1

Signalbehandling og matematik (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Session 5.Z-transformation

Ved Samuel Schmidtsschmidt@hst.aau.dk

http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/

Basis signaler: Unit sample og Unit step

0,10,0

][nn

n

0,00,1

][nn

nu

Repetition

2

Impuls respons

T{∙}

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

][][ nTnh ][nh][n

Side 23 Oppenheim

Repetition

3

LTI egenskaber:Stabilitet og impuls responsen

k

khS ][

Et LTI system er stabilt hvis og kun hvis

4

Stabilitet

• Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset

• Bounded input Bounded output (BIBO)

nallfornx ,][ nallforny ,][ Givet

5

Differentialligninger med linære konstanter i det tidsdiskrete domæne

M

mm

N

kk mnxbknya

00

][][

•Differentialligninger har ikke unikke løsninger

•Lineart hvis systemet initialiseres ved hvile ved n=0

Repetition

7

Signaler og systemer i de 3 domænerSystem OutputInput Output

Tids domænet:

][nx ][nh ][*][][ nhnxny

Fourier domænet:

)( jeX )( jeH )()()( jjj eHeXeY

)(zX )(zH )()()( zHzXzY Z-transfomation:

Repetition

8

Session 3.

• Z-transform• Z transformationer som en rationel funktion• Invers z-transform• Egenskaber ved z- transformation

9

Hvorfor z-transformation

• Z-transformationen giver analytiske fordele– Hurtig foldning mellem signaler– Kan bruges på den stor gruppe af signaler

10

Z-transformation

• z-transformation

• Hvor z er et komplekst talF.eks. z=2+j3

n

n

znxzX

][)(

Re

Im

1

1

2

2

3

z

11

Simple eksempler

kz

z

z

z

zzXknnx

zXnnx

zzzzzXnx

zzzzzXnx

)(][][

1)(][][

1752)(]1,0,7,5,2,1[][

17521)(]1,0,7,5,2,1[][

44

33

311222

532111

n

n

znxzX

][)(

12

Konvergens af z-transformation

• z transformationen må repræsentere en endelig værdi for en givet z.

• Hvilket kræver at z transformationen summen konvergere

Derfor skal z ligge i det som hedder region of convergence

)(zX

n

n

znxzX ][)(

13

Simple eksempler

kz

z

z

z

zzXknnx

zXnnx

zzzzzXnx

zzzzzXnx

)(][][

1)(][][

1752)(]1,0,7,5,2,1[][

17521)(]1,0,7,5,2,1[][

44

33

311222

532111

n

n

znxzX

][)(

0z

zz &0

zHvis k>0

ROC:

14

Z-transformation og konvergens

• z-transformation

• Z på polar form

n

n

znxzX

][)(

nj

n

j ernxerXzX

][)()(

jerz

nj

n

nj ernxerXzX

][)()(

Re

Im

1

1

2

2

3

ωr

-20 -10 0 10 200

2

4

6

8

10

n

r-n

Eksponentielle funktioner

r=0.9r=1.1r=1

15

Konvergens af z-transformation afhængig af |z|

• Da

• Da det er r-n ledet som afgør konvergens er |z| afgørende for konvergens i z-transformationer

n

n

znx ][

zrhvorerz j

nj

n

nj ernxerXzX

][)()(

16

z-transformation af unit step (1/2)

0,00,1

][nn

nu

n

n

znuzX

][)(

0

)(n

nzzX

n

n

znxzX

][)(

Konvergere summen? (Hvis du kender z)

Ja hvis |z|>1

17

z-transformation af unit step (2/2)• Husk at:

Hvor

• Derfor bliver z-transformationen af unit step

• Hvis r>1 (eller |z|>1) konvergere z- transformationen af unit step responsen

nj

n

nj ernxerXzX

][)()(

00

)(n

njn

n

n erzzX

zrhvorerz j

18

Regionen af konvergens (ROC)

• Da konvergensen kun afhænger af amplituden af |z| og er uafgængi af fasen vil værdierne af z som opfylder konvergens formes som en cirkel i det komplekse plan

• Altså hvis |z|>1 som vi fandt ved Unit step signalet

Re

Im

1

1

2

2

3

19

Regionen af konvergens (ROC)

• Hvis|z|<0.7

Re

Im

1

1

2

2

3

20

Eksempel• Højresiddet eksponentiel signal• Z-transformation:

• For at konverger skal

• Det vil sige hvilket sker når

• Hvis |z|>a kan vi bruge vores geometriske rækker

][][ nuanx n

0

1

0

][)(n

nn

n

nn

n

n azzaznuazX

azazz

azazzX

n

n

10

1

11)(

n

n

znx ][

0

1

n

naz

11 az az Re

Im

1

1

a*

21

Eksempel• Venstre eksponentiel signal• Z-transformation:

• For at konverger skal hvilket sker når

• Hvis |z|<a kan vi bruge vores geometriske rækker

]1[][ nuanx n

0

1

01

11)(n

nn

n

nn

n

n zazazazX

azazz

azzazazX

n

n

110

1

11

1111)(

n

n

znx ][

11 za az

Re

Im

1

1

a*

n

n

nn

n

n zaznuazX

1

]1[)(

22

ROC og signal typer

• Kausal eksponentiel n

n

znxzX

][)(

azazz

azazzX

n

n

10

1

11)(

23

ROC og signal typer

• Ikke Kausal eksponentiel (Venstre sidet)

n

n

znxzX

][)(

azazz

azzazazX

n

n

110

1

11

1111)(

24

Session 3.

• Z-transform• Z transformationer som en rationel funktion• Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation

25

Z transformationer som en rationel funktion

)()()(zQzPzX

Det vil sige en ratio mellem 2 polynomiske funktioner

Hvor P(z) og Q(z) er polynomier

22

11 P(z) zbzb

22

11 Q(z) zaza

N

k

kk

M

k

kk

MM

MM

za

zb

zazazazbzbzb

zQzPzX

0

02

21

1

22

11

)()()(

26

Nuller og Poler

• Nuller – Værdier af z som hvor X(z)=0 kaldes nuller

• Hvilket er rødderne til tæller polynomiet

• Poler– Værdier af z som hvor X(z)= ∞ kaldes poler

• Hvilket er rødderne til nævner polynomiet

• ROC kan ikke indeholde polerne

0 Q(z) 33

22

11 zazaza

0 P(z) 33

22

11 zbzbzb

22

11

22

11

)()()(

zazazbzb

zQzPzX

27

Nuller og Poler i vores tidligere eksempler

• Nuller: X(z)=0 når z=0 • Poler: X(z)=∞ når z=a

azazzzX

)(

Re

Im

1

1

a*

][][ nuanx nHøjresiddet eksponentiel signal:

28

Z-transformation Eksempel • Kombination af to eksponentielle signaler

-10 0 10 200

0.5

1

1.5

2

x[n]

n

][31][][ 2

1 nununxn

n

n

n

nn znunuzX

][

31][)( 2

1

0 0

1311

21)(

n n

nnzzzX

31

21

121

1311

21

)(21

11

1)(

zz

zzzz

zXRe

Im

1

1

*1/2*1/3

29

Egenskaber ved ROC

• Egenskab 1:– ROC er en ring eller skive centeret i z-planet

• Egenskab 2:– Fourier transformationen konvergere kun hvis

enhedscirkelen er inkluderet i ROC• Egenskab 3:

– ROC indeholder ingen poler

30

Egenskaber ved ROC

• Egenskab 4:– Når x[n] er afgrænset fylder

ROC hele z-planet på nær z=0 og z=∞

Re

Im

1

1

a

31

Egenskaber ved ROC

• Egenskab 5:– Når x[n] er højre siddet (Kausalt) er ROC er en ring

som forsætter fra den største pol til z=∞

-10 0 10 20 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n]

Re

Im

1

1

a*

32

Egenskaber ved ROC

• Egenskab 6:– Når x[n] er venstre siddet (ikke Kausalt) er ROC er

en skive som afgrænses af den mindste pol

Re

Im

1

1

a*

-30 -20 -10 0 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n]

33

Egenskaber ved ROC

• Egenskab 7:– Når x[n] er to siddet er ROC er en ring som

afgrænses af den mindste pol som bidrager til n<0 og den største pol som bidrager til n>0.

Re

Im

1

1

a1*

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n]

a2*

34

Egenskaber ved ROC

• Egenskab 8:– ROC er en sammenhængende region

35

Session 3.

• Z-transform• Z transformationer som en rationel funktion• Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation

36

Formel Invers z-transformation

c

n dzzzXj

nx 1)(21][

Hvor C er mod uret integrering over en cirkel som omgrænser alle poler

Re

Im

1

1

a

*

*

*

37

Invers z-transformation praktisk

• Inspektions metode• Partialbrøks-opspaltning• Potensrække ekspansion (power series expansion)

38

Invers z-transformation Inspektions metode

• Genkendelse af kendte transformations par.– Kig i tabel 3.1 i bogen

• Eksempel. Vi ved at

• Så når vi ser en z-transformation som ser sådan ud

• Kan vi se at:

azaz

nuaZ

n

,1

1][ 1

21,)(

1

211

1

zzXz

][][ 21 nunx n

39

Fra z-transformation til tidsdomæne

Z-transformation

Inspektion

Tidsdomænet

Partialbrøks-opspaltning Potensrække ekspansion

40

Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning

• Når vi ikke umiddelbart kan finde funktions led i tabeller. Kan vi måske simplificere funktionen med Partialbrøksopspaltning En rationelt funktion som denne

• Kan faktoriseresHvor ck er ikke nul nuller og dk er ikke nul poler

N

k

kk

M

k

kk

za

zbzX

0

0)(

N

kk

M

kk

zd

zc

abzX

1

1

1

1

0

0

)1(

)1(

)(

41

Invers z-transformation Partialbrøksopspaltning

• Hvis M<N kan

• Ekspanderes som

• Hvor Ak kan findes:

N

kk

M

kk

zd

zc

abzX

1

1

1

1

0

0

)1(

)1(

)(

N

k k

k

zdAzX

111

)(

kdz

kk zXzdA

)(1 1

Hvis M≥N kan antallet af nuller (M) reduceres med polynomiedivision

42

Partialbrøksopspaltning eksempel (1/4)

1,1

21)( 2211

23

21

zzzzzzXZ transform:

Vi har anden orden poler og nuller alstå M=N. Derfor reducere vi antallet af nuller med polynomiedivision

1523

2121

1

12

121232

21

zzz

zzzz

1,1

152)( 2211

23

1

zzz

zzX

43

Partialbrøksopspaltning eksempel (2/4)

,)1)(1(

152)( 1121

1

zz

zzX Faktoriseret udgave

,1

152)( 2211

23

1

zz

zzX

Ekspansion:,

)1()1(2)( 1

21

21

1

zA

zAzX

Fra forrige side

Poler: zk 212

211

23 ,1,01

kk zzzz

44

Partialbrøksopspaltning eksempel (3/4) kdz

kk zXzdA

)(1 1

21

121

1 )(1

z

zXzA

)1(1512

)1)(1(1521 1

11

21

1121

11

21

1

zzz

zzzzA

Beregning af A1:

Hvor vi ved fra forrige side: ,)1)(1(

152)( 1121

1

zz

zzX

9)21(110)11(2

)1(1512

21

1

11

21

1

zzzzA

A1 er derfor:

Når z=1/2 er A1 derfor:

45

Partialbrøksopspaltning eksempel (4/4)

• A2 findes på samme måde

• Derfor er

• Ved inspektion og ved hjælp fra tabel 3.1

8)(11

12

zzXzA

1121 1

81

92)(

zzzX

][8][9][2)( 21 nnnnx n

46

Invers z-transformation Potensrække ekspansion

• Det inverse af hvad vi gør med de geometriske rækker:

321

0

1

1)(

1,1

1)(

zzzzzX

zz

zX

n

n

]3[]2[]1[][][ nnnnnx

Ved hjælp af Inspektion finder vi:

mznn ][ 0

47

Eksempel: på potensrække ekspansion

• Her kan vi dividere brøken ud til summerings række, med polynomiedivision

• Resultat ved hjælp af Inspektion

azaz

zX

,1

1)( 1

22

221

1

1

221

1

1

111

zazaaz

azaz

zaazaz

2211)( zaazzX

][]3[]2[]1[][][ 321 nuanananannx n

48

Session 3.

• Z-transform• Z transformationer som en rationel funktion• Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation

49

Egenskaber ved z- transformation

• Z-transformationen er Lineær

)()(][][ 2121 zbXzaXnbxnax

50

Egenskaber ved z- transformation

• Tids skifte x[n-n0]:• Bevis:

Z-transformation:

Substituer: m=n-n0

)(][ 00 zXznnx n

][][ 0nnxny

n

nznnxzY ][)( 0

m

nmzmxzY )( 0][)(

n

mn zmxzzY )(][)( 0

)(zX

51

Egenskaber ved z- transformation

• Multiplikation i z-domænet svare til foldning i tids domænet

)()(][*][ 2121 zXzXnxnx

52

Bevis for)()(][*][ 2121 zXzXnxnx

][][][ knhkxnyk

)()()(

)(][][)(

][][][)(

][][][)(

zHzXzY

zHzkxznyzY

zknhkxznyzY

zknhkxznyzY

k

k

nn

n

n

n

n

k

nn

n

n

n

n

k

nn

n

Foldningssum

Z- trans formation af foldningssum

Tidsskifte egenskab

53

System analyse med Z-transform

• Z-transform form af impuls responsen– (ofte kalde system responsen)

• Implus responsen fra input og output

• System output

)(][ zHnh

)()()(zXzYzH

)()()( zHzXzY

54

Session 3.

• Z-transform• Z transformationer som en rationel funktion• Invers z-transform • Egenskaber ved z- transformation