SHKLOV, POWELL (2001) a Non-Linear Analytical Approach to Single Cells

8/2/2019 SHKLOV, POWELL (2001) a Non-Linear Analytical Approach to Single Cells

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A N o n - l i n e a rA n a l y t i c a lA p p r o a c ht o S i n g l eC e l l s

I n C u m u l a t i v e F r e q u e n c yT a b l e s

b y -

N o r mS h k l o v , P h .D .

D e p a r t m e n to f M a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s

U n i v e r s i t yo f W i n d s o r

W i n d s o r ,O n t a r i o ,C a n a d a

( R e t i r e d )

a n d

J a yC . P o w e l l ,P h . D .

F a c u l t yo f E d u c a t i o n

U n i v e r s i t yo f W i n d s o r

( R e t i r e d )

C o n f i d e n t i a ld o c u m e n tb e i n g p r e p a r e df o rp u b l i c a t i o n .

R u n n i n gH e a d :N o n l i n e a ra n a l y s i so f f r e q u e n c yd a t a

J a n u a r y2 0 0 1


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A B S T R A C T

H a v i n ge s t a b l i s h e dc l e a re v i d e n c ef o ra f o r mo f l e a r n i n gt h a ti s t r a n s f o r m a t i o n a la n d

n o n - l i n e a r( P o w e l l& S h k l o v ,1 9 9 2 ) , t h ea u t h o r sh e r e w i t hp r e s e n t a n o n - l i n e a rw a yt o

c o n s i d e rs i n g l ec e l lf r e q u e n c yd a t ai n s o c i a l - s c i e n c es e t t i n g s .T h i sp a p e rd e s c r i b e st h e

p r o c e d u r ei n d e t a i la n dg i v e ss e v e r a li n s t a n c e so f i t sa p p l i c a t i o ni n d i v e r s es e t t i n g s .


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T h eP r o b l e m

T h e s et w or e s e a r c h e r sh a v e ,f o rs o m et i m e ,b e e ni n v e s t i g a t i n gn o n - l i n e a ra p p r o a c h e s

t o o b s e r v a t i o n a ld a t a .T h ei n i t i a lp r o b l e ma r o s eb e c a u s et h e yw e r et r y i n gt o f i n ds o m ew a yt o

e x a m i n e ,i n m u l t i p l e - c h o i c et e s t s ,t h e p a t t e r n si n w h i c hs t u d e n t s 'a n s w e r s( w h e t h e rr i g h to r

w r o n g )c h a n g ew i t hl e a r n i n g .

A s b a c k g r o u n dt o t h i sp r o b l e mt h e r ea r et w op o s s i b i l i t i e s .T h ef i r s tp o s s i b i l i t yi s t h a t

a l lw r o n ga n s w e r sa r eb l i n dg u e s s e sa n dt h a ts t u d e n t sw i l lc h a n g e f r o ma n yw r o n ga n s w e rt o

t h er i g h to n ew i t ha p p r o p r i a t ei n s t r u c t i o n .I n t h i sc a s et h ec u r r e n tp r a c t i c eo f c o n s i d e r i n go n l y

r i g h ta n s w e r sw h e no b s e r v i n gs t u d e n tb e h a v i o rc h a n g e sf o rq u a l i t y c o n t r o lw o u l db e e n t i r e l y

a p p r o p r i a t e .T h e r ew o u l db e n o m e a n i n g f u li n f o r m a t i o nt o b e f o u n da m o n gt h ew r o n g

a n s w e r s .

T h es e c o n dp o s s i b i l i t y ,w h i c hc o m e sf r o mP o w e l l ' s t e a c h i n g e x p e r i e n c ea n df r o m

P i a g e t ' sm a n yy e a r so f c l i n i c a lo b s e r v a t i o n( s e e :F l a v e l l ,1 9 6 3 ) ,i s t h a ta n s w e r s c h a n g ei n

s o m es o r to f s e q u e n t i a lo r d e rt h a ti s d e p e n d e n tu p o nh o ws t u d e n t si n t e r p r e tt h et e s tq u e s t i o n s .

T h e i ri n t e r p r e t a t i o n s , i n t u r n ,c o u l d b ed e p e n d e n tu p o nt h e i rc u r r e n ts t y l eo f t h i n k i n ga n d

t h e i rc u r r e n td e p t ho f i n t e l l e c t u a lm a t u r i t y .

I n t h i sc a s e ,l e a r n i n gw o u l dd i s p l a y t r a n s f o r m a t i o n a l p r o p e r t i e s ( s y s t e ma n s w e r

c h a n g e s )i n a d d i t i o nt o c u m u l a t i v ep r o p e r t i e s ( i n c r e a s i n gn u m b e r so f c o r r e c ta n s w e r s ) .T h e r e

c o u l db e c o n s i d e r a b l em e a n i n g f u li n f o r m a t i o ni n a l la n s w e r s ,n o tm e r e l yt h er i g h to n e s .

T o l o o ka t c h a n g e ,i t i s n e c e s s a r yt o g i v et h es a m et e s tm o r et h a no n c e .W h e nt h i si s

d o n e ,i t b e c o m e sp o s s i b l et o c o m p a r et h ea n s w e r ss e l e c t e du p o nt h ef i r s ta d m i n i s t r a t i o nt o

t h o s es e l e c t e do n t h es e c o n da d m i n i s t r a t i o na n db u i l df r e q u e n c yt a b l e st h a ts u m m a r i z et h e s e

s e l e c t i o n s .I n s o m ec a s e s ,t h es t u d e n t sm a ys e l e c tt h es a m ea n s w e ro n b o t ha d m i n i s t r a t i o n s ,

o r t h e ym a yc h a n g ef r o mo n ea n s w e rt o a n o t h e r w i t h i ne a c hi t e m .

3


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I f t h ef i r s tp o s s i b i l i t y( t h a ts t u d e n t sg u e s sb l i n d l yu n t i lt h e yk n o wt h ea n s w e r )i s

c o r r e c t ,t h et y p i c a lo b s e r v a t i o ns h o u l db e c h a n g e st o t h er i g h ta n s w e r f r o ma n yw r o n go n e

f o l l o w e db y s y s t e m a t i cr e p e t i t i o no f t h er i g h ta n s w e ro v e rt i m e .N oo t h e rc o m b i n a t i o no f

s e l e c t i o ns h o u l d b es t a t i s t i c a l l ys i g n i f i c a n tb e y o n da c h a n c el e v e l .

I f t h es e c o n dp o s s i b i l i t yi s c o r r e c t ,t h e na m u c hm o r e c o m p l e xp a t t e r no f a n s w e r

s t a b i l i t ya n d a n s w e r c h a n g es h o u l db e c o m ee v i d e n ta s s t u d e n t st r a n s f o r mt h e i rt h i n k i n g w i t h

i n c r e a s e dm a t u r i t y .

F r o ma s t a t i s t i c a lp e r s p e c t i v et h ep r o b l e mi s t o d e t e r m i n et h ec u m u l a t i v ep r o b a b i l i t y

o f a s i n g l eo b s e r v e d f r e q u e n c yi n a c r o s s - t a b u l a t e df r e q u e n c yt a b l ew i t he i t h e rP > 0 . 9 5 o r

P < 0 . 0 5w h e nt h et a b l ei s n o td i a g o n a l l ys y m e t t r i c a l .

T h eA p p r o a c h

I n a f o u r - o p t i o n m u l t i p l e - c h o i c et e s tt h e r ew i l lb e a f r e q u e n c y m a t r i xf o re a c hi t e m

c o n t a i n i n g1 6 c e l l sT h eo n ed i r e c t i o nm a yb e u s e dt o r e p r e s e n t t h er e s p o n s e sf r o mt h ef i r s t

a d m i n i s t r a t i o no f t h et e s ta n dt h eo t h e rd i r e c t i o nt o r e p r e s e n t t h er e s p o n s e sf r o mt h es e c o n d

a d m i n i s t r a t i o n .I n t h i sc a s ee a c hc e l lw i l lb e t h ef r e q u e n c y o ft h ee v e n to fj o i n t s e l e c t i o nf o r

e a c hp r e - p o s tr e s p o n s ep a i r .T h o s es t u d e n t sw h o ,f o rs o m er e a s o n ,o m i t t e dm a k i n ga c h o i c ea t

e i t h e ro f t w oa d m i n i s t r a t i o n sm a yb e d r o p p e d f r o mc o n s i d e r a t i o nb e c a u s et h e s ed a t aw i l ln o t

a d dt o t h ei n f o r m a t i o na b o u tt h ed y n a m i c so f a n s w e r i n g .

W i t ht h e s ef r e q u e n c yt a b l e s ,t h e r ea r ef o u rp i e c e so f i n f o r m a t i o nt h a tc a nb e

c o n s i d e r e df i r mf o re a c hc e l lf r e q u e n c y .T h e s ea r e :

1 ) T h e n u m b e ro f t i m e st h em e m b e r so f t h es a m p l ec h o s eb o t hm e m b e r so f t h e p a i r

o f r e s p o n s e s b e i n g c o n s i d e r e d( t h eo b s e r v e df r e q u e n c y ) ,


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2 ) T h e n u m b e ro f t i m e st h i sg r o u pc h o s et h ef i r s tm e m b e ro f t h ep a i ro n t h ef i r s t

a d m i n i s t r a t i o n ,( t h ec o l u m nt o t a l )

3 ) T h en u m b e ro f t i m e st h i sg r o u p o fs t u d e n t sc h o s et h es e c o n dm e m b e ro f t h i sp a i r

o n t h es e c o n da d m i n i s t r a t i o n( t h er o wt o t a l ) ,a n d

4 ) T h et o t a ln u m b e ro f o b s e r v a t i o n si n t h ee n t i r ef r e q u e n c yt a b l e ( t a b l et o t a l ) .

I n m a t h e m a t i c a lt e r m s ,t h ev a l u e sb e i n gc o n s i d e r e da r et h ec e l lf r e q u e n c y ,i t s

a s s o c i a t e dr o wa n dc o l u m ns u m s ,a n dt h et a b l es u m .

W h e nt h e s em a t r i c e sa r ed i s p l a y e d ,t h e yl o o ks o m e t h i n gl i k et h et y p i c a lc o n t i n g e n c y

t a b l e ,e x c e p tt h a tt h ec o n c e r nh e r ei s w i t h e a c hc e l li n s t e a do f t h e o v e r a l ld e p a r t u r eo f t h e

e n t i r em a t r i xf r o ma % d i s t r i b u t i o n .T h e s em a t r i c e sa r en o td i a g o n a l l ys y m m e t r i c a lb e c a u s e

e v e n t ss u c ha s A = > i s n o te q u i v a l e n tt o B = > A a n de i t h e re v e n ti s m u t u a l l ye x c l u s i v et o t h e

o t h e r .

I n s e r tT a b l e1 a b o u th e r e

S u p p o s e ,a s i l l u s t r a t e d i nT a b l e1 . a , t h a tw e h a v ea j o i n tc h o i c eo f 1 1 ,a f i r s tv a r i a b l e

f r e q u e n c yo f 1 5 ,a n da s e c o n dv a r i a b l ef r e q u e n c yo f 1 9 . I ft h eg r o u ps i z ei s 2 3 , t h ee x p e c t e d

j o i n tc h o i c ef r e q u e n c yi s ( 1 5x 1 9 ) / 2 3= 1 2 . 3 9 . I nt h i sc a s e ,1 1 i s a l e s s e rv a l u e t h a nt h i s

e x p e c t a t i o n b u tm a yn o tb e e n o u g h b e l o wt h i se x p e c t e dv a l u et o c o n c l u d et h a tc h o o s i n go n e

o p t i o ni m p l i e st h e r e j e c t i o no f t h eo t h e r .I f t h eg r o u ps i z ei s 9 0 , a si l l u s t r a t e di n T a b l el . b ,t h e

e x p e c t e d f r e q u e n c yi s ( 1 5x 1 9 ) / 9 0= 3 . 1 7 .I s 1 1 e n o u g hl a r g e rt h a nt h i se x p e c t a t i o nt o

i n d i c a t ea n o u t l i e r ?

A f t e ri n v e s t i g a t i o no f t h el i t e r a t u r ea n dn u m e r o u ss i m u l a t i o n so f e x i s t i n gp r o p o s a l st o

f i n da w a yt o p u ta p r o b a b i l i t yv a l u eo n t h ec e l li n q u e s t i o nw i t hk n o wm a r g i n a ls u m sa n d a n y


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t o t a lf r e q u e n c y ,i t b e c a m ee v i d e n tt h a ta m o r es o p h i s t i c a t e da p p r o a c hw a sr e q u i r e df o ra n

e f f e c t i v ea n a l y t i c a ls o l u t i o nt o t h i si n t e r p r e t i v ep r o b l e m .O n es u c hr e s o l u t i o ni s r e p o r t e di n

t h i sp a p e r .

B e c a u s ea s i n g l e - d i m e n s i o n a la r r a yc a nb e t r e a t e d a sa b i n o m i a ld i s t r i b u t i o n ,t h e s e

r e s e a r c h e r st r i e du s i n gt h em u l t i n o m i a ld i s t r i b u t i o nf o rt h et w od i m e n s i o n a la r r a y sb e i n g

s t u d i e d .T h e yd e v e l o p e d a na d a p t a t i o no f t h i sa p p r o a c ht h a ti n v o l v e sc o l l a p s i n g t h e s et a b l e s

t o t w o - b y - t w ot a b l e sa r o u n de a c hc e l lo f c o n c e r n .T h e yt h e nc a l c u l a t e dt h ep r o b a b i l i t yo f

o b s e r v i n gt h a tf r e q u e n c yo r l e s sw i t ht h eo t h e rt h r e ev a l u e s h e l dc o n s t a n t .I t i s t h ep u r p o s eo f

t h i sp a p e rt o p r o v i d et h ed e t a i l so f t h i sp r o c e d u r e ,w i t he x a m p l e s f r o md i f f e r e n tt y p e so f

q u a l i t a t i v er e s e a r c h .

T h eP r o c e d u r e

S t e p1 .

T h i s p r o c e d u r eb e g i n sw i t h a nm x n m a t r i xo f f r e q u e n c i e sO y a s f o l l o w s :

w h e r e :

O 2 1

o m ,

c ,

n

' 7 = 1

0 , 2

O 2 2

o m 2

c 2

O y ,

O l no 2 n

o m n

c n

R i

R 2

R m

N

( 1 )

I I I

= 1 0 , / , ( 2 )

a n d : m n

N = I 1 0 , j . ( 3 )


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S t e p2

T h en e x ts t e pi s t o c o l l a p s et h i sm a t r i xa r o u n d a n yc e l lO y. T h i ss t e pp r o d u c e sa 2 x 2

m a t r i x ,w i t ht h eo b s e r v e df r e q u e n c yo f O y b e i n go , o f t h es o r t :

o f R ' i w h e r e :f ~ W \ - o ,

g h R ' 2 R ' 2 =/ / - R ' i,

i C 2 i V g = C i - o ,

C ' 2 =v V - C ,,

a n d h= N - ( o+ f +g ) .

I n w o r d s , / i st h ef r e q u e n c yo f t h er e m a i n d e r o ft h er o w ,g i s t h ef r e q u e n c yo f t h er e m a i n d e r

o f t h ec o l u m na n d hi s t h e r e s i d u a lf r e q u e n c yo f t h et o t a lt a b l e .T a b l e s2 a n d3 g i v ea

n u m e r i c a le x a m p l eo f t h e s ef i r s tt w os t e p si n t h i sp r o c e d u r e ,b e g i n n i n g w i t ht h e4 x 4

f r e q u e n c ym a t r i x ,s u c ha s :


B yc h o o s i n gt o l o o ka t ( 9 2 2( w i t ha f r e q u e n c y o fo = 3 3 ; t h er e p e a t e d c h o i c eo f t h e

c o r r e c ta n s w e ra s s h o w ni n t h eb o xi n T a b l e2 ) t h ec o l l a p s e dm a t r i xb e c o m e s :


I n o r d e rt o d e t e r m i n et h e p r o b a b i l i t yt h a to w o u l db e 3 3b y c h a n c ea l o n e ,i t i s

n e c e s s a r yt o f i n dt w oc u m u l a t i v ep r o b a b i l i t i e s .F i r s t ,i t i s n e c e s s a r yt o f i n d t h ec u m u l a t i v e

p r o b a b i l i t yf o rt h er a n g eo f a l lp o s s i b l e v a l u e si n t h a tc e l lw i t ht h et h r e em a r g i n a lv a l u e sk e p t


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c o n s t a n t .S e c o n d ,t h e r ei s t h en e e dt o f i n d t h ec u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yf o ra l l s i n g l et a b l e s t h a t

h a v ea v a l u eo f 3 3 o r l e s s .

T o a c h i e v et h i se n d ,i t i s n e c e s s a r yt o f i n d t h es m a l l e s t p o s s i b l ev a l u ea n dt h el a r g e s t

p o s s i b l ev a l u et h a to c a na c h i e v ew i t h i nt h e s em a r g i n a lc o n s t r a i n t s .

S i n c et h e s ev a l u e sa r ea l l f r e q u e n c i e s ,a n dt h el e a s tp o s s i b l ef r e q u e n c yi s z e r o( 0 ) ,t h e

l e a s tp o s s i b l e v a l u et h a to c a np o s s e s si s w h e ne i t h e r t h ef r e q u e n c yv a l u eo fo o ro f hi s z e r o

( 0 ) .S i m i l a r l y , t h e g r e a t e s tp o s s i b l ev a l u et h a tc e l lO nc a nc o n t a i no c c u r sw h e ne i t h e r t h e

f r e q u e n c y o ff o r o f g i s z e r o( 0 ) .

M a t h e m a t i c a l l y :

O ( m i n )= 0 , i fo < h ; o t h e r w i s eo ( m m |= o - h ( 4 )

O ( m a x )= t h el e s s e ro f R ' i a n dC ' i ( 5 )

I n t h ep r e s e n tc a s e ,t h em i n i m u mv a l u ei s 0 ( z e r o )a n dt h em a x i m u mv a l u ei s 4 6 .I t i s

t h e o r e t i c a l l yp o s s i b l et o h a v ea m a t r i xw h e r e i nt h em i n i m u mp o s s i v l ev a l u ei s n o t0 ( z e r o ) .

S t e p 3

T h em u l t i n o m i a lf u n c t i o ni s a p p l i e dt o t h er a n g eo f a l lp o s s i b l e v a l u e sf r o mt h e

m i n i m u m( 0 )t o t h em a x i m u m( 4 6 ) ,a d d i n gt h e s ep a r t i a lp r o b a b i l i t i e st o f i n d t h et o t a l

p o s s i b l ep r o b a b i l i t y( P , ) o fe v e n t s w i t h i nt h e s ec o n s t r a i n e dc o n d i t i o n s .T h ee q u a t i o n

b e c o m e s :

O ( m a x )

S N ! ( p f u( p i f u( p 3 ) 8 u( P 4 ) ( p f u( p i f u( p 3 ) 8 u ( P 4 )K ( 6 )i f J i t -3 U - " - i f


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I n t h i sp r o c e s s ,t h ev a l u eo f u i s t h ei n c r e m e n t a lv a l u ea c r o s st h er a n g ef r o mO ( m i n )t o

0 ( m a x ) - T h i sm e a n st h a tt h ev a l u e so fo u a n d / ? , ,w i l li n c r e a s eb y o n e( 1 )a n do f / a n dg u w i l l

d e c r e a s eb y o n e( 1 )u n t i lt h er a n g eh a sb e e nc o m p l e t e d .

T h ev a l u e s o f p \ ,e t c .a r e c o n s t a n t .T h e s ea r et h e p r o b a b i l i t i e sf o re a c h o ft h ef o u r

c e l l st h a t a r ed e t e r m i n e db y c o n s t r a i n i n gt h e c a l c u l a t i o n su s i n gt h em a r g i n a lt o t a l s .T h e s e

c o n s t r a i n t sa r ei m p o s e db e c a u s ew e a r ea s s u m i n gt h a tt h em a r g i n a lp r o p o r t i o n sa r e t h e b e s t

e s t i m a t e sa v a i l a b l ef o rt h e a c t u a l d i s t r i b u t i o no f t h e s ep a r t i c u l a rc h o i c e si n t h et o t a ls a m p l e .

T h e r e f o r et h e s e p r o b a b i l i t i e sa r et h ep r o d u c to f t h ej o i n tp r o p o r t i o n sf o re a c hc e l la s

f o l l o w s :

/ 7 i = R ' , C V ^ ( 7 )

/ ? 2= R ' i C ' 2 / Y V 2 ( 8 )

p i = K 2 C ' x I N 2 ( 9 )

p A= W 2 C ' 2 I N 2 ( 1 0 )

A l s o :

f u = R ' i - o u ( l l )

g u = C ' i - o u ( 1 2 )

a n d h u= N - { o u + f u +g u ) ( 1 3 )

I n t h i sp a r t i c u l a re x a m p l e ,t h ev a l u e so f p \ , p 2 , p ^ ,a n d / ? 4f o ro a r e0 . 1 8 2 . 0 . 2 5 4 , 0 . 2 3 6

a n d0 . 3 2 8r e s p e c t i v e l y ,w h i c ha d d st o 1 . 0 0 0 ,f o rt h e s ef o u rp r o b a b i l i t i e s .

S t e p4

T h en e x ts t e pi s t o f i n d t h ec u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yf o rt h eo b s e r v e df r e q u e n c yo r l e s s

( P c) , t h i st i m ei t e r a t i n gf r o mo ( m i n )t o o u s i n gt h es a m ee q u a t i o n( 6 )a n dc o n t r o lp a r a m e t e r s

( 7 - 1 3 )i n s t e p3 , a s f o l l o w s :


10/49

C O ( m i n )

T h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e s et w oc a l c u l a t i o n sb e i n gt h a te q u a t i o n( 6 )i n c r e m e n t st o

x ) f r o mO ( m i n )w h e r e a se q u a t i o n( 1 4 )s t o p si n c r i m i n a t i o na t t h eo b s e r v e dv a l u eo f o .

S t e p5

T h ed e s i r e dc u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yf o rt h eo b s e r v e dc e l lf r e q u e n c yc a nn o wb e

d e t e r m i n e d .T h ec u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yf o ra l lp o s s i b l ee v e n t sw i t h i nt h e s e c o n s t r a i n e d

c o n d i t i o n si s P , f r o me q u a t i o n( 6 )a n dt h ec u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yw i t h i nt h e s es a m e

c o n s t r a i n t sf o rt h eo b s e r v e df r e q u e n c yo r l e s si s P , f r o me q u a t i o n( 1 4 ) .T h u st h e d e s i r e d

p r o b a b i l i t yi s t h er a t i oo f t h e s et w op a r t i a lp r o b a b i l i t i e s ,o r :

P o = P c / P t - ( 1 4 ) / ( 6 ) ( 1 5 )

I n t h i se x a m p l e ,t h ev a l u eo f P c i s 0 . 0 0 5 9a n do f P , i s a l s o0 . 0 0 5 9 ,s o t h e p r o b a b i l i t y

o f o b s e r v i n g3 3 c h o i c e so f a n s w e ro w i t h4 6 a n d 4 8o v e r a l lc h o i c e sa n d1 1 0o b s e r v a t i o n s ,i s

P o ' - =1 . 0 0 0 .I t a p p e a r s ,f r o mt h e s ea c t u a lc a l c u l a t i o n s ,t h a tt h er e m a i n i n g1 3 p o s s i b l e v a l u e s

( f r o m3 4 t h r o u g h4 6 )c o n t r i b u t el e s st h a no n ep a r ti n 2 0 , 0 0 0 o ft h et o t a lp o s s i b l ep r o b a b i l i t y ,

h e n c et h e r e s u l t i n g p r o b a b i l i t yi s 1 . 0 0 0w h e nt h e s ep a r t i a lp r o b a b i l i t i e sa r er o u n d e dt o t h e

f o u r t hd e c i m a lp l a c e .

T h i sp r o b a b i l i t yr e p r e s e n t st h er e p e a t e d c h o i c eo f t h e r i g h ta n s w e rt o t h i sq u e s t i o na t a

p a r t i c u l a ra g e r a n g e ( 1 6 6- 1 7 0m o n t h s ) .I n t h i se x a m p l et h i r t yp e r c e n t ( 3 3 / 1 1 0 ) . o fa l l

1 0


11/49

a n s w e r sa r er e p e a t e d l yr i g h t ,w h i l e a b o u tt w ot h i r d s( ( 3 3 + 3 3 / ( 4 6+ 4 8 ) o r 6 6 / 9 4 )o f t h o s e

w h oc h o s et h i sa n s w e r o ne i t h e ra d m i n i s t r a t i o nc h o s ei t o n b o t ha d m i n i s t r a t i o n s .B yc h a n c e

a l o n et h ee x p e c t a t i o nw o u l dh a v e b e e no n l y 2 0 . 0 7s u c hc h o i c e sw i t h i nt h ec o n s t r a i n t so f t h e

m a r g i n a lv a l u e sI f t h e i rs e l e c t i o n sh a d b e e ne n t i r e l yr a n d o m ,t h i se x p e c t a t i o nw o u l dh a v e

d r o p p e dt o 1 / 1 6o f t h e t a b l et o t a l ,o r 6 . 8 7 5e v e n t s

T h eR e s u l t s ;A F i r s tL o o k

T h en e x ts t e pi s t o c o n s i d e rt h ee n t i r em a t r i x g i v e ni n T a b l e2 t o s e ew h a tt h i s

p r o c e d u r ec a nr e v e a l .H e r ea r et h er e s u l t so f t h i so n eg r o u po f i n t e r a c t i o n sa c r o s st i m ew i t h i n

t h i so n eq u e s t i o n .T a b l e4 g i v e st h eo b s e r v e df r e q u e n c i e s ,e x p e c t e df r e q u e n c i e sa n d

p r o b a b i l i t i e so f a l l 1 6 i n t e r a c t i o n s .I t p r e s e n t st h ef r e q u e n c i e st h a tp r o d u c e ds i g n i f i c a n t l yh i g h

p r o b a b i l i t i e si n e n l a r g e db o l dp r i n ta n dt h es i g n i f i c a n t l yl o wo n e si n r e d u c e df o n ts i z e .

I n s e r tT a b l e 4 a b o u th e r e

S e v e no f t h e1 6 i n t e r a c t i o n s a r es i g n i f i c a n t ;t h r e eh i g ha n df o u rl o w .A l lt h eh i g h o n e s

a r ei n t h em a i nd i a g o n a l ,w h i c hm e a n st h a tt h e r ei s a s t r o n gt e n d e n c yi n t h i sa g eg r o u pf o r

r e p e a t i n gt h ei n i t i a la n s w e r ,w i t h o u tr e g a r da s t o w h e t h e ri t i s r i g h to r w r o n g .

T h e r ea r ea l s os o m ev e r ys e r i o u sp r o b l e m sw i t ht h e s eo u t c o m e s .O n eo f t h eh i g h e s t

f r e q u e n c i e sa m o n gt h eo f f - d i a g o n a lc e l l si s O 2 1c o n t a i n s8 j o i n ts e l e c t i o n sb u ti s c l a s s i f i e da s

a s i g n i f i c a n t l yl o wp r o b a b i l i t yo f o c c u r r e n c e .T h e s a m ee v e n tc a n b es e e n ,t o a g r e a t e ro r

l e s s e rd e g r e ef o ra l lt h es i g n i f i c a n t l yl o ws e l e c t i o n f r e q u e n c i e s .T h em o s tf r e q u e n tc h a n g e s

f r o m o n ea n s w e rt o a n o t h e rs e e mt o b e s i g n i f i c a n t l yl o ww h e n e v e rt h es a m et w or e s p o n s e s

a r es i g n i f i c a n t l yh i g hi n t h e i rr e p e a t e dc h o i c e s .

l 1


12/49

P e r h a p st h i sp r o b l e mc o m e st h em u t u a l l ye x c l u s i v e n a t u r eo f m u l t i p l e - c h o i c et e s t

a n s w e r i n g .I n t h i sc a s e ,t h e s el o wp r o b a b i l i t i e sc o u l d b es t a t i s t i c a l a r t i f a c t s .T o t e s t t h i s

h y p o t h e s i s ,a s e c o n d - o r d e rc a l c u l a t i o nw a sp e r f o r m e d .T h e s ep r o b a b i l i t i e sw e r er e c a l c u l a t e d

a f t e rm a k i n gt h em a i nd i a g o n a le l e m e n t sz e r o( 0 ) .T a b l e5 r e p o r t st h e s er e s u l t s :


T h er e s u l t so f t h e a n a l y s i so f t h ef r e q u e n c i e sf r o mT a b l e2 c a nn o wb e s u m m a r i z e di n

T a b l e6 .


T h ef o u rs i g n i f i c a n t l yl o wp r o b a b i l i t i e sd i s a p p e a r e di n t h i ss e c o n do r d e ra n a l y s i s .T h e

t w o l o wo n e s w i t hr e l a t i v e l yh i g hf r e q u e n c i e sc o m p a r e dw i t ho t h e r o f f - d i a g o n a le l e m e n t s

b e c a m es i g n i f i c a n t l yh i g h .I n a d d i t i o n ,o n et h a tw a sa l m o s ts i g n i f i c a n t a l s ob e c a m e

s i g n i f i c a n t l yh i g h .T h e r ea r en o w6 o f t h e1 6 c e l l si n t h e t a b l et h a ta r e s i g n i f i c a n t l y h i g h ,

a c c o u n t i n gf o r7 8 o f t h e1 1 0r e s p o n s e s( m o r et h a n7 0 % ) ,a n dn o n es i g n i f i c a n t l yl o w .T h i s

o u t c o m e c o m p a r e sw i t h3 3 s t a b l er e s p o n s e s( 3 0% ) t o t h er i g h ta n s w e r .B yr e g a r d i n g

s t a t i s t i c a l l ys i g n i f i c a n tp r o b a b i l i t i e st o b e p s y c h o l o g i c a l l ym e a n i n g f u l ,t h e s ef r e q u e n c i e sn o w

a c c o u n tf o rn e a r l yt w oa n da h a l ft i m e sa s m u c hi n f o r m a t i o na s t h es t a b l er i g h ta n s w e r sb y

t h e m s e l v e sp r o v i d e( 7 8/ 3 3 ) .

T h ec o n c l u s i o nt h a tc a nb e d r a w nf r o mt h e s er e s u l t si s t h a t ,o n c et h i ss e c o n do r d e r

a n a l y s i sh a sb e e na p p l i e d ,t h i sp r o c e d u r es e e m st o e f f e c t i v e l y i d e n t i f y t h et r a n s f o r m a t i v e -

a n s w e rp a t t e r n st h a ta p p e a rt o b e p r e s e n tu p o nv i s u a le x a m i n a t i o n o ft h eo r i g i n a l4 x 4t a b l e .

1 2


13/49

W i t hs u c he n c o u r a g i n gr e s u l t s ,t h ef i n a ls t e pi s t o a p p l yt h i sp r o c e d u r et o a l a r g e rd a t as e tt o

o b s e r v ew h e t h e ri t p e r f o r m sa s w e l li n a m o r eg e n e r a l a p p l i e dc o n t e x t .T h eb a l a n c eo f t h i s

p a p e ri s d e v o t e dt o g i v i n gt h r e ee x a m p l e so f i t sa p p l i c a t i o na s a d e m o n s t r a t i o n o fi t s

e f f e c t i v e n e s s , o r l a c kt h e r e o f , f o rt h e n o n - l i n e a r , n o n - t r a d i t i o n a l a n a l y s i so f f r e q u e n c yt a b l e s

A p p l i c a t i o n so ft h i sp r o c e d u r e

1 . R e c o n s i d e r i n gw r o n ga n s w e r s

T h ef i r s tp r e s e n t a t i o ni s a r e s t a t e m e n to f t h er e s u l t sf r o mt h ed a t af o rw h i c ht h i s

p r o c e d u r ew a sd e v e l o p e da s r e p o r t e di n P o w e l l a n d S h k l o v( 1 9 9 2 ) .I t c o m e sf r o m t w o

a d m i n i s t r a t i o n so f t h es a m et e s tt o 2 8 1 0s u b j e c t sr a n g i n gi n a g ef r o ml e s st h a ne i g h ty e a r so f

a g et o m o r et h a ne i g h t e e n ,w i t ha f i v e - m o n t hi n t e r v a lb e t w e e na d m i n i s t r a t i o n s .T h ee n t i r e

s a m p l ew a st h e ns u b d i v i d e di n t o2 7 a g el e v e l so f f i v em o n t h se a c h .T h er e p o r t e da g ei n

m o n t h sc o m e sf r o mt h e s u b j e c t s 'a g e sa t t h ef i r s ta d m i n i s t r a t i o n .T h ee x a m p l ew e u s e da b o v e

w a sa g el e v e l1 6 6- 1 7 0( m e d i a n1 6 8 ) .

T h e s ed a t ac o m ef r o mi t e m1 8 o f G o r h a m ' s( 1 9 5 6 )T h e P r o v e r b sT e s t .T h i si t e m

r e a d s :

Q U I C K L YC O M E ,Q U I C K L YG O( E a s yc o m e ,E a s yg o ) .

a ) A l w a y sc o m i n ga n dg o i n ga n dn e v e rs a t i s f i e d( m e d i a na g e1 4 ) .

b ) W h a ty o ug e te a s i l yd o e sn o tm e a nm u c ht o y o u( r i g h ta n s w e r ) .

c ) A l w a y sd o t h i n g so n t i m e( m e d i a na g e8 ) .

d ) M o s tp e o p l ed o a s t h e yp l e a s ea n d g oa s t h e yp l e a s e( m e d i a na g e1 0 ) .

A m o r ed e t a i l e dd i s c u s s i o no f t h ei n t e r p r e t a t i o n sc h a r a c t e r i z i n g t h e s ea n s w e r si s g i v e n

e l s e w h e r e( P o w e l l , 1 9 7 7 ,P o w e l la n dS h k l o v ,1 9 9 2 )i n t h el i t e r a t u r e .I n t h ee a r l i e rs t u d y ,t h i s

t e s tw a sg i v e nt o 5 5 0e l e m e n t a r ys c h o o lc h i l d r e n ( g r a d e s3 t h r o u g h8 ) a n dt h e na

1 3


14/49

r e p r e s e n t a t i v es a m p l eo f t h e mw a si n t e r v i e w e dt o d e t e r m i n et h er e a s o n i n gb e h i n dt h e i r

a n s w e rs e l e c t i o n .

I n b r i e f ,a l t e r n a t i v e" c "w a sc h o s e nm o s tf r e q u e n t l yb y 8 y e a r - o l d s .T h e i rr e a s o n i n g

s h o w e dt h a tt h e yh a di n t e r p r e t e d" Q u i c k l yc o m e. . . "a s i t r e p r e s e n t e dt h e i rp e r s o n a lp h y s i c a l

a c t i v i t i e si n t h e i r t h i r dg r a d ec l a s s r o o m .T h e yh a dm a n yc h a n g e s o fa c t i v i t y i na s c h o o ld a y ,

a l lo f w h i c hr e q u i r e dt h a tt h e y" f i n i s ho n t i m e . "I n P i a g e t ' st e r m st h e yw o u l da p p e a rt o b e

s t i l le g o c e n t r i ca n di n t u i t i v ei n t h e i rt h i n k i n g .

A l t e r n a t i v e" d "w a sc h o s e nm o s tf r e q u e n t l yb y 1 0 y e a r - o l d s ,w i t ht h e i rr e a s o n i n g

r e p o r t ss u g g e s t i n gt h a tt h e yw e r el o o k i n gf o rt h e b e s tl i t e r a li n t e r p r e t a t i o no f t h ep r o v e r b .

T h i sc h a n g ei n r e a s o n i n gw o u l ds u g g e s tt h a tt h e yw e r en o l o n g e r e g o c e n t r i ca n dw e r e

t h i n k i n g c o n c r e t e l yi n s t e a d .

N e x ti n a g es e q u e n c ew a sa l t e r n a t i v e" a " ,m o s tc o m m o n l yc h o s e nb y 1 4 y e a r - o l d s .

T h e i r r e a s o n i n gs e e m e dt o s u g g e s tt h a tt h e yw e r em o v i n go u to f l i t e r a la n dc o n c r e t e t h i n k i n g

i n t om o r ef i g u r a t i v ei n t e r p r e t a t i o n s .

T h er i g h ta n s w e r ," b , "w a sc h o s e nm o s tc o m m o n l yb y 1 6 y e a r - o l d s ,s u g g e s t i n gt h a t

e i t h e rt h e yh a dr e a c h e df o r m a lo p e r a t i o n so r w e r ea n s w e r i n gf r o mm e m o r yb e c a u s eo f

p e r s o n a lf a m i l i a r i t yw i t ht h i sp r o v e r b .

T h i sp r e s e n tr e p o r tu s e st h ed a t af r o ma l a t e rs t u d y .T h ep u r p o s e o ft h i sl a t e rs t u d y

w a st o t r yt o r e p l i c a t et h es e q u e n c ej u s tp r e s e n t e da n dt o d e t e r m i n ew h e t h e rt h ec h a n g e s o f

a n s w e rs e l e c t i o nc o i n c i d e dw i t ht h ep o s s i b i l i t yt h a ta d e v e l o p m e n t a l s e q u e n c e m i g h tb e

p r e s e n t .

T h ep r e s e n t d i s c u s s i o np r o v i d e st h eo u t c o m e sf r o mt h et w oo r d e r so f a n a l y s i s

c o m b i n e di n t oo n et a b l e f o rc l a r i t ya n dc o n v e n i e n c e .T a b l e7 g i v e st h i sc o n s o l i d a t i o nw i t ht h e

n u m b e r si n l a r g e rf o n ta n di n b o l df a c eb e i n gt h es i g n i f i c a n t l yh i g hf r e q u e n c i e sd r a w nf r o m

1 4


15/49

t h i sp r o c e d u r e .T h en u m b e r si n s m a l l e rf o n ta n dt h el i g h tb o xa r et h es i g n i f i c a n t l yl o w

f r e q u e n c i e s .N o s i g n i f i c a n t l yl o wf r e q u e n c i e so c c u r r e di n t h em a i nd i a g o n a l .

I n s e r tT a b l e7 h e r e

T h em o s to b v i o u so b s e r v a t i o ni s t h eh u g ed i s c r e p a n c yb e t w e e nt h en u m b e ro f c e l l so f

s i g n i f i c a n t l yh i g h f r e q u e n c yt o t h o s eo f s i g n i f i c a n t l yl o wf r e q u e n c y ( 2 0 0t o 3 ) . S i m i l a r l yt h e

n u m b e ro f s i g n i f i c a n t l yh i g h f r e q u e n c yc e l l st o t h et o t a ln u m b e ro f c e l l s( 2 0 0t o 4 3 2 )s h o w sa

c o n s i d e r a b l ed e p a r t u r ef r o mr a n d o me x p e c t a t i o n s ,s u g g e s t i n gt h a tt h e s eo b s e r v a t i o n sa r e

r e f l e c t i n gs o m eu n d e r l y i n g s y s t e m a t i c a s p e c to f b e h a v i o r .I n t h er a n d o mc a s et h en u m b e ro f

s i g n i f i c a n t l yh i g hc e l l sa n dt h en u m b e ro f s i g n i f i c a n t l yl o wc e l l ss h o u l d b e a b o u te q u a l .

C o n s i d e r i n gt h ea m o u n to f r e c o v e r e di n f o r m a t i o ni s a l s o r e v e a l i n g .K n o w i n gt h a tt h e

c o r r e c ta n s w e rt o t h i sq u e s t i o ni s " B , "a d d sa d d i t i o n a li n s i g h t .N e a r l ya l l o f t h es t a b l ec h o i c e s

o f t h i sa n s w e r b e t w e e nt h et w oa d m i n i s t r a t i o n so f t h et e s ta r es i g n i f i c a n t l yh i g h ,s u g g e s t i n g a

s t r o n g e rt e n d e n c yt o r e p e a tt h i sc h o i c e t h a na n yo t h e r .H o w e v e rt h i ss t a b i l i t y ,w h i c hi s s i m i l a r

t o t e s t - r e t e s tr e l i a b i l i t y ,a c c o u n t sf o ro n l y2 3 . 8% ( 6 6 9t o 2 8 1 0 )o f a l lt h ea n s w e r s a n d3 2 %

( 6 6 9t o 2 1 1 2 )o f a l lt h es i g n i f i c a n t l yh i g hf r e q u e n c i e s .

I n c o n t r a s tt h et o t a lo f a l ls i g n i f i c a n t l yh i g hf r e q u e n c i e st o a l la n s w e r si s 7 5 . 2% ( 2 1 1 2

t o 2 8 1 0 ) . T h i sp r o c e d u r ea p p e a r st o b e r e c o v e r i n ga g r e a t d e a lm o r es y s t e m a t i ca n s w e r i n g

t h a nt h er e p e a t e dc o r r e c ta n s w e r sa l o n ec a ns u p p l y .T h er e s u l t so f t h ee n t i r eg r o u pa r es i m i l a r

t o t h eo b s e r v a t i o n sm a d ew i t h a g el e v e l1 6 6- 1 7 0m o n t h sr e p o r t e de a r l i e r .

A l s oi l l u m i n a t i n gi s t h e p a t t e r n so f s t a b i l i t ya n d c h a n g et h a tc a nb e o b s e r v e d .O n e

w a yo f d e f i n i n ga s e q u e n c ei s t o c o n s i d e rt w os i g n i f i c a n t l yh i g hf r e q u e n c i e si n c h r o n o l o g i c a l

o r d e ri n i t i a t ea s e q u e n c ea n dt w on o n - s i g n i f i c a n to r s i g n i f i c a n t l yl o wc e l l sb r e a kt h e

1 5


16/49

s e q u e n c e . F i g u r e1 g i v e s t h e s e o b s e r v a t i o n s .T h e s er e s u l t sa r er e a r r a n g e dt o s h o wt h ee v i d e n t

s e q u e n t i a lp a t t e r n s .

I n s e r tF i g u r e1 h e r e

I n t h ef i r s tp l a c e ,i t m a yb e n o t e dt h a tt h es e q u e n c e so f s i g n i f i c a n t l ys t a b l ec h o i c e s

( c = >c , d = >d , . . . )t e n dt o f o l l o wt h es a m es e q u e n t i a l p a t t e r nf o u n di n t h ee a r l i e rs t u d y . I n

a d d i t i o n ,t h em e d i a np o i n t so f t h ec h a n g e sf r o m o n e a n s w e rt o a n o t h e r( c = >d , d = >a , . . . )

t e n dt o f a l lb e t w e e nt h es o l i dc o m m e n c e m e n ta g e sf o rt h es t a b l er e p e a t e d c h o i c e so f t h i sn e x t

s e q u e n t i a la l t e r n a t i v e .T h u sa n s w e r sa p p e a rt o d i s p l a ya r e p l i c a t i n gd e v e l o p m e n t a ls e q u e n c e .

O fp a r t i c u l a ri n t e r e s ti s t h ec h a n g ef r o mt h er i g h ta n s w e r" b "t o t h eh i g h e s ts e q u e n t i a l

w r o n ga n s w e r" a "w i t ht h em o r em a t u r es t u d e n t s .T h i sr e v e r s e t r e n ds e e m st o r e f l e c ta m o v e

a w a yf r o mc o n v e r g e n tt h i n k i n gs u c ha s am u l t i p l e - c h o i c et e s tt y p i c a l l y r e q u i r e s .

I t i s a l s o i n t e r e s t i n gt o n o t et h a tt h e s e d a t as e e mt o s u g g e s tt h e r em a yb e a t l e a s tt h r e e

l e v e l so f a c h i e v e m e n tp r e s e n ti n t h o s ew h ol e a v e s c h o o la s p a r to f t h em a i n - s t r e a m .T h e r ea r e

t h o s ew h oh a v ec o n s o l i d a t e du p o nl i t e r a lt h i n k i n g( a l t e r n a t i v e" d " ) ,t h o s ew h oh a v ee i t h e r

c o m p l e t e df o r m a lo p e r a t i o n s o rw h oc a ng i v et h er i g h ta n s w e r f r o mm e m o r y( a l t e r n a t i v e

" b " ) ,a n dt h o s ew h oe i t h e rr e m a i n e da t t h el e v e lo f p e r s o n a l i z e dt h i n k i n go r g o n eb e y o n d

f o r m a lo p e r a t i o n s( a l t e r n a t i v e " a " ) .T h e r ea r e a l s oa l a r g en u m b e ro f s t u d e n t sw h oa r ei n t h e

t r a n s i t i o ns t a g e sa m o n gt h e s es e v e r a ld e v e l o p m e n t a ll e v e l sw h e nt h e yg r a d u a t e .

O ff u r t h e ri n t e r e s ti s t h eo b s e r v a t i o nt h a tt h e r ea p p e a r st o b e a s e c o n dp a t h w a ya s

w e l l .I n t h i sc a s et h eo r d e rs e e m st o b e t h er e v e r s eo f t h em a i ns t r e a m ,g o i n gf r o mt h er i g h t

a n s w e r" b "a t a y o u n ga g et o w a r de i t h e rl i t e r a lt h i n k i n g" d "o r n o n - l o g i c a l t h i n k i n g " c "b y t h e

t i m et h a tt h e yl e a v es c h o o l .S o m eo f t h e s es t u d e n t so n t h i ss e c o n dp a t h w a ya p p e a rt o l e a v e

1 6


17/49

s c h o o l b e f o r e t h e yg r a d u a t e .I t w a sf o u n dt h a tt h o s es t u d e n t sw h ow i t h d r e w f r o ms c h o o l

b e t w e e nt h et w oa d m i n i s t r a t i o n sm o s tc o m m o n l yc h o s ee i t h e r" c "o r " d . "

T h ea p p e a r a n c eo f m o r et h a no n ed e v e l o p m e n t a lp a t h w a yi s i t s e l fa n i n t e r e s t i n g

p s y c h o l o g i c a lo b s e r v a t i o n .I t b e g st h eq u e s t i o n ," H o wm a n ys u c hp a t h w a y sc a nb e f o u n d

u s i n gt h i sp r o c e d u r e ? "F u r t h e r r e s e a r c hw i l lb e n e e d e dt o a n s w e rt h i sq u e s t i o n .T h e

o b s e r v a t i o nt h a tt h i sr e v e r s ep a t t e r nm a yb e d e t e c t a b l ea t a s y o u n ga n a g ea s t e n y e a r si s

e n c o u r a g i n g .I n c o m b i n a t i o nt h e s eo b s e r v a t i o n ss e e mt o i n d i c a t et h a tu s i n gr i g h ta n s w e r sa s a

c r i t e r i o n f o ra c a d e m i cs u c c e s sm a yb e n e c e s s a r yb u tm i g h tb e a n i n s u f f i c i e n tm e a s u r eo f

a c a d e m i cp r o g r e s s .T h es t u d e n t s 'r e a s o n i n g a p p e a r st o d e t e r m i n et h ea n s w e r ss e l e c t e d .I t m a y

b e ,a s t h ei n t e r v i e wd a t as e e m st o s u g g e s t ,t h a tt h e s et r a n s f o r m a t i o n a lp a t t e r n sa m o n gt h e

a n s w e r sc o u l dp r o v i d ea w i n d o wu p o no t h e r w i s ei n v i s i b l el e a r n i n g p r o c e s s e s .

T h i s i n f o r m a t i o ni s u n a v a i l a b l ew h e nt e s t sa r es c o r e d " r i g h t - w r o n g . "W r o n g - a n s w e r

d a t ai s e l i m i n a t e dd u r i n gs c o r i n g .D o t h e s eo b s e r v a t i o n si n v a l i d a t eu s i n gt h i sa p p r o a c hf o r

t e s te v a l u a t i o no r e d u c a t i o n a lq u a l i t ya s s u r a n c e ?S h o u l dw e b e u s i n gt h ei n f o r m a t i o nf r o ma l l

s t u d e n ta n s w e r si n s t e a d ?

2 . T e a c h e r s 'a t t i t u d e st o w a r dt h e i rp r o f e s s i o n

T h i ss e c o n de x a m p l eb e i n gr e p o r t e d h e r ei s a f r a g m e n to f a m u c hl a r g e rs t u d yb e i n g

c o n d u c t e d b yt h eC o n s o r t i u mf o rC r o s s - C u l t u r a lR e s e a r c hi n E d u c a t i o n b a s e da t t h eS c h o o l

o f E d u c a t i o n o ft h eU n i v e r s i t yo f M i c h i g a ni n A n nA r b o r .T h es t u d yu p o nw h i c ht h i sr e p o r t

i s b a s e dw a sc o n d u c t e di n t w e l v ec o u n t r i e s ,A l l e nM e n l ob e i n gt h e c o o r d i n a t o r .T h i s

f r a g m e n tw a sp r e p a r e dj o i n t l yb e t w e e nP o w e l l a n dC o l l e t t( 1 9 9 0 ) .

1 7


18/49

S e c o n d a r y - s c h o o lt e a c h e r sw e r ea s k e di n d i c a t e ,w i t h i nb r a i n s t o r m i n gs e s s i o n s ,t h e i r

s o u r c e sf o re n t h u s i a s ma n dd i s c o u r a g e m e n tt o w a r dt h e i ro n - t h e - j o b e x p e r i e n c e sa s t e a c h e r s .

T h e i rc o m m e n t sw e r ec o l l e c t e do n w a l lc h a r t s ,d i s c u s s e d ,a n dt h e ns u m m a r i z e d .

U s i n ga c o d i n gs y s t e m ,t h ew r i t t e nr e c o r d so f t h e s ed i s c u s s i o n sw e r er e d u c e dt o s e v e n

c a t e g o r i e s ,e a c h o fw h i c hc o u l d b ed e s i g n a t e da s e i t h e r a sa s o u r c ef o re n t h u s i a s m( E ) o r

d i s c o u r a g e m e n t( D ) .T h e s ec a t e g o r i e sw e r ea l s oc l a s s i f i e da s b e i n gc o n t r o l l a b l e( C )b y t h e s e

t e a c h e r s o rb e y o n dt h e i ri m m e d i a t ec o n t r o l( U )T h ec a t e g o r i e sw e r e :

1 . S e l f ( C )

2 . S t u d e n t s ( C )

3 . O t h e r s( C )

4 . S e l f ( U )

5 . S t u d e n t s( U )

6 . C l i m a t e ( U )

7 . W o r k l o a d( U )

B y l o o k i n ga t o n l yt h r e ec o u n t r i e s( C a n a d a ,J a p a n ,a n dt h eU . S . A . )t h em u l t i n o m i a l

p r o c e d u r ew a su s e dt o c o n s i d e rs i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e sa m o n gt h e s e c o u n t r i e so n t h e s e

f o u r t e e nc a t e g o r i e s .W h e nt h em u l t i n o m i a l p r o c e d u r ei s a p p l i e dt o t h et a b l et h er e s u l t sw e r e :

I n s e r tT a b l e8 h e r e

T w ot r e n d sa r eo b s e r v a b l e .F i r s t ,e a c hc o u n t r ys h o w ss o m ed i f f e r e n c e sf r o mt h eo t h e r ,

w i t hC a n a d aa n dt h eU . S . A .m o r ea l i k ew i t h e a c hh a v i n ge i g h to f t h ef o u r t e e ns i g n i f i c a n t

p r o b a b i l i t i e s i nt h ei d e n t i c a l d i r e c t i o n .T h ed i r e c t i o n so f t h eo t h e rs i xw e r ea l s o e q u i v a l e n t .

J a p a nd i f f e r e df r o mt h eo t h e rt w oc o u n t r i e sb y s h o w i n gg r e a t e rp o l a r i z a t i o na n dh a v i n ga n

o p p o s i t ev i e wo f t h eu n c o n t r o l l a b l e a s p e c t so f s e l fa n dt h ec l a s s r o o me n v i r o n m e n t .

1 8


19/49

S e c o n d ,t h e r ea p p e a r st o b e a t r e n dw h e r e i nt h es o u r c e sf o re n t h u s i a s mc o m ef r o mt h e

e l e m e n t so f t e a c h i n go v e rw h i c ht e a c h e r sh a v ec o n t r o l ,a n d o f d i s c o u r a g e m e n t f r o mt h o s e

e l e m e n t s o v e rw h i c ht h e yh a v el i t t l ec o n t r o l .A l t h o u g ht h e s ec o n c l u s i o n sc o n t a i nn o

s u r p r i s e s ,t h ep r o c e d u r es e e m st o i d e n t i f yq u i t ec l e a r l yb o t hg e n e r a l t r e n d sa n di n t e r n a t i o n a l

d i f f e r e n c e sa m o n gt h e s ed a t a .

3 . P s y c h o l o g i c a lc h a r a c t e r i s t i c so fc o n t r a s t i n gg r o u p s

I n t h et h i r ds t u d y r e p o r t e dh e r e ,C a r n e y( 1 9 9 2 )p r e s e n t ss o m es i m u l a t e dd a t ad e s i g n e d

t o i l l u s t r a t ea c l u s t e r i n gt e c h n i q u et o a i di n i n t e r p r e t i n gc o u n s e l i n gs e s s i o n s .I n t h i sp a p e r

t w e l v ep e o p l e ,a l lo f w h o ma r ea d u l t c h i l d r e no f a l c o h o l i cf a m i l i e s , a r e c o n t r a s t e d .S i xa r ei n

r e c o v e r ya n ds i x a r ei n d e n i a l .T a b l e8 g i v e st h ef r e q u e n c i e so f r e s p o n s e si n s e v e nd i f f e r e n t

c a t e g o r i e sf o re a c ho f t h e s es i xc l i e n t s .


T h e s ec a t e g o r i e sw e r ec o m p a r e da s t o t o p i c ,s u c ht h a t" l i v i n gi n a s t o r m , "f o rt h o s ei n

r e c o v e r y ,w a ss e e nt o b e s i m i l a rt o " s u d d e n ,n a s t ym o o ds w i n g s , "f o rt h o s ei n d e n i a l .S i xo f

t h es e v e n c o u l db e c o n t r a s t e di n t h i sw a ya n dt h e i rf r e q u e n c i e so f r e s p o n s er a n k - o r d e r e d .T h e

r e s u l t i n gp ( r h o )w a s- 0 . 4 9w h i c hi s n e g a t i v e b u t n o ts i g n i f i c a n t .T h em u l t i n o m i a l

p r o b a b i l i t i e s a r e a l s og i v e ni n T a b l e9 .

O n l yo n eo f t h e s es i xp a i r so f c o n t e n tv a r i a b l e ss h o w e ds t a t i s t i c a l l ys i g n i f i c a n t

c o n t r a s t .H o w e v e r ,f o u ro f t h er e m a i n i n gf i v es h o wa t r e n dt o w a r da s i m i l a rp o l a r i t y .I t w o u l d

a p p e a rt h a tp e o p l ei n d e n i a l ,a n di n r e c o v e r yt e n dt o d i s p l a yo p p o s i t e p s y c h o l o g i c a la t t i t u d e s

b a s e ds o l e l yu p o nt h ef r e q u e n c i e so f t h i n g sa b o u tw h i c ht h e ya r ew i l l i n gt o t a l kd u r i n g

c o u n s e l i n gs e s s i o n s .

1 9


20/49

C o n c l u s i o n sa n dI m p l i c a t i o n s

I n t h i sp a p e rt h r e ed i f f e r e n tc o n t e x t sh a v e b e e np r e s e n t e d ,e a c h o n eh a v i n gi n

c o m m o nf r e q u e n c i e so f s o m es o r t .I n e a c hc a s et h em u l t i n o m i a lp r o c e d u r eh a se i t h e r

s u p p o r t e dt h ec o n c l u s i o n st h a tw o u l db e e x p e c t e df r o mt h e s i t u a t i o n st h a tt h e s e d a t a

r e p r e s e n t ,o r t h e yh a v ec a s tn e wl i g h to n s i t u a t i o n sw h e r em o r et r a d i t i o n a ls t a t i s t i c a l

p r o c e d u r e s a p p e a rt o b e i n s u f f i c i e n ti f n o ti n a p p r o p r i a t e .

T h i ss t a t i s t i c a lp r o c e d u r es e e m st o b e a p r o m i s i n gn e wt o o l f o rr e s e a r c h e r sw h oa r e

u n c o m f o r t a b l e w i t hm o r et r a d i t i o n a lt e c h n i q u e so r a r ef i n d i n gt h a ts u c ht e c h n i q u e sd o n o t

p e n e t r a t et h e i rd a t aa s d e e p l ya s t h e ym i g h tw i s h .T h el a r g ei n c r e a s ei n e x p l a i n e dv a r i a b i l i t y

t h a ts o m e t i m e sh a sb e e no b s e r v e dh e r e i nh o l d sp r o m i s ef o rd r a w i n gm o r ed e t a i lf r o md a t a

t h a nm o r et r a d i t i o n a ls t a t i s t i c a lt e c h n i q u e sm a ys u p p l y .W h e n e v e rt h e r em a yb e r e a s o nt o

s u s p e c t ah i g hc o m p l e x i t ya m o n gt h ee v e n t sc o n t a i n e di n f r e q u e n c y - t a b l ed a t a ,t h i sp r o c e d u r e

c o u l dp r o v eh e l p f u l .

2 0


21/49

R E F E R E N C E S

C a r n e y ,T . F . ( 1 9 9 2 ) .' C l u s t e r i n g 'a s a n a i dt o g u i d a n c e ,c o u n s e l l i n g ,a n dr e l a t e d r e s e a r c h .

G u i d a n c ea n dC o u n s e l l i n g ,8 , ( 1 ) ;3 5 - 4 9 .

F l a v e l l ,J . H . ( 1 9 6 3 ) .T h eD e v e l o p m e n t a l P s y c h o l o g y o f J e a nP i a g e t .V a nN o s t r a n d ,

N e wY o r k ,N Y .

G o r h a m ,D . R .( 1 9 5 6 ) .T h e P r o v e r b sT e s t .P s y c h o l o g i c a lT e s tS p e c i a l i s t s ,

M i s s o u l a ,M T .

P o w e l l ,J . C . ( 1 9 7 7 ) .T h ed e v e l o p m e n t a ls e q u e n c e o fc o g n i t i o na s r e v e a l e db y w r o n g

a n s w e r s .A l b e r t aJ o u r n a lo fE d u c a t i o n a lR e s e a r c h ,2 3 ,4 3 - 5 1 .

P o w e l l ,J . C . a n dC o l l e t t ,L . ( 1 9 9 0 ) .A c r o s s - c u l t u r a lc o m p a r i s o nd e r i v e df r o mt e a c h e r

s a t i s f a c t i o n a t t r i b u t i o n sf r o mU . S . A . ,J a p a n ,a n dC a n a d au s i n g

m u l t i n o m i a l. . . a n a l y s i s .P a p e rp r e s e n t e da t t h ea n n u a lm e e t i n go f t h e

A m e r i c a nE d u c a t i o n a lR e s e a r c hA s s o c i a t i o n ,B o s t o n ,M A ,A p r i l1 7 ,1 9 9 0 .

T h ef u l lr e p o r th a s n o ty e tb e e np u b l i s h e d .C o n t a c tD r .A l l e nM e n l oa t t h e

U n i v e r s i t yo f M i c h i g a n ,A n nA r b o r ,M If o rm o r ed e t a i l s .

P o w e l l ,J . C . a n dS h k l o v , N .( 1 9 9 2 ) .O b t a i n i n gi n f o r m a t i o na b o u tl e a r n e r s 't h i n k i n g

s t r a t e g i e sf r o mw r o n ga n s w e r so n m u l t i p l e - c h o i c et e s t s .T h eJ o u r n a lo f

E d u c a t i o n a la n dP s y c h o l o g i c a lM e a s u r e m e n t ,5 2 ,8 4 7 - 8 6 5 .

2 1


22/49


23/49

T a b l e1

A n I l l u s t r a t i o no f t h eI m p a c to f

S a m p l eS i z eU p o nt h eP o s s i b l e

M e a n i n g f u l n e s so f O b s e r v e dF r e q u e n c i e s

a . h .

O p t i o nX

O p t i o nY

A l lO t h e r s

T o t a l s

1 1

8

1 9

A l l o t h e r

O p t i o n s

4

0

4

T o t a l s

1 5

8

2 3

O p t i o nX

O p t i o nY

A l lO t h e r s

T o t a l s

1 1

8

1 9

A l l o t h e r

O p t i o n s

4

6 7

7 1

T o t a l s

1 5

7 5

9 0

E x p e c t e dv a l u ef o r 1 1i s 1 2 . 3 9 E x p e c t e dv a l u ef o r 1 1 i s 3 . 1 7

2 3


24/49

T a b l e2

A n E x a m p l eo f t h eP r o c e d u r e

U s i n gM u l t i p l e - c h o i c eT e s tD a t a

P o s t t e s t

F r e q u e n c y o f a n s w e r so n P r e t e s t

A B C D T o t a l s

A I I 5

B

C

I )

8

3

7

3 3

2

6

2

0

3

5

2

1 1

4 8

7

2 7

T o t a l s 2 9 4 6 8 2 7 1 1 0

S o u r c e :D a t af o ra g el e v e l s1 6 6- 1 7 7m o n t h sf r o mT a b l e4 , P o w e l l& S h k l o v( 1 9 9 2 ) .

T h ec o r r e c ta n s w e rt o t h i sq u e s t i o ni s " B . "

2 4


25/49

T a b l e3

T h eR e s u l t s o fC o l l a p s i n g

P o s t t e s t

R 0 W 2

R o w s1 + 3 + 4

T a b l e

C o l u m n ?

3 3

1 3

1 A r o u n d

C o l u m n s1 + 3

1 5

4 9

C e l l

+ 4

# 2 2

T o t a l s

4 8

6 2

T o t a l s 4 6 6 4 1 1 0

2 5


26/49

o n p

P r o b a b i l i t i e so f t h eO b s e r v e dF r e q u e n c i e s

f r o mT a b l e1 : A F i r s tL o o k

R o w1 :

O b s e r v e d

E x p e c t e d

f R v a l u e s

1 1

7 . 3 8

0 . 9 9 7

1 1 . 7 1 2 . 0 4

0 . 0 0 2 0 . 8 8 8

6 . 8 7

0 . 9 0 7

R o w2 :

O b s e r v e d

E x p e c t e d

f l v a l u e s

1 2 . 6 5

0 . 0 3 4

3 3

2 0 . 0 7

1 . 0 0 0

. 4 9

0 . 2 3 5

1 1 . 7 8

0 . 0 0 2

R o w3 :

O b s e r v e d

E x p e c t e d

/ v a l u e s

1 . 8 5

0 . 9 2 3

2 . 9 2

0 . 3 7 6

0 . 5 1

0 . 5 8 0

1 . 7 2

0 . 7 7 1

R o w4 :

O b s e r v e d 1 1

E x p e c t e d 7 . 1 2 1 1 . 2 9 1 . 9 6

f / v a l u e s 0 . 5 8 4 0 . 0 1 40 . 9 0 1

6 . 6 2

0 . 9 9 3

N o t e :P r o b a b i l i t i e sw h e r e / ?< . 9 5a r es h o w ni n i n c r e a s e df o n ta n db o l df a c e ;

w h i l ep r o b a b i l i t i e s ^> 0 . 0 5a r es h o w ni n r e d u c e df o n ts i z e .

2 6


27/49

T a b l e5

S e c o n dO r d e rA n a l y s i so f T a b l e

w i t ht h eF r e q u e n c i e si n M a i nD i a g o n a lR e m o v e d

R o w1 :

O b s e r v e d

E x p e c t e d

p v a l u e s

# * *

* * * 1 . 1 8 2 . 4 7

0 . 8 4 6 0 . 8 0 5

4 . 9 5

0 . 9 9 8

R o w2 :

O b s e r v e d

E x p e c t e d

p v a l u e s

8

4 . 9 1

0 . 9 8 9

* * *

* * * *

2 . 8 4 . 3 6

0 . 6 2 4 0 . 7 7 8

R o w3 :

O b s e r v e d

E x p e c t e d

p v a l u e s

2 . 2 9

0 . 8 5 1

1 . 6 5

0 . 7 9 6

* * *

* *

* * * *

2 . 0 4

0 . 6 7 4

R o w4 :

O b s e r v e d

E x p e c t e d

p v a l u e s

5 . 2 4 3 . 7 8 4 . 6 5

0 . 9 2 2 0 . 9 6 8 0 . 8 3 9

* * *

* * * *

2 7


28/49

T a b l e6

S u m m a r yo f t h eR e s u l t s

o f B o t h O r d e r so f A n a l y s i sF r o mT a b l e1

P o s t t e s t

F r e q u e n c yo f a n s w e r so n P r e t e s t

A B C D T o t a l sA

B

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2 8

2

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6

2

0

3

5

2

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4 8

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2 7

T o t a l s 2 9 4 6 8 2 7 1 1 0

N o t e : F r e q u e n c i e sw i t ha p r o b a b i l i t y / ?< 0 . 9 5a r es h o w ni n t h eb o x e s .T h e r e w e r e n o

l o w - p r o b a b i l i t y e v e n t sr e m a i n i n gi n t h e a n a l y s i so f t h i st a b l e .

2 8


29/49

T a b l e7

T h eR e s u l t s o ft h eA n a l y s i so f t h et w oA d m i n i s t r a t i o n s

o f I t e m1 8 f r o mT h eP r o v e r b sT e s t

S i g n i f i c a n c eo f T e s t - R e t e s tW i t h i n - l t e m R e s p o n s e s

A g e s

< 9 6

9 8

1 0 3

1 0 8

1 1 3

1 1 8

1 2 3

1 2 8

1 3 3

1 3 8

1 4 3

1 4 8

1 5 3

1 5 8

1 6 3

1 6 8

1 7 3

1 7 8

1 8 3

1 8 8

1 9 3

1 9 8

2 0 3

2 0 8

2 1 3

2 1 8

> 2 2 0

T o t a l s

T o t a l s

S o u r c e :

A g el e v e l

A

t o

A

1

0

2

1 51 1

5

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1 0

1 0

1 1

1 6

1 5

9

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3

2 5 8

1 9 6

A

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6

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1 7

1 7

2 0

1 4

1 4

1 8

1 18

5

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2 0 5

1 5 8

C o m p o s i t e

1 6 8aw a s u s e c

A

t o

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1

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3

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1

1

1

5 1

0

A

t o

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2

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1 3

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1 2

1 6

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1 1

5

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7

1 4

1 0

6

7

1 0

4

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2

6

1

1 9 4

1 5 1

o f T a b l e s

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B

t o

A

0

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42

5

5

7

5

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5

6

5

1 5

1 5

1 0

9

1 27

6

4

5

1 6 5

1 2 4

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B

t o

B

0

0

0

0

4

4

4

1 3

1 3

1 5

1 6

1 4

2 0

1 6

3 3

6 0

5 4

7 0

6 3

5 6

4 8

3 83 8

3 8

1 6

3 5

6 7 3

6 6 9

5 f r o m

t h ec a l c u l a t i o n si n t h e

B

t o

C

0

4

0

3

1

3

2

3

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0

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1

2

1

2

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2

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1

2

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1

5

2

6 8

3 4

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1

1

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2

3

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2

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5

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4

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5

9

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3

3

4

1 2 4

8 5

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0

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2

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3

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1

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6 2

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B

1

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7

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30

1

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6 1

1 3

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C

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C

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1 9 9 2 )

C

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3

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7 6

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3

1

3

3

1 8 7

1 3 0

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t o

B

3

1

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74

3

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3

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5

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1

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1 7

2 0

2 0

1 7

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9

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1 9 8

1 3 6

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1

2

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9 6

6 0

D

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D

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1 91 0

1 0

1 7

1 1

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5

1 1

1 1

2 2

2 2

1 8

1 8

1 7

1 4

1 37

7

5

5

3 2 6

2 4 4

A g e

G r o u p

T o t a l s

2 4

3 1

3 8

1 0 1

6 3

9 2

9 9

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1 1 5

9 5

1 1 7

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8 7

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7 3

1 1 0

1 8 8

1 9 3

2 0 1

1 7 7

1 6 0

1 4 4

1 1 7

8 8

8 4

5 8

7 0

2 8 1 0

2 1 1 2

M

i n

C o

2

2 9


30/49

T a b l e8

A t t r i b u t i o nS t u d y

B a s i cD a t a a n dP r o b a b i l i t i e s

A t t r i b u t i o n U . S . A .

T a r g e t E n t h u s - D i s c o u r -

l a s m a g e m e n t

/ P f P

C o n t r o l l a b l e :

S e l f 4 6 1 . 0 0 3 o . o o

2 . S t u d e n t s ) 4 8 1 . 0 0 1 6 0 . 0 0

3 . O t h e r s 2 0 . 9 3 0 . 3 3

U n c o n t r o l l a b l e :

4 . S e l f

5 . S t u d e n t s

6 . C l i m a t e

7 0 . 9 8 2 0 . 1 0

1 1 0 . 4 6 1 2 0 . 7 0

6 3 o . o o 9 9 1 . 0 0

7 . W o r k l o a d 1 8 o . o o 5 5 1 . 0 0

J a p a n

E n t h u s -D i s c o u r -

i a s m a g e m e n t

/ P f P

5 2 0 . 9 9 3 3 o . o o

1 2 8 1 . 0 0 2 6 o . o o

6 0 . 9 7 2 0 . 1

n o . o o 4 1 1 . 0 0

s i o . o o 1 0 4 1 . 0 0

1 5 7 0 . 9 6 1 3 8 0 . 0 2

n o . o o 8 7 1 . 0 0

C a n a d a

E n t h u s -D i s c o u r -

i a s m a g e m e n t

/ P f

7 6 1 . 0 0 1 0 o . o o

8 9 1 . 0 0 n o . o o

5 0 . 8 5 3 0 . 3 8

1 2 0 . 6 3 0 . 5 3

1 8 o . o o 4 4 1 . 0 0

7 8 0 . 0 01 6 1 1 . 0 0

1 9 o . o o 4 8 1 . 0 0

T o t a l s 1 9 6 4 1 8 4 3 1 2 9 8

G r a n dT o t a l

2 8 8

1 8 1 9

B O L D :F r e q u e n c i e sw i t h / ?< 0 . 9 5 .

S t a n d a r ds i z e :F r e q u e n c i e sn o ts i g n i f i c a n t .

s m a l l .F r e q u e n c i e sw i t h / ?> 0 . 0 5 .

3 0


31/49

T a b l e9

F r e q u e n c i e so f R e s p o n s e st o V a r i o u sT o p i c s

D u r i n gC o u n s e l i n gS e s s i o n s

b y A d u l tC h i l d r e no f A l c o h o l i c s

i n R e c o v e r yo f D e n i a l

I n R e c o v e r y I n D e n i a l

T o p i c F r e q u e n c yP r o b a b -

o fd i s c u s s i o n

o f r e f e r e n c e si l i t y

T o p i c F r e q u e n c y P r o b a b

o f d i s c u s s i o no f r e f e r e n c e si l i t y

L i v i n gi n a s t o r m

2 .

4 .

5 .

6 .

C r a z ym a k i n g

O v e r - a c h i e v i n g

F r o z e nf e e l i n g s

S u r v i v o rg u i l t

N o tb e l o n g i n g

5 6

5 5

5 2

4 7

3 8

6 1 | 0 . 9 9 6 16 . S u d d e n ,n a s t ym o o d

s w i n g s 2 3

0 . 8 8 4 5 . U n f a i r p r e f e r e n c e s2 9

0 . 1 1 7 1 . D o n ' td o w h a td a dd i d 4 5

0 . 5 8 4 3 . E m o t i o n a l l yl e f th o m e3 3

0 . 1 5 9 2 . C o n s t a n tc r i t i c i s m 3 8

0 . 1 4 6 4 . P h y s i c a lv i o l e n c e 3 2

0 . 0 0 9

0 . 1 7 2

0 . 9 2 1

0 . 5 1 2

0 . 8 9 2

0 . 9 0 5

3 1


32/49

A g e s

< 9 69 8

1 0 3

1 0 8

1 1 3

1 1 8

1 2 3

1 2 8

1 3 3

1 3 81 4 3

1 4 8

1 5 3

1 5 8

1 6 3

1 6 8

1 7 3

1 7 8

1 8 3

1 8 8

1 9 3

1 9 8

2 0 3

2 0 8

2 1 3

2 1 8

< 2 2 0

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* *= > r i

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P a t t e r n

A B * B *t o t o t o

B * B *A +

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4m 4* 4= > 4^ 4- 4^ 4

\ *A t ^

- < -= . 1 = ,- # -

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t o

A +

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P r o -

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B *

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D r o p - o u tP a t t e r n s

B A At o t o t o

A A D

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. # X- i _

1 -1i

D D

t o t o

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1

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l 3 v# ^ N1 = * =

M f -

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L i t e r a lE g o -

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C

4

44i i

i

4

c e n t r i c

S c h o o ll e a v i n ga g e( 1 6y e a r so l d ) .

S i g n i f i c a n t s e l e c t i o nf r e q u e n c i e s( p < 0 . 9 4 5 ) .

0 0

N o n - s i g n i f i c a n tf r e q u e n c i e s( s e q u e n c ec o n t i n u i n g ) .

S o m eo f t h e i d e n t i f i e dd e v e l o p m e n t a lp a t h w a y s .

3 2


33/49

Q B M N - S T D . B A S

R E M

R E MT h i si s a q b a s i c v e r s i o n o ft h e m u l t i n o m i a lp r o g r a mR E MD E V E L O P E DI N A U G U S TO F 1 9 9 7B Y J A YP O W E L LR E MF i n a ld e b u g g i n gd o n ew i t hA l l a nC l a p pR E M

R E MA t e s t f o r z e r o e d g e t o t a l s w a sa d d e d .

R E M

O P T I O NB A S E1

R E M

R E MI f a m a n u a le n t r y e r r o ri s m a d e ,9 1 1w i l l a b o r ti n p u t .R E MA % i s t h e o r i g i n a lO b . F r e q sR E ME % i s t h e a c t u a lo b s e r v e df r e q .t h a t t h ep r o b .i s b e i n g c o m p u t e df o rR E MF % i s t h e r e s to f t h e r o w f o r t h e c e l l E %r e m G % i s t h e r e s to f t h e c o l u m nf o r c e l l E %R E M H %i s t h e r e s t o ft h e t a b l ef o r c e l l E %R E ME M I N %h a s t h em i n i m u mp o s s i b l ev a l u e sf o r t h e c e l l o f t h eo b s . f r e q .R E ME M A X %h a s t h e m a m i m u mp o s s i b l e v a l u e sf o r t h ec e l l o f t h e o b s . f r e q .R E MP E # ,P F # P G # a n d P H #a r e t h e p r o b a b i l i t i e so f e v e n t sn = i n e a c hc e l l b a s e dR E M u p o nt h e m a r g i n a l t o t a l s o ft h e o b s . f r e q s .

R E M P T #i s t h e t o t a lp o s s i b l e p r o b a b i l i t yf o r t h e o b s e r v e dc e l l .R E M P O #i s t h e a c c u m u m l a t e d c o n s t r a i n e d p r o b a b i l i t yo r t h e o b s . f r e q .R E MP i s t h e f i n a lp r o b a b i l i t yo f o b s e r v a t i o n sl e s s t h a no r e q u a lR E M t o t h e o b s e r v e df r e q u e n c y .R E M

R E ML O G F A CI S A T A B L EO F T H E F A C T O R I A L SI N L O GF O R M A T( 0 - > 5 0 0 )R E M

L A S T C E L L %= 4 ' U S E4 I N O R D E RT O C O M P U T ET H E E N T I R ET A B L EL A S T L O G %= 6 0 0 ' T H E N U M B E RO F L O G SI N T H EL O GT A B L E S

1 T H E S EV A R I B L E SA R E S E TA T R U N - T I M E ,1 T O C O N F I G U R ET H E S H A P E O F T H E I N P U TM A T R I X

L A S T R O W %= 0L A S T C O L %= 0

D A T A1 5 , 5 , 2 , 1 2D A T A1 7 , 5 4 ,7 , 2 0D A T A3 , 4 , 2 2 , 3D A T A1 4 , 9 , 3 , 3

D I MA % ( 1 0 ,1 0 ) , E % ( 1 0 ,1 0 ) , F % ( 1 0 ,1 0 ) , G % ( 1 0 ,1 0 ) , H % ( 1 0 ,1 0 )D I M E M I N % ( 1 0 ,1 0 ) , E M A X % ( 1 0 ,1 0 )D I MP E # ( 1 0 ,1 0 ) , P F # ( 1 0 ,1 0 ) , P G # ( 1 0 ,1 0 )D I MP H # ( 1 0 ,1 0 ) , P T # ( 1 0 ,1 0 ) , P O # ( 1 0 ,1 0 )D I MP # ( 1 0 ,1 0 )D I ML O G F A C # ( 0 T O6 0 0 )

1

' O p e nt h e o u t p u tf i l e

O P E N" Q B M N - S T D . O U t "F O RO U T P U TA S # 1

C L S

' C a l a u l a t el o o k - u p t a b l e so f f a c t o r i a ll o g s .

F O R 1 %= 1 T O L A S T L O G %L O G F A C # ( I % )= 0

N E X T1 %

P a g e1


34/49

Q B M N - S T D . B A S

L O G F A C # ( 0 )= L O G ( l )' T H

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SHKLOV, POWELL (2001) a Non-Linear Analytical Approach to Single Cells

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