+ All Categories
Home > Documents > SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode...

SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode...

Date post: 28-Jun-2019
Category:
Upload: buitu
View: 245 times
Download: 4 times
Share this document with a friend
45
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Systems of Linear Algebraic Equations http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Transcript
Page 1: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Systems of Linear Algebraic Equations

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Page 2: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Sistem Persamaan Linear 2

q  Acuan q  Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers,

2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n  Chapter 7, 8, dan 9, hlm. 201-290.

Page 3: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Sistem Persamaan Linear 3

q  Serangkaian n persamaan linear:

nnnnnn

nn

nn

cxaxaxa

cxaxaxa

cxaxaxa

=+++

=+++

=+++

...

.

.

.

...

...

2211

22222121

11212111

Sejumlah n persamaan linear ini harus diselesaikan secara simultan untuk mendapatkan x1, x2,…, xn yang memenuhi setiap persamaan tsb.

Page 4: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Penyelesaian

q  Penyelesaian q  Grafis

q  Cramer

q  Eliminasi

q  Penyelesaian langsung q  Eliminasi Gauss

q  Gauss-Jordan

q  Iteratif q  Jacobi

q  Gauss-Seidel

q  Successive Over Relaxation

4

Jml. pers. sedikit, n « Jml. pers. banyak, n »

Page 5: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Grafis 5

x2 = …

x1 = …

x2

x1

Page 6: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Grafis 6

x2

x1

x2

x1

x2

x1 ill-conditioned system singular system singular system

sejajar berimpit hampir sejajar

Page 7: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Cramer 7

q  Variabel tak diketahui, xi, merupakan perbandingan dua determinan matriks q  Penyebut : determinan, D, matriks koefisien sistem persamaan

q  Pembilang : determinan matriks koefisien sistem persamaan seperti penyebut, namun koefisien kolom ke i diganti dengan koefisien ci

q  Contoh q  3 persamaan linear

3333232131

2323222121

1313212111

cxaxaxa

cxaxaxa

cxaxaxa

=++

=++

=++

Page 8: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Cramer 8

[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

==

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A A

333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

D == A

D

aac

aac

aac

x 33233

23222

13121

1 =D

aca

aca

aca

x 33331

23221

13111

2 = D

aaa

caa

caa

x 32331

22221

11211

3 =

Page 9: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Determinan Matriks 9

q  Matriks bujur sangkar: n × n

q  Mencari determinan matriks q  Hitungan manual

q  MSExcel, dengan fungsi =MDETERM()

q  Contoh hitungan determinan matriks 2 × 2 dan 3 × 3

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

2221

1211

aa

aaA A [ ]

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

==

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

B B

Page 10: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Determinan Matriks 10

211222112221

1211det aaaaaa

aaD −=== A

( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

det

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaa

D

−+−−−=

+−=== B

Page 11: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Cramer 11

4.71102.03.0

3.193.071.0

85.72.01.03

321

321

321

=+−

−=−+

=−−

xxx

xxx

xxx

q  Contoh: 3 persamaan linear

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

=⋅

4.71

3.19

85.7

102.03.0

3.071.0

2.01.03

3

2

1

x

x

x

CXA

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )( ) ( )( )[ ]

353.210

3.072.01.02.0

3.03.0101.01.02.03.01073det

=

−−−

+−−−−−−−=A

Page 12: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Cramer 12

[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−

=

102.04.71

3.073.19

2.01.085.7

1A [ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

=

104.713.0

3.03.191.0

2.085.73

2A [ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

4.712.03.0

3.1971.0

85.71.03

3A

059.631det 1 == A1A 883.525det 2 −== A2A 471.1472det 3 == A3A

3353.210059.631

detdet

1 ===AA1x 5.2

353.210883.525

detdet

2 −=−

==AA2x 7

353.210471.1472

detdet

3 ===AA3x

Page 13: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Eliminasi 13

q  Contoh: 2 persamaan linear

[ ][ ] 11221122111212222121111222121

21122112121111212111211212111

acxaaxaacxaxaacxaxa

acxaaxaacxaxaacxaxa

=+⇒=+⇒=+

=+⇒=+⇒=+

2111122211221122 acacxaaxaa −=−

21121122

2111122 aaaa

acacx

−−

=

21121122

1212221 aaaa

acacx

−−

=

Page 14: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Eliminasi Gauss 14

q  Strategi q  Forward elimination

q  Back substitution

q  Contoh q  3 persamaan linear

3333232131

2323222121

1313212111

cxaxaxa

cxaxaxa

cxaxaxa

=++

=++

=++ (1)

(2)

(3)

Page 15: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Eliminasi Gauss 15

111

313313

11

3133212

11

3132

111

212313

11

2123212

11

2122

1313212111

caa

cxaaa

axaaa

a

caa

cxaaa

axaaa

a

cxaxaxa

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=++

3333232

2323222

1313212111

cxaxa

cxaxa

cxaxaxa

ʹ′=ʹ′+ʹ′

ʹ′=ʹ′+ʹ′

=++

q  Forward elimination #1 q  Hilangkan x1 dari pers. kedua dan ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan

pengurangan dengan pers. pertama. pivot equation

pivot coefficient

(1)

(2')

(3')

Page 16: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Eliminasi Gauss 16

222

323323

22

3233

2323222

1313212111

caa

cxaaa

a

cxaxa

cxaxaxa

ʹ′ʹ′ʹ′

−ʹ′=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ʹ′

ʹ′ʹ′

−ʹ′

ʹ′=ʹ′+ʹ′

=++

q  Forward elimination #2 q  Hilangkan x2 dari pers. ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan

pengurangan dengan pers. kedua.

pivot equation pivot coefficient

(1)

(2')

(3'') 3333

2323222

1313212111

cxa

cxaxa

cxaxaxa

ʹ′ʹ′=ʹ′ʹ′

ʹ′=ʹ′+ʹ′

=++

Page 17: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Eliminasi Gauss 17

q  Back substitution q  Hitung x3 dari pers. (3''), hitung x2 dari pers. (2’), dan x1 dari pers. (1)

33

33 ac

xʹ′ʹ′ʹ′ʹ′

=22

32322 a

xacx

ʹ′ʹ′−ʹ′

=11

31321211 a

xaxacx

−−=

Page 18: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Eliminasi Gauss 18

q  Forward elimination

11

22323

22323222

11313212111

.

.

.

...

...

...

−− =

ʹ′ʹ′=ʹ′ʹ′++ʹ′ʹ′

ʹ′=ʹ′++ʹ′+ʹ′

=++++

nnn

nnn

nn

nn

nn

cxa

cxaxa

cxaxaxa

cxaxaxaxa

1,...,2,1,11

11

1

1

−−=

=

=

−+=

−−

∑nni

a

xacx

ac

x

iii

ijj

iij

ii

i

nnn

nn

n

q  Back substitution

Page 19: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Eliminasi Gauss 19

4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

=+−

−=−+

=−−

xxx

xxx

xxx

q  Contoh: 3 persamaan linear

Page 20: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Eliminasi Gauss 20

q  Forward elimination q  Eliminasi x2 dari Pers. 2 dan 3, Pers. 1 sebagai pivot

q  Eliminasi x3 dari Pers. 3, Pers. 2 sebagai pivot

0843.700120.1000)3(

5617.192933.00033.70)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

=++ʹ′ʹ′

−=−+ʹ′

=−−

xxx

xxx

xxx

615.7002.1019.00)3(

5617.192933.00033.70)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

=+−ʹ′ʹ′

−=−+ʹ′

=−−

xxx

xxx

xxx

Page 21: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Eliminasi Gauss 21

q  Back substitution q  Menghitung x3 dari Pers. 3''

70120.100843.70

3 ==x

q  Substitusi x3 ke Pers. 2' untuk menghitung x2

( )5.2

0033.772933.05617.19

2 −=+−

=x

q  Substitusi x3 dan x2 ke Pers. 1 untuk menghitung x1

( ) ( )3

35.21.072.085.7

1 =−++

=x

Page 22: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Eliminasi 22

q  Strategi q  Eliminasi variabel tak diketahui, xi, dengan penggabungan dua persamaan.

q  Hasil eliminasi adalah satu persamaan yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan satu variabel xi.

Page 23: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Kelemahan Metode Eliminasi 23

q  Pembagian dengan nol q  Pivot coefficient sama dengan nol ataupun sangat kecil.

q  Pembagian dengan nol dapat terjadi selama proses eliminasi ataupun substitusi.

q  Round-off errors q  Selama proses eliminasi maupun substitusi, setiap langkah hitungan bergantung pada

langkah hitungan sebelumnya dan setiap kali terjadi kesalahan; kesalahan dapat berakumulasi, terutama apabila jumlah persamaan sangat banyak.

q  Ill-conditioned systems q  Ill-condition adalah situasi dimana perubahan kecil pada satu atau beberapa

koefisien berakibat perubahan yang besar pada hasil hitungan.

Page 24: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Perbaikan 24

q  Pemilihan pivot (pivoting) q  Urutan persamaan dipilih sedemikian hingga yang menjadi pivot equation

adalah persamaan yang memberikan pivot coefficient terbesar.

Page 25: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Penyelesaian 25

q  Matriks Inversi q  Gauss-Jordan

q  Metode Iteratif q  Jacobi

q  Gauss-Seidel

Page 26: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Gauss-Jordan 26

q  Mirip dengan metode eliminasi Gauss, tetapi tidak diperlukan back substitution.

q  Contoh q  3 persamaan linear

4.71102.03.0

3.193.071.0

85.72.01.03

321

321

321

=+−

−=−+

=−−

xxx

xxx

xxx

Page 27: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Gauss-Jordan 27

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

−−

4.71

3.19

85.7

101.03.0

3.071.0

2.01.03

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

−−

4.71

3.19

385.7

101.03.0

3.071.0

32.031.033

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

−−

4.71

3.19

6167.2

101.03.0

3.071.0

0667.00333.01

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

−−

6150.70

5617.19

6167.2

0200.101900.00

2933.00033.70

0667.00333.01

Page 28: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

0843.70

7931.2

5236.2

0120.1000

0419.010

0681.001

Metode Gauss-Jordan 28

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

−−

6150.70

5617.19

6167.2

0200.101900.00

2933.00033.70

0667.00333.01

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

−−

6150.70

0033.7/5617.19

6167.2

0200.101900.00

0033.7/2933.00033.7/0033.70033.7/0

0667.00333.01

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

−−

6150.70

7931.2

6167.2

0200.101900.00

0419.010

0667.00333.01

Page 29: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

7

7931.2

5236.2

100

0419.010

0681.001

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

0120.10/0843.70

7931.2

5236.2

0120.10/0120.100120.10/00120.10/0

0419.010

0681.001

Metode Gauss-Jordan 29

⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

7

5.2

3

100

010

001

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

7

5.2

3

3

2

1

x

x

x

Page 30: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Gauss-Jordan vs Eliminasi Gauss 30

q  Metode Gauss-Jordan q  Jumlah operasi lebih banyak (50%)

q  Memiliki kelemahan yang sama dengan eliminasi Gauss n  Pembagian dengan nol

n  Round-off error

Page 31: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Matriks Inversi 31

[ ] { } { } { } [ ] { }CAXCXA ⋅=⇒=⋅ −1

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

100

010

001

333131

232221

131211

aaa

aaa

aaa

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

−−−

−−−

133

132

131

123

122

121

113

112

111

100

010

001

aaa

aaa

aaa

Page 32: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Matriks Inversi 32

4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

=+−

−=−+

=−−

xxx

xxx

xxx

q  Contoh: 3 persamaan linear

Page 33: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Matriks Inversi 33

[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

=

100

010

001

102.03.0

3.071.0

2.01.03

A [ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

=

100

010

003333.0

102.03.0

3.071.0

0667.00333.01

A

[ ]⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

−−

=

100999.0

010333.0

003333.0

0200.101900.00

2933.00033.70

0667.00333.01

A

Page 34: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Matriks Inversi 34

[ ]⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

−−

=

100999.0

01422.00047.0

003333.0

0200.101900.00

0417.010

0667.00333.01

A

[ ]⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

=

10270.01009.0

01422.00047.0

00047.03318.0

0121.1000

0417.010

0681.001

A

Page 35: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Matriks Inversi 35

[ ]⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

=

0999.00027.00101.0

01422.00047.0

00047.03318.0

100

0417.010

0681.001

A

[ ]⎥⎥⎥

−⎢⎢⎢

=

0999.00027.00101.0

0042.01423.00052.0

0068.00049.03325.0

100

010

001

A

[ ] 1−A

Page 36: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Matriks Inversi 36

{ } [ ] { }

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

−⋅

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⋅= −

0002.7

4881.2

0004.3

4.71

3.19

85.7

0999.00027.00101.0

0042.01423.00052.0

0068.00049.03325.0

3

2

1

3

2

1

1

x

x

x

x

x

x

CAX

Page 37: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Iteratif: Jacobi 37

3333232131

2323222121

1313212111

cxaxaxa

cxaxaxa

cxaxaxa

=++

=++

=++

33

23213133

22

32312122

11

31321211

axaxac

x

axaxac

x

axaxac

x

−−=

−−=

−−=

33

0232

013131

3

22

0323

012121

2

11

0313

021211

1

axaxac

x

axaxac

x

axaxac

x

−−=

−−=

−−=

0

0

0

03

02

01

=

=

=

x

x

x

33

232131313

22

323121212

11

313212111

axaxac

x

axaxac

x

axaxac

x

nnn

nnn

nnn

−−=

−−=

−−=

+

+

+

nilai awal, biasanya xi

0 = 0 iterasi diteruskan sampai konvergen

xin+1 ≈ xi

n, ∀xi

Page 38: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Iteratif: Jacobi 38

4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

=+−

−=−+

=−−

xxx

xxx

xxx

q  Contoh: 3 persamaan linear

Page 39: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Iteratif: Gauss-Seidel 39

33

1232

113131

3

22

0323

112121

2

11

0313

021211

1

axaxac

x

axaxac

x

axaxac

x

−−=

−−=

−−=

33

1232

113131

3

22

3231

121212

11

313212111

axaxac

x

axaxac

x

axaxac

x

nnn

nnn

nnn

+++

++

+

−−=

−−=

−−=

iterasi diteruskan sampai konvergen

xin+1 ≈ xi

n, ∀xi

Page 40: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Metode Iteratif: Gauss-Seidel 40

4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

=+−

−=−+

=−−

xxx

xxx

xxx

q  Contoh: 3 persamaan linear

Page 41: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Jacobi vs Gauss-Seidel 41

( )( )( ) 33

1232

11313

13

220323

11212

12

110313

02121

11

axaxacx

axaxacx

axaxacx

−−=

−−=

−−=

( )( )( ) 33

2232

21313

23

221323

21212

22

111313

12121

21

axaxacx

axaxacx

axaxacx

−−=

−−=

−−=

( )( )( ) 33

0232

01313

13

220323

01212

12

110313

02121

11

axaxacx

axaxacx

axaxacx

−−=

−−=

−−=

( )( )( ) 33

1232

11313

23

221323

11212

22

111313

12121

21

axaxacx

axaxacx

axaxacx

−−=

−−=

−−=

Jacobi Gauss-Seidel

Page 42: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Successive Over-relaxation Method 42

q  Dalam setiap iterasi, nilai variabel terbaru (yang baru saja dihitung), xn+1, tidak langsung dipakai pada iterasi selanjutnya

q  Pada iterasi selanjutnya, nilai tsb dimodifikasi dengan memasukkan pengaruh nilai variabel lama (pada iterasi sebelumnya), xn

q  faktor relaksasi λ dimaksudkan untuk mempercepat konvergensi hitungan (iterasi)

q  under-relaxation: 0 < λ < 1

q  over-relaxation: 1 < λ < 2

( ) ni

ni

new xxx λ−+λ= + 111

Page 43: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Successive Over-relaxation Method 43

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]33

21

23211

131313

22

32311

121212

11

313212111

11

1

axxaxxac

x

axaxxac

x

axaxac

x

nnnnn

nnnn

nnn

λ−+λ−λ−+λ−=

−λ−+λ−=

−−=

+++

++

+

Page 44: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Successive Over-relaxation Method 44

4.71102.03.0)3(

3.193.071.0)2(

85.72.01.03)1(

321

321

321

=+−

−=−+

=−−

xxx

xxx

xxx

q  Contoh: 3 persamaan linear

Page 45: SISTEM PERSAMAAN LINEAR - istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear.pdf · Metode Penyelesaian ! Penyelesaian ! Grafis ! Cramer ! Eliminasi ! Penyelesaian langsung ! Eliminasi

http://istiarto.staff.ugm.ac.id 45


Recommended