Slide Tema 1 UFPB (2D)

8/18/2019 Slide Tema 1 UFPB (2D)

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SISTEMAS DE FORÇAS; ESTÁTICA DOSCORPOS RÍGIDOS

Por

Weslley Imperiano Gomes de Melo

2015.2

Universidade Federal da ParaíbaCampus I – Centro de Tecnologia

Curso de Graduação em Engenharia CivilDisciplina: MECÂNICA DOS SÓLIDOS



1. Forças no Plano

Para processar problemasestruturais, onde as cargas atuantes

pertençam ao plano que se desenvolve ageometria da estrutura, é pertinentedecompor todas as forças atuantes noseixos perpendiculares ( ) e equacionar

o equilíbrio dos referidos carregamentos eseus decorrentes efeitos.

Para exemplificar as estruturas planas, podemos citar: Vigas, Pórticos,Arcos e Treliças Planas. Valendo ressaltarque não será apenas o equilíbrio em forças

a garantir equilíbrio estático, devendo serassociado ao equilíbrio em momento.

As forças reativas (Ra, Rb, Ha)surgem nos apoios, isto devido a restriçãode deslocamento imposto pelo referidovínculo.

2. Forças no Espaço 3. Equilíbrio 2D 4. Equilíbrio 3D1. Forças no Plano

2

(d)

(a)

(b)

(c)

FONTE: (HIBBELER , 2011)

Fig. 1.1: Estruturas Planas: (a) Viga, (b) Pórtico,(c) Arcos e (d) Treliça Plana.



1.1. Sistema de Forças no Plano

Para tanto faz-se necessáriodefinir o par de eixos perpendiculares( ) , sendo o eixo regularmentedisposto na direção horizontal e o eixo na direção vertical. Conforme Fig. 1.2.

Ainda admite-se que toda e

qualquer força deve ser projetada nasduas direções e as projeções ( ). É possível ainda, compor as

forças no plano como a soma dos versores(vetores unitários) e , Conforme Fig.1.3. sendo:

.+. . + .

E a partir do ângulo conclui-se por relações trigonométricas no triânguloretângulo que:

.cos . s e n


3

FONTE: (BEER et. al, 2012)

Fig. 1.2: Sistema de Forças 2D

FONTE: Adaptado de (BEER et. al, 2012)

Fig. 1.3: Projeções da Força F em x e y.



Aplicação 1:

Uma Força de intensidade 800N é aplicada no Parafuso A, ConformeFig. 1.4. Determinar:

a) As componentes e .

b) O vetor em função de e .

Solução: 1º Procedimento: Por Quadrante.

Será analisado o quadrante ondea força esteja contida, sendo o ângulodefinido entre a força e a força . NaFig. 1.5. representado por . E imposto o

sinal pelo sinal do eixo a ser projetada aforça.

a) −. cos −800.c os 35 −655 . sen 800. sen 35 459

b)

. + .−655.+459. ()


4


Fig. 1.4: Força aplicada no parafuso A


Fig. 1.5: Projeção da Força aplicada em A



Aplicação 1:

Uma Força de intensidade 800N é aplicada no Parafuso A, ConformeFig. 1.4. Determinar:

a) As componentes e .

b) O vetor em função de e .

Solução:

2º Procedimento: Por Ângulo.

Será analisada a força e suas projeções serão decorrentes do Ânguloformado entre a força F e o eixo x

positivo. Na Fig. 1.5. representado por θ.a) . cos 800. cos 145 −655 . sen 800. sen 145 459

b)

. + .−655.+459. ()


5


Fig. 1.4: Força aplicada no parafuso A


Fig. 1.5: Projeção da Força aplicada em A



1.2. Equilíbrio e Diagrama deCorpo - Livre

O Diagrama de Corpo – Livre,consiste em explicitar todas as forçasaplicadas em determinada partículasignificante. Conforme Fig. 1.6.

O Equilíbrio do ponto materialserá processado pelo somatório de forçasnas direções e , Conforme Fig. 1.7 Assim:

0

0


6

Fig. 1.6: Diagrama de Corpo - Livre



Fig. 1.7: Equilíbrio de uma Partícula



Aplicação 2:Baseado na distribuição das três forças

no Ponto O, determinar a resultante dosesforços. Fig. 1.8.Solução:

Conforme ilustrado na Fig. 1.9. oângulo θ definido por quadrante e o sinal imposto

pelo sentido do eixo.

1º Passo: As Projeções .cos 800. cos 36,87 640 .sen 800. sen 36,87 480

−.cos −424. cos 58,11 −224 −.sen −424. sen 58,11 −360

.cos 408. cos 61,93

191,98

−.sen −408. sen 61,93 −360

2º Passo: A Força Resultante

= + +

( + + ) . + ( + + ).

567,98.−240,01. ()


7


Fig. 1.8: Força aplicada no ponto O


Fig. 1.9: Projeção da Força aplicada em O

t 600800

36,87

58,11

61,93



3. Equilíbrio Estático 2D

de Corpos Rígidos Nas estruturas analisadas no

plano, deve-se proceder a análise impondoas respectivas forças reativas presentes nasvinculações e através das equações de

equilíbrio em força e em momento,obtendo-se assim as mensuradas reações.

3.1. Vinculações

As vinculações são travamentos ou

restrições de movimentos (deslocamentos erotações), sendo rígidos ou semi – rígidos.Conforme Fig. 3.1.

1º Gênero: Travamento em uma direção;

2º Gênero: Travamento em duas direções e

3º Gênero: Travamento em três direções.


8

FONTE: Adaptado de (JUDICE; PERLINGEIRO, 2005)

Fig. 3.1: Vinculações no Plano



3.2. Equações de Equilíbrio

Na análise no plano serão três asequações de equilíbrio, sendo duas em forças,uma na direção e outra na direção e aterceira em momento. Assim:

( ) 0

( ) 0

()0

Onde P, Q e R são conhecidas eatravés da utilização das três equações deequilíbrio, obtem-se as reações (, e ).Conforme Fig. 3.2.

OBS: EFEITO DE MOMENTO NO PLANO

Define-se o momento da carga P emrelação ao ponto O, como sendo o produtovetorial do vetor posição e a carga P.Conforme Fig. 3.3.

O momento repercute a tendênciaque a força F tem de girar o corpo rígido em

torno do eixo fixo dirigido ao longo de .


9

Fig. 3.2: Reações ativadas na Viga

Fig. 3.3: Efeito de Momento no plano



EFEITO DE MOMENTO NO PLANO

Baseado na Fig. 3.4 o momento será:

× Sendo: ( ; 0 ; 0)

(.cos ;.sen ;0)

Assim:

0 0. cos . sen 0 . .

TEOREMA DE VARIGNON

O momento de força F em relação a um

ponto qualquer O, será igual ao somatório dosmomentos devido as componentes desta forçarelativos ao mesmo ponto. Conforme Fig. 3.5.

× × +

× + ×

Onde:

. ; .

. + .


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Fig. 3.4: Efeito de Momento no plano

FONTE: (HIBBELER , 2011)

Fig. 3.5: Teorema de Varignon




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Fig. 3.6: Viga biapoiadaAplicação 7: (BEER et. al, 2012)

Três vigas são aplicadas a uma viga.A referida viga é sustentada por um roleteem A e por um pino em B. Desprezando o peso-próprio da viga, determinar as reações deapoio em A e B, Conforme Fig. 3.6, quando Pfor igual a 67,5 kN.

Solução:Baseado no Diagrama de corpo – livre da estrutraapresentado na Fig. 3.7, tem-se:

( ) 0 ∴ + 0 0 ∴

( ) 0 (Sentido anti-horário positivo)

2,7. − 67,5 . 0,9 − 27 . 3,3 − 27 . 3,9 0

∴ , ( ↑ ) ( ) 0

+ 67,5 + 27 + 27

∴ ( ↑ )

Fig. 3.7: Diagrama de corpo-livre da Viga biapoiada





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Fig. 3.8: Portico atirantado

Aplicação 8: (BEER et. al, 2012)

A estrutura represetada na Fig. 3.8sustenta parte do teto de um pequenoedifício. Sabendo que a tração no cabo é de150 kN. Determinar a reação naextremidade E.

Solução:Baseado no Diagrama de corpo – livre da estrutraapresentado na Fig. 3.9, tem-se:

( ) 0 ∴ + 1 5 0 . s e n 0

∴ (←)

( ) 0

20 . 4 + 150 . cos

∴ ( ↑ )

( ) 0 (Sentido anti-horário positivo)

+ 20 . 1,8 + 20 . 3,6 + 20 . 5,4

+ 20 . 7,2 − 150. cos 0

∴ ( − á)

Fig. 3.9: Diagrama de corpo-livre


c o s 67,5

s e n 4,57,5




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EXERCÍCIO 1: Para cada uma das Placas e carregamentos mostrados,determinar as reações de apoio.





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EXERCÍCIO 1: Para cada uma das Placas e carregamentos mostrados,determinar as reações de apoio.





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EXERCÍCIO 2: Sabendo que a tração nocabo BD é 1300 N, determine a reação do

engaste C na estrutura.





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EXERCÍCIO 3: Determine o intervalo devalores admissíveis da tração no cabo BD,

sabendo que a intensidade do binário noengaste não pode exceder 100 Nm.





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EXERCÍCIO 4: Dois Cabos estão ligadosem C e são carregados como mostra a

figura. Sabendo que 2 0 º, determine atração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.

GABARITO: (a) 2,13 kN (b) 1,735 kN


EXERCÍCIO 5: Dois Cabos estão ligadosem C e são carregados como mostra afigura. Sabendo que

5 0 0 e

6 0 º,

determine a tração (a) no cabo AC e (b) nocabo BC.

GABARITO: (a) 305 N (b) 514 N




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EXERCÍCIO 6: Uma conexão soldada está em equilíbrio sob a ação dequatro forças como mostra a figura. Sabendo que

8 e

16 ,

determine as intensidades das outras duas forças.

GABARITO: Fc = 6,40 kN Fd = 4,80 kN




REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• BEER, F.P. et al. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática. 9. ed. Porto

Alegre: AMGH, 2012.• HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson

Prentice Hall, 2011.

• JUDICE, F.M.S.; PERLINGEIRO, M.S.P.L. Resistência dos Materiais IX. UFF,2005.

• MERIAM, J.L. ; KRAIGE, L.G. Mecânica Estática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC,

2008.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

• MACHADO JÚNIOR, E.F. Introdução à Isostática. São Carlos: EESC – USP,

1999.

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