Sisteme dinamice

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA BRASOVDEPARTAMENT: INVATAMANT LA DISTANTA (DID)FACULTATEA: MATEMATICA - INFORMATICASPECIALIZAREA: INFORMATICA, ANUL II

MARIN MARIN GABRIEL STAN

SISTEME DINAMICE

BRASOV - 2006

REPROGRAFIA UNIVERSITII TRANSILVANIA DIN BRAOV

userRectangle

userRectangle

userRectangle

Cuprins

1 Ecuatii direct integrabile 3

1.1 Scurta introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Ecuatii diferentiale ordinare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Ecuatii diferentiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Ecuatii cu variabile separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Ecuatii omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Ecuatii reductibile la ecuatii omogene . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Ecuatii cu diferentiala totala exacta . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Ecuatii lineare si cu parametru 13

2.1 Ecuatii de ordinul I liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Ecuatii reductibile la ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Ecuatii Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Ecuatii Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Ecuatii diferentiale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Ecuatia Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Ecuatia Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8 Teorema lui Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Ecuatii de ordin superior 25

3.1 Ecuatii liniare de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Ecuatii lineare neomogene 33

4.1 Ecuatii neomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Ecuatii cu coecienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1

2 CUPRINS

4.3 Ecuatii de ordinul n neomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Ecuatii diferentiale de tip Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Sisteme de ecuatii diferentiale 415.1 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Sisteme cu coecienti constanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Sisteme autonome 496.1 Sisteme autonome de ecuatii diferentiale . . . . . . . . . . . . . 496.2 Sisteme diferentiale simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Ecuatii cu derivate partiale 577.1 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Problema Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I cvasiliniare . . . . . . . 617.4 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I neliniare . . . . . . . . 63

8 Stabilitate 678.1 Notiuni de stabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2 Stabilitatea solutiilor ecuatiilor diferentiale . . . . . . . . . . . . 708.3 Stabilitatea n sens Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9 Teme aplicative 759.1 Ecuatii diferentiale elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Ecuatii liniare si reductibile la liniare . . . . . . . . . . . . . . . 899.3 Ecuatii cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.4 Ecuatii de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Lectia 1

Ecuatii direct integrabile

1.1 Scurta introducere

Obiective:

1. Prezentarea notiunilor de baza ale teoriei ecuatiilor diferentiale, a prin-cipalelor probleme care se pun n aceasta teorie.

2. Sunt prezentate principalele tipuri de ecuatii diferentiale de ordinul I,pentru ecare n parte este expus algoritnul de rezolvare.

3. Este rezolvat complet cate un exemplu de ecuatie diferentiala conformcu algoritmul expus la teorie.

Disciplina Ecuatii diferentiale este una dinre cele mai vechi si mai am-ple ramuri ale matematicii. Terminologia, metodele si tehnicile de lucru pen-tru demonstratii de rezultate teoretice precum si pentru rezolvarea efectivaa ecuatiilor diferentiale, se bazeaza pe elemente la varf din alte ramuri alematematicii, precum Analiza matematica clasica, Topologie, Geometrie diferen-tiala, Mecanica, etc.

Abordarea ecuatiilor diferentiale este uneori ngreunata mai ales de faptulca sunt necesare notiuni si rezultate de la frontiera disciplinelor enumerate.

Aproape ca nu exista fenomen n zica, mecanica, n tehnica n general

3

4 LECTIA 1. ECUATII DIRECT INTEGRABILE

si, si mai general, n orice domeniu al stiintelor naturii, care sa nu poata modelat printr-o ecuatie diferentiala.

Simplicat spus, o ecuatie diferentiala este o ecuatie n care functia ne-cunoscuta apare macar sub o derivata. Deci, n ecuatia respectiva apare atatfunctia necunoscuta cat si derivata ei. Ordinul maxim de derivare sub careapare functia necunoscuta este ordinul ecuatiei. Astfel, vom spune ca avemo ecuatie diferentiala de ordinul I, II, etc., daca n ecuatia diferentiala respec-tiva apare doar derivata ntai a functiei necunoscute, derivata a doua, etc.

Daca functia necunoscuta dintr-o ecuatie diferentiala depinde de o singuravariabila independenta, spunem ca avem o ecuatie diferentiala ordinara,iar daca functia necunoscuta depinde de mai multe varibile, spunem ca careavem o ecuatie diferentiala cu derivate partiale.

Daca ntr-o ecuatie functia necunoscuta apare sub o integrala, avem oecuatie integrala. In sfarsit, daca functia necunoscuta apare si sub o derivatasi sub o integrala, spunem ca avem o ecuatie integro-diferentiala.

Exemple.

1) Ecuatie diferentiala ordinara:

mx = F (t, x), x = x(t), t [a, b];

2) Ecuatie diferentiala cu derivate partiale:

P (x, y)u

x+ Q(x, y)

u

y= R(x, y) u = u(x, y), (x, y) R2;

3) Ecuatie integrala:

x(t) + t0k(, x)x()d = 0, t [0, a], = parametru;

4) Ecuatie integr-o diferentiala:

x(t) + x = t0k(, x)x()d, t [0, a], , = parametri;

1.2. ECUATII DIFERENTIALE ORDINARE 5

1.2 Ecuatii diferentiale ordinare

O ecuatie diferentiala ordinara are forma generala

F(x, y(x), y(x), y(x), ..., y(n)(x)

)= 0,

unde x [a, b], y(k)(x) = dky

dxk.

Functia F , care depinde de n + 2 variabile,

F : R, Rn+2,

este cunoscuta si sucient de regulata pentru a permite operatiile care se facasupra ei pentru a rezolva ecuatia. Cazul cel mai simplu este

F (x, y(x), y(x)) = 0, y = y(x), x [a, b], F : R, R3.

In mod uzual, ecuatiile diferentiale sunt puse sub forma normala, n carese expliciteaza derivata de ordin maxim

y(n)(x) = f(x, y(x), y(x), ..., y(n1)(x)

),

sau, n cazul particular 1dimensional, de mai sus,

y(x) = f (x, y(x)) . (1.1)

In continuare, n afara unei precizari exprese, se fac consideratii numaiasupra ecuatiilor de forma (1.1).

Se numeste solutie a ecuatiei diferentiale (1.1), o functie

: (a, b) R, C1(a, b),

care nlocuita n ecuatia (1.1) o transforma pe aceasta n identitate, deci

F (x, (x), (x)) 0.


Consideram, ca un exemplu foarte simplu, ecuatia diferentiala

y(x) = x2, saudy

dx= x2.

Prin integrare directa, se obtine solutia

y(x) =x3

3+ C, C = constanta, ;C R.

Exemplul dat ofera si un exemplu de solutie, si o metoda de rezolvare aunei ecuatii diferentiale si, n plus, anticipeaza si faptul ca o aceiasi ecuatiediferentiala poate avea mai multe solutii, care sunt numite curbe integrale,denumire sugerata de modul n care au fost obtinute solutiile, adica prin in-tegrare. Multimea solutiilor este generata de variatia constantei C, numitaconstanta de integrare.

Cand constanta C nu este precizata, spunem ca avem solutia generala.Prin particularizarea constantei C se obtin solutii particulare. Daca oecuatie diferentiala admite o solutie care nu se obtine prin particularizareaconstantei C, atunci spunem ca avem o solutie singulara.

Principalele probleme care se urmaresc, atunci cand se abordeaza o ecuatiediferentiala, sunt:

i) existenta solutiei, adica n ce conditii o ecuatie diferentiala admite macaro solutie;

ii) unicitatea solutiei, adica ce trebuie pretins suplimentar unei ecuatiidiferentiale pentru ca aceasta sa admita numai o solutie;

iii) constructia efectiva a solutiei. Termenul este folosit pentru a surprindemetoda prin care este determinata solutia ecuatiei diferentiale.

O modalitate concreta prin care se elimina arbitrariul din solutia generalaa unei ecuatii diferentiale consta n a obliga curba integrala sa treaca printr-unpunct precizat din plan (x0, y0), deci y0 = y(x0). Astfel constanta C capatavaloare concreta si solutia devine unica.

In mod resc, n cazul general al unei ecuatii diferentiale de ordinul n,curbele integrale depind de n constante de integrare si atunci pentru eliminarealor sunt necesare conditii suplimentare.

Conditiile suplimentare care se impun unei ecuatii diferentiale pentru de-terminarea constantelor de integrare se numesc conditii Cauchy.

1.3. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDINUL I 7

Se numeste Problema Cauchy, problema integrarii unei ecuatii diferent-iale si determinarea constantelor de integrare.

Precizam acum, pe scurt, care sunt alte probleme care se pun n studiulunei ecuatii diferentiale.

1) Odata ce am demonstrat existenta si unicitatea solutiei pentru o ecuatiediferentiala, se pune problema determinarii intervalului maxim pe care aceastaeste denita. Apare astfel notiunea de solutie saturata.

2) Se poate pune problema daca solutia este denita pe un interval njurul punctului xat n problema Cauchy, sau daca este denita pe o semiaxancepand de la acel punct, sau, chiar pe ntreaga axa a numerelor reale.

3) Se poate apoi urmari care este legatura ntre schimbarea unor date dinecuatia diferentiala, sau a conditiei Cauchy, si schimbarea solutiei. Apare astfelnotiunea de dependenta continua de date.

4) In cazul n care solutia unei ecuatii diferentiale este denita pe o semiaxa,sau pe axa ntreaga, se pune problema comportarii solutiei la innit.

1.3 Ecuatii diferentiale de ordinul I

Dupa cum s-a precizat mai sus, n cazul acestor ecuatii diferentiale, functianecunoscuta apare doar sub derivata de ordinul ntai. Forma generala a aestorecuatii diferentiale este

F (x, y(x), y(x)) = 0, sau y(x) = f (x, y(x)) ,

n care functia f este data si sucient de regulata pentru a permite operatiilematematice ce se fac asupra ei pentru a integra ecuatia data.

In cele ce urmeaza expunem catalogul celor mai cunoscute ecuatii diferentialede ordinul I care sunt direct integrabile, prin simple cuadraturi.


1.4 Ecuatii cu variabile separabile

Sunt acele ecuatii diferentiabile pentru care functia din membrul drept auforma f(x, y(x)) = g(x)h(y), deci

y(x) =dy

dx= f(x, y(x)) = g(x)h(y).

Solutia se obtine foarte usor, dupa separarea variabilelor, dupa cum urmeaza

dy

h(y)= g(x)dx

yy0

ds

h(s)=

xx0

g(s)ds

G (y(x))G (y0) =x

x0

g(s)ds

y(x) = G1G (y0) +

xx0

g(s)ds

.

Exemplu.

y =xy(1 + y2)

1 + x2.

Procedand ca n cazul teoretic, obtinem:

dy

y(1 + y2)=

x

1 + x2dx

(1

y y

1 + y2

)dy =

x

1 + x2dx

lny 12ln(1 + y2) =

1

2(1 + x2) + lnC y

2

1 + y2= C(1 + x2).

1.5 Ecuatii omogene

Sa reamintim mai ntai ca o functie f = f(x, y) este numita functie omogenade grad n, n sens Euler, daca satisface relatia

f(tx, ty) = tnf(x, y), t 0.

1.6. ECUATII REDUCTIBILE LA ECUATII OMOGENE 9

In cazul particular cand n = 0 se obtine functia omogena de grad 0, sau,simplu, omogena : f(tx, ty) = f(x, y). Relatia este similara pentru o functiede n variabile f = f(x1, x2, ..., xn).

O ecuatie diferentiala y = f(x, y) se numeste omogena daca functia mem-bru drept este functie omogena de grad 0, in sens Euler. Pentru rezolvareaunei astfel de ecuatii, se da factor comun x si se face schimbarea de functienecunoscuta :y/x = u(x) sau y = xu(x). Se obtine o noua ecuatie diferentialan functia necunoscuta u = u(x) care este o ecuatie diferentiala cu variabileseparabile.

Exemplu.

xy y = xtgyx.

Putem sa scriem:

dy

dx=

y

x+ tg

y

x

Cu schimbarea de functie y = xu(x), n care derivam n raport cu x, deci,y = u + xu, se obtine ecuatia xu(x) = tgu, care este cu variabile separa-bile. Acesta se rezolva dupa modelul de mai sus, se obtine functia u(x) si apoiy(x) = xu(x).

1.6 Ecuatii reductibile la ecuatii omogene

Au forma generala

y = f

(a1x + b1y + c1a2x + b2y + c2

).

Se disting trei cazuri:


i) c21 + c22 = 0, deci c1 = c2 = 0 si atunci

y = f

(a1x + b1y

a2x + b2y

)= f

(a1 + b1

yx

a2x + b2yx

)= g

(y

x

),

adica s-a obtinut direct o ecuatie omogena.

ii) Cel putin una dintre constantele c1 si c2 este nenula iar dreptele de ecuatiia1x+b1y+c1 = 0 si a2x+b2y+c2 = 0 sunt concurente, adica a1b2ya2b1 = 0.

Fie (x0, y0) punctul de intersectie al celor doua drepte. Se face schimbareade variabila independenta si de functie necunoscuta

{x = x0 + t dx = dty = y0 + u dy = du

dy

dx=

du

dt= f

(a1t + b1u + a1x0 + b1y0 + c1a2t + b2u + a2x0 + b2y0 + c2

)=

= f

(a1t + b1u

a2t + b2u

)= g

(u

t

),

adica am ajuns la cazul i).

iii) Cele doua drepte sunt paralele, deci a1b2y = a2b1. Se face schimbareanumai de functie a2x + b2y = u (1). Atunci

a1x + b1y + c1 = a1x +a1b2a2

y + c1 =a1a2

u + c1.

Derivam acum n relatia (1) n raport cu x si obtinem a2 + b2y = u si atunci

ecuatia devine

u a2b1

= f

( a1a2u + c1

u + c2

),

adica o ecuatie diferentiala cu variabile separabile.

1.7. ECUATII CU DIFERENTIALA TOTALA EXACTA 11

1.7 Ecuatii cu diferentiala totala exacta

Aceste ecuatii diferentiale au forma generala P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1),care poate scrisa n forma

dy

dx=

M(x, y)

N(x, y),

n care semnicatia noilor functii M(x, y) si N(x, y) este clara.Nu orice ecuatie de forma (1) este cu diferentiala totala. Conditia necesara

si sucienta ca membrul drept din (1) sa e o diferentiala totala exacta esteca functiile P (x, y) si Q(x, y) sa admita derivate partiale de ordinul I si acestederivate sa satisfaca conditia

P

y=

Q

x.

Acesta conditie asigura existenta unei functii F (x, y) astfel ncat

dF (x, y) = P (x, y)dx+ Q(x, y)dy,

n care P (x, y) =F

x, Q(x, y) =

F

y.

Atunci ecuatia ecuatia devine dF (x, y) = 0, de unde obtinem F (x, y) = C,adica solutia ecuatiei diferentiale este o curba integrala data sub forma im-plicita. Pentru a gasi efectiv forma functiei F , xam un punct A0(x0, y0) siluam un punct arbitrar A(x, y). Deoarece expresia P (x, y)dx+Q(x, y)dy esteo diferentiala totala, atunci interala acestei expresii ntre A0 si A nu depindede drumul ce le uneste, ci numai de capetele A0 si A. Integram atunci ntreA0(x0, y0) si B(x, y0), pe un drum paralel cu axa Ox, apoi ntre B(x, y0) siA(x, y), pe un drum paralel cu axa Oy. Atunci

AA0

P (x, y)dx+ Q(x, y)dy = AA0

dF (x, y) = F (x, y) = C.

Lectia 2

Ecuatii lineare si cu parametru

2.1 Ecuatii de ordinul I liniare

Obiective:

1. Prezentarea ecuatiei diferentiale liniara de ordinul I si a doua metodede rezolvare a acesteia.

2. Sunt prezentate principalele tipuri de ecuatii diferentiale de ordinul I,care se pot reduce la ecuatii diferentiale liniare (ecuatii de tip Bernoulli siRiccati).

3. Sunt prezentate pe scurt ecuatiile diferentiale cu parametru precum sicele mai cunoscute astfel de ecuatii: ecuatiile Lagrange si ecuatiile Clairaut.

4. Prezentarea rezultatului central al teoriei ecuatiilor diferentiale liniare deordinul I: teorema privind existenta si unicitatea solutiei unei astfel de ecuatii,teorema datorata lui Picard.

Denumirea de ecuatii liniare este data de faptul ca la astfel de ecuatii atatfunctia necunoscuta cat si derivata ei apar doar la puterea ntai. Aceste ecuatiiau forma generala

13

14 LECTIA 2. ECUATII LINEARE SI CU PARAMETRU

(1) y + P (x)y = Q(x).

In cazul n care Q(x, y) 0 spunem ca avem o ecuatie omogena, deciy + P (x)y = 0.

Vom indica doua metode de rezolvare a ecuatiei (1).

Metoda 1.

Se rezolva ntai ecuatia omogena, folosind tehnica de la ecuatiile cu variabileseparabile:

y + P (x)y = 0 dydx

= P (x)y dyy

= P (x)dx.

De aici, prin integrare, n ambii membri

yy0

ds

s=

xx0

P (t)dt, y0 = y(x0) lny lny0 = xx0

P (t)dt

y = y0e x

x0P (t)dt

Notam cu C = y(x0) si cu y0(x) solutia generala a ecuatiei omogene. Asadar

y0(x) = Ce x

x0P (t)dt

.

Pentru determinarea solutiei generale a ecuatiei neomogene, vom folosimetoda variatiei constantele. Asta nseamna ca vom presupune ca C dinexpresia solutiei ecuatiei omogene devine functie. Vom cauta o solutie par-ticulara a ecuatiei neomogene sub forma yp(x) = C(x)y0(x). Functia C(x)se determina prin fortarea acestui yp(x) sa e efectiv solutie pentru ecuatianeomogena:

C y0 + Cy0 + PCy0 = Q C y0 = Q C =Q

y0

xx0

C (t)dt = xx0

Q(t)

y0(t)dt.

2.2. ECUATII REDUCTIBILE LA ECUATII LINIARE 15

Folosim acum faptul ca C(x0) = y0 si tinem cont de expresia lui y0(x), astfelca obtinem

C(x) = y0 + xx0

Q(t)e s

x0P ()d

dt

yp(x) = e x

x0P (t)dt

[y0 +

xx0

Q(t)e s

x0P ()d

dt].

Metoda 2.

Inmultim n ambii membri ai ecuatiei neomogene initiale cu

e x

x0P ()d

si obtinem succesiv:

ye x

x0P ()d

+ P (x)ye x

x0P ()d

= Q(x)e x

x0P ()d

d

sx

[ye x

x0P ()d

]= Q(x)e

xx0

P ()d

Integram acum n ambii membri :

ye x

x0P ()d C =

xx0

Q(s)e s

x0P ()d

ds

Pentru x = x0 obtinem y(x0)C = 0 si deci C = y(x0) = y0 astfel ca, n nal,solutia devine

y(x) = e x

x0P ()d

[y0 +

xx0

Q(s)e s

x0P ()d

ds].

2.2 Ecuatii reductibile la ecuatii liniare

2.3 Ecuatii Bernoulli

Aceste ecuatii diferentiale au forma generala

y + P (x)y = Q(x)y, = 0 si = 1.


Sa remarcam faptul ca restrictia = 0, 1 nu este esentiala, este impusa doarde metoda de abordare a ecuatiilor Bernoulli. Daca = 0 sau = 1 se obtindirect ecuatii diferentiale liniare.Primul pas n abordarea ecuatiilor Bernoulli este nmultirea n ambii membriai formei geberale cu y, deci:

yy + P (x)y1 = Q(x).

Se face apoi schimbarea de functie y1(x) = z(x), relatie n care se deriveazan raport cu x si se obtine (1 )yy = z. Atunci ecuatia initiala devine

1

1 z + P (x)z = Q(x)

z + (1 )P (x)z = (1 )Q(x),

adica o ecuatie diferentiala liniara.

2.4 Ecuatii Riccati

Sunt ecuatii diferentiale a caror forma generala este

y = P (x)y2 + Q(x)y + R(x).

Pentru a aa solutia generala a ecuatiilor Riccati, trebuie sa se cunoasca osolutie particulara a lor. Daca nu este data explicit o astfel de solutie particu-lara, atunci se poate tatona o solutie particulara, cautand-o de forma functiilorP (x), Q(x) sau R(x). In cele ce urmeaza vom presupune cunoscuta o solutieparticulara pe care o notam cu y1. Pentru a reduce o ecuatie Riccati la oecuatie liniara vom indica doua metode.

Metoda 1.

2.4. ECUATII RICCATI 17

Se face schimbarea de functie z(x) = y(x)y1(x), relatie din care, prin derivare,conduce la z = y y1. Introducem n ecuatia Riccati initiala si obtinem

z = Py2 + Qy + R (Py21 + Qy1 + R)z = zPy + zPy1 + zQ z (2Py1 + Q) z = Pz2,

adica am obtinut o ecuatie Bernoulli cu = 2, din care se va obtine apoi oecuatie liniara.

Metoda 2.

Notam cu y1 o solutie particulara a ecuatiei Riccati si facem schimbarea defunctie

y(x) = y1(x) +1

z(x) y = y1

z

z2.

Introducem n ecuatia initiala si, dupa reducerea termenilor asemenea, seobtine

z

z2= P

1

z2+ 2y1P

1

z+ Q

1

z2.

In aceasta ultima ecuatie nmultim cu z2 si obtinem

z + (2P (x)y1(x) + Q(x)) = P (x).

Se observa ca prin metoda a doua se obtine direct o ecuatie diferentiala liniara.


2.5 Ecuatii diferentiale cu parametru

Denumirea este sugerata de faptul ca n rezolvarea acestor ecuatii se introducentotdeauna un parametru, de obicei notat cu p. De asemenea, solutia acestorecuatii are forma parametrica:

{x = x(p)y = y(p)

Ecuatiile cu parametru sunt usor de recunoscut, caci n locul formei cunoscutey = f(x, y) ele au forma y = f(x, y). Dupa ce se face notatia y = p oecuatie cu parametru se transforma ntr-o ecuatie diferentiala de un tip anteriorstudiat. Cu notatia y = p ecuatia capata forma y = f(x, p). Avem

y = p dydx

= p dy = pdx.

Apoi din

y = f(x, p) dy = fx

dx + fracfpdp.

Egalam cele doua expresii ale lui dy:

dy =f

xdx +

f

pdp

(p f

x

)dx +

f

pdp = 0.

Aceasta este o ecuatie diferentiala n care functia necunoscuta este x iar vari-abile este p. Tipul ecuatiei este unul anterior studiat. Solutia va x = (p)iar din y = f(x, p) se va obtine y = f((p), p) = (p), adica solutia nala va data n forma parametrica. Sunt consacrate doua tipuri de ecuatii diferentialecu parametru: ecuatia Lagrange si ecuatia Clairaut.

2.6. ECUATIA LAGRANGE 19

2.6 Ecuatia Lagrange.

Are forma generala (1) y = xf(y) + g(y) cu conditia f(x) = x. Se face decinotatia y = p si atunci din (1) avem y = xf(p) + g(p). Egalam, ca n cazulgeneral, cele doua expresii pentru dy si obtinem

dy =

x(xf(p) + g(p)) dx +

p(xf(p) + g(p))dp

dy = f(p)dx+ xf (p)dp + g(p)dp = pdx (f(p) p)) dx + (xf (p) + g(p)) dp = 0

(f(p) p)) dxdp

+ xf (p) = g(p) dx

dp+

f (p)f(p) px =

g(p)f(p) p.

Ultima ecuatie este o ecuatie diferentiala lineara, n functia necunoscuta x, devariabila p, si deci va da solutia x = (p). Apoi functia y se determina cuformula y = (p)f(p) + g(p) = (p). Asadar, solutia ecuatiei Lagrange esteuna parametrica.

2.7 Ecuatia Clairaut

Are forma generala (1) y = xy + g(y), adica surprinde tocmai situatia ex-ceptata de la ecuatia Lagrange. Din y = p obtinem dy = pdx iar diny = xp + g(p) avem dy = pdx + (x + g(p)) dp. Egalam cele doua expresii alelui dy si reducem termenul pdx, care apare n ambii membri. Se obtine ecuatia(x + g(p)) dp = 0. Atunci dp = 0 de unde p = C =constanta. Deci y = C deunde rezulta y = Cx+C1, C1 = constanta. Avem astfel un exemplu de solutiesingulara. Pe de alta parte, din x + g(p) = 0 se obtine x = g(p) = (p) siatunci y = pg(p) + g(p) = (p), adica, din nou, solutia este parametrica.


In cele ce urmeaza vom demonstra un rezultat central n teoria ecuatiilordiferentiale. Este un rezultat calitativ care asigura existenta si unicitateasolutiei pentru problema Cauchy asociata unei ecuatii diferentiale ordinare,de ordinul I. Reamintim ca pentru problema Cauchy se xeaza un punct x0 nplan si se noteaza y0 = y(x0). Deci problema Cauchy este :

{y = f(x, y)y0 = y(x0).

(2.1)

Pentru a > 0 si b > 0 se considera dreptunghiul D dat de urmatorul produscartezian D = [x0 a, x0 + a] [y0 b, y0 + b], adica

D ={(x, y) R2/|x x0| a, |y y0| b

}.

2.8 Teorema lui Picard

Teorema 1 Presupunem satisfacute ipotezele:i) f este functie continua pe domeniul D n ambele variabile;ii) f este functie Lipschitz n raport cu variabila y, pe D.

Atunci, problema Cauchy (1) admite o solutie y = (x) denita pe intervalul|x x0| h, unde

h = min

{a,

b

M

}, M = sup

(x,y)D|f(x, y)|.

In plus, solutia problemei este unica.

Demonstratie. Reamintim denitia functiei Lipschitz:y1, y2 [y0 b, y0 + b], L > 0 astfel ncat

|f(x, y1) f(x, y2)| L |y1 y2| , x [x0 a, x0 + a].

O presupusa solutie a problemei Cauchy y = (x) trebuie sa satisfaca conditiaCauchy (x0) = y0 si nlocuita n ecuatie o transforma pe acesta n identitate:

2.8. TEOREMA LUI PICARD 21

(x) = f(x, (x)). Integram aceasta ecuatie pe intervalul [x0, x] si obtinem xx0

()d = xx0

f(, ())d

(x) (x0) = xx0

f(, ())d.

Folosind conditia Cauchy, se obtine

(x) = y0 + xx0

f(, ())d. (2.2)

Asadar, daca functia este o solutie a problemei Cauchy (2.1) atunci ea sat-isface ecuatia integrala (2.2). Vom demonstra acum si rezultatul reciproc sianume daca functia satisface ecuatia (2.2), atunci este o solutie a problemeiCauchy. Intr-adevar, daca n (2.2) nlocuim x cu x0 se obtine

(x0) = y0 + x0x0

f(, ())d = y0.

Apoi, derivam n (2.2), membru cu membru si folosind regula de derivarea integralei cu parametru, obtinem (x) = f(x, (x)), deci satisface siconditia Cauchy si ecuatia din problema Cauchy.

Demonstratia acestor doua rezultate ne da dreptul ca, n cele ce urmeaza, nloc sa rezolvam problema Cauchy (2.1) vom rezolva ecuatia integrala (2.2). Cuo sugestie data de forma ecuatiei (2.2) vom construi un sir de functii a caruilimita este tocmai solutia ecuatiei (2.2), deci a problemei Cauchy (2.1). Inultima parte a demonstratiei vom arata ca solutia este unica. Pentru existentasolutiei vom construi sirul de functii {yn}nN astfel:

y1(x) = y0 + xx0

f(, y0)d, yn(x) = y0 + xx0

f(, yn1())d, n 2.Sirul este construit astfel ncat |x x0| h. Se arata fara dicultate ca siruleste bine construit, n sensul ca argumentele functiei f sunt din domeniul D.Demonstram acum ca sirul este convergent. Folosind denitia lui M si faptulca f este functie Lipschitz, obtinem succesiv:

|y1(x) y0| M(x x0),|y2(x) y1(x)|

x0

x|f(, y1() f(, y0)|d

Lx0

x|y1() y0|d LMx0

x( x0)d = LM (x x0)2

2.


Se demonstreaza imediat prin inductie matematica, prin analogie cu calculelede mai sus, ca:

|yn(x) yn1(x)| Ln1M (x x0)n

n!.

Este clar ca sirul poate scris n forma

yn=ynyn1+yn1yn1+...+y1y0+y0=y0+n

k=1

(ykyk1) .

Atunci sirul ynnN poate privit ca sirul sumelor partiale ale seriei

y0 +

k=1

(yk yk1) .

Aceasta serie este convergenta deoarece este de o serie numerica convergenta,si anume de seria

|y0|+

k=1

Lk1Mhk

k!.

Se stie ca sirul sumelor partiale este chiar uniform convergent. Apoi un sir uni-form convergent are proprietatea de ereditate, adica transmite proprietatiletermenilor sai si limitei. Deoarece termenii sirului sunt functii continue, de-ducem astfel ca si limita sa este functie continua. Notam cu (x) limitasirului, deci (x) = lim

n yn(x). Ne propunem sa aratam ca functia (x),astfel denita, este solutia problemei Cauchy (2.1), adica conform cu primaparte a demonstratiei, (x) este solutia ecuatiei (2.2). Daca trecem la limitan relatia de denitie a sirului ynnN

yn(x) = y0 + x

f(, yn1())d

obtinem

(x) = y0 + x

f(, ())d.

2.8. TEOREMA LUI PICARD 23

Cum (x0) = y0, deducem ca satisface ecuatie (2.2). Sa demonstram acumunicitattea solutiei. Presupunem, prin reducere la absurd, ca ar mai o functie care sa satisfaca problema Cauchy (2.1), deci si ecuatia (2.2). Atunci

(x) = y0 + xx0

f(, ())d.

Pe de alta parte, avem

yn(x) = y0 + xx0

f(, yn1())d.

Daca scadem ultimele doua relatii, obtinem

|yn(x) (x)| xx0|f(, yn1()) f(, ())|d

L xx0|yn1() ()|d L2

xx0|yn2() yn1()|d.

Din aproape n aproape se obtine, n nal

|yn(x) (x)| Ln1Mhn

n!.

Prin trecere la limita cu n deducem ca este limita sirului {yn}nN sicum limita unui sir este unica, deducem ca .

Observatie. In demonstratia unicitatii solutiei este esential faptul ca f estefunctie Lipschitz. Daca se renunta la aceasta ipoteza, atunci problema Cauchyare solutie, dar aceasta nu mai este unica, asa cum arma si rezultatul urmator,pe care l dam fara demonstratie.

Teorema 2 (Peano). Consideram problema Cauchy (2.1), formulata ca nTeorema lui Picard, n care nsa functia f este doar continua n ambele vari-abile (deci f nu este si functie Lipschitz). Atunci problema (2.1) are cel putino solutie.

.

Lectia 3

Ecuatii de ordin superior

3.1 Ecuatii liniare de ordin superior

[Ecuatii diferentiale liniare de ordin superior] Obiective:

1. Se prezinta ecuatiile diferentiale de ordin superior cu coecienti variabilisi cu coecienti constanti.

2. Pentru ecuatiile diferentiale de ordin superior omogene, sunt prezentatenotiunile de independenta a solutiilor precum si sistemul fundamental de solutiipentru astfel de ecuatii.

Definitia 1 Se numeste ecuatie diferentiala de ordinul n liniara si neomogenao ecuatie de forma

an(x)y(n)(x)+an1(x)y(n1)(x)+...+a1(x)y(x)+a0(x)y(x)=f(x), (3.1)

n care functia necunoscuta este y = y(x), x [a, b]. Coecientii ecuatiei simembrul drept sunt functii date si continue pe [a, b], deci ai, f C0[a, b].Daca f(x) 0, obtinem ecuatia omogena, deci

an(x)y(n)(x)+an1(x)y(n1)(x)+...+a1(x)y(x)+a0(x)y(x)=0. (3.2)

25

26 LECTIA 3. ECUATII DE ORDIN SUPERIOR

Pentru formularea problemei Cauchy, se adauga conditiile initiale:

y(x0) = y0, y(x0) = y1, y(n1)(x0) = yn1, (3.3)

n care y0, y1, ..., yn1 sunt cantitati date, deci cunoscute. Punctul x0 este xatarbitrar, x0 [a, b]. Conditiile initiale precizeaza, de ecare data, valoareainitiala a functiei necunoscute si ale derivatelor sale pana la ordinul de derivaren 1. In cazul de fata problema Cauchy este problema formata din ecuatia(3.1) si conditiile initiale (3.3).

Definitia 2 Se numeste solutie a problemei Cauchy, data de (3.1) si (3.3),o functie = (x), x [a, b], Cn[a, b], care verica conditiile initiale(3.3) si nlocuita n ecuatia (3.1) o transforma pe aceasta n identitate.

Introducem operatorul diferential L prin

L = andn

dxn+ an1

dn1

dxn1+ ... + a0

d

dx+ a0 (3.4)

si atunci ecuatia (3.1) capata forma mai simpla

(1) Ly(x) = f(x), x [a, b]Propozitia 1 Operatorul diferential introdus n (3.4) este liniar:

L (y1 + y2) = Ly1 + Ly2, L (y) = Ly L (1y1 + 2y2) = 1Ly1 + 2Ly2.

Demonstratie. Armatiile sunt imediate avand n vedere liniaritatea operatieide derivare:

(f + g)(n) = f (n) + g(n), (f)(n) = f (n).

Sa mai remarcam forma mai simpla a ecuatiei omogene, folosind operatorul L,introdus n (3.4), adica Ly(x) = 0. De asemenea, daca y1, y2,..., yn sunt solutii

pentru ecuatia omogena, atunci si functia y =n

i=1Ciyi, unde C1, C2,..., Cn

sunt constante, este de asemenea solutie pentru ecuatia omogena. Intr-adevar,avem Lyi = 0 (pentru ca yi este solutie) si, n baza liniaritatii lui L,

Ly = L

(n

i=1

Ciyi

)=

ni=1

L (Ciyi) =n

i=1

CiL (yi) = 0.

3.1. ECUATII LINIARE DE ORDIN SUPERIOR 27

Definitia 3 Functiile y1, y2,..., yn se numesc liniar independente pe inter-valul [a, b] daca nu exista o combinatie liniara a lor fara ca toti coecientiicombinatiei sa e nuli, adica daca

1y1 + 2y2 + ... + nyn = 0 1 = 2 = ... = n = 0.

Exemplu. Functiile 1, x, ex sunt liniar independente pe R caci daca avem1 + 2x + 3e

x = 0, x R atunci 1 = 2 = 3 = 0. Intr-adevar, damlui x valorile 0,1 si 1 si obtinem un sistem liniar si omogen de ecuatii nnecunoscutele i al carui determinant este nenul, deci admite numai solutiabanala.

Definitia 4 Se numeste wronskian al functiilor y1(x), y2(x),..., yn(x), deter-minantul denit prin

W (x) = W (y1(x), y2(x), ..., yn(x)) =

=

y1(x), y2(x), ... yn(x)y1(x), y

2(x), ... y

n(x)

y(n1)1 (x), y

(n1)2 (x), ... y

(n1)n (x)

Teorema 1 Daca functiile y1(x), y2(x),..., yn(x) sunt liniar dependente, atunciwronskianul lor este nul, deci W (y1, y2, ..., yn) = 0, x [a, b].

Demonstratie Pentru ca functiile y1(x), y2(x),..., yn(x) sunt liniar depen-dente, deducem ca exista coecientii 1, 2,...,n, nu toti nuli, astfel ncat saavem 1y1 + 2y2 + ...+ nyn = 0. Derivam aceasta relatie, succesiv, membrucu membru, si obtinem sistemul de ecuatii

1y1 + 2y2 + ... + nyn = 01y

1 + 2y

2 + ... + ny

n = 0

1y

(n1)1 + 2y

(n1)2 + ... + ny

(n1)n = 0

Am obtinut un sistem liniar si omogen n necunoscutele 1, 2,...,n. Dar,conform cu ipoteza, acest sistem admite si solutii nenule.


Deducem astfel ca determinantul sistemului (care este tocmai wronskianulfunctiilor y1(x), y2(x),..., yn(x)) trebuie sa e nul, deci W (x) = 0.

Observatie Folosind negarea n teorema anterioara, se obtine un alt rezultatcare este mai util n aplicatii decat cel din Teorema 1. Asadar avem urmatorulrezultat.

Teorema 2 Daca x0 [a, b] astfel ncat wronskianul lor este nenul,

W (y1(x0), y2(x0), ..., yn(x0)) = 0,

atunci functiile y1(x), y2(x),..., yn(x) sunt liniar independente pe [a, b].

Un rezultat foarte important privind wronskianul unui sistem de functii estede urmatoarea teorema, datorata lui Liouville.

Teorema 3 (Liouville) Daca exista un punct x0 [a, b] astfel ncat sa avemW (x0) = 0, atunci W (x) = 0, x [a, b].

Demonstratie. Folosind regula de derivare a unui determinant, se obtineecuatia

dW

dx= an1(x)

an(x)W (x) dW

W= an1(x)

an(x)dx.

Se integreaza ultima ecuatie (care este cu variabile separabile) pe intervalul[x0, x] si se obtine

W (x) = W (x0)e x

x0

an1()an()

d.

Avand n vedere ipoteza ca W (x0) = 0 si tinand cont ca functia exponentialaeste strict pozitiva, se deduce ca W (x) = 0, x [a, b].

Observatie. Avand n vedere rezultatele din ultimele doua teoreme, deducemca daca un sistem de functii este liniar independent ntr-un punct x0 [a, b]atunci functiile sunt liniar independent pe ntreg intervalul [a, b].


Teorema 4 Sa presupunem ca functiile y1, y2, ..., yn, y Cn1[a, b] satisfacconditiile W (y1, y2, ..., yn) = 0 pe intervalul [a, b] si W (y1, y2, ..., yn, y) = 0 peintervalul [a, b].Atunci exista constantele Ci, i = 1, 2, ..., n astfel ncat sa avem

y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn.

Demonstratie. In baza primei ipoteze, avem

y1 y2 ... yn yy1 y

2 ... y

n y

y(n1)1 y

(n1)2 ... y

(n1)n y

(n1)

y(n)1 y

(n)2 ... y

(n)n y

(n)

= 0.

Putem sa scriem

y1 y2 ... yn yy1 y

2 ... y

n y

y(n1)1 y

(n1)2 ... y

(n1)n y

(n1)

y(k)1 y

(k)2 ... y

(k)n y

(k)

= 0, k = 0, 1, 2, ..., n

Dezvoltam acest determinat dupa ultima linie si obtinem

1y(k)1 + 2y

(k)2 + ... + ny

(k)n + 0y

(k) = 0, (3.5)

n care 0 este tocmai wronskianul functiilor y1, y2,...,yn si care este nenul, nbaza primei ipoteze a teoremei. Deci putem mparti cu 0 n ecuatia (3.5),scrisa pentru k = 0 si obtinem

y =10

y1 +20

y2 + ... +n0

yn. (3.6)

Folosind notatia i(x)0(x)

= i(x), relatia (3.6) devine

y = 1y1 + 2y2 + ... + nyn. (3.7)


Demonstratia se ncheie daca aratam ca i sunt constante, i = 1, 2, ..., n. Inacest scop derivam succesiv n (3.7) si, de ecare data folosim (3.5) astfel case obtine sistemul de ecuatii

1y1 + 2y2 + ... +

nyn = 0

1y1 +

2y2 + ... +

nyn = 0

1y

(n1)1 +

2y

(n1)2 + ... +

ny

(n1)n = 0

Acesta este un sistem algebric liniar si omogen n necunoscutele i al caruideterminant este tocmai wronskianul W (y1, y2, ..., yn = 0 si atunci sistemuladmite doar solutia banala i = 0 si deci i = Ci =constant, i = 1, 2, ..., n.

Definitia 5 Se numeste sistem fundamental de solutii pentru ecuatia omogena(3.2), un sistem de functii y1, y2,...,yn care au wronskianul nenul, deci

W (y1, y2, ..., yn) = 0.

Dupa Teorema 4, daca se cunoaste un sistem fundamental de solutii y1, y2,...,ynpentru ecuatia omogena (3.2), atunci solutia generala a acestei ecuatii estey = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, unde Ci sunt constante, i = 1, 2, ..., n.

Exemplu. Fie ecuatia x2y 2xy+2y = 0 care are solutiile y1 = x, y2 = x2.Se constata imediat ca W (y1, y2) = x = 0 pe R \ {0}. Atunci y1 si y2 formeazaun sistem fundamental de solutii pentru ecuatia data si deci solutia generalaa ecuatiei este y = C1y1 + C2y2, unde C1 si C2 sunt constante.

In ncheierea acestui paragraf facem cateva consideratii asupra problemeiCauchy data de (3.2) si (3.3).

Teorema 5 Daca pentru ecuatia (3.2) se cunoaste un sistem fundamental desolutii, denite pe [a, b], atunci exista o singura solutie a acestei ecuatii caresa satisfaca conditiile initiale (3.3).

Demonstratie. Dupa Teorema 4, daca se cunoaste un sistem fundamentalde solutii y1, y2,...,yn pentru ecuatia omogena (3.2), atunci solutia generalaa acestei ecuatii este y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, unde Ci sunt constante,


i = 1, 2, ..., n. Obligam aceasta solutie sa verice conditiile initiale si obtinemsistemul

C1y1(x0) + C2y2(x0) + ... + Cnyn(x0) = y0C1y

1(x0) + C2y

2(x0) + ... + Cny

n(x0) = y1

C1y

(n1)1 (x0) + C2y

(n1)2 (x0) + ... + Cny

(n1)n (x0) = yn1

Am obtinut un sistem algebric liniar si neomogen n necunoscutele C1, C2,...,Cn.Determinantul sistemului este wronskianul functiilor y1, y2,...,yn si deci estenenul caci am presupus ca funstiile y1, y2,...,yn formeaza un sistem funda-mental de solutii. Deci sistemul admite solutie unica. Cum constantele C1,C2,...,Cn sunt unice, deducem ca solutia y de mai sus este unica.

Exemplu. Fie ecuatia y 6y + 11y 6y = 0 cu solutiile y1 = ex,y2 = e

2x, y3 = e3x. Se verica imediat (cu ajutorul wronskianului) ca aceste

functii formeaza un sistem fundamental de solutii. Atunci solutia generala aecuatiei date este y = C1e

x +C2e2x +C3e

3x. Daca impunem conditiile Cauchyy(0) = y(0) = 0 si y(0) = 1 obtinem ca problema Cauchy are ca singurasolutie functia

y =1

2ex e2x + 1

2e3x.

In propozitia urmatoare, demonstram un rezultat prin care se poate reduceordinul unei ecuatii diferentiale.

Propozitia 2 Daca pentru ecuatia neomogena (3.1) se cunoaste o solutiey1(x), atunci ordinul ecuatiei devine n 1 daca se face schimbarea de functie

z(x) =y(x)

y1(x).

Demonstratie. Avem succesiv

y = y1z y = y1z + y1z y = y1z + 2y

z + y1z.


Prin inductie matematica se obtine imediat

y(n) =n

k=0

Ckny(nk)1 z

(k).

Aceste derivate se nlocuiesc n ecuatia (3.1) si se obtine o ecuatie n functia zcare are coecientul lui z nul, pentru ca y1 este solutie a ecuatiei (3.1).

Se noteaza apoi z = u si astfel se obtine o noua ecuatie diferentiala nfunctia necunoscuta u care are ordinul n 1.

Exemplu. Fie ecuatia de ordinul II y+2xy2y = 0 cu solutia y1 = x. Facemschimbarea de functie y(x) = xz(x), calculam derivatele lui y, le nlocuim necuatie si obtinem noua ecuatie xz+2(1+x2)z = 0. Facem o noua schimbarede functie z(x) = u(x) si obtinem ecuatia de ordinul I xu+2(1+x2)u = 0.

Lectia 4

Ecuatii lineare neomogene

4.1 Ecuatii de ordin superior neomogene

Obiective:

1. Este expusa metoda variatiei constantelor pentru aarea unei solutiiparticulare pentru ecuatiile diferentiale de ordin superior neomogene.

2. Pentru ecuatiile diferentiale de ordin superior omogene, cu coecienticonstanti, se ataseaza ecuatia caracteristica si se analizeaza cazurile candecuatia caracteristica are radacini reale simple, radacini reale multiple, radacinicomplexe simple si radacini complexe conjugate.

3. Pentru ecuatiile diferentiale de ordin superior neomogene sunt prezen-tate doua metode pentru determinarea unei solutii particulre si anume metodavariatiei constantelor si metoda sugestiva.

4. Pentru ecuatia diferentiala Euler, care are coecientii variabili, esteprezentat algoritmul de reducere a acesteia la o ecuatie cu coecienti constanti.

Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordinul n liniara si neomogenaeste

any(n)(x)+an1y(n1)(x)+...+a1y(x)+a0y(x)=f(x), (4.1)

33

34 LECTIA 4. ECUATII LINEARE NEOMOGENE

unde x [a, b].Daca introducem operatorul diferential L prin

L = andn

dxn+ an1

dn1

dxn1+ ... + a1

d

dx+ a0, (4.2)

ecuatia capata forma

Ly(x) = f(x). (4.3)

Teorema care urmeaza furnizeaza metoda de aare a solutiei generale a ecuatiineomoege.

Teorema 1 Solutia generala a ecuatiei neomogene se obtine adunand la solutiagenerala a ecuatiei omogene o solutie particulara a ecuatiei neomogene.

Demonstratie. Deci, daca notam cu yO solutia generala a ecuatie omogene,cu yp o soluti particulara a ecuatie neomogene si yG solutia generala a ecuatieneomogene, atunci avem de demonstrat relatia

yG = yO + yp

Fie y(x) o solutie a ecuatiei neomogene, Ly(x) = f(x). Presupunem cunoscutao solutie particulara a ecuatiei neomogene, yp.Facem schimbarea de functie y(x) = yp(x) + z(x). Atunci avemL(y) = L(yp + z) +L(yp) +L(z), adica f(x) = f(x) +L(z) astfel ca L(z) = 0,adica z este solutie a ecuatiei omogene. Dar orice solutie a ecuatiei omogeneare forma z(x) = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, unde y1, y2,...,yn este un sistemfundamental de solutii pentru ecuatia omogena. Revenind la schimbarea defunctie de mai sus ca y = yp + C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn si demonstratia sencheie.

Urmeaza sa indicam o metoda pentru determinarea unei solutii particularea ecuatiei neomogene. Cea mai generala metoda este cea propusa de Lagrange,numita metoda variatiei constantelor.

Teorema 2 Daca functiile y1, y2,...,yn formeaza un sistem fundamental desolutii pentru ecuatia omogena, atunci o solutie particulara a ecuatiei neomo-gene este

yp(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) + ... + Cn(x)yn(x), (4.4)

4.1. ECUATII NEOMOGENE 35

unde functiile C1(x), C2(x), ..., Cn(x) verica sistemul

y1C1 + y2C

2 + ... + ynC

n = 0

y1C1 + y

2C

2 + ... + y

nC

n = 0

y(n2)1 C

1 + y

(n2)2 C

2 + ... + y

(n2)n C

n = 0

y(n1)1 C

1 + y

(n1)2 C

2 + ... + y

(n1)n C

n =

f(x)an(x)

(4.5)

Demonstratie. Deoarece functiile y1, y2,...,yn formeaza un sistem funda-mental de solutii pentru ecuatia omogena, atunci solutia generala a ecuatieiomogene este z(x) = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn n care Ci sunt constante. Fiefunctia y(x) = C1(x)y1 +C2(x)y2 + ...+Cn(x)yn obtinuta din z nlocuind con-stantele Ci cu functiile Ci(x). Aratam ca daca functiile Ci(x) verica sistemul(4.5), atunci y este o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Derivam suc-cesiv n expresia lui y si, dupa ce folosim ecuatiile sistemului (4.5), obtinemurmatorul sistem

y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyny = C1y1 + C2y

2 + ... + Cny

n

y(n1) = C1y

(n1)1 + C2y

(n1)2 + ... + Cny

(n1)n

y(n) = C1y(n)1 + C2y

(n)2 + ... + Cny

(n)n +

f(x)an

Inmultim prima ecuatie cu a0, a doua cu a1,..., ultima cu an iar relatiile obtnutese aduna membru cu membru. Obtinem ecuatia

any(n) + an1y(n1) + ... + a1y + a0y =

= C1[any

(n)1 + an1y

(n1)1 + ... + a1y

1 + a0y1

]+

+C2[any

(n)2 + an1y

(n1)2 + ... + a1y

2 + a0y2

]+

+... + Cn[any

(n)n + an1y

(n1)n + ... + a1y

n + a0yn

]+ f(x).

Dar, parantezele drepte care sunt coecienti pentru C1, C2,...,Cn sunt nule,deoarece functiile yi sunt solutii pentru ecuatia omogena. Astfel, ecuatia demai sus devine any

(n) + an1y(n1) + ... + a1y + a0y = f(x), ceea ce arata cay este solutie pentru ecuatia neomogena.


4.2 Ecuatii diferentiale de ordin superior cu

coeficienti constanti

Vom studia ntai ecuatiile diferentiale de ordinul n omogene, care au formagenerala

any(n)(x) + an1y(n1)(x) + ... + a1y(x) + a0y(x) = 0, x [a, b] (4.6)

n care ai =constant, i = 1, 2, ..., n.Pentru astfel de ecuatii se poate determina ntotdeauna un sistem fun-

damnetal de solutii. In acest scop, se cauta solutii sub forma y(x) = Aex

unde A este o constanta A = 0 iar este un parametru complex, C.Derivam succesiv expresia lui y, derivatele obtinute se nlocuiesc n ecuatia

(4.6) si gasim

Aex(an

n + an1n1 + ... + a1 + a0)= 0.

Deoarece A = 0 si ex = 0 deducem caan

n + an1n1 + ... + a1 + a0 = 0. (4.7)

In felul acesta am obtinut o ecuatie algebrica n necunoscuta care se numesteecuatie caracteristica atasata unei ecuatii diferentiale de ordinul n. In celece urmeaza, vom aborda ecuatia (4.6) prin intermediul ecuatiei sale caracter-istice (4.7). Distingem mai multe cazuri:

Cazul 1. Presupunem ntai ca ecuatia (4.7) are toate radacinile reale si simple1 = 2 = ... = n. Atunci functiile y1(x) = e1x, y2(x) = e2x,..., yn(x) = enxformeaza un sistem fundamental de solutii pentru ecuatia (4.6) deoarece acestefunctii au wronskianul nul. Intr-adevar, nlocuind n expresia wronskianului,vom obtine un determinant Vandermonde:

W (y1, y2, ..., yn) =

e1x e2x enx1e

1x 2e2x nenx

n11 e1x

n12 e

2x n1n enx

=

4.2. ECUATII CU COEFICIENTI CONSTANTI 37

= e(1+2+...+n)x

1 1 11 2 n21

22 2n

n11

n12 n1n

=

= e(1+2+...+n)x

1j


Cazul 4. Presupunem ca ecuatia caracteristica (4.7) are o radacina complexamultipla de ordinul m, 1 = + i. Atunci ea admite si radacina 2 = i,care este complex conjugata primei tot multipla de ordinul m. Atunci solutiaecuatiei diferentiale va

ex[(

C0 + C1x + ... + Cm1xm1)cosx+

+(B0 + B1x + ... + Bm1xm1

)sin x

].

4.3 Ecuatii diferentiale de ordinul n neomo-

gene

O solutie particulara a ecuatiei neomogene se poate determina folosind metodavariatiei constantelor, expusa n prima parte a lectiei. Din cauza particu-laritatii ecuatiei de a avea coecientii constanti, se poate folosi si o metodasugestiva, n sensul ca solutia particulara a ecuatiei neomogene sa e cautatade forma termenul liber al ecuatiei, deci de forma functiei f(x). Se distingurmatoarele cazuri.

Cazul 1. Presupunem ca functia termen liber a ecuatiei, f(x), are formaf(x) = exP (x), unde P (x) este o functie polinomiala. Se testeaza ntai daca este radacina pentru ecuatia caracteristica. Daca nu este, atunci solutiaparticulara yp(x) se cauta de forma yp(x) = e

xQ(x), unde Q(x) este o functiepolinomiala, de acelasi grad cu P , dar cu alti coecienti. Coecientii lui Q sedetrmina obligand yp sa e efectiv solutie pentru ecuatia diferentiala. Daca este radacina pentru ecuatia caracteristica, multipla de ordinul m, atuncisolutia particulara yp(x) se cauta de forma yp(x) = x

mexQ(x), unde Q(x) esteo functie polinomiala n situatia de mai sus si care se determina la fel ca mai sus.

Cazul 2. Presupunem ca functia termen liber a ecuatiei, f(x), are formaf(x) = ex [A(x) cosx + B(x) sin x], unde A(x) si B(x) sunt functii polino-miale, nu neaparat de acelasi grad. Se testeaza ntai daca + i este radacinapentru ecuatia caracteristica. Daca nu este, atunci solutia particulara yp(x) se

4.4. ECUATII DIFERENTIALE DE TIP EULER 39

cauta de forma

yp(x) = ex [P (x) cosx + Q(x) sin x] ,

unde P (x) si Q(x) sunt functii polinomiale, de acelasi grad si anume degrad=max{gradA, gradB}. Daca + i este radacina pentru ecuatia car-acteristica, multipla de ordinul m, atunci solutia particulara yp(x) se cautade forma yp(x) = x

mex [P (x) cosx + Q(x) sin x], unde P (x) si Q(x) suntfunctii polinomiale n situatia de mai sus. Coecientii pentru P si Q se de-trmina obligand yp sa e efectiv solutie pentru ecuatia diferentiala, si se pro-cedeaza la identicare.

Cazul 3. Presupunem ca functia termen liber a ecuatiei, f(x), are formaf(x) = f1(x) + f2(x), unde au formele corespunzatoare cazurile 1, respectiv2. Atunci solutia particulara yp(x) se cauta de forma yp(x) = yp1(x) + yp2(x),unde yp1(x) si yp2(x) sunt solutiile particulare de la cazurile 1, respectiv 2.

4.4 Ecuatii diferentiale de tip Euler

O ecuatie diferentiala de tip Euler este un exemplu de ecuatie cu coecientivariabili pentru care se poate determina un sistem fundamental de solutii,pentru ecuatia omogena. Ecuatiile diferentiale de tip Euler au forma generala

anxny(n) + an1xn1y(n1) + ... + a1xy + a0y = f(x),

n care coecientii ai sunt constanti si dati, iar functia termen liber f este deasemenea data.O ecuatie diferentiala de tip Euler este usor de recunoscut pentru ca mono-mul din fata unei derivate are acelasi grad cu ordinul de derivare al functieinecunoscute.

Se face schimbarea de variabila x = et, daca x > 0 sau x = et, daca x < 0si ecuatia Euler se transforma ntr-o ecuatie cu coecienti constanti. Dupamodelul de derivare expus mai jos

y =dy

dx=

dy

dt

dt

dx=

dy

dt

1

x=

dy

dtet


y =d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)=

d

dx

(dy

dtet)

=

=d

dt

(dy

dtet)et = e2t

(d2y

dt2 dy

dt

),

se obtine ca regula generala

y(k) = ekt(dky

dtk+ bk1

dk1ydtk1

+ ... + b1dy

dt

),

n care coecientii bi sunt constanti. Coecientul din fata lui y(k) este xk = ekt

si atunci cand nlocuim n ecuatia initiala exponentialele dispar, deci se obtineo ecuatie cu coecienti constanti.

Lectia 5

Sisteme de ecuatii diferentiale

5.1 Sisteme de ecuatii diferentiale liniare

Obiective:

1. Sunt prezentate doua metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii diferen-tiale liniare. Metoda reducerii este metoda prin care abordarea unui sistemde ecuatii diferentiale se reduce la rezolvarea unei ecuatii diferentiale de or-din superior. A doua metoda, metoda ecuatiei caracteristice, este destul deasemanatoare cucea din cazul ecuatiilor diferentiale de ordin superior.

2. Pentru sistemele de ecuatii diferentiale liniare nepmogene sunt ex-puse doua metode pentru a determina o solutie particulara. Prima metoda,metoda variatiei constantelor (metoda lui Lagrange) propune o solutie partic-ulara pornind de la solutia generala a formei omogene a respectivului sistemde ecuatii diferentiale. Prin a doua metoda se propune o solutie particulara deforma vectorului termen liber.

41

42 LECTIA 5. SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE

Forma generala a unui sistem de ecuatii diferentiale liniare de ordinul I este

y1 = f1 (x, y1, y2, ..., yn)y2 = f2 (x, y1, y2, ..., yn)yn = fn (x, y1, y2, ..., yn)

(5.1)

n care functiile necunoscute sunt yi = yi(x), i = 1, 2, ..., n. Functiile fi(x), i =1, 2, ..., n sunt date si sucient de regulate pentru a permite operatiile matem-atice ce se fac asupra lor pentru a rezolva sistemul sistemul de ecuatii. Dacatoate functiile fi(x) sunt liniare n argumentele lor, atunci sistemul devineliniar si are forma generala

y1 = a11y1 + a12y2 + ... + a1nyn + b1y2 = a21y1 + a22y2 + ... + a2nyn + b2yn = an1y1 + an2y2 + ... + annyn + bn

(5.2)

Si la sistemul (5.2) functiile necunoscute sunt yi = yi(x), x [a, b] iar functiilecoecienti aij = aij(x) si functiile termen liber bi = bi(x) sunt date. Daca totibi = 0, i = 1, 2, ..., n, atunci sistemul capata forma sa omogena.

Un sistem de ecuatii diferentiale liniare de ordinul I capata o forma maisimpla daca folosim scrierea matriceala

Y = AY + b, unde Y =

y1y2yn

,

A =

a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann

, b =

b1b2bn

. (5.3)

Ne propunem sa aratam ca o ecuatie diferentiala liniara de ordinul n sereduce la un sistem de n ecuatii diferentiale liniare de ordinul I cu n functiinecunoscute. De exemplu, ecuatia de ordinul doi y ky = 0 se reduce la unsistem de doua ecuatii diferentiale de ordinul I cu doua functii necunoscute.

5.1. SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE LINIARE 43

Intr-adevar, daca folosim notatiile y1(x) = y(x) si y2(x) = y1(x), obtinem

sistemul liniar {y1(x) = y2(x)y2(x) = ky1(x)

In general, pentru ecuatia anyn + an1yn1+ ...+ a1y+ a0y = f se folosesc

notatiile y1 = y, y2 = y, y3 = y,..., yn = y(n1) si atunci obtinem sistemul

liniar

y1(x) = y2(x)y2(x) = y3(x)yn1(x) = yn(x)yn(x) = f(x) 1an (a0y1 + a1y2 + ... + an1yn)

Vom expune doua metode de rezolvare un sistem de n ecuatii diferentialeliniare de ordinul I.

Metoda 1.

Analogia de mai sus dintre o ecuatie diferentiala liniara de ordinul n siun sistem de n ecuatii diferentiale liniare de ordinul I sugereaza o primametoda de rezolvare a sistemelor de ecuatii diferentiale liniare si pe care ovom numi metoda reducerii. Aceasta consta n reducerea sistemului la oecuatie diferentiala cu o singura functie necunoscuta, n general de ordin egalcu numarul ecuatiilor din sistem. Mai precis, se xeaza o functie necunos-cuta, sa zicem yn, si se expliciteaza celelalte functii necunoscute mpreuna cuderivatele lor cu ajutorul lui yn. Se obtine o ecuatie diferentiala de ordinul nn functia necunoscuta yn.

Exemplu. Sa consideram sistemul particular

{y1 = 4y1 y2y2 = 5y1 + 2y2

Prin derivare obtinem y1 = 4y1y2 si y2 = 5y1+2y2 din care, prin combinatii

evidente, rezulta y1 6y1 + 13y1 = 0, adica o ecuatie diferentiala de ordinul


doi, cu o singura functie necunoscuta, y1.

Metoda 2.Vom expune acum o metoda care aminteste de rezolvarea ecuatiilor diferentialecu coecienti constanti. Se numeste metoda ecuatiei caracteristice. Pen-tru sistemul dat se cauta solutii de forma

Y =

y1y2yn

=

C1C2Cn

ex =

C1ex

C2ex

Cne

x

Se obliga acest Y sa e efectiv solutie si dupa ce simplicam cu ex obtinemurmatorul sistem algebric, liniar si omogen

(a11 )C1 + a12C2 + ... + a1nCn = 0a21C1 + (a22 )C2 + ... + a2nCn = 0

an1C1 + an2C2 + ... + (ann )Cn = 0

Pentru ca sistemul sa admita si solutii diferite de solutia banala, trebuie cadeterminantul sistemului sa e nul, adica

a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann

= 0.

Dupa calcularea determinantului se obtine o ecuatie algebrica de gradul n nnecynoscuta , de forma

n + b1n1 + ... + bn1 + b0 = 0, (5.4)

care se numeste ecuatia caracteristica a sistemului. Aici se vede analogia cuecuatia caracteristica atasata ecuatiilor diferentiale de ordinul n. In felul acestaam redus problema rezolvarii sistemului de ecuatii diferentiale la rezolvareaecuatiei sale caracteristice care este o ecuatie algebrica polinomiala.

5.1. SISTEME DE ECUATII DIFERENTIALE LINIARE 45

Ca si n cazul ecuatiilor diferentiale de ordinul n, vom distinge mai multecazuri, n functie de natura radacinilor ecuatiei caracteristice.

Cazul 1. Presupunem ca ecuatia caracteristica are o radacina reala simpla 1.Solutia sistemului se cauta de forma y1 = C1e

1x, y2 = C2e1x,...,yn = Cne

1x,care se obliga sa verice sistemul de ecuatii diferentiale. Se va obtine un sistemalgebric de n 1 ecuatii n necunoscutele C1, C2, ..,Cn. Se vor explicita, deexemplu, constantele C2, C3,...,Cn n functie de C1 iar, n nal, se va lui C1 ovaloare particulara.

Cazul 2. Presupunem ca ecuatia caracteristica are o radacina complexasimpla 1 = + i. Pentru ca ecuatia caracteristica are coecienti reali,ea va admite si radacina complex conjugata 2 = i. Solutia sistemului secauta de forma

Y =

C1 cosx + B1 sin xC2 cosx + B2 sin x

Cn cosx + Bn sin x

ex

Introducem solutia gasita n sistemul de ecuatii diferentiale initial si, prinmetoda identicarii, se obtine un sistem algebric din care se determina con-stantele C2, B2, C3, B3,...,Cn, Bn n functie de C1 si B1, iar n nal se dauvalori particulare pentru C1 si B1.

Cazul 3. Presupunem ca ecuatia caracteristica are o radacina reala, , mul-tipla de ordinul m. Cautam solutia sistemului de ecuatii diferentiale sub forma

Y =

C11 + C12x + ... + C1mxm1

C21 + C22x + ... + C2mxm1

Cn1 + Cn2x + ... + Cnmx

m1

ex

Coecientii Cij se determina ca n cazul doi.

Cazul 4. Presupunem ca ecuatia caracteristica are o radacina complexa


1 = + i, (deci automat are si conjugata, 2 = i), multipla de ordinulm. Cautam solutia sistemului de ecuatii diferentiale sub forma

Y=

(C11+...+C1mx

m1)cosx+(B11+...+B1mxm1)sin x(C21+...+C2mx

m1)cosx+(B21+...+B2mxm1)sin x(Cn1+...+Cnmx

m1)cosx+(Bn1+...+Bnmxm1)sin x

ex

5.2 Sisteme cu coeficienti constanti

[Sisteme cu coecienti constanti]

Prin analogie cu algoritmul de rezolvare al ecuatiilor diferentiale de ordinsuperior, algoritmul de rezolvare al sistemelor neomogene de ecuatii diferentialeeste urmatorul:

i) se ataseaza sitemul omogen si se aa solutia sa generala;ii) se aa o solutie particulara a sistemului neomogen;iii) solutia generala a sistemului meomogen se obtine prin nsumarea solutiei

generale a sistemului omogen cu solutia particulara a sistemului neomogen.Deoarece algoritmul pentru determinarea solutiei generale a sistemului omo-

gen a fost deja expus, a mai ramas sa indicam metode pentru a aa o solutieparticulara a sistemului neomogen. Ca si n cazul ecuatiilor diferentiale deordin superior, sunt doua metode: metoda variatiei constantelor, aceiasi can cazul sistemelor cu coecienti variabili si metoda sugestiva. Cat privesteaceasta ultima metoda, prezentam trei cazuri.

Cazul 1. Presupunem ca toti termenii liberi ai sistemului sunt polinoame,care pot de grade diferite, adica de forma

(f1(x), f2(x), ..., fn(x))T = (P1(x), P2(x), ..., Pn(x))

T

Atunci o solutie particulara a sistemului neomogen va luata de forma

(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T = (Q1(x), Q2(x), ..., Qn(x))

T

n care Qi sunt polinoame de grade egale, si anume

grQ1 = grQ2 = ... = grQn = max{grP1, grP2, ..., grPn}.

5.2. SISTEME CU COEFICIENTI CONSTANTI 47

Coecientii polinoamelor Qi se aa obligand vectorul coloana

(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T

sa verice efectiv sistemul diferential neomogen, procedandu-se apoi la identi-care.

Cazul 2. Presupunem ca toti termenii liberi ai sistemului neomogen suntde forma

(f1(x), f2(x), ..., fn(x))T = (P1(x), P2(x), ..., Pn(x))

T ex

unde Pi sunt polinoame, care pot de grade diferite. Atunci o solutie partic-ulara a sistemului neomogen va luata de forma


T ex

daca nu este radacina pentru ecuatia caracteristica atasata sistemului omogen.Aici, Qi sunt polinoame de grade egale, si anume

grQ1 = grQ2 = ... = grQn = max{grP1, grP2, ..., grPn}.Coecientii polinoamelor Qi se aa obligand vectorul coloana

(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T

sa verice efectiv sistemul diferential neomogen, procedandu-se apoi la iden-ticare. Daca este radacina pentru ecuatia caracteristica atasata sistemuluiomogen, multipla de ordinul m, atunci o solutie particulara a sistemului neo-mogen va luata de forma


T xmex

n care polinoamele Qi sunt n situatia de mai sus si se determina n manieraexpusa mai sus. Trebuie sa remarcam ca, prin particularizarea lui = 0, ncazul 2, obtinem cazul 1.

Cazul 3. Presupunem ca termenii liberi ai sistemului neomogen sunt de forma

f(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))T =

=[(P1(x), ..., Pn(x))

T cosx + (R1(x), ..., Rn(x))T sin x

]ex


Daca + i nu este radacina pentru ecuatia caracteristica atasata sistemuluiomogen, atunci o solutie particulara a sistemului neomogen va luata de forma

yp(x) = (y1(x), y2(x), ..., yn(x))T =

=[(Q1(x), ..., Qn(x))

T cosx + (S1(x), ..., Sn(x))T sin x

]ex

Daca + i este radacina pentru ecuatia caracteristica atasata sistemuluiomogen, de ordin m, atunci o solutie particulara a sistemului neomogen va luata de forma

yp(x) = (y1(x), y2(x), ..., yn(x))T =

=[(Q1(x), ..., Qn(x))

T cosx + (S1(x), ..., Sn(x))T sin x

]xmex

Polinoamele Qi si Si sunt n situatia expusa la cazul 2 si se determina n aceiasimaniera.

Lectia 6

Sisteme autonome

6.1 Sisteme autonome de ecuatii diferentiale

Obiective:

1. Este prezentata notiunea de integrala prima pentru sistemele autonomede ecuatii diferentiale liniare.

2. Rezolvarea sistemelor autonome este redusa la rezolvarea sistemelorcaracteristice atasate lor, iar rezolvarea acestora din urma se reduce la deter-minarea unui numar de integrale prime liniar independente.

3. Sunt prezentate sistemele simetrice de ecuatii diferentiale si se dovedesteechivalenta dintre acestea si sistemele autonome de ecuatii diferentiale.

Se considera functiile fi : D R, D Rn, fi C1(D), i = 1, 2, ..., n.Definitia 1 Se numeste sistem diferential autonom un sistem de ecuatii diferen-tiale de ordinul I, neliniare, de forma

y1 = f1 (y1, y2, ..., yn)y2 = f2 (y1, y2, ..., yn)yn = fn (y1, y2, ..., yn)

(6.1)

49

50 LECTIA 6. SISTEME AUTONOME

n care functiile f1, f2,...,fn nu sunt simultan nule pe D.

Denumirea este sugerata de faptul ca functiile fi(x), i = 1, 2, ..., n nu depindexplicit de variabila x. Reamintim ca ecuatiile diferentiale ale unui sistemneautonom au forma yi = fi (x, y1, y2, ..., yn), deci variabila x apare explicit.

Definitia 2 Functia : D R, C1(D) se numeste integrala primapentru sistemul autonom (6.1) daca pentru solutie (y1, y2, ..., yn) a sistemuluiavem (y1, y2, ..., yn) = C, unde C este o constanta.

Nu trebuie nteles ca functia este constanta, ci valoarea ei calculata pen-tru o solutie a sistemului este constanta. De exemplu, functia (x, y) = sin x+yeste integrala prima pentru un sistem diferential autonom de doua ecuatii cudoua necunoscute care admite solutia y1 =arcsinx, y2 = 2 x. Intr-adevar,(y1, y2) = sin y1 + y2 = x + 2 x = 2. Valoarea constantei C depinde desolutia sistemului pentru care se calculeazafunctia , deci pentru alta solutiea sistemului, valoarea functiei va alta constanta.

Anticipam ca rezolvarea unui sistem autonom de ecuatii diferentiale sereduce la aarea unui anumit numar de integrale prime ale sale. Vom ncepeprin a indica tehnici pentru a aa integrale prime.

Teorema 1 Functia : D R, C1(D) este integrala prima pe D pentrusistemul autonom (1) daca si numai daca satisface ecuatia

f1 (y1, ..., yn)

y1+ f2 (y1, ..., yn)

y2+ ... + fn (y1, ..., yn)

yn= 0,

(y1, ..., yn) D. (6.2)Demonstratie. Necesitatea Presupunem ca functia este integrala primapentru sistemul (6.1), deci, pentru orice solutie (y1, y2, ..., yn) a sistemului,avem (y1, y2, ..., yn) = C. Prin diferentiere, obtinem d (y1, y2, ..., yn) = 0,adica

y1y1 +

y2y2 + ... +

ynyn = 0.

Insa din ecuatiile sistemului avem yk = fk si atunci ecuatia de mai sus devine

y1f1 +

y2f2 + ... +

ynfn = 0,

6.1. SISTEME AUTONOME DE ECUATII DIFERENTIALE 51

adica tocmai ecuatia (6.2).Suficienta. Presupunem ca functia satisface ecuatia (6.2). Trebuie saaratam ca este integrala prima pentru sistemul (6.1). Luam o solutie oarecarea sistemului, (y1, y2, ..., yn) si vrem sa aratam ca (y1, y2, ..., yn) = C. De fapt,aratam ca d (y1, y2, ..., yn) = 0. Deoarece (y1, y2, ..., yn) este solutie pentrusistem, avem yk = fk. Pentru ca satisface ecuatia (2) si fk = y

k, deducem

y1y1 +

y2y2 + ... +

ynyn = 0,

adica d (y1, y2, ..., yn) = 0 de unde deducem ca (y1, y2, ..., yn) = C, pentruorice solutie (y1, y2, ..., yn) a sistemului.

Definitia 3 Functiile 1, 2,...,p cu p n, care sunt integrale prime pentrusistemul atronom (1), sunt liniar independente ntr-un punct x0 [a, b] daca

rang

(D (1, 2, ..., p)

D (y1, y2, ..., yn)

)= rang

1y1

1y2

... 1yn

2y1

2y2

... 2yn

py1

py2

... pyn

= p n,

matricea jacobiana ind calculata n x0 [a, b].

Teorema 2 Sistemul diferential autonom (6.1) nu poate avea mai mult den 1 integrale prime independente.

Demonstratie. Conform cu denitia integralelor prime independente, rangulmatricii iacobiene, care este dreptunghiulara, nu poate depasi n. Sa aratamca rangul acestei matrici nu poate n, deci sistemul nu poate avea n integraleprime independente. Presupunem, prin reducere la absurd, ca sistemul (6.1)admite n integrale prime independente. Deci rangul matricii iacobiene atasatacelor n integrale prime, care acum devine patratica, este n, deci determinantulacestei matrici este nenul:D (1, 2, ..., p)D (y1, y2, ..., yn)

= 0.


Conform cu teorema 1, ecare integrala prima satisface o ecuatie de forma(6.2). Se obtine urmatorul sistem de ecuatii

1y1

f1 +1y2

f2 + ... +1yn

fn = 0,2y1

f1 +2y2

f2 + ... +2yn

fn = 0,

ny1

f1 +ny2

f2 + ... +nyn

fn = 0

(6.3)

Avem deci un sistem algebric liniar, patratic, omogen, n care necunoscutelesunt functiile f1, f2,...,fn. Pentru ca acest sistem are determinantul nenul,deducem ca el admite numai solutia banala. Deci toate functiile f1, f2,...,fnsunt nule, contrar cu denitia unui sistem autonom.

Dam acum, fara demonstratie, un rezultat care completeaza rezultatul dinteorema 2 n privinta numarului de integrale prime. Rezultatul este atribuitlui Pontreaghin.

Teorema 3 Sistemul autonom (6.1) nu poate avea mai putin de n1 integraleprime independente.

Observatie. Daca confruntam rezultatele din teorema 2 si teorema 3 deducemca orice sistem autonom are exact n 1 integrale prime independente. Ast-fel, rezolvarea unui sistem autonom revine la aarea a n 1 integrale primeindependente.

Cele mai uzuale sisteme autonome sunt n trei dimensiuni si atunci re-zolvarea lor nseamna determinarea a doua integrale prime independente.

6.2 Sisteme diferentiale simetrice

Pornim de la un sistem diferential autonom si tinem cont ca o ecuatie din acestsistem, sa zicem prima, dy1/dx = f1 poate scrisa si n forma dy1/f1 = dx.Analog se scriu si celelalte ecuatii ale sistemului.

6.2. SISTEME DIFERENTIALE SIMETRICE 53

Definitia 4 Se numeste sistem simetric, un sistem diferential de forma

dy1f1(y1, y2, ..., yn)

=dy2

f2(y1, y2, ..., yn)= ...

dynfn(y1, y2, ..., yn)

. (6.4)

Reamintim ca functiile f1, f2, ..., fn nu pot simultan nule. Se face conventiaca daca una din functiile f1, f2, ..., fn este nula, atunci raportul, corespunzatorei, din sistemul simetric (6.4) lipseste. Am aratat cum un sistem autonompoate adus la forma sa simetrica. Reciproc, unsistem simetric poate scrissub forma unui sistem autonom. Scriem ca rapoartele din (6.4) sunt toateegale cu ultimul:

dy1f1

=dynfn

dy1dyn

=f1fn

,dy2dyn

=f2fn

, ...,dyn1dyn

=fn1fn

.

Folosim notatiile gi = fi/fn si consideram ca variabila independenta pe u = ynsi obtinem:

dy1du

= g1,dy2du

= g2, ...,dyn1du

= gn1,

care este un sistemul autonom de n1 ecuatii diferentiale n functiile necunos-cute y1, y2, ..., yn1 de variabila independenta u = yn.

Dupa ce am stabilit ca rezolvarea unui sistem autonom (n baza consideratii-lor de mai sus, deci si a unui sistem simetric) revine la aarea a n1 integraleprime independente, trebuie acum sa indicam tehnici pentru determinarea in-tegralelor prime. Cea mai generala metoda este cea a combinatiilor liniare,expusa n teorema care urmeaza.

Teorema 4 Presupunem determinate functiile i = i(y1, y2, ..., yn), undei : D R, D Rn, i C1(D), i = 1, 2, ..., n astfel ncat

1f1 + 2f2 + ... + nfn = 0

1dy1 + 2dy2 + ... + ndyn =

= d, = (y1, y2, ..., yn)

Atunci functia : D R este integrala prima pentru sistemul (6.4).


Demonstratie. Luam (y1, y2, ..., yn) o solutie oarecare a sistemului (4) si saaratam ca (y1, y2, ..., yn) = C. Scriem ecuatiile sistemului simetric n forma

dy1 =f1fn

, dy2 =f2fn

, ..., dyn1 =fn1fn

, dyn =fnfn

.

Inlocuim aceste diferentiale n a doua ipoteza a teoremei si obtinem

1dy1+2dy2+...+ndyn=

=

(1

f1fn

+2f2fn

+...+n1fn1fn

+nfnfn

)dyn=d

dynfn

(1f1+2f2+...+nfn)=d d = 0 (y1, y2, ..., yn) = C.

Observatie. Practic, teorema propune amplicarea rapoartelor ce denescsistemul simetric cu i, care n general sunt functii de variabilele y1, y2, ..., yn,astfel ncat suma numaratorilor sa e nula. Conditia a doua din teorema serealizeaza aproape de la sine. Reamintim ca daca o functie fi este nula, atuncidyi = 0, deci yi = C (practic aceasta este o integrala prima particulara) siatunci sistemul simetric nu mai contine raportul respectiv.

Vom da un exemplu particular de sistem simetric n trei dimensiuni cuscopul de a urmari concret metoda furnizata de teorema. Intr-un domeniudin spatiul euclidian cu trei dimensiuni pentru care x = y, x = z si y = z,consideram sistemul (n functiile necunoscute x, y, z de variabila t):

dx

y z =dy

z x =dz

x y .

i) Luam ca factori de amplicare 1 = 2 = 3 = 1 si atunci obtinem1.(y z) + 1.(z x) + 1.(x y) = 0, deci dx+ dy + dz = d(x + y + z) = 0 deunde x + y + z = C si am gasit prima integrala prima 1(x, y, z) = x + y + z.Am folosit aici proprietati ale proportiilor derivate.

ii) Amplicam acum cele trei rapoarte cu 1 = x, 2 = y, 3 = z, respectivsi obtinem x(y z) + y(z x) + z(x y) = 0. Atunci xdx + ydy + zdz =d(x2/2 + y2/2 + z2/2) = 0 de unde rezulta x2 + y2 + z2 = C si atunci a douaintegrala prima este 2(x, y, z) = x

2 + y2 + z2. Mai trebuie vericat ca cele

6.2. SISTEME DIFERENTIALE SIMETRICE 55

doua integrale prime sunt independente. Avem matricea iacobiana

( 1x

1y

1z

2x

2y

2z

)=

(1 1 12x 2y 2z

)

care are rangul doi din cauza ipotezei impuse unui sistem simetric ca macarun numitor sa e nenul.

O alta metoda pentru determinare de integrale prime, care este mai putingenerala, consta n cuplarea convenabila a rapoartelor pentru a putea separavariabilele, apoi integram n ecare membru unde avem o singura variabila.

Lectia 7

Ecuatii cu derivate partiale

7.1 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I

Obiective:

1. O ecuatie cu derivate partiale de ordinul I liniara este abordata prinprisma sistemului sau caracteristic, care este un sistem simetric. Rezolvareasistemului caracteristic este redusa la determinarea unui numar de integraleprime liniar independente.

2. Este apoi expusa forma generala a unei ecuatii cu derivate partiale deordinul I cvasi-liniara precum si algoritmul cum aceasta este redusa la o ecuatieliniara cu derivate partiale de ordinul I.

3. Atat pentru ecuatia cu derivate partiale de ordinul I liniara cat si pentruecuatia cvasi-liniara este prezentata Problema Cauchy precum si tehnicilede abordare ale acestora.

4. In nalul lectiei sunt abordate ecuatiile neliniare cu derivate partialede ordinul I. Este propusa o procedura pentru a obtine sistemul caracteristicatasat acestor ecuatii precum si modalitatea de a obtine integrala generala aacestor ecuatii prcum si a unei integrale particulare.

Definitia 1 Se numeste ecuatie diferentiala cu derivate partiale de ordinul I

57

58 LECTIA 7. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE

liniara si omogena o ecuatie de forma

P1(x1, x2, ..., xn)u

x1+ P2(x1, x2, ..., xn)

u

x2+ ... +

+Pn(x1, x2, ..., xn)u

xn= 0 (7.1)

n care functia necunoscuta este u = u(x1, x2, ..., xn).

Functiile coecienti Pi = Pi(x1, x2, ..., xn) sunt date si au proprietatile Pi :D R, D Rn, Pi C1(D), i = 1, 2, ..., n si nu se anuleaza simultan pedomeniul D.

Definitia 2 Se numeste solutie pentru ecuatia (7.1) o functie

= (x1, x2, ..., xn),

: D R, D Rn astfel ncat C1(D) si nlocuita n (7.1) o transformape aceasta n identitate.

Definitia 3 Se numeste sistem caracteristic asociat ecuatiei cu derivate partiale(7.1) urmatorul sistem simetric

dx1P1(x1, x2, ..., xn)

=dx2

P2(x1, x2, ..., xn)= ... =

dxnPn(x1, x2, ..., xn)

(7.2)

Se remarca faptul ca functiile de la numitorii sistemului (7.2) sunt functiilecoecient ale ecuatiei (1).

Observatie. Anticipam ca rezolvarea unei ecuatii cu derivate partiale revinela rezolvarea sistemului sau caracteristic, care este un sistem simetric pentrucare, dupa cum am demonstrat deja, rezolvarea nseamna determinarea a n1integrale prime independente.

Teorema care urmeaza demonstreaza faptul ca rezolvarea unei ecuatii cuderivate partiale revine la rezolvarea sistemului sau caracteristic.

Teorema 1 Conditia necesara si sucienta ca functia : D Rn R sae solutie pentru ecuatia (7.1) este ca sa e integrala prima pentru sistemulcaracteristic (7.2).

7.1. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I 59

Demonstratie. Suficienta Presupunem ca este integrala prima pentrusistemul caracteristic (7.2). Conform cu teorema de caracterizare a integraleiprime, satisface ecuatia

P1(x1, x2, ..., xn)

x1+ P2(x1, x2, ..., xn)

x2+ ... +

+Pn(x1, x2, ..., xn)

xn= 0,

adica verica ecuatia (7.1).Necesitatea. Presupunem ca este solutie pentru ecuatia (7.1) si sa aratamca este inegrala prima pentru sistemul (7.2). Pentru aceasta luam o solutiearbitrara (x1, x2, ..., xn) a sistemului (7.2) si aratam ca (x1, x2, ..., xn) = C.Astfel, daca calculam diferentiala functiei constatam

d =

x1dx1 +

x2dx2 + ... +

xndxn =

=

x1

P1Pn

dxn +

x2

P2Pn

dxn + ... +

xn

PnPn

dxn =

dxnPn

(P1(x1, x2, ..., xn)

x1+P2(x1, x2, ..., xn)

x2+...+

Pn(x1, x2, ..., xn)

xn

)=0,

n care am folosit faptul ca satisface ecuatia (7.1). Deoarece d = 0 deducemca (x1, x2, ..., xn) = C, adica este integrala prima.

Teorema care urmeaza indica modalitatea prin care se aa solutia generalaa unei ecuatii cu derivate partiale de forma (7.1).

Teorema 2 Presupunem cunoscute functiile 1, 2, ..., n1 care sunt inte-grale prime independente pentru sistemul caracteristic (7.2). Atunci oricefunctie : Rn1 R, C1(Rn1), care are ca argumente cele n 1integrale prime, este solutie pentru ecuatia cu derivate partiale (7.1).

Demonstratie. Trebuie sa vericam ca functia u = (1, 2, ..., n) nlocuitan ecuatia (7.1) o transforma pe aceasta n identitate. Calculam derivatele


partiale ale functiei u:

u

x1=

1

1x1

+

2

2x1

+ ... +

n1

n1x1

u

x2=

1

1x2

+

2

2x2

+ ... +

n1

n1x2

u

xn=

n

1xn

+

2

2xn

+ ... +

n1

n1xn

.

Inmultim prima relatie cu P1, a doua cu P2,..., ultima cu Pn si adunam relatiileastfel obtinute, membru cu membru:

P1u

x1+ P2

u

x2+ ... + Pn

u

xn=

=

1

(P1

1x1

+ P21x2

+ ... + Pn1xn

)+

+

2

(P1

2x1

+ P22x2

+ ... + Pn2xn

)+

+... +

n1

(P1

n1x1

+ P2n1x2

+ ... + Pnn1xn

)= 0.

Am folosit aici faptul ca parantezele sunt nule din cauza ca functiile i suntintegrale prime deci verica ecuatia din teorema de caracterizare a integralelorprime.

Exemplu. Oferim acum un exemplu simplu n trei dimensiuni, pentru a xarezultatele teoretice. Fie ecuatia cu derivate partiale si sistemul caracteristicasociat:

xu

x+ y

u

y+ (x + y)

u

z= 0,

dx

x=

dy

y=

dz

x + y.

Obtinem ca sistemul caracteristic admite urmatoarele doua integralele prime1(x, y, z) = x/y, 2(x, y, z) = x + y z. Cu ajutorul matricii iacobiane seconstata ca aceaste integrale prime sunt independente. Atunci, conform cuteorema anterioara, solutia generala a ecuatiei date este functia

u = (x/y, x + y z) .

7.2. PROBLEMA CAUCHY 61

7.2 Problema Cauchy

Se remarca din forma solutiei generale a unei ecuatii cu derivate partiale deordinul I gradul mare de arbitrarietate al solutiei. Daca la ecuatiile diferentialeordinare solutia generala depinde constantele de integrare care sunt arbitrare,n cazul de fata chiar si functia care deneste solutia este arbitrara. Se puneproblema determinarii unei anumite solutii, adica a eliminarii arbitrariuluidin solutie. Ca si la ecuatiile diferentiale ordinare acest lucru se rezolva prinimpunerea unor conditii, numite conditii initiale sau conditii Cauchy. Acesteconditii mpreuna cu ecuatia propriu-zisa formeaza problema Cauchy. Formagenerala a conditiei Cauchy este

u(x1, x2, ..., xn1, x0n) = (x1, x2, ..., xn1),

n care functia Psi este cunoscuta. Deci s-a xat una dintre variabile si, farasa se restranga generalitatea, aceasta s-a ales ultima. Daca se xeaza altavariabila, atunci se poate recurge la reordonarea variabilelor.

Algoritmul de rezolvare a problei Cauchy este urmatorul :i) se determina cele n 1 integrale prime independente ale sistemului car-

acteristic;ii) se ataseaza conditia Cauchy langa integralele prime. Se obtine un sistem

de n relatii din care se elimina variabilele si se obtine o relatie curata numain constantele C1, C2, ...,Cn1;

iii) n relatia obtinuta la pasul precedent se nlocuisc constantele cu expre-siile lor complete de la integralele prime.

7.3 Ecuatii de ordinul I cvasiliniare

Ecuatiile diferentiale acest nume pentru ca sunt liniare numai n derivatelepartiale ale functiei necunoscute si au forma generala:

Q1(x1, x2, .., xn, u)u

x1+Q2(x1, x2, .., xn, u)

u

x2+..+

+Qn(x1, x2, .., xn, u)u

xn=0 (7.3)


De remarcat ca la o ecuatie cvasiliniara functiile coecient depind si de functianecunoscuta, care este functia u = u(x1, x2, ..., xn), iar termenul liber nu maieste nul, ca la ecuatiile liniare.

In teorema care urmeaza se demonstreaza o modalitate prin care rezolvareaunei ecuatii cvasiliniare se reduce la rezolvarea unei ecuatii liniare.

Teorema 3 Orice ecuatie cvasiliniara se reduce la o ecuatie liniara pentru onoua functie necunoscuta care depinde de n + 1 variabile.

Demonstratie. Cautam solutia ecuatiei cvasiliniare (7.3) nu sub forma ex-plicita u = u(x1, x2, ..., xn) ci sub forma implicita

v(x1, x2, ..., xn) = 0, v C1(D), D Rn+1, ux

= 0. (7.4)

Daca derivam n (7.4) n raport cu x1 obtinem

v

x1+

v

u

u

x1= 0 u

x1= v

x1/v

u.

Analog se calculeaza celelalte derivate partiale care se introduc n ecuatia (7.3)si se obtine:

Q1 vx1

/v

uQ2 v

x2/v

u ...Qn v

xn/v

u= Qn+1.

Inmultim aici cu vu

, mutam termenul din dreapta n stanga si obtinemecuatia liniara

Q1v

x1+ Q2

v

x2+ ... + Qn

v

xn+ Qn+1

v

u= 0.

Avem aici o ecuatie cu derivate partiale liniara n functia necunoecuta vcare depinde de n + 1 varibile, ultimul ind xn+1 = u. In consecinta, pen-tru sistemul caracteristic asociat acestei ecuatii vor necesare n integraleprime independente 1, 2, ..., n iar solutia generala a ecuatiei va de forma

7.4. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I NELINIARE63

Psi(1, 2, ..., n) = 0. Pentru a concretiza rezultatul teoretic din teorema 3,indicam un exemplu simplu de ecuatie cvasiliniara. Fie deci ecuatia cvasiliniara

xy2u

x+ x2y

u

y= u

(x2 + y2

).

Cu procedeul din teorema acesta ecuatie se transforma ntr-o ecuatie liniaran functia necunoscuta v = v(x, y, u):

xy2v

x+ x2y

v

y+ u

(x2 + y2

) vu

= 0.

Se ataseaza apoi sistemul sau caracteristic, se gasesc integralele prime inde-pendente 1(x, y, u) = x

2 y2 si 2(x, y, u) = xy/u si atunci solutia generalaa ecuatiei initiale este (x2 y2, xy/u) = 0.

7.4 Ecuatii de ordinul I neliniare

Vom trata aceste ecuatii, ind mai dicile, doar n cazul particular cand functianecunoscuta depinde numai de doua variabile. Pentru functia z = z(x, y)introducem notatiile lui Monge:

p =z

x, q =

z

y

si atunci forma generala a unei ecuatii neliniare cu derivate partiale este :

F (x, y, z, p, q) = 0, F : D R4 R, (x, y) R2. (7.5)

Procedeul de abordare a ecuatiilor neliniare este unul de liniarizare. In acestscop, derivam n (7.5), pe rand, n raport cu x si y:

F

x+

F

z

z

x+

F

p

p

x+

F

q

q

x= 0

F

y+

F

z

z

y+

F

p

p

y+

F

q

q

y= 0. (7.6)


Se poate constata imediat ca

p

y=

y

(z

x

)=

2z

xy

q

x=

x

(z

y

)=

2z

xy,

n care am folosit faptul ca functia z C() si deci satisface criteriul luiSchwartz. Atunci sistemul de ecuatii (7.6) poate scris n forma

F

p

p

x+

F

p

p

y= F

x F

z

z

xF

p

q

x+

F

p

q

y= F

y F

z

z

y(7.7)

Extindem acum notatiile lui Monge:

X =F

x, Y =

F

y, Z =

F

z, P =

F

p, Q =

F

q(7.8)

si atunci sistemul (7.7) capata forma:

Pp

x+ Q

p

y= (X + pZ)

Pq

x+ Q

q

y= (Y + qZ) .

Avem aici doua ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale. Folosim aici pro-cedeul deja expus si trecem aceste ecuatii n forma lor liniara, apoi atasaampentru ecare sistemul caracteristic. Dupa egalarea partilor comune obtinemurmatorul sistem simetric:

dx

P=

dy

Q=

dp

(X + pZ) =dq

(Y + qZ) . (7.9)

Daca tinem cont ca

dz =z

xdx +

z

ydy = pdx + qdy,

7.4. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I NELINIARE65

atunci putem scrie

pdx

pP=

qdy

qQ pdx + qdy

pP + qQ=

dx

P dx

P=

dz

pP + qQ,

n care am folosit proprietati ale proportiilor derivate. Cu relatia de mai suscompletam sistemul caracteristic (7.9) si atunci avem:

dx

P=

dy

Q=

dz

pP + qQ=

dp

(X + pZ) =dq

(Y + qZ) . (7.10)

Cu sistemul simetric (7.10) putem acum sa rezolvam ecuatia initiala neliniara.Se cauta doua integrale prime pentru sistemul simetric (7.10) din care sa sepoata explicita functiile p si q n functie de x si y si doua constante de inte-grare C1 si C2. Apoi tinem cont ca dz = pdx + qdy, nlocuim aici expresiilegasite pentru p si q si obtinem o ecuatie numai n functia z. Se rezolva acestaecuatie si se gaseste z(x, y) = (x, y, C1, C2, K), constanta K, care a aparutde ultima integrare, se elimina prin impunerea functiei z sa verice ecuatianeliniara initiala.Spunem ca am obtinut astfel integrala generala a ecuatiei neliniare z(x, y) =(x, y, C1, C2). O integrala particulara se obtine prin eliminarea constan-telor C1 si C2 din sistemul

z = (x, y, C1, C2)C1

= 0,C2

= 0

Lectia 8

Stabilitate

8.1 Notiuni de stabilitate

Obiective:

1. Ca un mic studiu calitativ al ecuatiilor diferentiale, se expun catevanotiuni privind stabilitatea solutiilor ecuatiilor diferentiale.

2. Sunt prezentate principalele tipuri de stabilitate si este expus n detaliucriteriul lui Hurwitz.

3. O tratare moderna a teoriei stabilitatii se bazeaza pe rezultatele lui Lia-punov. Aici sunt prezentate doar notiunile introductive ale stabilitatii in sensLiapunov.

Este cunoscut faptul ca cele mai multe fenomene zice sunt modelate prinecuatii diferentiale sau sisteme de ecuatii diferentiale. O stare distincta aacestor fenomene zice, mai ales n cazul proceselor n functionare n regimstationar, o constituie starea de echilibru, sau pozitia de echilibru. Pentruspecialistii tehnicieni prezinta interes deosebit starea de echilibru stabil. Intermeni tehnici, aceasta este starea n jurul careia se misca sistemul daca estesupus unor impulsuri initiale. In termeni matematici, stabilitatea nseamnastudiul acelor solutii ale sistemelor de ecuatii diferentiale care sunt constante

67

68 LECTIA 8. STABILITATE

n timp.Sa consideram un sistem de ecuatii diferentiale scris n forma sa vectoriala:

x = f(t, x), (8.1)

n care x si f sunt functii vectoriale ndimensionale.Se presupun satisfacute urmatoarele ipoteze standard:

i) f este continua n (t, x) pe domeniul D = {(x, y)/t , x a};ii) f este functie Lipschitz n variabila x pe domeniul D.

Observatie. Daca n sistemul (8.1) se presupune ca x si f sunt functii scalaresi n denitia domeniului D se nlocuieste norma cu modulul, se obtine cazulecuatiilor diferentiale.

Ne intereseaza pentru sistemul (8.1) numai solutiile stationare, sau deechilibru, adica solutiile x = (t) C, C =constanta. Si mai mare interesprezinta solutia banala x = 0. Orice studiu asupra solutiei x = (t), pen-tru sistemul (8.1), se poate reduce la studiul solutiei banale, x = 0, printr-ooperatie de translatie. Singurul inconvenient este ca sistemul sufera o usoaraadaptare. Intr-adevar, daca facem translatia y = x(t), obtinem y = x =f(t, x) = f(t, y + ) .Am obtinut deci sistemul

y = g(t, y), unde g(t, y) = f(t, y + (t)) (t). (8.2)Aceasta dovedeste ca nu restrangem generalitatea daca studiem doar stabili-tatea solutiei banale pentru sistemul diferential (8.1). Trebuie doar ca sistemulsa satisfaca conditia f(t, 0) = 0, t 0, adica sistemul sa admita solutia ba-nala x = 0.Daca xam t0 0 si consideram cunoscuta valoarea

x0 = x(t0) (8.3)

atunci am format problema Cauchy (8.1)+(8.3).Pentru o xare a perechii (t0, x0) D, n baza ipotezelor standard, deducemca problema Cauchy (8.1)+(8.3) admite solutie unica. Evident, pentru o altaxare (t0, x0) D, problema va avea o alta unica solutie. Pentru a evidentiadependenta solutiei de xarea (t0, x0) D o vom nota cu x(t, t0, x0).

8.1. NOTIUNI DE STABILITATE 69

Definitia 1 Solutia x = 0 pentru problema Cauchy (8.1)+(8.3) este numitastabila daca: > 0 si t0 0 (, t0) > 0 astfel ncat pentru toti x0 xuproprietatea x0 (, t0) solutia corespunzatoare lui t0 si x0 este denita pesemiaxa [t0,) si satisface conditia

x(t, t0, x0) , t t0.

Definitia 2 Solutia x = 0 pentru problema Cauchy (8.1)+(8.3) este numitauniform stabila daca sunt satisfacute conditiile din denitia 1 cu (, t0) (), adica nu depinde t0.

Definitia 3 Solutia x = 0 pentru problema Cauchy (8.1)+(8.3) este numitaasimptotic stabila daca este stabila n sensul denitiei 1 si n plus avem :

(t0) > 0 astfel ncat limt x(t, t0, x0) = 0 pentru orice solutie

Date post:	15-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	dan-vasiloiu
View:	113 times
Download:	11 times

Sisteme dinamice

Documents