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Alexandre Marques Notari

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

ARITMÉTICAS E ALGÉBRICAS:

UM DIAGNÓSTICO COMPARATIVO DOS

PROCEDIMENTOS

Mestrado em Educação Matemática

PUC – SP

2002

Alexandre Marques Notari

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ARITMÉTICAS E ALGÉBRICAS:

UM DIAGNÓSTICO COMPARATIVO DOS PROCEDIMENTOS

Texto apresentado à Banca

Examinadora da Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo, como exigência

parcial para a obtenção do título de

Mestre em Educação Matemática, sob a

orientação da Profa. Dra. Anna

Franchi.

Pontifícia Universidade Católica – São Paulo

2002

BANCA EXAMINADORA

_________________________________

_________________________________

_________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos, a reprodução total ou parcial

desta dissertação por processo eletrônico ou de fotocopiadora.

Assinatura:_______________________ Local e Data:___________________

“Cada um de nós tem na vida um

ponto distante: é com ele que

sonhamos, é por ele que lutamos e é

dele que devemos nos aproximar dia

a dia, hora a hora, até o final da nossa

existência”.

Dedicatória

Vicente Notari, meu pai – “in memorian”.

Oscarina, minha mãe, e Marco Antonio, meu irmão, pelo

apoio e perseverança nas horas difíceis.

AGRADECIMENTOS

A Deus e a todas as forças do Universo que me guiam.

À Professora Doutora Anna Franchi, pela orientação, compreensão,

paciência, amizade e empenho.

À Professora Doutora Sonia Barbosa Camargo Igliori, por tudo o que

fez por mim e que permitiu esse momento.

Ao Professor Doutor Vinício Macedo, por aceitar fazer parte da Banca

Examinadora.

A todos do Departamento CAVOC, das Faculdades Oswaldo Cruz,

especialmente, a meu amigo Arley.

Aos alunos que participaram do estudo.

Àquelas pessoas ou instituições que participaram de forma direta, ou

indireta, na minha formação.

RESUMO

Esta pesquisa tem como objetivo obter um diagnóstico sistemático dos principais

erros e dificuldades manifestados por alunos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio na

simplificação de frações aritméticas e algébricas. Foram selecionadas, para a investigação,

uma 8ª série do Ensino Fundamental e uma 1ª série do Ensino Médio de duas escolas

públicas da Região Oeste, da cidade de São Paulo. Assumimos como referencial teórico os

advindos de pesquisas em que a Álgebra, nesses níveis de ensino, deve buscar seus

fundamentos nas leis da Aritmética. Entretanto, não o reduz a uma generalização dessas

leis, uma vez que o sistema conceitual algébrico incorpora elementos e inter-relações com

características próprias. Os dados foram obtidos por meio de estágio em uma classe de

cada uma das séries mencionadas, de aplicação de uma prova e de entrevistas. As

principais conclusões apontam para um elevado número de erros na simplificação de

frações algébricas que revelam uma incompreensão das regras formais que regulamentam

essas transformações. Entre esses, ocorre uma predominância de erros devidos a uma

generalização de regras de uma situação para outra, sem uma análise das condições que

validam essa generalização. Revelam no tratamento das expressões aritméticas um

predomínio de procedimentos computacionais realizados automaticamente, sem uma

reflexão sobre a natureza da tarefa proposta; indicam, ainda, uma ausência de integração

entre os domínios conceituais aritméticos e algébricos.

Palavras- chave: frações aritméticas e algébricas, equivalência de frações, procedimentos

de simplificação, erros.

ABSTRACT

This research has as objective to get a systematic diagnosis of the main errors anddifficulties revealed for pupils of Basic Ensino and Average Ensino in the simplification ofarithmetical and algebraic fractions. They had been selected, for the inquiry, one 8ª seriesof Basic Ensino and one 1ª series of Average Ensino of two public schools of the RegionWest, of the city of São Paulo. We assume as referencial theoretician the happened ones ofresearch where Algebra, in these levels of education, must search its beddings in the lawsof the Arithmetic. However, it does not reduce it to a generalization of these laws, a timethat algebraic the conceptual system incorporates elements and Inter-relations with propercharacteristics. The data had been gotten by means of period of training in a classroom ofeach one of the mentioned series, application of a test and interviews. The mainconclusions point with respect to one high number of errors in the simplification ofalgebraic fractions that disclose a incompreensão of the formal rules that regulate thesetransformations. Between these, a predominance of errors due to a generalization of rulesof a situation for another one occurs, without an analysis of the conditions that validate thisgeneralization. They disclose in the treatment of the arithmetical expressions apredominance of automatically carried through computational procedures, without areflection on the nature of the task proposal; they indicate, still, an absence of integrationbetween the arithmetical and algebraic conceptual domínios.

Words key: arithmetical and algebraic fractions, equivalence of fractions,procedures of simplification, errors.

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APRESENTAÇÃO

Nesta pesquisa, procuramos investigar os procedimentos utilizados por alunos do

Ensino Fundamental e do Ensino Médio na simplificação de frações aritméticas e algébricas,

buscando, por um lado, verificar se estabelecem relações de equivalência entre a fração dada e

a fração obtida pela simplificação; por outro lado, conhecer as manifestações dos sistemas

conceituais aritméticos e algébricos no tratamento dessas expressões. O estudo desenvolveu-se

em uma classe do Ensino Fundamental e em uma outra do Ensino Médio de Escola Pública, na

cidade de São Paulo.

Nosso objetivo foi o de obter um diagnóstico sistemático dos principais erros e

dificuldades manifestados por esses alunos na simplificação de frações aritméticas e

algébricas, procurando compreendê-los.

Os fundamentos teóricos que nortearam esta pesquisa preconizam que a introdução

da Álgebra no ensino básico é realizado pela via das regularidades que governam as leis

numéricas. A Álgebra não se reduz à “generalização” da Aritmética, porque as regras

formais de reescrita operam sobre as expressões algébricas e literais e, embora encontrem

um fundamento no domínio aritmético, se inserem em um domínio conceitual próprio.

Privilegiamos as pesquisas de Booth (1988), Mason (1996), Kaput (1996) e os

estudos apresentados por Lemoyne, Conne e Brun (1993), que consideram a hipótese de

que os erros dos alunos em Álgebra estão diretamente relacionados aos hábitos escolares

desenvolvidos ao longo dos estudos primários.

A escolha do tema deu-se em virtude da leitura e discussão de pesquisas

relacionadas ao ensino de Álgebra, conforme aparecem citadas na fundamentação teórica

deste estudo.

Para esta investigação, selecionamos uma classe de 8ª série do Ensino Fundamental

e uma de 1ª série do Ensino Médio, ambas de escolas públicas da Região Oeste da cidade

de São Paulo. Os dados foram obtidos por meio de estágio nas referidas classes e de um

instrumento diagnóstico.

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Encontramos um grande número de erros nas atividades de simplificação das frações

algébricas, os quais revelam a incompreensão das regras formais que regulamentam as

transformações necessárias nessa simplificação. Em atividades onde havia tratamento das

expressões aritméticas, predominaram os procedimentos computacionais realizados

automaticamente, sem a reflexão sobre a natureza da tarefa proposta, indicando ausência de

integração entre os domínios conceituais aritméticos e algébricos.

Este trabalho está organizado em cinco capítulos, sendo que no Capítulo I,

apresentamos Problemática e Justificativa.

No Capítulo II, descrevemos o Referencial Teórico utilizado, expondo o

posicionamento de alguns dos pesquisadores que enfocam a Álgebra como “generalização

das leis que regem as relações numéricas” e algumas das reflexões dadas por Lemoyne,

Conne e Brun (1993) que apresentam erros de alunos em Álgebra, relacionados aos seus

hábitos escolares durante os estudos primários.

No Capítulo III, Procedimentos Metodológicos, é apresentada a metodologia

utilizada para a realização deste trabalho: o contato com as escolas, o período de estágio de

campo, a elaboração e aplicação do instrumento piloto, de uma prova escrita, e entrevistas.

No Capítulo IV, Análise dos Resultados, está a categorização dos procedimentos e

erros cometidos pelos alunos, como também as respectivas análises quantitativa e

qualitativa.

O Capítulo V apresenta a conclusão e Considerações Finais desta pesquisa. É

seguido pelas Referências Bibliográficas e pelos Anexos referentes ao instrumento piloto,

prova, entrevistas e protocolos dos alunos.

12

CAPÍTULO I

PROBLEMÁTICA E JUSTIFICATIVA

“A Álgebra começa como a arte de manipular somas, produtos e potências de

números. As regras para essas manipulações valem para todos os números, de modo que

as manipulações podem ser levadas a efeito com letras que representem números. Revela-

se, então, que as mesmas regras valem para diferentes espécies de números [...] e que as

regras inclusive se aplicam às coisas [...] que de maneira nenhuma são números. Um

sistema algébrico, como veremos, consiste em um conjunto de elementos de qualquer tipo

sobre os quais operam funções como a adição e a multiplicação, contanto apenas que

essas operações satisfaçam certas regras básicas” ( 1988; p.9).

No artigo de Usiskin (1998), apresentado em tradução, a Álgebra da escola média é

relacionada com a compreensão das variáveis e das operações com essas variáveis em um

determinado domínio. O autor considera o conceito de variável como multifacetário e

afirma que “as finalidades da Álgebra são determinadas por, ou relacionam-se com,

concepções diferentes da Álgebra que correspondem à diferente importância relativa

dada aos diversos usos das variáveis” (1988; p.13).

Entre essas concepções, considera a que denomina de “Álgebra como Aritmética

generalizada”, em que as variáveis são pensadas como generalizadoras de modelos. Por

exemplo, generalização das propriedades formais das operações, formulação matemática

de leis que descrevem as relações de dependência entre variáveis.

“Historicamente, a invenção da notação algébrica, em 1564, por François Viéte teve

efeitos imediatos. Em cinqüenta anos, a geometria analítica foi inventada e trazida a uma forma

avançada. Em cem anos, surgiu o cálculo. Esse é o poder da Álgebra como generalização da

Aritmética” (1988; p.14).

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Kaput (1996) considera a Álgebra como generalização e formalização de

regularidades e condições e, de modo especial, mas não exclusivamente, como raciocínio

aritmético generalizado e raciocínio quantitativo generalizado. Conforme afirma, muitas

atividades matemáticas têm como características intrínsecas a generalização e a

formalização. Os contextos de situações e os sistemas matemáticos em que essas podem

ocorrer, são ilimitados. As ações de generalização são traduzidas em expressões, em

proposições algébricas, ou seja, em objetos simbólicos formais, sendo submetidas a

raciocínios posteriores em que se busca a formalização. Um processo de formalização

gradual deve preceder ao trabalho com formalismos. Esse autor considera também que o

fracasso escolar no campo da Álgebra deve-se a formalização precoce da linguagem

algébrica, assim, afirma: “têm sido demonstrados que os esforços para relacionar a

experiência dos estudantes aos formalismos, depois de terem sido introduzidos, não têm

obtido resultados satisfatórios” (Kaput; 1996, p.89).

O autor ainda sustenta que esse processo de generalização não se inicia nos

primeiros anos do Ensino Fundamental nem se finaliza neles, aparecendo também nos

níveis mais complexos do pensamento matemático como, por exemplo, na teoria dos

números algébricos e na criação de modelos matemáticos avançados.

Em uma perspectiva mais abrangente, Mason (1996) acredita que a generalização é

a essência do pensamento algébrico em um movimento de dupla via entre o particular e o

geral, entre conjecturar e justificar. Nesse movimento, busca-se a produção de expressões

aritméticas possíveis de serem generalizadas e, em que se trabalham implicitamente

variáveis dependentes e independentes.

Embora essas abordagens diferenciem-se quanto à relevância dada a alguns

aspectos específicos, apresentam em comum o fato de considerarem as leis da Aritmética

como alicerce às leis da Álgebra e “(...) como instrumento para expressar generalidades e

controlar o desconhecido” (Mason; 1996, p.8).

Esta pesquisa insere-se nessa direção, ou seja, no estudo de expressões algébricas

pela via das regularidades que governam as leis numéricas. A Aritmética é tomada como

fonte da Álgebra, porém, não se reduz à generalização da mesma.

“...os primeiros conceitos da Álgebra elementar apóiam-se nos aritméticos, mas se

diferenciam; a Álgebra é um domínio conceitual novo que prolonga o domínio da

Aritmética que o aluno já domina parcialmente; em Álgebra, as regras formais de

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reescrita operam sobre as expressões algébricas e literais. Determinadas regras derivam

das propriedades das operações e podem encontrar um fundamento no domínio aritmético,

mesmo se elas se separam para construir um domínio próprio, aquele da Álgebra. A

aplicação de regras não tem necessariamente por objetivo efetuar um cálculo” (Lemoyne,

Conne e Brun; 1993; p.338).

Este estudo investiga os procedimentos utilizados pelos alunos nos cálculos

numéricos e literais efetuados na simplificação de frações, observando como as

características específicas dos sistemas conceituais aritméticos e algébricos se manifestam

no tratamento dessas expressões; se os alunos estabelecem relações de equivalência entre

a fração dada e a fração obtida pela simplificação.

Nosso objetivo foi realizar um estudo diagnóstico sistemático dos principais erros e

dificuldades manifestados por alunos e, simultaneamente, identificar os conhecimentos

envolvidos em seus procedimentos corretos e incorretos de simplificação das frações

propostas no instrumento diagnóstico.

A opção pela direção deste trabalho, referenciada acima, surgiu de nossa leitura e

discussão de pesquisas relacionadas ao ensino da Álgebra nos níveis Fundamental e

Médio, especialmente as desenvolvidas por Booth (1984, 1988), Lemoyne, Conne e Brun

(1993), e pelo fato desse tema constar das propostas e da linha de pesquisa do subgrupo

coordenado pela orientadora desta pesquisa.

As propostas e os resultados obtidos pelo SARESP – Sistema de Avaliação do

Rendimento Escolar do Estado de São Paulo1, apontam para a pertinência e relevância de

nosso estudo sobre as dificuldades e erros cometidos pelos alunos na aprendizagem inicial

em Álgebra.

Analisando o material oferecido pelo SARESP, especialmente em sua edição de

1997, observamos um fraco desempenho em Álgebra, sendo que a média dos alunos da 8ª

série do Ensino Fundamental correspondeu a 33,0%, moda e mediana a 30,0%, ou seja,

muito próximas.

1 SARESP – Coordenado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, informações obtidas no sitedo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais disponível na Internet: (www.mecgov.br/inep) emmaio/2002.

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Além disso, constatamos que os conteúdos da Matemática como de outras

disciplinas requerem, na maioria das vezes, uma interpretação do aluno sobre a

equivalência de frações aritméticas e algébricas. Na construção do gráfico da função real

dada por c

baxxf

+=)( , a identificação de seus coeficientes angular e linear é

imprescindível, sendo a reescrita da lei dessa função o caminho mais apropriado; isto é,

rescrevê-la como c

bx

c

a)x(f += .

Também no estudo sobre aplicações matemáticas nas áreas da Economia e

Administração, exige-se esse procedimento de reescrita de frações em casos como

2

503 += qCt , em que Ct indica o custo total de uma dada empresa e q sua quantidade

produzida. Nesse caso, a reescrita dessa função econômica como Ct 2

350q

2

3 += é que

possibilita ao aluno identificar nitidamente que seu custo fixo é de 175 reais; ou seja, 2

350.

Nos dois exemplos, observamos que a não identificação da equivalência entre

frações, utilizando-se sua reescrita, pode dificultar o reconhecimento dos alunos sobre os

coeficientes das funções envolvidas; pode ainda levá-los a um procedimento incorreto de

simplificação, como 2

32)(

+= xxf em 3)( += xxf , conforme apontam pesquisas na área

que serão descritas no Capítulo seguinte.

Os erros na simplificação de frações algébricas, como os acima citados, não se

manifestam, apenas em alunos do Ensino Fundamental e Médio, pois também observamos

e constatamos a existência dessas dificuldades e tipos de erros cometidos pelos próprios

alunos do Ensino Superior.

Bertoni (1998) argumenta que “os erros revelam a diversidade profunda dos

processos de aprendizagem dos alunos, sugerindo estratégias para atender as dificuldades

específicas e melhorando a qualidade do ensino” (p.17).

“(...) o grande desafio do professor é ele identificar esses erros, perceber suas

incidências e planejar situações didáticas pertinentes para provocar sua superação,

evitando que se transformem em erros sistemáticos” (Bertoni, 1988; p.125).

16

Portanto, os subsídios para as propostas alternativas de ensino sobre as frações

podem ser obtidos pela identificação, qualificação e compreensão dos erros cometidos pelos

nossos alunos e suas justificativas nos procedimentos de simplificação dessas frações.

O diagnóstico sobre os erros na perspectiva acima descrita nos oferece as primeiras

direções para a elaboração dos instrumentos de investigação.

Nosso estudo incide sobre uma população de alunos de escolas estaduais de 8ª série

do Ensino Fundamental e 1ª série do Ensino Médio, contendo questões aritméticas e

algébricas.

Pretendemos identificar os procedimentos de simplificação utilizados pelos alunos na

busca das frações equivalentes propostas na prova, a qual contém questões aritméticas, em

particular nos casos em que as frações apresentam numerador e denominador representados

na forma fatorada. Quais os conhecimentos envolvidos e como se caracterizam.

Quanto aos aspectos algébricos, restringimo-nos a questões que envolvem

simplificação em frações do tipo b

xa.,

x

bax + e

x

bax., com b e x não nulos.

Pretendemos também verificar:

- como os alunos utilizam as propriedades aritméticas na simplificação de

expressões algébricas, justificando seus procedimentos pela aplicação dessas propriedades;

além disso, se eles relacionam essas propriedades às condições em que é possível aplicá-

las;

- se os alunos manipulam expressões aritméticas e algébricas como inseridas

em sistemas conceituais distintos e sem relação alguma;

- a ocorrência de erros que se situam na transição da Aritmética para a

Álgebra, como os que se referem à aplicação indevida de uma determinada regra.

Portanto, esperamos que este estudo contribua na busca de novos caminhos do

ensino de simplificação de frações algébricas tanto no Ensino Fundamental, Médio como

no Superior, se necessário.

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CAPÍTULO II

REFERENCIAL TEÓRICO

Neste Capítulo, apresentamos os fundamentos teóricos que nortearam o desenvol-

vimento de nossa pesquisa.

Inicialmente, explicitamos o posicionamento dos pesquisadores que enfocam a

Álgebra como “generalização das leis que regem as relações numéricas”, incluindo,

eventualmente, referências a suas pesquisas.

Em um segundo momento, são apresentamos algumas das reflexões expostas por

Lemoyne, Conne e Brun (1993) sobre as abordagens de análise dos erros. Fundamentados

nessas reflexões, os autores formulam novas possibilidades de interpretação de erros.

Booth (1988) afirma que a compreensão incompleta das transformações permitidas

sobre as expressões numéricas não coloca o aluno em boa posição para a aprendizagem

sobre as manipulações algébricas.

“(...) a Álgebra não é isolada da Aritmética; na verdade é, em muitos aspectos, a

Aritmética generalizada. E nisso está a fonte das dificuldades. Para compreender a generali-

zação das relações e procedimentos aritméticos é preciso primeiro, que tais relações e procedi-

mentos sejam apreendidos dentro do contexto aritmético. Se não forem reconhecidos ou se os

alunos tiverem concepções erradas a respeito deles, seu desempenho em Álgebra poderá ser

afetado. Nesse caso, as dificuldades que o aluno tem em Álgebra, não são tanto de Álgebra pro-

priamente dita, mas, de problemas em Aritmética que não foram corrigidos” (Booth, 1988; p.32-33).

Macgregor (1996), em estudos realizados com alunos de escolas secundárias austra-

lianas, com idades entre 11 e 16 anos, aponta que uma das causas das dificuldades dos

alunos na aprendizagem da Álgebra reside nos conhecimentos deficientes da Aritmética,

ou seja, não compreendem de modo suficiente as propriedades operatórias dos números.

A autora apresenta alguns aspectos do conhecimento aritmético que são necessários

para se adquirir uma aprendizagem algébrica, entre os quais: a capacidade de se concentrar

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no procedimento e não apenas na resposta; a compreensão das relações existentes entre as

operações; o conhecimento das diversas interpretações do sinal de igual e o conhecimento das

propriedades operatórias dos números. O primeiro aspecto indica que, os alunos preocupam-se

muito mais em encontrar respostas diante de uma dada questão, em lugar de se interessarem

pelos procedimentos que os conduzem a essa resposta. Especificamente à simplificação de

frações algébricas, podemos pensar nesses procedimentos em termos de uma seqüência de

operações selecionadas que levam uma fração a uma outra que lhe é equivalente.

O segundo aspecto que complementa o primeiro refere-se a conhecer as operações

básicas, além da adição. Por exemplo, a diferença entre dois números, geralmente, é asso-

ciada a uma operação de adição, isto é, se x – y = z, o valor de x é dado por y + z; a multi-

plicação é interpretada como uma soma repetida, 3 vezes 5 é dado como 3 + 3 + 3 + 3 + 3, o

que acarreta dificuldade para expressar 3 vezes x como 3x e na divisão, 8 dividido por 2 é

igual a 4, pois 4 + 4 = 8. Essa interpretação pode prejudicar o entendimento de x sobre 2.

Quanto às interpretações do sinal de igual, os alunos utilizam-no para indicar um re-

sultado, usando o verbo dar para denotar esse resultado. Por exemplo, na soma de 5 + 4 = 9,

eles lêem 5 mais 4 DÁ 9, ou seja, entendem que esse sinal ( = ) vincula a pergunta a uma

resposta. Em decorrência disso, algumas vezes, empregam de maneira informal a igualdade

para unir as partes de um cálculo, como no caso de 5 + 4 = 9 x 6 = 54.

Consideramos que esse aspecto está estritamente ligado às concepções dos alunos

sobre as operações em Aritmética. Booth (1988); Behr, Erlwanger e Nichols (1980);

Ginsburg (1977); e Kieran (1981) consideram que, com freqüência , as operações em

Aritmética indicam ações que se desenvolvem no tempo. Como conseqüência, o sinal de

igualdade é tratado, geralmente, como indicativo do resultado dessas ações.

A ocorrência de erros em Álgebra, que consistem na simplificação de dois termos

não semelhantes em um único termo, tem sido apontada nas pesquisas citadas como

conseqüência da interpretação do sinal de igual somente como indicador de respostas.

Segundo Lemoyne, Conne e Brun (1993), Matz (1980) realiza um estudo

investigativo, demonstrando que certas classes de erros são resultados de uma adaptação

sistemática de conhecimentos anteriores, que se têm generalizado e extrapolado de forma

inadequada. Assim, dois tipos principais de erros são definidos:

1º) os erros correspondentes à ausência de mudanças conceituais; e

19

2º) os erros ligados às técnicas de extrapolação.

Matz (1980) compreende os primeiros erros como sendo uma conseqüência das

relações entre os saberes aritméticos e algébricos, sob o ponto de vista de uma passagem da

Aritmética à Álgebra. Considera que “(...) essa passagem efetua-se pela construção da

noção do valor simbólico e pela extensão da relação de igualdade”.

Segundo o autor, os erros de concatenação enquadram-se nessa primeira categoria,

considerando-os como sendo de natureza sintática. Argumenta que a escrita dos números

em Aritmética ocorre pela concatenação dos algarismos, atribuindo a cada um desses

algarismos um valor dependente de sua posição; além disso, na representação dos

racionais, a justaposição de um número inteiro e uma fração implica adição, ou seja,

convenciona-se que 2

13 + deve ser escrito como

2

13 . Analisando as respostas freqüentes

dadas pelos alunos à questão “se x = 6, calcule 4x” são 46 ou 10, a primeira resposta faz

referência aos conhecimentos sobre o valor de posição e a segunda, aos conhecimentos

sobre a soma.

Além dos erros já discutidos, podemos citar outros que infligem as regras sintáticas

do simbolismo algébrico. Referimo-nos às regras que regulam a ordem em que os cálculos

devem ser efetuados em uma determinada expressão, o que implica o uso dos parênteses.

De acordo com Booth (1988), Kieran (1979) acredita que os alunos não usam

parênteses porque, geralmente acham que a seqüência escrita de operações determina a

ordem em que os cálculos devem ser efetuados; além de muitos considerarem que o valor

de uma expressão permanece inalterado mesmo quando se muda a ordem dos cálculos.

[Keith, treze anos de idade, ao calcular 18 x 27 + 19, logo depois de ter calculado

27 + 19 x 18 da esquerda para a direita].

“Keith: Faço...27 mais 19, depois multiplico por 18. É a mesma coisa que o anterior, só

que ao contrário.

E: Pois bem, suponha que eu resolvesse calcular e achasse que deveria multiplicar 18 por

27 e depois somar 19. Eu chegaria ao mesmo resultado?

K: Sim.

E: E de que maneira você faria?

20

K: De qualquer uma! Depende do que passasse pela minha cabeça na hora!

E: Mas não importaria a maneira de fazer?

K: Não, a resposta seria a mesma.” (Booth, 1984; p.55)

Booth (1988) também acredita que a ordem dos cálculos depende do contexto a que

a expressão escrita está relacionada.

“O que você pode escrever como área deste retângulo?

Neil: p vezes... a

E: Muito bem, en

precisaria fazer p

N: Não estou ente

E: Muito bem, po

N: Porque estou

aquele lado [a e m

dois lados juntos.

E: Muito bem, en

N: Eu somaria a

E: E foi isso que

N: Foi .

E: Suponha que l

P

mais m. [Esc

tão, você esc

rimeiro?

ndendo.

r que você di

multiplicando

], e, assim,

tão que parte

queles dois [a

você escreveu

he diga que a

a m

reve p x a + m]

reveu p x a + m. E o que você faria realmente, o que você

sse p vezes a mais m?

este lado [p] por aquele lado [a e m], e não dá para fazer

tenho de somar este [a] com aquele [m], para multiplicar os

você faria primeiro?

e m] e então multiplicaria por p.

?

cho [ p x a + m] significa p vezes a. E depois mais m.

21

N: Ah, não, não pode ser isso. Se você fizer p vezes a só obterá uma parte dela [área].

Você teria de fazer a mais m para obter toda a base e então multiplicar por p. Você tem de

somar a com m primeiro.” (Booth, 1984; p.22)

Por essas duas entrevistas, observamos que a necessidade do uso dos parênteses é

ignorada. Conseqüentemente, as expressões algébricas que precisam do uso desses parênte-

ses são escritas de modo incorreto, como exemplo, tem-se x . y + z, em lugar de x . (y + z),

podendo acarretar outros erros na simplificação dessa expressão; por exemplo, x . y + z

sendo reescrito como xy + z.

Retomando as proposições descritas por Matz (1980), passamos a analisar os erros da

segunda categoria, ou seja, erros ligados às técnicas de extrapolação. Esses erros são

considerados utilizações inapropriadas de regras corretas, porém, aplicadas a outros

contextos distintos daqueles de sua validade. Observamos que uma forma de generalizar é

ampliar o âmbito de aplicação de uma lei, estendendo-a para um campo em que não havia

sido definida. Entretanto, essa extensão deve ser feita comprovando-se sua validade na nova

situação. A preocupação parece estar ausente quando da ocorrência desses erros pelo aluno.

Matz (1980) afirma que os erros dessa segunda categoria tratam, essencialmente, da

teorização psicológica sobre os processos de elaboração dos conhecimentos, fundamentada

nos processos de assimilação e acomodação do modelo piagetiano de desenvolvimento dos

conhecimentos: “(...) confrontado a uma nova situação, o aluno dispõe de dois modos de

tratá-la: se ele conhece a regra a ser aplicada, ele pode se contentar em aplicá-la; se ele a

ignora, pode, então, recorrer às técnicas de extrapolação” (apud, Lemoyne e outros,

1993; p.337).

Artigüe (1990) analisa erros dessa natureza relacionados a um processo presente no

desenvolvimento histórico de numerosos domínios da Matemática, considerando-o como

um produtor de obstáculos2. Os exemplos mais evidentes desse processo referem-se:

“(...) a extensão inadequada de regras operatórias de naturais para, por exemplo,

os decimais. No que se refere às regras formais de manipulação de expressões algébricas

2 Artigüe (1990) considera, nesse artigo, os obstáculos citados como epistemológicos, baseando-se nasdefinições de Brousseau (1976).

22

essa generalização abusiva situa-se na origem de erros tenazes dos alunos como (a + b)2

= a2 + b2 ou raiz quadrada baba +=+ ” (Artigüe, 1992; p.261).

Cauzinille, Mathiew e Resnick (1987), segundo Lemoyne e outros (1993),

concluem na interpretação dos resultados de suas pesquisas, que os erros dos alunos em

Álgebra ocorrem em razão de: “lacunas” nos conhecimentos (exemplo: cálculo dos

relativos); às restrições na aplicação dos conhecimentos (exemplo: procedimento de

reescrita de uma expressão com parênteses aplicado corretamente, só no que se trata de

uma expressão numérica); e generalização das condições de aplicação dos conhecimentos

(exemplo: comutatividade da subtração).

Para Lemoyne e outros (1993), as interpretações dos erros descritos por Cauzinille

e outros (1987) não divergem essencialmente das propostas de Matz (1980).

A seguir, enfocamos os aspectos conceituais que se situam mais propriamente no

sistema conceitual algébrico. Um deles refere-se ao conceito de variável , considerado por

Booth (1988) como um dos aspectos mais importantes no estudo da Álgebra.

Segundo Booth (1988), uma das maiores diferenças entre Aritmética e Álgebra

reside na utilização de letras como indicadoras de valores. As letras também aparecem em

Aritmética, mas, de modo diferente. A letra m, por exemplo, pode ser utilizada em

Aritmética para representar “metros”, mas não para representar o número de metros, como

em Álgebra.

Booth (1988) afirma que os alunos têm uma forte tendência em considerar as letras

como representação de valores específicos únicos, como em “x + 3 = 8”, e não números

genéricos ou variáveis como um “x + y = y + x”. Na Aritmética, os símbolos que

representam quantidades significam, sempre, valores únicos.

Os diferentes usos das letras podem acarretar uma “falta de referencial numérico”,

por parte do aluno, na interpretação do significado das letras em Álgebra.

A discriminação, entre as várias maneiras, de que as letras podem ser usadas em

Álgebra pode representar dificuldades para os estudantes. Segundo Kieran (1992),

Küchemann (1981) realizou, em 1976, um profundo estudo sobre as interpretações de

termos literais pelos estudantes britânicos, de 13 a 15 anos de idade. Usando uma

classificação desenvolvida originalmente por Collins (1975), Küchemann (1981)

23

categorizou cada item em um dos seguintes seis níveis de interpretação de letras, de acordo

com o nível mínimo requerido para um desempenho bem sucedido:

(a) Letra avaliada – A letra recebe um valor numérico desde o princípio;

(b) Letra não considerada – A letra é ignorada ou sua existência é reconhecida

sem dar significado a ela;

(c) Letra considerada como um objeto concreto – A letra é vista como uma

abreviação para um objeto concreto ou vista como um objeto concreto em si mesma;

(d) Letra considerada como uma incógnita específica – A letra é vista como um

número específico, mas desconhecido;

(e) Letra considerada como um número generalizado – A letra é vista como

representando ou, pelo menos, sendo capaz de assumir vários valores em lugar de apenas

um;

(f) Letra considerada como variável – A letra é vista como representando um

domínio de valores não específicos e uma relação sistemática é percebida entre dois

conjuntos de valores.

Küchemann (1981) descobriu que, somente um pequeno número de estudantes, de

13 a 15 anos de idade, era capaz de considerar as letras como números generalizados, a

despeito da experiência da classe em representar padrões numéricos como afirmações

generalizadas, embora a interpretação dependesse, em parte, da natureza e complexidade

da questão. Um número ainda menor foi capaz de interpretar letras como variáveis no

sentido da classificação de Küchemann (1981). Um número maior de alunos conseguiu

interpretar letras como incógnitas específicas ao invés de números generalizados. Todavia,

a maioria dos estudantes (73,0% dos de 13 anos; 59,0% dos de 14; e 53,0% dos de 15) ou

tratava as letras como objetos concretos ou as ignorava.

As considerações feitas até o momento incidem sobre os componentes sintáticos e

semânticos da linguagem algébrica: convenções sintáticas, significado das operações e das

relações de igualdade, das propriedades operatórias e de variável. Convém precisarmos um

pouco mais esses componentes que, aliás, são característicos de qualquer linguagem.

O primeiro desses componentes refere-se a seu léxico e regras de construção das

expressões.

24

O componente semântico realiza-se, conforme Franchi (1995), pela atribuição de

significados a elementos, relações, procedimentos de uma situação ou pela própria

construção do conhecimento do sistema conceitual da Matemática e de seu domínio de

validade (...). Em outros termos, podemos afirmar, assim como Granell (1997), que no

primeiro caso, o significado “referencial” permite associarmos os símbolos às situações

reais (...) e, no segundo caso, o significado formal obedece às regras internas do próprio

sistema.3

Granell (1997) considera que ensinar Matemática de uma forma significativa

implica conhecermos os usos e as funções que o conhecimento matemático cumpre na

sociedade e, em seguida, localizarmos a aprendizagem dos conceitos e procedimentos

matemáticos no contexto de tais usos e funções.

Referindo-se a esses aspectos, Kaput (1996) assim se expressa:

“Quando falamos em formalismo (...), nos fixamos em símbolos e regras sintáticas

para manipulá-los (modificar a sua forma). Não obstante, é possível atuar semanticamente

sobre os formalismos: as ações guiam-se pelo significado que o indivíduo atribui aos

símbolos” (p.91).

Por exemplo, uma base semântica para a resolução formal da equação –4x = 8,

tomando-se como referência o sistema conceitual numérico, a solução precisaria ser

necessariamente um número negativo, pois o resultado é um número positivo. Além disso,

precisaria ser um determinado número que multiplicado por – 4, seja igual ao número 8.

Para se encontrar a solução, uma maneira seria comparar os números -4 e 8, para se

perceber que 8 é o dobro de 4, obtendo solução x = -2.4

Outra forma de resolução seria efetuar a mesma operação em ambos os termos da

equação, o que significa dividir os dois termos por –4 para se chegar à unidade. Essas

operações podem ser simplificadas pela transposição do –4 para o segundo membro, com a

divisão, referindo-se à operação inversa da multiplicação.

Ao se referir à atividade algébrica, Drouhard (1995) afirma que essa atividade,

mesmo limitada à fase do cálculo algébrico, não consiste em operações efetuadas meca-

3 Além desses componentes, pode-se considerar a dimensão pragmática que não será discutida.4 Exemplo extraído da dissertação de mestrado do aluno Marcos Agostinho, maio de 2002, na PUC-SP.

25

nicamente sobre as escritas. A todo momento, o indivíduo é solicitado a efetuar escolhas,

por exemplo, que transformações deve efetuar e como justificá-las.

O autor coloca entre as respostas sintáticas as do tipo: “porque eu fatorei”, em que os

argumentos são colocados sobre as transformações e não sobre as propriedades matemáticas.

Assim, uma perspectiva de ensino estritamente sintática enfatizaria as regras sem

nenhuma preocupação com as justificativas matemáticas que autorizam a aplicação dessas

regras. Por exemplo: na simplificação de frações, dividir numerador e denominador por um

mesmo número; se multiplicar o numerador, multiplique também o denominador. Outras

como: o que é igual pode cortar, em que não há nenhuma referência às condições das

operações matemáticas em jogo nem mesmo às condições de aplicação.

Procedendo a análise dos diagnósticos dos erros em expressões algébricas no

enfoque desenvolvido por Matz (1980), e exposto neste Capítulo, Lemoyne e outros (1993)

apontam para o fato de que, à primeira vista, eles negligenciam a história escolar desses

erros. Como é o caso das proposições que se referem à extensão dos conhecimentos sobre

as propriedades das operações e as leis dos números.

Para efetuar uma análise desse tipo, seria exigido um estudo teórico mais

aprofundado, bem como a implementação de procedimentos metodológicos pertinentes.

Por isso, discutiremos apenas alguns aspectos relacionados a essa abordagem.

Um deles refere-se ao ensino na perspectiva acima descrita, em que se dissociam os

aspectos sintáticos e semânticos da linguagem algébrica. Segundo Granell (1997),

inúmeras pesquisas apontam que “boa parte dos erros que os alunos cometem, deve-se ao

fato de terem aprendido a manipular símbolos de acordo com determinadas regras, sem se

deterem no significado dos mesmos” (p.265).

Em uma perspectiva mais ampla, Lemoyne e outros (1993) afirmam que esse modo

de operar sobre as expressões algébricas ou aritméticas sem se preocupar em justificá-las,

provoca a constituição de uma relação do aluno5 com atividades de manipulação dessas

expressões que influencia seu comportamento na resolução de tarefas escolares dessa

natureza. Assim, alguns procedimentos são privilegiados em detrimento de outros,

institucionalizando-se em função de determinadas práticas escolares.

5 A expressão “com relação ao saber” é tomada aqui no sentido ingênuo.

26

CAPÍTULO III

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Neste Capítulo, procuramos estudar os procedimentos e erros na simplificação de

frações aritméticas e algébricas, de alunos da 8ª série do Ensino Fundamental e da 1ª série

do Ensino Médio, de duas escolas estaduais da cidade de São Paulo. Um período de

observação no lócus da pesquisa foi realizado, objetivando avaliar a pertinência do

problema proposto. Inicialmente, fizemos um estudo piloto que consistiu na aplicação de

um instrumento provisório para levantamento dos erros. Esse estudo nos permitiu a

identificação das dificuldades manifestadas pelos alunos e a elaboração de um instrumento

definitivo a ser aplicado, seguido pelas entrevistas.

O ponto de partida para a nossa investigação sobre os erros foi a posição assumida

e descrita na fundamentação teórica.

Procuramos, neste Capítulo, especificar cada uma das etapas já mencionadas acima,

caracterizando a escola e, sinteticamente, todo o percurso realizado.

3.1 Procura da Escola

Fizemos um contato inicial com uma primeira escola A, da região central, onde

aplicamos experimentalmente uma avaliação (instrumento piloto) em duas classes da 1ª

série do Ensino Médio, totalizando 61 alunos. Ao mesmo tempo e nas mesmas condições,

aplicamos a mesma avaliação em uma turma da 1ª série do Ensino Médio, na escola B em

que lecionamos, com 31 alunos.

Para o desenvolvimento do trabalho, optamos por duas escolas públicas da Região

Oeste, na cidade de São Paulo.

Um dos critérios adotados para nossa escolha foi o fato de que essas duas escolas

recebem um grande número de alunos de outras escolas públicas, representando, de certa

forma, uma parcela significativa das escolas públicas da Região Oeste de São Paulo, em

27

relação ao Ensino Fundamental e Médio.

O fato acima mencionado foi constatado, mediante a autorização da Direção de

cada escola envolvida no trabalho, com consultas nos respectivos arquivos administrativo –

documentos e matrículas atuais.

Além disso, encontramos um ambiente muito favorável para o desenvolvimento

deste trabalho em ambas as escolas, tanto pelo grande número de alunos quanto pelo

ambiente acolhedor de toda sua direção, funcionários e, sobretudo, do corpo docente.

3.2 Características da Escola

As escolas escolhidas são estaduais, na Região Oeste de São Paulo. A escola C

atende alunos do Ensino Fundamental e Médio; e a escola D atende apenas alunos do

Ensino Médio. As turmas de 8ª série da escola C funcionam no período matutino; as 1ªs

séries do Ensino Médio da escola D, nos três períodos (matutino, vespertino e noturno). O

estágio e a aplicação dos instrumentos diagnósticos foram realizados em escolas diferentes

para garantirmos as mesmas características do público-alvo, pois numa mesma escola,

deveríamos trabalhar com públicos de períodos diferentes.

3.3 Estágio de Campo

De acordo com Ludke e André (1986) “(...) a perspectiva dos participantes, isto é,

a maneira como (...) encaram as questões que estão sendo focalizadas (...) os diferentes

pontos de vista (...), o dinamismo interno das situações, geralmente, é inacessível ao

observador externo” (p.12).

Confirmamos o proposto por Ludke e André (1986), pois constatamos que, mesmo

que nosso objetivo fosse de modo prioritário a efetivação de análise das produções dos

alunos, foi de extrema importância a realização de estágio para que o êxito de nossa

investigação fosse obtido. A integração do pesquisador ao grupo, tornando-se parceiro e

comprometido com as atividades propostas a esse grupo, é fundamental.

O contato com as escolas durou quase dois meses, durante o segundo semestre de

2001; no primeiro mês, duas vezes por semana, visitamos cada escola, a fim de

28

conhecermos melhor os alunos, anotarmos os conteúdos desenvolvidos em classe e

conhecermos, também, o trabalho dos professores.

As descrições das observações das aulas, bem como das turmas escolhidas, são:

8ª SÉRIE C DO ENSINO FUNDAMENTAL (8ª C): Essa sala funcionava no

período da manhã, com trinta e cinco alunos freqüentes. Foi caracterizada pela professora

como uma turma que apresentava um bom desempenho, sem repetentes, e as idades desses

alunos variavam entre treze e quatorze anos de idade.

Com relação ao material utilizado, a professora não seguia um livro didático

específico, e apresentava questões relativas aos conteúdos matemáticos (resolução de

equações de segundo grau nesse período) extraídas de diversas fontes. Não havia trabalhos

ou atividades em equipe e os alunos sempre trabalhavam sozinhos na resolução das

questões propostas. Aqueles com dificuldades pediam auxílio à professora, e a maioria

deles conversava sobre os mais variados assuntos e, apenas alguns deles ajudavam os

demais colegas. Depois de um certo tempo na mesma aula ou, na aula seguinte, as questões

propostas eram corrigidas no quadro negro sem nenhum questionamento dos alunos com

relação à resolução dessas questões, e a única preocupação da professora era fazer uma

correção “rápida” para avançar em outros conteúdos. Em nenhum momento verificamos

observações da professora com relação às condições de existência de uma equação de

segundo grau, bem como suas relações com outros conteúdos.

Conteúdos desenvolvidos: observando o diário da professora e os cadernos dos

alunos, desde o início do ano letivo de 2001 até o final do período de nosso estágio,

pudemos verificar que os conteúdos desenvolvidos foram: produtos notáveis, resolução de

equações de segundo grau e a construção do gráfico da função afim. A professora

comentou que já havia trabalhado com esses mesmos alunos a simplificação de frações

algébricas no ano letivo de 2000.

1ª SÉRIE F DO ENSINO MÉDIO (1ª F): Essa é uma turma do período da tarde

que, segundo a professora, era mediana quanto ao seu desempenho, contando com trinta

alunos freqüentes.

As aulas nessa sala de aula não apresentaram nenhuma característica diferente

quanto àquelas desenvolvidas na sala anteriormente descrita, no que se refere ao trabalho

com os conteúdos: questões extraídas de livros didáticos (envolvendo função exponencial e

29

progressões aritméticas e algébricas) eram propostas aos alunos, pela professora, após a

resolução de um modelo no quadro negro, e o comportamento dos alunos era o mesmo

observado na turma anterior.

Em ambas as turmas, verificamos que o único objetivo dos professores era o de

memorização de regras pelos alunos, através da resolução exaustiva de questões propostas

em sala de aula, e nenhuma outra questão era proposta para que se enfatizasse as

aplicações do conceito de progressões, por exemplo. Após conversas com essas duas

professoras, com base em suas próprias falas, pudemos verificar a excessiva preocupação

no cumprimento de um determinado “programa” e, verificamos, ainda, uma total

despreocupação com a dimensão semântica da Álgebra. Em conversas com os alunos das

duas escolas, observamos algumas reações de "espanto", expressas por eles, com relação

aos procedimentos de simplificação de frações aritméticas e algébricas utilizados na

correção e devolutiva da prova escrita.

Conteúdos desenvolvidos: os conteúdos trabalhados durante o período de estágio,

desde o início do ano, foram: resolução de equações exponenciais, estudo e construção do

gráfico da função exponencial e progressões (progressões aritméticas e algébricas). A

professora comentou que seu trabalhar com esses alunos começou, somente, a partir de

2001, uma vez que essa escola atendia apenas o Ensino Médio.

Nesse período, estabelecemos uma ótima relação tanto com os alunos quanto com

os professores das duas turmas envolvidas; esclarecemos dúvidas dos alunos no decorrer

das aulas e até substituímos uma professora, ausente por um dia, na Escola C.

Utilizamos o tempo restante, aproximadamente dez dias, para a aplicação da prova

escrita e a realização das entrevistas.

3.4 Os Instrumentos

O processo para a elaboração de questões para a prova escrita de forma definitiva

foi muito demorado e dificultoso, devido à determinação das características das variáveis

didáticas envolvidas. A necessidade de se fazer um instrumento eficiente, tendo em vista as

condições de entendimento, resolução e complexidade dessas variáveis, a serem

consideradas, nos conduziu a aplicar um instrumento piloto algébrico num primeiro momento

(Anexo 1).

30

A aplicação desse instrumento piloto ocorreu na escola A, como já mencionado,

com duas classes da 1ª série do Ensino Médio (61 alunos) e, paralelamente, na escola B

com uma turma da mesma série (31 alunos).

Depois de corrigido, observamos que algumas das variáveis consideradas não se

faziam pertinentes, principalmente por considerarmos nesse instrumento casos de frações

que envolviam potências de grau maior que dois. Além disso, o instrumento mostrou-se

muito extenso e repetitivo aos alunos.

Os resultados apresentados pelos alunos de ambas as escolas nos possibilitaram

uma reelaboração do instrumento diagnóstico em relação às variáveis didáticas a serem

consideradas. O lócus da investigação passou a ser a 8ª série A (Escola C) e a 1ª série F

(Escola D). Assim, nessas turmas, aplicamos o instrumento diagnóstico definitivo (Anexo

2) e realizamos as entrevistas.

A fundamentação teórica nos serviu de base para a definição dos critérios de

seleção das frações aplicadas aos alunos.

3.5 Instrumento Diagnóstico

Foram escolhidas oito questões, divididas em dois grupos: a primeira continha

frações aritméticas e a segunda, algébricas.

31

Frações Aritméticas

Primeira Questão:

Ligue por meio de flechas cada fração da coluna 1 com as frações que lhe são

correspondentes na coluna 2, se existir:

Coluna 1 Coluna 2

A) 4.5.7

5.3.7�

6

11

� 28

21

B) 3.5.12

5.6.11�

5.12

5.2.11

� 4

3

C) 15.4

5.32�

36

66

� 8

3

� 4.5

5.3

� 3.5.2

5.11

Análise Preliminar:

As correspondências são:

� 4.5.7

5.3.7 (coluna 1) com as frações

28

21,

4

3 e

4.5

5.3 (coluna 2);

� 3.5.12

5.6.11 (coluna 1) com

6

11,

5.12

5.2.11,

36

66 e

3.5.2

5.11 ; e

32

� 15.4

5.32 não se corresponde com nenhuma fração da coluna 2.

Esperamos, com essas questões, verificar se os alunos reconhecem que, além do

processo calculatório, existe, também, a possibilidade de se efetuar uma outra operação

para se obter as possíveis correspondências, isto é, o “cancelamento de fatores comuns” ao

numerador e denominador de uma dada fração.

Esperamos, ainda, verificar se os alunos identificam se essas correspondências

indicam a equivalência entre frações.

Segunda Questão:

O resultado da simplificação da fração 12.4

8.6.3 é 3 e da

10.16

32.2.5 é 2; explique, em

cada um dos casos, duas maneiras distintas de se obter tal resultado.


Nessa questão, as duas maneiras distintas exigidas pelo enunciado podiam apenas

ser obtidas pelo cancelamento de fatores comuns ao numerador e denominador da fração

envolvida.

Nesse sentido, esperamos verificar quais os alunos que utilizam apenas esse tipo de

cancelamento e, por outro lado, constatar se usam, essencialmente, o processo

computacional como uma das maneiras exigidas. Além disso, esperamos encontrar alunos

que percebam só esse processo computacional.

Terceira Questão:

Sabendo-se que 1.155 é resultado de 3 . 5 . 7 . 11, responda:

a) João dividiu 1.155 por dois desses fatores e encontrou como quociente 55. João

dividiu 1.155 por _________.

33

b) Élio dividiu 1.155 por três desses fatores e encontrou como quociente 5. Élio

dividiu 1.155 por __________.

c) Silvio dividiu 1.155 por todos esses fatores e encontrou como quociente 1. Silvio

dividiu 1.155 por _________.

Explique como você chegou a esses resultados. Mostre seus cálculos.


As respostas referentes a essa questão seriam:

a) 3 e 7;

b) 3, 7 e 11 e

c) 3, 5, 7 e 11

Nosso objetivo, nessa questão, foi verificar se os alunos conseguiam identificar a

escrita de um número natural como produto de dois ou mais números. Ou seja, se

identificam a escrita 1.155 com 3.5.7.11, respondendo a questão rapidamente; ou, no caso

contrário, quais os procedimentos que eles utilizam, e quais as dificuldades encontradas.

Quarta Questão:

Tomando como base o modelo abaixo, preencha as lacunas e explique seus cálculos

em cada item:

Modelo: 16 = 2 (3+5) = 2 . 3 + 2 . 5

a) 45 = _____(2 + 7) = _____ . _____ + _____ . _____

b) 72 = 9 . (_____ + _____) = 9 . 3 + 9 . _____

c) 28 = 7 . (1 + _____) = _____ . _____ + _____ . _____

d) 27 = 9 . (_____ - 2) = _____ . _____ - _____ . _____

34


Observamos que a resposta correta de cada item seria:

a) 45 = 5 (2 + 7) = 5 . 2 + 5 + 7

b) 72 = 9 . (3 + 5) = 9 . 3 + 9 . 5

c) 28 = 7 . (1 + 3) = 7 . 1 + 7 . 3

d) 27 = 9 . (5 – 2) = 9 . 5 – 9 . 2

Esperamos verificar:

- se alunos identificam que o sinal de igual serve também para indicar expressões

equivalentes; nesse caso, duas escritas equivalentes de um mesmo número natural;

- se os alunos conseguem reconhecer que, nessa questão, implicitamente, trabalha-

se com a propriedade da fatoração por evidência e;

- conseqüentemente, se a propriedade distributiva é reconhecida e se aplicam-na

corretamente.

Quinta Questão:

A fração 6

244836 +− é equivalente a 6 – 8 + 4.

Explique como essa equivalência pode ser obtida. Descreva todo o seu raciocínio,

justificando-o.


A resposta a essa questão pode ser dada pela:

- comparação dos resultados obtidos em ambas as expressões propostas, efetuando

as operações de adição e subtração envolvidas, quais sejam: 6

244836 +− =

6

12 = 2 e 6

– 8 + 4 = 10 – 8 = 2;

35

- utilização da propriedade da fatoração pela evidência do termo em comum na

expressão 6

244836 +−; nesse caso, 486

6

)486(6

6

244836 +−=+−

=+− , ou;

- pela reescrita da fração 6

244836 +− em outras três frações de mesmo

denominador; isto é: 4866

24

6

48

6

36

6

244836 +−=+−=+−.

Nosso objetivo foi o de verificar se os procedimentos utilizados pelos alunos na

resolução dessa questão seriam: o de fatoração por evidência do termo comum (nesse caso,

o máximo divisor comum); a reescrita da fração do enunciado ou o cálculo de cada uma

deles; e uma posterior comparação dos resultados obtidos.

Frações algébricas

Primeira Questão:

Simplifique as frações abaixo:

a) 2

3

2

4

x

x

b) x

xy

8

7

c) ab

ab

14

5

d) yz

x

4

12

36


a) 2x

b) y8

7

c) 14

5

d) yz

x3

Nessa questão, esperamos verificar:

- se “aceitam” simplificar frações que: ora apresentam somente a variável

simplificável, no caso o item c), ora só apresentam os coeficientes simplificáveis, como é o

caso da fração dada no item d).

Além disso, nesse último item, procuramos também verificar a “aceitação” dos

alunos frente a uma resposta que consiste em uma fração de denominador algébrico.

Segunda Questão:

Simplifique, se possível, as frações abaixo:

a) x

xyx 114 +

b) 2

43

a

aab +

c) z

zxy 38 −

d) y

bx

11

317 +

37


Nesta questão, as respostas são:

a) 4 + 11y

b) a

b

aa

b 4343 +=+

c) 38 −

z

xy

d) y

bx

11

317 +

Nossos objetivos foram os de:

- verificar a utilização da propriedade da fatoração por evidência do termo comum,

no caso da fração do item a);

- verificar a reescrita das frações propostas em outras de mesmo denominador para,

dessa forma, efetuarem as possíveis simplificações pelo cancelamento de fatores comuns ou;

- desconsiderando-se as duas hipóteses anteriores, se esses alunos irão proceder

cancelando, correta ou incorretamente, os fatores comuns ao numerador e denominador das

frações propostas, por exemplo: yx

xyx114

114 +=+, cancelamento da variável “x” de

forma correta ou, x

xyx 114 + para 4 + 11xy , cancelamento da variável “x” de forma

incorreta.

Objetivamos, ainda, verificar como os alunos procedem frente a uma fração que

não admite simplificação, como é o caso de y

bx

11

317 +, item d).

38

Terceira Questão:


a) 2

8.5

a

aab

b) x

xyx 11.4

c) d

ca

19

17.13

d) z

zxy 3 . 6


Respostas da questão:

a) 40ab

b) 44xy

c) d

ac

19

221

d) 18xy

Nosso objetivo foi o de verificar se os alunos simplificam as frações propostas,

utilizando-se da computação entre os fatores ou, ainda, se efetuam o cancelamento de

fatores comuns do numerador com o denominador.

3.6 Condições de aplicação

Para a aplicação do instrumento, foram necessárias duas aulas de 45 minutos em

cada classe.

Antes de entregar o instrumento aos alunos, explicamos que, embora não

ocasionassem “nota”, os resultados ali obtidos seriam de suma importância para o

39

desenvolvimento de um trabalho que visava trazer contribuições para o ensino e,

conseqüentemente, para eles próprios. Para tanto, comentamos que o trabalho teria de ser o

mais “válido” possível e, que iríamos nos restringir apenas à leitura dos enunciados das

questões, e que as dúvidas surgidas não poderiam ser explicadas ou esclarecidas. É

importante registrar que, na leitura dos enunciados de cada questão, foram realizadas todas

as necessárias instruções orais.

Na aplicação da prova escrita, as turmas foram divididas: uma metade respondia às

questões aritméticas e a outra, às algébricas; ao término da resolução havia a troca. Com

isso, procuramos controlar a influência da resolução pelo aluno das questões de Aritmética

sobre as de Álgebra e vice-versa.

Embora consciente de que as resoluções das frações algébricas relacionam-se às

suas condições de existência, não nos preocupamos em alertar os alunos nas instruções

orais. A intenção foi a de abordar as questões tal como aparecem nos livros didáticos e são

trabalhadas em sala de aula, informações extraídas pela observação durante o período

correspondente ao estágio de campo.

3.7 Entrevistas

As entrevistas foram realizadas fora do horário de aula, na própria escola e, ao final

do período, num total de doze. Todas as entrevistas foram gravadas em fitas cassete e

encontram-se transcritas nos anexos.

A seleção dos alunos para as entrevistas baseou-se criteriosamente naqueles que

apresentaram diversos tipos de erros nas simplificações das frações, tanto aritméticas como

algébricas e, eventualmente, em alguns alunos que apresentaram bom desempenho, com

acerto de quase todas as questões propostas.

Segundo Lüdke e André (1986):

“O entrevistador precisa estar atento não apenas (e não rigidamente,

sobretudo) ao roteiro preestabelecido e às respostas verbais que vai obtendo ao

longo do processo da interação. Há toda uma gama de gestos, expressões,

entonações, sinais não-verbais, hesitações, alterações de ritmo, enfim, toda uma

comunicação não verbal, cuja captação é muito importante para a compreensão e a

avaliação do que foi efetivamente dito” (p.36).

40

As respostas dadas pelos alunos às questões da prova escrita nortearam a entrevista,

resultando na elaboração de um “roteiro”, que não deveria ser seguido à risca, pois nos

permitimos realizar as necessárias adaptações em função das respostas dos alunos. Ao

longo de todo o processo, sempre procuramos confrontar as explicações dos alunos com

suas soluções dadas. Solicitávamos que, num primeiro momento, lessem a questão, depois

de certo tempo, explicassem seu procedimento de resolução e fizessem, se necessário,

rascunhos para esclarecer seus métodos de resolução e simplificação.

41

CAPÍTULO IV

ANÁLISE DOS RESULTADOS

Neste Capítulo, serão apresentados os procedimentos utilizados pelos alunos no

instrumento diagnóstico aplicado, organizados em categorias baseadas na fundamentação

teórica.

No instrumento diagnóstico sobre Aritmética, nossa principal preocupação foi,

como se indicou no Capítulo III, a de obtermos informações não apenas sobre o acerto ou o

erro da resposta dada pelo aluno, mas também sobre os procedimentos utilizados na

simplificação das frações aritméticas.

A análise desses procedimentos pode nos fornecer elementos indicativos de um

determinado modo de relação do aluno com a atividade de simplificação dessas frações,

influenciadas pelas suas concepções sobre os elementos constituintes da simbologia

aritmética e pelas práticas escolares que legitimam determinado procedimento em

detrimento de outros.

No instrumento diagnóstico sobre as expressões algébricas, nos preocupamos com

a identificação e agrupamento dos erros em categorias, uma vez que as questões exigiam

apenas a tarefa de simplificação.

André (1995) considera que uma pesquisa, que se utiliza basicamente de dados

quantitativos, não deixa de ter uma dimensão qualitativa desde que na análise dos dados

esteja presente seu referencial teórico. A autora também observa que, reportar aos dados

dos depoimentos, entrevistas ou observações aos números não faz com que o estudo

realizado deixe de ser qualitativo, afirmando que os números obtidos ajudam a explicitar

essa dimensão. Ao se proceder a análise dos dados obtidos nessa pesquisa nas dimensões

quantitativa e qualitativa, compartilhamos com as posições defendidas pela autora.

Acreditamos que, pela análise dos resultados obtidos com essa população

selecionada composta de 65 alunos, seja possível tirar algumas importantes informações a

42

respeito de uma escola pública, no que se refere especificamente à habilidade dos alunos

em simplificar frações aritméticas e algébricas.

Para a confecção das tabelas, computamos o número de erros ou procedimentos

efetuados por aluno em cada categoria considerada.

As tabelas construídas, com base nos dados colhidos pela correção das provas

aplicadas nos alunos, são:

4.1 Análise Quantitativa

Para a confecção das tabelas, computamos como “n” o número de procedimentos

ou erros efetuados por aluno em cada categoria considerada.

43

INSTRUMENTO ARITMÉTICO

Primeira Questão:

Ligue por meio de flechas cada fração da coluna 1 com as frações que lhe são


Coluna 1 Coluna 2

A) 4.5.7

5.3.7�

6

11

� 28

21

B) 3.5.12

5.6.11�

5.12

5.2.11

� 4

3

C) 15.4

5.32�

36

66

� 8

3

� 4.5

5.3

� 3.5.2

5.11

Procedimentos Utilizados na Primeira Questão

Procedimento 1 – Identificação de todas as frações equivalentes

� O aluno nº 23 da 8ª A identificou todas as equivalências ligando todas as frações

correspondentes das duas colunas.

44

Procedimento 2 – Identificação parcial das frações equivalentes

� O aluno nº 18 da 1ª F apresenta 36

66 como única fração equivalente a

.5.12

5.6.11 na

referida questão.

� O aluno nº 21 da 8ªA apresentou como correspondente a 4.5.7

5.3.7 somente a fração

4

3.

Procedimento 3 – Não identifica equivalência alguma entre as frações:

� O aluno nº 13 da 8ª A não ligou fração alguma da coluna 1 com as da coluna 2.

� O aluno nº 36 da 1ª F também não apresentou correspondência alguma entre as

frações dessas colunas.

Tabela 1 – Porcentagem de Procedimentos – 8ª A

Procedimento Nº Alunos Alunos/Total %

1- Identifica todas 05 05/35 14,28%

2- Identifica parcialmente 29 29/35 82,86%

3- Não identifica nenhuma 1 1/35 2,86%

TOTAL 35 ALUNOS

Tabela 2 – Porcentagem de Procedimentos – 1ª F


1- Identifica todas 0 0/30 0%

2- Identifica parcialmente 23 23/30 76,67%


TOTAL 30 ALUNOS

45

Tabela 3 – Porcentagem do Total de Procedimentos – 8ª A e 1ª F


1- Identifica todas 5 5/65 7,69%

2- Identifica parcialmente 52 52/65 80%


TOTAL 65 ALUNOS

Observamos que:

� Apenas 7,69% dessa população de alunos identificou todas as possíveis

equivalências entre as frações propostas na questão; esses 7,69% incidem exclusivamente

sobre a 8ª A;

� A maior porcentagem de procedimentos utilizados pelos alunos corresponde à

categoria de identificação parcial da equivalência entre essas frações, isto é, 80,0% do total

de alunos;

� Do total, 12,3% de alunos não identificaram nenhuma equivalência entre as

frações das duas colunas;

� O melhor desempenho, nessa questão, foi obtido pela 8ª A, considerando,

sobretudo, que apenas 2,86% dessa turma não apresentou identificação de equivalência

entre as frações dadas, enquanto que essa mesma porcentagem na 1ª F foi 23,33%,

aproximadamente.

Procedimentos Utilizados na Segunda Questão

Segunda Questão:

O resultado da simplificação da fração 12.4

8.6.3 é 3 e da

10.16

32.2.5 é 2; explique, em

cada um dos casos, duas maneiras distintas de se obter tal resultado.

Procedimento1 – Simplifica apenas pelo cálculo do quociente entre o

produto dos termos do numerador pelo termo do denominador da fração dada.

46

� Os alunos nº 2 da 8ª A e nº 10 da 1ª F apresentaram como procedimento de

simplificação da fração 12.4

8.6.3 somente o correspondente ao quociente entre

48

144, isto é,

31

3

3

9

6

18

12

36

24

72

48

144 ====== .

Procedimento 2 – Simplifica dividindo numerador e denominador da

fração por fatores comuns.

� Um exemplo é o procedimento apresentado pelo aluno 10 da 8ª A, que não

determina o quociente entre o produto dos termos do numerador pelo denominador, ou

seja, opera somente sobre os termos divisíveis dessa fração, então,

31.1

1.3.1

2.1

1.6.1

4.1

1.6.1

12.4

8.6.3 ==== .

Procedimento 3 – Apresenta os dois procedimentos já citados, isto é,

simplifica pelo quociente do produto dos termos do numerador pelo produto

dos termos do denominador e também simplifica pela divisibilidade dos termos

dessa fração.

� Os alunos nº 12 e nº 16 da 8ª A apresentaram os dois procedimentos já citados.

Procedimento 4 – Não apresenta resolução.

� Os alunos nº 37 da 8ª A e nº 34 da 1ª F não apresentaram nenhum procedimento

de simplificação.

47



1- Simplifica quociente 17 17/35 48,57%

2- Simplifica pelos termos 2 2/35 5,71%

3- Quociente e termos 8 8/35 22,86%

4- Não apresenta resolução 8 8/35 22,86%

TOTAL 35 ALUNOS







TOTAL 30 ALUNOS







TOTAL 65 ALUNOS

48

Observamos que:

� O procedimento privilegiado foi aquele em que os alunos calcularam o quociente

entre os fatores do numerador pelos do denominador, sendo 46,15% do total dessa

população.

� A menor porcentagem referente aos procedimentos utilizados incidiu sobre o

procedimento no qual os alunos simplificaram as frações pela divisibilidade apresentada

pelos termos do numerador e denominador, correspondente a 3,07% do total, sendo que

essa porcentagem na 1ª F correspondeu a 0,0%.

� Dessa população selecionada para essa investigação, aproximadamente 30,0% de

alunos não apresentaram procedimento algum.

� Ainda, nesse caso, podemos dizer que os alunos da 8ª A apresentaram melhor

desempenho que os da 1ª F.

Procedimentos utilizados na Terceira Questão

Terceira Questão:

Sabendo-se que 1.155 é resultado de 3 . 5 . 7 . 11, responda:

a) João dividiu 1.155 por dois desses fatores e encontrou como quociente 55. João

dividiu 1.155 por _________.

b) Élio dividiu 1.155 por três desses fatores e encontrou como quociente 5. Élio

dividiu 1155 por __________.

c) Silvio dividiu 1.155 por todos esses fatores e encontrou como quociente 1. Silvio

dividiu 1.155 por _________.


Procedimento 1 – Escreve a fração correspondente à fração do enunciado,

na forma fatorada e a simplifica.

� Nenhum aluno das duas turmas selecionadas apresentou esse procedimento.

49

Procedimento 2 – Efetua diversas tentativas de divisão sobre o número

dado, nesse caso o número 1155, para determinar o divisor correspondente.

� Os alunos nº 25 da 8ª A e nº 40 da 1ª F apresentaram esse procedimento, ou seja,

efetuaram sucessivas divisões sobre o número 1.155 até encontrarem o quociente

procurado.

Procedimento 3 – Não apresentaram resolução.

� Os alunos que se enquadraram nesse procedimento foram os nºs 37 da 8ª A e 33

da 1ª F.



1- Escreve fatorado 0 0/35 0,0%

2- Tentativas 25 25/35 71,43%

3- Não responderam 10 10/35 28,57%

TOTAL 35 ALUNOS




2- Tentativas 9 9/30 30,0%


TOTAL 30 ALUNOS



50


2- Tentativas 34 34/65 52,31%


TOTAL 65 ALUNOS

Observamos que:

� Nenhum aluno das duas turmas utilizou-se do procedimento de escrita da fração

correspondente na forma fatorada e sua posterior simplificação.

� 52,31% de toda essa população utilizou-se do procedimento que envolveu

tentativas de divisão do número dado para encontrar o divisor procurado.

� 47,69% do total de alunos investigados e 70,0% da turma da 1ª F não

apresentaram resolução, o que indica uma porcentagem significativa.

� A turma de alunos da 8ª A apresentou melhor desempenho que a da 1ª F,

considerando-se que apenas 28,57% de alunos da 8ª A não apresentaram resolução e, em

relação ao procedimento 2, a 1ª F apresentou 30,0%, enquanto a 8ª A, 71,43%.

Procedimentos utilizados na Quarta Questão

Quarta Questão:

Tomando como base o modelo abaixo, preencha as lacunas e explique seus cálculos

em cada item:

Modelo: 16 = 2 (3+5) = 2 . 3 + 2 . 5

a) 45 = _____(2 + 7) = _____ . _____ + _____ . _____

b) 72 = 9 . (_____ + _____) = 9 . 3 + 9 . _____

c) 28 = 7 . (1 + _____) = _____ . _____ + _____ . _____

d) 27 = 9 . (_____ - 2) = _____ . _____ - _____ . _____

Procedimento 1 – Identificou todos os casos envolvendo a propriedade

distributiva.

51

� O aluno nº 3 da 8ª A completou corretamente os espaços em branco de todos os

itens dessa questão.

� O aluno nº 7 da 1ª F também apresentou o mesmo procedimento.

Procedimento 2 – Não identificou a distributividade somente no caso que

envolve a diferença entre os termos que estão entre parênteses.

� Os alunos nº 38 da 8ª A e nº 6 da 1ª F somente erraram nesse item, isto é, não

acertaram no item que apresentava distributividade na diferença.

Procedimento 3 – Não apresentou resolução.

� Os alunos nº 29 da 8ª A e nº 32 da 1ª F não completaram os espaços de todos os

itens.



1- Identificou todos 23 23/35 65,71%

2- Não identificou diferença 7 7/35 20,0%

3- Não apresentou resolução 5 5/35 14,28%

TOTAL 35 ALUNOS





52


TOTAL 30 ALUNOS

Tabela 12 – Porcentagem do Total de Procedimento – 8ª A e 1ª F





TOTAL 65 ALUNOS

Observamos que:

� Cerca de 60,0% dos alunos obtiveram acertos em todos os itens dessa questão,

sendo que esses acertos foram mais acentuados na turma da 8ª A.

� Cerca de 17,0% de alunos apresentaram erros, especificamente, no item d) dessa

questão, que envolvia a distributividade em relação à diferença entre dois termos dentro

dos parênteses.

� Aproximadamente 23,08% dos alunos investigados não apresentaram proce-

dimento algum nessa questão; o maior índice incidiu sobre a turma 1ª F, com 33,32%.

� Observamos, novamente, que o melhor desempenho foi obtido pela 8ª A.

Procedimentos utilizados na Quinta Questão

Quinta Questão:

A fração 6

244836 +− é equivalente a 6 – 8 + 4.

Explique como pode se obter essa equivalência. Escreva todo o seu raciocínio

justificando-o.

53

Procedimento 1 – Reescreve a fração dada indicando separadamente o

quociente de cada termo do numerador pelo termo do denominador.

� Os alunos nº 17 da 8ª A e nº 10 da 1ª F reescreveram 6

244836 +− como

6

24

6

48

6

36 +− .

Procedimento 2 – Cálculo do quociente da soma dos termos do

numerador pelo termo do denominador e comparação dos resultados obtidos

entre as expressões do primeiro e segundo termos do enunciado.

� Os alunos nº 15 da 8ª A e nº 39 da 1ª F, assim, procederam: 6

244836 +− =

26

12

6

4860 ==− e depois compararam com o resultado de 6 – 8 + 4.

Procedimento 3 – Não apresentaram resolução.

� Os alunos nº 33 da 8ª A e nº 38 da 1ª F não apresentaram nenhum procedimento

nessa questão.

Tabela 13 - Porcentagem de Procedimentos – 8ª A


1- Reescrita 22 22/35 62,86%

2- Quociente 11 11/35 31,43%

3- Nenhum 2 2/35 5,71%

TOTAL 35 ALUNOS

54



1- Reescrita 8 8/30 26,67%

2- Quociente 2 2/30 6,67%

3- Nenhum 20 20/30 66,66%

TOTAL 30 ALUNOS



1- Reescrita 30 30/65 46,15%

2- Quociente 13 13/65 20,0%

3- Nenhum 22 22/65 33,89%

TOTAL 65 ALUNOS

Observamos que:

� A maior porcentagem de procedimentos utilizados incidiu sobre aqueles que

reescreveram a fração proposta na questão, ou seja, sobre o Procedimento 1, com 46,15%.

� O procedimento correspondente ao cálculo do quociente da soma dos termos do

numerador pelo termo do denominador apresentou a menor porcentagem, 20,0% do total

de alunos.

� Houve uma grande discrepância entre as turmas quanto a porcentagem de alunos

que não apresentaram resolução, sendo apenas 5,71% na 8ª A e 66,66% na 1ª F.

� Mais uma vez, a 8 ªA mostrou melhor desempenho que a turma da 1ª F.

Portanto, nesse instrumento diagnóstico sobre Aritmética, observamos que o

melhor desempenho foi obtido pela 8ª série A do Ensino Fundamental.

55

56

Frações Algébricas

Erros cometidos na Primeira Questão

Primeira Questão


a) 2

3

2

4

x

x

b) x

xy

8

7

c) ab

ab

14

5

d) yz

x

4

12

ERRO 1: Na elaboração da resposta:

Erro 1.1: Transformação da resposta em equação do 1º grau.

� Os alunos nº 29 da 8ª A e nº 33 da 1ª F simplificaram corretamente a fração x

xy

8

7

para y8

7 e, posteriormente, igualaram essa resposta a zero, procurando determinar o valor

de uma “suposta incógnita” y.

Erro 1.2: Transposição da variável do denominador da fração para seu

numerador.

� Os alunos nº 9 da 8ª A e nº 36 da 1ª F simplificaram corretamente yz

x

4

12para

yz

x3

mas, expressaram a resposta como sendo 3xyz.

57

ERRO 2: Cálculo do produto ou potência entre coeficiente e expoente da

variável.

� Os alunos nº 37 da 8ª A e nº 4 da 1ª F na fração 2

3

2

4

x

x, elevaram o coeficiente 4

ao expoente 3 da variável x, respondendo a assim: 164

64

2

42

3

==x

x

x

x.

ERRO 3: Simplificação apenas de coeficientes ou de variáveis.

� O aluno nº 20 da 1ª F respondeu que não pôde simplificar a fração yz

x

4

12 por não

apresentar as mesmas variáveis no numerador e denominador.

� Um outro exemplo seria a resposta dada pelo aluno nº 5 da 8ª A no item c)

x

xy

8

7, respondendo que não poderia simplificá-la em virtude dos coeficientes do

numerador e denominador não serem divisíveis.

Tabela 1 – Porcentagem de Erros – 8ª A

Tipos de Erros Nº Alunos Alunos/Total %

1.1 Transforma resp. em equa. 2 2/35 5,71%

1.2 Transposição variável 7 7/35 20,0%

2. Cálculo entre coeficiente e

expoente

2 2/35 5,71%

3. Simplificação parcial 4 4/35 11,42%

TOTAL 15 15/35 42,8%

58

Tabela 2 – Porcentagem de Erros – 1ª F





expoente

4 4/30 13,33%


TOTAL 20 20/30 66,67%

Tabela 3 – Porcentagem do Total de Erros – 8ª A e 1ª F





expoente

6 6/65 9,23%


TOTAL 35 35/65 53,85%

Observamos que:

� A maior porcentagem de erros incidiu sobre a categoria correspondente à

transposição da variável do denominador para o numerador em ambas as turmas.

� 9,23% da população investigada cometeu erros correspondentes a 2ª categoria,

ou seja, multiplicou ou elevou o coeficiente ao expoente da variável na fração.

� A menor porcentagem de erros incidiu sobre a categoria 1.1, ou seja, 6,15% do

total de alunos igualaram sua resposta a zero, “transformando-a” em uma equação.

� A turma da 1ª F apresentou a maior porcentagem de erros, com 66,67%.

59

Erros cometidos na Segunda Questão

Segunda Questão

Simplifique, se possível, as frações abaixo:

a) x

xyx 114 +

b) 2

43

a

aab +

c) z

zxy 38 −

d) y

bx

11

317 +

Erro 1: Transformação de expressão algébrica em equação.

� Nenhum aluno da 8ª A cometeu esse tipo de erro categorizado nessa pesquisa.

� O aluno nº 20 da 1ª F respondeu corretamente que yx

xyx114

114 +=+, mas

igualou essa expressão obtida a zero e, depois determinou o valor de y como se fosse uma

incógnita, ou seja: yx

xyx114

114 +=+ e 4 + 11y =0.

11y = 4

y = 11

4

Erro 2: Adiciona número com termo algébrico.

� Os alunos nº 5 da 1ª F e nº 7 da 8ª A procederam corretamente sobre a fração

algébrica x

xyx 114 +, simplificando-a para 4 + 11y, mas expressaram suas respostas como

sendo 15y.

60

Erro 3: Numa adição de termos não semelhantes adiciona coeficientes e

multiplica fatores de mesma base.

� Os alunos nº 14 da 1ª F e nº 31 da 8ª A responderam que ba

ba

a

aab7

7432

2

2==+

.

� O aluno nº 36 da 8ª A respondeu que xyx

yx

x

xyx15

15114 2

==+.

Erro 4: Simplificação de apenas um dos termos de uma soma.

� O aluno nº 26 da 1ª F respondeu que xyx

xyx114

114 +=+.



1. Transforma em equação 0 0/35 0,0%

2. Adiciona número com termo 12 12/35 34,28%

3. Adiciona coef. e multiplica fat. 7 7/35 20,0%

4. Simplif. só um termo da soma 12 12/35 34,28%

TOTAL 31 31/35 88,57%

Tabela 5 – Porcentagem de erros - 1ª F






TOTAL 30 30/30 100,0%

61







TOTAL 61 61/65 93,85%

Podemos observar que:

� A maior porcentagem de erros incidiu sobre a categoria 4, ou seja, 40,0% do total

de alunos simplificaram apenas um termo da soma do numerador com o termo do

denominador.

� Cerca de 30,0% da população investigada cometeu erros ligados com a categoria

3, ou seja, adicionou os coeficientes dos termos “não semelhantes” do numerador e

multiplicou os fatores de mesma base da fração dada.

� Do total, aproximadamente 94,0% dos alunos apresentaram algum tipo de erro

nessa questão.

� Novamente, a totalidade dos alunos da 1ª F cometeu o maior número de erros.

Erros Cometidos na Terceira Questão

Terceira Questão


a) 2

8.5

a

aab

b) x

xyx 11.4

c) d

ca

19

17.13

62

d) z

zxy 3 . 6

ERRO 1: Aplicação da regra de simplificação da adição para a

multiplicação.

Erro 1.1: Da fatoração de expressões pela evidência do fator comum.

� O aluno nº 36 da 8ª A respondeu que x

xy11 . x4 é equivalente à

x

yx )11.4(.

� A mesma resposta foi dada pelo aluno nº 8 da 1ª F.

Erro 1.2: Simplifica quociente em que o numerador é um produto como

ele fosse soma.

� O aluno 18 da 8ª A respondeu que x

xy11 .x4 é equivalente a

x

xy

x

x 11.

4.

� O aluno nº 11 da 1ª F forneceu a mesma resposta nesse item a), na terceira questão.

63



1.1 Aplica fatoração 2 2/35 5,71%

1.2 Simplifica produto como soma 7 7/35 20,0%

TOTAL 9 9/35 25,71%

Tabela 8 – Porcentagem de Erros – 1ª F




TOTAL 4 4/30 13,33%





TOTAL 13 13/65 20,0%

Observamos que:

� A maior porcentagem de erros incidiu sobre o Erro 1.2, em cada uma das turmas

assim como, também, no total de alunos.

� Obviamente, a outra categoria de erros apresentou menor incidência.

� Essa questão foi, entre as propostas no instrumento algébrico, a que apresentou a

menor porcentagem de erros.

� Nessa questão, a maior porcentagem de erros não foi dada pela 1ª F, mas pela 8ª A.

64

4.2 Análise Qualitativa

Um dos objetivos da nossa pesquisa foi o de analisar as características do cálculo

numérico e do literal, os procedimentos corretos e incorretos dos alunos em Aritmética e

Álgebra. A importância de se discutir esses aspectos já foi exposta no nosso quadro

teórico. O desenvolvimento da análise aconteceu com o cruzamento entre os dados

quantitativos, anteriormente expostos, e os qualitativos, obtidos nas entrevistas. Indicamos

por “E” o entrevistador e o aluno, pela inicial do seu primeiro nome.

Os procedimentos utilizados pelos alunos da população investigada no instrumento

aritmético aplicado foram analisados. Na entrevista feita com o aluno P da 8ª A, enfocamos

a primeira questão:

E: Como você ligou (por meio de flechas) a fração 4.5.7

5.3.7 com

28

21?

P: Fiz algumas contas, não sei.

E: Você não quer rascunhar?

P: Sim, obrigada.

E: E agora?

P: (pausa) Lembrei! Fiz as contas e depois simplifiquei.

E: Como?

P: Peguei e multipliquei 7.3.5 e cheguei a 105, também multipliquei 7.5.4 e cheguei a 140.

Depois dividi tudo por 5.

Solicitamos à aluna que observasse, novamente, a fração 4.5.7

5.3.7 perguntando-lhe:

E: Não há outra forma de simplificá-la?

P: Não vejo nenhuma.

E: Mesmo?

P: Mesmo.

65

Essa é uma das dez, entre doze entrevistas realizadas, em que os alunos justificaram

suas correspondências na 1ª questão do seguinte modo: determinaram os produtos

indicados no numerador e denominador e, a seguir, dividiram sucessivamente o numerador

e o denominador dessa fração por fatores comuns como, por exemplo,

4

3

28

21

140

105

4.5.7

5.3.7 === . Desse modo, o aluno poderia identificar, imediatamente, na

segunda coluna 28

21, bem como

4

3 encontrando, conseqüentemente, maior dificuldade em

corresponder 4.5.7

5.3.7 com a fração representada na forma fatorada, ou seja, com

4.5

5.3. Ao

proceder dessa forma, o aluno não identifica “a . b . c” como sendo número, mas como a

indicação de operações a serem efetuadas, tendo em vista a determinação de um resultado

o que nos remete às considerações de Kieran (1992), conforme comentado no Capítulo II,

sobre a natureza processual das expressões aritméticas.

A observação da Tabela 1, a seguir, nos permite levantar algumas possibilidades

para se justificar os acertos nos itens da primeira questão.

66

Tabela 1 - Número de correspondências recebidas para cada uma das frações da

segunda coluna equivalentes a cada fração da primeira coluna

Fração da coluna 2 Turma 1ª F Turma 8ª A Total

28

21 18 23 41

4

3 12 17 29

4.5

5.3 6 17 23

6

11 8 22 30

36

66 10 16 26

5.12

5.2.11 9 18 27

3.5.2

5.11 7 11 18

Pelos dados dessa tabela, observamos que para a fração do item a) 4.5.7

5.3.7, as

frações 28

21 e

4

3 da segunda coluna foram as que obtiveram o maior número de

correspondências identificadas pelos alunos, ou seja, 41 e 29 respectivamente; enquanto a

fração 4.5

5.3 que também se apresenta nessa coluna, obteve o menor número de

correspondências entre as três consideradas. A maior ocorrência de acertos nas frações 28

21

e 4

3 poderia indicar que o procedimento do aluno P, acima analisado, foi privilegiado

entre os demais alunos.

67

A análise dos acertos no item b) 3.5.12

5.6.11 nos revela, igualmente, um maior número

de acertos nas formas 6

11 e

5.12

5.2.11 e menor número de acertos em

3.5.2

5.11 que se apresenta

na forma fatorada, sendo frações mais facilmente reconhecidas como equivalentes pelo

procedimento análogo ao anterior. Entretanto,5.12

5.2.11 mostrou o segundo maior número de

acertos. É possível que esses acertos tenham sido provocados pela posição dos fatores 11 e

12, da referida fração.

A entrevista realizada com o aluno T da 1ª F nos mostrou um exemplo de uma

aluna que não conseguiu resolver a questão, nem pelo cálculo nem pelo cancelamento de

fatores comuns no produto, estabelecendo apenas a correspondência incorreta.

E: Por quê você ligou apenas 15.4

5.32 com

8

3?

T: Eu tentei fazer a 1ª fração e não dava o resultado e não batia na outra coluna.

E: E com a 2ª fração?

T: Também não batia o resultado na outra coluna.

E: Você não tentou simplificá-las?

T: Não. Eu não sei (pausa). Eu só sei fazer pelas contas.

A aluna rascunha, então:140

105 e

110

330 o que esclarece as falas anteriores.

Continuando com a entrevista, tentamos mostrar-lhe outra possibilidade de se fazer as

correspondências:

E: Observe 4.5.7

5.3.7. Você pode simplificar o 7 com o 7?

T: Ah! (espanto) Posso!

E: Então, como fica?

T: Fica um, pois divido o 5 pelo 5.

E: E como fica toda a fração, então?

68

T: (a aluna rascunha no papel) Que simples. Vai ficar então 4

3. Eu não sabia disso, é uma

coisa muito simples! Que vergonha!

Considerando-se a natureza dessa questão no que diz respeito ao numerador e

denominador das frações escritas na forma fatorada, podemos conjecturar que a natureza

processual das expressões aritméticas, de acordo com Kieran (1992), justifique a

porcentagem de, aproximadamente, 80,0% do total de alunos que identificaram apenas

algumas equivalências entre as frações das duas colunas nessa primeira questão, sendo

apenas 7,69% os que conseguiram identificar todas as equivalências.

As segundas e terceiras questões têm objetivos similares: verificar se os alunos

conseguiam resolvê-las apenas pelos processos computacionais, utilizando o procedimento

que consiste na divisão do numerador e denominador de uma fração por um mesmo

número, ou se conseguiram resolvê-las aplicando as propriedades envolvidas na obtenção

das frações equivalentes.

Na segunda questão, os alunos expressaram o produto do numerador e do

denominador na forma reduzida e, em seguida, encontraram o quociente pela divisão

sucessiva desse numerador e denominador por um mesmo número. Como na questão

anterior, a atividade do aluno foi de natureza processual. Os dados quantitativos expostos

anteriormente reforçam essa consideração, pois indicam que a maior porcentagem de

procedimentos utilizada pelos alunos nessa questão foi 46,15%, aproximadamente. Então,

quase a metade da população investigada, nessa pesquisa, utilizou o procedimento em

discussão.

Retomando a entrevista dada pela aluna T da 1ª F, depois de questioná-la sobre as

possíveis simplificações da fração 4.5.7

5.3.7, perguntamos:

E: O que você achou?

T: Muito bom! Fiquei desesperada para fazer o 2 (questão 2 de Aritmética) porque não

achava outra maneira de fazer ele, sem ser pelas contas, e pelas contas dá muito trabalho.

(risos)

69

A terceira questão é menos usual, pois exige que o aluno identifique a notação de

um número natural como produto de dois ou mais fatores, que expresse a divisão de dois

números na forma fracionária e que efetue o cancelamento de fatores comuns. Nessa

questão, nenhum dos alunos investigados conseguiu resolver pela escrita da fração

correspondente à fração do enunciado na forma fatorada para simplificá-la. Por outro lado,

o procedimento baseado em tentativas aconteceu em, aproximadamente, 52,31% do total; e

47,69%, quase a metade do total de alunos, não apresentou resolução para essa questão.

A seguir, a entrevista feita com o aluno P, da 1ª F:

E: Leia com atenção (o exercício 3 da Aritmética). Como fez para resolvê-lo?

P: (pausa) Peguei o 1.155 e dividi por 3x5 que é igual a 15 e deu um resultado que não

era. Aí dividi por 3 x 7 que é igual a 21 e encontrei o 55.

E: Você fez a divisão de 1.155 por 21. Posso escrevê-la na forma fracionária?

P: Sim.

E: Como?

P: 21

1155.

E: Há uma outra forma de chegar aos 55 sem se efetuar a divisão?

P: Não! (espanto)

E: Justifique.

P: Sempre aprendi que é só dividindo um número pelo outro.

Observamos que os alunos não manifestaram flexibilidade de cálculo para

combinar os fatores do número 1155 como (3 . 7) . (11. 5) = 21 . 55, pela aplicação das

propriedades associativa e comutativa da multiplicação para, em seguida, obter os

divisores procurados pela aplicação da relação entre a multiplicação e a divisão envolvidas.

Entrevista análoga é a do aluno E da 1ª F:

E: Releia o 3 (questão 3 de Aritmética) com muita atenção. Explique-me sua resposta.

M: Peguei o 1.155 e dividi por 55 e achei o 21 e aí vi que 55 vezes 21 dá 1.155.

70

E: E você não pensou em trabalhar o 1.155 como 3 . 5 . 7 . 11?

M: Não� (espanto)

Avançamos, então, algumas considerações.

Embora admitida a predominância de procedimentos computacionais nas tarefas

operatórias aritméticas, observamos que as segundas e terceiras questões poderiam ser

resolvidas pela aplicação de propriedades aritméticas, o que implicaria um menor esforço e

poderiam se constituir em um desafio para os alunos

A transformação de uma expressão fatorada em “resposta” para, em seguida,

fatorá-la novamente, aponta para o desconhecimento da função operatória desses fatores.

Esse desconhecimento revela uma realização mecânica dessas operações, sem haver

preocupação pelos aspectos semânticos envolvidos.

Nas respostas dos alunos, existem indicações claras de que a prática escolar reforça

uma determinada relação com a Aritmética, centrada em procedimentos computacionais,

não se considerando a possibilidade de uma manipulação de expressões aritméticas pela

aplicação das propriedades formais das operações implícitas nas transformações realizadas.

Assim, ignoram que a manipulação das propriedades formais das operações aritméticas

poderia contribuir, conforme pesquisas citadas no Capítulo II, para a compreensão das

propriedades algébricas. É importante lembrar, conforme Booth (1988), que “(...) para

compreender a generalização das relações e procedimentos aritméticos é preciso

primeiro, que tais relações e procedimentos sejam apreendidos dentro do contexto

aritmético. Se não forem reconhecidos ou se os alunos tiverem concepções erradas a

respeito deles, seu desempenho em Álgebra poderá ser afetado. Nesse caso, as

dificuldades que o aluno tem em Álgebra não são tanto de Álgebra propriamente dita, mas

de problemas em Aritmética que não foram corrigidos” (p.33).

Em relação aos procedimentos utilizados pelos alunos na quinta questão, notamos

que a maior porcentagem incidiu sobre o procedimento de reescrita da fração do enunciado

pela indicação separada do quociente de cada termo do numerador pelo termo do

denominador, ou seja, aproximadamente 46,15% do total de alunos.

A seguir, entrevista realizada com o aluno A da 8ª A:

71

E: Explique-me como você respondeu que 6

244836 +− = 6 – 8 + 4?

A: Espera um pouco.

E: Como fica? (é mostrado ao aluno seu instrumento)

A: Dividi cada número de cima pelo 6.

E: Por quê?

A: Porque o 6 é denominador de todos eles, e 6

244836 +− é equivalente a 6 – 8 + 4.

Comparando essa entrevista com a do aluno T da 1ª F, já apresentado, que

demonstrou um fraco desempenho nas questões do instrumento aritmético e algébrico

aplicados, temos:

Aluno T da 1ª F:

E: (escrevi no papel) Você fez que 6

24

6

48

6

36

6

244836 +−=+−. Por quê?

T: Por causa do resultado que é 6 - 8 + 4. Aí, eu vi que o 6 era o denominador de todos os

números de cima.

O aluno A da 8ª A apresentou bom desempenho em classe, conforme observado no

estágio e comentado pela professora. Além disso, também apresentou bom desempenho

tanto na prova escrita quanto nas entrevistas. O aluno T da 1ª F, porém, apresentou fraco

desempenho na prova escrita.

Observamos que o enunciado dessa questão explicita a equivalência entre

6

244836 +− e 6 - 8 + 4, pedindo uma justificativa para essa afirmação. O fraco

desempenho do aluno T da 1ª F pode ser entendido como forte indício de que sua resposta

tenha sido influenciada pelo enunciado da questão, diferentemente da resposta obtida pela

entrevista com o aluno A da 8ª A, que orientou sua argumentação pelo fato de 6 ser

denominador comum e pela equivalência e não pela observação dos resultados. Na análise

dos dados desse item, as observações feitas sobre seu enunciado devem ser consideradas.

72

Passamos a análise dos erros cometidos pelos alunos na simplificação das frações

algébricas:

Iniciamos pelo Erro 1.1: Transformação da Expressão Algébrica da resposta em

uma equação, ocorrida na primeira questão; e, na segunda questão, Erro 1. A porcentagem

do total desse erro nessas questões foi, aproximadamente, 10,0%.

Entrevista do aluno M da 1ª F:

E: E por que você depois escreveu que 4 + 11y = 11 – 4 achando o valor de y? (escrevi

no papel para o aluno)

M: Pois, achei que 4 + 11y não era resposta e tinha de achar o valor de y. É difícil ter

como resposta 4 + 11y.

A fala desse aluno evidencia, claramente, sua dificuldade em aceitar uma expressão

algébrica como resposta.

No Capítulo II, apresentamos alguns estudos como os de Kieran (1981) e de

Macgregor (1996) que apontam esses tipos de erros na expressão de respostas algébricas

como sendo uma conseqüência da interpretação do sinal de igual somente como indicador de

respostas. Nessa mesma direção, algumas pesquisas em Álgebra apontam que esses erros

podem ser decorrentes de uma dificuldade que os alunos têm em “aceitar a ausência de

fechamento” Collins (1975); ou sobre as expectativas decorrentes da preocupação aritmética

quanto à maneira como deveriam ser as “respostas bem formadas”, Matz (1980) .

Passemos a análise da segunda questão, refletindo sobre os Erro 3, que consiste na

adição dos coeficientes dos termos “não semelhantes” e multiplicação de fatores de mesma

base de uma expressão. Observamos sua ocorrência tanto na fração dada na questão como

na expressão algébrica da resposta dessa mesma questão, sendo que seu percentual incide

em, aproximadamente, 29,23% sobre o total de alunos, fato que o classifica com a segunda

maior porcentagem entre todos os diagnosticados na questão.

Na entrevista com o aluno L da 1ª F, obteve-se:

E: (Escrito no papel) Observe x

xyx 114 +. Você respondeu

x

yx215 e depois 15xy. Comente.

73

L: Eu (pausa) Deixe-me observar o que eu fiz. (Observa o instrumento demoradamente)

Ah! Lembrei! Eu fiz o 3 (questão 3 da Álgebra) primeiro e depois usei o que eu fiz na 3

para fazer o 2 (questão 2 de Álgebra).

Entrevista análoga foi feita com o aluno F da 1ª F:

E: (mostramos ao aluno) você somou 4x + 11xy em x

xyx 114 +. Explique-me.

F: (pausa) Fiz o exercício 3 e depois fiz o 2. Aí pensei que poderia aplicar e fiz.

E: E agora?

F: Sei que não posso, mas nunca ninguém me falou e me mostrou isso aí (espanto).

Analisando as falas das entrevistas desses dois últimos alunos, observamos que esse

erro foi decorrente da aplicação de uma regra deslocada de seu âmbito de definição, pois

ambos afirmaram que responderam, em primeiro lugar, a terceira questão e, logo em

seguida, utilizaram os mesmos procedimentos na resolução da segunda questão proposta.

Em uma outra entrevista realizada com o aluno V da 8ª A, temos:

E: Observe essa questão (referindo-nos à segunda questão com frações como x

xyx 114 +).

Você acertou toda ela. Como você fez?

V: Usei a evidência e no outro caso separei as frações.

E: E como você errou a terceira questão (Com frações como x

xyx 11.4)?

V: Tentei usar o que usei no 2. Pensei que podia, mas agora vi que não estava certo.

As falas desse aluno V da 8ª A mostraram que seu erro na terceira questão,

igualmente, foi fruto de uma certa “extrapolação” dos procedimentos utilizados na segunda

questão. Os erros cometidos nessa terceira questão restringiram-se, apenas, ou a uma

transferência da soma para o produto da fatoração de expressões pela evidência do fator

comum (Erro 1.1), com a porcentagem de 4,61% do total de alunos, ou com 15,39% a

74

reescrita de uma fração pelo quociente de cada termo do numerador pelo denominador

(Erro 1.2).

Em síntese, temos:

- Os procedimentos utilizados na simplificação de x

xyx 114 + se estendem-se para

x

xyx 11.4; e

- Os procedimentos utilizados na simplificação de x

xyx 11.4 também se estendem

para x

xyx 114 + e;

Apesar dessas considerações, os dados obtidos, quer no instrumento diagnóstico

quer nas entrevistas realizadas com os alunos, não fornecem elementos suficientes que

permitam a nossa afirmação de que esses erros citados enquadram-se como “extrapolação”

na concepção de Matz (1980), ou como generalização abusiva, conforme Artigüe (1990).

Matz (1980) considera que os erros de extrapolação tratam, essencialmente, sobre

uma teorização psicológica dos processos de elaboração dos conhecimentos,

fundamentando-os nos processos de assimilação e acomodação do modelo piagetiano.

Artigüe (1990) analisa esses erros, relacionando-os a um processo presente no

desenvolvimento histórico de inúmeros domínios da Matemática, considerando-os, então,

como um produtor de obstáculos.

Para enquadrar os erros diagnosticados nesta pesquisa como sendo de extrapolação,

Matz (1980), ou da generalização abusiva, Artigüe (1990), seria importante a realização de

estágio de campo que nos permitisse obter elementos sobre o processo de ensino, assim

como um maior período de tempo para a observação da permanência e persistência desse

tipo de erro cometido pelos alunos. Além disso, seria necessário realizarmos entrevistas

clínicas mais consistentes e direcionadas, especificamente, à análise da natureza desses

erros. Entretanto, o número significativo de erros encontrados nessa categoria atesta sua

relevância e a pertinência de uma investigação nessa direção.

75

É possível levantarmos outra justificativa para a ocorrência desses erros. Os erros

cometidos pelos alunos estão diretamente relacionados ao ensino de Álgebra que prioriza a

sua dimensão sintática. Suas manipulações algébricas incidem somente na utilização das

regras sem nenhuma preocupação sobre as condições que lhes permitem aplicá-las. Na

análise dos dados obtidos nas entrevistas, há indicações, conforme Lemoyne e outros

(1993), que levantam questões sobre a necessidade de uma inclusão na análise dos erros

dos alunos, de fatores decorrentes da dimensão de sua história escolar, isto é, da prática

institucionalizada no ensino das expressões.

Lembramos que a adição de coeficientes dos termos “não semelhantes” também

ocorreu na expressão de uma resposta final do aluno com a porcentagem de 21,54% do

total da população investigada.

Observemos as justificativas dadas, na entrevista, pelo aluno J da 8ª A:

E: E como você chegou aqui (observando a fração x

xyx 114 +) a 44 y?

J: Simplifiquei, multipliquei e deu 44 y.

E: O resultado é esse mesmo?

J: (pausa demorada) Tá errado!

E: Por quê?

J: Acho que dá 15 y, porque vou somar 4+11y (apontando para o instrumento).

Observamos que o aluno simplificou, de forma correta, a fração x

xyx 114 + como

4 + 11y, procedendo apenas de maneira incorreta na expressão de sua resposta final. Em

sua entrevista, esse aluno reconheceu que 44y não é a resposta correta, mas, logo em seguida,

afirmou que o correto seria expressá-la como sendo 15y, isto é, a soma de 4 + 11y.

As pesquisas na área têm mostrado a relevância de erros dessa natureza, apontando

para duas explicações possíveis:

Uma delas, já mencionada, destaca a dificuldade em “aceitar a ausência de

fechamento”, Collins (1975), ou a necessidade de satisfazer uma exigência aritmética de

produzir “respostas bem formadas”, Matz (1980).

76

Outras pesquisas, conforme as citadas na síntese apresentada por Kieran (1992),

apontam esses erros como decorrentes de análise sintática das expressões, como por

exemplo, Davis (1975), Davis, Jockush e MacKnight (1978), Firth (1975), Lewis (1981) e

Sleeman (1984). Esses estudos indicam que um dos erros mais freqüentes tem sido o de

simplificar, como exemplo, 39x – 4 para 35x ou 2yz – 2y para z, e que a prática desses

erros não se restringe aos estudantes novatos em Álgebra, como apontam as pesquisas de

Carry, Lewis e Bernard (1980). Em estudos desenvolvidos sobre os processos de resolução

de equações utilizados por estudantes universitários, os autores citados mostraram que esse

tipo de erro, que chamaram de cancelamento, foi o mais comum cometido por estudantes

ao simplificarem expressões, em vários passos no processo de resolução de equações.

Com base nas análises expostas nesse item, podemos colocar questões sobre o Erro

1.2 – “Transposição da variável do denominador para o numerador da fração obtida na

resposta”, ocorrido na primeira questão. O erro poderia ser entendido como decorrência

das expectativas dos alunos em relação às “respostas bem formadas”, Matz (1980),

refletindo a não aceitação, por parte desses alunos, de uma fração que apresente um

denominador algébrico, ou seja, yz

x3.

Retomando a análise da segunda questão, enfocando o Erro 4 – “Simplificação

apenas de um dos termos da soma”, observamos, pelos dados quantitativos já expostos, que

esse foi o erro que apresentou a maior porcentagem, isto é, correspondendo a

aproximadamente, 40,0% dessa população. Analisemos, então, a entrevista obtida com o

aluno D da 1ª F:

E: Na questão 2 de Álgebra do item c) (mostramos ao aluno a fração algébrica z

zxy 38 −),

explique sua resposta.

D: Cortei o z de cima com o z de baixo.

E: Está certo?

D: Está, pois são termos iguais e eu posso cortar. Aí vai ficar 8xy – 3

Como observado, justificativas – “porque eu fatorei”, “dividi numerador e

denominador por um mesmo número”, bem como “cortei o z de cima com o z de baixo”,

77

“termos iguais e eu posso cortar” – como as apresentadas pelo aluno, constituem respostas

sintáticas que enfatizam as regras, sem nenhuma preocupação com as propriedades

matemáticas que autorizam a aplicação dessas regras. Em outros termos, com o significado

formal.

Em algumas entrevistas, propusemos que os alunos substituíssem as variáveis por

números reais.

Lemoyne e outros (1993) afirmam que o comportamento do aluno na resolução de

tarefas escolares de Aritmética e Álgebra pode ser influenciado pela sua relação com as

escritas numéricas e literais. Essa relação pode ser constituída em seus modos de operar as

expressões algébricas, modos esses que se apresentam totalmente desligados de

justificativas pertinentes que envolvem suas aplicações.

Os referidos autores consideram que os primeiros conceitos da Álgebra Elementar

são apoiados nos da Aritmética; que a Álgebra constitui-se em um domínio conceitual

novo que o aluno já domina parcialmente. Além disso, afirmam que as regras formais de

reescrita operam tanto sobre as expressões numéricas como literais, e a aplicação dessas

regras nem sempre tem por objetivo realizar um cálculo.

Segundo Lemoyne e outros (1993), Resnick e outros (1987), em sua pesquisa,

identificam quatro estratégias de comparação de equivalência entre expressões numéricas e

literais: comparação formal, reescrita, cálculo e avaliação. Entre as estratégias identificadas

por esses autores, utilizamos o cálculo pela substituição das variáveis por números nas

expressões literais e, em seguida, a comparação dos resultados.

Além de se constituir em um procedimento de validação que busca as inter-

relações entre as operações aritméticas e algébricas, acreditamos que a estratégia de

cálculo pode se constituir em um meio de atribuição de significado para expressões

algébricas.

Ainda na entrevista com o aluno J da 8ª A:

E: E como você chegou (na questão 2 – item a) x

xyx 114 + a 44y?

J: Simplifiquei e multipliquei e deu 44y.


78


E: Por quê?

Com a intenção aparente de corrigir o erro, manifesta-se :

J: Acho que dá 15y, porque vou somar 4 + 11y (apontando para o instrumento)

E: Não há um jeito de se verificar essa resposta?

J: Não sei.

E: Substitua x e y por quaisquer números e faça as contas.

J: Ah! (pausa demorada) Se der o mesmo resultado tá certo!?

E: Verifique.

O aluno revela falta de conhecimento da possibilidade de avaliação do acerto da

simplificação feita pela substituição das variáveis da expressão algébrica por valores

numéricos.

J: Se x = 2 e y = 3 fica (o aluno rascunha) 372

74

2

668

2

3.2.112.4 ==+=+.

E: E?

J: No outro fica 15 . 2 = 30 (referindo-se à expressão 15y). Então tá errado!

E: E? (apontamos para 44y)

J: 44 . 2 = 88. Também, tá errado.

J: 44 + 11xy = 4 + 11 . 3 = 37. Aí, tá certo. Então a resposta certa é 4 + 11y.

E: E o que você conclui?

J: (pausa demorada) Então tenho que cortar o x duas vezes; para os dois números.

As últimas falas desse aluno mostraram que o recurso à estratégia de cálculo

permitiu que o próprio aluno corrigisse seu erro pela identificação da equivalência entre as

79

expressões x

xyx 114 + e 4 + 11y e, além disso, o reconhecimento de que na fração

x

xyx 114 +, x é denominador comum.

Apresentamos, abaixo, o trecho da entrevista dada pelo aluno D da 8ª A:

E: Substitua x, y e z por qualquer número e compare os resultados obtidos.

D: (o aluno escreve e rascunha no papel) se x = 1, y = 2 e z = 3 aí fica

3

7

3

916

3

)3.(3)2).(1.(8 =−=− e 8 (1) (2) - 3 = 16 - 3 = 13.

E: O que você conclui?

D: (pausa demorada) Os resultados são diferentes e aí o que eu faço?

E: O que você acha?

D: Acho que teria de fazer de novo, porque tá errado. Ah! (espanto) Para ver se tá certa e

só substituir, então, as letras pelos números e fazer as contas, tem que dar o mesmo

resultado.

Comparamos, então, essa última entrevista com um trecho da entrevista que foi

feita com o aluno L da 8ª A:

E: E como fica x

xyx 114 +?

L: Se tivesse número no lugar de x, poderia fazer o mesmo, mas com x não sei.

E: Pense!

L: (aluno escreve no papel) Será que ficaria 4+11y? Acho que sim!

E: E como você pode verificar se está ou não certo?

L: Não sei.

E: Então substitua o x e y por números e faça as contas.

L: Por qualquer número?

E: É.

80

L: Então se x =1 e y = 2 fica 3

E: Olhe com atenção. É 26?

L: É.

E: E!

L: Ah! (espanto) no outro fica 4 + 11 . 2 = 4 + 22 = 26

L: Então tá certo, se deu o mesmo resultado tá certo, se não desse o mesmo estaria errado.

Muito legal!

Observamos que, além desse aluno reconhecer a equivalência entre as expressões

x

xyx 114 + e 4 + 11y, sua reação de espanto, igualmente manifestada pelo aluno D da

mesma turma, indica que os alunos identificam Aritmética e Álgebra como dois sistemas

conceituais isolados.

Retomando a entrevista do aluno T da 1ª F, temos:

E: (escrito no papel) você fez que 6

24

6

48

6

36

6

244836 +−=+−. Por quê?

T: Por causa do resultado que é 6-8+4. Aí eu vi que o 6 era denominador de todos os

números de cima.

E: (mostramos ao aluno) E por que você não fez o mesmo aqui (questão 2 item a) de

Álgebra?

T: Eu pensei que não posso dividir nada por letra, só por número.

Como mencionado nessas entrevistas, geralmente “os alunos não estabelecem

inter-relações entre as operações aritméticas e algébricas, ou seja, as expressões

algébricas não representam uma formulação matemática de leis que descrevem relações

de dependência entre variáveis de uma situação” (Usiskin, 1988; p.11). Ignoram que as

leis da Aritmética são consideradas como alicerce das leis da Álgebra e “... como

instrumento para expressar generalidades e controlar o desconhecido” (Mason, 1996; p.8).

81

A seguir, a análise do conceito de variável, onde consideramos os elementos

obtidos nas entrevistas realizadas com os alunos, todas já citadas neste trabalho. Um outro

trecho da entrevista feita com o aluno T da 1ª F:

E: O que você acha da letra x? O que ela representa para você? (sobre a fração 2

3

2

4

x

x)

T: É um número que tenho que achar.

Resposta análoga foi dada pelo aluno D da 1ª F:

E: O que significa o x para você?

D: Não sei.

E: Pense um pouco.

D: Talvez um número que tem de ser descoberto.

E: Só um número?

D: É um número que tenho que achar.

O aluno D da 8ª A também se referiu à letra como uma incógnita.

As respostas desses alunos revelaram que eles consideram as letras, nessas

expressões, como uma incógnita, ou seja, um número a ser descoberto.

Booth (1988) sustenta que há uma forte tendência de os alunos considerarem as

letras como representação de valores específicos únicos, uma vez que na Aritmética os

símbolos que representam quantidades significam sempre valores únicos.

Em algumas outras entrevistas, observamos que a letra é identificada como

representação de vários números, e não de apenas um número. Analisemos as entrevistas:

Aluno L da 1ª F.

E: Observe 2

3

2

4

x

x (escrito no papel). O que significa x para você?

L: um número qualquer.

Na entrevista com o aluno Ma da 8ª A, obtivemos:

82

E: O que significa x?

Ma: Um número desconhecido

E: Como desconhecido?

Ma: Pode ser vários valores (pausa). Acho que infinitos.

Segundo Küchemann (1981), a discriminação entre as várias maneiras que as letras

são usadas em Álgebra podem representar dificuldades aos alunos.

Conforme exposto no quadro teórico deste estudo, Küchemann (1981) apresentou a

classificação das entrevistas dadas por estudantes britânicos, de 13 a 15 anos de idade,

sobre as letras em Álgebra, constatando que apenas um pequeno número deles considera as

letras como números generalizados e, um número ainda menor desses alunos, capaz de

interpretar letras como variáveis, tais como descritas em sua classificação. Essa

constatação foi verificada em nossa investigação, na qual os alunos com bom desempenho

(aluno A da 8ª A) e com um fraco desempenho (aluno L da 8ª A) apresentaram, em suas

respostas, a descrição da letra como número generalizado.

Analisemos, então, a entrevista dada pelo aluno M da 1ª F:

E: O que significa a letra “x” para você?

M: Pode ser um número qualquer.

Em outro trecho dessa mesma entrevista, o aluno respondeu:

E: E por que você depois escreveu que 4 + 11y = 11y – 4e achou o valor de y? (escrito no

papel) Refiro-me à questão x

xyx 114 +.

M: Pois achei que 4 + 11y não era resposta e tinha então de achar o valor de y. É difícil

ter como resposta 4 + 11y.

E: E o que a letra x e y são para você?

M: É um valor só. Um único número.

E: Não pode ser qualquer valor?

M: Não, tem que ser um único número! (Reafirma)

83

Embora esse aluno tenha apresentado um razoável desempenho no instrumento

diagnóstico aplicado, observamos, pelas suas falas, certa confusão com relação a sua

interpretação sobre a letra “x”, pois num primeiro momento considerou o “x” como um

número generalizado e, ao final da entrevista, respondeu que essa mesma letra só podia

representar um único número.

O aluno M da 8ª A caminhou na mesma direção da entrevista anterior, mas

acrescentou uma frase peculiar como resposta à pergunta do entrevistador, sobre o que é

uma incógnita, e apresentou respostas dúbias quanto à natureza da letra.

Pelas entrevistas, observamos que nenhum dos alunos reconheceu a letra “x” como

variável, isto é, como representação de um domínio de valores não específicos com relação

sistemática, identificada entre dois conjuntos de valores.

Os dados corroboram com os obtidos por Küchemann (1981) quanto aos níveis de

interpretação das letras. Além disso, observamos que a autora menciona que os estudantes

participantes da pesquisa tinham experiência para representar padrões numéricos com

afirmações generalizadas.

No caso deste nosso estudo, optamos igualmente por alunos da 8ª série do Ensino

Fundamental que estavam trabalhando com o conceito de variável em equações e

expressões algébricas e, simultaneamente, de alunos da 1ª série do Ensino Médio que

trabalhavam o estudo de funções.

84

CAPÍTULO V

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A cada capítulo, fomos elaborando as conclusões parciais de nossa reflexão sobre a

natureza dos procedimentos corretos e incorretos dos alunos nas questões propostas. A

reprodução dessa análise não faz muito sentido, bastando-nos apontar, em termos gerais, o

que nos pareceu merecer destaque como contribuição para o ensino de Álgebra Escolar

quanto ao estudo das expressões algébricas pela via das regularidades que governam as leis

numéricas. Relembrando, segundo Usiskin (1988), a Álgebra da Escola Média está

relacionada à compreensão das variáveis, considerando esse conceito de variável como

multifacetário e afirmando que “as finalidades da Álgebra são determinadas por, ou

relacionam-se com concepções diferentes de Álgebra que correspondem à importância

relativa dadas aos diversos usos das variáveis” (p.13).

Um dos objetivos da nossa pesquisa foi realizar um estudo diagnóstico sistemático

de procedimentos e erros na simplificação de frações aritméticas e algébricas, cometidos

por uma população de alunos de 8ª série do Ensino Fundamental e 1ª série do Ensino

Médio, de duas escolas estaduais da cidade de São Paulo.

Os resultados deste estudo demonstram uniformidade de procedimentos

mobilizados na simplificação de frações aritméticas, especificamente no que se refere ao

processo computacional, e demonstram, ainda, grande diversidade de erros cometidos na

simplificação das frações algébricas. O referencial teórico adotado nos possibilitou o

diagnóstico dessas “uniformidade” e “diversidade” citadas, sustentando, então, todo o

desenvolvimento desta pesquisa.

Lemoyne e outros (1993) afirmam que os modos de operar sobre expressões

aritméticas ou algébricas, sem se preocupar em buscar justificativas pertinentes,

influenciam o comportamento do aluno na resolução de tarefas escolares dessa natureza,

acarretando o privilégio dado a alguns procedimentos em detrimento de outros. Entretanto,

considera o aspecto processual como característico da natureza da atividade aritmética.

85

Conforme menciona Kieran (1992), os alunos utilizaram-no mesmo em situações

desnecessárias. Em nossa análise, realizada no Capítulo IV, sobre a primeira questão do

instrumento aritmético, especificamente, em 4.5.7

5.3.7, observamos que

28

21 e

4

3 foram as

frações da coluna 2 que obtiveram o maior número de correspondência dos alunos e, suas

justificativas, pelas entrevistas, basearam-se na apresentação do procedimento que consiste

em 4

3

28

21

140

105

4.5.7

5.3.7 === , ou seja, em que a possibilidade de efetuarem a divisão com

base nos fatores comuns do numerador e denominador não foi considerada.

Quanto aos erros em Álgebra, observamos grande porcentagem de erros cometidos,

especialmente, na segunda questão, com a incidência de 88,57% na turma 8ª A, de 100,0%

na 1ª F, e 93,85% sobre o total de alunos das duas turmas tomadas para essa investigação.

A porcentagem de erros obtida em nosso estudo, em especial na segunda questão,

foi preocupante, uma vez que tanto os conteúdos da Matemática como de outras disciplinas

requerem, na maioria das vezes, a interpretação do aluno sobre a equivalência de frações

aritméticas e algébricas, como já mencionada no Capítulo I.

Além de uma análise de procedimentos e erros já citados, verificamos também se os

alunos operavam com expressões algébricas do mesmo modo que com as aritméticas. Booth

(1988) afirma que as dificuldades apresentadas pelos alunos em Álgebra relacionam-se

muito mais à incompreensão das transformações permitidas sobre as expressões numéricas,

do que nas algébricas propriamente ditas. Nossas análises evidenciam que os alunos não

estabelecem inter-relações entre as operações aritméticas e algébricas, ignorando as leis da

Aritmética como alicerce das leis da Álgebra e a possibilidade de, em alguns momentos,

fazer uso dessas relações quando pertinentes.

Brun, Conne e Retchitki (1988) observam que “o tratamento didático dos erros

evitando (...) os aspectos conceituais subjacentes não fazem senão recentrar o aluno no

funcionamento de seu cálculo” (apud. Lemoyne e outros, 1993; p.342).

Nessa direção, como têm sido recomendado em algumas pesquisas da área,

conforme Granell (1997), propomos um ensino de Álgebra escolar que não se centralize

nos aspectos sintáticos nem nos semânticos, mas que contextualize os conceitos e

procedimentos matemáticos, priorizando, conjuntamente, esses dois aspectos. Essa

conjunção deve acontecer em múltiplas vias, tais como: a resolução de problemas,

86

generalização de padrões geométricos/figurativos, onde o aluno possa perceber e descrever

regularidades, utilizando-se de diferentes linguagens, produzindo expressões aritméticas

generalizáveis. Desse modo, pode-se recorrer às propriedades aritméticas como uma das

vias, para que os alunos compreendam a manipulação das propriedades formais da Álgebra.

Embora conscientes de imposições institucionais para o cumprimento de um certo

programa pelo professor, acreditamos que o incentivo à memorização e ao uso de regras na

obtenção de resultados imediatos pode desencadear sérias dificuldades nos alunos com

relação à compreensão da equivalência, tanto entre as expressões aritméticas como entre as

expressões algébricas, levando-os a cometerem os mais diversos tipos de erros, como já

citados no Capítulo IV. Além disso, também, pode acarretar por parte dos alunos, o

estabelecimento de relações disjuntas com a Aritmética e a Álgebra.

Além de propostas mais gerais para melhoria do ensino de Álgebra, a constatação

de procedimentos estandartizados de cálculo, utilizados nas tarefas de Aritmética propostas

nos instrumentos investigativos, nos encorajam a indicar algumas recomendações

específicas à simplificação de frações aritméticas e algébricas, como complemento das

anteriores:

- na adição de duas frações que não apresentam denominador comum como d

b

c

a + ,

que se trabalhe com os alunos a expressão dc

cb

dc

da

.

.

.

. + e, não diretamente com dc

bcad

.

+.

Assim, esses alunos poderão reconhecer mais facilmente “c” e “d” como denominador

comum e a equivalência entre dc

cb

dc

da

.

.

.

. + e dc

bcad

.

+;

- um trabalho em sala de aula que enfatize, na representação de um número na

forma fatorada, as propriedades de multiplicação, estabelecendo relação entre as operações

de multiplicação com as de divisão, o que pode evidenciar o significado de expressões

como o “cancelamento de fatores”, usuais no ensino de simplificação dessas frações, e

contribuir para a agilidade dos alunos em cálculos aritméticos e, especificamente, nos

exigidos na simplificação dessas frações; e

87

- proposição de atividades que determinem as condições específicas que envolvem

a aplicação de uma determinada regra, em especial, a reescrita de uma fração que utilize a

propriedade de fatoração pela evidência do termo comum, isto é, que c

bax

c

bxax )( +=+

não é aplicável em c

bxax., prevenindo erros decorrentes de uma aplicação indevida de uma

regra.

Mencionamos, no decorrer desta análise, a uniformidade obtida nos

procedimentos de simplificação de frações aritméticas e a grande diversidade de erros

ocorridos nos procedimentos de simplificação algébrica. As questões do instrumento

diagnóstico escrito sobre as frações aritméticas foram tratadas pelos alunos em uma

perspectiva computacional, exigindo um cálculo e uma resposta numérica designada em

sua notação simplificada. Com efeito, no contexto de uma prática aritmética, não há razão

para que o número total de duas coleções de objetos seja designada por uma adição de

números, porque esses números são medidas conhecidas dessas coleções. Em

contraposição, no contexto algébrico, “a + b” representa um número, o número total de

objetos de uma coleção. Aceitar essa afirmação significa reconhecer que a referida

expressão mostra a relação entre número total de objetos e os das coleções; é, além disso,

reconhecer a impossibilidade de realizar a soma.

A prática constante do procedimento de cálculo, acima caracterizado, aliado a

uma não reflexão sobre relações e propriedades envolvidas na manipulação de expressões

aritméticas, reforça uma preocupação com o produto em detrimento de uma preocupação

com o processo.

A análise dos procedimentos dos alunos na resolução das questões aritméticas nos

permite afirmar que eles não reconhecem “a.b.c” como um número expressando relações

multiplicativas. Quando da simplificação das frações aritméticas, em nenhum momento

preocuparam-se em explorar essas relações expressas na representação de um número na

forma fatorada. Calcularam a notação simplificada de todas as expressões. Efetuaram todas

as operações indicadas no numerador e no denominador das frações dadas e, em sentido

inverso, simplificaram as frações operando com os números assim obtidos. Nessas

condições, e considerando-se que os alunos manifestaram um conhecimento das operações

88

fundamentais, as possibilidades de erro, nessas simplificações reduziram-se a erros de

cálculo.

Acreditamos que a persistência dessa relação que os alunos têm com a Aritmética

nas tarefas de manipulação de expressões algébricas pode se configurar como uma atitude

de busca de resposta, uma atitude que desvaloriza o processo.

Consideramos, além disso, que os alunos não estabelecem inter-relações entre as

operações aritméticas e algébricas, ou seja, as expressões algébricas não representam uma

formulação matemática de leis que descrevem relações de dependência entre variáveis de

uma relação de natureza funcional (Usiskin, 1988). Por outro lado, os alunos não têm

condições de justificar formalmente as transformações que efetuam sobre essas expressões.

Essa ausência de significado da linguagem algébrica conjuga-se a uma valorização da

dimensão sintática. Como vimos justificativas como “porque eu fatorei”, “dividi

numerador e denominador por um mesmo número”, bem como “cortei o z de cima com o z

de baixo”, “termos iguais eu posso cortar” foram constantemente apresentadas pelos

alunos. A ênfase é posta sobre regras sem nenhuma preocupação com as condições que

lhes permitem aplicá-las.

É uma hipótese bastante plausível considerarmos as proposições acima como se

constituindo em argumentos para a compreensão da diversidade de erros dos alunos, nas

questões envolvendo frações algébricas, em contraposição à uniformidade de

procedimentos e à ausência de erros nas relativos a frações aritméticas.

A investigação dos erros, por si só, constitui-se em domínio complexo. Coloca

questões polêmicas sobre suas origens e as condições de sua realização em sala de aula,

sobre sua função no processo de ensino, não abordadas nesta dissertação.

Embora tenhamos realizado um estágio nas classes em que a pesquisa foi

desenvolvida, ele não foi direcionado à busca de informações que permitissem

investigarmos a influência do ensino nos procedimentos empregados pelos alunos, bem

como os aspectos específicos das dificuldades desses alunos, o que exigiria um tempo

maior de permanência na escola. O estágio foi importante para o conhecimento das

características da escola e dos alunos; e para que vínculos fossem estabelecidos entre os

alunos e o pesquisador, bem como desse com o professor, de modo a garantir o

comprometimento dos participantes com o desenvolvimento da pesquisa. Tendo em vista

89

esse comprometimento mútuo, partilhamos com esses indivíduos os resultados com retorno

às turmas e distribuição das cópias dos instrumentos que foram aplicados totalmente

corrigidos, além de comentarmos sobre seus procedimentos e erros.

No caso acima mencionado, seria necessário um estudo mais aprofundado dos erros

de cada aluno, em todas as questões para que essa entrevista fosse conduzida de modo a se

obter um diagnóstico mais aprofundado de erros como, por exemplo, diagnóstico do

domínio do aluno nos aspectos conceituais envolvidos, confronto entre as diferentes regras

de simplificação das expressões algébricas, a solicitação de distintas estratégias de

comparação entre as duas expressões. Nesse caso, acreditamos que talvez fosse

conveniente propor o estudo de apenas uma categoria de erro entre os apontados na

literatura como os de extrapolação das regras para além do seu domínio de aplicação,

utilizando várias possibilidades aproximação dessa questão.

Entre essas, os resultados obtidos nos apontam à pertinência de propormos uma

investigação dos erros em expressões algébricas que incorpore a dimensão da prática na

sala de aula, a trama escolar dos conhecimentos dos alunos, o que exige, além da sólida

formação do pesquisador, a familiaridade com o tema, um investimento de longo período

de tempo e, provavelmente, um trabalho de equipe.

Entretanto, nosso objetivo, neste primeiro momento, foi o de obter um diagnóstico

mais abrangente e, conseqüentemente, mais geral dos procedimentos e erros dos alunos na

simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Um estudo que acreditamos tenha se

consistido em um passo na direção do caminho acima citado. Nosso diagnóstico poderá,

além disso, constituir-se em um instrumento para provocar entre os professores, uma

discussão sobre os erros cometidos pelos alunos, procurando formas de se atuar sobre eles;

além de evidenciar o elevado número de erros observados, alguns dos quais pouco

mencionados na literatura.

90

BIBLIOGRAFIA

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93

ANEXO 1

INSTRUMENTO PILOTO

1º) Simplifique as frações abaixo:

a) x

x

2

4 2

b) 4

3

12

8

x

x

c) 6

8

13

15

x

x

d) 4

5

4

12

x

y

e) 6

3

16

80

g

a


a) 72

54

48

8

ax

ax

b) 3

24

5

15

y

gx

c) 54

3

80

18

ab

a

d) 24

37

17

13

yx

ab

e) 86

93

10

30

xa

xa

94


a) xy

yx

3

125 2 +

b) 515

56

x

x −

c) 2

45

12

38

y

xy −

d) 3

74

60

1516

x

ba +

e) 3

4

5

712

y

yx +


a) 2

232

21

147

y

yyx +

b) 23

4342

24

1218

ba

abba +

c) 6

473

49

2114

a

aba −

d) 4

437

8

168

x

xyx −

e) 3

4

2

22

y

yyx +


a) da

da

86

42

++

b) yx

yx

82

124

++

95

c) yx

yx

48

2

−−

d) yx

yxy

1213

75

++

e) aab

aba

34

32

++

96

ANEXO 2

INSTRUMENTO DIAGNÓSTICO

Instrumento Aritmético

1ª) Ligue por meio de flechas cada fração da coluna 1 com as frações que lhe são


Coluna 1 Coluna 2

A) 4.5.7

5.3.7�

6

11

� 28

21

B) 3.5.12

5.6.11�

5.12

5.2.11

� 4

3

C) 15.4

5.32�

36

66

� 8

3

� 4.5

5.3

� 3.5.2

5.11

2ª) O resultado da simplificação da fração 12.4

8.6.3 é 3 e da

10.16

32.2.5 é 2; explique, em cada

um dos casos, duas maneiras distintas de se obter tal resultado.

3ª) Sabendo-se que 1.155 é resultado de 3 . 5 . 7 . 11, responda:

97

a) João dividiu 1.155 por dois desses fatores e encontrou como quociente 55. João dividiu

1.155 por _________.

b) Élio dividiu 1.155 por três desses fatores e encontrou como quociente 5. Élio dividiu

1.155 por __________.

c) Silvio dividiu 1.155 por todos esses fatores e encontrou como quociente 1. Silvio dividiu

1.155 por _________.


4ª) Tomando como base o modelo abaixo, preencha as lacunas e explique seus cálculos em

cada item:

Modelo: 16 = 2 (3+5) = 2 . 3 + 2 . 5

a) 45 = _____(2 + 7) = _____ . _____ + _____ . _____

b) 72 = 9 . (_____ + _____) = 9 . 3 + 9 . _____

c) 28 = 7 . (1 + _____) = _____ . _____ + _____ . _____

d) 27 = 9 . (_____ - 2) = _____ . _____ - _____ . _____

5ª) A fração 6

244836 +− é equivalente a 6 – 8 + 4.

Explique como pode se obter essa equivalência. Escreva todo o seu raciocínio justificando-o.

98

Instrumento Algébrico

1ª) Simplifique as frações abaixo:

a) 2

3

2

4

x

x

b) x

xy

8

7

c) ab

ab

14

5

d) yz

x

4

12

2ª) Simplifique, se possível, as frações abaixo:

a) x

xyx 114 +

b) 2

43

a

aab +

c) z

zxy 38 −

d) y

bx

11

317 +

3ª) Simplifique as frações abaixo:

a) 2

8.5

a

aab

b) x

xyx 11.4

c) d

ca

19

17.13

d) z

zxy 3 . 6

99

ANEXO 3

ENTREVISTAS

PRIMEIRA ENTREVISTA

Aluno: P.A. (1ª série do Ensino Médio)

E: Como você ligou (por meio de flechas) a fração 4.5.7

5.3.7 com

28

21?

P: Fiz algumas contas, não sei.

E: Você não quer rascunhar?

P: Sim, obrigada.

E: E agora?

P: (pausa) Lembrei! Fiz as contas e depois simplifiquei.

E: Como?

P: Peguei e multipliquei 7.3.5 e cheguei a 105, também multipliquei 7.5.4 e cheguei a 140.

Depois dividi tudo por 5.

E: Observe a fração 4.5.7

5.3.7. Não há outra forma de simplificá-la?

P: Não vejo nenhuma.

E: Mesmo.

P: Mesmo.

E: Então escreva 4

3 de um lado da folha e do outro lado dela escreva

40

30. Partindo de

4

3

qual ou quais as operações que você tem de aplicar para chegar em 40

30?

P: (pausa) Sei lá.

E: Pense. Rascunhe

P: (pausa) Ah! Multiplicar tudo por 10.

100

E: Muito bem, mas não poderia ser só pelo nº 2 inicialmente?

P: Poderia (pausa). Mas também teria que ser pelo 5 depois.

E: O que você conclui, então?

P: Essa pergunta é difícil. Não sei.

E: Tente.

P: (pausa) Acho então que 4

3 =

40

30. Sei lá.

E: E?

P: Não sei mais nada.

E: Se 4

3 =

40

30 não há mais nada para se concluir?

P: Não sei mesmo (a aluna não conseguiu identificar a equivalência de frações).

E: Leia com atenção (o exercício 3 da Aritmética). Como fez para resolvê-lo?

P: (pausa) Peguei o 1.155 e dividi por 3 . 5 que é igual a 15 e deu um resultado que não

era. Aí dividi por 3 . 7 que é igual a 21 e encontrei o 55.

E: Você fez a divisão de 1.155 por 21. Posso escrevê-la na forma fracionária?

P: Sim.

E: Como?

P: 21

1155.

E: Há uma outra forma de chegar aos 55 sem se efetuar a divisão?

P: Não! (espanto)

E: Justifique.

P: Sempre aprendi que é só dividindo um número pelo outro.

E: Observe então a fração 16

32, sabe-se que o resultado é 2. Sem efetuar a divisão, por

exemplo, fatorando, como você obteria o 2?

101

P: Ah! Será que é 2.2.2.2

2.2.2.2.2= 2?

E: Isso mesmo.

P: E? (espanto)


P: Eu nunca vi isso. É mais fácil e rápido.

E: E agora sendo x

x2

? Como fica?

P: x

xx.=x

E: O que você fez?

P: Escrevi que x2 = x . x e cortei um x com o x do denominador.

E: o que é cortar? É jogar fora?

P: Não! (pausa)

E: Então?

P: Na verdade (pausa), estou dividindo e dá 1?

E: Então, o que é cancelar?

P: (pausa) Cortar.

E: Só?

P: É

E: Pense! Observe novamente as frações.

P: Ah! É dividir.

E: E?

P: Cancelar é cortar e cortar é dividir (espanto)


102

P: Muito legal! Eu nunca aprendi e vi isto. Então era só pegar o 21

155.1 e fazer

11.5

11.7.5.3 =

3.7 = 21 sem ter que fazer todas aquelas contas que eu fiz e me matei? Não acredito!

(espanto e risos).

E: Na questão 4 de Aritmética o que o levou a desmembrar a fração em outras três?

P: Separei por separar, olhando o resultado.

E: Mas na Álgebra (na questão 2) você somou os termos do numerador?

P: Pois é. Achei somando, mas depois lembrei que não podia.

E: E como ficaria então?

P: yx

xy

x

x114

114 +=+ . Lembrei que só posso somar quando os termos forem iguais

(“quis dizer semelhantes”).

E: Por que, então, você os somou?

P: (pausa) Deixe lembrar. Ah, eu fiz o 3 (questão 3 de Álgebra) primeiro e fui para o 2

depois e aí pensei que podia fazer no 2 o que fiz no 3?

E: E agora?

P: (pausa) Sei que não posso?

E: Porque o que eu faço na multiplicação não posso fazer na soma.

SEGUNDA ENTREVISTA

Aluno M: (1ª série do Ensino Médio)

E: Como você achou as frações equivalentes?

M: Fiz as contas e depois fui ligando.

E: Você não pensou em tentar achar as frações equivalentes sem fazer as contas? De outro

jeito?

M: Pensei em simplificar.

E: Como?

103

M: Por exemplo (o aluno rascunha no papel) 4.5.7

5.3.7. Aqui eu poderia cortar o 5 com o 5.

E: Quando você corta o 5 com o 5 o que você faz com esses números? Joga fora?

M: Não. (pausa.) São divisíveis. O resultado dá um.

E: Então, o que você faz?

M: Divido um pelo outro.

E: No 2 (questão 2 da Aritmética) você obteve o resultado simplificando. Por quê você não

fez isso no 1?

M: Por falta de costume.

E: Releia o 3 (questão 3 da Aritmética) com muita atenção. Me explique sua resposta.

M: Peguei o 1.155 e dividi por 55 e achei o 21 e aí vi que 55 vezes 21 dá 1.155.

E: E você não pensou em trabalhar o 1.155 como 3 x 5 x 7 x 11?

M: Não! (espanto)

E: Na questão 1 de Álgebra (item 3) você respondeu que não dava para simplificar porque

o numerador tinha y e o denominador não. Por quê?

M: Pensando bem e olhando agora sei que dava. Mas na hora pensei que não podia por

isso.

E: O que significa a letra “x” para você?

M: Pode ser um nº qualquer.

E: Na questão 3 (da Aritmética), você respondeu que 6

24

6

48

6

36

6

244836 +−=+− (escrevi

no papel) Por quê?

M: Porque o denominador é igual para todos.

E: E por isso você separou na Álgebra (questão 2 – item a) também? (mostramos para o

aluno a questão)

M: Por isso.

E: E por que você depois escreveu que 4 + 11y = 11y – 4 e achou o valor de y? (escrevi no

papel para o aluno).

104

M: Pois, achei que 4 + 11y não era resposta e tinha então de achar o valor de y. É difícil ter

como resposta 4+11y.

E: E o que é a letra x e y para você?

M: É um valor só. Um único número.

E: Não pode ser qualquer valor?

M: Não. Tem que ser um único número! (reafirma)

TERCEIRA ENTREVISTA

Aluno T: (1ª série do Ensino Médio)

E: Por que você ligou apenas 15.4

5.32 com

8

3?

T: Eu tentei fazer a 1ª fração e não dava o resultado e não batia na outra coluna.

E: E com a 2ª fração?

T: Também não batia o resultado na outra coluna.

E: Você não tentou simplificá-las?

T: Não. Eu não sei (pausa)

E: E cortar?

T: Não, eu só sei fazer pelas contas.

E: Observe 4.5.7

5.3.7. Você pode simplificar ou cortar o 7 com o 7?

T: Ah! (espanto) Posso.

E: Então, como fica?

T: Fica um, pois divido o 5 pelo 5.

E: E como fica toda a fração, então?

T: (a aluna rascunha no papel) Que simples. Vai ficar então 4

3. Eu não sabia disso, é uma

coisa muito simples! Que vergonha!

105


T: Muito bom! Fiquei desesperada para fazer o 2 (questão 2 de Aritmética) porque não

achava outra maneira de fazer ele sem ser pelas contas e pelas contas dá muito trabalho

(risos).

E: E o que você tem a dizer?

T: Sei lá. Nunca me mostraram essa forma.

E: Na questão 1 de Álgebra, por que você respondeu 2

3

2

4

x

x=2x5 (escrevi no papel)?

T: (risos) não tem esse negócio de que tem que somar os expoentes. Pensei por aí.

E: O que você acha da letra x? O que representa para você?

T: É um número que tenho que achar.

E: (escrevi no papel) você fez que 6

24

6

48

6

36

6

244836 +−=+−. Por quê?

T: Por causa do resultado que é 6-8+4. Aí eu vi que o 6 era denominador de todos os

números de cima.

E: (mostramos ao aluno) E por que você não fez o mesmo aqui (questão 2 item a) de

Álgebra?

T: Eu pensei que não posso dividir nada por letra, só por número.

QUARTA ENTREVISTA

Aluno L: (1ª série do Ensino Médio)

E: Como foi que você achou as correspondências?

L: Fiz as contas, e pelo resultado, fui simplificando.

E: Em algum momento, você pensou em simplificá-las de uma outra forma?

L: Como?

E: Sem fazer as contas?

L: Não, pois só me ensinaram assim.

106

E: E sem fazer as contas, tente fazer 4.5.7

5.3.7.

L: Poderia cortar o 7 com o 7 e o 5 com o 5?


L: Acho que sim. Aí ficaria 4

3.

E: Então o que é cortar?

L: Não sei (pausa). Cortar é dividir. Por exemplo: dividi 7 por 7 e no lugar deles ficou 1.

E: E o que você achou?

L: Assim é mais fácil e rápido.

E: Observe x

x

2

4 2

(escrevi no papel). O que significa x para você?

L: Um número qualquer.

E: (Escrevi no papel) Observe x

xyx 114 +. Você respondeu 15xy. Comente.

P: Eu (pausa). Deixe-me observar o que eu fiz. (Observa o instrumento demoradamente).

Ah! Lembrei! Eu fiz o 3 (questão 3 da Álgebra) primeiro e depois usei o que eu fiz no 3

para fazer o 2 (Questão 2 de Álgebra).

QUINTA ENTREVISTA

Aluno F: (1ª série do Ensino Médio)

E: Como que você ligou as frações? (questão 1 de Aritmética) (mostramos o instrumento

ao aluno)

F: Ia fazendo as contas, observando e tentando fazer as simplificações.

E: Mas, há outra forma de achar essas simplificações sem fazer as contas primeiro?

F: Não.

E: Mesmo?

F: Aprendi que sempre se deve fazer as contas e depois simplificar.

107

E: Como você, então, ligou 3.5.12

5.6.11 com

3.5.2

5.11? (mostramos ao aluno o seu instrumento)

F: Cortei o 6 com o 12. Então deu 1 em cima e 2 em baixo.

E: Então, o que você fez?

F: Cortei (pausa). Não, eu dividi.

E: E a questão 2 de Aritmética (mostramos ao aluno). Por que você também não dividiu?

F: Por não estar acostumada desse jeito.

E: E o 3 (mostramos ao aluno). Como que você o fez?

F: Por tentativa. Fui dividindo até dar certo.

E: Não há como comparar o 3 com o 1 e tentar fazê-lo?

F: Não.

E: Pense. Tome o papel e tente?

F: Deixe ver (pausa)

E: E aí? (depois de muito tempo, aproximadamente, 5 minutos)

F: Não dá.

E: Observe essa questão 1 de Álgebra (mostramos ao aluno) Explique-me sua resposta?

F: Na hora fiz que 43 = 64 e 22 = 4 (o aluno escreveu no papel), mas agora sei que está

errado.

E: E x

xy

8

7 Por que você escreveu que não dava para simplificar?

F: Na hora eu pensei que só podia trabalhar o x com o 7 e 8 apenas.

E: E o que significa aí o “x” para você? (Na expressão x

xy

8

7)

F: Um número qualquer a partir do 1. O x não pode ser zero, pois conta não tem sentido

quando x é igual a zero.

E: Só por isso?

F: Só

108

E: (mostramos ao Aluno) Observe essa questão (questão 5 da Aritmética). Explique-me.

F: Todos estão divididos por 6. Aí fiz cada um separado.

E: E x

xyx 114 + (mostramos ao aluno seu instrumento). Você não poderia fazer o mesmo?

F: Não, pois tem letra e número não se divide por letra, é número por número e letra por

letra.

E: E por que você somou os termos, então?

F: (pausa) Fiz o 3 e depois o 2. Aí pensei que poderia aplicar e fiz.

E: E agora?

F: Sei que não posso, mas nunca ninguém nem me falou e me mostrou isso aí (espanto).

SEXTA ENTREVISTA

Aluno D (1ª série do Ensino Médio)

E: Há mais algumas correspondências? (mostramos o 1 de Aritmética)

D: Não (pausa). Não tem mesmo.

E: Como, então, você as fez?

D: Eu calculei as multiplicações e fui olhando e vendo se batia ou não os resultados e aí fui

ligando.

E: Só pelas contas.

D: Só

E: Em nenhum momento, você pensou em ligar as frações das duas colunas sem fazer as

contas?

D: Não, pois não conheço outra forma e (observando – pausa) foi por isso que não

consegui fazer o 3 (refere-se à questão 3 de Aritmética)

E: O que significa o x para você?

D: Não sei.

E: Pense um pouco.

109

D: Talvez um número que tem de ser descoberto.

E: Só um número?

D: É, um número que tenho que achar.

E: Na questão 2 de Álgebra item c (mostramos ao aluno o instrumento), explique-me sua

resposta.

D: Cortei o z de cima com o z de baixo.

E: Está certo?

D: Está, pois termos iguais eu posso cortar. Aí vai ficar 8xy-y.

E: Substitua x, y e z por qualquer número e compare a fração com sua resposta.

D: (o aluno escreve e rascunha no papel) se x = 1, y = 2 e z = 3 aí fica

3

7

3

916

3

)3.(3)2).(1.(8 =−=− e 8 (1) (2) - 3 = 16 - 3 = 13.

E: O que você conclui?

D: (pausa demorada) Os resultados são diferentes e aí o que eu faço?


D: Acho que teria que fazer de novo por que tá errado. Ah! (espanto) Para ver se tá certa e

só substituir, então, as letras pelos números e fazer as contas, tem que dar o mesmo

resultado.

SÉTIMA ENTREVISTA

Aluno Ma: (8ª série do Ensino Fundamental)

E: Explique-me suas respostas (mostramos ao aluno o instrumento de Aritmética)

Ma: Fui cancelando os números iguais no numerador e denominador.

E: Cancelar o 5 com o 5 é fazer o quê?

Ma: Dividi esse 5 do numerador com o denominador.

E: Só os números iguais você pode simplificar?

Ma: Não, os números que dão para dividir um pelo outro também.

110

E: E na questão 3 (foi mostrado ao aluno o instrumento)?

Ma: Peguei o 1155 e dividi por 55 e achei 21.

E: Como?

Ma: (O aluno mostrou sua resolução – explicou-a) Como eu fiz aqui na prova, montei um

tipo de equação.

E: Não há outra maneira de se achar o número 21?

Ma: Não

E: Não mesmo?

Ma: Não.

E: O que significa x?

Ma: Um número desconhecido.

E: Como desconhecido?

Ma: Pode ser vários valores (pausa). Acho que infinitos.

E: E 6

244836 +− (escrevi no papel). Explique-me sua resposta.

Ma: Separei em frações, pois todos os números estavam sobre 6.

E: E z

zxy 38 − (mostramos o instrumento ao aluno) Não é o mesmo caso?

Ma: Ah! (espanto)

E: E aí?

Ma: Ficaria, então, (pausa) 38 −

z

xy. Eu não sabia que podia fazer isso. Nunca ninguém me

falou.

OITAVA ENTREVISTA

Aluno MR: (8ª série - Fundamental)

E: Explique-me essas correspondências? (é mostrado ao aluno seu instrumento)

111

MR: Fui simplificando o que dava.

E: Como?

MR: 7 com o 7 e 5 com o 5.

E: E o que é isso?

MR: Não sei.

E: Cortar é jogar o número fora da fração?

MR: (pausa) Não, estou dividindo.

E: Por quê?

MR: Porque fica 1.

E: E você não pensou em fazer as contas e depois simplificar?

MR: Não, ia dar mais trabalho.

E: E como você trabalho na questão 3? (mostramos ao aluno)

MR: Achei o 21 por tentativa.

E: Não há outro jeito? Na forma fatorada?

MR: Não, não vejo outra forma.

E: O que é x na fração 2

3

2

4

x

x?

MR: Uma incógnita.

E: Quais são os valores que podem ser x?

MR: Vários, qualquer valor.

E: O que é incógnita?

MR: Uma coisa a ser desvendada e que não se sabe.

E: Como você verificaria agora que 6

244836 +− = 6-8+4? Você não a respondeu

corretamente.

MR: Não, só sei fazendo as contas.

112

E: Resolva 4

1

3

2 + (escrevi no papel).

MR: Tiro o mínimo e dá 12

38 +.

E: Como você me explica o fato de ter antes duas frações e agora uma só? (mostramos no

papel)

MR: É. (espanto)

E: O que aconteceu?

MR: Não sei (pausa)

E: Pense.

MR: (pausa demorada) Ah! (espanto) Posso escrever 12

3

12

8 +

E: E em x

xyx 114 + ?

MR: Ah! x

xy

x

x 114 +

E: Simplifique-a agora.

MR: Seria 4 + 11y

E: O que você acha então?

MR: Nunca fui ensinada assim e, dessa forma, é mais fácil.

E: E agora?

MR: Agora eu sei que o x, nesse caso, é denominador do dois e não só de um deles e por

isso não posso cortar ele uma vez só.

NONA ENTREVISTA

Aluno V: (8ª série Fundamental)

E: Explique-me as equivalências. (é mostrado o instrumento ao aluno)

V: Foi tudo no chute.

113

E: Como você ligou 4.5.7

5.3.7 com

4

3?

V: Cortei o 7 com o 7 e o 5 com o 5.

E: E esse “cortar”?

V: Tira o número.

E: Como?

V: Eu dividi um pelo outro.

E: Como você respondeu a questão 3 (item a) (é mostrado ao aluno o instrumento

diagnóstico de Aritmética).

V: Dividi o 1.155 por 55 e achei o 21.

E: O que significa o “x”?

V: Como se fosse o número 1.

E: Não pode ser outro número?

V: Não, só pode ser igual a 1.

E: Só?

V: (pausa demorada) Não, pode ser outro valor.

E: Por que na questão 5 de Aritmética (é mostrado ao aluno) você respondeu “cada item

por 6”?

V: Porque tem que dividir tudo por 6.

E: Observe essa questão (2 de Álgebra). Você acertou toda ela. Como você a fez?

V: Usei a evidência e, no outro caso, separei as frações.

E: E como você errou o 3?

V: Tentei usar o que eu usei no 2. Pensei que podia, mas agora vi que não está certo.

114

DÉCIMA ENTREVISTA

Aluno L: (8ª série Fundamental)

E: Explique-me como você fez para ligar as frações? (mostramos o instrumento ao aluno)

L: Chutei. Eu não sabia.

E: Como você fez?

L: Fiz as contas e vi que o resultado não tinha nada a ver com as frações da coluna 2.

E: Pense um pouco sobre 4.5.7

5.3.7.

L: Será que posso dividir 7 por 7 e 5 com 5?

E: Pense!

L: Acho que posso.

E: E aí?

L: Sobra o 3 em cima e o 4 embaixo (o aluno fez no papel)

E: Você precisou fazer conta?

L: Não, só fui cortando.

E: Como?

L: Cancelando. Não, fui dividindo.

E: Por quê você não fez assim na “hora”?

L: Porque não me lembrava.

E: E a questão 3 (é mostrado ao aluno)?

L: Nem pensei em fazer.

E: O que significa “x” para você?

L: Pode ser um número.

E: Um ou vários números?

L: Qualquer número, acho que pode.

115

E: E como você responderia 6

244836 +−?

L: Agora eu dividiria tudo por 6.

E: Por quê?

L: Porque todos estão sendo divididos por 6.

E: E como fica x

xyx 114 +?

L: Se tivesse número no lugar de x poderia fazer o mesmo, mas com x não sei.

E: Pense!

L: (aluno escreve no papel) Será que ficaria 4+11y? Acho que sim!

E: E como você pode verificar se está ou não certo?

L: Não sei.

E: Então substitua o x e y por números e faça as contas.

L: Por qualquer número?

E: É.

L: Então se x =1 e y = 2 fica 3

261

224

1

2.1.111.4 =+=+

E: Olhe com atenção. É 26?

L: É.

E: E!

L: Ah! (espanto) no outro fica 4 + 11 . 2 = 4 + 22 = 26

Então ta certo, se deu o mesmo resultado ta certo, se não desse o mesmo estaria errado.

Muito legal!

DÉCIMA-PRIMEIRA ENTREVISTA

Aluno A: (8ª série Fundamental)

116

E: Me explique sobre as correspondências (é mostrado ao aluno o instrumento)

A: Multipliquei tudo e fui simplificando.

E: Como?

A: Quase em todas eu fiz as contas e simplifiquei.

E: Como simplificando?

A: Por exemplo (pausa). Aqui (no 2 de Aritmética). Cortei o 6 com o 1 e ficou 1 e 2.

E: Cortando?

A: É, dividi os dois números por 6.

E: E a questão 3? (Aritmética)

A: Por tentativa. Mas depois percebi que era mais fácil montar uma equação. Por exemplo

x

1155 = 55 (o aluno escreve no papel)

E: O que te representa a letra x?

A: Qualquer número.

E: Explique-me como você respondeu que 6

244836 +− = 6 – 8 + 4?

A: Espera um pouco.

E: Como fica? (é mostrado ao aluno o seu instrumento)

A: Dividi cada número de cima pelo 6.

E: Por quê?

A: Porque o 6 é denominador de todos eles, e 6

244836 +− é equivalente a 6 – 8 + 4

(indicando respectivamente 36/6, 48/6, 24/6).

E: Como você chegou a 4 + 11 y? (também é mostrado ao aluno o seu instrumento)

A: Aí eu me lembrei do que eu tinha feito nessa aí (apontou para o anterior) e fiz a mesma

coisa.

E: O que é o sinal de igual?

117

A: Serve para indicar um resultado?

E: Só?

A: (pausa) Acho que serve para mostrar que coisas são iguais!

E: Que coisas?

A: Números, frações acho.

DÉCIMA-SEGUNDA ENTREVISTA

Aluna J: (8ª série Fundamental)

E: Fale-me sobre essas correspondências. (é mostrado ao aluno o instrumento)

J: Cancelando e Dividindo. É (pausa), fiz todos dessa maneira.

E: Como? Explique-me melhor.

J: Para cancelar eu ia dividindo.

E: (Escrevi no papel) Observe atentamente 1.155 = 3 x 5 x 7 x 11. Com essa informação

não há como utiliza-la para resolver o 3? (é mostrado a questão)

J: Não sei.

E: Mesmo? (Pense)

J: (pausa demorada) Não sei mesmo.

E: E o que é a letra x para você?

J: Um número que eu não sei, uma incógnita.

E: Como?

J: É um número que tenho que descobrir.

E: Só pode ser um número, não podem ser outros?

J: Não, x só pode ter um valor.

E: Explique a questão 5 (também é mostrado ao aluno)

J: Dividi tudo por 6. Mas, antes disso comparei os resultados fazendo as contas.

E: E como você chegou aqui (na 2 item a de Álgebra) a 44 y.

118

J: Simplifiquei e multipliquei e deu 44 y.



E: Por quê?

J: Acho que dá 15 y, porque vou somar 4+11y (apontando para o instrumento).

E: Não há um jeito de verificar essa resposta?

J: Não sei.

E: Substitua x e y por quaisquer números e faça as contas.

J: Ah! (pausa demorada) Se der o mesmo resultado ta certo!?

E: Verifique.

J: Se x = 2 e y = 3 fica (o aluno rascunha) 372

74

2

668

2

3.2.112.4 ==+=+

E: E?

J: No outro fica 15 . 2 = 30. Então ta errado.

E: E? (apontei para 44y)

J: 44 . 2 = 88. Também ta errado.

E: E? (apontei para 4 + 11y)

J: 4 + 11 . 3 = 37. Aí ta certo. Então a resposta certa é 4 + 11 y.

E: E o quê você conclui?

J: (pausa demorada) Então tenho que cortar o x duas vezes; para os dois números.

119

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SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ARITMÉTICAS E … · each one of the mentioned series, application of...

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