S I S T E M A S B O O L E A N O SL I BROSTE CNI COS ~ E NCI CL OPE DI A S DI CCI ONA RI OS L I T UA T lHl:ATE X TOSE SCOU.US 11 .q u m i c a1 1 .f s i c a1 1 1 .m a t e m t i c a s1 v .b i o l o g av .g e o l o g a a di t o r i a l a l ha m b r a , s .a . -.. a --._ =-==T I . . . . . . . .....- - O.K Ms e CC I I I~(2 ) SE I .E CCI ONE SGRA FI CA S(E Ol da nnJ Pa M C, :i o i o Di r 0mbreador e pt t Se :nt a(X nl ') l>)E !&ombreador e pr u e nt aX n(YnZJ~)E !sombrado s e pr e t e nt a(YnZJ@ no e s t a ne v i de nt e , pe r o pu e de c o m pr o b a n;e s u v e r a c i da dapa r t i r de di a g r a m a s de Ve nn q u e r e pr e s e nt e n l o s do s m e m - bros, c o m o e nl a f i g u r a 28. L a f i g u r a 28r e pr e s e nt a Y nZ; yl a f i g u r a 2 8b, r e pr e s e nt a Xn(Y nZ)q u e c o ns t i t u ye e l pr i - m e r m i e m b r o de l a i de nt i da d.A n4\o g a m e nt e s e c o ns t r u ye e ls e g u ndo m i e m b r o , ys e c o m pr u e b a q u e l o s do s s o n i g u a l e s . r a c i o na l e s , l a ne e r s e c c t e de l o s do s no r e q u i e r e q u e c c e s - de r e r no s Xa nt e s q u e o v i c e v e r s a .A ni l .l o g a m e nt e pa r a l au ni n. l .a l e ya s o c i a t i v a pa r a l a i nt e r s e c c i nxn(YnZ)-(X nY)nZ.., ..- A l a l l t A Ct :CONJ UNTOS b ) XU(Y UZ)(XU Y )UZ Xn(Y nZ)-(XnY )UZe ) Xn(Y UZ). . . rxnY )U(Xn. ll XU(Y O Z)=(XU nn(XUZ) 2 !Us e ns e di a g r a m a s de Ve nnpa r a de m o s t r a r l a s s i g u i e nt e s !~: a )u #s conmut at it lf. 'IS XUY aY UXXnY -Y nX d)X'UY ' e )(X'nY 1U(X'nni. J (XnY') f ){Xn(Y u Z>r a)X'U(XnY ) b}XU(XO Y ) e)(XUY )' E jm l c l ~2 .41 . I de nt i f q u e ns e l a s s i g u i e nt e s e xpr e s i o ne s s o b r e di a g r a - m a s de .Ve nn, s o m b r e a ndo l a s r e g i o ne s c o r r e s po ndi e nt e s :De nu e v o s e de ja a l l e c t o r l a de m o s t r a c i n de l a l e ydi s - t r i b u t i v a de l a u ni n r e s pe c t o a l a i nt e r s e c c i n. ~@\ @@@ ZZI Z'ZZ Y u Z Xn(Y u _Z)(Xnl')XnZ (Xnl')u (XnZ) F I G. I l 1 1 1 t nd6nde la lq di s b i b u t l :nd1 la hl t e r s e c dar t a pe e t 0de l a u nl 61 1 . s e pu e de c o m pr o b a r t a m b i n de e s t a f o r m a (Fi g .2 9). L a l e ydi s t r i b u t i v a de l a i nt e r s e c c i n r e s pe c t o a l a u ni nXn(Y UZ)-(XnY )U(XnZ) F1 G.30. . S J A Bs e r e pr e s e nt a e ne l di a g r a m a de Vc nn de l a f i g u r a J O. a )E i :pr s e s e A Be n t nni no s de u ni n, i nt e r s e c c i n ycomplementaci n.b )E xpr s e s e (A -e n t r m i no s de u ni n, i nt e r s e c c i nye e m pl e m e a t a e l n. e)De m u s t r e s e q u e (A -B )-C=(A -C)-(~-C).J . Si AYBs o ndo s c o nju nt o s , s e de f i ne e l & 01 1 1 plemenA Bde Br e s pe c t o a Ac o m oA -B [J :eA jxtf:B ! Q XU(XnY )XXn(XUY )-X g) . (XUY )';,;. X'\ Y ' (XnY )'-'X. ''Y ' h) 0el' (1)0UX=X 1nx. . . x (I I )IUXl 0nr-0(I ll)Y -00'-1e ) XUX'lXnX'=0d)(u j xu x-xxnx-,x a )E xpr s e s eA /J .Be n t i r m i no s de u ni n, i nt e r s e c c i n y c o m pl e m e nt a c i n.b)A n l o g a m e nt e pa r a (A /J .B)' o pe r a c i n di f e r e nc i a s i m i t r i c a e s c o n . E n e s t o s .e je r c i c i o s he m o s de m o s t r a do q u e l a s l e ye s c o n- m u t a t i v a , a s o c i a t i v a ydi s t r i b u t i v a , s e v e r i f i c a n pa r a l a u ni ny!a .i nt e r s e c c i n, c o m o a s i m i s m o o t r a s l e ye s .E s t a m o s a ho r ae nu na s i t u a c i n s i m i l a r a l a de l f i na l de l c a p t u l o de c i r c u i t o sc o n i nt e r r u pt o r e s , do nde o b t u v i m o s u n c o nju nt o s e m e ja nt ede l e ye s pa r a l o s i nt e r r u pt o r e s .A l i (o b s e r v a m o s u na du a l i da d e nt r e O yJ , y+y, (L as o pe r a c i o ne s de s e r i e ypa r a l e l o de l o si nt e r r u pt o r e s .)E nl a s l e ye s de !, 1 g e b r a de c o nju nt o s s e pu e deo b s e l '\l 'a r u na du a l i da ds i m i l a r .L a s l e ye s s o n s i m i t r i c a s r e s pe c t oa l a s o pe r a c i o ne s u ,n, y0e !,ys e pu e de b a l l a r l a du a lde c u a l q u i e r i de nt i da di nt e r c a m b i a ndo u c o n n. c o n t alq u et a m b i n i nt e r c a m b i e m o s 0 c o n po r e je m pl o , e n l o s e je r - c i c l o s pr e v i o s o b t u v i m o s L a i de nt i da d0UX -X .Re e m pl a - za ndo upo r n, y0 po r !, o b t e ne m o s !nX -X , q u e e sl a du a lde l a i de nt i da da nt e r i o r .A ni l o g o s i nt e r c a m b i o s e n l a s r e s - t a nt e s l e ye s pr o du c e n l a l e ydu a l .E l pr i nc i pi o de du a l i da ds ea pl i c a t a nt o a l l g e b r a de c o nju nt o s c o m o a l l g e b r a de i nt e - r r u pt o r e s . 4. Si AyBs o ndo s c o nju nt o s , s e l l a m a A /J .Ba l a difede AyB, q u e s e i l u s t r a e nl a f i g u r a 31 . Si eX , e nt o nc e s a E X Uyt a m b i n de X UZ, ys i ci e su ne l e m e nt o de do s c o nju nt o s pe r t e ne c e a s u i nt e r s e c c i n. Fi o .32(~)Xu Z~(1 )(Xu Y )n(Xu Z) ~ (d)Xu Y(cJ Xu (Y nZ) (b)Y nZ'(a )XDi b u ja m o s di a g r a l l l a s de Ve nn c o r r e s po ndi e nt e s a c a da m i e m b r o de l a .i de nt i da d(Fi g .32 ).Su po ng a m o s a ho r a q u e e su n e l e m e nt o c u a l q u i e r a de l c o nju nt o X U(YnZ), e s de c i r ,a e X U(YnZ).E nt o nc e s , s e g nl a de f i ni c i n de l a u ni n, e su n e l e m e nt o de X , de nZ, o de a m b o s a l a v e z(f i g u r a 32 , ayb ). PI .UHA SDE A L CUNA SUYI S 2 .5.Undi a g r a m a de Ve nn i l u s t r a l a v a l i de zde u na l e y,pe r o e s e v i de nt e q u e po r s Cs o l o no c o ns t i t u ye u na de m o s t r a c i n de f i ni t i v a .Si n e m b a r g o , s u g i e r e e l m t o do de de m o s t t a c:i n. Su po ng a m o s q u e q u e r e m o s pr o b a r l a l e ydi s t r i b u t i v a del a u ni n r e s pe c t o de l a i nt e r s e c c i n, e s de c i r ,X U(YnZ)-(X uY)n(X u 'Z) Pe r s i Ae s u ns u b c o n)u nt o de By'Be s u ns u b c o nju nt ode A, l o s c o nju nt o s AyBde b e n s e r i g u a l e s .L u e g o de l a se xpr e s i o ne s [l ]y[2 ]s e de du c eXU(Y nZ)-(XU Y ) n(XUZ) e s u n s u b c o nju nt o de XU(Y nZ).Pa r a e l l o pr o c e de m o s . c o m o a nt e s :s u po ng a m o s q u e e su n e l e m e nt o c u a l q u i e r a de l c o nju nt o (X UY )n(XUZ). E n- t o nc e s , s e g n l a de f i ni c i n de i nt e r s e c c i n, be(XUY )y be(XUZ). L u e g o o b i e n, u ne l e m e nt o de y e s de c i r , be(Y nZ).Si beX,e nt o nc e s beXU(Y nZ).Si be(Y nZ),e nt o nc e s beXu (Y nZ).L u e g o t o do e l e m e nt o de l c o nju nt o (XUY )n(X UZ)e su ne l e m e nt o de l c o nju nt o Xu (Y O Z),y (XUY )n(XUZ) u ns u b c o nju nt o de XU(Y nZ);e s de c i r ,(XUY )n(Xu Z)~Xu (Y nZ)~ L as e g u nda pa r t e de l a de m o s t r a c i n c o ns i s t e e npr o b a r q u e(XUY )n(XUZ) xu cY nZ)~(Xu Y )n(Xu Z)r uHe m o s de m o s t r a do a s q u e s i e s u ne l e m e nt o c u a l q u i e r ade l c o nju nt o XU(Y nZ),t a m b i n e s u n e l e m e nt o de l c o n- ju nt o (Xu Y jn(Xt. . \ Z),y c o m o e s u n e l e m e nt o c u a l q u i e - r a de XU nZ),ne c e s a r i a m e nt e t o do s l o s e l e m e nt o s de XU(XO Z)s o n de (XUY )O (XUZ). E l conju ntoXu (Y nZ) e s e nt o nc e s u ns u b c o nju nt o de l c o nju nt o (XUY )O (XUZ);e sde c i r ,L u e g o s i eX , e nt o nc e s (Xu Y )n(Xu Z).Si no e s u n e l e m e nt o de X , e s de c i r , e nt o nc e sae(Y \ Z).E s de c i r , eyaeZ.E nt o nc e s , e (Xu Y)y e(X u Z),l u e g oae(Xu Y )n(XUZ) l a c i ns o b r e u n di a g r a f f i a de Ve nn(Fi g .33), yc o n pr o b a r f k l - m e nt e q u e t a m b i n.s o n v l i da s pa r a e s e di a g r a m a l a s r e l a - c i o ne s X UY=Y; xnr -x; yX nY'=0. , Co m o u ne je m pl o de c m o po de m o s pr o b a r l a e q u i v a l e nc i ade e s t a s i de nt i da de s , c o ns i de r a r e m o s e l c a s o s i g u i e nt e .Su po n- g a m o s q u e q u e r e m o s de m o s t r a r q u e X g YyX nY'-0s o ne q u i v a l e nt e s .Te ne m o s q u e pr o b a r do s c o s a s :pr i m e r o , q u ede s u po ne r t i e ne q u e s e r X nY'=0; ys e g u ndo , q u ede s u po ne r X nY-'=0, t i e ne q u e s e r X g Y. Co ns i de r e m o s e l pr i m e r c a s o ys u po ng a m o s q u e xsSe a u n e l e m e nt o c u a l q u i e r a de l c o nju nt o X .E nt o nc e s ,c o m o ze X ys e de du c e q u e ze Y.L u e g o zS DE UNCONJ UNTO 2. 8. E nu ne je m pl o a nt e r i o r sel e pi di de m o s t r a r a l l e c t o rq u e s i n(X)de s i g na e t nm e r o de e l e m e nt o s de l c o nju nt o X,y n(Y )e l de l conju ntoe nt o nc e sn(XUY )n(X)+n(Y )-n(Xn l l b l l o J nl f i ,Pr o b a b l e m e nt e , l a m a yo r c o l e c c i n de s i l o g i s m o s e s ladeL E ~rsCA RRO L L . E s t o s s e e nc u e nt r a n r e u ni do s e nLewisv o l .I , "Si m b o l i c L o g i ca ndt he g a m e o f l o g i c ".Do v e r Pu b l i c a t i o ns , 1 958 (no a e de s e - c he c o m o ''l g i c a a nt i c u a da "). -n(CnA )+n(A nB nC) u B u nB) n(B nC) Su s t i t u ye ndo e n [l ]o b t e t l e m o sL u e g on[(AUB )nC]=n[(A nC)U(B O C)]n !1C)-n[(AnC)n(B nC)Jnn C)-n(An B n (A U B )nC=(A nC)u (B nC) (A UB )UC=A UB UC n(AUB )-n(A )+n(B )-(A nB ) a ho r a b i e n,u B ) u CJ =n(Au B )+n(C)-n[(AUB )nC] [l]l u e g o e xi s t e n di e ze s t u di a nt e s qu es o ns i m u l t ne a m e nt e m a t e m t i c o s yf s i c o s . Si t e ne m o s t r e s c o nju nt o s A, B ye;e l nm e r o de e l e m e n- t o s de s u i nt e r s e c c i n s e pu e de o b t e ne r e xt e ndi e ndo l a e xpr e - s i n a nt e r i o _r .Si e s c r i b i m o s e l a e xpr e s i ns e c o nv i e r t e e n5 0=40. +20-n(XO Y ) o b t e ne m o sn(XU Y )=n(X)+n(Y )-n(XnY) y u s a ndoll(XUY )5 0,n(X)=40,n(Y )=20E nt o nc e sr e s pe c i i v a m e nt e .E nt o nc e s Xne s e l c o nju nt o de l o s e s t u - di a nt e s q u e s o n l a s do s c o s a s y XUY e s e l c o nju nt o de l o se s t u di a nt e s q u e s o n m a t e m t i c o s , f s i c o s , o a m b a s c o s a s al a v e z. Ha y9e s t u di a nt e s q u e e s t u di a n m a t e r dt i c a s yf s i c a , yq u eno e s t u di a n q u m i c a . n(B )-n(M nP )-n{M nP nC) Se pu e de n pl a nt e a r o t r a s c u e s t i o ne s , t a l e s e l nm e r ode e s t u di a nt e s de m a t e m t i c a s yf s i c a q u e no l o s o nde qu - m i c a , o e l nm e r o de e s t u di a nt e s q u e e s t u di a n u na s o l a m a - t e r i a .E n e l di a g r a m a de Ve nn (Fi g .34), l a r e g i n Br e pr e - s e nt a a l o s q u e e s t u di a n m a t e m t i c a s y f i s i c a , pe r o no q u - m i c a .E se v i de nt e q u e~ ~" A ,C D E FGH " " '"L u e g o s o n30 e s t u di a nt e s e nt o t a l . , E I E M Pt .O2 .2J IJJJ II79 4laJ Se a nM, PyCl o s c o nju nt o s de e s t u di a nt e s q u e e s t u di a nm a t e m t i c a s , f i s i c a yq u m i c a , r e s pe c t i v a m e nt e .Qu e r e m o s o b - .t e ne r n(M UPUC), ys a b e m o s 'q u e n(M )=2 3, n(P)=l 9, n(C)=l l ,n(M nP)...J 3, n(PnC).. 7, n(M nC)... 9yn(M .nPnC)=4. M e di a nt e e l r e s u l t a do a nt e r i o r o b t e ne m o s : n(MUPUC)-2 3+19+ 13-ll-7-9+4s30E J e r dc i o 2 .8 l. " A l r e v i s a r i e 2 8c o c he s e n u na i ns pe c c i n de po l i c f a ,t e n a n f a l l a de f r e no s , 6f a l t a de di r e c c i n y6f ~l t a de l u c e s ;Ha y9e s t u di a nt e s de u na s o l a m a t e r i a . Unm l t o do m s s i m pl e de r e s o l v e r e s t e pr o b l e m a , q u e a lf i n c o i nc i de c o n e l a nt e r i o r , c o ns i s t e e nha l l a r e l nm e r o dee s t u di a nt e s de c a da r e g i n.Ee s l a r e g i nMnPnCye l nm e r o de e s t u di a nt e s de Ee s 4. L a r e u ni n de BEe s M nP,e l nm e r o de e s t u di a nt e s de Be s e nt o nc e s n(M nP)-4; e sde c i r , 1 3-4=9.A m i l o g a m e nt e , ha y3e n l a r e g i n ye nl a r e g i n D. L a r e g i n Ac o m pr e nde a t o do s \o J e s t u di a nt e sde m a t e m t i c a s , n(M ), m e no s l o s de l a s r e g i o ne s B, EyD. L u e g o e l nm e r o de e s t u di a nt e s de e s 2 3-9-4-55, y a n l o g a m e nt e ha y3e s t u di a nt e s e n l a r e g i n Cyl e n laG.L a r e u ni n de r e g i o ne s A, CyGt i e ne 5+3+1 9e s t u - di a nt e s ; l u e g o ha y9e s t u di a nt e s de u na s o l a m a t e r i a . _,+7.+9+1 3 3x30-2 K l 9-Zxl 3-2 x2 3 De s a r r o l l a ndo n(PUC), n(M UC)n(M UP), o b t e ne m o sn(A )+n(C)+n(G)-J n(M UPUC)-2 n{P)-2 n(C)-2 n(M ) +n(PnC)+n(M nC)+n(M nPJn(A )+n(C)+n(G)3n(M UPUC) n(PUC) -n(M UC)-n(M UP) ye l nm e r o de e s t u di a nt e s q u e e s t u di a n u na s o l a de l a s m a - t e r i a s e sE l nm e r o de e s t u di a nt e s q u e e s t u di a n u na s o l a m a t e r i ae s e l de l a s r e g i o ne s A, CyD. Pe r on(A ) ...n(M UPUCJ -n(PUC) n(C)=n(M UPUC)-n(M UC) n(G):n(M UPUC)-n(M UP) 3.'E n u na o f i c i na de c o l o c a c i o ne s s e o f r e c e n 2 9pu e s t o sde l r a m o de l a c o ns t r u c c i 6n.l 3s o nde a l b a i l e s , I 3de f o nt a - ne r o s yI Sde c a r pi nt e r o s .De s t o s , 6t i e ne n q u e s e r a l b a - i l e s yf o nt a ne r o s , 4 f o nt a ne r o s yc a r pi nt e r o s ya l b a i l e syc a r pi nt e r o s . a )Cu nt o s t i e ne nq u e s e r l a s t r e s o o s a s 1b )A c u nt a s pe r s o na s q u e s l o t e ng a n e l o f i c i o de al- l i a i l s e l e s pu e de o f r e c e r e m pl e o 1e )Cu nt a s pe r s o na s s e r e q u i e r e q u e s e a n.c a r pi nt e r o s y a l b a i l e s , pe r o no !o nt a ne r o s 14. L a s o f e r t a s pa r a l o s pu e s t o s v a c a nt e s de l a pr e g u nt a 3 ha n s i do l a s s i g u i e nt e s :a c u di e r o n 2 9, de l o s c u a l e s 1 5e r a nf o nt a ne r o s ..I 6c a r pi nt e r o s , 6a l b a i l e s yf o nt a ne r o s , 5f o nt a - ne r o s yc a r pi nt e r o s , Yl l a s t r e s c o s a s . a )Cu nt o s a l b a i l e s ha b a ?b )Qu pu e s t o s q u e da r o n v a c a nt e s 1e)Qu pe r s o na s no o b t u v i e r o n pu e s t o 7 de s t o s , 4 t e n a n f a l t a de f r e no s y de di r e c c i i l , l de d r e c - c i nyde l u c e s , y3de r r e a o s yde l u c e s ; l c o c he t e n a f a l t ade l a s t r e s c o s a s . a )Cu i nt o s c o c he s no t i e ne n ni ng u na f a l t a 1b )Si s e pe r m i t e c i r c u l a r a l o s c o c he s c o n s l o f a l t a del u c e s , c i .J nt o s c o c he s t i e ne n q u e r e pa r a r s e 12 . Una f i r m a de c o ns t r u c c i n de c i de c o m pa r a r l a s i t u a - c i nl e g a l de I SOho m b r e s .Se e l i g i e r o n t r e s c l a s e s , c a s a do s , c o nu no s t r e i nt a a o s de e da d, yg a na ndo a l r e de do r de 2 50000pe s e t a s a l a f i o .Se e nc o nt r q u e 94 ho m b r e s e s t a b a n c a s a do s ,q u e 1 04 t e n a n u no s t r e i nt a a o s .yq u e 32 g a na b a n m s de2 50000pe s e t a s a l a o , q u e 31 e s t a b a n c a s a do s yt e n a n u no st r e i nt a a o s , 5de l o s de l g r u po de t r e i nt a a o s g a na b a nu na s2 50000pe s e t a s po r a f i o , a s i m i s m o c o m o 1 3de l o s c a s a do s ;f i na l m e nt e ha b a n 3ho m b r e s de t r e i nt a a o s , c a s a do s yg a - na ndo u na s 2 50000pe s e t a s a l a o .E l pr o pi e t a r i o de laf i r m as o s pe c hq u e no s e ha b a o b t e ni do ni ng u na c o m pa r a c i n, t e - nia r a zn?B lbUopaffaM =:T~i -:ht l a f #l l f f l ~l r o o .Be l l ,1 %S. B u u a. :l b / MOfJIo{ #U.Pr m t l c a -H.1 1 1 ,L I P S aWT 'Z:S d/M O ffllffl4m,,u ,ltopia. S diau m,1964.STo u .:s, u, l. ofic" " 41 lr ionwt ict hwia. Fr Hm& D, l f f l . E l de Br e u e r e s s o b r e s a l i e nt e . I I I UOCI A f t A SOl kt CONJ UNTOS L a t e o r a de c o nju n o s .e n g e ne r a l , e s f u nda m e 1 1 1 a l pa r at a l e c t u r a yc o m pr e ns i nde m u c hc xs t e m a s "m o de r no s ".Da m o sa q u l a r e f e r e nc i a de c u a t r o l i b r o s (e n o r de n de di f i c u l t a d pr o g r e s i v a )q u e e s t a b l e c e na di f e r e nt e s ni v e l e s l o s f u nda m e nt o sde l a t e o r f a de c o nju nt o s : Bl b l l o n~l a A l >u & :Pr o b o b wt DohsoD,~).W1 1 r ns r n:BoolH, , iuA pPl i a r t i c nu .A ddi a o n, We s l e y,'"'- FD..L U(Jnt r oduait mloTMOr l/ ,e e t , l .Wi kJ , 1 959. 'Ho u , Jnt r oduct ipnMat lt fflt ot it #lWl l e y, 1 961 . MEN OEN KIIU. , Jnt r oduct mt oSt ar inicr .Wa dt wo r t l l Pr e nt i c e -Ra l l ,1 961 . 'BA n.s :A ddu o n-We s l e y, 1 %5. 6. Une je m pl o a de c u a do de l u s ode l nm e r o de e l e m e nt o sde u nc o nju nt o l o c o ns t i t u ye l a t e o r a de l a pr o b a b i l i da de l e - m e nt a l .&r e c o m i e nda a l l e c t o r l a s i g u i e nt en(W UX UYU 2 )-n(W)+n(X )+n(Y)+n(Z)-n(WnX ) -n(XY)-n(YnZ)-n(Zn W) -n{X OZ)-n(Wn Y ) +n(wnxnY)+n(X n YnZ) +n(YOZOW)+n(WnX nZ) -nn, 4lld t Mdnin, of t t r m i na lconl< Jct net wor kJ, M J .T.t he s i i , 1 956,L o s -e l e m e nt o s de e s t e pr o du c t o c o n, u n nm e r o m ni m o de l e - t r a s t i e ne n.s e i s l e t r a s , c o m oM , e t c .E s t a s s o n e nt o no e s s u m a sm ni m a s po s i b l e s . E s n di e s e e s t e m t o do .L a v e nt a ja c o ns i s t e e nq u e s e o b - t i e ne n t o da s l a s s u m a s m ni m a s , yl a de s v e nt a ja e n q u e s eha c e u s o de l t l g e b r a "pe s a da "{v a s e l a r e f e r e nc i a 2 , a pa r t a do 5.6). q u e s e de s a r r o l l a a E ) (D G,,A f ++G, M ,E v i de nt e m e nt e , u na s e l e c c i n de t a nt e o a pa r t i r de e s t a t a b l apu e de t e ne r di f i c u l t a de s , e s pe c i a l m e nt e 'de b i do a q u e no ha y c o l u m na s c o n u ns o l o a s t e r i s c o .Si ne m b a r g o , e l t r m i no c a - nni c o 3s e c u b r e po r e l t r m i no c a nni c o 5por e t c t e r a . L a f u nc i n e nt e r a s e c u b r e po r(A +B), (C+D) (A +C+E J (l +M ), (D+H+L ) F1 0.Ta b l e r odepr u e b a sl a pa r t e -Sl l pe r i o r e nc a da u no de J o S~i :r t r i pl e s .c o n'i r o l a : =~k''~~~r i ~~:f ~r i ~t !~~~~~~!t -~1 ~1 1 ::-1 ::~ do ne s ), e l c a s q u i l l o de l c e nt r o s e c o ne c t a e l c t r i c a m e nt e c o ne l de l a pa r t ei nf e r i o r e nc a dau no de l o sc u a t r ot r i pl e s . E f 't a b l e r o ~de pr u e l :i .a s e s u na pa r a t o s o b r e .e l c u a ls e pu e deha l l a r .l a s o l ~c i 6n.de u npr o b l e m a de , i t ~r 1 1 1 c pt o r e s s i m pl e s . ~1!f:i~dw~;1~r;d:~ ~~;1 ~:e d~~!~:;/:~!~:1 ~ m u e s t r a e l di a g r a m a .C.a da u no de l o si nt e 'r r u 'pt o r e s c o nt t o l ac u a t r o t r i pl e s , q u e s o n e l c t r i c a m e nt e i nde pe ndi e nt e s , de t a l~1 t ~t r 1 1 f ;;~;,i;;rn;:,;~~;;~~;,;,~r~.- q;Cpq q;pq;Epq . p;P ;p'; ;; N p PYP:, p~ q;_ _ pe1 : -~i p 1 r p: ~ ii: . Rpq_Co nju nc i nDi s ju nc i nCo ndi c i o na ll . ~c ~o pr o po s l c i o na J(1 1 ~.~~"i ;~~~+- L o s r e c u a dI 'OS]~pu n1 e a do s i ndi c a n J a .pa r t e de l c r c u t o q u ev a pr i m e r o .E v i de nt e m e nt e , pu e de n o m i t i r s e . . _(z0r,)0_z z~(r,0z) :r ~:, ;. ; :1 ,~([)~=, ~;~ L u e g o; ,, ' ' ,, (11). z ' . ' ' ,, , ,(:r 0r )C.o :0r )0,E je r c i c i o J j. ~~~~~~~~~~-1. (1):r :i :"m " "~po r "l' , ., , .," ' E, .,...,. , " " " ' i m pa r" ' im= i m pa r : .\m ? 'r" '" " ' E je r c i c i o l .S L o s r e c u a dr o s pu nt e a do s i ndi c a n l a pa r t e de l c i r c u i t o q u e v apr i m e r o .E v i de nt e m e nt e , pu e de n o m i t i r s e . C' t di _ {,-,- }L u e g o e l , c i r ~u i t o (s i n s i m pl i f i c a r )e s x > '. '.x' )' :L """'- 1 1 :+:r 1 1 i '+, , 1 / r "'r '.1 1 11' ' ' 'e ooo--c,-,J - e s de c i r , "L a t r a ns m i s i n de z e s e .y'+z' o. .o1. L oo, oooo111oo11o.,RojoVmfc . t , . %'L u e g o e l c i r c u i t o (poco-{ ,,.s i m pl i f i c a do )e s8.Su po ng a m o s q u e u ni nt e n'Upt o r r e g i s t r a1 c u a ndo a y pe l i g r o , Oc u a ndos e pu edes e g u i ra de l a nt e : ' / z+.x' !/ z' ye l c i r c u i t o e s -{:=;=:}J( )' t :1 0.Se a nl a s b o m b i l l a s B, D, C, r e s pe c t i v a m e nt e , yl o si nt e r r u pt o r e s q u e lasc o nt r o l a nb, d,, e t c .(s i e t e t r m i no s ). -E'. ,3- Ci r c u i t o ,L, . (t / Gu s t i f !q u e s e m e di a nt e u na t a b l a dev e r i f i c a c i o ne s ). Co m o : / z'Ob s r v e s e q u e L. yLos o n c o m pl e m e nt a r i o s L, . : !/ :',da ndo e l c i r c u i t oL a c o r r i e nt e pu e de f l u i r po r c u a l q u i e r c a m i no . L mi=bro-C'::J - 5.(a) A n l o g a s o l u c i n pa r aL a s t a b l a s de v e r i f i c a c i o ne s de .z, x+xs o ni dnt i c a s . Tabladever ificaciOM&E je r c i dov a s e .t e xt o. ..():~:::::~:=1 -}'' ''"'"Su po ng a m o s q u e l a l u zde l techoa l u m b r a c u a ndo c o ndu c e ,yl o s o t r o s i nt e r r u pt o r e s no c o ndu c e n (f i l a 4).Su po ng a m o s ,a de m s , q u e l a l m pa r a de l a c a m a a l u m b r a c u a ndo y c o ndu c e n.A nf i l o g a m e nt e , pa r a l a l m pa r a de l pu pi t r e (f i l a s 2y 3).Su po ng a m o s q u e c u a ndo l o s t r e s i nt e r r u pt o r e s c o ndu c e n,l a s l m pa r a s no a l u m b r a n (f i l aSi a ho r a l a l m pa r a de l p\l pi t r e a l u m b r a (f i l a 3), pu e dea pa g a r s e .s l o m e di a nt e d~ Oq u e da l a f i l a 1 00, e s de c i r , e li nt e r r u pt o r de l a l m pa r a de )t e c ho c o ndu c e . Co m pl i c a c i o ne s a n i o g a s s u r g e n c u a l e s q u i e r a q u e s e a nl a sc o m b i na c i o ne s de i nt e r r u pt o r e s yl m pa i a s q u e s e u s e n. l t 'l OI CA CI QNE S, 1 1 .E SPUE STA S, SOl UCI DNE S (:r +r , )'y. t 't i e ne n l a s m i s m a s t a b l a s de v e r i f i c a c i n. L u e g o (:r +y)'-z' y'.ySo l u c i o ne s a n l o g s a lu a nt e r i o r e s . 7.(z+z)'no pu e de r e pr o du c i r s e di r e c t a m e nt e s o b r e u nc i r c u i t o c o n i nt e r r u pt o r e s .Co ns t r u ya m o s l a t a b l a de v e r i - f i c a c i n. r y:r +1 ' t i e ne n la m i s m a t a b l a de v e r i f i c a .c l o ne s . So l u c i n a n l o g a pa r ai r +:r ,e s de c i r ,r +.t '-1 . So l u c i n a n l o g a pa r at .m i e m b r o~x--i __e se v i de nt e m e nt e6Cl L .., ____:_., J m l u nda nt e2 .mi=bro---- f )Re s pu e s t a :=:y. g)De s a r r o l !a ndo o b t e ne ni o sz (Z if)= z (.a :+y)Se po dr a s u po ne r q u e l a s i g u i e nt e s o l u c i n e s l a m e jo r : (X Tx')=X =(x+y'} (y+y'}---s e g u nda l e ydi s - t r i b u t i v aE xi s t e n, s jne m b a r g o , o t r a s s o l u c i o ne s q u e u s a n e l he c hode q u e c o m o s i g u e : y'+.a :, y'+.a :,, , , z, (y+y')+J / (%'+x) A u nq u e e ne s t e e je m pl o pa r t i c u l a r e l r e s u l t a do f i na l e s e lm i s m o , s u u s o pu e de a m e nu do pr o du c i r po s t e r i o r e s s i m pl i c e c i o ne s(v a ns e m t o do s de s i m pl i f i c a c i nde l e a pf t u l o 5):d) =q . Ot r a s f o r m a s e q u i v a l e nt e s s o n: a ). . . . . . q= : > p;e s de c i r , s i no e xi s t e n i nf i ni t o s nm e r o spr i m o s , e nt o nc e s no e s u nnm e r o pr i m o (e s de c i r ,no e xi s t e ni ng n nm e r o pr i m o ). b )(pll. . . . .q)= p;s i pe s pr i m o ys l o ha yu n nm e r of i ni t o de nm e r o s pr i m o s , e nt o nc e s no e s pr i m o . e)(pll,-q)= s i pr i m o ys l o e xi s t e u nnm e r of i ni t o de nm e r o s pr i m o s , e nt o nc e s e xi s t e n i nf i ni t OSn- m e r o s .pr i m o s . d)(pll, q)= r ll. . . . , , ;s i pe s pr i m o ys l o e xi s t e u r i nm e r o f i ni t o de nm e r o s pr i m o s , e nt o nc e s ha yu na c o n- t r a di c c i n. E n l a de m o s t r a c i n u s a m o sL a s pr e m i s a s s o n" re s pr m c v .ys l oe xi s t e u nnm e r o f i - ni t o de nm e r o s pr i m o s .Su po ng a m o s q u e e s t e nm e r o f i ni - t o e s . : i, ,:i:. ,. . ,:i , .. To do o t r o nm e r o de b e s e r di v i s i b l e po r u no de e s t o spr i m o s . Bl b l i o g r a f l aLogit : , pu b l i c a da po r E l l i o t t A u t o m a t i o n. FU.NA GA .'I YM OL 't 'NE UX :"A l o w s pe e ds i ng l e s u pp]yNOR!o g i c s ys - t e m ", J u l y1 %4. K E L L .e T:"1 .'l 'e E l l i o t She f f e r s t r o l t e s t a t i c s wi t c hi ng s ys t e m ";Se pt e m b e r 1 960. E nl c e ns e e s t o s do s c i r c u i t o s pa r a o b t e ne r u na r e s t a do r ao o m pl e t a . ~' ' ,- )'-yl .l l ). (r '+y)++z' l a no t i c i n+, , , pu e s de o t r a for- m a r e s u J t a mase ng o r r o s o ; s e pu e de r e m pl a za r+porV, po rA y'po re -s i s ede s e a ). l .v a s e t e xt o . E je r c i c i o 3.1 1E l e m e r c . i.. . . z, , +l no e s di v i s i b l e po r ni n- g u no de di o s , ya qu e siempre o b t e ne m o s e l r e s t o l. L l e g a m o sa s a u na c o nt r a di c c i n. L o s n6.m e r o s pr i m o s s o n e nt o nc e s i nf i ni t o s . E jmkio4. 2 l. a )E su na o pe r a c i n u ni t a r i a s i s e e xc l u ye e l c e r o . b )No , ya q u e 2 -tq u e no e s u n nm e r o e nt e r o . e)E l c o nju nt o de l o s r a c i o na l e s di s t i nt o s de c e r o ; e lc o nju nt o de l o s c o m pl e jo s di s t i nt o s de c e r o . ,~De m u s t r e s e q u e u na r e s t a do r a c o m pl e t a s e pu e de c o ns t r u i rm e di a nt e r e s t a do r a s i nt e r m e di a s de l a s i g u i e nt e f o r m a : Difur ncia I V)L a r e s t a do r a i nt e r m e di a , po r a na l o g a c o n l a s u m a - do r a i nt e r m e di a , de b e t e ne r l a t a b l aE je r c i c i o 4.41 .L a s o pe r a c i o ne s f. . , Vs o n c e r r a da s .Vc o r r e s po nde a +.yA c o r r e s po nde a ..L o s e l e m e nt o s Oy1 s o n u na pr o po s i c i nE je r c i c i o 4.3 ? .a )L a pr i m e r a l e ydi s t r i b u t i v a no s e s a t i s f a c e .Co ns i - de r e m o sL apr i m e r a l e ydi s t r i b u t i v a e sE l pr i m e r m i e m b r o e sE l s e g u ndo m i e m b r o e sL o s r e s t a nt e s po s t u l a do s s e s t i s f a o e n. b)L apr i m e r a l e yc o nm u t a t i v a no s e s a t i s f a c e (l a t a b l ade a di c i n no e s s i m t r i c a ).e )L a s e g u nda l e yc o nm u t a t i v a no s e s a t i s f a o e Oa t a b l a ' de m u l t i pl i c a c i n no e s s i m t r i c a ). E xi s t e u n e l e m e nt o u ni da db), pe r o ni ng n e l e m e n- t o c e r o . e )E xi s t e u n e l e m e nt o c e r o , pe r o ni ng n e l e m e nt ou ni da d. f )E ne s t e c a s o ha c e e l pa pe l de 0yde / , ynot i e ne c o m pl e m e nt a r i o .To do s l o s po s t u l a do s s e s a - t i s f a c e ns ie xi s t e u ns o l o e l e m e nt o c o nl a pr o pi e da d yL u e g o r e q u e r i m o s q u e e l e l e - m e nt o o e r o ye l u ni da ds e a ndi s t i nt o s . + e s u na o pe r a c i n b i 1 1 a r i a e nZ, R, C(e xc l u ye ndo e l c e r o ). e nt e r o s ne g a t i v o s -3x-4+1 2 ). xe s u na o pe r a c i n b i na r i a e nN , J, . z, R, C(pe r o no e nl o s2 .De s i g ne m o s e l c o nju nt o i ;!e l o s na t u r a l e s po r N , e l de!:r~~~i5d':f o ! C:~~~I : ;:~~e s po r Z, . e l de l o s r e a l e :s+e s u na o pe r a c i nb i na r i a e nN ,I, Z, R. c. "-e s u na o pe r a c i n b i na r i a e n z. L u e g o no e s u n l g e b r a de Bo o l e . y6 1 0=2 . A m b a s no s e v e r i f i c a n; p.e j., e l c o m pl e m e nt a r i o -de 6e s60/6; e s de c i r , 1 0../ L asl e ye s r e q u i e r e n y a '=l ,pe r o 6+1 0=30. 0c o r r e s po nde a 1 e a 60. L u e g o e l m i e m b r o de \a i zq u i e r da e s i g u a l a l de l a de r e c ha . Png a ns e m s e je m pl o s yc o m pr u b e s e q u e e s t a l e ydi s t r i - b u t i v a s e v e r i f i c a e ne l l o s .Tr t e s e de g e ne r a l i 7.a r l a de m o s t r a ci n.De m u s t r e s e a n l o g a m e nt e q u e l a o t r a l e ydi s t r i b u t i v a t a m - b i n s e v e r i f i c a . 60 2 ' 3@[(2 ' 5)0(2 3 5)]y(2 ' 3Gl 2 ' 5)0(2 ' 3+2 3 5) e s de c i r 2 ' 3Gl 2 1 3 Sy(2 ' 3 5)0(2 ' 3 5) '2 ' 3 52 ' 3 5 f a l s a a r b i t r a r i a yu na pr o po s i c i n c i e r t a a r b i t r a r i a , r e s pe c t i v a - m e nt e .E l c o m pl e m e nt a r i o de u na pr o po s i c i n e s s u ne g a c i n. L a spr e g u nt a s 2 -6s o nt o da s s e m e ja nt e s , ye ne l l a s s e t r a t a.de c o m pr o b a r l a s o c ho pa r t e s de l o s po s t u l a do s de Hu nt i ng t o n. Se i nv i t a a l l e c t o r a e s t u di a r e s t o s s i s t e m a s .S6l o da r e m o s a q u do s s o l u c i o ne s . 2. a)Co m o t o do s l o s e l e m e nt o o s o ndi v i s o r e s de 60, l a so pe r a c i o ne s .+ y, s o nc e r m da s .'s e v e r i f i c a e v i de nt e m e nt e .' P, :c o ns i de r e m o s e l s i g u i e nt e c a s o pa r t i c u - l a r , do nde i ndi c a m o s l a s o pe r a c i o ne s m xi m o c o m nym ni m oc o m nm l t i pl o po r ffiy0, r e s pe c t i v a m e nt e .L a m u l t i pl i c a - c i no r di na r i a s e i ndi c a po r "".Si s e v e r i f i c a l a l e ydi s t r i b u - t i v a , e nt o nc e s 1 2 @(2 0'0.30)=(1 2 @2 0)0(1 2 @30). E xpr e s e m o s a m b o s m i e m b r o s e n f a c t o r e s pr i m o s ;6.P, Co ns i de r e m o s l a s l e ye s c o nm u t a t i v a s : (p,q )+(r , s );s e [m a x(p, r )'.m ~n(q , s)]lc o nm u t a t i v a s pa r a +y (r , s )+(p, q )=[m :u (r , P, ), m m (s , q )JA n41 o g a m e nt e , s o o t a m b i f o c o nm u t a t i v a s .pa r a l a m u l t i pl i c a c i n.. P, :Co ns i de r e m o s l a s l e ye s di s t r i b u t i v a s : (a +c ) Pr i m e r m i e m b r o (p, q)+(r , s), (u , i , ) .""(p, q )+(m i n(r , u ), m a l i {s , v )] .. [m a x(p, m i n(r , u )), m i n(q , m a x(s ,v ))][A JSe g u ndo m i e m b r o [(p, q )+(r , s )J [(p, q)+(u, v)}.-[m a x(p, r ),m i n(q , s )} (m u :(p, 1 1 ), m i n(q ,v )] .., . [m i n(m a x(p, r ), m a x{p,u )),m a x(m i n(p,s },m i n(q , v })][B] Co m pr u i b c s c q u e [A l{B ] s u s t i t u ye ndo v a l o r e s deu , v , pr o b a ndo a c e s t r i ng i r e l l g e b r a a l o s d g i t o s l , 2 61 , 2 , 3. Pr u b e s e e l r a zo na m i e nt o g e ne r a l :c o ns i de r e m o s e l c a s o g e ne r a !, s i pe s , p.e j., e l m a yo r , yqe l m e no r de l o s nm e r o s ,(A ]y[B}s er e du c e n a s i < < e , [A ]y[B] s e r e du c e n a (r ,q). L a i de nt i da ds e s a t i s f a c e pa r a e s t o s do sc a s o s .Co m pr u b e s e q u o t r o s c a s o s ha y, ys i l a i de nt i da d s e v e r i f i c a e ne l l o s ...- L a s e g u nda l e ydi s t r i b u t i v a r e q u i e r e u n r a zo na m i e nt o a n l o g o . L o se l e m e nt o s 0e r e q u i e r e nq u e yl a .Co - m o he m o s de f i ni do u n c o m pl e m e nt a r i o , e s m e jo r c o ns i de r a rpr i m e r o P, . P, : (p, q )+(p, *'(p, q )+(q , p), ., [m a x(p, q ), m i n(q , p)] q u e c o r r e s po nde a !.E s t c no e s ni c o s i e l c o nju nt o e s e l del o s nm e r o s na t u r a l e s ; p.e j., s i p-3, e nt o nc e s 1 (5, 3),pe r o s i p-2 , q =4, e nt o nc e s 1 (4, 2 ). E xi s t e t .l g n s u b c o nju nt o de l o s nm e r o s 'na t u r a l e s pa r a e lq u e l s e a ni c o ?(Pr u b e s e a r e s t r i ng i r e l l g e b r a a 1 , 2 ; i nc l .ya s e e l c e r oypr u b e s e a r e s t r i ng i r l a a O, l .) SI STl M A SI I OOl f A NOS1 4E s t a e s u na e xpr e s i n'c o ndi c i o na i , ys e pu e de e s c r i b i r!(p.....q )l l (q ..:.r )I .....(p.....r ) M e di a nt e l a s t a b l a s de .v e r i f i c a c i n (e je r c i c i o 3.5, q ), s epu e de de m o s t r a r f c i l m e nt e q u e. (p, --, .q )l l (q .....r )\-+(p.....r )l =l . pi 't r a t o do s p, q , r , yl a pr o pi e da dt r a ns i t i v a e s e nt o n~s v l i da . p +r .I I I )Pr o pi e da dt r a ns i t i v a :Si p. . . . . qyo er . e nt o nc e sE je r c i c i o 4.6 l .E n e l a pa r t a do 3.7de m o s t r a m o s q u e s i s o npr o po - s i c i o ne s , e nt o nc e s p. . . . . qy..... p Vqs o ne q u i v a l e nt e s .Una r e l a - c i nde o r de n pa r c i a l e s r e f l e xi v a , a nt i s i m t r i c a yt r a ns i t i v a . Co m pr o b e m o s e s t a s pr o pi e da de s :I )Re f l e xi v a ; e s de c i r , p .....p.,Co ns i de r e m o s l a e xpr e s i n e q u i v a l e nt e .... p Vp, q u e e ss i e m pr e c i e r t a .L u e g o p. . . . . pe s s i e m pr e c i e r t a ys e v e r i f i c a l a pr o pi e da dr e f l e xi v a . I I )Pr o pi e da da nt i s i m t r i c a ; e s de c i r , s i p. . . . . qyq. . . . . p,e nt o nc e s p= q. Re m pl a za ndo p. . . . . qyq .....ppo r l a se xpr e s i o ne s e q u i v a l e nt e s PVVl a e xpr e s i n" p. . . . . qy q.....p" s e pu e de e s c r i b i r(-pVq )/1 (.....q Vp) q u e s e pu e de de s a r r o l l a r a (-p1 1 q)V(p I Iq )'. E s t o e s .c i e r t .o ; e s de c i r , 1 (-pl l -q )V(pl l q )_\=1 c u a ndoP'" '1 yq=1 , o c u a ndo p= Oyq= O, ye nni ng no t r o c a s o . L u e g o p. . . . . qyq. . . . . pese q Ui v a l e nt e .a p=q (e nr i g o r I PI .,-lql).Di s c u s i n a n l o g a pa r aS.i e na l g n c o nju nt o 1 60s o nni c o s , c o m pr u b e s e P, .N ot a: No s l o t r a t a m o s de c o m pr o b a r s i u n- s i s t e m a e s o nou n l g e b r a de Bo o l e , s i no t a m b i n m o di f i c a r l o s po s t u l a do sq u e no s e v e r i f i q u e n yo b t e ne r nu e v a s e s t r u c t u r a s b o o l e a na s . (L osnm e r o s de l do m i ni o s e r e f i e r e na l a s f i l a s de l a t a b l de v e r i f i c a c i n.) E >pK i o do Y1 l o r 1L u e g .? l a c ne c t i v a c o ndi c i o na l -+ e s t r a ns i t i v a . Co ns i de r e m o s a ho r a \o s po s t u l a do s de Bl r kl wf f yM a c L a nede u n l g e b r a de Bo o !e .E l c o nju nt o Be s -e l c o o ju nt o de t o da s~~n~b i :~~::e ~i s j!;nr u ~a i o J o j:n:~s ~~s ::e 1f a s~:: A c a b a m o s de de m o s t r a r qu eBt i e ne u na r e l a c i n de o r de npa r c i a l -+ q u e s a t i s f a c e l o s po s t u l a do s I l )a ), b )yc ).E l pr i n- c i pi o de c o ns i s t e nc i a e s t a b l e c e q u e p +q, pAq= p, pVq q s o n e q u i v a l e nt e s .Co m pr u b e s e m e di a nt e t a b l a s de v e r i f i c a - c i n., E l po s t u l a do I I I )r e q u i e r e !:l )e m e nt o s 0e l :b ), c ), d), e ), !es a t i s f a c e n c o nl a s s e nt e ne i a s u nt v e r s a l m e nt e f a l s a yu ni v e r s a l - m e nt e e i e r t a Oyl .E l po s t u l a do l l i )a )r e q u i e r e q u e O-+p-+.l . De last a b l a s de v e r i f i c a c i hs e o b t i e ne I O-+p ... l pa r a t o do s ,l o s v a l o r e s de p, yI P-+ l l -1 pa r a t o do s l o s v a l o r e s de p. L u e g o l l l ), a )O-+p-+l e s s i e m pr e c i e r t a . Fi na l m e t e , l a o pe r a c i nu ni t a r i a r e q u e r i da po r l o s po s t u l a - dosf V)e s !a ne g a e i n-, ys e v e r i f i c a na s f t o da s l a s pr o pi e - da de s . 2 .E n l a pr e g u nt a l u s a m o s l a e q u i v a l e nc i a de p +qy -pVq ye s t a b l e c i m o s q u e -+ e r a u na r e l a c i n de o r de npa r - c i a l .P:a r e c e e nt o ne e s r a wna b l e de f i ni r :r ~yc o m o e l c i r c u i t oq u e pr o du c e e l m i s m o r e s u l t a do c o ne l m i s m o da t o qu es ' Co ns i dr e s e e s t e he c ho yh g a s e u nr a wna m i e nt o a n l o g o a lde l a pr e g u nt a l. - E je r c ki o 5.3 l. ~ yz' +;, ; fz+:i;' y z+a : fz. E s t di e ns e l a s g r i i c a s m e di a nt e fu ncionese q u i v a l e nt e s c o - no c i da s . Co ns i dr e ns e l a s g r f i c a s c o m o u n m e di o de e nc o nt r a r f u nc i o ne s e q u i v a l e nt e s . 3.I )y I I ). To da s lasf u nc i o ne s t i e ne n l a m i s m a t a b l a dev e r i f i c a c i n, yde b e ne nt o nc e s t e ne r l a m i s m a g r f i c a . E je r c i c i oa ) b)y a n l o g a m e nt e pa r a o t r a sq u o m pr nda n t r e s t nni no s . c )ya n:i l o g a m e nt e pa r a o t r a s q u e c o m - pr e nda n do s t r m i no s .d).:e e r c .:no s e s i m pl i f i c a n. E je r c i c i oTo do s l o s pa r e s po s i b l e s de r e g i o ne s c o nt i g u a s s o n:1 ,2 : 1 , 4; 2 , 3;3, 4.Re dzc a ns e a l g e b r a i c a m e nt e . Png a ns e o t r o s e je m pl o s .Se pu e de e nc o nt r a r l a formac a nni c a du a l a pa r t i r de l a t a b l a de v e r i f i c a c i n? E s t di e s ec o n e je m pl o s . Fa c t o r i za ndo=(.t +y+z), (:Hy+z') (z+r , +z):, c (.t +y+z), (x+y+z') (.t +!f +z) z=(.t +y+z z')(x+z+yTo do s l o s s u m a ndo s de b e nc o nt e ne r t o do s l o s e l e m e nt o s de l l g e b r a c o npr i m a o s i ne l l a .Su m a m o s e nt o nc e s z, z' (=0)e , .,(=0)o b t e ni e ndo6.L a f o r m a du a .l c a nni c a , a v e c e s l l a m a da for ma E l pr o c e s o e s e s e nc i a l m e nt e e l du a l de !pr o c e s o dee nc o nt r a r l a f o r m a c a nni c a . E J E M PL O: Fa c t o r c e s e pr i m e r o c o m o pr o du c t o de s u m a s . z=(x+y), (z+_z) I U)S er e du c e a l e l e m e nt o c o m na.l e s c u a t r o r e g i o ne s . 3.1)Ge ~e r a l m e nt e , l o m e jo r e s r e du c i r a do s pa r e s . I I )Se r e du c e a : L u e g o l a f u nc i n s e ~u c e a :, z'. 2 .I )L a f i l a de c u a t r o r e g l o ne s s e r e du c e a l t f r m i no del a fa; p.e j., t '+: t ! 1 f :+z' z's er e du c e a :.c '. l a s r e g i o ne s O, 2 , _4, 6, s eredu cena z'(v&seV);l a s r e g i o ne s 4, S, s c r e du - c e na :r y' s e r e du c e a u nb l o q u e dec u a t r o , da ndo z's er e du c e a / :'+: /,e s de c i r , /(:+%') seredu ce aE ~r c k:i o S.4c J .)) :E f E EnI ) :1:H-H V)y'.z'y'. : J I .Z. >l'I ,' ' OOl l A' ' O-l I' 01 01B 3, 1 1-o ll 01 1 0e' ' 01 -l' 1 001 DS, 1 3 -l o t"1 01 0 R ' ' OI l - 1 21 1 00F 6, 1 4-l I O o 9, 1 1I O-1' 01 1 1 H!>, U 1 -01":n~ J I 0, 1 1 I O1 - uK 1 0, 1 4 1-101 1 1 0L l l , I J1 1 O-., , ~ M 11,14 1 1 -~o .,Po r e l m l !t o do de l a r e pr e s e nt a c i ng r i f i c a :l a f u nc i no r i g i na l e soe .:r D' l' z'L a a g r u pa c i n e npa r e s q u e s e m u e s t r a e nl a f i g u r a da l u g a ra l a m i s m a s i m pl i f i c a c i n. AB e @ D2467S l 1 1 )E l m t o do de M c Cl u s ke yr e du c e l a f u nc i n aA, B, C.2. l )Va s e t e xt o . E je r c i c i o S.4gl , Re f i r e s e a l e je n:i c i o Hf , ys o l u c i o ne s . E s t o r e du c e l a f u nc i n a s e i s t r m i no s , m i e nt r a s q u e po r e lm t o do a nt e r i o r ha b l a m o s o b t e ni do do c e . mi....Unm !t o do pa r a o l i t e ne r u na m a yo r r e du c c i ns e di s c u t e e nl a s pjg i na s s i g u i e nt e s de e s t e c a p t u l o (5). Pa r a l a r e pr e s e nt a c i n de K a r no u g h, l a f u nc i n de b e e s c r i - bree' e. r +1 1 !J +I IL a a g r u pa c i n de b e ha c e r s e de l a f o r m a m i s e c o nm i c a ys eo b t i e nef t l 1 1 ';t . P z+f= t l: t z+u 1 1 z+z+u ' r l x"'z" De m u 6s t r e s e q u e c s t u do s f u nc i o ne s s o n i g u a l e s . I V)Ni ng u na r e du c c i n. V)5;e s i m pl i f i c a a v a r i a s c o m b i na c i o ne s de s e i s t r - m i no s pr i m o s c a da u na t a n b u e na c o m o l a s o t r a s . Va s e l a pr e g u nt a 3de e s t o s e je r c i c i o s . e s de c i r ,A, C, G, de b e ne s t a r e nl a s u m a m f ni m a , pu e s . pr o - po r c i o na nl a ni c a e nt r a da a lasc o l u m na s O, 9, ?l.E l s i g u i e nt e t r m i no pr i m o q u e c o nv i e ne e s E.Sl o q u e da l a c o l u m na 5, q u e pu e de s e r c u b i e r t apo r B6D.L u e g o l a s u m a m ni m a de b e s e rf -(A , C, G, E, B)6f (A, C, G, E, D) e+ +@ @. A B+ +e @D++E @ FG Ol 92 7n J U)Si e t e t , nni no s pr i m o sL o s t & m i no s pr i m o s ByCc u b r e n l o s t i nni no sc a nni c o s . E l r e s u l t a do c o i nc i de a ho r a c o n e l de l m t o do des i m pl i f i c a c i n de l a r e pr e s e nt a c i ng r i .f i c a . Co i npl e m e nb r l o . A l c e .b nde i nt e - r r u pt o f f l , 1 0, 2 1 . -c t l e u l o pr o po a i c i o r i a l , 1 0, 2 1 . -n!1 t l v o , %. -Uni c i da d de l , 1 1 2 . Co ndi do na l c o ne c t i n(... ), 65. -~da{=>),11.Co ne c t i n, 76. Co !I Oi n(u )a i pa r a l e l o .l nt e - m i p:, N!l .4,-t nf e r i e , 2 . Co nju nc l n(A ), 75. Co nju nt o (i ;)b i e nde f l nl do , )7. =~;:, , 7.b J 'l de Bo o l e , 1 03. -l ? l e m a i t ode , 37. -i g o a l a , 39. -Nm t t ode e l e m e nt o s de , 41 . -()pm i dnde , )9. -pa r da !m e nwo r de ni a do , I I S. -v a do , 41 . -u nl v e r a !, 41 . Co nm u t a t i u .L e y.A l i e b r a deBo o l e , %. ---de o o l l ja nt o s .43. ---de i nt e r r u pt o r e a , l S. --C l e u l o pr o !X )l l do na l , 78. Co n, .e a , e nt e , 65. Co na i .J t e nc l a .Pr i ne i pl o de , l l 6. Co ns t a nt e .A l g e b r adeBo o l e , 1 30. --de o o nju nt o s , %. --de l nt e r r u pt o r e s .3, 2 1 . -C l e u l o pr o PD'l do na l .V1 l nr deTe r l f i c a c i n, 69. Co nt a c t o l lm l l l t i pl c a , 1 0. c t l c u l opr o PD'l do u l o o m o u ni l - 1 t b ndt Bo o l e , 1 09, 1 J J 7. Ca nDko .T& m i no , 1 }1 . --e n t l ~e b nde o o njnnt o s ,1 39. ---de i nt t r r u pt o f f l , 1 40. Or c u i t o .Ta b l l dev e r i f i c a c l o o u . 1 4.' Co m pl e l l !e nt a r i o .A l g e b nde Bo o - ~. !n. --de c o nju nt o s .41 , %. l l l o o ndi c i o na l ( ....), 65. l l !na r l a .()pe nd6n, !i 5. -Re pr e s e nt a c i n, 1 51 . -Su m a do r a , u . Bi r kho f f yM .a c L a ne , 1 1 6. A b l o r c i 6n.L ey de .A l 1 t b r a deBo o l e , UI . ---de a m J u nt o s , .%. ---de i nt e r r o pt Or t s , 2 1 . --c t l e u \o pr o pc a l do na l , 78. A n~e nu , 6S. A otisiml'tria. Rd1 1 c i n, 1 1 6.A pl i c a dn"e n", 1 32 . -"~".1 32 . A a o c i l l t l n.L e y.A l , e b r a de Bo o - l e , 1 1 4 . ---de c o nl u nt o s , 44. ---de i nt e r r u pt o r e a , 1 8. --c t l c u l o pr o po f .kl o r i a \, 78. A xl o m a s (v & , e c l 'o l t u l o i l o s ). Re f l e xi v a .Re l a c i n, 1 1 6.Re l e l e c t r o m a g nt l o o , 1 1 . Re s t a do r a ,91 . I de m po t e nt e . L e y (v u s tg f o ).. I de nt l da de s .A l g e b r a de Bo o l e , %. --.-de i nt e r r u ])t o r e s , 2 1 . I g u a l da d.Ci r c u i t o s de , 1 9. -Fu ndo nu b o o l e a na s ,1 43. I m pl i c a c n, 65. -m u t u a (, ...), 65. I nc l u s i n(g , 39. -Re l a c i no o nl a s o pe r a c i o ne sde l o s c o nju nt o s , 50. I nt e r nr p!Or e s o o m o u n l g e b r ade ' Bo o l e .1 07.Si l o g i s m o ,l nt e r s e c c i n(n) de c o n)u nt o s , 40:Si m t r i c a . Dl f e ~nc i i .(