8/10/2019 Solution of the Heawood Conjecture

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SOLUTION OF T HE HEAWOOD MAP-COLORING PROBLEM

BY G E R H A R DR I N G E LAND J . W . T . YOUNGSUNIVERSITY OF CALIFORNIA ( S A N T A C R U Z )

C o m m u n i c a t e db y S a u n d e r sMa c L a n e , M a r c h2 5 ,1 9 6 8

O n eo f t h e m o s tf a s c i n a t i n gp r o b l e m si n m a t h e m a t i c si s t h e f o u r - c o l o r c o n j e c -t u r e ,a n d i ns p i t e o ft h e f a c tt h a t w e h a v en o t h i n gn e w t o a d d , a s h o r t d i s c u s s i o no ft h e m a t t e ri s i m p o r t a n tf o ro u r p u r p o s e s . T h ef a s c i n a t i o no ft h e p r o b l e mi sa l m o s tc e r t a i n l yd u e t o t h e f a c tt h a t t h e r e l e v a n tq u e s t i o nma y b e s t a t e ds o a st o b e i n t e l l i g i b l et o t h e g e n e r a lp u b l i c .A r e f o u r c o l o r sa l w a y se n o u g ht o o b t a i na

c o l o r i n go ft h e c o u n t r i e s o fa n y map o n a

s p h e r e ?I t i s o n l y n e c e s s a r y

t oc l a r i f y

t h e i t a l i c i z e dw o r d s a b o v ef o rt h e g e n e r a lr e a d e rt o u n d e r s t a n da n d , i f i n q u i s i t i v e ,t o b e c o m ei n t e r e s t e di n t he p r o b l e m .

A c o u n t r ym u s tb e c o n n e c t e d ; h e n c eP a k i s t a n ,w h i c hc o n s i s t s o ft w od i s j o i n e dp a r t s ,d o e sn o t q u a l i f y .T h e r e ad e r b e g i n st o r e a l i z et h a t w e a r e c o n s i d e r i n ga na b s t r a c t i o nw h i c hh a s l i t t l er e s e m b l a n c et o p o l i t i c a lr e a l i t y .

I n r e f e r e n c et o t h e t e r mma p o n a s p h e r e ,t h e r e a r e n o o c e a n s ; e v e r yp o i n t o nt h e s p h e r ei se i t h e ri n s i d ee x a c t l yo n e c o u n t r yo ri s o n t h e f r o n t i e r so ft w oo r m o r ec o u n t r i e s .Tw o c o u n t r i e sa r e a d j a c e n ti f t h e y h a v e a common l i n eo f f r o n t i e rp o i n t s .T h u s F r a n c ea n d S p a i n a r e a d j a c e n t ,b u t t h e s t a t e so f C o l o r a d oa n dA r i z o n aa r e n o t ,i n s p i t e o ft h e f a c tt h a t t h e y h a v eo n e f r o n t i e rp o i n t i n c o m m o n .T h en e g a t i n gf a c t o ri s t h a t t h e r ei s n o common l i n eo ff r o n t i e r p o i n t s .

A c o l o r i n g o fa ma p o n a s p h e r ei s a n a s s i g n m e n to fo n e c o l o rt o e a c h c o u n t r ys o t h a tn o p a i ro f a d j a c e n t c o u n t r i e si s a s s i g n e dt h e s a m e c o l o r . T h u s t w oc o u n t r i e sh a v i n gt h e p r o p e r t yo b s e r v e da b o v e ( C o l o r a d oa n d A r i z o n a )ma y b ea s s i g n e dt h e s a m ec o l o r ,b u t c o u n t r i e sl i k eF r a n c ea n d S p a i n m u s t b e a s s i g n e dd i f f e r e n tc o l o r s .T h emin imum n u m b e ro fc o l o r sw h i c hs u f f i c e st o c o l o ra g i v e nma p i s c a l l e dt h ec h r o m a t i cn u m b e ro ft h em a p . T h e m a x i m u m ,m , o f t h e c h r o -m a t i c n u m b e r sf o ra l l m a p so n t h e s p h e r ei s c a l l e dt h e c h r o m a t i cn u m b e ro ft h es p h e r e .T h u sw e c a n b e a s s u r e dt h a ta n y ma p o n t h e s p h e r ec a n b e c o l o r e db yu s i n gn o m o r et h a n m c o l o r s .T h eq u e s t i o ni s : W h a t i s m ? I t i s e a s y t o s e et h a tt h e r ei sa ma p o n a s p h e r et h a t c o n s i s t so ff o u rc o u n t r i e se a c ha d j a c e n tt o t h eo t h e rt h r e e .H e n c et h i sma p h a s f o u ra s i t s c h r o m a t i cn u m b e r . C o n s e q u e n t l y ,m> 4 . T h i s l e a d st o t h e c l a s s i c a lq u e s t i o n : D o e sm = 4 ? No o n ek n o w st h ea n s w e r . I t c a n b e s h o w n , h o w e v e r ,t h a tm < 5 .

M \ a n ya t t e m p t sh a v eb e e nm a d et o s e t t l et h e m a t t e r . O n eo ft h e m o s tn o t a b l ew a s made b y t h e E n g l i s hb a r r i s t e rK e m p e ,w h oc l a i m e dt h e r e s u l ti n 1 8 8 0 . I n1 8 9 0 H e a w o o d 1d i s c o v e r e da n e r r o ri n K e m p e sp r o o f a n d w e n t o n t o c o n s i d e rt h e p r o b l e mf o rs u r f a c e sm o r ec o m p l i c a t e dt h a n a s p h e r e .T h e s i m p l e s ti n t h e

h i e r a r c h yo fs u c h s u r f a c e si s a t o r u s ,o r t h e s u r f a c eo fa t i r e . T h e t e r m s c o u n -t r y , m a p , a d j a c e n t ,e t c . ,h a v e m e a n i n go n s u c h a s u r f a c e ,a n d H e a w o o ds h o w e dt ha t t he c h r o m a t i cn u m b e ro fa t o r u s i s s e v e n .

T h e s t a n d a r dt o p o l o g i c a lm o d e lo f a s u r f a c e( o ro r i e n t a b l et w o - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d )S , o fg e n u sp i s a s p h e r ew i t hp h a n d l e sa t t a c h e dt o i t . ( O n ema y a l s ot h i n k o ft h e s u r f a c e so fa w i s s c h e e s ew i t h p h o l e st h r o u g hi t . ) T h u sa t o r u s i s

4 3 8

8/10/2019 Solution of the Heawood Conjecture

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MATHEMATICS: RINGEL AND Y O U N G S

( t o p o l o g i c a l l y )a s p h e r ew i t h o n e a t t a c h e dh a n d l e .H e a w o o d ss u c c e s sw a s d u et o t w o f a c t s :

F i r s t ,h e w a sa b l et o p r o v et h e t h e o r e mt h a t x S , ) ,t h e c h r o m a t i cn u m b e ro fS,s a t i s f i e st h e i n e q u a l i t y

x ( S P ) [ 7 - / 1 4 8 p ] , ( 1 )

i f p i s p o s i t i v e .( T h e n o t a t i o n [ a] s t a n d sf o rt h e l a r g e s ti n t e g e rn o t g r e a t e rt h a na . )

S e c o n d ,h e w a s a b l et o e x h i b i ta n e x a m p l eo fa ma p w i t h s e v e nc o u n t r i e so n at o r u s s u c ht h a te a c h c o u n t r yw a sa d j a c e n tt o t h e o t h e rs i x .

T h e t h e o r e ms h o w e dt h a ti f p = 1 , t h e n x ( S l )< 7 , w h i l et h e e x a m p l es h o w e dt h a tX ( S I )2 7 , a n d t h u s t h e m a t t e rw a ss e t t l e d :X ( S I )= 7 .

H e a w o o d ,w h ow r o t e a n d p r o v e di n t h e o c c a s i o n a l l yc a s u a ls t y l eo f t h e l a s tc e n t u r y ,w a su n d e rt h e i m p r e s s i o nt h a th e h a d s h o w ne q u a l i t yt o h o l d i n 1 )f o ra l lp > 0 . A y e a r a f t e rh i sp a p e ra p p e a r e d ,H e f f t e r 2d r e wa t t e n t i o nt o t h e i n c o m -p l e t en a t u r e o fH e a w o o d sa r g u m e n t sa n d w a sa b l et o p r o v et h a t e q u a l i t yh o l d si n ( 1 )f o r1 < p < 6 , a n d c e r t a i na d d i t i o n a lv a l u e s o fp .

H e r e t h em a t t e rs t o o df o ra b o u tt h r e eq u a r t e r so fa c e n t u r y .A s n e a r l ya sc a n b e d e t e r m i n e d ,w i t h i na f e wy e a r so f1 9 4 0 ,a p o r t i o no fm a t h e -

m a t i c a lf o l k l o r ew a s b o r n .T h i s w a s t h a te q u a l i t yh a d b e e np r o v e di n 1 )f o r

a l lp >0 . S u c ha s t a t e m e n t

i s f o u n di n C o u r a n ta n d R o b b i n s , 3b u t c o m m u n i c a -t i o nw i t h t h e a u t h o r s h a s p r o v i d e dn o i n f o r m a t i o no n t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n :D i d t h e i re r r o rc r e a t et h e f o l k l o r e ,o rv i c ev e r s a ?On t he o t h e rh a n d , F e l l e rh a st o l do n e o fu s t h a tt h e f o l k l o r e ,a c c e p t e da sf a c t ,w a sk n o w ni nG o t t i n g e ni n t h ee a r l y1 9 3 0 s .

I n a n y e v e n t t h e s t a t e m e n tt h a t

X ( S P ) [+ + 4 8 p ] i f P > 0 , ( 2 )c a m et o b e k n o w na st h e H e a w o o dm a p - c o l o r i n gc o n j e c t u r e .

I t i s t h eo b j e c to ft h i sn o t et o a n n o u n c et h a ta f t e ra l a p s eo f7 8 y e a r st h eH e a w o o dc o n j e c t u r ei s s e t t l e di n t h ea f f i r m a t i v e .

A c o m m e n tw i t h r e g a r dt o m e t h o di s w o r t h w h i l e . F i r s t ,h o w e v e r ,w e w i s h t oi n t r o d u c es o m en o t a t i o n .T h e t e r m o n t h e r i g h ti n ( 1 )i s u s e ds oo f t e n t h a t i t i sc o n v e n i e n tt o e m p l o yt h e a b b r e v i a t i o n

H 7 - V 1 48p] 3T h e a t t a c k i s e s s e n t i a l l yt h a t o fH e a w o o da n d H e f f t e r ,w i t h s i g n i f i c a n tc o m -

b i n a t o r i a lr e f i n e m e n t s .W e c o n s i d e rt h e f o l l o w i n gp r o b l e m :F o r e a c hn > 3 d e t e r m i n et h e s m a l l e s ti n t e g e r y n )f o rw h i c hi t i sp o s s i b l et oh a v ea ma p c o n s i s t i n go fn c o u n t r i e so n t h e s u r f a c eS y n )s u c ht h a t a n y t w o c o u n -t r i e s r e a d j a c e n t .N o t et h a tt h i si m p l i e s

( 4 )

V O L .6 0 ,1 9 6 8 4 3 9

x S . , ) )> n .

8/10/2019 Solution of the Heawood Conjecture

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MATHEMA T I C S : RINGEL AND Y O U N G S

I f w e d e f i n e

( n ) { ( n

( 5 )

( w h e r et he n o t a t i o n a } m e a n s t h e s m a l l e s ti n t e g e rn o t l e s st h a n a ) ,t h e n i t h a sb e e ns h o w ne l s e w h e r et h a t

, y n ) I ( n ) f o rn > 3 . 6 )I n f a c t ,( 6 )i s c a l l e dt h e c o m p l e t eg r a p ht h e o r e ma n d

a y n )= I n ) f o rn > 3 , 7 )t h e c o m p l e t eg r a p hc o n j e c t u r e .

W e s h a l lp r o v e t h a ti f ( 7 )i s t r u e ,t h e nt h eH e a w o o dm a p - c o l o r i n gc o n j e c t u r ei ss e t t l e di n t h ea f f i r m a t i v e .

S u p p o s e( 7 )i s t r u e . T h e nf o rn > 7 a n dI ( n )< p < I ( n 1 ) ,a d i r e c tc o m p u -t a t i o ns h o w st h a t H ( p ) = n . On t h e o t h e r h a n d , i t i se a s y t o s e et h a t x ( S p )> X S I X ) ) ,a n d u s i n g 7 )a n d 4 ) ,i t f o l l o w st h a t x ( S , ) X S I , , ) )= x ( S ( n ) )> n . An d n ow ( 1 )i m p l i e st h a t x ( S p )= H ( p ) . S i n c eI ( 7 )= 1 , t h i si m p l i e s( 2 ) .

T h er i g h t - h a n ds i d eo f ( 5 )s u g g e s t st h a t t h e r e ma y b e 1 2 c a s e st o t h e p r o b l e m ,d e p e n d i n gu p o n t h e m e m b e r s h i po f n i n t h e v a r i o u sr e s i d u ec l a s s e sm o d u l o1 2 .I f n = 1 2 s k w i t h0 k 1 1 ,w e s a y w e a r ed e a l i n gw i t h C a s ek .

W e p r o c e e dt o p r o v i d ea s h o r th i s t o r yo ft h e s o l u t i o n ,a n d e n d w i t h a n e x a m p l ef r o m C a s e8 , o n e o ft h e l a s tt o b e s o l v e d ,a n d o n e w h i c hi l l u s t r a t e st h e n e wt e c h -n i q u e sr e q u i r e df o rt h e l a s tt h r e e c a s e s t ob e s e t t l e d .

A H i s t o r yo ft h eS o l u t i o n . - I n 1 8 9 1H e f f t e r 2a t t a c k e dC a s e7 ; t h a t i s ,n = 1 2 s 7 . H e r e h e w as a b l et o s h o wt h a t - y ( n )= I ( n ) ,i f q = 4 s 3 i s p r i m ea n dt h e o r d e r o f 2 i n t h e m u l t i p l i c a t i v eg r o u po f i n t e g e r smod q i s e i t h e rq - 1 o r q - 1 ) / 2 . I n a d d i t i o n , s m e n t i o n e de a r l i e ri n d u a l f o r m , h e p r o v e dt h e c o m -p l e t eg r a p hc o n j e c t u r ef o rn < 1 2 .

I n s p i t eo f t h e f a c tt h a t t h e r ei s e v i d e n c et o s h o wt ha t t he p r o b l e mw a s w e l lk n o w n ,t h e f i r s tp u b l i s h e da t t a c k i n t h i sc e n t u r yw a sd u e t o R i n g e l 4i n 1 9 5 2 .Hep r o v e dt h e e q u a l i t yo fx ( S , )a n d t h e maximum n u m b e ro fn e i g h b o r i n gd o m a i n so n S, n a m e l y ,t h e l a r g e s ti n t e g e rv s u c ht h a t S ,h a s a ma p w i t h t h e p r o p e r t yt h a tv c o u n t r i e si n t h ema p a r ea d j a c e n tt o e a c h o t h e r . T h e c o n c e p tw a s i n t r o d u c e db y H e f f t e r . 2M o r e o v e r ,R i n g e lf o r m a l l yi n t r o d u c e dt h e i d e ao f o r i e n t a b l es c h e m e , a n d p r o v e d y ( 1 3 )= I ( 1 3 ) .

I n 1 9 5 4R i n g e l 5s o l v e dC a s e 5 . T h i s s o l u t i o ni s a l s of o u n d i n h i sb o o k . 6I tw a s t h e f i r s tc a s e t o b e s e t t l e dc o m p l e t e l y .I n 1 9 6 1 h e s u c c e e d e di n s o l v i n gC a s e s7 , 1 0 ,a n d 3 , i n t h a t o r d e r . 7

I n t h e s p r i n go f 1 9 6 2 Y o u n g sc o n d u c t e da s e m i n a ro n t h e s u b j e c t ,a n d h i sc o l l e a g u eW . G u s t i n 8b e c a m ei n t e r e s t e di n w h a t a r e c a l l e dt h e r e g u l a rc a s e s ,n a m e l y ,t h o s e i n w h i c h( n - 3 )( n - 4 ) 0 mod 1 2 . He i n t r o d u c e dt h e v e r yp o w e r f u lw e a p o no fc u r r e n t g r a p h sa n d a n n o u n c e ds o l u t i o n st o C a s e s3 , 4 , a n d7 ,u n a w a r eo fR i n g e l ss u c c e s s f u ls o l u t i o nt o t h e f i r s ta n d l a s to ft h e s ec a s e s .U n -f o r t u n a t e l y ,G u s t i nd i dn o t f o l l o wh i sr e s e a r c ha n n o u n c e m e n tw i t h d e t a i l sa n dg a v eo n l yt h r e ee x a m p l e s ,o n e f r o me a c ho ft h e C a s e s3 , 4 , a n d 7 . I t i sa p i t yt h a t

4 4 0 P R O C .N . A . S .

8/10/2019 Solution of the Heawood Conjecture

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MATHEMATICS: RINGEL AND Y O U N G S

h i se x a m p l ei n C a s e 4 i s i n e r r o r . F o r a n e x p o s i t i o no f t h e t h e o r y ,a n d a d e -v e l o p m e n to f t h e a d d i t i o n a lb a s i ci d e a o fv o r t e x g r a p h s ,t h e r e a d e r ma y c o n s u l tYo u n g s . 9

I n 1 9 6 3T e r r y , We l c h ,a n d Y o u n g sf o u n da s i m p l e rs o l u t i o nt o C a s e4 , a r e s u l tt h a tw a s a l s oo b t a i n e di n d e p e n d e n t l yb y G u s t i n . T h e p r o o f h a s n o t b e e np u b -l i s h e d .I n t h e s a m e y e a r T e r r y , We l c h , a n d Yo u n g s 1 0s o l v e dt h e r e m a i n i n gr e g u l a rc a s e ,n a m e l yC a s e0 .

I n 1 9 6 3 - 1 9 6 4t h e t h e o r yo fv o r t e xg r a p h sw a sd e v e l o p e db y Yo u n g s 9a n d l e dt oa s u c c e s s f u ls o l u t i o nt o C a s e1 i n c o l l a b o r a t i o nw i t h G u s t i n .

T h e n e x t c a s et o f a l lw a s C a s e 9 i n 1 9 6 5 ,t h e b u l k o f t h e w o r kb e i n gd o n eb yG u s t i n . I n 1 9 6 6Y o u n g ss o l v e dC a s e6 .

T h i s l e f to n l y C a s e s2 , 8 , a n d 1 1 .I n e a r l y1 9 6 7R i n g e lf o u n d a n i n d e x 2 s o l u t i o n( s e eYo u n g s 9 )t o n = 1 2 s

2 , f o rs o d d .R i n g e la n d Y o u n g sd i s c u s s e dt h e p r o b l e mi n B e r l i ni n t h e summer o f 1 9 6 7a n d

f e l tt h a ta l t h o u g ht h e r e s to f C a s e2 a p p e a r e dp o s s i b l eu s i n gi n d e x2 ,t h e y h a d n oi d e ah ow t o t a c k l eC a s e s8 a n d 1 1 . I n a n ew s le t t e ri n 1 9 6 4Y o u n g sh a d a l r e a d yi m p l i e ds o m ed e s p a i rw i t h r e g a r d t o t h e s e c a s e s .

W e j o i n e df o r c e sa t t h e U n i v e r s i t yo f C a l i f o r n i a( S a n t a C r u z ) i n t h e f a l lo f1 9 6 7 ,a n d a n a t t a c k w a s l a u n c h e do n n = 1 2 s 2 w i t h s e v e n .H o w e v e r ,i t w a si m p r e g n a b l et o a n i n d e x2 a s s a u l t .

I n a l l t h e c a s e st h a t a r en o tr e g u l a r ,t h a t i s ,n 0 0 , 3 , 4 , 7 ( m o d1 2 ) ,t h e r e a r et w o p a r t st o t h e a t t a c k .O n ema y b e c a l l e dt h e r e g u l a rp a r t a n d t h e o t h e r t h e a d d i t i o n a l - a d j a c e n c yp r o b l e m . T h i s w i l lb e m a d ec l e a ri n t h e e x a m p l eb e l o w.

T h e a d d i t i o n a l - a d j a c e n c yp r o b l e mi s t r i v i a li f n 2 o r 5 ( m o d 1 2 ) ; a n dt h o u g h s o m e w h a tm o r e d i f f i c u l ti f 1 0 ( m o d 1 2 ) ,t h e p r o b l e mh a d b e e ns o l v e db y R i n g e l . 7T h e s a m et e c h n i q u ew o r k sf o rn - 1 , 6 , a n d 9 ( m o d1 2 ) .

W e d e c i d e dt o m a k et he a d d i t i o n a l - a d j a c e n c yp r o b l e mf o rC a s e 2 m o r ed i f -f i c u l ta n d t o t r yf i n d i n ga n i n d e x1 s o l u t i o n .I t w o r k e d . W e t h e n b e g a nt o h a v eh o p ef o rC a s e s8 a n d 1 1 . W i t h s i m i l a rt e c h n i q u e sC a s e8 f e l ln e x t a n d w i t h i n af e ww e e k sC a s e 1 1 . I t i s a p l e a s u r et o m e n t i o nt h e f a c tt h a t R i c h a r dGu y w a si n a t t h e f i n i s hi n D e c e m b e r .

C h a n g i n gt h e a d d i t i o n a l - a d j a c e n c yp a r t o f t h e p l a n o f a t t a c k m a k e st h er e g u l a rp a r t m o r ed i f f i c u l ta n d ,i n s o m ec a s e s ,i m p o s s i b l ef o rs m a l l v a l u eso f n .I n e v e r y c a s et h a t i s n o t r e g u l a rs u c h a d i f f i c u l t yma y a r i s e ,a n d a d h o cm e t h o d sa r e n e c e s s a r yt o s e t t l et h em a t t e r . A t t h e e n d o f1 9 6 7t h e o n l y c a s e s i nw h i c h( 7 )w a s i n d o u b tw e r en = 1 8 ,2 0 ,2 3 ,3 0 ,3 5 ,4 7 ,a n d 5 9 . W i t h i nt h e p a s t f e ww e e k sw e h a v e h e a r d f r o mJ e a n M N l a y e r ,P r o f e s s o ro f F r e n c hL i t e r a t u r ea t t h e U n i v e r -s i t yo f i L o n t p e l l i e r ,a n d a r e d e l i g h t e dt o l e a r nt h a th e p r o v e d( 7 )f o ra l ln < 2 3d u r i n g 1 9 6 7 .T h e c a s e s n = 3 5 ,4 7 ,a n d 5 9 w e r es o l v e da t t h e e n d o f F e b r u a r y1 9 6 8 .F i n a l l yt h e c a s en = 3 0 w a s s o l v e dw i t h i n t h e p a s t f e w d a y s .

An Example . -We p r o p o s et o i l l u s t r a t et h e s o l u t i o ni n C a s e 8 w i t h a n e x -a m p l e ,n = 3 2 .

T h er e g u l a rp a r t o ft h e p r o b l e mi s t o c o n s t r u c t ac e r t a i nma p w i t h 3 3 c o u n t r i e so n a s u r f a c eS . T h ec o u n t r i e sa r ei d e n t i f i e db y t h e n u m b e r s0 , 1 , 2 , . . . 2 9 ,a n dt h el e t t e r sx , y o ,a n d y i . M o r e o v e r ,

V O L .6 0 ,1 9 6 8 4 4 1

8/10/2019 Solution of the Heawood Conjecture

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8/10/2019 Solution of the Heawood Conjecture

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MATHEMATICS: RINGEL AND Y O U N G S

2 0

i

F I G .3 .

t i o n . H o w e v e r ,a s o l u t i o nt o t h e r e g u l a rp a r t m u s tb e c h o s e ni n s u c h a w ay a st om a k ea s o l u t i o n t ot h e a d d i t i o n a l - a d j a c e n c yp r o b l e mp o s s i b l e .T h i sp a r t i c u l a rs o l u t i o nh a s t h e d e s i r e dp r o p e r t y .

To s o l v et h e a d d i t i o n a l - a d j a c e n c yp r o b l e mw e m u s tl o o k a t p a r t o ft h e o r i e n t -a b l es c h e m eg e n e r a t e db y t h e v o r t e xg r a p h .T h e c o m p l e t ep e r m u t a t i o ni n r o w0 i s o b t a i n e db y r e c o r d i n gt h e c u r r e n t sa s s o c i a t e dw i t h t h e d i r e c t e da r c so n t h ec i r c u i t( w r i t i n g2 9 f o r- 1 , e t c . ) . T h ep e r t i n e n tp a r t i s c o n t a i n e di n t h e p o r t i o n

0 . . . . 1 4 y o 1 6 2 11 x 2 9 . . . 9 25 12226 . . .

Ro w i i s o b t a i n e db y a d d i n gi t o e a c h e l e m e n to fZ a oi n t h e p e r m u t a t i o na b o v e ,a n d l e a v i n gt h ep o s i t i o no fx a n d y ou n c h a n g e d ;h o w e v e r ,y oi s r e p l a c e db y y ,i f k i s o d d . T h ec o m p l e t ep e r m u t a t i o n si n r o w sx , y o ,a n d y i a r e

x . 0 1 2 . . . 2 7 2 8 2 9

y o . 0 1 4 2 8 . . . 1 8 2 1 6

y i . 1 1 5 2 9 . . . 1 9 3 1 7W e n e e d t h ef o l l o w i n gp o r t i o n so fr o w s4 , 5 , a n d 1 8 :

4 . . . . l 8 y o 2 0 . . .

5 . . . . Y 1 . . . x 4 . . . 1 4 0 . . .

1 8 . . . . 0 2 0 1 4 . . .

T h i s p r o v i d e sa p a r t i a lp i c t u r e( F i g .3 ) o ft h e ma p o n S a r o u n d t h e c o u n t r i e s4 , 5 , 1 8 ,a n d 0 .

W e m o d i f yt h e ma p o n S a s i l l u s t r a t e di n ,F i g u r e4 . N o t i c et h a tw e h a v eg a i n e dt h ea d j a c e n c y y o , 5 )a n d l o s to n l y 4 , y o ) .No w c o n s i d e rt h e ma p o fF i g u r e5o n a t o r u s ,i nc o n j u n c t i o nw i t hF i g u r e4 .

E x c i s et h ec o u n t r y5 f r o mF i g u r e4 a n d z f r o mF i g u r e5 . I d e n t i f yt h e b o u n d -a r i e so ft h er e s u l t i n gs u r f a c e si n t h e o b v i o u sw a y . E r a s et h e f r o n t i e rb e t w e e ny oa n d y i ,a n d c a l lt h er e s u l t i n gc o u n t r yy . T h i s i s t h e d e s i r e dm a p .

V O L .6 0 ,1N8 4 4 3

8/10/2019 Solution of the Heawood Conjecture

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MATHEMATICS: RINGEL AND Y O U N G S

F I G .4 .

b

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 5b

F I G .5 .

T h eg e n e r a ls o l u t i o ni s s i m i l a ri n C a s e s2 , 8 , a n d 1 1 . T h ec h a l l e n g ei s a l w a y st o o b t a i n a f e l i c i t o u s d o v e t a i l i n go f t h e r e g u l a ra n d a d d i t i o n a l - a d j a c e n cp a r t so ft h e p r o b l e m .

B o t ha u t h o r sr e c e i v e dp a r t i a ls u p p o r t

f r o mN a t i o n a lS c i e n c eF o u n d a t i o ng r a n t G P 7 0 1 8 .Th e f i r s ta u t h o r i s a v i s i t i n gp r o f e s s o rf r o m t h e F r e e U n i v e r s i t yo fB e r l i n . H e a w o o d ,P .J . , Ma p c o l o u rt h e o r e m ,Q u a r t .J . M a t h .O x f o r dS e r .2 . ,2 4 ,3 3 2 - 3 3 8( 1 8 9 0 ) .

2 H e f f t e r ,L . , t b e r d a s P r o b l e md e r N a c h b a r g e b i e t e ,M a t h . A n n . , 3 8 ,4 7 7 - 5 0 8( 1 8 9 1 ) .3 C o u r a n t , R . , a n d H . R o b b i n s ,W h a t i 8 M a t h e m a t i c ?( N e wYo r k : O x f o r dU n i v e r s i t y

P r e s s ,1 9 4 1 ) ,s e ep . 2 4 8 .4 R i n g e l ,G . , F a r b e n s a t zf u ro r i e n t i e r b a r eF l a c h e nvo m G e s c h l e c h tp > 0 , J . R e i n eA n g e w .

M a t h . ,1 9 3 ,1 1 - 3 8 ( 1 9 5 4 ) .

4 4 4 P R o c .N . A. S .

8/10/2019 Solution of the Heawood Conjecture

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