Sjöegenskapsanalys avvågbojen Buling

examensarbete

Sanja Dedovic

Marina System KTH

100 44 Stockholm Sweden

Januari 2005

Abstract This masters thesis is a continuation of two previous theses about measuring sea states, which have been carried out at the division of Naval systems at KTH. The aim of this thesis is to simulate responses of a half-spherical wave buoy “Buling” in irregular waves. This has been done by first studying waves and free oscillations of a buoy in calm water separately, and then by looking at interaction between waves and motions of a buoy. The results are then compared with the results from the experiments. Another goal of this thesis is to decide the wave direction from the outputs of the full-scale wave measurements.

Wave buoy ”Buling”

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

1 Inledning...................................................................................................................1

2 Vågor ........................................................................................................................2

3 Egenfrekvenser ........................................................................................................3

3.1 Inledning .......................................................................................................4 3.2 Adderade tröghetskrafter...............................................................................4 3.3 Dämpningskrafter..........................................................................................5 3.4 Hydrostatiska krafter.....................................................................................5 3.5 Analytisk bestämning av rörelseekvationers koefficienter ..........................5 3.5.1 Fri rörelse i lugnvatten.......................................................................5 3.5.2 Koefficienter för surge och stampning ..............................................6 3.5.3 Koefficienter för hävning ..................................................................9 3.6 Lösning av rörelseekvationer ......................................................................10 3.7 Verifiering av egenfrekvenser.....................................................................12 3.8 Slutsats ........................................................................................................13

4 Transferfunktion ...................................................................................................13

4.1 Inledning .....................................................................................................13 4.2 Responsamplitud.........................................................................................14 4.3 Excitationskraft ...........................................................................................14 4.3.1 Froude-Kriloff kraft.........................................................................14 4.3.2 Diffraktionskraft ..............................................................................15 4.4 Resultat........................................................................................................15 4.5 Slutsats ........................................................................................................16 4.5.1 Verifierande mätningar till havs ......................................................17

5 Vågriktning ............................................................................................................19

5.1 Tester i labbmiljö ........................................................................................20 5.1 Test i verklig miljö......................................................................................21

Referenser .................................................................................................................22

Bilaga 1 ..................................................................................................................23

Bilaga 2 ..................................................................................................................31

Bilaga 3 ..................................................................................................................32

1

1 Inledning En vågboj är ett instrument som används för att experimentellt bestämma sjötillstånd. Vågbojens linjära accelerationer, då den följer vattenytan, registreras av en inbyggd accelerometer. Genom att integrera den vertikala accelerationen två gånger erhålls vågytans avvikelse från lugnvattennivån. Genom att integrera de horisontella accelerationerna kan dessutom vågriktningen bestämmas. Våghöjder mäts när t ex ett fartygs sjöegenskaper testas och man vill veta i vilket sjötillstånd testet genomförs, eftersom ett fartyg har olika egenskaper i olika vågor. När krafter i skrov pga. stampning mäts vill man veta i vilket sjötillstånd mätningen görs. Kännedom om vilka sjötillstånd som råder i olika områden är viktig, då man vill anpassa fartyg till vågförhållanden i de områden där fartyget skall användas. Avdelningen för Marina system vid KTH har sedan en tid bedrivit utveckling av ett portabelt mätsystem för kustnära mätningar av sjötillstånd. Vågbojen ”Buling”, se figur 1, utgör resultatet av ett antal studier ([1] och [2]) med gemensamt syfte att av relativt enkla kommersiellt tillgängliga delkomponenter skapa ett lätt, robust, kostnadseffektivt och tillförlitligt system för tillfällig båtbaserad mätning av aktuellt sjötillstånd. Systemet skall med lätthet kunna handhas av en person från liten eller stor båt i princip i alla sjötillstånd, vilket även ställer krav på enkel och tillförlitlig metodik för sjösättning och bärgning. Vågbojens mätkropp består av en halvsfär som är gjord av 2 mm tjock 5 lagers kolfiber/epoxy-komposit och ett vattentät transparent skruvlock. Bojens massa och radie visas i tabell 1. Rörelsesensorn utgörs av en 3DM-G motion sensor, [3], som med en mätfrekvens av drygt 50 Hz levererar tidsstämplad seriell information om 3 ortogonala linjära accelerationer, 3 attitydvinklar (flux gate givare) samt 3 vinkelhastigheter. Den seriella informationen lagras i en PalmOne Tungsten handdator medelst ett speciellt mätprogram. Strömförsörjning fås av ett Li-polymer batteri.

Buling

Radie [m] 0.112 Vikt [kg] 2.9

Tabell 1. Ett ca 1.5 kg tungt ankare (dragg) förankrar, via ankarlina som avpassas efter aktuellt vattendjup, en blixtljusförsedd passiv flytboj. Flytbojen förbinds med mätkroppen med en 25 meter lång flytlina som närmast mätkroppen övergår i ca 3 m kedja. Kedjans uppgift är att öka

Figur 1. Vågbojen ”Buling”.

2

mätkroppens stabilitet och rull-/stampdämpning. För bärgning i grov sjö används en kastlina med ett 0.75 kg dragg som kastas över flytlinan och sedan lätt halas in. En mjukvara för analys har utvecklats i MatLab och omfattar inläsning av mätdata, bandpassfiltrering, transformation av accelerationer från Bulings lokala skeppsfixa koordinatystem till det jordfixa koordinatsystemet, integration av accelerationer, pikidentifiering och beräkning av spektrummoment för beräkning av våghöjd samt period, [4]. Målet med detta examensarbete är att göra en sjöegenskapsanalys av vågbojen. Genom att studera vågor och deras påverkan på den halvsfäriska kroppen, skall bojens gensvar i vågor bestämmas. Därefter skall resultaten verifieras mot mätningar utförda till havs. Dessutom skall härledas en metod för bestämning av vågriktningen ur experimentella data från bojen. 2 Vågor En våg beskrivs av våghöjden (eller amplituden) och våglängden. Våghöjden definieras som det vertikala avståndet mellan en vågtopp och en vågdal. Amplituden aζ är halva våghöjden, medan λ är våglängden, dvs. avståndet (i vågens utbredningsriktning) mellan t.ex. två på varandra följande vågtoppar. En regelbunden våg har konstant våghöjd och våglängd, se figur 2. Under förutsättningen att våglängden är betydligt större än vågamplituden kan en regelbunden våg skrivas som en sinus eller cosinus funktion, se bilaga 1 och 2,

(1) där koefficienterna, enligt [5], ges av

zζ vågytans förskjutning i z-led [m] x rumskoordinat [m] z rumskoordinat [m] t tid [s]

aζ vågamplitud [m] k vågtal [m-1] ω vinkelfrekvens [rad/s] ε fasförskjutning [1]. Figur 2. Definition av vågamplitud, våglängd

och våghöjd.

)sin(),,( εωζζ +−−= tkxetzx kzaz

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x [m]

z [m

]

våglängd

våghöjd

vågamplitud

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x [m]

z[m

]

Figur 3. Tre regelbundna vågkomponenter med olika amplitud, frekvens och fasförskjutning.

Den vanligaste kraften som genererar vågor på havsytan är vinden. Vinden ändrar riktning och styrka hela tiden, vilket gör att havsvågor blir oregelbundna, dvs. de har varierande våghöjd och våglängd. En oregelbunden våg kan behandlas som en superposition av regelbundna vågor med olika amplitud, frekvens och fasförskjutning, se figur 3 och 4. Vågorna har den egenskapen att transportera energi utan att det sker någon nettoförflyttning av vattenmassa. När vågor förflyttar sig över havsytan sätts vattenpartiklar i rörelse. På djupt vatten, då djupet är större än halva våglängden, rör sig vattenpartiklarna i cirkulära banor. Det är denna cirkulära rörelse som gör att en flytande kropp rör sig upp och ned och fram och tillbaka när en våg passerar. Partiklarna på ytan rör sig i cirkulära banor med en radie som är lika stor som halva våghöjden. Även partiklar som befinner sig under vattenytan har samma cirkulära rörelse men med en radie som avtar med djupet, se bilaga 1 och Figur 5. 3 Egenfrekvenser För beskrivning av bojens rörelser orsakade av vågkrafter används rörelseekvationer. För att kunna lösa rörelseekvationer måste deras koefficienter bestämmas. Rörelseekvations koefficienter är beroende av bojens form och dimensioner och av vågfrekvensen. Nedan visas en metod för att bestämma koefficienterna. För enkelhets skull behandlas från början en sfärisk kropp, medan beräkningar utförs för en halvsfärisk formad vågboj.

vågens utbredningsriktning

Figur 4. En regelbunden våg sammansatt av tre regelbundna komponenter.

Figur 5. Stiliserad figur som visar vattenpartiklarnas banor.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x [m]

z[m

]

4

,η&&⋅= mF

.η&&⋅=+++= mFFFFF exstatdämpadd

,η&&⋅−= AF add

Figur 6. Fartygets sex frihetsgrader: 1η -surge, 2η -sway, 3η -hävning, 4η -rullning, 5η -stampning, 6η - gir.

Figur 7. Sfärens tre frihetsgrader.

3.1 Inledning I det generella fallet med ett fartyg, är antalet frihetsgrader sex. Tre av dem är translativa frihetsgrader (surge, sway, hävning) och tre är rotativa (rullning, stampning, gir), se figur 6. Pga. symmetri kan sfärens rörelse här studeras med endast tre frihetsgrader som definieras i sfärens masstyngdpunkt. De tre frihetsgraderna benämns här surge, hävning och stampning, se figur 7. Som utgångspunkt för härledningen används Newtons andra lag

(2)

där massan m multiplicerad med accelerationen η&& utgör tröghetskraften och F representerar yttre krafter, som kan delas upp i adderade tröghetskrafter addF , hydrodynamiska dämpningskrafter dämpF , hydrostatiska krafter statF och vågexcitationskrafter exF . Således gäller att

(3) 3.2 Adderade tröghetskrafter De adderade tröghetskrafterna addF är de krafter som gör att vattnet kring sfären accelererar samtidigt som sfären och kan skrivas som

(4) där matrisen A är adderad (medsvängande) vattenmassa för translativa frihetsgrader och adderat vattenmasströghetsmoment för rotativa frihetsgrader.

x

yz

1η

2η3η

4η

5η6η

G 1η

3η

5η

5

,η&⋅−= BF dämp

η⋅−= CF stat

,kkjkkjkkjk mCBA ηηηη &&&&& =−−− 5,3,1, =kj

Figur 8. Sfären med radien r, till häften nedsänkt i vatten.

3.3 Dämpningskrafter De hydrodynamiska dämpningskrafterna är främst relaterade till de vågor som bildas av sfärens rörelse och som propagerar bort från systemet, dvs. de för bort energi från systemet. Dämpningskrafterna är med god noggrannhet proportionella mot hastigheten för de translativa frihetsgraderna och mot vinkelhastigheten för de rotativa frihetsgraderna. De kan således uttryckas som

(5) där B är en dämpningskoefficientmatris. 3.4 Hydrostatiska krafter De hydrostatiska krafterna uppstår när sfären förskjuts. Förändring av volymdeplacementet ger upphov till hydrostatiska krafter och moment som motverkar förskjutningarna. De hydrostatiska krafterna kan uttryckas som

(6) där C är en hydrostatisk koefficientmatris. 3.5 Analytisk bestämning av rörelseekvationers koefficienter 3.5.1 Fri rörelse i lugnvatten Till att börja med betraktas det homogena problemet, dvs. utan inverkan av vågexcitationskrafter. Detta innebär att sfären befinner sig i lugnvatten och att hänsyn tas till de krafter som uppstår pga. sfärens fria rörelser, hastigheter och accelerationer. Sfären är till hälften nedsänkt i vatten så att djupgåendet d är lika med sfärens radie r, se figur 8. Rörelseekvationen för sfärens fria rörelser kan enligt Newtons andra lag skrivas som

(7)

där kη&& , kη& och kη är acceleration, hastighet respektive förskjutning av masstyngdpunken i frihetsgraden k. Med kjkA η&& menas kraften i frihetsgraden j orsakad av accelerationen i frihetsgraden k. På samma sätt tolkas kjkB η& och kjkC η .

G

z

xr

d = r

6

,)()()( dzzszAzdF add &&⋅⋅−= ρ

,' Gzzz −=

Figur 9. Sfärens uppdelning i tvådimensionella skivor.

Ekvation (7) kan alternativt skrivas

=

+

+

+

000

00

000

000000

5

3

1

5553

3533

5

3

1

555351

353331

151311

5

3

1

555351

353331

151311

55 ηηη

ηηη

ηηη

CCCC

BBBBBBBBB

AAAAAAAAA

Im

m

&

&

&

&&

&&

&&

(8)

där koefficienterna jkA , jkB och jkC måste bestämmas för att kunna lösa ekvationssystemet. 3.5.2 Koefficienter för surge och stampning För att bestämma adderad vattenmassa i längsled och stampning delas den nedsänkta delen av sfären upp i två dimensionella skivor, enligt figur 9, [6] och [7]. Vid en påtvingad accelererande förskjutning i surge kommer skivan, med tjockleken dz och med den vertikala koordinaten z, att få en horisontell acceleration )(zs&& , dvs. skivan kommer att bli utsatt för en horisontell adderad tröghetskraft )(zdF add pga. den medbragda vattenmassan,

(9) där ρ är densiteten och A(z) är skivans area. Surge 1η , hävning 3η och stampning 5η är masstyngdpunktens förskjutningar. Här används ett koordinatsystem med origo i lugnvattennivån, rakt ovanför masscentrum. Detta innebär att z-koordinaten måste transformeras till en ny z-koordinat, z' enligt

(10) där Gz är masstyngdpunktens läge i koordinatsystemet med origo i vattenytan, se figur 10.

G

z

x

dz

dF s(z)add

7

,)( 51 ηη zzs ′+=′

.)()( 51 ηη Gzzzs −+=

.)()( 51 ηη &&&&&& Gzzzs −+=

.)()()(0 0

11 ∫ ∫− −

⋅⋅−==d d

addadd dzzszAzdFF &&ρ

.32

41

32

534

13

1 ηρπρπηρπ &&&&

−−−−= G

add zrrrF

),()( 22 zrzA −= π

,)()( 51 ηη &&&&&& Gzzzs −+=

,rd =

,32 3

11 rA ρπ=

.32

41 34

15 GzrrA ρπρπ −−=

Figur 10. Koordinater z och z’.

Den horisontella accelerationen ( )zs&& definieras från den horisontella förskjutningen )(zs

(11) som tillsammans med (10) ger )(zs ,

(12) Genom att tidsderivera s(z) två gånger erhålls

(13) Integrering av ekvation (9) över djupgåendet d, ger den totala adderade tröghetskraften addF1 i surge, enligt

(14) Med uttrycken

insatta i (14) erhålls följande

(15) Identifiering genom jämförelse med ekvation (7) ger att

(16)

(17)

Ekvation (16) och (17) visar att såväl en acceleration i surge som en acceleration i stampning ger upphov till en kraft i surge, dvs. det finns en koppling mellan de två frihetsgraderna. Surge och stampning är således kopplade rörelser. Kopplingen mellan surge och hävning saknas, pga. detta är koefficienten 13A lika med noll.

G

z

x

z'

x'ZGd

8

,)()()()( dzzszAzzFzzdM addadd &&ρ′−=′=

.)32

41()

32

21

152()( 1

345

2340

55 ηρπηρπ &&&& GGG

r

addadd zrrzrzrrzdMF −−−++−== ∫−

),32

21

152( 2345

55 GG zrzrrA ++= ρπ

).32

41( 34

51 GzrrA −−= ρπ

.0=dämpF

,505 ηρ GMgF stat ∇−=

Figur 11. Hävarmen 50ηGM .

Den adderade tröghetskraften som verkar på skivan, ger även upphov till ett adderat vattenmasströghetsmoment kring −′y axeln

(18) som integrerat över djupgåendet ger (19) Från definitionen av adderade masströghetsmomentet kjk

add AF η&&−=5 blir de sökta koefficienterna Även här kan man se att frihetsgraderna surge och stampning är kopplade – ett vridande moment i stampning orsakas av en acceleration i stampning och av en acceleration i surge. Däremot saknas det koppling till hävning – koefficienten 53A är lika med noll. Pga. svårigheten att bestämma dämpningskoefficienter analytiskt och med antagandet att dämpningen är liten, försummas dämpningskrafterna,

(20) För att bestämma de hydrostatiska koefficienterna 55C och 53C , påtvingas sfären en förskjutning i stampningsled. Deplacementsomfördelningen skapar ett återförande moment

(21) där ∇ är deplacerande volym och 0GM är begynnelsemetacenterhöjden.

G

B

Mo

5η

50ηGM

9

,055 GMgC ∇= ρ

.0)( 333333 =++ ηη CAm &&

023

3333 =+ ηη Cm &&

.053 =C

,01331 == AA,05335 == AA

05335 ==CC

,33 ηρ wpstat gAF −=

.233 rggAC wp πρρ ==

0)21( 3333 =++ ηη Cmm &&

),cos( 3,3 tA egωη =

),sin( 3,3,3 tA egeg ωωη −=&

)cos( 3,2

3,3 tA egeg ωωη −=&&

Hävarmen 5050 )sin( ηη GMGM ≈ för små vinklar, se figur 11. Jämförelse med ekvation (7) och identifiering ger att

Att 53C är lika med noll kan förklaras med att det totala volymdeplacementet inte förändras för små vinklar – volymminskningen på den ena sidan är lika stor som volymökningen på den andra sidan. Detta betyder att det saknas hydrostatisk koppling mellan frihetsgraderna hävning och stampning. 3.5.3 Koefficienter för hävning Pga. sfärens symmetri ger vare sig en förskjutning i surge eller stampning en kraft i hävningsled. Hävning är sålledes en frikopplad frihetsgrad. Rörelseekvationen i hävningsled, se ekvationssystem (8), med insatta, kan skrivas som

(22) Den hydrostatiska koefficienten 33C fås genom en påtvingad förskjutning i hävningsled. Det uppstår en kraft motriktad förskjutningen där wpA är vattenlinjeplanets area. Jämförelse med ekvation (7) och identifiering ger att Det återstår att bestämma adderad masströghetskoefficient 33A . Den kan läsas av ur diagrammet som visar dynamiska koefficienter för en sfär som funktion av frekvensen, se figur 12, [8]. Men för att kunna göra det måste egenfrekvensen i hävningsled uppskattas först. Detta görs genom att lösa ekvation (22). Adderad vattenmassa antas vara halva sfärens massa och ekvation (22) blir då

(23) Ekvationen löses med den harmoniska ansatsen där A är en konstant och 3,egω är egenfrekvens i hävning. Derivering av 3η ger

10

.3

2 2

3, mgr

egπρω =

.5.136.93, Hzs

radrg

eg ===ω

,0)( 333333 =++ ηη CAm &&

233 rgC πρ=

.6.144.0 3333 =⇒=∇

AAρ

,32 3

11 rA ρπ=

GzrrA 3415 3

241 ρπρπ −−=

6.133 =A

Figur 12. Beräknade koefficienter i tre dimensioner för en sfär som är till hälften nedsänkt i vatten, [8].

och insättning i ekvation (23) ger att

(24) Med värden ur tabell 1 blir den uppskattade egenfrekvensen i hävning

(25)

Med detta kan värdet på ∇ρ33A läsas av ur diagrammet, se figur 12, och koefficienten 33A

beräknas som

3.6 Lösning av rörelseekvationer Nu är uttryck för alla koefficienter bestämda. Ekvationssystem (8) ser ut på följande sett:

surge: ,0)( 515111 =++ ηη &&&& AAm

hävning: (26)

stampning: ,0)( 55515155555 =+++ ηηη CAAI &&&& där

11

)32

21

152( 2345

55 GG zrzrrA ++= ρπ

)32

41( 34

51 GzrrA −−= ρπ

.055 GMgC ∇= ρ

KGKBIGM wa −+∇

=0

.07.085 mrKB ==

Figur 13. Definition av KG och KB.

(27) Det återstår att bestämma begynnelsemetacenterhöjd 0GM och masströghetsmoment 55I . Begynnelsemetacenterhöjd uttrycks som där waI är yttröghetsmoment av flytytan runt y-axeln, som för en sfär med radien ur tabell 1 blir KB och KG visas i figur 13. Punkten B är deplacementets tyngdpunkt och G är vågbojens tyngdpunkt.

Uttrycket för KB ges av, [9], Så här långt, gäller alla beräkningar som har gjorts även för en halvsfär, som har samma radie och samma massa som sfären. Eftersom mätningar görs med en vågboj som är halvsfärisk, gäller följande beräkningar endast för en halvsfär. För att beräkna KG och masströghetsmoment I55, antas vågbojen bestå av ett halvsfäriskt skal och ett sfärsegment av bly som ger lägre KG, se figur 14. Massan av övrigt innehåll i vågbojen antas vara försumbart.

.1024.14

444 mrIwa−⋅==

π

G

B

KGKB

12

{ { ),2.9cos(010

)4.13cos(10

02.0

3,5,1,

21

5

3

1

tktkegeg

⋅

+⋅

−=

ωωηηη

,1

egeg T

f =

.22eg

egeg Tf ππω ==

,032.0 mKG =

,0085.0 255 kgmI =

,08.00 mGM =

.08.0032.0112.0 mKGrzG −=+−=+−=

bly

z

x

G

Gz

De sökta värdena beräknas och följande erhålls Med de värdena insatta i (27) och med massan m ur tabell 1, löses ekvationssystem (26) med oscillerande ansatser för respektive frihetsgrad. Lösningen ger egenfrekvenser och tillhörande egenvektorer enligt

(28) där 1k och 2k är koefficienter som är beroende av initial förskjutningen. 3.7 Verifiering av egenfrekvenser För att jämföra de beräknade egenfrekvenserna med de verkliga, har experiment gjorts. Mätningar med vågbojen har utförts i lugnvatten genom att vågbojen påtvingas en förskjutning i den frihetsgrad som skulle mätas. Genom att registrera bojens avklingande rörelse kan egenfrekvenserna bestämmas. Grafer från experimenten visas i figur 15 och 16. Tiden mellan två maxutslag ger egenperioden egT som förhåller sig till egenfrekvensen egf och egenvinkelfrekvensen egω enligt

(29)

(30)

Figur 14.

13

Figur 15. Bojens avklingande rörelser vid egenfrekvens, hävning.

Figur 16. Bojens avklingande rörelser vid egenfrekvens, stampning.

Resultaten presenteras i tabell 2.

Uppmätta värde Beräknade värde Teg [s] feg [Hz] ωeg [rad/s] feg [Hz] ωeg [rad/s]Stampning 0.6 1.7 10.7 2.1 13.4 Hävning 0.7 1.4 9.0 1.5 9.2

Tabell 2. 3.8 Slutsats Resultaten från experimenten visar att den beräknade egenfrekvensen i hävning stämmer bra överens med den uppmätta. Däremot för egenfrekvensen i stampning ligger felet på ca 20 %. En möjlig orsak till detta kan vara feluppskattning av masstyngpunktens läge. Ju högre upp den totala masstyngdpunkten placeras desto lägre egenfrekvens i stampning erhålls, medan egenfrekvensen i hävning inte påverkas. En höjning av KG med 2 cm gör att den beräknade egenfrekvens stämmer bra överens med den uppmätta. Att vågbojen har hög egenfrekvens i hävning och stampning relativt vågfrekvenser i Östersjön, se kapitel 4.5, gör att risken för resonans är närmast obefintlig. 4 Transferfunktion 4.1 Inledning Vågbojen och vattnet utgör ett linjärt dynamiskt system, där vågbojen omvandlar en insignal (vågen )(tζ ) till en utsignal (gensvar )(tξ ). En oscillerande insignal ger en utsignal som oscillerar med samma vinkelfrekvens. Linjaritet innebär att utsignalens amplitud är linjärt proportionell mot insignalens amplitud. Denna amplitudskalning är beroende av vågbojens egenskaper samt av insignalens vinkelfrekvens.

240 241 242 243 244 245

−1

−0.5

0

0.5

1

Stampning

tid [s]

Vin

kelh

astig

het k

ring

x−ax

eln,

[rad

/s]

22 23 24 25 26 27 28

−11.5

−11

−10.5

−10

−9.5

−9

−8.5

−8

Hävning

tid [s]

z−

acce

lera

tione

r [m

/s2 ]

14

,)( 0

a

Yζη

ω =

),cos()( 30333333333 tFCBAm ωηηη =+++ &&&

.)())(( 2

332

332

33

3030

ωωη

BCAmF

+++−=

.diffFKex FFF +=

)sin( kxtegp kzadyn −−= ωζρ

)sin( tegp kzadyn ωζρ−=

)cos(303 tωηη =

Vågbojens gensvar i olika frihetsgrader kan beskrivas av en transferfunktion. Transferfunktion definieras som förhållandet mellan utsignalsamplitud och insignalsamplitud,

(31) där 0η är responsamplitud och aζ är den infallande vågens amplitud, [5]. 4.2 Responsamplitud Då bojen används för att mäta våghöjder, är det intressant att veta för vilka frekvenser transferfunktionen är lika med ett. Beräkning av transferfunktionen för hävningsled innebär att responsamplituden måste bestämmas. Responsamplituden kan erhållas genom att lösa rörelseekvationen

(32) där det vänstra ledet definieras som i egensvängningsfallet, meden det högra ledet representerar vågexcitationskraften med amplituden 30F och vinkelfrekvensen ω . Ekvationen löses med ansatsen som efter deriveringen och insättningen i rörelseekvationen ger responsamplituden i hävning,

(33) 4.3 Excitationskraft Vågexcitationskraften exF som verkar på bojen kan delas upp i två krafter: Froude-Kriloff kraften FKF och diffraktionskraften diffF ,

(34) Froude-Kriloff kraften uppstår pga. det ostörda vågtryckfältet och diffraktionskraften orsakas av att vågbojen ändrar detta tryckfält. 4.3.1 Froude-Kriloff kraft Froude-Kriloff kraften erhålls genom att integrera det dynamiska trycket, se bilaga 1, över bojens våtyta i det ostörda vågsystemet. Det dynamiska trycket, se bilaga1,

(35) kan approximeras med

(36) under förutsättningen att kx är mycket mindre än våglängden λ , så att det dynamiska trycket kan antas vara konstant längs bojens tvärsnitt. Integrering av trycket över våtytan beräknas numeriskt, genom att dela upp vågbojen i ett stort antal tunna skivor, se figur 17.

15

.)()( 3333 zzdiff BAF ζωζω &&& +−=

Figur 17.

Figur 18.

Varje skivas våta yta delas upp i ett stort antal paneler, se figur 18. Tryckkraften på varje panel beräknas genom att multiplicera det dynamiska trycket med panelens area. Tryckkraften måste då även multipliceras med en enhetsvektor ))sin(,0,0( θ−=n som ger Froude-Kriloff kraften i hävningsled. 4.3.2 Diffraktionskraft Diffraktionskraften är den kraft som uppstår pga. att bojen ändrar tryckfältet som genereras av vågor och för att bestämma den betraktas fallet då vågbojen hålls fixerad i en vågrörelse. Kraften till följd av en vågs vertikala rörelse relativt den fixerade vågbojen, borde vara lika stor som kraften orsakad av motsvarande vertikala rörelse av bojen i lugnvatten, fast med omvänt tecken. Den vertikala hydrodynamiska kraften som verkar på vågbojen kan då uttryckas som (37)

33A -termen representerar den extra accelerationen av vågens vattenpartiklar då vågen passerar bojen, medan 33B representerar den delen av den infallande vågen som reflekteras, [6]. 4.4 Resultat Enligt ekvation (34) kan den totala excitationskraften skrivas som

där FKF är Froude-Kriloff kraftens amplitud och uttryck för zζ härleds i bilaga 1.

x

y

z

z

x

y

θ

dynpn

),cos()()sin()()sin(

)()()sin(

332

33

3333

teBteAtF

BAtFFFFkz

akz

aFK

zzFKdiffFKex

ωωζωωωζωω

ζωζωω

+−=

=+−=+= &&&

16

.)()( 233

223330 ωωζ kzkz

FKa eBeAFF +−=

.)())((

)()(2

332

332

33

233

2233

0ωω

ωωζη

BCAm

eBeAF kzkzFKa

+++−

+−=

.)())((

)()()(

233

233

233

233

22330

ωω

ωω

ζη

ωBCAm

eBeAFY

kzkzFK

a +++−

+−==

Amplituden 30F av den totala vertikala excitationskraften exF kan då skrivas med hjälp av Pytagoras sats enligt följande

(38) Adderad vattenmassa koefficienter 33A och dämpningskoefficienter 33B för olika frekvenser är hämtade ur figur 12. Det härledda uttrycket för vågexcitationskraften insatt i ekvation (33) ger den sökta gensvarsamplituden

(39) Transferfunktion för hävningsrörelsen ges då av

(40) 4.5 Slutsats Vågbojens transferfunktion i hävningsled för olika excitationsfrekvenser presenteras grafiskt i figur 19.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8 Transferfunktion

frekvens [Hz]

Y

Figur 19. Vågbojens transferfunktion i hävningsled.

I figur 19 går transferfunktionen mot noll för höga frekvenser, dvs. korta vågor ger inga utsignaler. Vid frekvenser som ligger i närheten av bojens egenfrekvens i hävning har transferfunktionen en markant topp - utsignalen förstärks kraftigt (resonans).

17

För låga frekvenser går transferfunktionen mot ett, dvs. utsignalsamplitud blir lika stor som insignalsamplituden. Detta innebär att i vågor med låga frekvenser, dvs. i långa vågor, blir bojens gensvar lika stort som vågamplituden. Alltså, bojen följer exakt vågytan upp till frekvensen 0.5 Hz, medan för frekvenserna som ligger mellan 0.5 och 1 Hz förstärks bojens gensvar något. För att utvärdera bojens egenskaper i hävningsled i Östersjöns vågor, kan ett scatter-diagram användas, se figur 20, [5]. Scatter-diagram visar den relativa förekomsten av olika sjötillstånd (olika kombinationer av signifikant våghöjd och medelperiod) vid Ölands södra grund och antas i stort vara representativt även för övriga geografiska platser runt den svenska kusten, [2].

Signifikant Medelperiod, Tz, [s] Alla våghöjd, [m] <2 2-2.5 2.5-3 3-3.5 3.5-4 4-4.5 4.5-5 5-5.5 5.5-6 6-6.5 6.5-7 7-7.5 7.5-8 8-8.5 8.5-9 >9 perioder6.2 1 16 2 25.8 4 45.6 4 1 55.4 2 11 135.2 5 8 135 14 5 1 204.8 1 14 4 1 204.6 4 19 234.4 14 17 1 324.2 29 17 1 474 1 43 14 1 593.8 14 60 7 813.6 38 56 5 993.4 2 79 45 1263.2 7 123 29 1 1603 48 149 9 2062.8 6 150 180 16 3522.6 14 311 96 4 4252.4 1 75 397 62 2 5372.2 1 317 393 42 0 7532 33 642 253 32 5 9651.8 207 725 138 15 5 10901.6 7 711 542 92 10 1 13631.4 1 148 1217 379 61 15 4 18251.2 3 852 1075 269 46 5 0 22501 172 1534 728 158 29 6 0 26270.8 6 939 1345 472 111 16 1 0 28900.6 270 1489 1037 377 72 6 0 4 1 32560.4 45 708 1067 770 263 50 17 14 5 3 3 3 1 29490.2 1 98 315 435 328 213 104 48 42 9 3 1 3 1600

Alla våghöjder 1 143 1299 4106 6021 5298 3464 2014 924 345 121 45 7 2 0 3 23793 Figur 20. Scatter-diagram för Östersjön från SMHI.

Som tidigare har konstaterats, enligt transferfunktionen följer bojen exakt vågytan upp till en frekvens på 0.5 Hz och vid högre frekvenser förstärks utsignalen. Vågor med frekvensen högre än 0.5 Hz har en period som är kortare än 2 sekunder och diagrammet i figur 20 visar att sådana vågor har en signifikant våghöjd mindre än 0.2 meter. Dessutom är att förekomsten av sådana vågor låg. Slutsatsen är att vågbojen Buling pga. sina sjöegenskaper är lämplig att användas i de kombinationer av signifikanta våghöjder och medelperioder som förekommer i Östersjön. 4.5.1 Verifierande mätningar till havs För att experimentellt verifiera vågbojens precision genomfördes en studie där bojens resultat jämfördes med referensmätningar från en fast mätstation. En våghöjdsmätstation installerades den 9 september 2004 på fyren Landsorts Bredgrund i Stockholms södra skärgård, se figur 21, [5].

18

Figur 21. Sjökort över Stockholms södra skärgård.

Mätsystemet som installerades på fyren, se figur 22, bestod i stora drag av en isolerad kopparledare som sänktes ner i vattnet. Ledaren tillsammans med det omgivande vattnet bildade då en kondensator med en kapacitans som är proportionell mot hur långt ledaren var nedsänkt i vattnet och på detta sätt kunde det omgivande vattnets nivå bestämmas, [2]. Mätsystemet lagrade vågytans vertikala läge på en standard PC med en frekvens på 10 Hz och en onoggrannhet på under 5 cm. Mätstationen var aktiv utan driftstörningar fram till 1 oktober 2004 då den monerades ned, [4].

Figur 22. Fyren Landsorts bredgrund

med våghöjdsmätstationen.

19

Vid totalt 5 tillfällen stationerades Buling alldeles intill fyren med avsikt att under ca 30 minuter parallellt med den fyrbaserade mätstationen mäta aktuellt sjötillstånd. System Buling utgjordes vid mättillfällena av själva mätkroppen som via 3 meter kedja och 25 meter flytlina var förbunden till en passiv flytboj som i sin tur, via 25 meter lina, förankrades av ett 1.5 kg ankare, se figur 23.

Figur 23. Förankring. Jämförande mätningar utfördes i varierande sjötillstånd med signifikanta våghöjder mellan och 0.4-1.2 m. Resultat från mätningar visas i bilaga 3. Generellt kan konstateras att både signifikant våghöjd H1/3 och genomsnittlig period för nollgenomgångar Tz mättes med god överensstämmelse, typiskt inom 5%, [4]. 5 Vågriktning Väldigt förenklat visas principen för bestämning av vågrikningen i figur 24 och förklaras nedan.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

Has

tighe

t [m

/s] &

våg

ordi

nata

[m]

vågordinataöstlig hastighetnordlig hastighet

Figur 24.

Genom att jämföra bojens vertikala förskjutning och den horisontella hastigheten i nord-sydlig och öst-västlig riktning kan den dominerande vågriktningen bestämmas. I figur 24 ligger den vertikala förskjutningen och hastigheten i nordlig riktning i fas. Dessutom är denna hastighet mycket större än hastigheten i östlig riktning. Detta innebär att vågorna rör sig norrut, [10]. I det verkliga fallet är bestämning av vågriktningsspektrummet mer komplicerad, se figur 25. Under mättiden registreras vågbojens 3 ortogonala accelerationer och 3 attitydvinklar av rörelsesensorn. I analysprogrammet görs bandpassfiltrering av mätdata, transformering av accelerationer från Bulings lokala skeppsfixa koordinatsystem till det jordfixa koordinatsystemet och integrering av accelerationer. Erhållen vågytans vertikala förskjutning, nord-sydlig och öst-västlig horisontal hastighet används sedan som indata i DIWASP, som är en MatLabs verktygslåda för bestämning av vågornas riktningsspektrum, [11]. I DIWASP

20

finns 5 olika beräkningsmetoder för bestämning av vågriktningen. Här väljs IMLM, Iterated Maximum Likelihood Method, pga. att den kan beräkna riktningen för två vågsystem som propagerar åt olika håll men har samma frekvens, [12]. Resultaten visas i ett polardiagram, där riktningen utryckt i grader från norr plottas mot vågfrekvenser i Hz. I diagrammet visas den riktning i vilken vågorna propagerar.

Figur 25. 5.1 Tester i labbmiljö Bojens förmåga att bestämma vågriktningen har först testats i labbmiljö. Vågbojen antas röra sig som en vattenpartikel, dvs. rörelsen sker i en cirkulär bana som det förklaras i avsnitt 2. Den cirkulära rörelsen har samma riktning som det vågsystemet vars riktning ska bestämmas. Tester genomfördes genom att med bojen i händerna göra en cirkulär rörelse under ca. 10 minuter, se figur 26. Rörelsen utfördes i olika riktningar och med olika frekvenser.

N

S

VÖ

Figur 26.

TIDSPLANETz-förskjutning

nord-sydlig horisontell hastighet öst-västlig horisontell hastighet

FREKVENSPLANETcross-spectral matrix

DIWASPIMLM

FFT

Analysprogram

inläsningfiltrering

transformering

21

Testerna visade att mätgivarens magnetometrar påverkas av magnetfält som alstras av handdatorn och batterierna och pga. detta placerades de så långt ifrån mätgivaren som möjligt. Dessutom placerades handdatorn och batterierna i förhållande till varandra på ett sätt som gjorde att deras magnetfält försvagade varandra. Resultaten från tester efter modifieringar presenteras i figur 27 och 28. I det första försöket handexciterades bojen med låg frekvens i riktning 350° och sedan med högre frekvens i riktning 30°. Det erhållna vågriktningsspektrummet visas i figur 27. I det andra försöket vevades vågbojen med lågfrekvens i riktning 255°. Sedan roterades bojen 90° kring vertikal axel och vevades i samma riktning men med högre frekvens. Det erhållna vågriktningsspektrummet visas i figur 28. Figur 27. Figur 28. 5.2 Test i verklig miljö Denna test genomfördes i Stockholms skärgård. Bojen sjösattes från en G-båt och förankrades som det visas i figur 23. Mätningen varade i ca 15 minuter. Vågriktningen uppskattades visuellt av fyra personer till mellan 150 och 160 grader. Bojens resultat från mätningen visas i figur 29 och stämmer bra överens med den observerade vågriktningen.

0.5

1

1.5

60

240

30

210

0

180

330

150

300

120

270 90

Directional spectrum estimated using IMLM method

m2s / deg

dire

ctio

n [b

earin

g] /

freq

uenc

y [H

z]

1

2

3

4

5

6

7

x 10−4

Figur 29. Dominerande vågriktning 152°.

0.5

1

1.5

60

240

30

210

0

180

330

150

300

120

270 90

Directional spectrum estimated using IMLM method

m2s / deg

dire

ctio

n [b

earin

g] /

freq

uenc

y [H

z]

2

4

6

8

10

12

14

16

x 10−3

0.5

1

1.5

60

240

30

210

0

180

330

150

300

120

270 90

Directional spectrum estimated using IMLM method

m2s / deg

dire

ctio

n [b

earin

g] /

freq

uenc

y [H

z]

22

Referenser [1] Fogelberg, S., Fritt drivande portabel vågboj, examensarbete, Marina system KTH, 2003. [2] Lindgren, J., Niklasson, A., Vågbojen Kuling, examensarbete, Marina system KTH, 2004. [3] www.microstrain.com [4] Kuttenkeuler, J., Portabelt vågmätsystem Buling, Marina system KTH, 2004. [5] Rosén, A., Sjöegenskaper, Marina system KTH, 2004. [6] Faltinsen, O.M., Sea Loads on Ships and Offshore Structures, Cambridge University Press, 1990. [7] Pákozdi, C., Driveklepp, T., “Sway and roll motion of a buoy”, 2003. <http://www.ivt.ntnu.no/imt/courses/tmr4215/exer__ses2002/ex2/solution02_2004.pdf> (041215) [8] Newman, J.N., Marine Hydrodynamics, MIT, 1977. [9] Meriam, J.L., Kraige, L.G., Engineering Mechanics Statics, John Wiley & Sons, 1998. [10] http://www.nortekusa.com/principles/WaveMeasurement.pdf (041215). [11] Johnson, D., DIWASP, Centre for Water Research, University of Western Australia, <http://www2.cwr.uwa.edu.au/~johnson/diwasp/diwasp.html> (041215). [12] Strong, B., Workhorse ADCP Multi-Directional Wave Gauge Primer, RD Instruments, 2000. [13] Acheson, D.J., Elementary Fluid Dynamics, Oxford, 1990.

23

Figur 30.

Bilaga 1 Härledning av hastighetspotentialen för en regelbunden våg, [5] En hastighetspotential ϕ är en matematisk storhet som inte kan mätas rent fysiskt och som används vid beräkningar inom potentialströmning. Potentialströmning innebär rotationsfri strömning av en ideal vätska. En ideal vätska definieras av följande egenskaper

• inkompressibilitet • konstant densitet • inviskositet • ingen ytspänning • ingen ångbildning.

Rotationsfri strömning innebär att vorticitet ω är noll i alla punkter i en region, dvs.

(41) där ω är vorticitetsvektorn, x, y och z är rumskoordinaterna och ux, uy och uz är partikelhastigheterna i x-, y- respektive z-led, se figur 30.

I två dimensioner, dvs. i xz –planet som betraktas här, är vorticiteten y-komponenten av vorticitetsvektorn,

(42) Hastighetspotentialen ϕ definieras sådan att flödeshastighet qn i riktning parallellt med en vektor n bestäms av

(43) vilket leder till att hastighetskomponenterna, se figur 31, i x-,y- och z-riktning blir

,x

ux ∂∂

=ϕ ,

zuz ∂

∂=

ϕ

.0=∂∂

−∂∂

=x

uz

u zxω

,n

qn ∂∂

=ϕ

,y

u y ∂∂

=ϕ

,0),,( =∂∂

−∂

∂

∂∂

−∂∂

∂

∂−

∂∂

=×∇=yu

xu

xu

zu

zu

yuu xyzxyzω

24

.02

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇zyxϕϕϕϕ

∇⋅+∂∂

= utDt

D

dvs.

(44)

Figur 31. En ideal vätska uppfyller kontinuitetsekvationen pga. sin inkompressibilitet, dvs

(45) Hastighetspotentialen (44) insatt i kontinuitetsekvationen (45) ger Laplaces ekvation,

(46)

För att få ett uttryck för hastighetspotentialen till en linjär, regelbunden, långkammig våg som propagerar i positiv x-riktning måste en lösning till Laplaces ekvation hittas. Detta görs med en variabelseparerad ansats på formen

(47) där X(x), Z(z) och T(t) är funktioner beroende av endast en variabel. Laplaces ekvation har oändligt många lösningar och rätt lösning för ett specifikt problem erhålls med hjälp av aktuella randvillkor. Det kan definieras ytvillkor (kinematiskt, dynamiskt och kombinerat) och bottenvillkor. Ytvillkor Kinematiskt ytvillkor Vågytan definieras av

(48) där ζ(x,t) är vågytans ordinata i z-led. Materiell derivata av vågytans ordinata, ),( txζ , skrivs enligt följande

.),,(),,( uuuuzyx zyx ==∂∂

∂∂

∂∂

=∇ϕϕϕϕ

.0=⋅∇ u

),()()(),,( tTzZxXtzx =ϕ

),( txz ζ=

ϕ

ϕϕ ∆+ϕϕ ∆+ 2

ux∂∂ϕ

z∂∂ϕ

z

x

25

,tz ∂

∂=

∂∂ ζϕ

Cgzpt

++−=∇⋅∇+∂∂ )(1

21 ρ

ρϕϕϕ

,1 ζϕϕ=

∂∂

−⇒−=∂∂

tggz

t

.12

2

ttg ∂∂

=∂∂

−ζϕ

012

2

2

2

=∂∂

+∂∂

⇒∂∂

=∂∂

−z

gtztg

ϕϕϕϕ

)),(,),(,),((),(),(z

txy

txx

txut

txDt

txD∂

∂∂

∂∂

∂⋅+

∂∂

=ζζζζζ

.),(),(x

txut

txz

u xz ∂∂

+∂

∂=

∂∂

=ζζϕ

(49)

och är i själva verket den vertikala hastigheten zu , dvs.

(50)

Under antagandet att amplituden är betydligt mindre än våglängden, se bilaga 2, blir vågytans

lutning x

tx∂

∂ ),(ζ liten. Den sista termen blir försumbar i jämförelse med zu och ekvation (50)

kan skrivas som (51)

vilket är det kinematiska ytvillkoret. Dynamiskt ytvillkor Bernoullis ekvation för icke-stationär potentialströmning är

(52) där p är trycket, ρ är densiteten och g är gravitationskonstanten. C är en godtycklig konstant, [8]. Genom att anta att trycket på ytan är konstant dvs. oberoende av ytans ordinata och är lika

med atmosfärstrycket patm, genom att sätta att C=patm/ρ och försumma termen ϕϕ ∇⋅∇21 ,

eftersom hastighetskomponenterna ϕ∇ antas vara små, se bilaga 2, erhålls ekvation

(53) villket är det dynamiska ytvillkoret. Kombinerat ytvillkor Derivering av det dynamiska ytvillkoret med avseende på tiden ger

(54) Detta tillsammans med det kinematiska villkoret ger

(55) vilket är det kombinerade ytvillkoret.

26

.1121

xaxa ececX −+=

021

2 =+ zz eae βββ

.0=+ TXZZTX zzxx

).()()(),,( tTzZxXtzx =ϕ

Bottenvillkor Partiklarnas hastighet i x- och z-riktning på oändligt stort djup antas vara noll,

(56) vilket är bottenvillkoret.

Lösning av Laplaces ekvation Variabelseparationsmetoden används för att bestämma X(x), Z(z) och T(t) i ansatsen

(57) Ekvation (47) i (46) ger

(58) Antag nu 0≠T och inför 1a så att

(59) Lösningen till ekvation (59) bestäms med ansatsen

(60) som insatt i (59) ger

där

(61) Uttrycket för α insatt i ekvation (60) ger

(62) Eftersom hastighetspotentialen för en våg som propagerar i positiv x-riktning söks, måste även lösningen oscillera i samma riktning och därmed antagandet att ika =1 , där k är reell och större än noll, kan göras,

(63) På samma sätt behandlas andra delen av ekvation (59),

(64) Med ansatsen

(65) och insättningen av ekvation (65) i (64) kan β erhållas

(66)

,0lim =∇−∞→

ϕz

.21a

ZZ

XX zzxx =−=

xeX α=

021

2 =− xx eae ααα

.12

12 aa ±=⇒= αα

.)( 21ikxikx ececxX −+=

.021 =+ ZaZ zz

zeZ β=

.21

21

2 aa −±=⇒−= ββ

27

.0=+ TgXZXZT ztt

ZZg

TT ztt −=

,Re),,()80(

)(4

)79(

)(3

)78(

)(2

)77(

)(1

+++= −−+−−+

43421434214342143421tkxitkxitkxitkxikz ebebebebetzx ωωωωϕ

.22a

ZZg z =−2

2aTTtt =

Antagandet ika =1 insatt i ekvation (66) ger att

(67) som tillsammans med (65) ger

(68) På ett stort djup, dvs. −∞→z , måste kravet för begränsad lösning, ∞<<∞− Z , vara uppfyllt, vilket ger att konstanten 04 =c . Z(z) för oändligt djup blir

(69) För bestämning av T(t) används ansats (47) och det kombinerande ytvillkoret (55)

(70) Även här tillämpas variabelseparation och ekvation (70) kan skrivas som

och med införandet av 2a fås

och (71)

Ekvation (71) omformas till

(72) och på samma sätt som för ekvation (59) erhålls

(73) Då en lösning som oscillerar i tiden söks, krävs att a2=iω, där ω är reell och större än noll, dvs

(74)

Nu har utryck för X(x), Z(z) och T(t) erhållits.. Genom insättning av ekvationer (63), (69) och (74) i ekvation (47), fås hastighetspotentialen för fallet ”oändligt djup”,

(75) eller omskrivet

(76)

k±=β

.)( 43kzkz ececzZ −+=

.)( 3kzeczZ =

022 =− TaTtt

.)( 2265

tata ecectT −+=

.)( 65titi ecectT ωω −+=

kztkxi

b

kztkxi

b

kztkxi

b

kztkxi

b

titikzikxikx

eeccceeccceeccceeccc

ececececectTzZxXtzx

)(632

)(532

)(631

)(531

65321

4321

)()()()()(),,(

ωωωω

ωωϕ

−−+−−+

−−

+++=

=++==

321321321321

28

).cos( εωωζ

ϕ +−= tkxeg kza

)sin(),,( εωω

ζϕ+−−=

∂∂

= tkxegkx

tzxu kzax

)cos(),,( εωω

ζϕ+−=

∂∂

= tkxegkz

tzxu kzaz

{ } ),cos(Re 2)(

2 εωω +−=− tkxbeebe kztkxikz

).2

cos(1)sin(1

)83(

22πεωωεωωζ ++−=+−−= tkxbe

gtkxbe

gkzkz

43421

.2 ωζ gb a=

).cos(78 εωωζϕ +−= tkxeg kza

där b1, b2, b3 och b4 är konstanter som måste bestämmas. Det återstår att ta hänsyn till randvillkoret att vågen propagerar i positiv x-riktning. Genom att titta på argumenten i (77)-(80), kan inses att endast (78) och (79) uppfyller kravet, medan (77) och (80) propagerar i negativ x-riktning genom argumenten )( tkx ω+± . Termer (78) och (79) studeras vidare, till att börja med term (78) som ger

(81)

där { } { }22

222 ImRe bbb += och

==

)Re()Im(arctan)arg(

2

22 b

bbε .

Tidsderivering av ekvation (81) och insättning i det dynamiska ytvillkoret (53) ger

(82)

Eftersom ζ=z och λπ2

=k kan approximationen 102=→== eeee kkz λ

ζπζ göras eftersom

λζ << , se bilaga 3. (82) är en vanlig harmonisk våg med amplituden ζa = (83)

vilket omvänt kan skrivas

(84) Till slut (84) i (81) ger

(85) Om (79) utvecklas på samma sätt erhålls ytterligare en harmonisk våg som uppfyller alla uppställda randvillkor. Eftersom Laplaces ekvation är linjär är både (78) och (79) själva lösningen till ekvationen och ϕ78 kan väljas enligt (85) som den sökta hastighetspotentialen till en linjär, regelbunden, långkammig våg som propagerar i positiv x-led, dvs. (86) Partikelhastighet och förskjutning Med det härledda uttrycket för hastighetspotentialen, (86), kan partikelhastighet i x- och z-led bestämmas. Enligt ekvation (44) blir partikelhastighet i x- och z-led (87)

(88)

21 bga ωζ =

29

)sin(),,( εωωζ +−−= tkxetzxu kzax

).cos(),,( εωωζ +−= tkxetzxu kzaz

)cos(),,( εωζζ +−−= tkxetzx kzax

)sin(),,( εωζζ +−−= tkxetzx kzaz

där aζ är vågamplitud, k vågtal, ω vinkelfrekven och ε fasförskjutning. Med dispersionsrelationen ω2=gk, [13], insatt i ekvation (87) och (88) blir partikelhastighet

(89)

(90) Integrering av hastighet med avseende på tiden ger partikelförskjutning ζ i x- respektive z-led:

(91)

(92) En simulering av hur oregelbundna vågor propagerar på stort djupt har gjorts i Matlab. Programmet beräknar partikelhastighet och förskjutning på olika djup och vid olika tidpunkter. Figurer 32 och 33 visar oregelbundna vågor, partikelposition och hastighet på olika djup vid två olika tidpunkter. Pilarnas riktning visar partiklarnas rörelseriktning och pillängden hastighetens absolutbelopp. Figur 32. Figur 33. Tryckfördelning I lugnvatten består det totala trycket totp på djupet dz −= av det statiska atmosfärstrycket

atmp och det hydrostatiska trycket ρgd. I närvaro av vågor uppstår en tryckändring som är ett resultat av att vattenpartiklar i vågor oscillerar kring ett jämviktsläge (lugnvattennivå). För att bestämma denna tryckändring betraktas först tryckändringen i 0=z när vågytans vattenpartiklar oscillerar kring detta jämviktsläge. Tryckändringen i en punkt med den vertikala koordinaten 0=z , som befinner sig t.ex. under en vågtopp är då vattenpartikelns ordinata ),,( tzxzζ ovanför punkten multiplicerad med vattendensiteten ρ och gravitationskonstanten g. Denna tryckändring kallas för dynamiskt tryck dynp .

0 5 10 15 20 25 30−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

x [m]

z [m

]

t=20.00 s

0 5 10 15 20 25 30−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

x [m]

z [m

]

t=25.00 s

30

På samma sätt är det dynamiska trycket i en punkt på djupet dz −= lika med partikelförskjutningen ),,( tzxzζ på detta djup multiplicerad med ρ och g, se figur 34.

Figur 34.

Det totala trycket på djupet d kan då uttryckas som

(93) och med ekvation (92), blir det totala trycket följande

(94) Som nämndes förut avtar partikelhastighet och förskjutning med djupet, dvs. på större djup oscillerar partiklar med en lägre amplitud. Detta innebär att dynamiska trycket avtar med djupet och att det totala trycket på ett tilläckligt stort djup består av atmosfärstrycket och det hydrostatiska trycket. Det dynamiska tryckets variation med djupet för en regelbunden våg visas i figur 35.

Figur 35.

),,(),,(),,( tzxggdptzxggzptzxp zatmzatmtot ζρρζρρ ++=+−=

).sin(),,( εωζρρ +−−+= − tkxeggdptzxp kdaatmtot

gp zdyn ρζ 0==

),,(0 tzxz=ζ

0

z

-d

x

),,( tzxdz −=ζ

gp dzdyn ρζ −==

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

4

x [m]

Dyn

amis

kt tr

yck

[Pa]

z=0 mz=−5 mz=−10 mz=−15 mz=−20 mz=−25 m

31

.222 gkaa ζωζ =

Bilaga 2

Förklaring till antagandet ”liten amplitud” I härledningen av hastighetspotentialen i bilaga 1, görs vissa förenklingar under antagandet att amplituden är liten. Men frågan är vad amplituden ska jämföras med för att kunna antas vara liten. Ekvation (89) och (90) visar att ),( txux och ),( txu y är i samma storleksordning ωζ a .

Termen )(21

21 22

yx uu +=∇⋅∇ ϕϕ är då i storleksordning 22ωζ a som med

dispersionsrelationen gk=2ω kan skrivas enligt Approximationen som görs i (52) och (53) förutsätter att gka

2ζ mycket mindre än gaζ , dvs. kaζ måste vara litet. kaζ är litet om både aζ och k är små. Om k är litet är våglängen λ

stor, eftersom kπλ 2

= . Detta innebär att vågamplituden aζ måste vara betydligt mindre än

våglängden λ , [13].

32

Bilaga 3 I tabell 2-6 visas vågbojens resultat från mätningar vid 5 tillfällen. Resultaten jämförs med referensmätningar från en fast mätstation. Mätningar genomfördes vid fyren Landsorts Bredgrund i Stockholms södra skärgård. Datum 9 sept 2004 Buling Fyren Tid 13.10 13.00 Bandpass [Hz] 0.1-1.5 0.1-1.5 Analysmetod Pikidentifiering Spektrum. Pikidentifiering Spektrum. Vågmöten 808 - 691 - Tz 2.5 2.5 2.6 2.6 H1/3 0.49 0.55 0.50 0.56 Hmean 0.32 - 0.32 -

Tabell 2. Datum 21 sept 2004 Buling Fyren Tid 15.16 15.30 Bandpass [Hz] 0.1-1.5 0.1-1.5 Analysmetod Pikidentifiering Spektrum. Pikidentifiering Spektrum. Vågmöten 387 - 459 - Tz 4.1 4.2 3.9 4.0 H1/3 1.22 1.28 1.28 1.37 Hmean 0.76 - 0.78 -

Tabell 3. Datum 22 sept 2004 Buling Fyren Tid 10.05 10.00 Bandpass [Hz] 0.1-1.5 0.1-1.5 Analysmetod Pikidentifiering Spektrum. Pikidentifiering Spektrum. Vågmöten 479 - 468 - Tz 3.5 3.5 3.8 3.7 H1/3 0.79 0.86 0.80 0.87 Hmean 0.50 - 0.50 -

Tabell 4. Datum 23 sept 2004 Buling Fyren Tid 08.05 08.00 Bandpass [Hz] 0.1-1.5 0.1-1.5 Analysmetod Pikidentifiering Spektrum. Pikidentifiering Spektrum. Vågmöten 596 - 413 - Tz 3.0 2.9 2.9 3.0 H1/3 0.46 0.55 0.49 0.51 Hmean 0.29 - 0.31 -

Tabell 5. Datum 1 oktober 2004 Buling Fyren Tid 11.15 11.00 Bandpass [Hz] 0.1-1.5 0.1-1.5 Analysmetod Pikidentifiering Spektrum. Pikidentifiering Spektrum. Vågmöten 828 - 720 - Tz 2.4 2.4 2.5 2.5 H1/3 0.36 0.40 0.38 0.42 Hmean 0.22 - 0.23 -

Tabell 6.