Some paths

Altiplano Option

B

K

tSPi

ji

,

altrimenti paga 0.

Siano S0,..,Sn gli n componenti del basket, t0,..,tm+1 una serie di date dove t0

rappresenta la data di start dell’opzione, t1,..,tm le date di fixing e tm+1 la data di

scadenza dell’opzione. Definendo K1,..,Kn i Fixing iniziali dei sottostanti e B il livello di barriera, l’opzione paga un coupon C per se almeno un asset S i ed almeno una data di fixing tj, il prezzo del sottostante P al tempo tj è tale che:

Altiplano Option

42%

50%

58%

67%

75%

83% - 1- 0 .5

00 .5

1

0 .035

0.04

0 .045

0.05

0 .055

correlation

spot

pri

ce

Everest Option

Nt

Nt

Nti

jt

jt

jti

t

tti

S

SS

S

SS

S

SSpC

0

0

0

010

10

1

,..,,..,min*%

dove:

p = coefficiente di partecipazione espresso in punti percentuali

Sij = prezzo dell j-mo asset al tempo i

S0j = prezzo dell j-mo asset al tempo iniziale (strike j)

Definiamo una serie di istanti t0,..,tM dove t0 è la data di partenza

dell’opzione e tM la data di scadenza, ed una serie di N sottostanti S1,..,SN.

L’Everest è un’opzione che ad ogni data di fixing ti definisce una cedola C pari a:

Everest Option

- 0 .5 0 0 .5

- 0 .54

- 0 .52

- 0 .5

- 0 .48

- 0 .46

- 0 .44

- 0 .42

- 0 .4

- 0 .38

correlation

pri

ce

Asian Rainbow Option

L’opzione Asian Rainbow è una opzione multi asset con un unico flusso pagabile alla data di scadenza.

Siano S0,..,Sn gli n componenti del basket, t0,..,tm+1 una serie di date dove t0

rappresenta la data di start dell’opzione, t1,..,tm le date di fixing e tm+1 la

data di scadenza dell’opzione. Definendo F1,..,Fn i Fixing iniziali dei sottostanti e K la moneyness dell’opzione, si calcolano, per ogni asset, le medie delle performance realizzate nelle m date di resets secondo la seguente formula:

m

ji

ij

i

i F

FKtS

mePerformanc

1

*1

dove Si(tj) è il valore dell’i-mo sottostante alla data tj.

L’opzione paga, alla data di scadenza, la somma pesata delle n performances realizzate:

n

iii ePerformancWeight

1

*,0max

Asian Rainbow Option

10

15

20

- 1

- 0 .5

0

0 .5

10 .01

0 .02

0 .03

0 .04

0 .05

0 .06

0 .07

spotcorrelation

pri

ce

Cos’è la correlazione?

),)(,(

),(/),cov(,

jjii

jijijiji

E’ una misura di co-relazione (!) LINEARE

Problemi con la correlazione 1

•Che correlazione va usata nelle formule di pricing? (quella del modello..)

– La storica•Calcolata (anzi, stimata) come?

– Quella di mercato cos’è ?–Correlazione implicita:

1

1

1

1

1

1

3231

2321

1312

in modo da replicare i prezzi di mercato

Qualche serie di dati

Correlazioni

Autovalori

Problemi con la correlazione 2

• ..peccato che le correlazioni storiche sono abbastanza diverse da quelle di mercato !

• I prezzi possono risultare molto fuori mercato se si usano le correlazioni storiche.

• Tipicamente la correlazione implicita tiene conto di

– Liquidita’ del prodotto

– Difficoltà di hedging

– Incertezza/mancanza di robustezza dei modelli

Perturbazioni

Automatico se le serie storiche sono lunghe abbastanza (esercizio!). Problemi se si usano pesi nel calcolo di C – ad esempio con EWMA (RiskMetrics ™)

Cambiando i coefficienti di correlazione si rischia di “romperla”! (si perde la definita positività)

Positività semi-definita:Una matrice di correlazione deve essere semi-definita positiva:

nRI x 0),( Cxx

La forma della correlazione..

33(non-diagonal part of )

44

On the facial structure of the set of correlation matrices, M.Laurent, S. Poljak ...

“..it turns out that the spectrum of face dimensions is lacunary and that has polyhedral faces of dimentions up to “

nn

nn n2

If F is a proper face of the following holds:

i. dim(F)=0 (extreme element)

ii. F is an element joining two cut matrices, so dim(F)=1. There are =28 such faces.

iii. F has dim=2

iv. There are 8 faces isomorphic to (dim(F)=3)

44

33

2

8

Facial structure

Lo Zen e l’arte della manutenzione..

Se la matrice di correlazione (stimata) NON è una matrice di correlazione (non e’ definita positiva) come si procede? (Lucas – Higham 2001)

Matrici random

Una matrice random?

Parametrizzazioni

Pinheiro-Bates, Unconstrained parametrizations for variance-covariance matrices

• Cholesky and log-Cholesky

• Spherical

•Spectral (logarithmic, Givens..) COOL!!!

Vantaggi: finalmente possiamo giocare con le C senza timore di “romperle”, price search, risk management(?)

Svantaggi: non c’è una interpretazione chiara dei parametri, troppi parametri!

Average

i

n

iin 1

)1(ii

Finger’s trick - Mixing the time series

1),)(,(

),(1,

jjii

jiji

ConvessitàSi potrebbe pensare di utilizzare il fatto che l’insieme delle matrici di correlazione è convesso e compatto (Krein-Milman) ogni punto è rappresentabile come combinazione convessa dei punti estremali.

nn

Svantaggi: i punti estremali sono troppi.. (vedi prima – facial structure)

I vertici “propri” sono 2n-1 .. E le facce sono “curve”

Provare selezionando “opportunamente” (che vuol dire?) i punti estremali.

Vantaggi: combinazione LINEARE convessa

Un problema equivalente

Riferimenti (in ordine.. casuale)

M. Overhaus, Himalaya options, Risk, March 2002 – see also the other articles in the “Masterclass with Deutsche Bank” series

B. H. Boyer, M. S. Gibson, M. Loretan, Pitfalls in tests for changes in correlations, Board of Governors of the Federal Reserve System, International Finance Discussion Papers, Number 597, March 1999

C. Mounfield, P. Ormerod, Market Correlation and Market Volatility in US Blue Chip Stocks, Volterra Consulting internal report. http://www.volterra.co.uk/docs/correlus.pdf

J.-P. Bouchaud, L. Laloux, P Cizeau, M Potters, Random matrix theory and financial correlations, International Journal of Theoretical and Applied Finance Vol. 3, No. 3 (2000) 391-397

J.-P. Bouchaud, L. Laloux, P Cizeau, M Potters, Noise Dressing of Financial Correlation Matrices, Physical Review Letters, Vol. 83, No. 7 (1999) 1467-1470

Riferimenti – segueV. Plerou, P. Gopikrishnan, B. Rosenow, L. A. N. Amaral, T. Guhr, H. E. Stanley, A Random Matrix Approach to Cross-Correlations in Financial Data, http://uk.arxiv.org/pdf/cond-mat/0108023

P.J. Rousseeuw, G. Molenberghs, The shape of correlation matrices, The American statistician, 48(1994), p. 276-279

M. Laurent, S. Poljak, On the facial structure of the correlation matrices, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 17(3):530--547, 1996 http://www.cwi.nl/ftp/CWIreports/BS/BS-R9501.pdf

c, Master Thesis, University of Manchester, Oct. 2001

N. J. Higham, Computing the nearest correlation matrix-a problem from finance, IMA Journal of Numerical Analysis,Volume 22, Issue 3, July 2002: pp. 329-343

P. Embrechts, A.J. McNeil, D. Straumann, Correlation: pitfalls and alternatives. RISK, May 1999: pages 69-71 http://www.math.ethz.ch/~mcneil/ftp/risk.pdf

Riferimenti – segueP. Embrechts, A.J. McNeil, D. Straumann, Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls . In Risk management: value at risk and beyond, edited by Dempster M, published by Cambridge University Press, Cambridge http://www.math.ethz.ch/~mcneil/ftp/pitfalls.pdf

C. Finger, A methodology to stress correlations, J.P.Morgan’s RiskMetrics Monitor 4th Quarter 1997- http://www.riskmetrics.com/pdf/journals/rmm4q97.pdf

J.C. Pinheiro, D.M. Bates., Unconstrained Parametrizations for Variance-Covariance Matrices, Statistics and Computing, 6, (1996) 289-296