Solucionario Balotario de Matematicas Avanzada

8/12/2019 Solucionario Balotario de Matematicas Avanzada

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Solucin delbalotario de deMatemticas

Avanzadas

2012

Curso: Matemticas Avanzadas

Profesor: Ral Castro Vidal

Integrantes:

Chuquispuma Zamudio, Victor092041A

Garcia Quintana, Gustavo092615H

Martinez Calzada, David..092608A

Melgarejo Vargas, Pedro..092649J

Saraya Espinoza, Eduardo..092621H
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GSM222.jpg?uselang=eshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:GSM222.jpg?uselang=eshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:GSM222.jpg?uselang=eshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:GSM222.jpg?uselang=eshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:GSM222.jpg?uselang=eshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:GSM222.jpg?uselang=eshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:GSM222.jpg?uselang=eshttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:GSM222.jpg?uselang=es


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1.Considere un sistema LTI con respuesta al impulso: Yhalle la representacin en serie de Fourier de la salida y (t) para lassiguientes entradas.

a) b)

SOLUCIN1(a): Considerando la salida de un sistema LTI: Tenemos: La salida del sistema LTI ser:

Definimos como: 2 3Entonces expresamos a y(t) de la siguiente manera: La segunda integral se anula, pues

es cero:

Recordando: ( )

( )

En el problema: 6 7


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46 ( )7 6

( )75

Ya que ( )es acotada para todo b, al multiplicar por unaexponencial y aplicar el teorema de sndwich, este lmite tiende a 0 cuando b.Por lo tanto: ( )1(b): Tenemos:

La salida del sistema LTI ser:

Definimos como: 2 3Para el problema tenemos que: Entonces la integral ser:


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Sabemos tambin que:

Por lo tanto:

2.si , - x ; una constante no entera. Probar que apartir de si Serie de Fourier.

SOLUCION

Se trata de una funcin par, luego y

Luego la representacin quedar:


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Reemplazando finalmente obtenemos:

3.Enunciar y demostrar el teorema de Parseval, comente la utilidad en

la teora de seales.SOLUCIN:Enunciamos la aplicacin de la identidad de Parseval en las series de Fourier y en

las Integrales de Fourier.

Identidad de Parseval en las Series de Fourier: *+

Donde y estan determinados por: Una consecuencia importante es:

Se le conoce como el teorema de Riemann.Identidad de Parsaval para Integrales de Fourier:

Si F[f(t)] = F(W) entonces: || || A esto se le conoce como la Identidad de Parsaval para Integrales de Fourier y es

susceptible de generalizaciones y le llamaremos .

Demostracin de :Si F[f(t)] = F(W) y con todo lo aprendido alrededor de Fourier (convolucion):,- ,- [ ]


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( ) Es decir:

,

-

Luego si hacemos

y

,- Por convolucin: || Por lo tanto:

||

||

Quedando demostrado el teorema de Parseval

4. Hallar la DFT de U = C (constante)

Solucin:

Nos damos cuenta que tiene la forma de una serie geomtrica:

Entonces: Donde

Sabemos:

y Entonces queda:


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5. Hallar la Transformada de Fourier del siguiente pulso triangular: , - , -Solucin:

Ahora, tomando la Transformada de Fourier:,- ,- , - , - , - , -, -Usando las siguientes propiedades:,- ,- , - Se tiene:,-

,- ,- [ ] [ ],- [ ] [ ]6. Calcular la Transformada de Fourier mediante la propiedad de

convolucion de la funcin: Solucin:

Por convolucion:

Donde: Para:


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Verificando: ,- ,- ,-Por propiedad:

,- Nos queda: ,- ,- Aplicando la Transformada Inversa, se tiene:

,- , -7. Una seal de onda cuadrada peridica en tiempo discreto

mostrada en la figura. Evaluar la serie de Fourier de esta funcin.

Solucin:Debido a la simetra de esta secuencia con respecto a n=0, es conveniente

seleccionar un intervalo simtrico en el cual la sumatoria siguiente.

Considerando:

./ Separando se obtiene la ecuacin:

./ ./


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Evaluamos la sumatoria, obteniendo una serie geomtrica, la cual genera:

./

./

.

/

Ordenando:

. /

. / ./ ./. / . /

Se ha dado forma de funcin seno:

0

1

Finalmente obtenemos:

01

8. Se tiene la seal de tono con una frecuencia demuestreo

; hallar:

a. Fn y F(nts)b. El nmero de muestras por periodoc. La tabulacin y la amplitud de cada una de las muestrasd. El factor en grados entre cada muestra

Solucin:a)

Reemplazando: ./


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b) Sabemos que:

c) Tabulando:

d) Calculamos el factor para determinar la separacin entre cadamuestra:

Graficando:


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9.Consideramos la seal peridica N=10. 2 Solucin:

Por definicin: ,- Reemplazando valores:

,- ,- ,-

Propiedad

10.Determinar la transformada inversa de , determinar

la transformada inversa de Solucin:A pesar de que las fracciones parciales de la expresin anterior se podran

determinar de manera directa, el procedimiento que con mayor frecuencia conduce

a formas estndar es obtener las fracciones parciales de . Donde


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De esta forma: El primer termino tiene , que es la transformada z de un escaln unitariomuestreado o de una secuencia en tiempo discreto 1, 1, 1, 1, . El segundo termino

tiene la forma , que es la transformada z de . De estaforma, la trasformada inversa es:,- ,- Entonces la secuencia en tiempo discreto esta dado por 0, 1, 1.5, 1.75,

11.

8 Solucin: . /

. / ,- []


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,-

,-

.

/

. /

12. Solucin

,-


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2 2 2

13.Hallar la respuesta al impulso unitario del circuito RC que semuestra en la figura:

Solucin:

El sistema mostrado trata de un filtro pasabajos, donde su funcin de transferencia

esta dado por:


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Donde: Entonces la salida est dado por:

Recordar que: } Entonces aplicamos la transformada inversa:

}

14.Considerar el sistema mecnico

ilustrado en la figura, queconsiste de un resorte. Una masay un amortiguador, si el sistemase perturba por una fuerza Hallar eldesplazamiento x(t) de la

respuesta en estado estacionario.

Solucin:La respuesta xs (t) y la funcin excitadora f(t) estn relacionadas por la siguiente

ecuacin diferencial:

Donde m, B, k representan la masa, el coeficiente de amortiguamiento y la

constante de resorte, respectivamente. La ecuacin anterior se puede expresar en

forma operacional como:


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Donde Dado que se pide la respuesta en estado estacionario, mediante notacin fasorial,

se obtiene:

,-Donde 15.Encuentre las representaciones en serie trigonomtrica de

Fourier para las seales mostradas a continuacin

Solucin:

a. 2

Comoes impar 0 1


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0 1

b.

Comoes impar

c. . /Comopar

d.


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16.Hallar la serie de Fourier de solo cosenos para la funcin:

en

,-y

mediante la relacin de Parseval, probar que:

Solucin:

Haciendo la extensin par de ,-

Aplicando Parserval:

17.Considere un sistema LTI con respuesta al impulso:

Y halle la representacin en serie de Fourier de la salida y(t) paralas siguientes entradas

e. f.


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Solucin:

La salida del sistema LTI ser:

Definimos

como:

2 Propiedades de la funcin delta de Direc

Entonces la integral ser:

Sabemos que:


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18.Desarrollar en serie de Fourier la siguiente funcin f(x) =x2; -


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19.Indique las tcnicas de comprensin de audio y video mediante laTransformada de Fourier, sea preciso.

Solucin:Para la compresin de audiose emplean tcnicas tanto en el dominio deltiempo como en la frecuencia, mediante la aplicacin de filtros digitales IIR

(Infinite Impulse Response), FFT (Fast Fourier Transform) entre otros.En la compresin de vdeose aprovecha la redundancia espacial y temporal delas imgenes as como las caractersticas perceptuales de la visin.

20.Hallar las integrales de Fourier de las siguientes funciones:a) || ||

Adems:

Si:

Si:

Entonces obtenemos:

, -


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.

/

.

/Otra forma de resolver:

. / . /Aplicamos la primera derivada: . / . / . / .

/

. / . / . / . / . / . / . / . / . / . /Aplicamos la transformada de Fourier: * + * + . / . /b) || || || Tambin se le puede representar de la siguiente manera:

Aplicamos la primera derivada:

Aplicamos la segunda derivada: Aplicamos la transformada de Fourier:


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c)

Aplicamos la primera derivada:

Aplicamos la segunda derivada: Aplicamos la transformada de Fourier: d)

Aplicamos la primera derivada: Aplicamos la transformada de Fourier: ( ) ( )

. /

20.

|| ||


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a) Solucin:

Si:

b) Solucin:Por integracin por partes, obtenemos:

6

7

c) Solucin:Usando las identidades trigonomtricas, obtenemos:


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