acima e do Teorema do Confronto que
limn→+ ∞
Rn = 0 Portanto, de (2.11),
limn
→+
∞
sn = ln 2 + limn
→+
∞
Rn = ln 2
Assim,+ ∞
n =1(−1)n−1 1
n = 1 −
12
+ 13 −
14
+ . . . = ln 2 (2.12)
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A solucao do Exemplo 2.15 mostra que a serie de potencias+ ∞
n =1(−1)n−1 xn
n representa ln(1+ x)
se |x| < 1. Ent ao, com o resultado da Ilustra¸ cao 2.5 podemos concluir que a serie de potencias
dada representa ln(1 + x) para todo x em seu intervalo de convergencia ( −1, 1].
Embora seja interessante que a soma da serie em (2.12) seja ln 2, essa serie converge muitovagarosamente para ser usada no c´ alculo de ln 2. Vamos obter agora uma serie de potencias
para o c alculo de logaritmos naturais.
Vimos que,
ln(1 + x) =+ ∞
n =1(−1)n−1 xn
n , se |x| < 1 (2.13)
ou, segundo a Ilustra¸cao 2.5,
ln(1 + x) = x − x2
2 +
x3
3 −. . . + ( −1)n−1 xn
n + . . . para x em (−1, 1] (2.14)
Substituindo x por −x nessa serie,
ln(1 −x) = −x − x2
2 − x3
3 − x4
4 −. . . − xn
n −. . . para x em [−1, 1) (2.15)
Subtraindo termo a termo (2.15) de (2.14), obtemos
ln 1 + x1 −x
= 2 x + x3
3 +
x5
5 + . . . +
x2n−1
2n −1 + . . . se |x| < 1 (2.16)
A serie (2.16) pode ser usada para o c´ alculo do logaritmo natural de qualquer n´ umero posi-
tivo.
Ilustra¸ cao 2.6 - Se y for um numero positivo qualquer, seja
y = 1 + x1 −x
e entao x = y −1y + 1
e |x| < 1
Por exemplo, se y = 2, ent ao x = 13
. De (2.16),
ln 2 = 213
+ 134 +
1535 +
1737 +
1939 +
111311 + . . .
= 213 +
181 +
11215 +
115.309 +
1177.147 +
11.948.617 + . . .
≈2(0, 333333 + 0, 012346 + 0, 000823 + 0, 000065 + 0, 000006 + 0, 000001 + . . .)
Usando os seis primeiros termos entre parenteses, multiplicando por 2 e arredondando para
cinco casas decimais, obtemos
ln 2 ≈0, 69315
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Exemplo 2.16 - Obtenha uma representa¸ cao em serie de potencias para tg −1x.
Solu¸cao:
Embora o Teorema 2.1 nos permita concluir que a serie de potencias obtida no exemplo
anterior representa tg −1x somente para valores de x tais que |x| < 1, podemos mostrar que o
intervalo de convergencia da serie de potencias e [
−1, 1] e que ela e uma representa¸cao de tg −1x
para todo x em seu intervalo de convergencia. Logo,
tg −1x =+ ∞
n =0(−1)n x2n +1
2n + 1
= x − x3
3 +
x5
5 −. . . se |x| ≤1
(2.17)
Ilustra¸ cao 2.7 - Se x = 1 em (2.17),
π4 = 1 − 13 + 15 − 17 + . . . + ( −1)n 12n + 1 + . . .
A serie da Ilustra¸ cao 2.7 nao e adequada ao c´alculo de π, pois converge muito vagarosamente.
O metodo a seguir fornece um metodo melhor.
Exemplo 2.17 - Prove queπ4
= tg −1 12
+ tg −1 13
.
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Use essa formula e a serie de potencias para tg −1(x) do Exemplo (2.16), para calcular com
precis ao de cinco algarismos signicativos o valor de π .
Solu¸cao:
2.3.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 2.14 - Ache a representa¸cao em serie de potencias para a integral dada e determineo seu raio de convergencia
(a) x
0et dt (b)
x
2
14 −t
dt
Exercıcio 2.15 - Calcule com precis ao de tres casas decimais o valor da integral dada por dois
metodos: (a) use o segundo teorema fundamental do c´ alculo; (b) use os resultados do exercıcio
60
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anterior.
(a) x
0et dt (b)
x
2
14 −t
dt
Exercıcio 2.16 - Calcule com precis ao de tres casas decimais o valor da integral dada, usando
series.(a)
1/ 2
0
11 + x3 dx (b)
1
0e−x 2
dx (c) 1/ 2
0tg −1x2dx (d)
1
0x senh √ xdx
Exercıcio 2.17 - Use a serie de potencias da fun¸ cao tg −1x para calcular tg −1 14
com precis ao
de quatro casas decimais.
Exercıcio 2.18 - Se f (x) =+ ∞
n =0(−1)n (x −1)n
n! , ache f ( 5
4 ) com precis ao de tres casas decimais.
Exercıcio 2.19 - Integrando termo a termo de 0 a x uma representa¸ cao em serie de potenciasde ln(1 −t), mostre que
+ ∞
n =2
xn
(n −1)n = x + (1 −x)ln(1 −x)
Exercıcio 2.20 - Ache a serie de potencias em x de f (x) se f (x) = −f (x), f (0) = 0 e f (0) = 1.
Ache tambem o raio de convergencia da serie resultante.
2.4 Serie de Taylor
Se f for uma fun cao denida por
f (x) =+ ∞
n =0cn xn
= c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + . . . + cn xn + . . .
(2.18)
cujo raio de convergencia e R > 0, segue que, de sucessivas aplica¸coes do Teorema 2.4, que f
tem derivadas de todas as ordens em (
−R, R ). Dizemos que tal fun¸cao e innitamente deriv´ avel
em (−R, R ). Sucessivas deriva¸coes da funcao em (2.18) resultam em
f (x) = c1 + 2 c2x + 3 c3x2 + 4 c4x3 + . . . + ncn xn−1 + . . . (2.19)
f (x) = 2 c2 + 2 ·3c3x + 3 ·4c4x2 + . . . + ( n −1)ncn xn−2 + . . . (2.20)
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f (x) = 2 ·3c3 + 2 ·3 ·4c4x + . . . + ( n −2)(n −1)ncn xn−3 + . . . (2.21)
f (iv ) (x) = 2
·3
·4c
4 + . . . + ( n
−3)(n
−2)(n
−1)nc
nxn−4 + . . . (2.22)
e assim por diante. Se x = 0 em (2.18),
f (0) = c0
Se x = 0 em (2.19),
f (0) = c1
Se x = 0 em (2.20),
f (0) = 2 c2
⇔ c2 =
f (0)
2!De (2.21), se x = 0,
f (0) = 2 ·3c3 ⇔ c2 = f (0)
3!Da mesma forma, de (2.22), se x = 0,
f (iv ) (0) = 2 ·3 ·4c4 ⇔ c4 = f (iv ) (0)
4!
Em geral,
cn = f (n ) (0)
n! para todo n inteiro positivo.
Essa formula tambem e v´ alida para n = 0, se tomarmos f (0) (0) como sendo f (0) e 0! = 1.
Assim,dessa f ormula e de (2.18), a serie de potencias f em x pode ser escrita como+ ∞
n =0
f (n ) (0)n!
xn = f (0) + f (0)x + f (0)
2! x2 + . . . +
f (n ) (0)n!
xn + . . . (2.23)
Em um sentido mais geral,consideremos a fun¸ cao f como uma serie de potencias em x −a,
isto e,
f (x) =+ ∞
n =0
cn (x
−a)n
= c0 + c1(x −a) + c2(x −a)2 + c3(x −a)3 + . . . + cn (x −a)n + . . .
(2.24)
Se o raio de convergencia dessa serie for R, ent ao f sera innitamente deriv´ avel em
(a −R, a + R). Sucessivas deriva¸coes da funcao em (2.24) resultam em
f (x) = c1 + 2 c2(x −a) + 3 c3(x −a)2 + 4 c4(x −a)3 + . . . + ncn (x −a)n−1 + . . .
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f (x) = 2 c2 + 2 ·3c3(x −a) + 3 ·4c4(x −a)2 + . . . + ( n −1)ncn (x −a)n−2 + . . .
f (x) = 2 ·3c3 + 2 ·3 ·4c4(x −a) + . . . + ( n −2)(n −1)ncn (x −a)n−3 + . . .
e assim por diante. Tomando x = a nas representa¸coes de f em series de potencias, bem como
nas sua derivadas, obtemos
c0 = f (a) c1 = f (a) c2 = f (a)
2! c3 =
f (a)3!
e em geral
cn = f (n ) (a)
n! (2.25)
Dessa formula e de (2.24) podemos escrever a serie de potencias de f em x −a como
+ ∞
n =0
f (n ) (a)
n! (x
−a)n = f (a) + f (a)(x
−a) +
f (a)
2! (x
−a)2 + . . . +
f (n ) (a)
n! (x
−a)n + . . . (2.26)
A serie (2.26) e chamada de serie de Taylor de f em a. O caso especial de (2.26) quando
a = 0, isto e, (2.23), e chamada de serie de Maclaurin .
Exemplo 2.18 - Ache a serie de Maclaurin para ex .
Solu¸cao:
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Exemplo 2.19 - Ache a serie de Taylor para sen x em a.
Solu¸cao:
Podemos deduzir que a representa¸ cao de uma fun cao em series de potencias e ´ unica. Isto
e, se duas fun¸coes tem os mesmos valores funcionais em algum intervalo contendo o n´ umero a,
e se ambas as fun coes tem uma representa¸ cao em serie de potencias em x
−a, ent ao trata-se
da mesma serie, pois os seus coecientes s˜ao obtidos a partir dos valores das fun¸ coes e de suas
derivadas em a. Logo, se uma fun cao tem uma representa¸ cao em series de potencias em x −a,
essa serie deve ser a sua serie de Taylor em a. Assim sendo, a serie de Taylor para uma dada
funcao nao precisa ser obtida da f´ormula (2.26). Qualquer metodo que resulte em uma serie em
x −a representando a fun¸ cao sera a serie de Taylor da fun¸ cao em a.
Ilustra¸ cao 2.8 - Para encontrar a serie de Taylor para ex em a, vamos escrever ex = ea ex−a e
ent ao usar a serie (2.27), onde substituımos x por x
−a. Ent ao,
ex = ea 1 + ( x −a) + (x −a)2
2! +
(x −a)3
3! + . . . +
(n −a)n
n! + . . .
Ilustra¸ cao 2.9 - A serie para ln(1 + x), encontrada no Exemplo 2.15 da se¸ cao anterior, pode
ser usada para determinar a serie de Taylor de ln x em a (a > 0), escrevendo
ln x = ln[a + ( x −1)]
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ou ainda
ln x = ln a + ln 1 + x −a
a (2.27)
Uma quest˜ao natural que surge e: se uma fun¸ cao tem uma serie de Taylor em x −a, com raio
de convergencia R > 0, essa serie representa a fun¸ cao para todos os valores de x no intervalo(a −R, a + R)? Para a maioria das fun¸ coes elementares a resposta e armativa. H´ a, contudo,
funcoes para as quais a resposta e nao . O exemplo a seguir ilustra isso.
Exemplo 2.20 - Seja f a funcao denida por
f (x)
e−1/x 2
se x = 0
0 se x = 0
Ache a serie de Maclaurin para f e mostre que ela converge para todos os valores de x, mas
que ela representa f (x) somente para x = 0.
Solu¸cao:
O teorema a seguir fornece um teste para determinar se uma fun¸ cao est a representada por
sua serie de Taylor.
Teorema 2.6 - Seja f uma func˜ ao tal que f e todas as sua derivadas existam em algum inter-
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valo (a −r, a + r ). Ent˜ ao, a fun c˜ ao e representada por sua serie de Taylor + ∞
n =0
f (n ) (a)n!
(x −a)n
para todo x, tal que |x −a| < r se,e somente se,
limn→+ ∞
Rn (x) = limn→+ ∞
f (n +1) (ξ n )(n + 1)!
(x −a)n +1 = 0
onde cada ξ n est´ a entre x e a.
O Teorema 2.6 tambem e v´ alido para outras formas do resto Rn (x), alem da f´ormula de
Lagrange. Frequentemente, e difıcil aplicar o Teorema 2.6, pois os valores de ξ n sao arbitr´arios.
Mas, as vezes pode ser encontrado um limitante superior para Rn (x) e pode ser possıvel provar
que o limite dos limitantes superiores e zero quando n → +∞. O seguinte limite e de grande
valia em alguns casos:
limn→+ ∞
xn
n! = 0 para todo x (2.28)
Isto segue do fato que a serie de potencias+ ∞
n =0
xn
n! e convergente para todos os valores de x
e assim, o seu n-esimo termo deve ser zero.
Exemplo 2.21 - Use o Teorema 2.6 para mostrar que a serie de Maclaurin para ex representa
a funcao para todos os valores de x.
Solu¸cao:
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Exemplo 2.22 - Mostre que a serie de Taylor para sen x em a representa a fun¸cao para todos
os valores de x.
Solu¸cao:
Exemplo 2.23 - Calcule o valor de sen47◦ com precisao de quatro casas decimais.
Solu¸cao:
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Exemplo 2.24 - Calcule com precis ao de cinco casas decimais
1
1/ 2
sen xx
dx.
Solu¸cao:
2.4.1 Lista de Exercıcios
Exercıcio 2.21 - Prove que a serie+ ∞
n =0
(−1)n x2n
(2n)! representa cos x para todos os valores de x.
Exercıcio 2.22 - Use a serie de Maclaurin de ln(1 + x) para encontrar a serie de Taylor para
ln x em 2.
Exercıcio 2.23 - Ache uma representa¸ cao em serie de potencias para a fun¸ cao em torno do
ponto a e determine o raio de convergencia.
(a) f (x) = ln( x + 1); a = 1 (b) f (x) = √ x; a = 4 (c) f (x) = cos x; a = π3
Exercıcio 2.24 - Ache a serie de Maclaurin para sen 2x.
(Sugest˜ ao: use sen 2x = 12
(1 −cos2x).)
Exercıcio 2.25 - Use serie de potencias para calcular, com a precis˜ ao exigida, o valor da quan-
tidade dada.
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(a) cos58◦; quatro casas decimais
(b) 5√ 30; cinco casas decimais
(c) ln(0, 8); quatro casas decimais
Exercıcio 2.26 - Calcule com tres casas decimais de precis˜ ao o valor da integral denida.(a)
1/ 2
0sen x2dx
(b) 0,1
0ln(1 + sen x)dx
(c) 1
0g(x)dx, onde g(x) =
1 −cos xx
, se x = 0
0 se x = 0
Exercıcio 2.27 - A funcao E denida por
E (x) = 2√ π
x
0e−t 2
dt
e chamada de func˜ ao erro e e importante em Estatıstica Matem´ atica. Ache a serie de Maclaurin
para a fun cao erro.