+ All Categories
Home > Documents > Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

Date post: 04-Jul-2015
Category:
Upload: azizah-noor
View: 1,232 times
Download: 4 times
Share this document with a friend
Popular Tags:
14
2 nd GROUP NOOR AZIZAH RATNAH KURNIATI BAYUK NUSANTARA KRJ SRI ASTATI NINGSIH ZULFAHMI SOFYAN AMRIANTI AKBAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION MATHEMATICS FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2011
Transcript
Page 1: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

2nd GROUP

NOOR AZIZAH

RATNAH KURNIATI

BAYUK NUSANTARA KRJ

SRI ASTATI NINGSIH

ZULFAHMI SOFYAN

AMRIANTI AKBAR

ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION

MATHEMATICS FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2011

Page 2: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

Sistem Persamaan Diferensial Linear

A. Definisi

Sistem Persamaan Diferensial Linear adalah persamaan yang melibatkan n

persamaan dengan n fungsi yang tak diketahui yang berbentuk polinom

berpangkat satu untuk semua turun-turunannya.

B. Bentuk Umum

Bentuk Umum Persamaan Differensial:

Bentuk Umum Persamaan Differensial Orde 1:

(1)

Penyelesaian persamaan ( 1 ) dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut

fungsi real dengan yang secara simultan memenuhi

kedua persamaan dalam system tersebut untuk selang

Contoh 1

Sebuah persamaan didefinisikan dengan

Page 3: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

Persamaan ini termasuk system persamaan diferensial dengan koefisien

konstanta.

System linear umum persamaan diferensial orde satu dalam tiga variable yang

tak diketahui dapat dinyatakan dengan

( 2 )

Penyelesaian dari persamaan diferensial dalam tiga variable adalah tripel

terurut fungsi real dengan dan yang

secara simultan memenuhi ketiga persamaan (2) pada selang real

Contoh 2

System persamaan berikut termasuk system persamaan diferensial linear

dalam 3 variabel.

(3)

Page 4: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

Bentuk Umum Persamaan Differensial Orde 2:

Sejauh ini diketahui system persamaan yang hanya mengandung turunan

pertama, baik dalam dua variable maupun dalam tiga variable. Berikut ini

adalah system persamaan yang mengandung turunan kedua,

( 4 )

Contoh 3

System persamaan berikut termasuk system persamaan diferensial dalam dua

variable dengan orde dua ( dalam koefisien konstanta ).

Sekarang tipe standar system linear persamaan diferensial orde satu dalam

fungsi yang tak diketahui dengan variable dan . System persamaan ini dapat

dinyatakan dalam bentuk

(5 )

Page 5: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

Persamaan dalam bentuk seperti di atas dinamakan bentuk normal dari

persamaan diferensial linear dalam 2 fungsi yang tak diketahui.

Contoh 4

System persamaan yang dinyatakan dengan

( 6 )

termasuk persamaan yang dinyatakan dengan bentuk normal.

Contoh 5

System persamaan diferensial

merupakan system persamaan diferensial dengan koefisien konstanta.

Bentuk normal system linear 3 persamaan diferensial dalam 2 fungsi yang

tak diketahui dengan variable adalah :

Page 6: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

( 6 )

Contoh 6

System persamaan diferensial berikut mempunyai koefisien konstanta.

Bentuk umum dari sebuah system linear n persamaan diferensial dalam n

fungsi yang tak diketahui dalam variable , adalah

(7 )

Page 7: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

System linear normal ini mempunyai hubungan dengan sebuah persamaan

diferensial linear orde n dalam satu fungsi yang tak diketahui. Perhatikan

persamaan berikut,

( 8 )

C. Penyelesaian Sistem Linear

METODE ELIMINASI

Pandang system persamaan diferensial :

( 1 )

Terlebih dahulu kita mencari nilai dengan cara seperti berikut.

Turunkan persamaan pertama terhadap , kita memperoleh,

Kemudian subsitusikan nilai menurut persamaan kedua dari ( 1 ), kita

memperoleh ,

Selanjutnya nilai diganti dengan yang terdapat pada persamaan pertama dari ( 1

), kita memperoleh

Page 8: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

Atau

( 2 )

andaikan diperoleh selesaian umum

Maka

Dari rumus pertama system ( 1 ),

, kita peroleh

Contoh :

1. Tentukan selesaian umum system persamaan diferensial

a.

b.

Penyelesaian :

a.

=

+

Page 9: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

b.

jadi

2. Selesaikan sistem PD

(i). x'=-2x+y

(ii). y'=-4x+3y+10 cost.

Penyelesaian:

penurunan dari (i) menghasilkan

x'' = -2x'+y'

= -2x'-4x+3y+10 cost

= -2x'-4x+3(x'+2x)+10 cos t,

atau

x''-x'-2x = 10 cost,

Page 10: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

yang merupakan PD orde dua takhomogen. Dengan cara seperti pada bagian

terdahulu akan diperoleh selesaian

x(t) = c1e-t+c2e

2t-3cost-sint, dan

y(t) = x'+2x

METODE EIGEN

Metoda nilai eigen adalah perumuman dari cara mencoba selesaian pada

persamaan diferensial linear tunggal koefisien konstan.

Disini kita mencoba selesaian berbentuk

Jadi, mencari selesaian demikian, berarti mencari r dan vector supaya

adalah selesaian atau

Karena , maka hal itu setara dengan pencarian bilangan r dan vektor

yang memenuhi

yang disebut juga masalah nilai eigen untuk matrix A.

Nilai Eigen yang diperoleh memenuhi tiga kemungkinan, yaitu:

1. Nilai-nilai eigen real dan berbeda

2. Nilai-nilai eigen real kembar

3. Nilai-nilai eigen kompleks.

Contoh :

Kasus vector eigen lengkap (real)

Penyelesaian:

Masalah nilai eigen :

Page 11: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

diperoleh dari

u diperoleh dari

Selesaian umum

Kasus jumlah vector eigen yang bebas linear kurang dari kegandaan

(multiplisitas) aljabar nilai eigen.

Contoh:

Penyelesaian:

Mencoba menghasilkan masalah nilai eigen:

Page 12: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

Untuk dicoba

Karena

Selanjutnya,

Untuk soal ini, ,

,

Selesaian umumnya adalah:

Kasus nilai eigen kompleks:

Pengerjaan contoh soal sebelumnya dengan metode eigen:

a)

b)

c)

Penyelesaian:

a) Persamaan karakteristik:

Page 13: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

ambil saja

,

Matrix fundamental –

b) Persamaan karakteristik:

Ambil

,

Matrix fundamental

c) Persamaan karakteristik:

Ambil

,

Page 14: Sistem Persamaan Differensial Linear (2nd Group)

matrix fundamental :


Recommended