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Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑....

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Physik und Sensorik www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE Chemnitz βˆ™ 8. Oktober 2017 βˆ™ Prof. Dr. Uli Schwarz Spektrale Analyse – Fourier Transformation
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Physik und Sensorik

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Spektrale Analyse – Fourier Transformation

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Physik und Sensorik

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Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals

βˆ†π‘ˆπ‘ˆ =?

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Physik und Sensorik

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Fragestellung: Bestimmung der Amplitude eines verrauschten Signals

βˆ†π‘ˆπ‘ˆ =?

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Physik und Sensorik

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Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

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Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

Fourier-Synthese

𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ” = �𝑛𝑛=0

π‘π‘βˆ’1

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž π‘’π‘’βˆ’I 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

ZeitabhΓ€ngiges Signal 𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž Frequenzspektrum 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ”

ZeitabhΓ€ngiges Signal 𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘ŽFrequenzspektrum 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ”

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž =1𝑁𝑁�

π‘˜π‘˜=0

π‘π‘βˆ’1

𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ” 𝑒𝑒I 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘Inverse Fourier-Transformation, IDFT:

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Fourier-Analyse

𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ” = �𝑛𝑛=0

π‘π‘βˆ’1

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž π‘’π‘’βˆ’I 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

ZeitabhΓ€ngiges Signal 𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž Frequenzspektrum 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ”

Abtastintervall π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž Messzeit 𝑇𝑇 = 𝑁𝑁 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž fΓΌr 𝑁𝑁 Abtast-Punkte

Abstand zwischen zwei Frequenzen: βˆ†π‘“π‘“ = 1𝑁𝑁 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž

oder βˆ†πœ”πœ” = 2 πœ‹πœ‹π‘π‘ π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž

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Fourier-Analyse

𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ” = �𝑛𝑛=0

π‘π‘βˆ’1

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž π‘’π‘’βˆ’I 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

ZeitabhΓ€ngiges Signal 𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž Frequenzspektrum 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ”

= �𝑛𝑛=0

π‘π‘βˆ’1

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž cos 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘ βˆ’πΌπΌ οΏ½

𝑛𝑛=0

π‘π‘βˆ’1

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž sin 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘

πœ‘πœ‘

𝐼𝐼𝐼𝐼

𝑅𝑅𝑒𝑒

π‘Žπ‘Žπ‘’π‘’π‘–π‘–πœ‘πœ‘

𝐼𝐼 π‘Žπ‘Ž sinπœ‘πœ‘

π‘Žπ‘Ž cosπœ‘πœ‘

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Fourier-AnalyseBerechnung der reellen Koeffizienten der Sinus- und Cosinus-FunktionenoderBerechnung der reellen Koeffizienten der Exponential-Funktionen mit imaginΓ€ren Argumenten

1βˆšπ‘›π‘›

π‘Žπ‘Ž0 + π‘Žπ‘Ž1 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž1βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑 + β‹―

π‘Žπ‘Žπ‘–π‘– πœ”πœ”π‘–π‘– = ?

Mit Frequenzen πœ”πœ”π‘–π‘– = 0, Β± 2πœ‹πœ‹π‘‡π‘‡

, Β±2 2πœ‹πœ‹π‘‡π‘‡

, Β±3 2πœ‹πœ‹π‘‡π‘‡

, … und Zeitfenster 𝑇𝑇

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Fourier-Analyse

Signal

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Fourier-Analyse

SignalCosinus 𝑓𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

SignalCosinusSignal x Cosinus

𝑓𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

SignalCosinusSignal x Cosinus

Mittelwert = 0.496= Koeffizient fΓΌr Cos

𝑓𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

SignalSinus 𝑓𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

SignalSinusSignal x Sinus

𝑓𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

SignalSinusSignal x Sinus

Mittelwert = 0.303= Koeffizient fΓΌr Sin

𝑓𝑓1 = 1.00 Hz

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Fourier-Analyse

Spektrale Komponente der Frequenz 𝑓𝑓1 = 1.00 Hz

π‘Žπ‘Ž1 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž1βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑

0.496 cosπœ”πœ”1𝑑𝑑 + 0.303 sinπœ”πœ”1𝑑𝑑 mit πœ”πœ”1 = 2πœ‹πœ‹ 𝑓𝑓1 = 2 πœ‹πœ‹ Γ— 1.00 Hz

Sinus- und Cosinus-Analyse mit reellen Koeffizienten:

Fourier-Analyse mit komplexen Koeffizienten:mit π‘Žπ‘Ž1 = 0.496 + 𝐼𝐼 0.303und πœ”πœ”1 = 2πœ‹πœ‹ 𝑓𝑓1 = 2 πœ‹πœ‹ Γ— 1.00 Hz

πœ‘πœ‘π‘Žπ‘Ž1

𝐼𝐼𝐼𝐼

𝑅𝑅𝑒𝑒

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Fourier-Analyse

SignalCosinus 𝑓𝑓1 = 0.23 Hz

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Fourier-Analyse

SignalCosinusSignal x Cosinus

𝑓𝑓1 = 0.32 Hz

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Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

SignalCosinusSignal x Cosinus

𝑓𝑓1 = 0.32 Hz

Mittelwert = 0.023= Koeffizient fΓΌr Cos

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Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

SignalCosinusSignal x Cosinus

Mittelwert = -0.042= Koeffizient fΓΌr Cos

𝑓𝑓1 = 2.50 Hz

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Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

SignalCosinusSignal x Cosinus

Mittelwert = -0.007= Koeffizient fΓΌr Cos

𝑓𝑓1 = 7.50 Hz

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Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

Fourier Koeffizienten Animated.nb

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Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE23Chemnitz βˆ™ 8. Oktober 2017 βˆ™ Prof. Dr. Uli Schwarz

Fourier-SyntheseAddition von Sinus- und Cosinus-FunktionenoderAddition von Exponential-Funktionen mit imaginΓ€ren Argumenten und komplexen Koeffizienten

1βˆšπ‘›π‘›

π‘Žπ‘Ž0 + π‘Žπ‘Ž1 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž1βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑

πœ”πœ”1 = 1.003 Hz

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Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE24Chemnitz βˆ™ 8. Oktober 2017 βˆ™ Prof. Dr. Uli Schwarz

Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

1βˆšπ‘›π‘›

π‘Žπ‘Ž0 + π‘Žπ‘Ž1 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž1βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑 + π‘Žπ‘Ž2 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”2𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž2βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”2𝑑𝑑

πœ”πœ”1 = 1.00 Hz

πœ”πœ”2 = 1.10 Hz

Page 25: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE25Chemnitz βˆ™ 8. Oktober 2017 βˆ™ Prof. Dr. Uli Schwarz

Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

1βˆšπ‘›π‘›

π‘Žπ‘Ž0 + π‘Žπ‘Ž1 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž1βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑 + π‘Žπ‘Ž2 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”2𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž2βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”2𝑑𝑑 + π‘Žπ‘Ž3 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”3𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž3βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”3𝑑𝑑

πœ”πœ”1 = 1.00 Hz

πœ”πœ”2 = 1.10 Hz

πœ”πœ”3 = 1.20 Hz

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Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE26Chemnitz βˆ™ 8. Oktober 2017 βˆ™ Prof. Dr. Uli Schwarz

Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

1βˆšπ‘›π‘›

π‘Žπ‘Ž0 + π‘Žπ‘Ž1 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž1βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑 + β‹―

πœ”πœ”1 = 1.00 Hz

πœ”πœ”2 = 1.10 Hz

πœ”πœ”3 = 1.20 Hzπœ”πœ”4 = 2.10 Hz

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Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE27Chemnitz βˆ™ 8. Oktober 2017 βˆ™ Prof. Dr. Uli Schwarz

Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

πœ”πœ”1 = 1.00 Hz

πœ”πœ”2 = 1.10 Hz

πœ”πœ”3 = 1.20 Hzπœ”πœ”4 = 2.10 Hzπœ”πœ”5 = 3.11 Hz

1βˆšπ‘›π‘›

π‘Žπ‘Ž0 + π‘Žπ‘Ž1 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž1βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑 + β‹―

Page 28: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE28Chemnitz βˆ™ 8. Oktober 2017 βˆ™ Prof. Dr. Uli Schwarz

Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

πœ”πœ”1 = 1.00 Hz

πœ”πœ”2 = 1.10 Hz

πœ”πœ”3 = 1.20 Hzπœ”πœ”4 = 2.10 Hzπœ”πœ”5 = 3.11 Hz

1βˆšπ‘›π‘›

π‘Žπ‘Ž0 + π‘Žπ‘Ž1 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž1βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑 + β‹―

Page 29: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE29Chemnitz βˆ™ 8. Oktober 2017 βˆ™ Prof. Dr. Uli Schwarz

Frequenz-Spektrum eines (Puls-) Signals

1βˆšπ‘›π‘›

π‘Žπ‘Ž0 + π‘Žπ‘Ž1 eβˆ’πΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑+π‘Žπ‘Ž1βˆ— eπΌπΌπœ”πœ”1𝑑𝑑 + β‹― 50 Frequenz-Terme bis 𝑓𝑓 = 50 Hz

Page 30: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

Physik und Sensorik

www.tu-chemnitz.de/physik/EXSE30Chemnitz βˆ™ 8. Oktober 2017 βˆ™ Prof. Dr. Uli Schwarz

Fourier-Synthese

FourierSeriesOfSimpleFunctions.cdf

Page 31: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

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Fourier-Analyse

Fourier-Synthese

𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ” = �𝑛𝑛=0

π‘π‘βˆ’1

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž π‘’π‘’βˆ’I 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

ZeitabhΓ€ngiges Signal 𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž Frequenzspektrum 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ”

ZeitabhΓ€ngiges Signal 𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘ŽFrequenzspektrum 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ”

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž =1𝑁𝑁�

π‘˜π‘˜=0

π‘π‘βˆ’1

𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ” 𝑒𝑒I 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘Inverse Fourier-Transformation, IDFT:

Page 32: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

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Fourier-Analyse

𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ” = �𝑛𝑛=0

π‘π‘βˆ’1

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž π‘’π‘’βˆ’I 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘

Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

Re, Im

Page 33: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

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Fourier-Analyse

𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ” = �𝑛𝑛=0

π‘π‘βˆ’1

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž π‘’π‘’βˆ’I 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘

Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

Re, Im

Page 34: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

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Fourier-Analyse

Re, Im

Negative FrequenzenPositive Frequenzen

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Physik und Sensorik

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Fourier-Analyse

Re, Im

Wenn die ursprΓΌngliche Funktion reellwertig ist, sind die Fourier-Koeffizienten bei positiven und negativen Frequenzen zueinander komplex konjugiert.

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Physik und Sensorik

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Amplituden-Spektrum vs. Leistungs-Spektrum

Leistung eines elektrischen Wechselspannungs- oder Wechselstrom-Signals:

𝑃𝑃 = π‘ˆπ‘ˆ οΏ½ 𝐼𝐼 = π‘ˆπ‘ˆ οΏ½π‘ˆπ‘ˆπ‘…π‘… =

π‘ˆπ‘ˆ2

𝑅𝑅

𝑃𝑃 = π‘ˆπ‘ˆ οΏ½ 𝐼𝐼 = 𝑅𝑅 οΏ½ 𝐼𝐼 οΏ½ 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼2 οΏ½ 𝑅𝑅

IntensitΓ€t 𝐼𝐼 einer elektromagnetischen Welle mit FeldstΓ€rke 𝐸𝐸(𝑑𝑑):

𝐼𝐼 = πœ€πœ€0 𝑐𝑐 𝐸𝐸2

DielektrizitΓ€tskontante des Vakuums: πœ€πœ€0Lichtgeschwindigkeit: 𝑐𝑐

Leistung ist proportional zum Absolutquadrat der Amplitude.

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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und ImaginΓ€rteil der Fourier-Koeffizienten π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”)

Page 38: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

Physik und Sensorik

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Amplituden-SpektrumFourier-Spektrum: Realteil und ImaginΓ€rteil der Fourier-Koeffizienten π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”)

Page 39: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”) 2 = π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”) οΏ½ π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”)βˆ—

Page 40: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”) 2 = π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”) οΏ½ π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”)βˆ—

𝑓𝑓 =πœ”πœ”2πœ‹πœ‹

β‰ˆ 1 Hz

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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”) 2 = π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”) οΏ½ π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”)βˆ—

Page 42: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

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Leistungs-Spektrum (Power-Spektrum)Absolutquadrat der Fourier-Koeffizienten π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”) 2 = π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”) οΏ½ π‘Žπ‘Ž(πœ”πœ”)βˆ—

Page 43: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

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Fourier-Analyse

𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ” = �𝑛𝑛=0

π‘π‘βˆ’1

𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž π‘’π‘’βˆ’I 2πœ‹πœ‹ π‘˜π‘˜π‘›π‘›π‘π‘Diskrete Fourier-Transformation, DFT:

ZeitabhΓ€ngiges Signal 𝑓𝑓 𝑛𝑛 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž Frequenzspektrum 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝐼𝐼 π‘˜π‘˜ βˆ†πœ”πœ”

Abtastintervall π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž Messzeit 𝑇𝑇 = 𝑁𝑁 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž fΓΌr 𝑁𝑁 Abtast-Punkte

Abstand zwischen zwei Frequenzen: βˆ†π‘“π‘“ = 1𝑁𝑁 π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž

oder βˆ†πœ”πœ” = 2 πœ‹πœ‹π‘π‘ π‘‡π‘‡π‘Žπ‘Ž

Page 44: Spektrale Analyse – Fourier TransformationΒ Β· Fourier-Synthese. 𝐹𝐹. 𝑑𝑑. πΌπΌπ‘˜π‘˜βˆ†πœ”πœ”= 𝑛𝑛=0 π‘π‘βˆ’1. 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑇𝑇. π‘Žπ‘Ž. 𝑒𝑒

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Daten

Zeitfenster

Frequenz

DFTZeit


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