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7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
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S i m u l t a n e o u s
F a u l t s
o n
T h r e e - P h a s e
S y s t e m s
BY
EDITH
CLARKE*
A s s o c i a t e ,
A .
I . E . E .
S y n o p s i s . - T h e m e t h o d
o f s y m m e t r i c a l
c o m p o n e n t s now s o t a n e o u s f a u l t s a n d t h e l i n e s
u p o n
w h i c h t h e y
o c c u r ,
w h e n
t h e l i n e s
e x t e n s i v e l y
u s e d t o d e t e r m i n e s h o r t - c i r c u i t c u r r e n t s
a n d s t a b i l i t y a r e
u n l o a d e d
f e e d e r s
r a d i a t i n g
f r o m
a
common
p o i n t
o r l i n e s
o f
l i m i t s
d u r i n g
t r a n s i e n t c o n d i t i o n s f or
t h r e e - p h a s e t r a n s m i s s i o n
e q u a l
i m p e d a n c e s
b u s s e d a t
b o t h
e n d s .
s y s t e m s w h e n
a
f a ul t i n v o l v i n g o n e
o r
m o r e o f t h e t h r e e c o n d u c t o r s T h e m e t h o d s
a n d f o r m u l a s g i v e n
i n t h i s
p a p e r w e r e d e v e l o p e d i n
o c c u r s
a t
a n y
o n e p o i n t
o f
t h e
s y s t e m ,
h a s b e e n e x t e n d e d
t o
a p p l y t o
a n s w e r
t o
s u c h
q u e s t i o n s
a s
t h e
f o l l o w i n g :
t h r e e - p h a s e s y s t e m s
d u r i n g
s i m u l t a n e o u s f a u l t s
a t t w o o r m o r e
1 .
l V h i c h i s a m o r e s e v e r e s h o c k t o a s y s t e m ,
a d o u b l e l i n e - t o -
p o i n t s o f t h e s y s t e m . g r o u n d
f a u l t
o n o n e
c i r c u i t o r t w o s i n g l e l i n e - t o - g r o u n d f a u l t s
A
g e n e r a l e q u i v a l e n t c i r c u i t
i s d e v e l o p e d
t o r e p l a c e , i n t h e
p o s i t i v e o c c u r r i n g s i m u l t a n e o u s l y
o n
t w o s e p a r a t e
c i r c u i t s ?
p h a s e d i a g r a m , t w o s i m u l t a n e o u s f a u l t s
i n v o l v i n g
a n y
c o m b i n a t i o n
o f
2 .
Do s i m u l t a n e o u s
d o u b l e l i n e - t o - g r o u n d f a u l t s w h i c h
i n v o l v e
t h e s i x c o n d u c t o r s . An a p p r o x i m a t e
e q u i v a l e n t
c i r c u i t t o
b e
u s e d
t h e s a m e p h a s e s ,
a
a n d
b , o n
t w o c i r c u i t s , r e s u l t i n m o r e
o r
l e s s
w i t h t h e d - c .
c a l c u l a t i n g
t a b l e
w h e n
r e s i s t a n c e i s
n e g l e c t e d
i s
a l s o
g r o u n d
c u r r e n t t h a n . f a u l t s
w h i c h
i n v o l v e p h a s e s a a n d b o n o n e c i r -
g i v e n .
c u i t a n d
p h a s e s b
a n d c o n t h e o t h e r ?
S p e c i a l
e q u i v a l e n t
c i r c u i t s a r e e m p l o y e d t o
r e p , l a c e
t w o s i m u l -
*
* *
*
*
W
EN d o u b l e
c i r c u i t t o w e r s
c a r r y
t w o
t h r e e - p h a s e
c i r c u i t
b e c o m e s g r o u n d e d , t h e v o l t a g e s t o g r o u n d
o n
c i r c u i t s , d i s t u r b a n c e s may i n v o l v e o n e o r m o r e t h e t h r e e c o n d u c t o r s a n d t h e
c u r r e n t s i n t h e
t h r e e
l i n e s
c o n d u c t o r s o f e a c h
c i r c u i t .
F r o m p u b l i s h e d a r e n o l o n g e r b a l a n c e d . I f t h e t h r e e
u n b a l a n c e d
v o l t -
r e c o r d s '
o f
t h e
n u m b e r
o f f l a s h o v e r s
o n
d o u b l e
c i r c u i t
a g e s
t o
g r o u n d ,
V a ,
V b a n d
V c ,
a t
t h e
p o i n t
o f
f a u l t ,
t o w e r s
w h i c h h a v e t r i p p e d
o u t
b o t h c i r c u i t s , a n d f r o m a n d
t h r e e
l i n e c u r r e n t s
f l o w i n g
i n t o
t h e
f a u l t ,
I a ,
I b
a n d
o p i n i o n s e x p r e s s e d b y
o p e r a t i n g
e n g i n e e r s o f v a r i o u s
I , ,
a r e r e s o l v e d
i n t o
t h e i r s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s ,
p o w e r c o m p a n i e s
w h o h a v e b e e n c o n s u l t e d ,
i t
s e e m s i t w i l l
b e
f o u n d t h a t t h e r e a r e e n o u g h r e l a t i o n s e x i s t i n g
r e a s o n a b l e
t o c o n c l u d e
t h a t i n t h e n e i g h b o r h o o d o f b e t w e e n t h e s e s i x c o m p o n e n t s t o
a l l o w t h e
p o s i t i v e
2 0 p e r c e n t o f t h e f a u l t s
o n
d o u b l e c i r c u i t t o w e r s i n v o l v e c o m p o n e n t o f
v o l t a g e a t
t h e f a u l t ,
V a l ,
t o b e e x p r e s s e d
c o n d u c t o r s o f b o t h
c i r c u i t s . I n
a d d i t i o n t h e r e
a r e i n t e r m s o f
t h e
p o s i t i v e
c o m p o n e n t o f c u r r e n t i n t h e
i n s t a n c e s w h e r e
f a u l t s
i n
s u b s t a t i o n s
h a v e i n v o l v e d f a u l t , I a l , a n d t h e z e r o a n d n e g a t i v e
p h a s e
i m p e d a n c e s ,
c o n d u c t o r s
o f c i r c u i t s n o t
o n t h e
s a m e t o w e r s .
Z 0
a n d
Z 2
r e s p e c t i v e l y , v i e w e d
f r o m
t h e f a u l t .
T o
d o
I t
s e e m s
w o r t h
w h i l e t h e r e f o r e ,
t o
h a v e i n c o n v e n i e n t t h i s r e q u i r e s f i v e e q u a t i o n s .
f o r m , m e t h o d s f o r c a l c u l a t i n g s h o r t - c i r c u i t c u r r e n t s ,
S i n c e t h e r e i s n o
g e n e r a t e d
z e r o n o r n e g a t i v e p h a s e
a n d
o f
d e t e r m i n i n g
t h e
s t a b i l i t y l i m i t
o f
a
s y s t e m w h e n
s e q u e n c e
v o l t a g e ,
a n d t h e
p o s i t i v e
d i r e c t i o n
f o r
a l l
f a u l t s
o c c u r
s i m u l t a n e o u s l y
a t
t w o
s e p a r a t e
a n d
d i s t i n c t
c o m p o n e n t
c u r r e n t s i s
t a k e n
t o w a r d s
t h e
f a u l t ,
p o i n t s o f t h e
s y s t e m . T h e g e n e r a l c a s e
w i l l
c o v e r
0
-
V a O
=
I a o Z o
( 1 )
s i m u l t a n e o u s f a u l t s a t
a n y t w o
p o i n t s o f
t h e s y s t e m ,
0 -
=
I a 2
Z 2
( 2 )
i n v o l v i n g
o n e ,
t w o o r t h r e e
c o n d u c t o r s
a t e a c h p o i n t ,
A t a
p o i n t
o f
f a u l t
t h e r e
a r e c e r t a i n r e l a t i o n s
b e -
w h i l e
s h o r t
c i r c u i t s
o n
p a r a l l e l c i r c u i t s
o n
t h e
s a m e t o w e r
t w e e n
t h e
p o s i t i v e ,
n e g a t i v e ,
a n d
z e r o
c o m p o n e n t s
o f
w i l l b e a
s p e c i a l
c a s e
i n
w h i c h
t h e
t w o p o i n t s o f
f a u l t
a r e
c u r r e n t
w h i c h f l o w
i n t o
t h e
f a u l t ,
a n d
a l s o b e t w e e n t h e
s y m m e t r i c a l w i t h r e s p e c t t o t h e s y s t e m , a l t h o u g h t h e y
p n
w i l l
n o t
b e s y m m e t r i c a l w i t h r e s p e c t t o
g r o u n d u n l e s s
t h e f T e s e
an
s b e t h
o m p o n e n t s
t h e
f a u l t s are o t h e same p h a s e
r
p h a s e s i n b o t
t h e
f a u l t .
T h e s e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e
c o m p o n e n t s
t h e r f a u l t s .
a r e o n t h e same
p h a s e
o r p h a s e s i n
b o t h
o f
c u r r e n t a n d
v o l t a g e ,
d e p e n d i n g
upon t h e
t y p e o f
c i r c u i t s .
M r .
C . L .
F o r t e s c u e h a s
s h o w n 2
t h a t
a n y
s y s t e m
o f
f a u l t , p r o v i d e
a d d i t i o n a l
e q u a t i o n s c o n n e c t i n g
t h e
t h r e e
v e c t o r s
may b e r e p l a c e d
b y
t h r e e s e t s o f b a l a n c e d
u n k n o w n s . F o r a l l
t y p e s
o f
f a u l t
t h e r e w i l l b e
t h r e e
c o m p o n e n t s .
T h e
f u n d a m e n t a l e q u a t i o n s
e x p r e s s i n g
i n d e p e n d e n t
e q u a t i o n s
c o n n e c t i n g
t h e
c o m p o n e n t s
o f
a c t u a l
c u r r e n t s
a n d
v o l t a g e s
i n
t e r m s
o f
t h e i r
s y m m e t -
c u r r e n t
a n d
v o l t a g e
a t
t h e
p o i n t
o f f a u l t .
T h e s e
r i c a l
c o m p o n e n t s ,
a n d
e x p r e s s i n g
t h e
s y m m e t r i c a l
e q u a t i o n s
are
t a b u l a t e d
i n
T a b l e
I ,
a n d t h e m a n n e r o f
c o m p o n e n t s
o f
c u r r e n t a n d
v o l t a g e
i n t e r m s
o f
t h e
t h e i r
d e r i v a t i o n
s h o w n
i n
A p p e n d i x
B .
From f i v e e q u a t i o n s
w i t h
S i X
u n k n o w n s , t h e f o u r
a c t u a l c u r r e n t s
a n d
v o l t a g e s r e s p e c t i v e l y
a r e
g i v e n
u k o w
. v e
V a , i a n d
i t
may
b e k
l i m n a t e
a n d
i n A pp e n d i x A .
~ ~ ~ ~ ~ ~ u n k n o w n s
V a Z o ,
V a 2 t I a > o
a n d
I a 2
ma y
b e
e l i m i n a t e d ,
a n d
i n
A p p e n d i x
A .
1 7
V a ie x p r e s s e d
in
t e r m s o f I a l
t h u s :
S I N G L E FAULT V a i K
I a i
( 3 )
When o n e
o r
m o r e o f t h e c o n d u c t o r s o f a
t h r e e - p h a s e
w h e r e
K
i s
a
f u n c t i o n
o f
Z O
a n d
Z 2
d e p e n d i n g u p o n
t h e
* C e n t r a l S t a t i o n E n g g . D e pt . G e n e r a l
E l e c t r i c
Company,tp
ffut o ietogon
alsK=Z
2
S c e e t d ,
N . Y ' f o r l i n e - t o - l i n e
f a u l t s
K
= Z 2 , a n d f o r d o u b l e -
l i n e - t o -
I . F o r r e f e r e n c e s
s e e
B i b l i o g r a p h y . Z o 9
P r e s e n t e d a t t h e M i d d l e E a s t e r n
D i s t r i c t
M e e t i n g
o f t h e
A .
I . E .
E . ,
ground f a i ' l t s K
-
z
2
P i t t s b u r g h ,
P a . ,
March
1 1 j - 1 3 , 1 9 3 1 j .
9 1 9
3 1 - 6 0
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9 2 0
CLARKE:
SIJULTANEOUS
FAULTS
ON
THREE-PHASE
SYSTEMS T r a n s a c t i o n s A . I .
E .
E .
E q u a t i o n
( 3 )
w i l l b e
s a t i s f i e d ,
a n d t h e p o s i t i v e p h a s e
m e a s u r e d
a s d e s c r i b e d
b e l o w w o u l d
h a v e t o b e i n v e c t o r
c u r r e n t
a n d
v o l t a g e
d i s t r i b u t i o n
may
b e
d e t e r m i n e d
f o r m , r e q u i r i n g t h e
u s e o f
a w a t t - m e t e r
a s
w e l l
a s a n
i f
t h e f a u l t
i n
t h e
p o s i t i v e
p h a s e d i a g r a m
i s r e p l a c e d 3
a m m e t e r
a n d v o l t m e t e r .
F o r many p u r p o s e s
t h e
b y
t h e s h u n t i m p e d a n c e K ,
t h e v a l u e o f K
b e i n g
d e -
r e s i s t a n c e i n
t h e
n e t w o r k s c a n
b e n e g l e c t e d a n d
t h e
t e r m i n e d
b y
Z o ,
Z 2
a n d t h e
t y p e
o f
f a u l t .
i m p e d a n c e s c o n s i d e r e d
t o
c o n s i s t o f r e a c t a n c e
a l o n e .
I n t h i s l a t t e r
c a s e t h e
d - c . c a l c u l a t i n g t a b l e may
b e
Tw o
S I M U L T A N E O U S
F A U L T S
u s e d .
T h e g e n e r a l p r o c e d u r e
i n e i t h e r c a s e
i s
a s
T h e m e t h o d
o f
p r o c e d u r e
o u t l i n e d
a b o v e
f o r
d e -
f o l l o w s :
t e r m i n i n g
t h e
p o s i t i v e
p h a s e
c u r r e n t a n d v o l t a g e
( a )
S e t u p t h e z e r o p h a s e
i m p e d a n c e n e t w o r k o n
t h e
d i s t r i b u t i o n w h e n a f a u l t i n v o l v e s
o n e o r m o r e o f
t h e
c a l c u l a t i n g
t a b l e .
A p p l y
a v o l t a g e t o g r o u n d ,
V c ,
a t
t h r e e c o n d u c t o r s
a t
a
s i n g l e p o i n t , may
b e f o l l o w e d f o r
p o i n t
C
w i t h
p o i n t
D u n g r o u n d e d , b u t
a l l z e r o
p o t e n t i a l
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s a t
t w o d i s t i n c t p o i n t s .
p o i n t s , S , g r o u n d e d .
M e a s u r e t h e t o t a l g r o u n d
c u r r e n t ,
I f
t h e t w o
p o i n t s
o f
f a u l t
a r e
C
a n d
D
a n d t h e c o n -
I s .
C u r r e n t
I ,
a t
C
i s
t h e
s a m e
a s
t h e t o t a l g r o u n d
d u c t o r s a t
C
a r e
a ,
b
a n d
c
a n d t h o s e
a t D a r e
a ,
f 3
a n d
a y
c u r r e n t
I ,
a t S .
( a
a n d
a
b e i n g c o n d u c t o r s
o f
t h e
s a m e
p h a s e ,
a s
a r e
( b )
A p p l y
a
v o l t a g e
t o g r o u n d ,
V , ,
a t C w i t h p o i n t
D
b a n d
3 ,
a n d
c
a n d
y ) ,
t h e
s i x
c o m p o n e n t s
o f
v o l t a g e g r o u n d e d
b u t a l l z e r o p o t e n t i a l
p o i n t s ,
S , u n g r o u n d e d .
a n d c u r r e n t
a t
C w i l l b e V a 0 ,
V a l ,
V a 2 ,
I a O ,
I a l
a n d
I a 2
M e a s u r e
t h e
c u r r e n t I d a t
D .
a n d
t h o s e
a t
D
w i l l
b e
V a o ,
V a l l
V a 2 ,
I a O y
I a c
a n d
I a 2 . ( c ) A p p l y
a v o l t a g e
t o g r o u n d ,
V d ,
a t p o i n t
D w i t h
I t w i l l
b e s h o w n t h a t
t h e r e a r e
t e n i n d e p e n d e n t e q u a -
p o i n t
C u n g r o u n d e d ,
b u t
a l l
z e r o p o t e n t i a l p o i n t s ,
S ,
t i o n s
c o n n e c t i n g
t h e s e
t w e l v e
u n k n o w n s . I t
i s
p r o -
g r o u n d e d
a n d m e a s u r e
t h e c u r r e n t
I , .
p o s e d
t o e l i m i n a t e
t h e
e i g h t
u n k n o w n s
V a O ,
V a O ,
V a 2 ,
V a 2 ,
I a O 7
I a , 0
I a 2
a n d
I a 2
a n d
t o r e d u c e t h e
n u m b e r
o f
s
e q u a t i o n s
t o
t w o ,
e x p r e s s i n g
t h e
p o s i t i v e
c o m p o n e n t s
o f
v o l t a g e ,
V a i a n d V a i ,
i n
t e r m s
o f
t h e
p o s i t i v e c o m -
I a o + I c o o
S o
p o n e n t s
o f c u r r e n t ,
I L I
a n d
I a . ,
a n d
t h e
k n o w n
z e r o
a n d
1 8 0 .
IP
n e g a t i v e i m p e d a n c e s .
v
0
Z e r o
P h a s e
S y s t e m .
W i t h
a
s i n g l e
f a u l t ,
t h e z e r o
D
p h a s e c u r r e n t
i n
t h e
f a u l t v a r i e s
d i r e c t l y
a s t h e
z e r o
F I G .
1 - - E Q U I V A L E N T
Y F O R Z E R O P H A S E
S E Q U E N C E
N E T W O R K
p h a s e
v o l t a g e
t o
g r o u n d
a t
t h e
f a u l t .
When
t h e r e
a r e
t w o s i m u l t a n e o u s
f a u l t s ,
t h e z e r o
p h a s e
c u r r e n t
i n
e i t h e r I f
t h e
b r a n c h e s o f
t h e
e q u i v a l e n t
Y a r e
C O ,
D o y
a n d
S O ,
f a u l t
d e p e n d s u p o n
t h e
z e r o
p h a s e v o l t a g e s
a t
b o t h
t h e n
p o i n t s
o f
f a u l t .
I n
o r d e r
t o
r e a d i l y
e x p r e s s
t h e
t w o
v .
z e r o
p h a s e
v o l t a g e s
i n
t e r m s
o f
t h e
t w o
z e r o
p h a s e
C O + S O
( a )
c u r r e n t s , t h e
z e r o
p h a s e
i m p e d a n c e d i a g r a m 4
w i l l
b e
+
s i m p l i f i e d ,
r e m e m b e r i n g
t h a t
a l l
p o i n t s
o f z e r o
p o t e n t i a l
V
f o r
z e r o
p h a s e
v o l t a g e
may
b e
c o n s i d e r e d
b u s s e d
a t
t h e
C O
+ D o
( b )
s a m e
p o i n t ,
S .
E q u i v a l e n t
c i r c u i t s
t o
r e p l a c e
t w o
+
p a r a l l e l
t r a n s m i s s i o n
l i n e s
w i t h
m u t u a l
i m p e d a n c e
b e -
V d
t w e e n t h e m
i n
t h e
z e r o
p h a s e
s y s t e m
a r e
g i v e n
i n
A p -
D o + S O
( c )
p e n d i x
C .
When
t h e r e
a r e m o r e t h a n
t w o
p a r a l l e l ]
l i n e s
i t
may
n o t
b e
p o s s i b l e
t o
a c c u r a t e l y r e p r e s e n t
From
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( b )
a n d
( c )
t h e b r a n c h e s
o f t h e
Y
t h e m b y
a
s i m p l e e q u i v a l e n t
c i r c u i t
i n
t h e z e r o
p h a s e
a r e d e t e r m i n e d .
s y s t e m
b u t
a n
a p p r o x i m a t e
e q u i v a l e n t
c i r c u i t
may
F i g .
1
r e p r e s e n t s
t h e
e q u i v a l e n t
Y
f o r
t h e z e r o
p h a s e
u s u a l l y
b e o b t a i n e d .
When
t h e
z e r o
p h a s e s y s t e m
n e t w o r k
c o n n e c t i n g
C ,
D
a n d
S
w i t h
i t s b r a n c h
i m -
c a n
b e
r e p r e s e n t e d
b y
a n
e q u i v a l e n t
i m p e d a n c e
p e d a n c e s ,
C O ,
D o
a n d
S O .
L e t t h e
p o s i t i v e
d i r e c t i o n
d i a g r a m ,
i t
i s
a l w a y s p o s s i b l e
t o r e d u c e
i t
t o
a n
f o r
z e r o
p h a s e
c u r r e n t s
b e
t a k e n
t o w a r d s
t h e
f a u l t s C
e q u i v a l e n t
Y ,
c o n n e c t i n g
t h e t w o
p o i n t s
o f
f a u l t ,
a n d
D . T h e n
s i n c e
t h e r e
i s n o
g e n e r a t e d
z e r o
p h a s e
C
a n d
D ,
a n d t h e z e r o
p o t e n t i a l
p o i n t ,
S .
I n s o m e
v o l t a g e ,
b y s u p e r p o s i n g
t h e
v o l t a g e s
d u e
t o
t h e t w o
s y s t e m s
t h i s
may b e
d o n e
b y
A
- Y
o r
Y -
A t r a n s -
c o m p o n e n t
c u r r e n t s ,
t h e
f o l l o w i n g e q u a t i o n s
a r e
f o r m a t i o n s , 5
b u t
i n
c o m p l i c a t e d s y s t e m s i t
may b e
o b t a i n e d :
n e c e s s a r y
t o u s e a n
a - c .
o r d - c . c a l c u l a t i n g
t a b l e
t o
0- V a 0 =-
V a O
=
I a O ( C O
+
S O )
+
I a O
S O
( 5 )
d e t e r m i n e t h e
b r a n c h e s o f t h e
e q u i v r a l e n t
Y
o r A
c o n -
a
a c
n e c t i n g
t h e
p o i n t s
C , D ,
a n d
S . 0-Va0 = - V a 0 = l a ( O
S o
+ l a o
( D o
±
S ° )
( 6 )
D e t e r m i n a t i o n
o f
E q u i v a l e n t Y f o r t h e Z e r o P h a s e
E q u a t i o n s
( 5 ) a n d ( 6 )
e x p r e s s
t h e
z e r o c o m p o n e n t s
o f
I m p e d a n c e N e t w o r k
b y M e a n s o f t h e
C a l c u l a t i n g
T a b l e . v o l t a g e
a t t h e t w o p o i n t s o f
f a u l t
i n t e r m s
o f t h e
t w o
F o r
a n
e x a c t
d e t e r m i n a t i o n , t h e
u s e o f
a n a - c . c a l c u - z e r o
p h a s e
c u r r e n t s f l o w i n g i n t o
t h e
f a u l t s
a n d
t h e
l a t i n g
t a b l e
s u c h
a s
t h e
M .
I .
T .
N e t w o r k
A n a l y z e r 6
i s
b r a n c h i m p e d a n c e s
o f
t h e e q u i v a l e n t
Y .
n e c e s s a r y , i n
w h i c h c a s e
t h e
c u r r e n t s a n d
v o l t a g e s
R e w r i t i n g
e q u a t i o n s
( 5 ) a n d
( 6 )
t o , e x p r e s s t h e
c u r -
Page 3
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 3/21
S e p t e m b e r
1 9 3 1
CLARKE:
SIMULTANEOUS
F A U L T S
ON THREE-PHASE
SYSTEMS
9 2 1
r e n t s
L o
a n d
I a O
i n
t e r m s o f
V a o
a n d
V a 0 o ,
o r f r o m
F i g .
1
E q u a t i o n s
( 1 2 )
a n d
( 1 3 )
a r e
n o t
i n d e p e n d e n t
o f
e q u a -
d i r e c t l y :
t i o n s
( 1 0 )
a n d
( 1 1 ) .
T h e r e
a r e f o u r u n k n o w n s
V a 2 ,
D o
+ S 0
5 0
V a 2 , 1 a 2
a n d I a 2
i n t h e
n e g a t i v e
p h a s e s y s t e m ,
a n d
t w o
I a O
V a O
z O O
+ V a O
z o o
( 7 ) i n d e p e n d e n t
e q u a t i o n s
c o n n e c t i n g
t h e m .
R e l a t i o n s
b e t w e e n
C o m p o n e n t s
o f C u r r e n t
a n d o f
S O
C O +
s O
V o l t a g e
a t
T w o P o i n t s
o f
F a u l t .
A t
e a c h
p o i n t
o f
f a u l t ,
I a O
=
V a O
z
-
V a o
( 8 )
t h e
r e l a t i o n s
b e t w e e n
t h e
c o m p o n e n t s
o f
c u r r e n t
f l o w i n g
Z O O
° ° i n t o
t h e
f a u l t ,
a n d
b e t w e e n
t h e c o m p o n e n t s
o f
v o l t a g e
w h e r e
Z O O
=
C O D o
+
C O S O
+
D o
S O
( 9 )
t o
g r o u n d
a t
t h e f a u l t
a r e
i n d e p e n d e n t
o f
t h e r e s t
o f
E q u a t i o n s
( 7 )
a n d ( 8 )
a r e n o t
i n d e p e n d e n t
o f
e q u a t i o n s
t h e s y s t e m .
T a b l e I
g i v e s
t h r e e
e q u a t i o n s c o n n e c t i n g
( 5 )
a n d
( 6 ) .
T h e r e
a r e f o u r u n k n o w n s ,
V a O ,
V a O ,
I a O
t h e c o m p o n e n t s
o f
c u r r e n t
o r
o f
v o l t a g e
a t
a p o i n t
o f
a n d
l a o i n
t h e
z e r o
p h a s e
s y s t e m
a n d t w o
i n d e p e n d e n t
f a u l t
f o r
v a r i o u s
t y p e s
o f f a u l t .
When
t h e r e a r e t w o
e q u a t i o n s c o n n e c t i n g
t h e m .
p o i n t s
o f
f a u l t , t h e r e w i l l
b e t h r e e
e q u a t i o n s
c o n n e c t i n g
N e g a t i v e
P h a s e
S y s t e m .
I n t h e n e g a t i v e
p h a s e s y s -
c o m p o n e n t s
o f c u r r e n t
o r v o l t a g e
a t
e a c h
p o i n t .
By
t e n , j u s t
a s
i n
t h e
z e r o
p h a s e
s y s t e m ,
t h e r e i s
n o
g e n e -
r e p l a c i n g a ,
b a n d c
i n T a b l e
I
b y
a , a n d y
r e s p e c t i v e l y ,
r a t e d v o l t a g e ,
a n d
t h e
p o s i t i v e d i r e c t i o n
f o r n e g a t i v e
t h e
t h r e e
e q u a t i o n s
c o n n e c t i n g
c o m p o n e n t s
o f
c u r r e n t
p h a s e c u r r e n t s
i s t a k e n
f r o m t h e
n e u t r a l s o f
t h e m a -
o r v o l t a g e
a t
t h e
s e c o n d
p o i n t
o f f a u l t ,
D , a r e
o b t a i n e d .
c h i n e s
t o w a r d s t h e
f a u l t s .
T h e n e u t r a l s
o f
g e n e r a t o r s
S i m u l t a n e o u s
E q u a t i o n s .
T h r e e e q u a t i o n s
e x p r e s s i n g
a n d
l o a d s a r e p o i n t s
o f
z e r o p o t e n t i a l
f o r
t h e
n e g a t i v e
r e l a t i o n s
b e t w e e n
t h e c o m p o n e n t s
o f c u r r e n t
o r v o l t a g e
p h a s e s y s t e m .
T h e
n e g a t i v e
p h a s e n e t w o r k 4
o f
a
s y s -
a t
e a c h
o f
t h e
t w o
p o i n t s
o f
f a u l t ,
t w o
e q u a t i o n s
c o n -
t e m may b e
r e d u c e d
t o a n e q u i v a l e n t
Y
o r
A
c o n n e c t i n g
n e c t i n g
z e r o p h a s e
c u r r e n t s
a n d v o l t a g e s
a n d t w o c o n -
t h e p o i n t s
o f
f a u l t C
a n d
D
a n d
t h e p o i n t s
o f
z e r o p o -
n e c t i n g
n e g a t i v e
p h a s e
c u r r e n t s a n d
v o l t a g e s
g i v e t h e
t e n t i a l ,
w h i c h
may
b e
c o n s i d e r e d b u s s e d
a t a
common
t e n e q u a t i o n s
n e e d e d
t o e l i m i n a t e
t h e e i g h t
u n k n o w n s
p o i n t ,
S .
I t i s
i m p o r t a n t
t o n o t e
t h a t S , t h e p o i n t
o f
V a O ,
V a O , I l a O I a O ,
V a 2 , V a 2 , I a 2
a n d I a 2
s o t h a t
t h e
p o s i t i v e
c o m p o n e n t s
o f
v o l t a g e
V a l
a n d
V a i
m a y
b e
s
e x p r e s s e d
i n t e r m s
o f
t h e
p o s i t i v e
c o m p o n e n t s
o f cur-
r e n t ,
I a l
a n d I
a l ,
a n d
t h e
k n o w n z e r o
a n d
n e g a t i v e
I a 2
+
i a S 2 s
p h a s e i m p e d a n c e s
o f t h e s y s t e m .
S i n c e t h e
t e n e q u a -
1 3 2
t i o n s
are
l i n e a r
t h e
t w o
r e s u l t i n g e q u a t i o n s
c a n
b e
p u t
V a z
1 2
?
~in
h e
f o r m :
C
D
V a i
=
k
I a l
m I a l
( 1 5 )
F I G .
2-EQuIVALENT
Y
FOR
NEGATIVE
PHASE SEQUENCE
V a l
= n
I a l
+
1
I a l
(16)
NETWORK
w h e r e k , 1 ,
m
a n d
n
d e p e n d u p o n
t h e b r a n c h
i m p e d a n c e s
z e r o
p o t e n t i a l
f o r z e r o
p ' i a s e v o l t a g e
i s
n o t
n e c e s s a r i l y
o f
t h e
e q u i v a l e n t
Y ' s
r e p l a c i n g t h e n e g a t i v e
a n d
z e r o
t h e
s a m e p o i n t
o f
t h e
a c t u a l
s y s t e m a s S ,
t h e p o i n t
o f
p h a s e
n e t w o r k s ,
a n d t h e
p a r t i c u l a r
c o m b i n a t i o n o f
c o n -
z e r o
p o t e n t i a l
f o r
n e g a t i v e
p h a s e
v o l t a g e . N e i t h e r
a r e d u c t o r s
i n v o l v e d
i n t h e
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s . I t
s h o u l d
t h e t w o
P
p o i n t s
i d e n t i c a l .
T h e s a m e
l e t t e r s
a r e u s e d ,
b e n o t e d t h a t
k , 1 ,
m
a n d
n
d o
n o t i n v o l v e p o s i t i v e
p h a s e
h o w e v e r ,
t o o b t a i n
s y m m e t r y
i n f o r m f o r t h e
z e r o a n d
i m p e d a n c e s .
n e g a t i v e
p h a s e
c u r r e n t
a n d
v o l t a g e
e q u a t i o n s .
E q u a t i o n s g i v i n g
k , 1 ,
m a n d n
f o r f a u l t s
w h i c h
F r o m
F i g .
2
w h i c h
r e p r e s e n t s
t h e e q u i v a l e n t
Y f o r t h e
i n v o l v e
v a r i o u s
c o m b i n a t i o n s
o f t h e s i x c o n d u c t o r s
a r e
n e g a t i v e
p h a s e n e t w o r k
c o n n e c t i n g
C ,
D a n d
S ,
t h e
d e r i v e d
i n A p p e n d i x
D a n d t a b u l a t e d
i n T a b l e
I I .
t w o n e g a t i v e
p h a s e
v o l t a g e s
may b e e x p r e s s e d
i n
t e r m s
P o s i t i v e
P h a s e S y s t e m .
T h e
p o s i t i v e
p h a s e
s y s t e m
o f
t h e
t w o n e g a t i v e
p h a s e
c u r r e n t s a n d t h e
i m p e d a n c e s
d i f f e r s f r o m
t h e n e g a t i v e
a n d z e r o
p h a s e s y s t e m s
b e -
o f
t h e
Y , t h u s :
c a u s e
p o s i t i v e
p h a s e s e q u e n c e
v o l t a g e s
a r e
g e n e r a t e d
-
V a 2
=
I a 2
( C 2
+ S 2 )
+
I a 2 S 2
( 1 0 )
a t v a r i o u s
p o i n t s o f
t h e p o s i t i v e
p h a s e s y s t e m .
I n
g e n e r a l t h e r e
w i l l
b e
a s
many s e p a r a t e p o s i t i v e
p h a s e
- Va2 = 1 a 2
S 2
±
1 a 2 ( D 2 +
S 2 ) ( 1 1 )
g e n e r a t e d
v o l t a g e s a s
t h e r e a r e s e pa r a t e g e n e r a t o r s
o r
R e w r i t i n g e q u a t i o n s ( 1 0 )
a n d
( 1 1 )
t o e x p r e s s t h e
s y n c h r o n o u s
m o t o r s
o n t h e s y s t e m .
When t h e
o p e r a t -
c u r r e n t s 1 a 2 a n d
I a 2 i n t e r m s
o f
V a 2
a n d
V
a 2 ,
o r
f r o m i n g
c o n d i t i o n s
j u s t
p r e v i o u s
t o t h e o c c u r r e n c e
o f
t h e
F i g .
2 d i r e c t l y :
f a u l t s a r e k n o w n ,
t h e s e g e n e r a t e d
v o l t a g e s a r e
d e -
D
2+ s 2
5 2
t e r m i n e d
i n m a g n i t u d e
a n d i n p h a s e .
F o r s t e a d y
s t a t e
I a 2
=Va2
± V
a o 2
( 1 2 ) c a l c u l a t i o n s ,
t h e e x c i t a t i o n v o l t a g e
o r
v o l t a g e
b e h i n d
22
2 2 ~ ~ ~ ~ ~ s y n c h r o n o u s
r e a c t a n c e
i s r e q u i r e d ,
w h i l e f o r
t r a n s i e n t
S 2
C 2
+ S 2
- c a l c u l a t i o n s ,
t h e
v o l t a g e b e h i n d t r a n s i e n t
r e a c t a n c e
I a
a 2
-
-a2
( 1 3 ) s h o u l d b e k n o w n .
H o w e v e r ,
i n
e i t h e r
c a s e
t h e
i n t e r n a l
2 2 2
g e n e r a t e d
v o l t a g e s a r e d e t e r m i n e d
f r o m
t h e
g i v e n
w h e r e
Z 2 2
=
C 2
D 2
+
C 2
S 2
±
D 2
5 2
( 1 4 )
o p e r a t i n g
c o n d i t i o n s .
Page 4
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 4/21
9 2 2
CLARKE:
SIMULTANEOUS
F A U L T S ON
THREE-PHASE SYSTEMS
T r a n s a c t i o n s A .
I . E .
E .
TABLE
I
R e l a t i o n s b e t w e e n
t h e
s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t s
o f
c u r r e n t
i n
t h e f a u l t a n d b e t w e e n
t h e
c o m p o n e n t s o f v o l t a g e
t o
g r o u n d
a t t h e
f a u l t
f o r
v a r i o u s t y p e s
o f f a u l t .
T h e
o pe r a t o r s a
a n d a 2 h a v e
b e e n d e f i n e d
i n
e q u a t i o n s
( 1 3 a )
a n d
( 1 4 a ) .
P h a s e s
C a s e Type o f
f a u l t
i n v o l v e d
C u r r e n t r e l a t i o n s
V o l t a g e r e l a t i o n s
A.
( a )
L i n e t o
g r o u n d
..................
a . . . . . . . .
I a O
=
I a l ,
I a 2
=
I a l
V a l
= -
( V a o
+
V a 2 )
b . 0
Io
=
a 2
I a i ; I a l
=
a
I a o
(b) Line to ground
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
I a 2
=
a
I a l ;
I a l = a 2
I a 2
I a o
=
a
I a l ;
I a l
= a 2
I a O
( e )
L i n e t o
g r o u n d
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
c
.......
V a l
=
( a 2
V a 0
+
a
V a 2 )
I
a 2
=
a 2
I a l ;
I a l
=
a
I a 2
B.
( a )
L i n e
t o
l i n e
b
c . . . . . . .
b ,
C
.........
I a o
=
0 ,
' a I = -
I a l
a 2
V a l
be
a o
=
0
(b) L i n e to line
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
c
.....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V a 2
I
a 2
=
- a
I a l ;
I a l = -
a 2
I a 2
F I a l =
0
e )
L i n e
t o
l i n e n V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
b
. . . . .
V a 2
a 2
V a l ; V a l
V a 2
( I a 2
= -
a 2
I a l ;
I a l
=
- a
I a 2
C.
( a )
D o u b l e
l i n e t o
g r o u n d . b ,
c
. . . . . . . . .
I a l
=
-
( I a o +
I a 2 ) V a o
=
V a l ,
V a 2
=
V a l
. . V a O
a V a l ; V a l
=
V a O
( b ) D o u b l e
l i n e t o
g r o u n d
. . . . . . . .
. . .
a ,
c
l
= -
( a
a O +
a 2
I a 2 )
l
V a 2
a
V a l V a l
=
V a 2
( c )
D o u b l e l i n e
t o
g r o u n d
. . . . . . . . . . . .
a ,
b.
I a l
=
-
( a 2
I a o
+
a
I a 2 )
...
V a o
=
a
V a t ;
V a l
=
a 2
V a O
l V a 2
=
a 2
V a l ;
V a l
=
a
V a 2
D
a )
T h r e e - p h a s e ........... a , b ,
C
..
a o
=
0
V a l
=
0 ,
V a 2
=
0
V
o
( b )
T h r e e - p h a s e
t o
g r o u n d
...
b ,
c.........
V a l
=
0 ,
V a o
=
0
A t p o i n t
C
t h e r e
i s a p o s i t i v e p h a s e
v o l t a g e ,
V a l ,
t o
T h e r e l a t i o n s
e x p r e s s e d
i n
( 1 9 )
a n d
( 2 0 ) a r e
s a t i s f i e d
n e u t r a l
a n d a
p o s i t i v e p h a s e
c u r r e n t ,
I a
1
f l o w i n g
i n t o
b y
s u b s t i t u t i n g
f o r t h e
f a u l t s a
Y
n e t w o r k
h a v i n g
t h e
t h e f a u l t .
A t
p o i n t D
t h e r e
i s a
p o s i t i v e p h a s e v o l t a g e ,
b r a n c h
i m p e d a n c e s
( k
-
m ) ,
1
-
m)
a n d m
c o n n e c t i n g
V , 1 2 ,
t o n e u t r a l a n d
a
p o s i t i v e
c u r r e n t ,
I , ,
f l o w i n g
i n t o t h e
p o i n t s
C ,
D
a n d
g r o u n d
a s
s h o w n
i n
F i g .
3 . I n
t h e
f a u l t ,
t h e
r e l a t i o n s
b e t w e e n
v o l t a g e s
a n d
c u r r e n t s
t h i s
c a s e
t h e
p o s i t i v e
p h a s e
v o l t a g e s
a n d
c u r r e n t s
o f
b e i n g g i v e n
i n
e q u a t i o n s
( 1 5 )
a n d
( 1 6 ) .
t h e
s y s t e m
may
b e
d e t e r m i n e d
a s
i n
a n y
o t h e r
b a l a n c e d
l o a d
d i s t r i b u t i o n
p r o b l e m :
t h a t
i s , b y
c a l c u l a t i o n ,
o r
E Q U I V A L E N T
C I R C U I T S
R E P L A C I N G TW O
S I M U L T A N E O U S
by me an s o f a c a l c u l a t i n g t a b l e ,
t h e e q u i v a l e n t
Y
r e -
F A U L T S
I N P O S I T I V E
P H A S E
S Y S T E M
p l a c i n g t h e t w o
f a u l t s i n t h e
p o s i t i v e p h a s e
n e t w o r k .
E q u a t i o n s
( 1 5 )
a n d
( 1 6 ) may
b e w r i t t e n
C
D
Vai=
kfl)Iai+ r n m - +
n
(a+
i ) V a l
k - r I - r V a x i
. ,
=
( k
-
i t )
I , , +
2
( I a l
+
Il
E>
- a
rn-n
I a i
+ I a i 4
+
2
( I
a l -
I a l )
( 1 7 )
F I G .
3 - E Q U I V A L E N T
Y
REPLACING
T w o
FAULTS
IN
P O S I T I V E
V
= ( I
-
m )
I , ,
+
2
( I a l +
I
a )
PHASE
S E Q U E N C E
NETWORK FOR S P E C I A L
CASE OF
m
=
n
C a s e
I I .
r m
a n d n
u n e q u a l .
+
2
( I a 1
-Ia) ( 1 8 ) When
m
a n d
n
a r e
n o t e q u a l ,
t h e
p o s i t i v e
d i s t r i b u -
t i o n
o f c u r r e n t s
a n d v o l t a g e d u e t o
t h e
f a u l t s
c a n
n o t
T h e
l a s t t e r m o f ( 1 7 )
a n d o f ( 1 8 ) may
a l s o b e w r i t t e n
b e o b t a i n e d b y i n s e r t i n g a n
e q u i v a l e n t
Y
o r
l \
b e t w e e n
n-rn
t h e p o i n t s ,
C ,
D a n d
g r o u n d .
2
( I a i - I a ; i )
A . G e n e r a l E q u i v a l e n t C i r c u i t .
F i g . 4
s h o w s
a n
-
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ e q u i v a l e n t
c i r c u i t
w h i c h
may r e p l a c e
t h e
t w o f a u l t s
i n
C a s e
I .
r n a n de q u a l .
~ t h e
p o s i t i v e
p h - a s e
s y s t e m .
T h e
e q u i v a l e n t
c i r c u i t
c o n s i s t s o f
a Y h a v i n g b r a n c h i m p e d a n c e s
k -n ,
I - m r
When
r n
a n d
n
a r e e q u a l ( 1 7 )
a n d
( 1 8 )
b e c o m e
V a i
=
( k
- m r )
I a l
+
r n
( I a 1
+
I c r i )
( 1 9 )
a n d
2 c o n n e c t e d
b e t w e e n
p o i n t s
C , D
a n d
F ,
V 1 2 1 =
( l o - r n ) 1 1 2 2 ± + r m ( 1 1 2 + 1 1 2 1 )
20)2
Page 5
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
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S e p t e m b e r
1 9 3 1
CLARKE:
SIMULTANEOUS
FAULTS
ON
THREE-PHASE SYSTEMS
9 2 3
TABLE
I I
V a l u e s o f
k , 1 ,
m a n d n
t o
b e
s u b s t i t u t e d i n
e q u a t i o n s ( 1 5 )
a n d
( 1 6 )
f o r s i m u l t a n e o u s
f a u l t s a t
t w o
p o i n t s
o f
t h e
s y s t e m .
The
o p e r a t o r s a a n d
a 2
h a v e b e e n
d e f i n e d
i n
e q u a t i o n s ( 1 3 a ) a n d
( 1 4 a ) ,
a n d Z o o
a n d
Z 2 2
i n
e q u a t i o n s
( 9 )
a n d
( 1 4 ) .
F o r t h e
s a k e o f
b r e v i t y l e t ,
Z c o
-
C O
+ S O
+
C 2
+
S 2
Z d ,
=
D o +So +D2
+S2
Z c d s
=
( C O
+ C 2 ) ( D 0 +
D 2 )
+
( C O
±
C 2 ) ( S o +
S 2 ) +
( D 0
+
D 2 ) ( S 0
+
S 2 )
C a s e E . S i n g l e L i n e - t o - G r o u n d
F a u l t s a t Tw o P o i n t s .
( a ) P h a s e s
a
a n d
a .
k
=
Z c s m
=
S O +
S 2
n
=
S O
+
S 2
1
=
Z d s
( b ) P h a s e s
b a n d
a .
k
=
Z c s
m = a
S O
+
a 2
S 2
n
= a 2
So
+
a
S 2 1
=
Z d s
( G )
P h a s e s
c
a n d
a .
k
=
Zs
m
=
a 2
So +
a
S 2
n
= a
S O
+
a 2
S 2
1
=
Z d . S
C a s e
F . L i n e - t o - Li n e F a u l t s
a t
Tw o P o i n t s .
( a )
P h a s e s
b ,
c a n d
3 ,
- y . *
k
= C 2
+
S 2
m
= S 2
n
= S 2
1
=
D 2 + 5 2
( b )
P h a s e s
a ,
c
a n d
y ,
.
k
= C 2
+
S 2 m
=
a 2 S 2
n =
a S 2
1
=
D 2 + S 2
( e )
P h a s e s
a ,
b a n d
3 ,
y .
k
=
C 2
+
S 2
i n
=
a
S 2
n
=
a 2
S 2
1
=
D 2 +
S 2
C a s e
G . D o u b l e L i n e - t o - G r o u n d
F a u l t s
a t
Tw o P o i n t s .
( a )
P h a s e s
b ,
c
a n d
, B ,
y .
*
Z 2 2 ( C O
S 0 )
Z 0 0
( C 2
+
S 2 ) Z 2 2
S O
+
Z O O S 2
k
=
=
Z e d s
Z c d s
Z 2 2
S o +
Z o o
S 2
Z 2 2 ( D 0
+
S o )
+
Z o o
( D 2
+
S 2 )
n
=
I
=
Z e d s
Z c d s
( b )
P h a s e s
a ,
c a n d
/ ,
- y .
Z 2 2
(C o
+
S o )
+ Z o o
(C 2
+
S 2 )
a
S O Z 2 2
+
a 2
S 2
Z o o
k
=
Z c d s + 3 S O
S 2
Z c d ,
+ 3 S O
S 2
a 2
S o Z 2 2 +
a
S 2
Z O O Z 2 2
( D o + S o )
+
Z o o
( D 2 +
S 2 )
Z c d s + 3
S o
8 2
Z c d ,
3
S o
S 2
( c )
P h a s e s
a ,
b a n d
3 ,
- .
Z 2 2
( C o + S o )
+
Z o o
( C 2
+
S 2 )
a 2
S o Z 2 2
+
a
S2
Z O O
k
=
m =
Z c d s
+ 3
S O
S 2
Z c d s +
3
S O
S 2
a
S o
Z 2 2 +
a 2
S o
Z o o
Z 2 2
( D 0
+ S o ) +
Z o o
( D 2
+
S 2 )
Z c d s
+
3
S O
S 2
Z c d s +
3
S o
S 2
C a s e H . T h r e e - P h a s e F a u l t s
a t
Tw o
P o i n t s .
k
=0
m =0
n
=0
1
=0
C a s e I . L i n e - t o - L i n e F a u l t a t
C
a n d S i n g l e L i n e - t o - G r o u n d F a u l t
a t
D .
( a )
P h a s e s
b , c a n d a .
k c
=
C 2
+ 8 S 2
m
-
-82
n =
- 8 S 2
1
= Z d o
( b )
P h a s e s
a ,
c a n d a .
k =
C 2
+ 8 S 2
m
=
- a 2 8 2
n =
-a
S2 1
=
Z d s
( a )
P h a s e s a ,
b a n d
a z .
k c
= C 2
+ 8 S 2
m = -a
8 2
n
=
- a2 8 2
1
= Z d o
* S e e
E q u i v a l e n t
Y
v s . E q u i v a l e n t
A
p a g e
9 2 7 .
Page 6
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 6/21
9 2 4
CLARKE:
SIMULTANEOUS FAULTS ON
THREE-PHASE
SYSTEMS
T r a n s a c t i o n s A .
I .
E .
E .
T A B L E
I I - C o n t i n u e d
C a s e
J .
D o u b l e
L i n e - t o - G r o u n d
F a u l t
a t C a n d
S i n g l e
L i n e - t o G r o u n d
F a u l t s a t D .
( a ) P h a s e s
b ,
c a n d
a .
k
( C O +
S O ) ( C 2 +
S 2 )
S O
( C 2
+
S 2 )
+
S 2
( C o
+
S O )
Z c s
Z s
n= -SO
( C 2
+
S 2 )
+
S 2
( C O
+
S O )
1
Zd
SO-
S2)2
Z c s
Z C S
( b )
P h a s e s
a ,
c
a n d
a .
(Co
+
So) ( C2
+
S2 )
a
S o
(C 2
+
S2 )
+ 2 S2
( C o
+
SO )
c z s z c s
n
a 2
S o
( C 2
+S2)
+aS2(CO + S O )
1
Z
-
S o 2
+SO
S 2
+ S 2 2
n
= -
Z C 8
1 = Z
d s -
Z c S
( e )
P h a s e s
a ,
b
a n d
a .
k c
=
( C o
+
S o ) (C 2
+
S2 )
a 2 So
(C 2
+
S2 )
+
a S2
(C o
+
SO)
a
S o
( C 2
+
S 2 )
a 2
S 2
( C o
+
S o )
S 0 2
S O
S 2
S 2 2
n=
-
1
=
Z d s
-
z
C l a s s K .
T h r e e - p h a s e
F a u l t
a t
C
a n d
S i n g l e
L i n e - t o - G r o u n d
F a u l t
a t D .
( a )
T h r e e - p h a s e
f a u l t
n o t
i n v o l v i n g g r o u n d .
k
=0
m
=0
C 2 S 2
n
=0
1
Do+SoD
C
+
S
( b )
T h r e e - p h a s e
f a u l t
i n v o l v i n g g r o u n d .
k
=0
m
=0
n
=0
1
D o
+
C
+
D 2
C
S
C O +
So
C 2
+
S 2
m
-
n
u n t i l t h e
c u r r e n t
t h r o u g h
i t t o
g r o u n d
i s
d o u b l e
I a l
t h e
a n d b e t w e e n F
a n d g r o u n d a n
i m p e d a n c e ,
2
o r
c u r r e n t
e n t e r i n g t h e f a u l t a t
C , t h e n
t h e
c u r r e n t
n
-
m
( I o , 1
-
I a l )
w i l l
f l o w
i n
t h e m i m p e d a n c e
-
I f t h e
m ~~ ~ ~ ~ ~~~~n
X p a r a l l e l e d b y a n a d j u s t a b l e
v o l t a g e ,
V , , .
E q u a -
~-Ii i l f o
nteipdne
2
I
h
t i o n s
( 1 7 )
a n d
( 1 8 )
w i l l b e
s a t i s f i e d
i f
c u r r e n t
( I a l
- I a l )
i m p e d a n c e
-
i s
u s e d ,
V
m u s t
b e
a d j u s t e d
u n t i l
2
v C
k - n
D - r n
D t h e
c u r r e n t
t h r o u g h
i t i s d o u b l e
I a l ,
t h e
c u r r e n t
e n t e r i n g
z 1 1 ,
t h e f a u l t a t
D .
i m + n
B .
A p p r o x i m a t e E q u i v a l e n t
C i r c u i t
f o r
U s e
o n
t h e
I a l + 6 I o
2
D - C .
C a l c u l a t i n g
T a b l e . I n s h o r t - c i r c u i t s t u d i e s
i t
i s
F }
I
c u s t o m a r y
t o
n e g l e c t
c a p a c i t a n c e
a n d
r e s i s t a n c e ,
a n d
t o
I I - l a l 1
M n
2 I , ,
V s
c o n s i d e r
a l l
g e n e r a t o r s o p e r a t i n g
w i t h
no l o a d
e x c i t a -
2
I
t i o n s .
The
s y s t e m can t h e n
be
r e p r e s e n t e d
on
a
d - c .
c a l c u l a t i n g
t a b l e .
F I G .
4-EXACT GENERAL
EQUIVALENT C I R C U I T R E P L A C I N G
TWO
A
study o f
Table
I I sh ows
t h a t with r e s i s t a n c e
and
F A U L T S
I N P O S I T I V E
P H A S E S E Q U E N C E
N E T W O R K
c a p a c i t a n c e
n e g l e c t e d , k
a n d
I
h a v e n o
r e a l
c o m p o n e n t s ,
b u t a r e
p o s i t i v e r e a c t i v e i m p e d a n c e s l a r g e r
i n
m a g n i t u d e
m
- n t h a n m
a n d n .
When
m
a n d
n
a r e e q u a l , t h e y
a l s o
h a v e
i s
made t o f l o w t h r o u g h
t h e
i m p e d a n c e
2
.o r
i f n o r e a l
c o m po n e n t s a n d a r e p o s i t i v e
r e a c t i v e i m -
p e d a n c e s ;
b u t
w h e n
m a n d n
a r e u n e q u a l
t h e y
h a v e
n -m r e a l
c o m p o n e n t s w h i c h a r e
e q u a l a n d o p p o s i t e ,
w h i l e
c u r r e n t
( I a l
- I a i )
f l o w s
t h r o u g h
t h e i m p e d a n c e
2
. t h e i r
r e a c t i v e
c o m p o n e n t s
a r e
e q u a l
i n
m a g n i t u d e
a n d
2
o f
t h e
s a m e s i g n .
I f
t h e
v o l t a g e , V , , i s
a d j u s t e d i n
p h a s e
a n d
m a g n i t u d e
T h e
e r r o r
m a d e
b y n e g l e c t i n g
t h e r e a l
c o m p o n e n t s
o f
Page 7
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
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S e p t e m b e r
1 9 3 1
CLARKE: SIMULTANEOUS
F A U L T S
ON
THREE-PHASE SYSTEMS
9 2 5
m a n d
n
w i l l o r d i n a r i l y b e
l e s s t h a n t h e e r r o r made
b y
o b t a i n e d o n
t h e
c a l c u l a t i n g
t a b l e .
T h e n
t h e
d i v i s i o n
n e g l e c t i n g l i n e
r e s i s t a n c e s .
When t h e r e a l c o m p o n e n t s
o f
p o s i t i v e p h a s e
c u r r e n t s
b e t w e e n
t h e
f a u l t e d
l i n e s ,
m -
n
a n d
t h e p o s i t i v e p h a s e
v o l t a g e s
a t t h e p o i n t s
o f f a u l t
o f
m a n d n
a r e
n e g l e c t e d ,
2
- 0 ,
a n d t h e
g e n e r a l
may
b e d e t e r m i n e d
b y c a l c u l a t i o n .
( 1 )
E q u i v a l e n t c i r c u i t f o r
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s o n u n l o a d e d
e q u i v a l e n t
c i r c u i t i n F i g . 4 b e c o m e s a
Y c o n n e c t i n g
f e e d e r s
r a d i a t i n g f r o m a c o m m o n
p o i n t
C ,
D ,
a n d
G ,
w i t h
b r a n c h
i m p e d a n c e s
( k
- n ) ,
( I
-m)fedrraitnfomacmnpit
e t
t h e
f a u l t
p o i n t s
C
a n d
D
b e
o n
u n l o a d e d
f e e d e r s
m i - n
F i
5
T h e
b r a n c h e s
k
-
n ,
a n d
r a d i a t i n g f r o m a common
p o i n t
H ,
t h e n
r e f e r r i n g t o
a n d
F i g .
6 A ,
l e t
C
D
V h = p o s i t i v e p h a s e v o l t a g e
a t
H .
Va n k - n I - r n V a l i
V a l
=
p o s i t i v e p h a s e
v o l t a g e
a t
C .
M a
V a i
=
p o s i t i v e
p h a s e v o l t a g e
a t D .
Z C h =
p o s i t i v e
p h a s e
i m p e d a n c e b e t w e e n H
a n d C .
I a i
+
I 4 l ; m 2
n
Z d h = p o s i t i v e p h a s e i m p e d a n c e b e t w e e n H a n d D .
2
I h
=
p o s i t i v e
p h a s e c u r r e n t
a t H .
G
I a l
=
p o s i t i v e p h a s e
c u r r e n t
a t
C .
F I G .
5-APPROXIMATE
EQUIVALENT C I R C U I T R E P L A C I N G
Tw o
I a l
= p o s i t i v e p h a s e
c u r r e n t
a t
D .
FAULTS
I N
P O S I T I V E PHASE
SEQUENCE
NETWORK
Then
I h
=
I a l
+
I a 1
( 2 1 )
( 1
-
m )
w i l l b e
p o s i t i v e r e a c t i v e i m p e d a n c e s a n d t h e r e -
V h
-
V a 1
=
I , l
Z , h
( 2 2 )
f o r e
c a n b e
r e p r e s e n t e d
o n
t h e d - c .
c a l c u l a t i n g
t a b l e ,
V h
-
V a l
=
I a l
Z d h
( 2 3 )
w h i l e
m
may b e
e i t h e r
p o s i t i v e
o r
n e g a t i v e .
I f
s u b t r a c t i n g ( 2 3 )
f r o m
( 2 2 )
2
- V a l +
V a l
=
I a i Z . h
-
1 .a Z d h ( 2 4 )
p o s i t i v e
i t c a n
a l s o
b e
r e p r e s e n t e d o n t h e d - c . t a b l e .
s u b t r a c t i n g
( 1 6 )
f r o m
( 1 5 )
I t
w i l l b e r e m e m b e r e d
t h a t t h e b r a n c h
i m p e d a n c e
V a l
- ( V a l
f r o m
( k 1 -
)
I , ,
-
( 1 - m )
I . ,
( 2 5 )
2
i s
c o n n e c t e d
t o
g r o u n d
as are t h e
n e u t r a l s
o f
t h e
a d d i n g ( 1 5 )
t o ( 2 2 ) a n d
( 2 4 )
t o ( 2 5 )
V ,
=
( Z , h
+ k ) I a l + m
I a , ( 2 6 )
g e n e r a t o r s
i n
t h e p o s i t i v e
p h a s e d i a g r a m .
T h i s
i m -
0
=
( Z C h
+ k - n ) I a l - ( Z d h
+
1
- m )
I a ,
( 2 7 )
p e d a n c e
i s
t h e r e f o r e
i n
s e r i e s w i t h t h e
g e n e r a t o r r e a c -
t a n c e
w h e n
t h e r e i s
a
s i n g l e
g e n e r a t i n g
s o u r c e
a n d
may
b e
c o m b i n e d w i t h i t .
When 2
i s
n e g a t i v e a n d i t
l a 8
2
c
i s
n o t
p o s s i b l e
t o
c o m b i n e
i t w i t h
a n y
o t h e r r e a c t a n c e ,
H
t h i s
b r a n c h
o f
t h e
Y
b e t w e e n
P
a n d
G may b e
s e t
t o
A
z e r o
a n d t h e
d i s t r i b u t i o n
o f
c u r r e n t s o b t a i n e d , t h e s e
d h
l4ai+I i
c u r r e n t s
t o
b e
i n c r e a s e d
b y t h e r a t i o P
v p
m
+
n
2
F I G . 6A-UNLOADED
FEEDERS WITH
FAULTS
AT C AND D
w h e r e
X ,
i s t h e
e q u i v a l e n t i m p e d a n c e
b e t w e e n g e n e -
r a t o r
n e u t r a l s
a n d
P ,
a n d
i s
f o u n d
b y
d i v i d i n g
g e n e -
H
_
r a t o r
v o l t a g e b y t o t a l g r o u n d c u r r e n t w h e n
P
i s
1 h = I a i +
g r o u n d e d .
C .
S p e c i a l
E q u i v a l e n t
C i r c u i t s . L i n e s
u p o n w h i c h
G
t h e f a u l t s
o c c u r , t o g e t h e r
w i t h
t h e f a u l t s may b e
r e p r e - F I G .
6 B - E Q U I V A L E N T
I MP ED A NC E R EP LA C I NG T HE
T w o
s e n t e d b y
a p a r t i c u l a r e q u i v a l e n t
c i r c u i t w h e n t h e
F A U LT S A N D F EE D E R S O F F I G .
6 A
f a u l t s o c c u r ; ( 1 )
o n
u n l o a d e d
f e e d e r s r a d i a t i n g f r o m
a
common
p o i n t a n d
( 2 ) o n
l i n e s
o f
e q u a l
i m p e d a n c e s S o l v i n g
e q u a t i o n s ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) f o r
a l a n d l a l :
b u s s e d a t b o t h e n d s .
Z d
+1-in
When t h e
e q u i v a l e n t c i r c u i t
r e p r e s e n t s t h e
l i n e s u p o n l a l = V h ( Z
d h
i - 8
w h i c h
t h e f a u l t s o c c u r
a s w e l l
a s
t h e f a u l t s , t h e s u m o f
i - k
( Z d h
i -
1)-mn
( 2 8
t h e c u r r e n t s i n t h e f a u l t e d
l i n e s , t h e
t o t a l
g r o u n d
c u r -
c+k-
r e n t , a n d
t h e
p o s i t i v e
p h a s e c u r r e n t a n d v o l t a g e
l a r l
= V h
Z ( 2 i 9 k )
d i s t r i b u t i o n
f o r
t h e
r e s t
o f
t h e
s y s t e m
may
r e a d i l y
b e
( Z c h
i -
k )
( Z d h
i - +
) - m
n
(9
Page 8
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 8/21
9 2 6 CLARKE: SIMULTANEOUS F A U L T S
ON
THREE-PHASE SYSTEMS
T r a n s a c t i o n s
A . I . E .
E .
a d d i n g ( 2 8 ) a n d
( 2 9 )
a n d r e p l a c i n g I a l
+ I a l
b y
I h
L e t I a l
=
I x +
I 4
a n d I
,
=
I r
+ I t
-
I x
-
I 4 .
Z , h +
k
+
Z d h +
1 -
( m + n )
L e t
Z c r = a ,
Z c t = b ,
Z d r = C ,
Z d t = d
a n d
a+b+c+d=S.
I h
=
V h
( Z c h
+ k )
( Z d h
+ 1 )
-m ( 3 0 )
T h e n
S u b s t i t u t i n g
V h f r o m ( 3 0 ) i n ( 2 8 )
a n d
( 2 9 )
V a l
= Vr
a I b ( 3 4 )
1k ~ ~ Z d h
+ i-rn
Vai=Vtbc
I
y 6
I a l
=
Z c h
+ k +
Z d h
+
i -
( m
+
n )
( 3 1 )
a l V r c ( I r I x )
a i , , V t d ( I t
- I y )
(7
Z , h
+
k-
n S u b s t i t u t i n g t h e a b o v e
v a l u e s f o r I a l a n d
I , , i n
( 1 5 )
I a l
=
I h
Z c h +
k
+
Z d h +
1-(m
+
n )
( 3 2 )
a n d
( 1 6 )
F r o m
e q u a t i o n
( 3 0 )
V a l
=
( k - r m )
( I x
+
I v )
+
m
I r
+
I t ) ( 3 8 )
F r o m
q u a t i o n ( 3 0 )
Z d h -mn
V , l l
= ( n - I ) ( I x
+
±
)
+
I
( I , + I t )
( 3 9 )
V h
_ ( Z c h
±
k ) ( Z d h
+
- ) -
( 3 3 ) F r o m
t h e
s i x
s i m u l t a n e o u s
e q u a t i o n s ( 3 4 ) - ( 3 9 ) t h e
I h
Z c h
k
+
Z d h
+
i
-
( m
+
n )
f o u r u n k n o w n s
V a l ,
V , , a ,
I ,
a n d
I ,
w i l l
b e
e l i m i n a t e d
V h a n d
V ,
a n d
V t
e x p r e s s e d i n t e r m s
o f
I r
a n d
I t .
b u t
h= Z h
=
i m pe d a n c e b e t w e e n p o i n t
H
a n d
I h
I X
g r o u n d ,
w h i c h i s
t h e e q u i v a l e n t
c i r c u i t s o u g h t .
c r
T h e r e f o r e ,
t w o
u n l o a d e d
f e e d e r s
r a d i a t i n g
f r o m
H
w i t h
t w o s i m u l t a n e o u s f a u l t s may
b e
r e p l a c e d b y a O R
T
s i n g l e l u m p e d i m p e d a n c e ,
Z h k ,
w h o s e
v a l u e
i s g i v e n b y I a l a l
e q u a t i o n ( 3 3 ) . T h e
t o t a l
g r o u n d c u r r e n t a n d t h e
Z d r
Z d t
p o s i t i v e p h a s e c u r r e n t a n d
v o l t a g e
d i s t r i b u t i o n
f o r t h e
s y s t e m e x c l u s i v e o f
t h e f e e d e r s
t h e m s e l v e s
may t h e n
y
b e
o b t a i n e d .
K n o w i n g
I h
a n d V h ,
t h e p o s i t i v e p h a s e
F I G .
7ASTWOI N E S
B U S S E D A T
B O T H
E N D S
STH
TWO
c u r r e n t s
i n
t h e f e e d e r s , I a l a n d
I
x , may b e o b t a i n e d
f r o m
e q u a t i o n s ( 3 1 ) a n d ( 3 2 ) , a n d t h e v o l t a g e s a t
t h e
p o i n t s
o f
f a u l t ,
V a l
a n d
V , , a ,
f r o m e q u a t i o n s ( 2 2 )
a n d
( 2 3 ) .
I t
( 2 )
E q u i v a l e n t
c i r c u i t
f o r
t w o
l i n e s w h i c h
h a v e t w o
p o i n t s
2
i n
c o m m o n o r a r e
b u s s e d
a t b o t h
e n d s
a n d
t w o
2 I r
s i m u l t a n e o u s f a u l t s
T h i s c a s e w i l l i n c l u d e s i m u l t a n e o u s f a u l t s
o n
a n y
t w o
M - N
- I r
V s
l i n e s w h i c h ,
o n
t h e
p o s i t i v e
p h a s e d i a g r a m , h a v e t h e i r
e n d s
t e r m i n a t i n g
a t common
p o i n t s .
Two f e e d e r s
r a d i a t i n g
f r o m a
common
p o i n t w i t h i m p e d a n c e
l o a d s
G
r e p l a c e d b y s h u n t i m p e d a n c e s t o g r o u n d ,
h a v e
t h e
F I G .
7 B - E X A C T
E Q U I V A L E N T C I R C U I T
R E P L A C I N G THE
T w o
g r o u n d
a s
a common t e r m i n a l
p o i n t .
E v e n
w h e n t h e
F A U L T E D
L I N E S
O F
F I G .
7 A
l i n e s
u p o n
w h i c h t h e f a u l t s o c c u r
d o n o t
h a v e
t w o
S u b s t i t u t i n g ( 3 8 )
a n d
( 3 9 )
i n
( 3 4 )
a n d
( 3 7 )
r e s p e c -
p o i n t s
i n
common
b y a p p r o p r i a t e
A
-
Y o r
Y-A
te
a n t r a n s p o s n g :
t r a n s f o r m a t i o n s
i t i s
o f t e n p o s s i b l e
t o
r e p r e s e n t
t h e m
IrMI
k-
, :
b y
t w o
e q u i v a l e n t
l i n e s
w h i c h
d o
h a v e
t w o
p o i n t s
i n
V ,
= m I r +
m
I t
+ ( a +
k - m )
I z
+ (k-r)
4
( 4 0 )
c o m m o n .
V t
=
l
I r
+
( d
+
I )
I t
+ ( n - 1 )
I x
(n-I-d)
Iv
( 4 1 )
F i g .
7 A
r e p r e s e n t s
t w o l i n e s
b u s s e d a t
R
a n d
T
w i t h
S u b t r a c t i n g
t h e s u m o f
e q u a t i o n s
( 3 5 )
a n d ( 3 6 ) f r o m
t h e
f a u l t s
a t
C a n d D ,
i n w h i c h
Z c r ,
Z c t , Z d r
a n d
Z d t
r e p r e -
s u m o f ( 3 4 ) a n d ( 3 7 ) ; a n d t h e s u m o f ( 3 4 ) a n d
( 3 9 )
s e n t
p o s i t i v e p h a s e i m p e d a n c e s
b e t w e e n
C
a n d
R ,
f r o m t h e s u m o f
( 3 6 ) a n d ( 3 8 ) :
C a n d
T ,
D
a n d
R ,
a n d
D
a n d
T
r e s p e c t i v e l y ,
a n d
0
=
c l
r -
d
t-(a
+
c )
±
( b
+
d ) r T
( 4 2 )
V r , V t ,
V a i
a n d V a i t h e v o l t a g e a t
R ,
T , C
a n d
D.O
I)I+(
) I
I r a n d
I t
r e p r e s e n t
t h e
c u r r e n t s a t
F a n d T
r e s p e c t i v e l y ,
0r
m-c-1
.±
) I
p o s i t i v e d i r e c t i o n b e i n g
t o w a r d s t h e f a u l t s a n d I a l
±
( a + c I + k - I + l - m - n ) I z ±
( k ± i 1 - m - n ) 4 v
( 4 3 )
a n d I a i
t h e
c u r r e n t s f l o w i n g i n t o
t h e
f a u l t s f r o m C E x p r e s s i n g
I x
a n d
4 v
f r o m ( 4 2 ) a n d ( 4 3 ) i n
t e r m s
o f
a n d D .
- I r
a n d
I t ,
a n d
r e p l a c i n g
a
+
b +
c
+ d b y
S .
F r o m
F i g .
7Agrudcret[b++
(im+ b±+
n]j
I r
+
I t
=
I , a l
+
I , a l = 4 I , =
t o t a l
Frudcret[+[ Im
kn]I
L e t
I r
d i v i d e
i n t o
I z
a n d
I r
-
I z
a n d
I t
d i v i d e
i n t o I r =
S(
+
[ b
(1
)
- d (k
n ) ]
I b
d
(4
I v
a n d
I t -
4
k+
-nn
( ) ( )
(4
Page 9
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
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S e p t e m b e r 1 9 3 1 CLARKE: SIMULTANEOUS
F A U L T S ON THREE-PHASE SYSTEMS
9 2 7
F [ a ( l - r m ) -
c ( k - n ) ]
I r 1
a b ( k + A + m + n )
+ 2 ( a + A b ) ( k l - m n )
(
_
L + [ ( a
+
c
+
d ) ( l - r m ) + d ( a A + c
+
k - n ) ] I J
+
4ab +2 ( a
+ b )
( k +
-m-
n )
Ir+I)]
-
S(k+l-nm-n)+
(a+c)(b+d)
5())
S u b s t i t u t i n g
( 4 4 )
a n d
( 4 5 ) i n ( 4 0 )
a n d ( 4 1 ) b
[S(kI-rmn)-ac(m+n)
+Ac(a+bA+d)kJ
Vt =
2
i
L
+a(b
+c
+d)1+
ac
( b
+d)
J
V r
S
( k +
I -
m-n)
+
( a +
c ) ( b +
d )
I r
a b ( k
+ l r + m
+ n ) + 2 ( a + b )
( k l - m n )
±
4
a
b
+2
( a
+ b )
( k
+ 1 - r m - n )
(
r +
t )
S
(kl-rn)
+
bcn+
- a d n
A c d
( 5 1 )
+ S ( k +
1
-
m
- n ) + ( a + c ) ( b
+ d )
I t
(
E q u a t i o n s ( 5 0 ) a n d ( 5 1 ) w i l l b e
s a t i s f i e d
i f
t h e
t w o
l i n e s a n d t h e
t w o
s i m u l t a n e o u s f a u l t s a r e r e p l a c e d b y
a
V t
S
( k l -
n )
+ a d r n A - b c n A - c d k
+ a b l I
Y b e t w e e n
t h e
p o i n t s R , T a n d G , F i g .
8 B ,
t h e b r a n c h
S ( k +
1 - m - n ) +
( a
+
c ) ( b
+
d )
a
b
i m p e d a n c e s o f t h e Y b e i n g
2 2
a n d
E S
( k - r m n )
-b
d
( m
+
n )
+
d
( a A + b + i c )
k l
+
(
A - b
( a
-
c A
+ d )
( +
bd
( a
+ c )
I
a
b
( k
+m
+
n )
+2
( a
b )
( k
I - r m n )
k +1-rn-n)
A-
( a + A - c )
( b A -d)
4a b
+ 2 ( a A + b )
( k
+ I - m - - n )
( 4 7 )
I n
p r o b l e m s
w h e r e t h e
d i v i s i o n o f
c u r r e n t s
b e t w e e n
( a )
G e n e r a l
C a s e .
A
c o m p a r i s o n
o f
t h e c o e f f i c i e n t
o f
t h e t w o
l i n e s a n d
t h e
v o l t a g e s a t t h e
p o i n t s o f
f a u l t
a r e
I t
i n
( 4 6 )
w i t h
t h a t
o f
I r
i n
( 4 7 )
s h o w s
t h a t
t h e y a r e
n o t
r e q u i r e d
t h e y may b e d e t e r m i n e d b y c a l c u l a t i o n s f r o m
i d e n t i c a l , a n d
t h e r e f o r e a s i m p l e i m p e d a n c e
Y
o r
A
t h e
v o l t a g e s a n d
c u r r e n t s a t t h e e n d s
o f
t h e l i n e s . I f
c a n n o t
r e p l a c e t h e l i n e s
w i t h
t h e
t w o
s i m u l t a n e o u s
t h e p o s i t i v e
p h a s e
c u r r e n t a n d v o l t a g e
d i s t r i b u t i o n
h a s
f a u l t s
i n
t h e
g e n e r a l c a s e w h e r e m
a n d
n
a r e
u n e q u a l
b e e n
d e t e r m i n e d
w i t h t h e e q u i v a l e n t Y r e p l a c i n g
t h e
a n d
t h e r e
i s n o
f i x e d
r e l a t i o n
b e t w e e n
t h e
i m p e d a n c e s
Z c r ,
Z , d ,
Z c t
and Z d
t .
R
Z r p
p
Z p t
2
T
T h e g e n e r a l
e q u i v a l e n t c i r c u i t
o r t h e
a p p r o x i m a t e
Z c r a
Z r t = b
-
e q u i v a l e n t
c i r c u i t may
b e u s e d t o
r e p l a c e
t h e
t w o
C
I r
g
l i n e s w i t h
t h e
tw o s i m u l t a n e o u s f a u l t s , r a t h e r
than
-
p g
4
a b + 2
( a + b ) ( k I t - r n - n )
j u s t
t o
r e p l a c e
t h e t w o
f a u l t s ,
i f
i t i s f o u n d
a d v a n t a g e o u s
D
t o
d o s o .
T o
o b t a i n
t h i s c i r c u i t ,
e q u a t i o n s
( 4 6 )
a n d
Z d r = a
Z d t = b
( 4 7 )
m a y b e w r i t t e n :
A
B
V
,
It
(48)
F I G .
8 A - S P E C I A L
CASE OF F I G .
7 A WHEN L I N E S
HAVE
E Q U A L
V = I+M()
IMPEDANCE
AND
F A U LT POINTS ARE EQUIDISTANT FROM
ONE
END
v t
=
N
I r +
L
I t
( 4 9 ) F I G .
8B-EXACT
EQUIVALENT C I R C U I T F O R
F I G .
8 A
I f
k , 1 , m a n d
n i n
F i g s .
4
a n d 5 a r e
r e p l a c e d
b y
K , L ,
M
a n d
N
a s d e f i n e d
i n
e q u a t i o n s ( 4 6 ) - ( 4 9 ) a n d
l i n e s
a n d t h e t w o s i m u l t a n e o u s
f a u l t s ,
t h e n
V r , V I ,
I ,
a n d
I a l
a n d
I a 1
b y
I r
a n d
I t
t h e
d e s i r e d
c i r c u i t s a r e
a n d
I t
w i l l b e
k n o w n . I . a n d
I ,
m ay
b e
o b t a i n e d
b y
o b t a i n e d .
T h e g e n e r a l e q u i v a l e n t c i r c u i t
i s
s h o w n
i n s u b s t i t u t i n g
t h e v a l u e s
o f
I r a n d
I ,
i n
e q u a t i o n s
( 4 4 )
F i g .
7 B .
a n d
( 4 5 ) ;
V a 1
m ay
b e
o b t a i n e d f r o m
e q u a t i o n s ( 3 4 )
o r
( b ) S p e c i a l
C a s e . T h e c o e f f i c i e n t s o f
I t
a n d
I r
i n
( 3 5 ) ; a n d
V a 1
f r o m ( 3 6 ) o r
( 3 7 ) .
e q u a t i o n s ( 4 6 )
a n d
( 4 7 ) r e s p e c t i v e l y
w i l l
b e i d e n t i c a l
E q u i v a l e n t Y v s . E q u i v a l e n t
A . I n
t h e
z e r o
a n d
i f
b
c
m
+
a d
n
=
a d
m
+
b
c
n ,
t h a t
i s
i f
m
=
n
o r
n e g a t i v e
p h a s e
s y s t e m s ,
e q u i v a l e n t
Y ' s
w e r e
u s e d
t o
a d
=
b c .
I f e i t h e r
o f
t h e s e
c o n d i t i o n s i s s a t i s f i e d t h e
r e p l a c e t h e n e t w o r k
c o n n e c t e d b e t w e e n
t h e t w o
f a u l t
t w o l i n e s w i t h t h e t w o
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s
may
b e
p o i n t s
a n d
t h e p o i n t s
o f z e r o p o t e n t i a l , a s s u m e d
b u s s e d
r e p l a c e d b y
a n
e q u i v a l e n t
Y
h a v i n g t h e b r a n c h
i m -
a t S .
E q u i v a l e n t
A ' s m i g h t h a v e
b e e n u s e d
t h r o u g h
p e d a n c e s
K
-
M ,
L
-
M
a n d M.
t h i s p a p e r . T h e c h o i c e
o f e q u i v a l e n t Y s a n d
i m p e -
d a n c e s
h a s
g i v e n ,
i n
t h e m a j o r i t y
o f c a s e s , e q u a t i o n s
o f
E q u i v a l e n t c i r c u i t f o r
t w o
t r a n s r n i s s i o n
l i n e s
o f
e q u a l
s i m p l e r f o r m f o r
t h e c o n s t a n t s k , 1 ,
r n
a n d n t h a n
w o u l d
i r n p e d a n c e s b u s s e d
a t b o t h e n d s a n d t w o h a v e
b e e n o b t a i n e d w i t h e q u i v a l e n t A ' s
a n d
a d m i t -
s i r n u l t a n e o u s
f a u l t s t a n c e s . I n t h e
c a s e o f d o u b l e l i n e - t o - g r o u n d
f a u l t s ,
S i n c e
Z d . =
Z c r
=
a a n d Z d t =
Z c
= b ,
c
a n d d i n h o w e v e r ,
t h e
s o l u t i o n
w i t h
e q u i v a l e n t
A ' s
a n d
a d m i t -
e q u a t i o n s ( 4 6 )
a n d
( 4 7 )
may
b e
r e p l a c e d
b y a a n d b t a n c e s
i s
a
s i m p l e o n e a n d
t h e
f o r m o f
t h e
r e s u l t i n g
r e s p e c t i v e l y a n d t h e e q u a t i o n s r e w r i t t e n
t h u s e q u a t i o n s o f s p e c i a l
i n t e r e s t
w h e n t h e
f a u l t s
a r e
o n
t h e
a
s a m e p h a s e s . L e t
t h e a d m i t t a n c e s o f t h e
A \
r e p l a c i n g
Vr=[2
I r
t h e
e q u i v a l e n t
Y
f o r
t h e
z e r o
p h a s e s y s t e m b e
Y O c d ,
Y 0 c .
a n d Y o d ,
a n d
t h o s e
f o r t h e n e g a t i v e s y s t e m
b e
Page 10
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 10/21
9 2 8
CLARKE:
SIMULTANEOUS
F A U L T S ON THREE-PHASE SYSTEMS
T r a n s a c t i o n s
A .
I . E .
E .
Y 2 c d , Y 2 c 8
a n d
Y 2 d , ,
t h e f i r s t
s u b s c r i p t
i n d i c a t i n g
t h e
P o s i t i v e
P h a s e
S e q u e n c e E q u a t i o n s * E x p r e s s i n g
P o s i t i v e
s e q u e n c e
a n d t h e
s e c o n d a n d
t h i r d
t h e t e r m i n a l p o i n t s . V o l t a g e s
i n T e r m s o f P o s i t i v e
C u r r e n t s
a n d
I m p e d a n c e s
R e p l a c i n g 5
t h e i m p e d a n c e s
o f t h e Y ' s b y t h e a d m i t -
E
= I I
Q 1 1 + I 2
Q 1 2 + .
± I n
+ I , ± I a l
Q i c + I a i
Q l d
t a n c e s
o f t h e A ' s i n
e q u a t i o n s
( 1 3 d ) a n d
( 1 4 d )
o f
A p -
E 2
= I l
Q 2 1 + I 2
Q 2 2
.
I n Q 2 n + I a l
Q 2 c + I , a
l
Q 2 d
p e n d i x
D :
I a l
=
V a l
( Y o c s
+
Y 2 c s
+
Y O c d
+
Y 2 c d ) E n
= I 1
Q n l + I 2
Q n 2 +
. . . . . . .
+ I n Q n n + I a l
Q n c + I a l
Q n d
-
V a l
( Y O c d
+
Y 2 c d )
V a l = I l Q c l + I 2 Q c 2
. ± . . . . . .
+ I n
Q c n + I a l
Q c c + I a l
Q c d
I a l
=
V a l (Ocd
+
Y 2 c d )
Val
=Il Q d l + I 2
Qd2+
. . . . . .
+In
Q d n + I a l
Q d c + I a l
Q d d
+
V a l
( Y o d ,
+
Y 2 d s +
Y O c d
+
Y 2 , d )
w h e r e
E 1 ,
E2 .
E n
are k n o w n
i n t e r n a l
v o l t a g e s
on
m a c h i n e s
1 , 2 a n d n , a n d
I , ,
I 2
a n d I n a r e t h e
c o r r e -
T h e s e e q u a t i o n s a r e s a t i s f i e d
i f t h e z e r o
a n d n e g a t i v e s p o n d i n g
c u r r e n t s .
V a l
a n d V a i f 1 a r e t h e p o s i t i v e
p h a s e
p h a s e n e t w o r k s
a r e
c o n n e c t e d i n p a r a l l e l
b e t w e e n t h e v o l t a g e s
a t t h e
p o i n t s
o f
f a u l t
C a n d
D
r e s p e c t i v e l y ,
p o i n t s
C ,
D
a n d
G
o f t h e
p o s i t i v e p h a s e s y s t e m , p o i n t s
a n d
I a l
a n d
I , ,
a r e t h e
c o r r e s p o n d i n g
c u r r e n t s
f l o w i n g
C
i n
t h e t h r e e s y s t e m s b e i n g
c o n n e c t e d , a l s o p o i n t s
D , i n t o t h e f a u l t s .
P o s i t i v e
d i r e c t i o n f o r m a c h i n e
c u r r e n t s
a n d t h e
p o i n t s o f z e r o
p o t e n t i a l o f
a l l t h r e e s y s t e m s .
i s t a k e n f r o m t h e g e n e r a t o r n e u t r a l s .
P o s i t i v e
d i r e c t i o n
W i t h
t h e s e
c o n n e c t i o n s
o n
t h e c a l c u l a t i n g
t a b l e ,
t h e
f o r f a u l t s
c u r r e n t ,
l a ,
a n d
I a l y
i s t a k e n f r o m t h e
s y s t e m
z e r o a n d n e g a t i v e p h a s e
c u r r e n t s f o r
p h a s e a a s w e l l a s
i n t o
t h e
f a u l t s .
t h e p o s i t i v e , may
b e r e a d
d i r e c t l y f o r a l l p a r t s o f
t h e
A l s o
s y s t e m .
V
A N A L Y T I C A L
S O L U T I O N
O F P O S I T I V E
P H A S E
NETWORK
=
I I
w h e r e
V 1
i s t h e i n t e r n a l
v o l t a g e
o f
When
a
c a l c u l a t i n g t a b l e
i s
n o t a v a i l a b l e , o r w h e n
m a c h i n e I , w h e n n o
f a u l t c u r r e n t s a n d
n o
m a c h i n e
c u r -
g r e a t e r a c c u r a c y i s
r e q u i r e d t h a n c a n
b e s e c u r e d f r o m
r e n t s
a r e f l o w i n g e x c e p t
I 1 .
e i t h e r t h e
d - c .
t a b l e o r t h e
a - c .
n e t w o r k
a n a l y z e r , t h e
d i s t r i b u t i o n o f
p o s i t i v e p h a s e
c u r r e n t s a n d
v o l t a g e s may
Q
In
w h e n no f a u l t n o r
m a c h i n e c u r r e n t s
b e
d e t e r m i n e d
b y
c a l c u l a t i o n .
I n
E q u a t i o n s may b e w r i t t e n
b y K i r c h o f f ' s
l a w e x p r e s s - a r e f l o w i n g
e x c e p t
I , .
i n g
t h e
i n t e r n a l
v o l t a g e s o f
t h e v a r i o u s m a c h i n e s
a n d
t h e
p o s i t i v e
p h a s e
v o l t a g e s ,
V a 1
a n d
V a 1 ,
a t
p o i n t s
C
V a l
a n d D
r e s p e c t i v e l y ,
i n
t e r m s o f t h e p o s i t i v e
p h a s e i m -
Q c d
I
1
w h e n
n o
m a c h i n e c u r r e n t s
a r e
f l o w i n g
p e d a n c e s
o f
t h e s y s t e m s a n d t h e p o s i t i v e p h a s e
c u r r e n t s .
a n d
no
f a u l t
c u r r e n t
e x c e p t
I f
t h e r e
a r e
n
m a c h i n e s ,
t h e r e
w i l l
b e
a
m i n i m u m
o f
( n
2 )
u n k n o w n
c u r r e n t s , i . e . ,
t h e
n m a c h i n e s
c u r r e n t s
V
a n d t h e t w o
f a u l t c u r r e n t s ;
a n d
a
m i n i m u m
o f
( n
+
2 )
=
I n
w h e n
V n i s
t h e
i n t e r n a l
v o l t a g e
o f
v o l t a g e
e q u a t i o n s ,
i .
e . ,
t h e
n m a c h i n e i n t e r n a l v o l t a g e
e q u a t i o n s
a n d
t h e
t w o
f a u l t v o l t a g e e q u a t i o n s .
E a c h
m a c h i n e ,
o r
w h e n n o
f a u l t
c u r r e n t s
a n d n o
m a c h i n e
l o o p
i n
t h e
s y s t e m
i n t r o d u c e s
a n
a d d i t i o n a l
u n k n o w n
c u r r e n t s
a r e
f l o w i n g
e x c e p t
I n .
c u r r e n t , b u t
a l s o
a n
a d d i t i o n a l
e q u a t i o n ,
t h e v o l t a g e
T h e
Q ' s a s s o c i a t e d
w i t h
I a i
a n d
j c d
i n t h e a b o v e e q u a -
d r o p
a r o u n d t h e l o o p b e i n g
z e r o .
I n
t h e s e ( n + 2 )
t i o n s
w i l l b e
n e g a t i v e ,
d u e t o t h e a r b i t r a r y
a s s u m p t i o n s
e q u a t i o n s
t h e
n m a c h i n e s
i n t e r n a l
v o l t a g e s
a r e
k n o w n ,
f o r p o s i t i v e
d i r e c t i o n
o f
c u r r e n t f l o w .
t h e
( n
+
2 )
c u r r e n t s a n d
t h e
t w o f a u l t
v o l t a g e sr e k o
When
t h e r e i s a p o i n t
o f
z e r o
p o t e n t i a l o n t h e
p o s i -
u n k n o w n .
W i t h
e q u a t i o n s
( 1 5 )
a n d
( 1 6 ) ,
( w h i c h
a r e
t i v e p h a s e
s y s t e m
a t
w h i c h
n o v o l t a g e i s
g e n e r a t e d ,
s u c h
i n d e p e n d e n t o f t h e p o s i t i v e
p h a s e s e q u e n c e i m p e d a n c e s
a s
t h e n e u t r a l o f
a s h u n t i m p e d a n c e
l o a d , t h e r e
w i l l
b e
a n d
t h e
i n t e r n a l
v o l t a g e s
o f
t h e
m a c h i n e ,
b u t
d e p e n d
a
r e t u r n
p a t h
f o r
t h e
c u r r e n t s
w h e n
o n e
c u r r e n t
o n l y
i s
u p o n
t h e t e s
o l t a n d
t h e
z e r o a n d
n e g a t i v e
p h a s e
f l o w i n g , a n d t h e
Q ' s may
r e a d i l y b e o b t a i n e d o n
t h e
i m p e d a n c e s ) t h e r e w i l l b e ( n + 4 ) e q u a t i o n s
a n d
( n
±
4 )
c a l c u l a t i n g
t a b l e . When t h e r e
i s
n o
s u c h
p o i n t i t
w i l l
u n k n o w n s . I t i s p o s s i b l e , t h e r e f o r e ,
t o s o l v e
f o r
t h e
b e n e c e s s a r y
t o
g r o u n d
o n e
m a c h i n e , N o . 2 ,
t o
p r o v i d e
p o s i t i v e c u r r e n t s i n t e r m s o f
t h e
i n t e r n a l g e n e r a t e d
a r e t u r n p a t h f o r
t h e c u r r e n t s
w h e n t h e
o n l y
c u r r e n t
v o l t a g e s a n d
t h e p o s i t i v e ,
n e g a t i v e ,
a n d
z e r o
p h a s e
f l o w i n g
i s t h e
o n e
u n d e r c o n s i d e r a t i o n . T h e
v o l t a g e
i m p e d a n c e s
o f t h e s y s t e m . K n o w i n g
t h e
p o s i t i v e e q u a t i o n
E 2
=
1 1 Q a i
+±.
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c u r r e n t s , t h e p o s i t i v e v o l t a g e s
f o r
t h e
s y s t e m may b e
c o m e
i n d e t e r m i n a t e b u t
may b e r e p l a c e d
b y
t h e c u r r e n t
o b t a i n e d .
e q u a t i o n Ia
12.
+ I n =
I a i
+ a i n .
T h e
c u r -
r e n t d i s t r i b u t i o n w i l l f i r s t
b e d e t e r m i n e d
w i t h m a -
S O L U T I O N A T P O S I T I V E
PHASE
NETWORK B Y c h i n e N O . 2
g r o u n d e d
( E 2
=
0 ) ,
a n d
t h e n w i t h
a l l
S U P E R P O S I T I O N m a c h i n e s e x c e p t
N O .
2
g r o u n d e d . By s u p e r p o s i n g
t h e
To
a v o i d
t h e
a d d i t i o n a l e q u a t i o n s a n d u n k n o w n s
d u e
t w o
s e t s o f c u r r e n t s
t h e
d i s t r i b u t i o n
o f p o s i t i v e p h a s e
t o
l o o p s
i n
t h e
p o s i t i v e
p h a s e
s y s t e m , t h e
f o l l o w i n g
c u r r e n t s
w i l l
b e
d e t e r m i n e d .
e q u a t i o n s m a y
b e
u s e d :
* T h e s e e q u a t i o n s w e r e s u g g e s t e d b y
M r . R . H .
P a . r k .
Page 11
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
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S e p t e m b e r
1 9 3 1
CLARKE:
SIMULTANEOUS F A U L T S ON THREE-PHASE
SYSTEMS
9 2 9
S O L U T I O N O F N E G A T I V E A N D
Z E R O
P H A S E
NETWORKS i n d e p e n d e n t
e q u a t i o n s
c o n n e c t i n g c o m p o n e n t s
o f
c u r -
When t h e p o s i t i v e p h a s e v o l t a g e s a t t h e
p o i n t s o f
r e n t o r o f
v o l t a g e .
f a u l t a n d t h e
p o s i t i v e
p h a s e c u r r e n t s f l o w i n g i n t o t h e N i n e
e q u a t i o n s e x p r e s s i n g
r e l a t i o n s
b e t w e e n t h e
f a u l t s h a v e b e e n d e t e r m i n e d ,
f o u r o f
t h e e i g h t
u n k n o w n s c o m p o n e n t s
o f c u r r e n t
o r
v o l t a g e
a t t h e t h r e e f a u l t
V a O ,
V a 0 ,
V a 2 ,
V a 2 ,
I a O ,
I a O ,
I a 2 ,
a n d
1 a 2 may r e a d i l y
b e
p o i n t s ,
t h r e e
e q u a t i o n s
c o n n e c t i n g
z e r o
p h a s e
c u r r e n t s
o b t a i n e d
f r o m t h e r e l a t i o n s
g i v e n
i n
T a b l e I . T h e
a n d
v o l t a g e s ,
a n d t h r e e -
c o n n e c t i n g n e g a t i v e
p h a s e
f o u r
r e m a i n i n g u n k n o w n s ,
t w o
o f
w h i c h
w i l l
b e
i n
t h e
c u r r e n t s
a n d
v o l t a g e s ,
p r o v i d e
f i f t e e n
e q u a t i o n s .
T h e
z e r o
p h a s e a n d
t w o
i n t h e
n e g a t i v e p h a s e s y s t e m ,
ma y
u n k n o w n
z e r o
a n d
n e g a t i v e
p h a s e
c u r r e n t s
a n d
v o l t a g e s
b e
o b t a i n e d f r o m
e q u a t i o n s
( 5 ) , ( 6 ) ,
( 1 0 )
a n d ( 1 1 ) , o r
may
b e e l i m i n a t e d
f r o m
t h e s e e q u a t i o n s , t h e n u m b e r
f r o m ( 7 ) ,
( 8 ) , ( 1 2 )
a n d ( 1 3 ) .
b e i n g
r e d u c e d t o
t h r e e ,
a n d t h e
t h r e e
p o s i t i v e
p h a s e
I n g e n e r a l ,
t h e v o l t a g e s a t t h e t w o p o i n t s o f
f a u l t o f
v o l t a g e s
t o
g r o u n d
a t
t h e f a u l t p o i n t s e x p r e s s e d i n
e i t h e r
s y s t e m
w i l l n o t
b e i n
p h a s e
w i t h e a c h o t h e r n o r
t e r m s
o f t h e t h r e e p o s i t i v e
p h a s e c u r r e n t s
f l o w i n g
i n t o
w i t h t h e r e f e r e n c e v o l t a g e
o f
t h e p o s i t i v e
p h a s e s y s t e m .
t h e
f a u l t s a n d t h e
n e g a t i v e
a n d z e r o p h a s e
i m p e d a n c e s
T h e c u r r e n t s
i n t h e n e t w o r k
o f e i t h e r
s y s t e m may b e
o f
t h e
s y s t e m .
d e t e r m i n e d
b y s u p e r p o s i t i o n , i . e . , b y a d d i n g
v e c t o r i a l l y
I n t h e p o s i t i v e
p h a s e s y s t e m
t h e r e
w i l l b e o n e
m o r e
t h e c u r r e n t s d u e t o t h e
f a u l t
v o l t a g e
a t C w i t h p o i n t D u n k n o w n v o l t a g e
a n d o n e m o r e u n k n o w n c u r r e n t
t h a n
g r o u n d e d , a n d t h e c u r r e n t s
d u e t o
t h e f a u l t v o l t a g e
a t w i t h t w o s i m u l t a n e o u s
f a u l t s , b u t t h e r e w i l l b e
t w o
D
w i t h C g r o u n d e d .
a d d i t i o n a l v o l t a g e
e q u a t i o n s ,
o n e i n v o l v i n g p o s i t i v e
When
a n
a - c .
c a l c u l a t i n g
t a b l e
i s
a v a i l a b l e
t h e
c u r -
p h a s e
c u r r e n t s
f l o w i n g
i n t o
t h e
f a u l t s
a n d
n e g a t i v e
a n d
r e n t a n d v o l t a g e d i s t r i b u t i o n i n t h e
z e r o p h a s e
s y s t e m z e r o p h a s e i m p e d a n c e s , a n d t h e o t h e r
i n v o l v i n g
p o s i t i v e
may b e
o b t a i n e d
b y a p p l y i n g
v o l t a g e s t o
g r o u n d ,
V a o
p h a s e
l i n e c u r r e n t s a n d
p o s i t i v e
p h a s e i m p e d a n c e s . A
a n d
V a o ,
a t
p o i n t s C a n d
D
r e s p e c t i v e l y
o f
t h e
z e r o c o m p l e t e d e t e r m i n a t i o n o f t h e p o s i t i v e
p h a s e
c u r r e n t s ,
p h a s e n e t w o r k ; a n d i n a s i m i l a r
m a n n e r t h e n e g a t i v e t h e r e f o r e ,
i s p o s s i b l e , a n d f r o m t h e s e , t h e
c u r r e n t s
a n d
p h a s e
c u r r e n t
a n d v o l t a g e d i s t r i b u t i o n w i l l b e d e t e r -
v o l t a g e s o v e r t h e
e n t i r e
s y s t e m
may b e o b t a i n e d .
m i n e d
b y a p p l y i n g v o l t a g e s
V a 2
a n d
V a 2
a t
p o i n t
C
G e n e r a l i z i n g
f r o m t h e
a b o v e , i t
may b e
s e e n t h a t
n
a n d
D o f
t h e n e g a t i v e
p h a s e s y s t e m . s i m u l t a n e o u s
f a u l t s w o u l d
b e s o l v e d i n
a
s i m i l a r
m a n n e r .
S Y S T E M C U R R E N T S
AND V O L T A G E S
S I N G L E - P O L E S W I T C H I N G
By u s e
o f t h e f u n d a m e n t a l s y m m e t r i c a l c o m p o n e n t
e q u a t i o n s g i v e n
i n
A p p e n d i x
A , t h e p o s i t i v e , n e g a t i v e ,
a n d z e r o
c o m p o n e n t s
o f c u r r e n t s a n d v o l t a g e s may
b e
a d v i s a b i l i t y
o f s w i t c h i n g o u t
o n e p h a s e
a n d r e t a i n i n g
c o m b i n e d
t o
g i v e
a c t u a l
c u r r e n t s
a n d
v o l t a g e s
o v e r
t h e
t h e
t w o
g o o d
p h a s e s
w h e n
a
g r o u n d
o c c u r s
o n
o n e p h a s e
e n t i r e
s y s t e m .
o n l y o f a t h r e e - ph a s e s y s t 2 m . When g r o u n d s
o c c u r
a t
t w o
s e p a r a t e
a n d d i s t i n c t
p o i n t s
o f
t h e s y s t e m b u t e a c h
T H R E E
S I M U L T A N E O U S
F A U L T S i n v o l v e s o n e c o n d u c t o r
o n l y ,
i t
may
b e d e s i r a b l e
t o
T h e m e t h o d u s e d
f o r
d e t e r m i n i n g c u r r e n t s
a n d v o l t -
i n v e s t i g a t e t h e p o s s i b i l i t y
o f s i m u l t a n e o u s s i n g l e - p o l e
a g e s w h e n
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s
o c c u r a t t w o s e p a r a t e s w i t c h i n g .
a n d d i s t i n c t
p o i n t s
o f
t h e
s y s t e m may b e e x t e n d e d t o
When
a
c o n d u c t o r i s
d i s c o n n e c t e d
f r o m
t h e
s y s t e m
a p p l y
t o t h r e e
o r m o r e
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s .
b y o p e n i n g
t h e b r e a k e r s
a t
i t s
t e r m i n a l s , t h e
c u r r e n t
W i t h
t h r e e
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s
o n
t h e s y s t e m , t h r e e
i n i t
a n d
i n t h e o t h e r t w o c o n d u c t o r s
a n d t h e
t h r e e
i n d e p e n d e n t
e q u a t i o n s
may b e w r i t t e n e x p r e s s i n g t h e
v o l t a g e s
t o
g r o u n d
a t t h e
t e r m i n a l s o f
t h e l i n e a r e
t h e
t h r e e
z e r o
p h a s e
v o l t a g e s
a t
t h e p o i n t s
o f f a u l t i n t e r m s
same
a s
t h e y
w o u l d
b e i f
t h e
c o n d u c t o r
w e r e
o p e n
a t
o f
t h e
t h r e e
z e r o p h a s e
c u r r e n t s
f l o w i n g i n t o t h e
f a u l t s .
o n e
p o i n t
o n l y , p r o v i d e d
t h e r e
i s
n o
g r o u n d
o n
t h e
T h e
e q u a t i o n s
g i v e n a b o v e f o r
u s e
i n
d e t e r m i n i n g
c o n d u c t o r
a n d
c a p a c i t a n c e
i s
n e g l i g i b l e .
F o r
c o n v e -
t h e p o s i t i v e
p h a s e
c u r r e n t s
may b e
u s e d
t o
a d -
n i e n c e ,
w h e n
a
c o n d u c t o r
i s
o p e n
a t
b o t h
e n d s
i t
w i l l
b e
v a n t a g e
i n
t h i s c o n n e c t i o n ;
o r i f
t h r e e
e q u i v a l e n t Y ' s
c o n s i d e r e d
o p e n
a t
o n e
p o i n t
o n l y ,
t h e
p o i n t h a v i n g
f o r
t h e
z e r o p h a s e s y s t e m a r e d r a w n , e a c h p r e s e r v i n g a n y
c o n v e n i e n t l o c a t i o n
a l o n g
t h e l i n e .
T h i s
w i l l
n o t
t h e
i d e n t i t y
o f
t h e
p o i n t s
o f
z e r o
p o t e n t i a l
c o n s i d e r e d
c h a n g e
t h e
c u r r e n t s
i n t h e c o n d u c t o r s n o r t h e
v o l t a g e s
b u s s e d a t a c om m on
p o i n t ,
S , a n d
t w o
o f
t h e
t h r e e
f a u l t
a t t h e e n d s o f t h e
s e c t i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n .
T h e
p o i n t s ,
t h e
t h r e e e q u a t i o n s
e a c h
e x p r e s s i n g o n e z e r o v o l t a g e t o g r o u n d
o f
t h e o p e n c o n d u c t o r ,
h o w e v e r ,
p h a s e f a u l t
v o l t a g e
i n t e r m s o f t h e t h r e e z e r o
p h a s e w i l l
d e p e n d
u p o n
t h e l o c a t i o n
o f
t h e
o p e n i n g .
c u r r e n t s
f l o w i n g i n t o t h e
f a u l t s may b e
w r i t t e n b y When o n e c o n d u c t o r
o f
a t h r e e - p h a s e
t r a n s m i s s i o n
i n s p e c t i o n .
l i n e i s
o p e n t h e
v o l t a g e s
t o g r o u n d
o n t h e t w o
s i d e s o f
I n l i k e m a n n e r t h e
n e g a t i v e
p h a s e s y s t e m
w i l l
p r o v i d e
t h e o p e n i n g
i n
g e n e r a l
w i l l b e
d i f f e r e n t ,
a n d
a
v o l t a g e
t h r e e i n d e p e n d e n t e q u a t i o n s c o n n e c t i n g n e g a t i v e p h a s e
w i l l
e x i s t
a c r o s s t h e o pe n i n g . F i g . 9
r e p r e s e n t s
t h r e e
f a u l t v o l t a g e s a n d currents. conductorsa , b , a n d c
w i t h
c o n d u c t o r
a
o p e n
a t p o i n t C .
A t
e a c h
o f
t h e
t h r e e p o i n t s
o f
f a u l t
t h e r e
w i l l
b e
t h r e e
L e t
e a ,
e b ,
e C
b e
t h e
d i f f e r e n c e s
i n
v o l t a g e
o n
t h e
t w o
s i d e s
Page 12
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 12/21
9 3 0
CLARKE:
SIMULTANEOUS
FAULTS
ON THREE-PHASE
SYSTEMS T r a n s a c t i o n s
A . I . E . E .
o f t h e o p e n i n g f o r
c o n d u c t o r s a , b ,
a n d c r e s p e c t i v e l y , i n g
i n
p a r a l l e l
a c r o s s t h e
o p e n i n g
i n t h e
p o s i t i v e
p h a s e
a n d
i a ,
b a n d i c t h e l i n e
c u r r e n t s
a t
p o i n t
C . i m p e d a n c e d i a g r a m ;
a n d i f t w o
c o n d u c t o r s
a r e o p e n e d ,
( a ) c o n d u c t o r
a
o p e n .
b y
i n s e r t i n g
t h e
z e r o a n d n e g a t i v e
p h a s e
s e r i e s
F a u l t c o n d i t i o n s : e b
=
e ,
=
0 , a n d i a
=
o i m p e d a n c e c i r c u i t s
i n
s e r i e s .
T h i s
i s
s e e n
b y
a d d i n g
F r o m
( l a ) , ( 1 0 a ) - ( 1 2 a )
( 5 8 )
a n d
( 5 9 )
a n d
s u b s t i t u t i n g
( 5 2 )
a n d
( 5 3 )
i n
t h e
s u m ,
t h e n t r a n s p o s i n g :
i a l
= -
( i a O +
i a 2 )
(52)
e a l
=
e a O
=
e a 2
( 5 3 )
e a i
=
Z 2
a l
( 6 0 )
l
z o + z 2
a
c
a n d w h e n
t w o
c o n d u c t o r s
a r e
o p e n ,
b y a n a l o g y
f r o m
a
a
l v e a x l
l a
s i n g l e l i n e - t o - g r o u n d
f a u l t , i t f o l l o w s
t h a t
. e b l
i b
e a i
=
( Z O
+
Z 2 )
i a l
( 6 1 )
b
(
c
- e c
i c
S i n g l e - P o l e
S w i t c h i n g
o n T w o
C i r c u i t s
S i m u l t a n e o u s l y .
T h e r e l a t i o n s
b e t w e e n
t h e c o m p o n e n t s
o f l i n e c u r r e n t
F I G .
9 - T H R E E - P H A S E L I N E
W I T H O N E
C O N D U C T O R
O P E N a n d t h e
c o m p o n e n t s
o f s e r i e s v o l t a g e s
a t
a
p o i n t
w h e r e
S H O W I N G
S E R I E S
V O L T A G E S U S E D
I N
A N A L Y S I S
a c o n d u c t o r i s o p e n
a r e
i n d e p e n d e n t o f t h e
r e s t o f
t h e
s y s t e m .
T h e s e
r e l a t i o n s a r e
g i v e n
i n
e q u a t i o n s
( 5 2 ) -
( b )
c o n d u c t o r
b
o p e n .
( 5 7 ) f o r c o n d u c t o r s
a ,
b , a n d c . By s u b s t i t u t i n g
a ,
F a u l t
c o n d i t i o n s :
e a = -
e ,
=
0 ,
a n d
i b = 0
3
a n d
y
f o r
a ,
b ,
a n d
c
r e s p e c t i v e l y ,
t h e
r e l a t i o n s
e x i s t -
F r o m ( 2 a )
a n d ( l 0 a ) - ( 1 2 a )
i n g
a t a
s e c o n d
p o i n t
o f
o p e n i n g
a r e
o b t a i n e d .
i a l
=
-
( a
i a O
+
a 2
i a 2 ) ( 5 4 )
I n b o t h t h e
z e r o a n d
n e g a t i v e p h a s e
n e t w o r k s
t h e r e
w i l l
b e
t w o s e r i e s
v o l t a g e s i n t r o d u c e d
b y t h e
o p e n i n g .
e a l
=
a
e a O
=
a 2 e a 2
( 5 5 )
I f t h e
z e r o
a n d
n e g a t i v e
p h a s e n e t w o r k s a r e
r e d u c e d t o
( c )
c o n d u c t o r
c o p e n .
t h e i r
s i m p l e s t
f o r m
c o n s i s t i n g o f t h r e e
b r a n c h e s
e a c h ,
By a n a l o g y
f r o m ( b )
a s
s h o w n
i n
F i g s .
1 O A
a n d
1 O B ,
t h e
i d e n t i t y
o f
t h e
i a l
= -
( a 2
i a O
+
a
i a 2 )
( 5 6 )
l i n e s i n
w h i c h t h e
c o n d u c t o r s
a r e
o p e n
b e i n g
p r e s e r v e d ,
e a i = a 2
e a o = a
e a 2
( 5 7 )
e q u a t i o n s c o n n e c t i n g
c o m p o n e n t s o f c u r r e n t
a n d
v o l t a g e
may
b e
w r i t t e n
t h u s
I t
i s
o f i n t e r e s t t o n o t e t h a t e q u a t i o n s ( 5 2 ) - ( 5 7 )
a r e
i d e n t i c a l
i n
f o r m w i t h
t h e e q u a t i o n s
g i v e n
i n
T a b l e
I ,
-
e a o
= i a O
( C o
+
S o )
+
i a O
S o
( 6 2 )
C
f o r
d o u b l e
l i n e - t o - g r o u n d
f a u l t s .
I n
a s i m i l a r
m a n n e r
- e a o =
i a O
s o
+
i a O
( d o
+
s o )
( 6 3 )
i t
may b e
s h o w n
t h a t
w h e n
t w o
c o n d u c t o r s
a r e
o p e n e d - e a 2
=
i a 2
( C 2
+
S 2 )
+
i a 2
e 2
( 6 4 )
t h e
r e s u l t i n g
e q u a t i o n s
b e t w e e n
c o m p o n e n t s
o f
s e r i e s
-
e a 2
=
i a 2
S 2
+
i a O
( d 2
+
S 2 )
( 6 5 )
v o l t a g e s
a n d
b e t w e e n c o m p o n e n t s
o f
l i n e
c u r r e n t s w i l l
b e
i d e n t i c a l
i n
f o r m w i t h
t h o s e g i v e n
i n
T a b l e I ,
A
f o r
a s
5 ) ,
( 6 ) , ( 1 0 ) ,
a n d
( 1 1 ) ,
a n d s i n c e
e q u a t i o n s
5 2 ) s
s i n g l e l i n e - t o - g r o u n d
f a u l t s .
( 5 )
( 6 ) ,
( 1 )
and
( o 1 )
a s i n e e q u a t i o n s
( 5 2 ) -
S e r i e s V o l t a g e s
a n d S e r i e s I m p e d a n c e s .
I t s h o u l d b e
( 5 7 )
h a v e
t h e same
f o r m a s t h e
e q u a t i o n s
o f T a b l e
I ,
n o t e d t h a t e a ,
e a o ,
e a i
a n d e a 2 a r e
s e r i e s
v o l t a g e s .
Du e
C O e a o
c 2
e a a
t o
t h e o p e n i n g ,
a s e r i e s
v o l t a g e , e a c ,
a p p e a r s
i n
t h e
z e r o
2
a
p h a s e
n e t w o r k a t p o i n t
C
a n d
a l i n e
c u r r e n t ,
i a O ,
w h i c h
m e e t s a
s e r i e s
i m p e d a n c e
z o .
L i k e w i s e t h e
s e r i e s
v o l t -
d o
e
/
d 2
e 2
A
a g e ,
e a 2 ,
a p p e a r s
i n
t h e
n e g a t i v e p h a s e
n e t w o r k a t
C
a n d
a l i n e c u r r e n t ,
i a 2 ,
w h i c h
m e e t s
t h e s e r i e s
i m p e d a n c e
Z 2 .
S
2 1 I
E x p r e s s e d
i n
e q u a t i o n s :
A
B
- i a
e ao
( 5 8 )
F I G .
1 O A - Z E R O PHASE
SEQUENCE
S E R I E S
E Q U I V A L E N T
C I R -
Z °
C U I T
F O R
TWO L I N E S
W I T H
CONDUCTORS
OPEN A T TWO P O I N T S
F I G . 1OB-NEGATIVE
PHASE
SEQUENCE
S E R I E S
EQUIVALENT
-
=ea2
= 59) C I R C U J I T
FOR TWO LINES WITH
CONDUCTORS
OPEN
A T
Tw o
POINTS
z2
w h e r e ~ ~
~0n - 2 a e t e s r e meacsfrtezr
C
f o r
d o u b l e l i n e - t o - g r o u n d
f a u l t s , i t
f o l l o w s
b y
a n a l o g y
a n d
neat v
p h a s n e w o k
r e p c i e y viwe f r o
f r o m
t h e w o r k o n
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s t h a t
t h e
p o s i t i v e
t h e p o i n t C .
s e r i e s v o l t a g e s
e a i a n d
e a o
a t p o i n t s
C a n d
D
r e s p e c -
S i n g l e - P o l e S w i t c h i n g
o n O n e C i r c u i t .
I t h a s
b e e n
t i v e l y ,
w h e n
o n e
c o n d u c t o r
i s o p e n
a t e a c h p o i n t
may
shown8~~
~
h t t e e f c ntepoiiepaecret
b e e x p r e s s e d i n
t e r m s
o f t h e p o s i t i v e p h a s e
l i n e
c u r r e n t s
a n d v o l t a g e s o f
t h e
s y s t e m o f o p e n i n g a s i n g l e
c o n d u c t o r
7 t a O
a n d
t
a l t h u s :
may
b e
r e p r e s e n t e d
b y
i n s e r t i n g
t h e z e r o
a n d
n e g a t i v e
e a i
= k
a l
±m'
i Q
( 6 6 )
p h a s e s e r i e s
i m p e d a n c e
c i r c u i t s v i e w e d
f r o m
t h e
o p e n -
e a o = n '
z i a
+
1
t c g I
( 6 7 )
Page 13
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 13/21
S e p t e m b e r
1 9 3 1
CLARKE:
SIMULTANEOUS F A U L TS ON THREE-PHASE SYSTEMS 9 3 1
w h e r e k ,
1 ,
m
a n d n ' a r e
f u n c t i o n s o f
c o , d o ,
s o y
c 2 , d 2
V r - V t
a n d
S 2 ,
t h e
b r a n c h e s o f t h e
s i m p l i f i e d
c i r c u i t s r e p r e s e n t -
Z r t
=
=
e q u i v a l e n t i m p e d a n c e s ( 6 9 )
i n g
t h e
z e r o
a n d n e g a t i v e
p h a s e n e t w o r k s ,
a n d
a r e
I a l
+
t a l
g i v e n i n
T a b l e
I I ,
G i f k , 1 , m
a n d n '
a r e s u b s t i t u t e d
V r
-
V t
=
Z c
i a l
+
e a l
( 7 0 )
f o r
k ,
1 ,
m , n
a n d
c o ,
d o ,
s o y
C 2 ,
d 2 a n d
S 2
f o r
C O ,
D o ,
S O ,
V r y - V =
Z d
t a l
± e a i
( 7 1 )
C 2 ,
D 2
a n d
S 2
r e s p e c t i v e l y .
?
Vt=Z
al+e,71
0 2 , u D i v a l n d t S
C i r e s p e c u i t i v R e p l y . n g O p e n n g s i n T w o S u b s t i t u t i n g
( 6 6 ) a n d
( 6 7 ) i n
( 7 0 ) a n d ( 7 1 ) , r e s p e c t i v e l y ,
E q u i v a l e n t
C i r c u i t s
R e p l a c i n g
O > p e m t n g s
i n
T w o V
V-(Z+k) *72
T r a n s m i s s i o n L i n e s i n
P o s i t i v e P h a s e
S y s t e m . T h e
Vr-
V t
( Z c
+
k )
a l
+
m i , l
( 7 2 )
e f f e c t
o f
a n o pe n i n g
i n
a c o n d u c t o r
i n
t h e p o s i t i v e p h a s e
V r - V t
= n '
i a l
+
( Z d
+
1 ) i
( 7 3 )
s y s t e m
i s t o
i n t r o d u c e
a s e r i e s v o l t a g e o p p o s i n g
t h e S o l v i n g ( 7 2 ) a n d ( 7 3 ) f o r
i a l
a n d
i
f l o w
o f
l i n e
c u r r e n t .
When
t h e r e a r e
t w o
o p e n i n g s ,
t w o
Z d
+
. I
m
s e r i e s
v o l t a g e s
w i l l
b e
i n t r o d u c e d ,
o n e a t
e a c h o p e n i n g ,
i a l
( Z c
+
k l ) ( Z d +
1 )
-
ml
n /
V r
-
V t )
( 7 4 )
t h e r e l a t i o n s
b e t w e e n t h e s e s e r i e s
v o l t a g e s
a n d t h e l i n e
c u r r e n t s
b e i n g g i v e n
b y e q u a t i o n s
( 6 6 ) a n d
( 6 7 ) .
. ±
k ' -n
E q u i v a l e n t
c i r c u i t s may
r e p l a c e t h e
t w o o p e n i n g s
j u s t
( Z c + k ' )
( Z d
+
1 )
-
mn
n
( V r
-
V)
( 7 5 )
a s
t h e y
may
r e p l a c e t h e
t w o s i m u l t a n e o u s
f a u l t s , b u t
s i n c e t h e s e
e q u i v a l e n t c i r c u i t s
a r e
t o b e
i n s e r t e d i n
A d d i n g ( 7 4 ) a n d
( 7 5 ) a n d s u b s t i t u t i n g
i n ( 6 9 )
s e r i e s w i t h
t h e
l i n e s
i n w h i c h
t h e
c o n d u c t o r s
a r e
o p e n
( Z
±
k ' ) ( Z d
+ 1 )
-
m n
t h e y
w i l l d e p e n d u p o n t h e
e n d c o n n e c t i o n s
o f t h e
l i n e s .
Z
_
( 7 6 )
When
t h e
l i n e s
a r e
b u s s e d
a t
o n e
e n d ,
a n d m a n d
n '
r t
Z c
+
Z d
+
k '
+
l ' -
m'-
-
)
a r e
e q u a l ,
a n
e q u i v a l e n t
Y h a v i n g
t h e b r a n c h
E q u a t i o n ( 7 6 )
g i v e s
t h e e q u i v a l e n t
i m p e d a n c e ,
Z r t ,
i m p e d a n c e s k '
-
m ,
1
-
m a n d m may
b e i n s e r t e d b y w h i c h
r e p l a c e s
t h e
t w o l i n e s b u s s e d a t b o t h
e n d s
e a c h
o p e n i n g
t h e l i n e s
a t t h e common
p o i n t
a n d
c o n n e c t i n g
h a v i n g
o n e c o n du c t o r
o p e n .
F i g .
1 1 B .
t h e b r a n c h k '
-
m
t o
t h e
l i n e i n
w h i c h t h e
o p e n i n g
o c c u r s a t C , t h e
b r a n c h
1 -
m t o t h e l i n e w i t h
t h e
z c
c
o p e n i n g
a t D
a n d
t h e
b r a n c h
m t o t h e common point.t
When m
a n d
n '
a r e
n o t e q u a l t h e
g e n e r a l
e q u i v a l e n t
R
i a i
e . ,
T
c i r c u i t
o r
t h e
a p p r o x i m a t e e q u i v a l e n t
c i r c u i t may b e
1 , 4 I 7 5 -
Z d
D
I R = a 1 I 1
R
ZrtaT
i n s e r t e d
i n
t h e
same
m a n n e r . T h e s e
c i r c u i t s
may
b e
e c , -
o b t a i n e d
f r o m
F i g s . 4
a n d
5 i f k ,
1 ,
m , n ,
I a l
a n d
I ,
a r e
ra
r e p l a c e d b y
k ' ,
1 ,
i n , n ' ,
i a l
a n d
i a l i
r e s p e c t i v e l y .
*
.
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ F I G .
1 A
AND F I G .
1 1 B - P O S I T I V E
PHASE
SEQUENCE
When
t h e
l i n e s
a r e
- n o t b u s s e d
a t e i t h e r
e n d
t h e
FI.1A
ND
IGIBPOTVE
HSE
EQNC
p o s i t i v e n c u r e n t s m a y r b e d e t e r m i n e d
a n a l y t i c a l y
n t
E Q U I V A L E N T
C I R C U I T S R E P L A C I N G Tw o
L I N E S B U S S E D
AT
BOTH
p o s i t i v e
c u r r e n t s may b e
d e t e r m i n e d a n a l y t i c a l l y
a s
E N D S , E A C H
H A V I N ( l
O N E C O N D U C T O R
O P E N
u n d e r t w o s i m u l t a n e o u s f a u l t s ,
r e m e m b e r i n g t h a t
t h e
v o l t a g e s a t C
a n d D
a r e s e r i e s
v o l t a g e s
a n d t h e c l u r r e n t s
S H O R T - C I R C U I T
A N D
S T A B I L I T Y
P R O B L E M S
a r e
l i n e
c u r r e n t s .
I n
t h e s p e c i a l
c a s e
w h e r e
m
a n d
n ' .
. .
a r e
e q u a l
t h e o p e n i n g s
i n
t h e t w o c o n d u c t o r s
may
b e
M e t h o d s h a v e
b e e n g i v e n f o r d e t e r m i n i n g
t h e c u r -
r e p l a c e d
b y
a
f o u r
t e r m i n a l m e s h
n e t w o r k
s i m i l a r
t o
r e n t s a n d v o l t a g e s
i n a l l p a r t s o f
t h e
s y s t e m d u r i n g
t h a t
s h o w n
i n
F i g .
1 7 B ,
A p p e n d i x
C . I f t e r m i n a l s
1 s i m u l t a n e o u s
f a u l t s
w h e n t h e r e a r e
a n y n u m b e r o f
a n d
2
a r e c o n n e c t e d a c r o s s t h e
o p e n i n g a t p o i n t C a n d
3
c o n n e c t e d m a c h i n e s .
F o r
p r a c t i c a l p r o b l e m s
i t
i s n o t
a n d
4
a c r o s s t h e o p e n i n g a t p o i n t
D ,
t h e
i m p e d a n c e s
o f
o r d i n a r i l y
r e q u i r e d
t o k n o w t h e e x a c t
c u r r e n t s
a n d
t h e s i x
b r a n c h e s
may
b e
d e t e r m i n e d f r o m
e q u a t i o n s
( i c ) v o l t a g e s
i n a l l
p a r t s
o f
t h e
s y s t e m
Z a ,
Z b
a n d
Z a b
b e i n g r e p l a c e d
b y
k ,
1 ,
a n d
m
F o r
s h o r t - c i r c u i t s t u d i e s w h e n a h i g h
d e g r e e o f p r e -
r e s p e c t i v e l y ,
c i s i o n
i s
n o t
r e q u i r e d , r e s i s t a n c e
a n d
c a p a c i t a n c e
a r e
W h e n t h e l i n e s
a r e b u s s e d
a t b o t h
e n d s
a
s i n g l e
n e g l e c t e d ,
a n d a l l
g e n e r a t e d
v o l t a g e s
a r e a s s u m e d
e q u a l
i m p e d a n c e
may
r e p l a c e
t h e l i n e s
w i t h t h e o p e n i n g s
i n
a n d i n
p h a s e .
t h e
p o s i t i v e p h a s e s y s t e m ,
F i g
1 1 .
I n
s t a b i l i t y
s t u d i e s
o n e
e q u i v a l e n t
m a c h i n e i s o f t e n
Equivalen
c
u s e d t o
r e p l a c e
s e v e r a l m a c h i n e s or
groups
o f m a c h i n e s ,
E q u i v a l e n t
c t r c u i t
r e p l a c i n g
i n
t h e
p o s i t i v e p h a s e
s y s t e m
41 .-41 ni n
I ri-nr
k
ani
s o
t h a t
t h e
n u m b e r o f
m a c h i n e s
i n v o l v e d
i n
t h e c a l c u -
t w p o
l i n e s
b u l s s e d
a t
b o t h
e n d s e a c h h a v i n g o n e c o n d u c t o r
o p e n .
L e t t h e
l i n e s
w i t h
t h e o p e n i n g s a t
C
a n d D , h a y -
lain
i s s m l l
I t i e e s r oko
h
eeae
i n
p o i t v
phs
i m e a c s b t e n t r i a s .
v o l t a g e s
o n a l l
m a c h i n e s
o r
e q u i v a l e n t m a c h i n e s i n
a n d Z d , r e s e c t v e l ,
b
b u s e d a t o i n s FandT. e t o r d e r
t o
c a l c u l a t e
t h e p o w e r
w h i c h
e a c h s e n ds
o u t o r
t h e
s u m o f
t h e
c u r r e n t s e n t e r i n g
t h e l i n e s a t
R a n d l
reevs
b u t i
o
eurdtoko
h
u r n s i
l e a v i n g t h m
a t
T b e r ,
a n d
l e t V r
a n d
V ~
e
t h e v o l t
p o w e r
i S
c a l c u l a t e d
f r o m v o l t a g e s , a n g u l a r
d i s p l a c e -
e a i n g t h e
a t T
b
I,an
l e V
n d
t
b
t h
V O t - m e n t s , a n d
i m p e d a n c e s .
I n
o r d e r t o
d e t e r m i n e
t h e
a g e s a t
R ?
a n d
T , r e s p e c t i v e l y , F i g .
1 1 A ,
s t a b i l i t y 7 8
o f
a
s y s t e m d u r i n g t r a n s i e n t c o n d i t i o n s t h e
T h e n
t r a n s f e r 8
i m p e d a n c e
b e t w e e n
t h e v a r i o u s
m a c h i n e s
I r
= i a
+
i a
( 6 8 )
b e f o r e ,
d u r i n g ,
a n d a f t e r t h e
d i s t u r b a n c e m u s t b e k n o w n ,
Page 14
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
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9 3 2
CLARKE:
SIMULTANEOUS F A U L TS
ON
THREE-PHASE SYSTEMS
T r a n s a c t i o n s
A . I . E . E .
a n d a l s o t h e
d r i v i n g p o i n t 8
i m p e d a n c e
o f e a c h m a c h i n e
E a ,
1 . 0 0
w h e n r e s i s t a n c e
i s t a k e n
i n t o a c c o u n t .
I h
=
I a l
+ I a l
=
E
0 + . 3 0
T h e way
i n w h i c h t h e a n a l y t i c a l m e t h o d s
d e v e l o p e d
j
0 . 3 4
+
j
0 . 7 2 7
j
1 . 0 6 7
i n
t h e p r e c e d i n g
p a r t o f
t h e p a p e r
may b e
a p p l i e d
t o V h
=
E a , - ( j
0 . 3 4 )
X
( - j
0 . 9 3 7 )
=
1 .
-
0 . 3 1 8 6
=
0 . 6 8 1
a c t u a l
p r o b l e m s i s s h o w n
i n
t h e t w o
e x a m p l e s g i v e n From
( 3 1 ) a n d ( 3 2 )
b e l o w .
P r o b l e m
I .
S h o r t - C i r c u i t
S t u d y .
S i m u l t a n e o u s
d o u b l e
I a l
=-
0 . 9 3 7
j
0 . 7 5
+
1
0 . 6 6
-
( 0 . 0 7 3 2
-
j
0 . 0 4 2 3 )
l i n e - t o - g r o u n d
f a u l t s o c c u r
o n t w o
c i r c u i t s ;
p h a s e s
j
3 . 0 9 8
a
a n d c
a r e
i n v o l v e d
a t p o i n t
C , a n d
p h a s e s
b
0 . 0 2 2 - j
0 . 4 3 9
a n d
c
( d
a n d
- y )
a t p o i n t
D .
F i n d
t h e
c u r r e n t s
i n
t h e
0 . 0 2
-
i
0 . 4 3 9
s i x
c o n d u c t o r s
i n
p e r u n i t ' n e g l e c t i n g
r e s i s t a n c e
a n d
I0_
0 . 9 3 7
j l . 0 6
± j 0 . 5 4 3 - ( - 0 . 0 7 3 2 - j 0 . 0 4 2 3 )
a s s u m i n g
n o - l o a d e x c i t a t i o n s
o n a l l s y n c h r o n o u s
j
3 . 0 9 8
m a c h i n e s .
=
-
0 . 0 2 2
-
j
0 . 4 9 8
F i g .
1 2 A
g i v e s t h e
s i m p l i f i e d p o s i t i v e
p h a s e d i a g r a m
o f
t h e s y s t e m .
S i n c e
t h e c u r r e n t s
i n
t h e
f a u l t e d
l i n e s
a r e
From e q u a t i o n s
( 2 2 )
a n d
( 2 3 )
t h e
o n l y
o n e s
r e q u i r e d ,
t h e
r e s t o f
t h e s y s t e m
h a s b e e n
V a i
=
0 . 6 8 1
-
( 0 . 0 2 2 1
-
j
0 . 4 3 9 )
( j
1 . 0 6 )
r e d u c e d
t o
a n
e q u i v a l e n t
g e n e r a t o r v i e w e d
f r o m H ,
= 0 . 2 1 6
-
j
0 . 0 2 3
w i t h t r a n s i e n t
r e a c t a n c e
X d '
=
0 . 3 4
a n d
e x c i t a t i o n
V
=
6 8 1
0 . 0 2 2 1
j
0 . 4 9 8 )
( j
0 . 7 5 )
E a l
=
1 . 0 0 . N e g a t i v e
p h a s e i m p e d a n c e s
a r e
t a k e n
a 0 . 0 2
. 4
(0
e q u a l
t o
p o s i t i v e
p h a s e
i m p e d a n c e s ,
F i g .
1 2 c .
T h e
=
0 . 3 0 8
+
j
0 . 0 1 6
z e r o
p h a s e
i m p e d a n c e
b e t w e e n C a n d t h e
z e r o
p o t e n t i a l
From
T a b l e I , C ( b )
a n d C ( a )
p o i n t ,
S ,
i s
0 . 9 0 4 a n d b e t w e e n
D
a n d
S i s
1 . 8 0 , a n d
t h e r e
V a o
= a 2 V a i
- 0 . 1 2 8
- j
0 . 1 7 5 5
i s
n o
m u t u a l b e t w e e n
t h e
t w o c i r c u i t s , F i g .
1 2 B .
V a 2
=
a
V a l
0 . 0 8 8
+
j
0 . 1 9 8 5
S i n c e t h e
z e r o
a n d
n e g a t i v e p h a s e
d i a g r a m s
a r e
V a O
=
V a 2
=
0 . 0 8
+ j
1 9
a l r e a d y
i n
s i m p l e s t
f o r m t h e
i m p e d a n c e s
o f
t h e
b r a n c h e s
V a 0 = V a 2
= V a i = 0 . 3 0 8
+j
. 0 1 6
o f
t h e
Y ' s may b e
t a b u l a t e d :
S O
=
0
C O
=
0 . 9 0 4
D o
= 1 . 8 0
E a
S
S 2
=
i
0 . 3 4
C 2
= 1 j . 0 6
D 2
=
j 0 . 7 5
1 0 . 3 4
1 0 . 3 4
S u b s t i t u t i n g
t h e s e
b r a n c h
i m p e d a n c e s
i n
T a b l e I I
H
G
( b ) ,
k ,
1 ,
man d
n w i l l be
c a l c u l a t e d .
16
0.75 Co=
jO904
D
= 8 D 2 = 1
2
0 . 7 5
Z 2 2
=
j
1 . 0 6
X
j
0 . 3 4
j
1 . 0 6
X
j
0 . 7 5
A B
C
+
j
0 . 3 4
X
j
0 . 7 5
= -
1 . 4 1 0
Z o o
=
j
0 . 9 0 4
X
j
1 . 8 0
=
- 1 . 6 2 7
F I G .
1 2
Z c d s
=
j
1 . 9 6 4
X
j
2 . 5 5
+
j
1 . 9 6 4
X
j
0 . 3 4
A-POSITIVE
PHASE
S E Q U E N C E
DIAGRAM
F OR
PROBLEM
I
+
j
2 . 5 5
x
j
0 . 3 4
= -
6 . 5 4
B-EQUIVALENT
Y FOR ZERO
PHASE
S E Q U E N C E
DIAGRAM
3
SO S2
=
0
C-EQUIVALENT
Y F OR NEGATIVE
PHASE
SEQUENCE
D I A G R A M
-
1 . 4 1 0
x
j
0 . 9 0 4
-
1 . 6 2 7 x
j
1 . 4 0
k
=
-
6 . 5 4
=
1
0 . 5 4 3
From
F i g .
1 2 B a n d
e q u a t i o n s
( 5 )
a n d
( 6 )
-
1 . 4 1 0
x
j
1 . 8 0
- 1 . 6 2 7
x
j
1 . 0 9
=
. 6 6 0
= -
1
V0 = 0 . 1 9 4 - 1
0 . 1 4 2
6.540.4
a 2
X
j
0 . 3 4
X
( - 1 . 6 2 7 )
a
0 1 8 0 =
009+j0.171
M65=
. 0 7 3 2
- 1 j 0 . 0 4 2 3 1 . 8
- 6 . 5 4
From
F i g .
1 2 c
a n d
e q u a t i o n s
( 1 2 )
a n d
( 1 3 )
n=
a
X
j
0 . 3 X 5 4 *
)=
-
0 . 0 7 3 2
-
j
0 . 0 4 2 3
I a 2
=-(-0.088
+
j
0 . 1 9 8 5 )
-
1 . 4 1 0
I n t h e p o s i t i v e
p h a s e d i a g r a m t h e e q u i v a l e n t
c i r c u i t
1
0
3 4
f o r t w o
u n l o a d e d
f e e d e r s
r a d i a t i n g
f r o m t h e s a m e p o i n t
+ ( 0 . 3 0 8
+
1
0 . 0 1 6 )
-
1 4 1 0
=
-
0 . 1 5 0 - j 1
0 . 1 4 2
H ,
may b e u s e d
a n d
Z h g
c a l c u l a t e d
f r o m
e q u a t i o n
( 3 3 ) .
( j
1 . 0 6
+
1
0 . 5 4 3 )
( j
0 . 7 5
+
1
0 . 6 6 0 )
±
0 . 0 0 7
1
. 3 4 0 0 8
j01 95
Z h
j 1 . 0 6
+
1
0 . 5 4 3
+
1
0 . 7 5
+
1
0 . 6 6 0
+
1
0 . 8 4 6
I
.8 018 -
1 . 4 1 0
1
3 . S 0 9 8
=
j
0 . 7 2 7
- ( 0 . 3 0 8 +
j
0 . 0 1 6 )
- 1 . 4 1 0
= 0 . 0 3 2 +
1
0 . 3 2 7
Page 15
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 15/21
S e p t e m b e r
1 9 3 1
CLARKE:
SIMULTANEOUS
FAULTS
ON
THREE-PHASE
SYSTEMS
9 3 3
S u b s t i t u t i n g t h e
c o m p o n e n t
c u r r e n t s
i n
e q u a t i o n s
( l a )
S u b s t i t u t i n g t h e s e v a l u e s i n T a b l e I I , E ( b ) .
- ( 3 a ) , t h e l i n e
c u r r e n t s
a r e
d e t e r m i n e d .
k
= j 0 . 4 7 1 6
I a
=
0 . 0 6 6
-
j 0 . 7 2 3
1
=
j
0 . 4 7 1 6
I b
=
0
m
=
-0.1067-j
0 . 0 6 8 3
I C
=
0 . 5 1 5
+
j
0 . 2 9 8
n
=
0 . 1 0 6 7
-
j
0 . 0 6 8 3
I a
=
0
1 I
=-0 . 7 2 9
+ j
0 . 3 0 3
G e n e r a t o r
I , y
=
0 . 7 0 1
+ j 0 . 2 1 0
=
0 . 3 0
I f
t h e
a p p r o x i m a t e
e q u i v a l e n t
c i r c u i t , F i g . 5 , i s u s e d
2 = 0 . 4 0
i n
t h e p o s i t i v e
p h a s e
d i a g r a m ,
F i g . 1 3
w o u l d r e s u l t .
A
A
s
s
j O . 2 0
i
0 . 2 0
j 0 . 2 0
j
0 . 2 0
E a = 1 . 0 0
T
l0D,
4 h 4 t 0 . 3 1
O S t050 :^
t j O . 2 0
0 j . 2 0
h i
0 O . 3 4
i
0 . 5 0
i
0 . 5 0
j 0 . 6 0
~~
j . 6 0
j
1 0 6
0 .
7 5 1
1 1
1
C
l o c
I
j O 0 . 2 0
j
0 . 2 0
j 0 0 O 0 . 2 0 j l . 4 0
j l . 4 0
i
O . O 4 3
IiIo
1j
0 4 2 3
+
1 a
I
I = x
_ 2 = 0 . 0 5
F I G .
13-APPROXIMATE
POSITIVE
PHASE
SEQUENCE
DIAGRAM
FOR
PROBLEM I
M o t o r
A
B
F r o m
F i g .
1 3 ,
I h
= -
0 . 9 3 5 ,
I a l
-
j
0 . 4 3 8 ,
s
E
I Y
= -
j
0 . 4 9 7 .
T h e s e v a l u e s c h e c k t h o s e
o b t a i n e d
b y t h e
e x a c t m e t h o d
v e r y
c l o s e l y ,
a n d
t h e l i n e
c u r r e n t s
s 0
O 0 - 0 0 6 6
c a l c u l a t e d
b y u s i n g
t h e a p p r o x i m a t e
e q u i v a l e n t
c i r c u i t
0 . 3 0
w o u l d
d i f f e r
v e r y
l i t t l e f r o m
t h o s e
g i v e n
a b o v e .
0175
0 . 1 7 5
'
P r o b l e m I I .
T r a n s f e r
I m p e d a n c e s ( f o r
S t a b i l i t y
c
C O
o
D
1 0 . 1 0
S t u d y ) .
F i n d
t h e
t r a n s f e r
i m p e d a n c e
b e t w e e n
t h e
c
j O . 1 9 5
g e n e r a t o r G .
a n d t h e
e q u i v a l e n t m o t o r ,
M ,
i n
F i g . 1 4 A
w i t h
s i m u l t a n e o u s l i n e - t o - g r o u n d
f a u l t s
a t
p o i n t s
C
a n d
1 0 . 4 0
G
D ,
c o n d u c t o r b
b e i n g
g r o u n d e d
a t
C
a n d a
a t
D . F i n d
a l s o
t h e t r a n s f e r
i m p e d a n c e w h e n
c o n d u c t o r s b a n d
a
s
0 . 5
. 0 4
a r e
o p e n .
R e a c t a n c e s
a r e
g i v e n
i n
p e r
u n i t
o n
t h e
g e n e r a t o r
b a s e . T r a n s f o r m e r s
a r e
A - Y , s o l i d l y
g r o u n d e d
2
j 0 . 1 3
0 . 0 6
o n
t h e
h i g h
s i d e s . T h e
f o u r t r a n s m i s s i o n
l i n e s
a r e
o n
P
d o u b l e - c i r c u i t
t o w e r s , w h i c h
a r e
n o t
o n
t h e s a m e
r i g h t -
0
0 . 1 6
o f - w a y ,
a n d h a v e
l i g h t
s t e e l
g r o u n d w i r e s . P o w e r
i s
D
E
d e l i v e r e d
a t
t w o
p o i n t s ,
B
a n d
E ,
t o a
s y s t e m
w h i c h h a s
b e e n
r e p l a c e d b y
a n
e q u i v a l e n t
m o t o r ,
M ,
a n d t w o F o G . 1 4
i m p e d a n c e s .
A-SIMPLIFIED
S Y S T E M
DIAGRAM
F O R
PROBLEM
I I A
T h e
n e g a t i v e
p h a s e
r e a c t a n c e s
o f
t h e
s y s t e m
h a v e
b e e n
i n d i c a t e d
o n
F i g .
1 4 A
w h e n
t h e y
d i f f e r
f r o m
t h e
p o s i t i v e
p h a s e
v a l u e s .
T h e z e r o
p h a s e
d i a g r a m
h a s
C - E Q U I V A L E N T
Y F O R
Z E R O
P H A S E S E Q U E N C E
D I A G R A M
b e e n
c o n s t r u c t e d ,
F i g .
1 4 B ,
u s i n g
t h e
a v e r a g e
z e r o D - E Q U I V A L E N T Y F O R N E G A T I V E P H A S E
S E Q U E N C E
p h a s e
l i n e
a n d m u t u a l r e a c t a n c e s
g i v e n i n A p p e n d i x C .
D I A G R A M
( a )
T r a n s f e r impedance
b e t w e e n G an d M w i t h
E EQUIVALENT P O S I T I V E P H A S E
S E Q U E N C E
DIAGRAM
W I T H
f a u l t o n . T h e n e g a t i v e a n d z e r o
d i a g r a m s
r e d l u c e d
toLIEANFUTSRPCDBYQIVETY
e q u i v a l e n t
Y ' s a r e
s h o w n
i n
F i g s . 1 4 c
a n d
1 4 D , r e s p e c -
Th t w
f als w t
h ie
pnwihte
c u
t i v e l y . m a b e r p a e b y a e q i a e t Y F i . 8 , h v n
T a b u l a t i n g
t h e b r a n c h i m p e d a n c e s o f
t h e s e equiva-maberpcdbyneqilntYFg.8,hvg
l e n t
Y ' s :
t h e
b r a n c h i m p e d a n c e s
C0
= j O 0 . 1 7 5
D o
= j 0 . 1 7 5
S 0
= 5 j 0 . 0 0 6 6
Z r p
=
2
= j
0 . 1 0
C 2
= j O 0 . 1 6
D 2
= j O 0 . 1 6 5 2
=
j O 0 . 1 3
Page 16
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 16/21
9 3 4 CLARKE:
SIMULTANEOUS
F A U LTS
ON THREE-PHASE
SYSTEMS T r a n s a c t i o n s
A .
I . E .
E .
b
l i n e s
w i t h t h e
t w o
o p e n
c o n d u c t o r s
may
b e
o b t a i n e d .
Z t , =
2
=
j
0 . 4 0
Z ,
a n d
Z d
a r e
t h e p o s i t i v e
p h a s e
r e a c t a n c e s
o f t h e t w o
2~~~~~~~~
l i n e s .
-
. 1 6
X j . 8 0 6 6
+ 2
X
j
1 . 0 0
X
( - 0 . 2 0 6 3 )
Zc=
=
Z d
1 . 0 0
z p
=
~
= j O . 1 9 5
S p g
-
0 . 6 4 + 2
x
j
1 . 0 0
x
j
1 . 0 8 0
j j 0 9
j
1 . 7 9 9
x
j
1 . 7 9 9
+
0 . 0 1 1 9
I n s e r t i n g
t h i s
e q u i v a l e n t
Y
i n
t h e
p o s i t i v e
p h a s e
Z r t
=
j
3 . 5 9 8
+
j
0 . 2 1 7
0 . 8 4 0
d i a g r a m ,
F i g .
1 4 E i s o b t a i n e d ,
f r o m w h i c h t h e t r a n s f e r
I f t h e
i m p e d a n c e
Z .
i s i n s e r t e d
i n
t h e
p o s i t i v e
p h a s e
i m p e d a n c e ,
Z 1 2 , b e t w e e n
E 1 a n d
E 2 i s r e a d i l y d e t e r m i n e d
d i a g r a m
t o
r e p l a c e
t h e t w o l i n e s w i t h
t w o c o n d u c t o r s
Z 1 2
=
j 1 . 0 5 2
o p e n ,
F i g .
1 5 c
i s
o b t a i n e d ,
f r o m w h i c h t h e t r a n s f e r
( b )
T r a n s f e r
i m p e d a n c e
b e r w e e n
G a n d M
w i t h
t w o
i m p e d a n c e ,
Z 1 2 ,
b e t w e e n
E 1
a n d
E2may
b e
c a l c u l a t e d .
c o n d u c t o r s
o p e n .
F i g s .
1 5 A a n d
B s h o w
t h e z e r o
a n d
Z 1 2
=
0 . 7 9 8
n e g a t i v e
p h a s e
n e t w o r k s
r e s p e c t i v e l y
r e d u c e d t o t h e i r
s i m p l e s t
s e r i e s
i m p e d a n c e
d i a g r a m s , t h e
i d e n t i t y o f
ACKNOWLEDGMENT
t h e l i n e s
w i t h
t h e
o p e n c o n d u c t o r s
b e i n g
p r e s e r v e d .
T h e a u t h o r
w i s h e s
t o
e x p r e s s
h e r a p p r e c i a t i o n
o f t h e
I f
C o 2 ,
D o , S O ,
C 2 ,
D 2
a n d
S 2
a r e
r e p l a c e d
b y
c o ,
d o ,
s o ,
a s s i s t a n c e
g i v e n
b y M r . H .
W .
B i b b e r i n
c h e c k i n g
t h e
c 2 ,
d 2
a n d
r e s p e c t i v e l y ,
k , 1 ,
m
a n d
n '
ma y
b e c a l c u -
t h e o r y
a n d
m a t h e m a t i c s
o f t h e
p a p e r
a n d
f o r
h i s m a n y
l a t e d f r o m T a b l e I I ,
G ( b ) .
h e l p f u l
s u g g e s t i o n s
i n
r e g a r d
t o
t h e
a r r a n g e m e n t
o f
e a ,
,
m a t e r i a l .
j l . 6 0
1 6 0
A p p e n d i x
A
s o
D o
E
F u n d a m e n t a l
S y m m e t r i c a l
C o m p o n e n t
E q u a t i o n s : 2
1
. 9 0
1 0 . 3 0
I a
=
l a O
+
I a l +
I j 2
( l a )
A
A
I b
=
I a O
a 2
I a l +
a
I 2
( 2 a )
e 2 2
U 2
j O . 8 4
I c
=
I a O
+
a
I a l
a 2
I a 2
( 3 a )
.B
V a =
V a O
+
V a l +
V a 2
( 4 a )
e , x 2
D
2
/055
0 . 4
Vb
=
VaO
+ a 2
Val
+a
Va2
(5a)
0
. 0 6
S 2 j l . O O
V C
V a O
+ a
V a l
+ a 2
V a 2
( 6 a )
i U . 2 8 7 5
E
2
B
FG
I a O
=
3
( I a + I b
+
I c )
( 7 a )
F I G .
1 5 3
A- ZERO
PHASE
SEQUENCE
S E R I E S
DIAGRAM
F O R PROBLEM
I l b
1
B-NEGATIVE PHASE
SEQUENCE
S E R I E S
DIAGRAM
F OR
I a l
= 3
( I a
+
a I l
+
a 2
I C )
( 8 a )
PROBLEM I l b
C-POSITIVE
PHASE
SEQUENCE
DIAGRAM
WITH L I N E S
1
C O N T A I N I N G
OPEN
C O N D U C T O R S
REPLACED
BY
SINGLE
I a 2
=
3
( I a
+
a 2
I b +
a
I c )
( 9 a )
IMPEDANCE
c O
=
j
1 . 6 0
d o
=
j
1 . 6 0
S O
=
j
0 . 9 0
Va0=
( l O a )
C 2
=
j
1 . 0 0
d 2
=
j
1 . 0 0 S 2
=
j
0 . 2 8 7 5
Z o o
=
c o
d o
+
c o
s o
d o
s o
=
- 5 . 4 4 1
Z 2 2
=
C 2
d 2
+ C2S2+
d 2 s 2
= - 1 . 5 7 5
V a 1
3
(Va+aV6±a2VC)
( l a )
Z c d ,
=
j
2 . 6 0
X
j
2 . 6 0
+
j
2 . 6 0 x
j
1 . 1 8 7 5
+
j
2 . 6 0
X
i
1 . 1 8 7 5
= - 1 2 .9 3 5
V a 2 =
3
( V a + a 2 V b
+
a
V c )
( 1 2 a )
3 s 0
S 2 =
3
X 1 j 0 . 9 0
X j O 0 . 2 8 7 5
= - 0 . 7 7 6
Z e d ,
+ 3
S0 S2 = - 1 3 . 7 1
W h e r e
k ' = j O . 7 9 9
a1
.0/10
1a
1
= 1 j
0 . 7 9 9
2 + j
2
=
l . o
/ 1 2 0 °
( 1 2 a )
A =
0 . 0 0 9 3 A - A
0 . 1 0 8 6
n l
= 0 . 0 0 9 3 - 1 0 . 1 0 8 6
a2=-
1
-
_ _-/1 . 0 0
/ 2 4 0 °
=
1 . 0 0
/-120°
S u b s t i t u t i n g
t h e s e v a l u e s
o f k ' ,
l ,
i n , n ' i n e q u a t i o n
2
-
( 7 6 )
t h e v a l u e
o f
t h e
i m p e d a n c e ,
Z r ,
t o
r e p l a c e
t h e
t w o
( 1 4 a )
Page 17
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
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S e p t e m b e r
1 9 3 1
CLARKE:
SIMULTANEOUS FAULTS
ON THREE-PHASE
SYSTEMS
9 3 5
N O T A T I O N
F r o m ( 7 a ) , ( 8 a ) a n d
( 9 a ) :
I a ,
I b a n d
I ,
a r e t h e
t h r e e l i n e
c u r r e n t s
a t a n y
p o i n t
I b
a
I b
a 2 I b
o f
t h e
s y s t e m .
I a o
=
3
,
I a l =
3
,
I a 2
=
3
V a ,
V b
a n d
V ,
a r e t h e t h r e e
v o l t a g e s t o g r o u n d
a t a n y
. I a O
=
a 2
I a l
o r
a
I a o
I a l
p o i n t
o f t h e
s y s t e m .
a n d I a 2
=
a l a a
o r a 2
I a 2
I a l
I a l
I b l
a n d
I , ,
a r e
t h e
p o s i t i v e p h a s e
s e q u e n c e c u r r e n t s
i n
t h e
t h r e e c o n d u c t o r s .
By
d e f i n i -
B .
i n e - t o - L i n e F a u l t s .
t i o n t h e s e c u r r e n t s
a r e
e q u a l
i n
m a g n i -
F a u l t
o n
p h a s e s
a
a n d b ,
F i g .
1 6 B
t u d e a n d
I a l
l e a d s I b l b y
1 2 0 d e g .
a n d
F a u l t
c o n d i t i o n s :
I ,
= 0 , I b = - I a
a n d
V a
= V b .
I , ,
b y
2 4 0
d e g .
F r o m ( 7 a ) :
I a O
=
0
I a 2 I b 2
a n d
I c 2
a r e t h e
n e g a t i v e
p h a s e
s e q u e n c e
c u r - I a
( 1
-
a )
r e n t s
i n
t h e t h r e e
c o n d u c t o r s .
By
F r o m
( 8 a ) :
I a l =
3
d e f i n i t i o n t h e s e
c u r r e n t s a r e
e q u a l i n
m a g n i t u d e
a n d
I a 2
l e a d s I h 2
b y
1 2 0
I a ( 1
-
a 2 )
d e g .
a n d I b 2 b y 2 4 0
d e g .
F r o m
( 9 a ) :
3 a 2
=
3
I a o ,
I b O a n d
I , o
a r e
t h e z e r o p h a s e s e q u e n c e
c u r r e n t s i n
* t h e t h r e e c o n d u c t o r s .
B y d e f i n i t i o n
-
1
-
2
I
t h e s e
c u r r e n t s
a r e
e q u a l
i n
m a g n i t u d e
1a 2
1
-
a
a n d
i n
p h a s e .
N o t a t i o n f o r c o m p o n e n t s
o f
v o l t a g e
c o r r e s p o n d s t o t h a t
a
f o r
c o m p o n e n t s
o f
c u r r e n t s .
b
a
A p p e n d i x B
C
R E L A T I O N S
BETWEEN
THE C O M P O N E N T S
OF
C U R R E N T
AND
OF
V O L T A G E
AT A
S I N G L E
F A U L T FOR
V A R I O U S
T Y P E S OF F A U L T
a
L e t
I a ,
I b
a n d
I ,
b e
t h e c u r r e n t s
f l o w i n g i n t o
t h e f a u l t
b
a
f r o m
l i n e s
a ,
b
a n d
c
r e s p e c t i v e l y ,
a n d
V a ,
V b a n d V C
t h e
v o l t a g e s
t o
g r o u n d
o f
p h a s e s
a ,
b
a n d c
r e s p e c t i v e l y ,
c
b
i >
a l l
a t
p o i n t
o f
f a u l t ,
C .
C '
When a g r o u n d
o c c u r s
o n
a
t h r e e - p h a s e s y s t e m
t h e
B
c
c o n d u c t o r s
w h i c h
b e c o l n e
g r o u n d e d
h a v e z e r o
v o l t a g e
F I G . 1 6
t o
g r o u n d
a n d
t h e c o n d u c t o r s w h i c h a r e n o t
i n v o l v e d
h a v e
zero c u r r e n t
f l o w i n g
i n t o t h e f a u l t .
When
t h e
A - - C U R R E N T S
F L O W I N G I N T O
S I N G L E
L I N E - T O - G R O U N D FAULT
f a u l t
i s
b e t w e e n
c o n d u c t o r s
a n d
n o t
t o
g r o u n d , v o l t a g e s
B - C U R R E N T S
F L O W I N G I N T O L I N E - T O - L I N E
F A U L T
t o
g r o u n d
o n
t h e
f a u l t e d
c o n d u c t o r s
a r e
e q u a l
a n d
t h e
C - C U R R E N T S
F L O W I N G
I N T O
D O U B L E
L I N E - T O -
G R O U N D
s u m
o f
t h e
c u r r e n t s
f l o w i n g
i n t o
t h e
f a u l t i s z e r o . T h u s F A U L T
t h r e e
e q u a t i o n s may
b e
w r i t t e n i n
t e r m s
o f
a c t u a l c u r -
r e n t s
o r
v o l t a g e s ,
w h i c h w h e n
u s e d
w i t h
t h e f u n d a -
F r o m
( 4 a )
a n d
( 5 a ) :
m e n t a l
e q u a t i o n s
( l a ) - ( 1 2 a )
o f
A p p e n d i x
A
p e r m i t
Va-
V b
=
( 1 -
a 2 ) V a l
( 1 -
a )
V a 2
=
0
z e r o
a n d
n e g a t i v e p h a s e
c u r r e n t s
a n d
v o l t a g e s
t o b e
1-
a 2
e x p r e s s e d
i n
t e r m s
o f
p o s i t i v e
p h a s e
c u r r e n t s
a n d
v o l t -
* a
V a 2
=-
1a
V a l
=
a 2
V a l
o r
V a l
= a
V a 2
a g e ,
r e s p e c t i v e l y .
I n
t h e s e
f u n d a m e n t a l
e q u a t i o n s p h a s e
a
i s
t a k e n a s
C . D o u b l e L i n e - t o - G r o u n d
F a u l t .
r e f e r e n c e
p h a s e ,
a n d t h e
c u r r e n t s
a n d
v o l t a g e s
o f
p h a s e s
F a u l t o n
p h a s e s a
a n d c , F i g .
1 6 c
b a n d
c
a r e
e x p r e s s e d
i n
t e r m s
o f
t h e
s y m m e t r i c a l
F a u l t c o n d i t i o n s : V a =
V ,
=
0 a n d
l b
=
0 .
c o m p o n e n t s
o f p h a s e a .
F ~ r o m
( 2 a ) l b
= l a o + a 2 I a l
±
a l I a 2
=
0
N e g a t i v e
a n d z e r o p h a s e v o l t a g e s a n d
c u r r e n t s
w i l l
be*I-
I 2 I
e x p r e s s e d
i n t e r m s o f
p o s i t i v e
p h a s e v o l t a g e s a n d
c u r -
. . I a l
= - - ( a l a O
±
a
I a I )
r e n t s
r e s p e c t i v e l y f o r t y p i c a l f a u l t c o n d i t i o n s .
F r o m ( l O a ) ,
( l l a ) ,
( 1 2 a ) :
A .
i x n e - t o - g r o u n d
F a u l t . V a O
=
V b
a
bl
a=
b
V 2
F a u l t
o n p h a s e b , F i g . 1 6 A 3 V a
F a u l t
c o n d i t i o n s :
I a
=
I c
=
0
a n d V b
=
0 .
. - .
V a 0
=
a 2
V a i
o r
V a 1
=
a
V a 0
F r o m
( 5 a ) : V a 1 = - (a V a o + a 2 V a 2 )
a n d
V a 2 =
a
V a 1 o r V a 1 =
a 2 V a 2
Page 18
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 18/21
9 3 6
CLARKE:
SIMULTANEOUS FAULTS
ON
THREE-PHASE
SYSTEMS T r a n s a c t i o n s A . I . E . E .
D . T h r e e - P h a s e
F a u l t .
Z a
Z b - Z a b 2
( a ) C o n d u c t o r s
n o t
g r o u n d e d .
Z 1 3
=
Z 2 4
Z b
= i l m p e d a n c e
b e t w e e n
p o i n t s
F a u l t c o n d i t i o n s :
Va=Vb=Vc
a n d
I a + I b + I c = O
1
a n d
3 a n d
b e t w e e n
From
( 7 a ) :
l a O
=
0
p o i n t s 2 a n d
4 .
From
( l l a ) :
V a l
=
0
Z a Z b
-
Z a b 2
From
( 1 2 a ) : V a 2
=
0
Z 1 4 =
Z 2 3
-
Z a b
=
i m p e d a n c e
b e t w e e n
a b
C o d c o s g o p o i n t s
1
a n d
4
a n d
( b )
C o n d u c t o r s
g r o u n d e d .
b e t w e e n
p o i n t s
2
F a u l t
c o n d i t i o n s : V a
=
V b
=
V c = 0 a n d 3 .
From ( l O a ) : V a 0
=
0
( I c )
From ( I l a ) :
V a l
=
0
E q u a t i o n s ,
( 1 c ) ,
w e r e d e r i v e d b y a n a l o g y f r o m s i m i -
From ( 1 2 a ) : V a 2
=
0
l a r e q u a t i o n s
f o r
t h e e q u i v a l e n t
c i r c u i t o f
a
t w o w i n d i n g
A p p e n d i x
C
t r a n s fo r m e r g i v e n
b y M r . G e o r g e A . C a m p b e l l
i n
C i s o i d a l O s c i l l a t i o n s , p .
8 9 0 , P r o c . A . I . E .
E . ,
1 9 1 1 .
Z E R O
P H A S E
E Q U I V A L E N T
C I R C U I T S FOR
Tw o
P A R A L L E L ( b )
Tw o
L i n e s
b u s s e d
a t
b o t h e n d s .
I f
t w o
p a r a l l e l
T R A N S M I S S I O N
L I N E S
l i n e s a r e
b u s s e d
a t b o t h
e n d s t h e
e q u i v a l e n t
c i r c u i t
o f
I t w i l l
b e
a s s u m e d
t h a t t h e
c o n d u c t o r s
o f a l l
c i r c u i t s
F i g .
1 7 B r e d u c e s t o a
s i n g l e i m p e d a n c e
b r a n c h
Z e
w h e r e
a r e
c o m p l e t e l y t r a n s p o s e d ,
s o
t h a t
t h e s a m e
i m p e d a n c e
1
Z a
Z b
- Z a b 2
i s o f f e r e d
t o
z e r o
p h a s e
c u r r e n t s
b y
e a c h
o f
t h e
t h r e e
Z e
=
1
1
1
1
Z a
±
Zb
2
Z a b
c o n d u c t o r s
o f
a n y
c i r c u i t .
+
+
+
Z 1 2
Z 1 4
Z 2 3 Z 3 4
1
L i n e
A 2 ( 2 c )
l a
I f
Z a
=
Z b
L i n e B
3
I b
4
Z a
+Zab
A b
4 Z e
2
( 3 c )
2 1 2 2
2
-7,
1 2
a
Neglecting
R e s i s t a n c e
7
14
a
~ ~ 2 1 2
b
i e
X a
+
X a b
( c
z 1 3
_ s
C Z 2 4 J Z
1 3
1 , 3
- , U A -
Z 3 = 1 4
\
7
Z =
b - Z a b
( c )
T w o
L i n e s
b u s s e d
a t o n e
e n d
b u t
n o t a t t h e
o t h e r .
30_
2
4
I f
t h e
l i n e s
a r e
b u s s e d
s o
t h a t
p o i n t s
1 a n d
3
a r e
t o g e t h e r
l b
B
l b
C
4
F i g . 1 7 B
b e c o m e s
a
A
c o n n e c t i n g
p o i n t s 1 , 2 a n d
4 ,
F I G . C 1 7
w h i c h
may
b e c o n v e r t e d i n t o a Y ,
F i g .
1 7 c
h a v i n g
F I G . 1 7
b r a n c h i m p e d a n c e s
Z 1 ,
Z 2
a n d
Z 4
w h e r e
A-PARALLEL
TRANSMISSION
L I N E S
HAVING IMPEDANCE
Z a
Z 1
=
Z a b
AND
Z b
AND
M U T U A L
Z a b
Z 2
=
Z a - Z a b
( 5 C )
B-EQUIVALENT
C I R C U I T
TO
REPLACE
THE Two
PARALLEL
Z 4
= Z b
Z a b (
L I N E S
BETWEEN
TERMINALS
1 ,
2 ,
3
AND 4
CEU
T C I R C U I T
T o
R E P L A C E
Tw o
P A R A L L E L L I N E S
T h i s
c a s e may
b e
e x t e n d e d
t o
i n c l u d e
p a r a l l e l
l i n e s
B U S S E D
A T ONE
E N D
BUT
NOT
A T THE O T H E R
w h i c h a r e b u s s e d t h r o u g h
u n e q u a l
i m p e d a n c e s .
O n
t h e
z e r o
p h a s e
d i a g r a m
o f
a n
a c t u a l
s y s t e m
w h i c h i n c l u d e s
1 .
T w o
P a r a l l e l
T r a n s m i s s i o n
L i n e s .
t w o p a r a l l e l
l i n e s
i t i s u s u a l l y
p o s s i b l e t o
f i n d
a
p o i n t
( a ) G e n e r a l
C a s e .
A n y
t w o
p a r a l l e l
t r a n s m i s s i o n
w h e r e
t h e
p a r a l l e l
l i n e s a r e b u s s e d a t
o n e
e n d
o r
t h e
l i n e s
o r
p o r t i o n s
o f
p a r a l l e l
t r a n s m i s s i o n
l i n e s
h a v i n g
o t h e r
t h r o u g h
i m p e d a n c e s .
S u c h
a
p o i n t
may
b e
t h e
i m p e d a n c e s Z a
a n d
Z b
a n d m u t u a l
r e a c t a n c e ,
Z a b ,
g r o u n d
o r
a n y
b r a n c h
p o i n t
o f
t h e
s y s t e m ,
o r i t
may
b e
b e t w e e n
t h e m
may
b e
r e p l a c e d
a t
t h e i r t e r m i n a l s
b y
o b t a i n e d
b y
A - Y o r
Y - A t r a n s f o r m a t i o n s .
a n
e q u i v a l e n t
c i r c u i t
c o n s i s t i n g
o f a
s i x - b r a n c h n e t w o r k
I f t h e
i m p e d a n c e
f r o m t h e b r a n c h
p o i n t
5
t o t h e
t e r m i -
d i r e c t l y
c o n n e c t i n g
t h e
f o u r
t e r m i n a l s .
1
I f 1 a n d 2 n a l s
1
a n d
3 o f
t h e
l i n e s A a n d
B
a r e
Z , 1
a n d
Z B
r e s p e c -
a r e t h e t e r m i n a l s o f l i n e
A ,
a n d
3
a n d
4 t h e t e r m i n a l s t i v e l y , a n e q u i v a l e n t Y may
b e
u s e d
b e t w e e n p o i n t s
5 ,
o f l i n e B , s e e F i g . 1 7 ,
t h e n
t h e
s i x
i m p e d a n c e s
o f t h e
2 a n d 4 , h a v i n g
t h e
b r a n c h i m p e d a n c e s
Z 5 ,
Z 2
a n d
Z 4 ,
e q u i v a l e n t
c i r c u i t a r e :
w h e r e
2 1 2
=
= i m p e d a n c e
b e t w e e n
pit1
2 2 = Z a +
Z a
- Z
b
and.
Z ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4
Z b
+ Z 4 l Z a b
Z 3 4
=
Z a Z b - Z b = i m p e d a n c e b e t w e e n p o i n t s 3 T h e s e a b o v e
r e l a t i o n s
f o l l o w
d i r e c t l y f r o m
( 1 7 c )
Z a
a n d
4 .
i f
Z a
a n d
Z b
a r e
t h e
i m p e d a n c e s
f r o m
t h e
j u n c t i o n
p o i n t
Page 19
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 19/21
S e p t e m b e r
1 9 3 1 CLARKE: SIMULTANEOUS F A U L TS
ON THREE-PHASE SYSTEMS
9 3 7
a n d
t h e r e f o r e i n c l u d e t h e e x t e r n a l
i m p e d a n c e s Z a
a n d
b y
a 2
a n d
a d d i n g :
a d d i n g e q u a t i o n s
( 6 )
a n d
( 1 1 ) ;
s u b s t i -
Z o .
t u t i n g
f r o m
T a b l e
I ,
A
( b )
a n d A
( a ) :
MUTUAL
R E A C T A N C E
BETWEEN
Tw o
P A R A L L E L
V a l =
( C O
+
S 0
+ C 2
+
S 2 ) I a l
+
( a
S O +
a 2 S 2 )
l a l
T R A N S M I S S I O N
L I N E S
( 3 d )
F r o m ( 4 c )
V a l
=
( a 2
S o
+ a
S 2 )
I a l
+
( D o
+ S O
+
D 2
+
S 2 )
I l c
X a b
=
2X,-
X a ( 6 c )
( 4 d )
E q u a t i o n
( 6 c )
g i v e s
t h e
m u t u a l
r e a c t a n c e
X a b
i n
t e r m s
( e )
P h a s e s
c
a n d
a .
O f X a , t h e r e a c t a n c e o f o n e l i n e
a l o n e , a n d
X e
t h e
M u l t i p l y i n g e q u a t i o n
( 5 )
b y a 2 a n d e q u a t i o n
( 1 0 )
r e a c t a n c e
o f t h e
t w o
l i n e s
i n
p a r a l l e l . X a b may
b e
b y a a n d a d d i n g ;
a d d i n g e q u a t i o n s ( 6 ) a n d
( 1 1 ) ;
s u b -
e x p r e s s e d
i n t e r m s o f
X 1 ,
t h e
p o s i t i v e p h a s e
r e a c t a n c e s t i t u t i n g
f r o m
T a b l e I , A ( c )
a n d
A ( a ) :
o f
o n e
l i n e , b y s u b s t i t u t i n g
f o r
X a
a n d
X e t h e i r v a l u e s
V a t i t
( C o
+
5 0
+ C 2
±
S 2 )
I a l
+
( a 2 S 0 + a
5 2 )
l c d
i n t e r m s
o f
X 1 .
a S d )
F o r
l i n e s w i t h o u t
g r o u n d
w i r e s
o r
w i t h
l i g h t
s t e e l
g r o u n d w i r e s . 7
V a l = ( a
S o
+
a 2 S 2 ) l a l
+
( D o
+
S o
+ D 2
+
S 2 )
l a O
I f
X a
=
3 . 5
X i
a n d
X e
2 . 5
X i
t h e n
( 6 d )
X a b
v 1 . 5
C a s e F .
L i n e - t o - L i n e
F a u l t s
a t
T w o
P o i n t s .
F o r
h e a v y c o p p e r g r o u n d
w i r e s .
( a )
C o r r e s p o n d i n g p h a s e s b ,
c a n d
1 ,
- y .
I f
X a
=
2
X i
a n d
X e
=
1 . 5
X i
t h e n
R e p l a c i n g
n e g a t i v e
p h a s e
c u r r e n t s a n d
v o l t a g e s
i n
I X = 2 1 n
X a b
=
. 5
X i
t h e n
e q u a t i o n s
( 1 0 )
a n d
( 1 1 )
b y
t h e i r
v a l u e s
i n
t e r m s
o f
X a b =
X l
p o s i t i v e p h a s e
c u r r e n t s a n d
v o l t a g e s
f r o m
T a b l e
I ,
T h e s e
a p p r o x i m a t e v a l u e s f o r
m u t u a l r e a c t a n c e
may
B ( a ) :
b e
u s e d
i n
d e t e r m i n i n g
z e r o
p h a s e e q u i v a l e n t
c i r c u i t s
V a l
= ( C 2
+ S 2 )
I a l
+
S 2
I a l
( 7 d )
f o r t w o p a r a l l e l
t r a n s m i s s i o n l i n e s
w h e n
e x t r e m e V a i = S 2 l a O
±
( D 2 + S 2 ) l a O ( 8 d )
a c c u r a c y
i s
n o t
r e q u i r e d .
A p p e n d i x
D
( b )
P h a s e s
a ,
c
a n d
1 ,
- y .
S u b s t i t u t i n g
f r o m
T a b l e
I ,
B ( b ) a n d B ( a ) i n e q u a -
R E L A T I O N S
BETWEEN
P O S I T I V E
P H A S E
C O M P O N E N T S
t i o n ( 1 0 )
m u l t i p l i e d
by a 2 , and
i n
e q u a t i o n
( 1 1 ) :
OF
V O L T A G E
AT
TH E F A U L T S AND
P O S I T I V E P H A S E
V a l
= ( C 2
+
S 2 )
I a l
+ a 2
S 2 I a I
( 9 d )
CURRENTs
FLOWING I N T O THE
FAULTS
F OR
V a i = a
S 2
l a l
+ ( D 2 + S 2 )
I a l
( l O d )
Tw o SIMULTANEous
FAULTS
T a b l e
I e x p r e s s e s
n e g a t i v e
a n d
z e r o
p h a s e
v o l t a g e s
( c )
P h a s e s
a ,
b
a n d
1 ,
- y .
a t
t h e
p o i n t
o f
f a u l t ,
a n d c u r r e n t s
f l o w i n g
i n t o
t h e f a u l t
S u b s t i t u t i n g f o r T a b l e
I ,
B
( c )
a n d
B
( a )
i n
e q u a t i o n
i n
t e r m s
o f t h e
p o s i t i v e p h a s e v o l t a g e
a t t h e
f a u l t
a n d ( 1 0 )
m u l t i p l i e d b y
a ,
a n d
i n
e q u a t i o n ( 1 1 ) :
t h e
p o s i t i v e p h a s e
c u r r e n t
i n t o
t h e
f a u l t
w h e n
g r o u n d s
V a l
=
( C 2
+
S 2 ) I a l
+
a
S 2
l i
( l l d )
o c c u r
o n o n e
o r
m o r e
o f
t h e t h r e e
c o n d u c t o r s
o f
a t h r e e -
V a i
= a 2
5 2
I a l + ( D 2
+
S 2 ) I a l ( 1 2 d )
p h a s e
s y s t e m ,
t a k i n g p h a s e
a
a s
r e f e r e n c e
p h a s e .
h a s s y s e m ,
k i n phae
a
s r e e r e n e
p h s e . C a s e
G .
D o u b l e L i n e - t o - G r o u n d F a u l t s a t
T w o P o i n t s .
S i m i l a r
r e l a t i o n s
f o r
a
s e c o n d
p o i n t
o f
f a u l t
a r e
o b t a i n e d
b y
s u b s t i t u t i n g a , 1 ,
y
f o r
a ,
b ,
a n d
c i n
T a b l e
I . T h e s e
( a )
C o r r e s p o n d i n g
p h a s e s b , c a n d 1 3 ,
- y .
t w o
s e t s o f r e l a t i o n s f r o m T a b l e
I
s u b s t i t u t e d
i n
c o m b i -
A d d i n g e q u a t i o n s
( 7 )
a n d
( 1 2 ) ,
a n d
( 8 )
a n d
( 1 3 ) ,
n a t i o n s
o f
e q u a t i o n s
( 5 ) - ( 1 4 )
a l l o w
V a l
a n d
V a l
t o
a n d
s u b s t i t u t i n g
f r o m
T a b l e
I ,
C
( a ) .
b e
e x p r e s s e d
i n
t e r m s
o f
I a l
a n d
I a i .
D o
+
S o
D 2
S 2
S o
S 2
C a s e
E .
S i n g l e
L i n e - t o - G r o u n d
F a u l t s
a t T w o P o i n t s .
I a i
V a l I Z O
+
Z 2 2
Z V a O
Z o o +
Z 2 2
)
( a )
c o r r e s p o n d i n g p h a s e s
a
a n d a .
( 1 3 d )
A d d i n g
e q u a t i o n s
( 5 )
a n d
( 1 0 )
a n d
( 6 )
a n d
( 1 1 )
a n d
s O
S 2
C O
+ S o C 2 +
S 2
s u b s t i t u t i n g
f r o m
T a b l e
I ,
A
( a ) :
I a 1
= - V a l (
± v a o (
Co o +
C2±S
V a l
=
( C O
S O
+
C 2
S 2 )
I a l
+
( S O
+
S 2 )
I a l
( 1 d )
2 2
V a i
=
( S o
+ S 2 ) I a l +
( D o
+
±
+
D2 +
S 2 )
I a T ( 2 d )
1 4 d )
( b ) P h a s e sb
n d
a . ~ ~ ~ E x p r e s s i n g V a i
a n d
V a 0
i n t e r m s o f
l a O
a n d
I a i
b y
s o l v i n g e q u a t i o n s
( 1 3 d )
a n d ( 1 4 d ) a n d m a k i n g u s e o f
M u l t i p l y i n g e q u a t i o n s ( 5 )
b y a
a n d e q u a t i o n ( 1 0 )
e q u a t i o n s ( 9 ) a n d
( 1 4 ) :
[ Z 2 2
( C O
+
S 0 )
±
Z O O
( C 2 + S 2 ) ] I a i + [ Z 2 2 So +
Z O O
S 2 ]
I a i
V a i
( C o
C 2 )
( D o
±
D 2 ) + ( C 0 C 2 )
( S o
+ S 2 ) +
( D o
±
D 2 )
( S o
±
S 2 ) ( 1 5 d )
V
-
~ [ Z 2 2
S o
±
Z o o
S 2 ]
l a O ±
[ Z 2 2
( D o
±
S o )
±
Z o o
( D 2
+
S 2 ) ]
I , a i ( 6 d
V a l
( C 0 n
+
C 2 )
( D 0
+
D 2 )
+
( C n
+
C 2 )
S n
+
S o )
+
( D n
+
D 2 )
S n
+
S 2
( 6 d
Page 20
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 20/21
9 3 8
CLARKE: SIMULTANEOUS
F A U L TS ON
THREE-PHASE
SYSTEMS
T r a n s a e t i o n s
A .
I .
E . E .
( b )
P h a s e s a ,
c
a n d
3 ,
y .
T r a n s p o s i n g
a n d s i m p l i f y i n g
e q u a t i o n s ( 8 )
a n d ( 1 3 )
M u l t i p l y i n g
( 7 )
b y
a
a n d ( 1 2 )
b y a 2 a n d a d d i n g :
t o e x p r e s s
V a o
i n
t e r m s o f V a o a n d I , , o
a n d
V a 2
i n
t e r m s
a d d i n g
( 8 ) a n d ( 1 3 ) : s u b s t i t u t i n g
f r o m T a b l e
I , C ( b )
o f V a 2
a n d
I a 2 :
t h e n
r e p l a c i n g
V a o
a n d
V a 2 b y
V
a n d
C ( a ) :
f r o m
T a b l e I , C ( a )
a n d I a o a n d
I , 2 b y I a l f r o m
A
( a ) :
{ D o +So
D2
+S2i
a
S O
a 2
S 2 \
I a l = V a i (
D + S ± D Z o o
Z 2 2
V . , ( Z O O
A
S Z 2 2
V a o
=
V a
-
I a l
Z O O
( 2 8 d )
c o
+
s o
c o
+
s o
( 1 7 d )
a l V a i ( a 2
S o
a S 2 )
V
co
AS
+o
C 2 +S2)
2___
0 0 O
Z 2 2
ZaO
Z 2 2
V a 2
=
V a l
C +
S
I a ,
C 2
+
S ( 2 9 d )
( 1 8 d )
S o l v i n g
( 1 7 d )
a n d
( 1 8 d )
f o r
V a l
a n d
V a , ,
r e m e m b e r i n g S u b s t i t u t i n g
( 2 8 d )
a n d ( 2 9 d )
i n
( 2 7 d ) , a n d
r e p l a c i n g
t h a t a
X
a 2 =
1
a n d a
+
a 2
=
-
1 :
Z 0 o
a n d
Z 2 2
b y
t h e i r
v a l u e s
g i v e n
i n
( 9 )
a n d
( 1 4 ) :
V a i
(C0
[ Z 2 2
( C 0
+
O )
+O O
( C 2
+
2 )
I a l
+
( a
S O
Z 2 2
+
a 2
S 2
Z O O )
I a l
( C o
+ C 2 )
( D o
+
D 2 )
+ ( C O + C 2 )
( S O
+
S 2 )
+ ( D o
+
D 2 )
( S O
+
S 2 )
+
3
S O
S 2
( a 2
S O
Z 2 2
+
a
S 2
Z 0 O )
I a l
+
[ Z 2 2
( D o
+
S o )
+
Z o o
( D 2
+
S 2 ) ]
I a l
V . ,
( C O +
C 2 )
( D o
+ D 2 )
+
( C O
+
C 2 )
( S O
+
S 2 )
+
( D o
+
D 2 )
( S O
+
S 2 )
+
3
S O
S 2
( 2 0 d )
( c )
P h a s e s
a , b ,
a n d
O 3 ,
y .
1
T h i s
case
m a y
b e
s o l v e d
b y a n a l o g y
f r o m
( b ) ,
a
cas
V a i
(
+
S
C-S 2
)
r e p l a c i n g
a 2 , a n d
a 2
r e p l a c i n g
a i n
e q u a t i o n s
( 1 9 d )
a n d ( 2 0 d ) .
a
S0
SA
C a s e
H .
T h r e e - P h a s e
F a u l t s
a t
Tw o
P o i n t s .
+
a l
c o
+ S O
+
C 2 +
S 2
( 3 0 d )
F r o m T a b l e I ,
D .
Vai0
( 2 1 d )
~ T r a n s p o s i n g
( 3 0 d )
V a l =
( 2 1 d )
V a , =O ( 2 2 d )
V
_
( C 0
+
S 0 )
( C 2
+
S 2 )
C a s e
I .
L i n e - t o - L i n e
F a u l t
a t
C
a n d
S i n g l e
L i n e - t o -
C 0 A - 5 0 A - C 2 A - 5 2 2
a l
G r o u n d
F a u l t
a t D .
S O
( C 2
S 2 )
S 2
( C o
S O )
( a )
P h a s e s b ,
c a n d a .
( C
A
S O )
C A
S(
IA
( 3 1 d )
S u b s t i t u t i n g
f r o m T a b l e
I ,
B
( a )
a n d
A
( a )
i n
e q u a -
C
A S
A- 2 A
2
t i o n s
( 1 0 )
a n d i n
( 6 )
p l u s
( 1 1 )
A d d i n g
e q u a t i o n s ( 2 8 d )
a n d
( 2 9 d ) , a n d r e p l a c i n g
V a = l
C A S ) - S
2 3 d )
( V a 0
V a 2 )
b y -
V a i
f r o m
T a b l e I ,
A
a )
a n d V a l
a l
- I a l
( C 2
+
S 2 ) I -( D l
A2
(Sd
b y
i t s
v a l u e f r o m
( 3 1 d )
( b ) P h a s e s
a ,
c
a n d
a e .
V a i = _
S O
( C 2
S 2 )
S 2
( C 0
+
S O )
S u b s t i t u t i n g
f r o m T a b l e I ,
B
( b ) a n d
A
( a )
i n
e q u a -
C0A-50A-C2A-52
t i o n
( 1 0 )
m u l t i p l i e d
b y
a 2 ,
a n d
i n
e q u a t i o n ( 6 )
p l u s
( 1 1 ) :
V a l
=
I a l
( C 2
+
S 2 ) - I a .
a 2
S 2 ( 2 5 d )
+
D o
+
D 2
+
S O
+
S2 -
C
+
S )
I
V a .
=
-a
S 2
I a l
+ I a 1
( D o
+
S o
+
D 2
+
S 2 )
( 2 6 d )
( c )
P h a s e s
a , b ,
a n d
a .
( 3 2 d )
( b )
P h a s e s
a ,
c
a n d
a .
By a n a l o g y
f r o m
( b ) r e p l a c i n g
a
b y
a 2 ,
a n d
a 2
b y
a .
M u l t i p l y i n g
e q u a t i o n ( 7 )
b y
a , e q u a t i o n
( 1 2 )
b y
a
2 ;
C a s e
J . D o u b l e
L i n e - t o - G r o u , n d
F a u l t
a t C , S i n g l e L i n e -
a d d i n g a n d s u b s t i t u t i n g
f r o m T a b l e I , C
( b ) :
t o - G r o u n d
F a u l l t
a t D .
/D0
A - S O
D 2 A - 5 S 2
\
( a ) P h a s e s
b , c a n d
a .
l a O
= V a i
( \
z
A -
z 2 2
J
A d d i n g e q u a t i o n s
( 7 ) a n d
( 1 2 ) a n d s u b s t i t u t i n g
f r o m
f T a b l e
J , C
( a ) : S 0
S 2
, D 0 - 5 D2-2
S
-a C V a 0
- a 2
V a 2
( 3 3 d )
I a i V i ~ j
Z O O
A
Z22 VaOZ
Z 2 2
F r o m e q u a t i o n s
( 8 ) a n d ( 1 3 ) a n d
T a b l e I ,
C
( b )
a n d
( 2 7 d )
A
( a )
Page 21
7/17/2019 Simultaneous Faults on Thre Phase Systems
http://slidepdf.com/reader/full/simultaneous-faults-on-thre-phase-systems 21/21
S e p t e m b e r
1 9 3 1
CLARKE:
SIMULTANEOUS
FAULTS ON
THREE-PHASE
SYSTEMS
9 3 9
-0
Z o o
0 ~ ( 3 4 d ) A d d i n g ( 6 ) a n d
( 1 1 ) ,
r e p l a c i n g
I a o
a n d
I a 2 b y
t h e i r
V a o
=
a 2
V a l
C
±
so
co
S
( 3 4 d )
v a l u e s g i v e n
i n
( 4 4 d )
a n d
( 4 5 d ) , a n d
s u b s t i t u t i n g f r o m
T a b l e
I ,
A ( a ) a n d
s i m p l i f y i n g :
V . 2
=
a
V a l
S 2
I, -
Z2
( D d
c
O ± l S
a
C
+
S-
C
+
S ,
3
V
= V i
D o +
C
+
S +
D 2
+
C)
S
I a i
( 4 6 d )
S u b s t i t u t i n g
( 3 4 d )
a n d
( 3 5 d )
i n
( 3 3 d )
a n d
t r a n s p o s i n g :
( C O
+
S O ) ( C 2
+
S 2 )
v
a l -
C O
+ S o
+
C 2
+
S 2
a
B i b l i o g r a p h y
1 .
1 9 2 7
L i g h t n i n g
E x p e r i e n c e o n t h e
1 3 2 - K v .
T r a n s m i s s i o n
a
5 0
( C 2 + S 2 )
+
a 2
5 2
( C O
+
S O )
( 3 6 d )
L i n e s
o f
t h e
A m e r i c a n G a s
a n d
E l e c t r i c
C o m p a n y , b y P h i l i p
S p o r n ,
C 0 +
S 0 +
C 2
+ S 2
A . I .
E .
E .
T R A N S . ,
1 9 2 9 .
T h e
P r o b l e m o f
S e r v i c e S e c u r i t y i n
L a r g e
T r a n s m i s s i o n
S y s t e m s ,
A d d i n g
( 3 4 d ) a n d
( 3 5 d ) ,
r e p l a c i n g
( V a 0
+
V a 2 )
b y b y
P . A c k e r m a n , A .
I . E .
E . T R A N S . ,
1 9 3 0 .
-
V a i ,
f r o m
T a b l e
L ,
A
( a )
a n d
V a l
b y
i t s
v a l u e
f r o m
2 .
M e t h o d
o f S y m m e t r i c a l
C o o r d i n a t e s
A p p l i e d t o
t h e
S o l u t i o n
( 3 6 d ) :
o f P o l y p h a s e
N e t w o r k s , b y C . L .
F o r t e s c u e ,
A .
I .
E .
E .
T R A N S . ,
a 2
S O
( C 2
+ S 2 )
+
a
S 2
( C O
+
S O )
1 9 1 8 .
V a C
=
-
I a l
3 .
S t u d i e s
o f
T r a n s m i s s i o n
S t a b i l i t y , b y
R .
D .
E v a n s
a n d
C O
±
S O
±
C2
±
S 2
C . F .
W a g n e r , A .
I . E . E .
T R A N S . ,
1 9 2 6 .
S
2
+
O
S 2
+
2 2
1
4 .
C a l c u l a t i o n
o f
S i n g l e - P h a s e
S h o r t
C i r c u i t s
b y
t h e
+
(D - I -
D 2
±
S O
+
S 2
-
I ,
Method o f
S y m m e t r i c a l
C o m p o n e n t s , b y A .
P .
M a c k e r r a s ,
C O +
S o
+ C 2
+
S 2
J
G e n e r a l E l e c t r i c
R e v i e w ,
1 9 2 6 .
5 . ' A p p l i c a t i o n
o f
H y p e r b o l i c F u n c t i o n s t o
E n g i n e e r i n g
( 3 7 d )
P r o b l e m s , A p p .
E
b y
A . E .
K e n n e l l y , McGraw
H i l l
Book
C o .
(c ) Phases
a, b
and
+
6 .
T h e
M.
I .
T .
N e t w o r k
A n a l y z e r ,
b y
H .
I .
H a z e n ,
0 .
R .
B y
a n a l o g y f r o m
( 3 6 d )
a n d
( 3 7 d )
r e p l a c i n g
a
b y
a 2 ,
S c h u r i g , a n d M .
F .
G a r d n e r , A .
I . E . E .
T R A N S . ,
1 9 3 0 .
a n d
a 2
b y
a .
7 . S y s t e m
S t a b i l i t y a s a
D e s i g n P r o b l e m ,
b y
R . H .
P a r k a n d
C a s e
K . T h r e e - P h a s e
F a u l t
a t
C
a n d
S i n g l e
L i n e - t o -
E .
H .
B a n c k e r , A .
I .
E . E . T R A N S . ,
1 9 2 9 .
G r o u n d
F a u l t a t
D ,
.
8 .
P r o g r e s s
i n t h e
S t u d y
o f S y s t e m S t a b i l i t y ,
b y
I .
H .
Summers
a n d J .
B .
M c C l u r e ,
A . I . E . E .
T R A N S . ,
1 9 3 0 .
( a )
T h r e e - p h a s e
f a u l t
n o t i n v o l v i n g g r o u n d .
9 . T h e
R e a c t a n c e s
o f S y n c h r o n o u s
M a c h i n e s , b y
R .
H .
P a r k
S u b s t i t u t i n g I a O
=
0 f r o m T a b l e
I ,
D
( a )
i n
e q u a t i o n s
a n d
B . L .
R o b e r t s o n , A .
I . E . E .
1 9 2 8 .
( 5 ) a n d
( 6 ) ,
a n d
V a 2
=
0
i n
e q u a t i o n
( 1 0 ) :
1 0 .
C i s o i d a l
O s c i l l a t i o n s , b y
G e o .
A .
C a m p b e l l ,
P r o e .
-
V a O
=
I a O
S o
( 3 8 d )
A . I E .
E . , 1 9 1 1 .
-
V a o
=
I o
( D o
+
S o )
( 3 9 d )
D c
s
D i s c u s s i o n
S 2
M .
MacFerran: M i s s
C l a r k e s
p a p e r
i s o f
g r e a t p r a c t i c a l
I a 2
=-
a 2
C2
+
S 2
( 4 0 d )
v a l u e
b e c a u s e , a s
i s
p o i n t e d o u t i n t h e
i n t r o d u c t i o n ,
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s
d o o c c u r
q u i t e
f r e q u e n t l y
e s p e c i a l l y
w h e n
m u l t i c i r c u i t
S u b s t i t u t i n g
( 4 0 d )
i n
( 1 1 )
a n d
s i m p l i f y i n g
t o w e r
l i n e s
a r e
i n
u s e .
F o r
e x a m p l e ,
o n
t h e
s y s t e m
o f
t h e S o u t h -
C 2
S
( 4 1 d )
e r n C a l i f o r n i a
E d i s o n C o . , L t d . , t h e r e a re m a n y t o w e r
l i n e s
-
Va2
=
I a 2
D 2
+
c a r r y i n g
f r o m two
t o
t w e l v e
c i r c u i t s ,
a n d t h e r e h a v e
b e e n s e v e r a l
C 2
+
S 2 c a s e s i n w h i c h t r o u b l e
on
s u c h
m u l t i c i r c u i t
s t r u c t u r e s h a s
i n -
v o l v e d
t w o
l i n e s
g o i n g
t o
e n t i r e l y d i f f e r e n t
p a r t s
o f
t h e
s y s t e m .
a d d i n g . ( 3 9 d )
a n d
( 4 1 d )
a n d
s u b s t i t u t i n g
f r o m
T a b l e
I ,
A n o t h e r v e r y i n t e r e s t i n g
c a s e
o f s i m u l t a n e o u s
f a u l t i n g
o c c u r r e d
A ( a )
a t a
s u b s t a t i o n w h i c h
w as
b e i n g
o p e r a t e d
w i t h b u s e s
s e c t i o n -
C2
S 2
a l i z e d ,
o n e s e c t i o n
b e i n g
o n
o n e
m a j o r
s t a t i o n ,
t h e o t h e r o n
V a i
I = I
( D o +
S o
+
D 2
+
2
)
( 4 2 d )
a n o t h e r .
T r o u b l e
o r i g i n a t i n g
o n one
b u s
s p r e a d
t o
t h e o t h e r ,
C2
+ S 2
t h u s
p r o d u c i n g
a
c o n d i t i o n
q u i t e
s i m i l a r t o t h a t
c o v e r e d
b y
t h e
n u m e r i c a l
e x a m p l e
i n
t h e
p a p e r .
From
T a b l e
I ,
D .
From t h e
s t a n d p o i n t
o f
o n e
who
i s
f a c e d
w i t h
t h e
t a s k o f
V a i
=
0
( 4 3 d )
c a l c u l a t i n g
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s ,
t h e
o u t s t a n d i n g
f e a t u r e s
o f
( b ) 0
Tle-pa
e - l n
f a u l t i n v o l v i n g
g r o u n d .
M i s s
C l a r k e s p a p e r a r e f i r s t , t h e d e r i v a t i o n
o f
t h e
v a l u e s
o fb )
T h r e e - p h a s e
~ ~ ~ ~ ~ ~ k ,
,
m , a n d
n
f o r
a l l
c o n c e i v a b l e c o m b i n a t i o n s
o f f a u l t s ;
a J n d
S u b s t i t u t i n g
V a o
=
0 , a n d
V a 2
=
0
f r o m
T a b l e I ,
s e c o n d , t h e
d e v e l o p m e n t o f
t h e
a p p r o x i m a t e e q u i v a l e n t
f a u l t
D
( b ) i n
( 5 ) a n d
( 1 0 )
a n d
e x p r e s s i n g l a O a n d 1 a 2 i n
w y e
w h i c h c a n b e
u s e d
w i t h
a h i g h
d e g r e e o f a c c u r a c y
e v e n
terms
o f
I
a o an d 1 a 2 .
when
m
i s
n o t e q u a l t o n .
T h e s e t w o f e a t u r e s
m a . k e
i t
p o s s i b l e
5 ~ ~ ~ ~ ~ ~ t o
o r k o u t t h e
c o m p l e t e
s t o r y o f
a n y
t y p e
o f
s i m u l t a U n e o u s
I a O
= -
o - ( 4 4 d ) . . . f a u l t
i n a
q u i t e
r e a s o n a b l e l e n g t h o f t i m e , a n d t h e r e f o r e
e n a b l e
C 0 +
S o
o n e t o g i v e d u e
a t t e n t i o n
t o s u c h f a u l t s i n
s e t t i n g
r e l a y s o r
a n a l y z i n g t h e i r
p e r f o r m a . n c e .
T h i s i n
t u r n r e p r e s e n t s
a n
S 2
i m p o r t a n t
s t e p
f o r w a r d i n
p r o t e c t i o n
e n g i n e e r i n g .
I a 2
-
- I a 2
C+S(45d)
. . . H .
W. B i b b e r : W h i l e M i s s
C l a r k e s
p a p e r
d e a l s
v e r y e x h a u s -
C 2
+
2
t i v e l y w i t h
p r o b l e m s i n v o l v i n g
s i m u l t a n e o u s
f a u l t s a s t h e y a r e
