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7/25/2019 STABILIZATION OF FEEDBACK LINEARIZED NONLINEAR PROCESSES UNDER BOUNDED PERTURBATIONS
1/6
WP8- 5:30
STABILIZATION
OF
FEEDBACK LINEARIZED NONLINEAR
PROCESSES
UNDER
BOUNDED PERTURBATIONS
J e a n - P a u l
C a l v e t
a n d Y a m a n A r k u n
S c h o o l o f C h e m i c a l
E n g i n e e r i n g
G e o r g i a I s t i t u t e of T e c h n o l o g y , A t l a n t a , GA
3 0 3 3 2 - 0 1 0 0
ABSTRACT
I n
t h i s
p a p e r ,
w e c o n s i d e r t h e
p r o b l e m
o f
d e s g n i a g
a
s t a b i l i n g
l i s e r
c o n t r o l l e
f o r
a
f e e d b a c k
l n e a r i z e d n o n l n e a r
s y s t e m
u n d e r
t h e
i n l s u e n c e
o f
b o u n d e d
p e r t u r b a t i o s .
T h e f e e d b a k
l i n e a r i z e d
( a n d p r t u r b e d )
n o n l i n e a r
s y s e m
i s
e q u i v a l e n t
t o
a
Q u a s i
L i n e a r
S y s t e m .
A s u f i c e t
c o n d i t i o n
u s i n g L y a p u n o v
s t a b i l i t y
t h e o r y
i s
p r e s n t e d
t o
o b t a i n
a l i n e a r s t a t e
f e e d b a c k
c o n t r o L l e r
s t a b i l i z i n g
t h e
Q u a s i
L i n e w
S y s t e m
a n d
t h e
nonear
s y s t e m
a w e l L
k t m e t h o d
i s
g i
t o
o b t i n
t h
l e a s t c o n s e r a t i v e
( s m a l e s t )
s t b i l i i n g g a i n .
T h e r e s u a r e
a p p l i e d
o n
a
c h e m i c a l
r e a c t o r .
1
INTRODUCTION
T h e
t h e o r y
o f
d i f f e r e n t i a l
g e o m e t r y
o c c u p i e s
a
m a j o r
p o s i -
t i o n
i n t h e
f i e l d o f c o n t r o l
t h e o r y
f o r
n o n l i n a r s y s t e m s
[ 1 ] .
I n r e c e n t
y e a r s ,
s v e r a l
c o n t r o l
a p p l i c a t i o n s
o f d i f f e r e n t i a l
g e -
o m e t r y h a v e
a p p e a r e d
i n
a e r o s p a c e e n g i n e e r i n g
[ 2 ] ,
r o b o t i c s
[ 3 ] ,
p o w e r
s y s t e m
[ 4 1
a n d
c h e m 7 i c a l eneerg
1 7 .
H o w -
e v e r ,
t h e
c o n t r o l
l i t e r a t u r e
d e l i n g w i t h
d i f f e r e n t i a l
g e o m e t r y
a s
a p p l i e d
t o
n o n l i n e
s y s t e m s
p e r t u r b e d
b y
m o d e l e d
d i s -
t u r b a n c e s
i s
s p a r s e .
I n
t h i s
p a p e r ,
we
g i v e
some n ew
r e s u t s
a d d r e s s i n g t h i s
p r o b l e m .
O u r
r e c e n t
w o r k
h a s
s h o w n t h a t u n d e r
t h e
f e e d b a c k
l i n -
e a r i z a t i o n t r a n s o r m a t i o n s
a
p e r t u r b e d
n o n l i n e a r
s y s t m
i s
i n
g e n e r a l
n o
l o n g e r
t r a n f o r m e d
t o
a l i n e a r
s y s t e m
b u t
t o
a
s o
c a l l e d
Q u a s i
L i n e a r
S y s t e m ( Q L S )
1 8 1 .
T h i s
Q L S
i s
t h e n a f f e c t e d
b y
n o n l i n e a r i t i e s
o n l y
d u e t o
a s t a t e
d e p e n -
d e n t
p e r t u r b a t i o n
c o u p l e d
w i t h
t h e
e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s .
I n
t h i s
p a p e r ,
w e
g i v e
a
s u f f i c i e n t
c o n d i t i o n
w h i c h
g u a r a n -
t e e s
t h a t
s u c h
a
Q L S
c a n
b e
s t a b i l i z e d
b y
a
l i n e a r
c o n t r o l l e r
i n a n
a r b i t r a r i l y
s m a l l
n e i g h b o r h o o d
o f t h e
o r i g i n
i n t h e
p r e s -
e n c e o f
b o u n d e d d i s t u r b a n c e s . E q u i v a l e n t l y ,
t h i s meas
t h a t
t h e
o r i g i n a l
p e r t u r b e d
n o n l i n e a r
s y s t e m
i s
s t a b i l i s e d
a r o u n d
i t s
o p e r a t i n g c o n d i t i o n .
T h i s
s u f f i c i e n t
c o n d i t i o n
i s d e r i v e d
f r o m
L y a p u n o v
t h e o r y
a n d
t h e
s t a b i l i
g a i n s
o f t h e
l i n -
e a r
c o n t r o l l e r a r e
o b t a i n e d
b y
s o l v i n g
a n
A l g e b r a i c
R i c c a t i
E q u a t i o n .
H o w e v e r ,
b e c a u s e
o f i t s
s u f f i c i e n c y ,
t h e
m e t h o d
i s
i n h e r e n t l y
c o n s e r v a t i v e .
T h e r e f o r e ,
a
p r o c e d u r e
t o o b t a i n
t h e
l e a s t c o n s e r v a t i v e r e s u l t i s
g i v e n .
A s
a n
e x a m p l e ,
we
a p p l y
t h i s
m e t h o d t o a n u n s t a b l e
c h e m i c a l r e a c t o r
p e r t u r b e d
b y
v a r i o u s
d i s t u r b a n c e s .
T h e
f o l l o w i n g
n o t a t i o n
i s u s e d
t h r o u g h o u t
t h e
p a p e r :
An
e i g e n v a l u e
o f a
s q u a r e
m a t r i x W i s
d e n o t e d
b y
A ( W ) .
I f W
i s
s t r i c t l y
p o s i t i v e
d e f i n i t e
a n d
s y m e t r i c ,
t h e n
V ' ( W )
a n d
A \ ( W )
a r e
i t s m a x i m u m
a n d
m i n i m u m
e i g e n v a l u e s
r e s p e c t i v e l y .
A l s o
' w
=
A * ( W ) / A * ( W )
i s i t s
c o n d i t i o n
n u m b e r . T h e n o t a t i o n
1 1 1 1
s
t h e
u s u a l
E u c l i d i a n norm.
2
TRANSFORMATION
C o n s i d e r
a
n o n l i n e a r
s y s t e m
( N L S )
o f t h e
f o r m
i
=
f
( x )
+
g ( s ) u
+ *()d
0
=
f ( z o )
+
g ( o ) u o
( 1 )
( 2 )
w h e r e
s ( t )
61
,
d ( t )
E
R P , u ( t )
E R .
f ( z )
a n d
g ( s )
a r e
s m o o t h
v e c t o r
f i e l d s
a n d W ( s )
i s
a
m a t r i x
o f
a p p r o p r i a t e
d i -
m e n s i o n w i t h s m o o t h
s a l a r
f u n c t i o n
e n t r i e s . N o t e t h a t t h i s
p a r t i c u l a r
n o n l i n e a r
s y s t e m
i s l i n e a r
w i t h
r e s p e c t
t o i t s
c o n -
t r o l i n p u t
a n d
d i s t u r b a n c e s .
U n d e r t h e s t a t e a n d
i n p u t
t r a n s f o r m a t i o n s
z
=
T ( s )
u
=
( 4 )
+f ( x ) u
( 3 )
( 4 )
w h e r e T
i s
a l o c a l d i f f e o m or p h i s m w i t h
T ( x o )
=
O
a n d
( z )
5
O
i n
a n e i g h b o r h o o d
U o
o f s o , t h e NLS c a n
b e
t r a n s f o r m e d
t o
a
Q u a s i
L i n e a r
S y s t e m
d e s c r i b e d
b y
i
=
A z
+ Bv +
C ( z ) d
( 5 )
( A ,
B )
i s
a n y
c o n t r o l a b l e
m a t r i x
p a i r
u s u a l l y
g i v e n
i n
t h e
B r u n o v a k y C a n o n i c a l F o r m ( B C F ) . T h e
s t a t e
d e p e n d e n t
p e r -
t u r b a t i o n
s ( z ) d
i n
( 5 )
i s g i v e n
b y
ax=aT)
a . - t ( s )
w h e r e
(j)
d e n o t e s t h e J a c o b i a n m a t r i x . N e c e s s a r y a n d
s u f -
f i c i e n t
c o n d i t i o n s
g u r n t e e i n g
t h e e x i s t e n c e o f
t h e s e t r a n s -
f o r m a t i o n s
c a n b e
f o u n d
i n
[ 8 ] .
3
STABILIZING
A
QLS
T h e
p r o b l e m
we a d d r e s
i n
t h i s
p a p e r
i s
t o s t a b i l i z e
a
n o n l i n -
e a r
s y s t e m
u n d e r
t h e
i n f l u e n c e
o f
d i s t u r b a n c e s
d e s c r i b e d
b y
( 1 )
t h r o u g h
i t s
e q u i v a l e n t Q L S .
M o r e
s p e c i f i c a l y ,
we
a t t e n d
t o
s o l v e t h e f o l l o w i n g p r o b l e m .
We
a s s u m e
t h a t
t h e
s e t
o f ( t i m e v a r y i n g ) d i s t u r b a n c e s i s
b o u n d e d b y
a
k n o w
v a l u e D
a s
i n
d ( t )
E
OD
=
{ d E
R P ;
I k d l I
T . T h e
c o n t r o l
v g ( t )
i s
t h e n
c a l l e d
a - s t a b i i z a b l e
c o n t r o l .
W e
c a n n o w
s t a t e a
t h e o r e m w h i c h
g i v e s
a
u f f i c i e n t
c o n -
d i t i o n
f o r
6 - s t a b i l i t y
o f
a
Q L S .
F i r s t we
r e q u i r e
t w o
k e y
a s
s u m p t i o n s .
A . 1 :
T h e
S t A e
d e p e n d e n t p e r t u r b a t i o n
o f
t h e QLS l i e s
i n
t h e
c o n t r o l
i n p u t
s p a c e , i . e .
3
X ( z )
s . t .
s ( z ) d
=
B X ( z ) d
7 4 7
7/25/2019 STABILIZATION OF FEEDBACK LINEARIZED NONLINEAR PROCESSES UNDER BOUNDED PERTURBATIONS
2/6
A . 2 :
X(z)
a s
a
statt
p p e r
b o u n d
i n
a b a l B ( f ) :
3
( p , p )
ER
a
. t .
l I x ( ) 1 1
0 , t h e t h e C o n t r o I l W
9 ( t )
-
R R - ' B P z ( t )
( 6 )
( 7 )
i s a
5 - t a b i l i z i n g
c o n t r o l
f o r t h e QLS f o r
a l l
i n i t i a l c o n d i t i n
i n
B ( r / 1 / j
w i t h
r -
0 ,
R=
R T
m u c h
t h a 2R1
- I
>
0
a n d
>
0
[ 1 1 ] . H o w e v e r ,
t h i s i s n o t
a l w a y s
t r u e f o r
t h e
A R E ' .
A s
men-
t i o n e d e a r l E i r ,
t h e
m a t r i x p a i r ( A ,
B )
i s
u s u a l l y t h e
B C F .
W i t h
t h i s
p a r t i c u l a r f o r m , F i g . l
a n d
F i g . 2
g i v e
t h e p l o t s
o f
t h e s t a b i l i z i n g
g a i n s f o r
a
2 -
d i n i o n a l
y s t e m
a n d f o r
t h e
t w o
A l g e b r a i c
R i c c a t i E q u a t i o n s
( A R E
a n d A R E ' ) .
F o r
t h e
ARE
we
c h o s e H
=
I a n d
R
=
1 . H o w e v e r
f o r t h e
A R E '
t h e m a t r i x
P m a y n o t
e x i s t
f o r
l o w
v a l u e s o f e .
We
t h u s
h a d
t o p i c k
H
=
I
a n d
R
=
0 . 1 w h i c h
g a v e
t h e l a r g e s t
r a n g e
o f
v a l u e s
o f
e
f o r w h i c h
t h e
A R E '
h a
a s o l u t i o n . N o t e t h a t ,
f o r
t h e
A R E ' ,
t h e
a b i l i z i n g
g a i n s
t e n d
t h e
i n f i n i t y
m
e
t e n
t o
i t s l o w e s t n o n s e r o
v a l u e
( w h i h d e p e n d s o n
R ) .
H o w e v e r , f o r
t h e A R E , t h e g a i n s
t e n d
t o i n f i n i t y
-
e
t e n d s
t o
z r . T h e s e
t w o
p l o t s
o b t a i n e d
w i l l
b e
u m f u
i n t h e
e x a m p l e .
I t
i s
w o r t h
n o t i n g
t h a t
a s e
i a c r c e a ,
t h e
s t a b i l i z n g g d e c r e .
i n
a
m o o t o n i c
w a y
A s s m p t i o n 2
i s
t h e
mot
c r u i a l
I I t q u a n t i -
f i e s
i n
a
w a y
t h e
mau
o f
t h e n n l i n e r p e t u r b a t i o
t h r o u g h t h e
v a l u e
o f
t w o
c o n a n
p
a n d
p .
T h e
c h a l l e
i n
t h i s
m e t h o d
i s
n o t t o s o l v e t h e
A l p b r a i c
R i c c a t i E q u a t i o n
w h i c h
i s
u s u a l y
a n
e a s y
t a k ;
b u t
r a t h e r ,
t o f i n d t h e
c o n -
s t a t s
p
a n d
p
w h i c h a r e n o t
u n i q u e
s o t h a t
A s u m p t i o n
2 i s
s a i s f i e d .
I n
gral,
a s s u m i n g
t h a t t h e b o u n d
o f
t h e
d i s t u r b a n c e s D
i s
Ib
a n d
t h e
r e g i o n
o f s t a b i l i z a t i o n ( i e .
5 )
i s
f i e d ,
t h s m e t h o d w i l l
g i v e
h i g h e r
- n
t h a n
n o c e m
i
o r d e r
t o
g u a r a n t e e
5 - s t a b i l i t y
d o a
Q L S .
e n c ,
g i e n
t w o a l d
p a i r s
o f
c o s a t s
( n ,
P i )
a n d
( P 2 , p 2 ) ,
we
w i l l
s a y
t h a t
o n e . p a i r
g i V W
l e e
c o n s e r v t i v e
r e s l i f
f o
a
-
s e t o f
p
H o ,
R
a n d
e , i t g i v e
sl
5 s a b i l i i g
g i n s t h a t h e
o t h e r
-.
We i l l u s t a e t h i s f i c t
i n
F i g . 3 :
t h e
c u r e
g a i u i n e
sos
i b
e
t r e n d
O f t h e
s
gu m
w h e r a s
t h e
' - c u r v e s
C 1
a n d
C 2
s h o w t h e t e d
o f
V
f o r
t w o p u i n e
o f
c o n s t a n i t s
( n . i )
a n d
( n , p z ) .
We
- e
t h a t f o r c
t h e
c u r v e
C l
( G )
i s b e l o w c u r v e . C
( C 1 ) .
F o r t
c
o r r e p M d f i - t o e
c
I
( e
>
r )
c u r V e
C i
( C )
W i l
g i v e
sl
s t a b i l i z i n g
t h a n
C
( C 1 ) .
H e n c e ,
we
r c n z th a t t h e c u r v e
b e l o w t h e
o t h e r
o n e w i l l g i
e
on
r e s u l t s .
I n
t h e
e x a m p l e
we
w i l l
b e
a b l e
t o
d e t e m i n e
s n a g
a l l
t h e
p o s i b l e
p a i r s
o f
c o n s t a t
p
a n d
p
t h e o n e
w h i c h w i l l
g i v e
t h e l e c o n e r v a i v e
- r e s u l t .
A c c o r d i n g
t o t h e
h e o r e n e m ,
f o r
a
s p e c i f i e d
S w e m u s t
h a v e
> 5 ' . F i g . 3 s h o w n
t h a t
s a
t h i s
f i x e d v a l u e
5 ,
t h e
s t a b i l i z i n g
g a i n
d .
T h e r o r e t h e
l e s
c o n s r v -
t i v e
gai
w i l l b
o b t a i n e d
a s we l e t 6
S .
We r e s u m e
t h e
p r o c e d u r e
i n
f o u r
s e p s .
1 . S o l v
t h e
ARE
( i f
2
i s
t i e )
o r
A R E '
i f
A . 2 '
i s
s a t i s -
l d )
2 .
F i d t h e
b e t
p a i p
ad
p
wh h
g i
t h e l e a s t
c o a e r v a t i v
P ' - c r m v e
t s . g i v e a , p i k P
* s o t h a t P 6 0 - -
5 ( b u t
s W i U S >
$ ) . a a d . s e t E
f r o m
t h e
V - _ c u r V e .
4 .
C a l u a e
t e
b
g
g a i s
f r o m
t h e
g a i n
v a s e
e
c u r e
4
APPLICATION
A s an
i l l u s t z W a i o n ,
we
now
sow
t h a t
t h e s a n d a r d
CSTR
m o d e l
p e r t u r b e d
b y
f u c t u a t i o n s
i n t h e
f e e d
t e m p e r a t u r
a n d
t h e f e e d
c o n c e n t r a t i o n
f a l l s i n t o
t h e
c a t e g o r y
o f
n o n l i n e a r
s y s -
t e m
d e s c r b e d
b y ( 1 )
a n d
c a n
b e
r n s f o r m e d
i n t o
a
Q L S .
We
w i l l s t a b i l i z e
t h e
CSTR
u n d e r
t h e
i n f l u e n c e
o f
d i s t u r b a n c e ( s )
i n a n
a r b i t r a r y n e i g h b o r h o o d
o f an u n s t a b l e
o p e r a t i n g
c o D i
t i o n
b y
d e s i g n i n g
a l i n e a r
s t a b i l i z i n g
c o n t r o l
f o r
t h e
e q u i v a -
l e n t
Q L S .
T h e
o n l y
k n o w l e d g r e q u i r e d
a b o u t
t h e
s e t
o f
( t i m e
v a r y i n g )
d i s t u r b a c e ( s )
w i l l
b e i t s
b o u n d .
7 4 8
7/25/2019 STABILIZATION OF FEEDBACK LINEARIZED NONLINEAR PROCESSES UNDER BOUNDED PERTURBATIONS
3/6
4 . 1 T r a n s f o r m a t i o n
o f
a
CSTR
Model
i n t o a
QLS
T h e
d i m e n o n l e s m o d e l o f
a f i r s t o r d e r
e x o t h e r m i c
i r .
v e r s i b l e r e a c t i o n t a k i n g p l a c e
i n a CSTR i s
g i v e n
b y [ 1 2 ,
1 3 ] .
[
2
]
f [ 2 ( X ) ] I
0
] [ d 2
w i t h
r
f
( Z )
-
[
- x i
+
D a ( 1
-
z i ) a p
n e z
s ] 1
l f 2 ( Z )
L-x +
B D 0 ( 1 - : l ) c P
[ i . 4
P I - ( 2 - 2 . )
]
w h e r e
z
a n d x 2 a r e
t h e
d i m e n s i o n l e s
c o m p o s i t i o n
a n d
t e m -
p e r a t u r e r e s p e c t i v e l y . D a , B , v , ,
a n d
z 2 2 f
a r e t h e s t a n d a r d
d i m e n s i o n l e s
p a r a m e t e r s
1 1 2 ]
a n d
d i
a n d d 4 a r e
t h e
d i m e n -
s i o n l e s
f e e d
t e m p e r a t u r e
a n d f e e d
c o m p o s i t i o n
f l u c t u a t i o n s
- e s p e c t i v e l y
1 7 ] .
T h e
c o n t r o l v a r i a b l e u
i s
t h e d i m e n s i o n l e s
t e m p e r a t u r e
o f
t h e
c o o l i n g
j a c k e t
u n i t .
N o t e t h a t
t h i s
s y s -
t e m
i s i n d e e d
l i n e a r
w i t h
r e s p e c t
t o t h e
c o n t r o l v a r i a b l e
a n d
t h e
s e t o f
d i s t u r b a n c e s ;
t h u s
t h e CSTR m o d e l
i s o f t h e
f o r m
d e s c r i b e d b y ( 1 ) .
I n
t h e
s q u e l ,
we w i l
s e l e c t
t h e d i m e n -
s i o n l e s
p a r a m e t e r s
t o
b e :
Da
=
0 . 0 7 2 ,
B
=
8 ,
P
=
0 . 3 ,
u
=
2 0
a n d
z 2 g o
= 0 . W i t h t h e s e
p a r a m e t e r s ,
t h e
CSTR
e x h i b i t s
a n
i p i t i o n / e x t i n c t i o n
b e h a v i o r . We w i l l
o p e r a t e
a t
t h e u n a b l e
o p e r a t i n g
c o n d i t i o n
u s
=
- 0 . 2 0 ,
:7
= 0 . 5
a n d
7
=
3 . 0 3 s a t i d s
g
( 2 ) .
N o w ,
c o n s i d e r
t h e
s t a t e
a n d
i n p u t
t r a n s f o r m a t i o n s
Z
=
T ( z )
=
X 1
-
z p
Z s
=
T , ( X )
=
f i ( z )
vJ< d T C , , f
>
+u
( 8 )
( 9 )
w h e r e c
. , .
>
d e n o t e s
t h e i n n e r
p r o d u c t .
N o t e
a l s o t h a t t h i s
s t a t e
pce
c o o r d i n a t e
t r a n s f o r m a t i o n
m a p s
z 9 '
t o
t h e
o r i g i n
i n t h e s - s t a t e
s p a c e
( i . e .
T ( t ' )
=
0 ) .
T h e n
u n d e r t h e s e
t r a n s f o r m a t i o n s ,
t h e
CSTR m o d e l
i s
t r a n s f o r m e d t o t h e
Q L S
[ ~ ~ ~ ~ ~
+
v
[
+ ( Z ) [
,l
( 1 0 )
w i t h
S(z)-[2
]-1
1 + X 2 I v ) 2 D a
c X p
D< ;
1-la
c a : p
[*
T
- ( s )
( 1 1 )
w h e r e t h e i n v e r s e
t r a n s f o r m i o n
-
T - ' ( z )
i s
o b t a i n e d
t h r o u g h
t h e
o n e t o o n e m a p p i n g
o f t h e
s t a t e
t r a n d o r m a t i o n
=
z i +
x 7
x 2
=
v n
f D t - + - 1 + - s
, I ] / (
[ 2 2 X - 1 - s
,
( 1 2 )
I t
i s
i m p o r t a n t
t o
r e a l i z e
t h a t t h e
on e
t o o n e
m a p p i n g
b e t w e e n
t h e n o n l i n e a r
m o d e l
a n d
t h e
e q u i v a l e n t
Q L S
i s
r e -
s t r i c t e d t o a
n e i g h b o r h o o d
o f
t h e
o p e r a t i n g
c o n d i t i o n
t'
i n
x - t a t e s p a c e
a n d
t o
a
n e i g h b o r h o o d
o f
t h e
o r i g i n
i n s - s t a t e
s p a c e .
We
c a n
f i n d
t h e
b o u n d a r i e s
o f
t h i s
n e i g h b o r h o o d .
F i r s t ,
t h e
i n p u t
t r a n f o r m a t i o n
r e q u i r e s
P ( s )
=
t o
b e
n o n z e r o ,
t h i s i s
e q u i v a l e n t
t o
: ,
1
( n o t e
t h a t
s i
=
I
m e a n s
f u l
c o n v e r s i o n ) .
I n
o t h e r
w o r d s ,
i n
t h e
t a t e
s p a c e
we a r e r e s t r i c t e d
t o
-:7
< c i
z
N e x t
we
i d e t i f y
t h e
corr
o n t he
l i n e
( p u
=
ph,pu)
a n d
p i c k
any
othe
p a
a b o v e
t h e l i n e ( p , I
>pg
Thenthe
p l o t
of
a
a
afction
of eshow
that
the
cure
p*
b y
( m i , P u A )
is
below
the
curvep
t
d
b y
,)
f o r
a l l
v a l u e
ofi.
HEnc,
we r e a l i z e
t h a t
a
p - r
cated
on
t h e l i n e
is
alway
l 1
t h a n
anyothe
Pair
above
the li ne.
By
the
s i m i l r
argument
any
p a i r
on
t h e ie
a n d - o n the
lft o f
p o i n t
A
i v e
mo cons vatie
result than
any
othe
-
on
th e
l i n e . W e
t h u s r e s t r i c t
our
s t u d y t o
t h e
s e g m e n t AB
w h e r e we
have
=
2 - 2
0u
e p d . .
+
f l
( 1 4 )
I n
o r d e r
t o
f i n d
t h e
b e a t
p a i r ,
w e
n e e d
t o
m i n i m i z e
t h e
e x p r e s i o n
o f
?
( w i t h c
f i x e d )
a s
a f u a c t
o f 4 p L w i t h
L
g i v e n b y ( 1 4 ) .
We
g e t e a s i y
I d 8 2 )
)
=
0 *
A . ( H )
-
Yp
=
0
Hec,
f
D
t h e n
2
7/25/2019 STABILIZATION OF FEEDBACK LINEARIZED NONLINEAR PROCESSES UNDER BOUNDED PERTURBATIONS
5/6
5
CONCLUSION
T h i s p a p e r o l v e s
t h e
p r o b l e m
o f
s t a b i l i z i n g
a
n o n l i n e a
a y e
t e m
i n
a
n e i g h b o r h o o d
o f
i t s
o p e r a t i n g
c o n d i t i o n u n d e r
t h e
i n f l u e n c e
o f
a n y
b u t b o u n d e d d i s t u r b a n c e .
T h e
n o n l i n e a r
s y s t e m
i s f i r s t w m m e d t o b e f e e d b a c k
l i n e a r i z a b l e t o
a
s o -
c a l l e d
Q L S . T h e n a L s i a r c o n t r o l l e r
i s
b u i l t
s t a b i l i z i n g
t h e
Q L S
a n d
t h e
n o n l i n e a r
s y s t e m
a s w e l l . Two
k e y
a s u m p -
t i o n s a r e r e q u i r e d :
( i )
a
d i s t u r b a n c e
m t c h i n g
c o n d i t i o n
a n d
( i i )
a b o u n d
o n
t h e n o n l i n e a r
s t a t e
d e p e n d e n t
p e r t u r b a t i o n .
T h e n
w e
a r e a b l e
t o
d e i g n
a
l i n e a r
c o n t r o l l e r
s t a b i l z i n g t h e
n o n l i n e a r
s y s t e m
i n
a n
a r b i t r a r i l y
s m a l l
n e i g h b o r h o o d
o f
i t s
o p e r a t i n g
c o n d i t i o n . T h e f i r s t
a s u m p t i o n
c a n h o w e v e r
b e
r e l a x e d
b u t
t h e
m e t h o d ,
i n o u r
a p p l i c a t i o n ,
s h o w s
t h a t
we
c a n t o l e r a t e
o n l y d i s t u r b a n c e s
w i t h
s m a l l
m a g n i t u d e
a n d
w e
c a n o t
g u a r a n t e e 8 s t a b i l i t y
i n
a n y
r b i t r a r i l y
s m a l l
n e i g h -
b o r h o o d .
W e a l s o
g i v e
a
p r o c e d u r e
w h i c h l e a d s
t o
t h e
l e s t
c o n s e r v a t w e
r e s u l t s
w i t h t h i s
a p p r o a c h . F i n a l l y ,
t h i s
m e t h o d
c a n b e e x t e n d e d
t o 6 - s t a b i l i z a t i o n
w i t h
n o
s t e a d y
s a t e
o f f s e t
o f o n e
o u t p u t b y
a d d i n g i n t e g r a l
a c t i o n i n t h e c o n t r o l
l a w .
R e s u l t s
a r e
a v a i l a b l e i n
[ 1 5 ] .
REFERENCES
[ 1 ] I s i d o r i
A . ,
N o n l i n e a r
C o n t r o l
S y s t e m s :
An
I n t r o d u c t i o n , '
( L e c t u r e
N o t e s
i n
C o n t r o l
a n d
I n f o r m a t i n
S c e k n c e s ,
V o L
7 2 ) .
N e w
Y o r k :
S p r i n g e r - V e r a g , 1 9 8 5 .
[ 2 J
M e y e r ,
G . ,
S u ,
R . , H u n t , H .
R . ,
A u t o m a t i c a ,
V o L
2 0 , N o . 1 ,
p p . 1 0 3 - 1 0 7 , 1 9 8 .
[ 5 ]
T u n ,
T .
J . , B e i c y ,
A .
K . , I i d o r i ,
A . ,
C h e n ,
Y . ,
P r o c .
2 3 r d
I E E E C D C ,
L a s
V e g a s ,
N V ,
p p .
7 3 8 - 7 1 ,
D e c e m b e r
1 9 8 4
[ 4 ]
M a r i n o ,
R . ,
I E E E b - a n s . A u t o m .
C o n t r o l , V o l .
A C - 2 9 ,
N o .
3 ,
Marh
1 9 8 4 .
[ 5 ]
H o o ,
K .
A . , a n d K a n t o r ,
J .
C . , C h e m .
E u g . C o m m u n . ,
V o L
4 8 ,
3 8 5 ,
1 9 8 7 .
[ 8 ]
K r a v a r i s , C . , a n d
C h u n g ,
C . B . , A I C h E
J o n a l ,
V o L
3 3 , p p .
5 9 2 - 6 0 3 ,
1 9 8 7 .
[ 7 ]
C a l v e t , J . P . ,
a n d
A r k u n ,
Y . ,
I n d u s t r i a l a n d
C h e m i s t r y
R e -
s e a r c h ,
V o L
2 7 , N o . 1 0 ,
p p .
1 8 2 2 - 1 8 3 1 ,
1 9 8 8 .
[ 8 ]
C a l v e t , J - P . ,
a n d
A r k u n ,
Y . ,
I n t .
J .
C o n t r o l , V o l .
4 8 ,
N o .
4 ,
p p .
1 5 5 1 - 1 5 5 9 , 1 9 8 8 .
[ 9 ]
S c h m i t e n d o r f ,
W.
E . ,
I n t .
J .
C o n t r o l , V o L
4 7 , N o .
1 , p p .
8 5 9 5 ,
1 9 8 8 .
[ 1 0 ]
C o r l a , M . ,
a n d
L e i t m a n n ,
G . ,
I E E E
f r a n a .
A u t o m .
C o n t r o l ,
V o l
A C - 2 6 ,
N o . 5 , p p .
1 1 3 9 - 1 1 4 4 , 1 9 8 1 .
[ 1 1 1
K w a k e r n a a k ,
3 J
N . ,
a n d
S i v a n , R . ,
' L i n e a r O p t i m a l
C o n t r o l
S y s t e m s ' .
W i l s y - I n t e r a c i e n c e ,
1 9 7 2 .
[ 1 2 ] U p p a l ,
A . ,
R a y , W . H . , a n d
P o o r e ,
A .
B . ,
C h e m .
E n g . S c i . ,
V o L 3 1 , p p . 2 0 5 - ,
1 9 7 6 .
[ 1 3 ]
R a y ,
W . H . , P r o c .
o f
F o u n d . C o a f .
o n
C h e m i c a l
P r o c e s
C o n t r o L
S e a
I s l a n d , G e o r g i a ,
1 9 8 1 .
[ 1 4 1
F r n k l i n ,
J .
N . ,
' M a t r i x T h e o r y ' .
E n g l e w o o d C U i f t r P r e n t i c e -
H a l l ,
p p .
1 4 1 - ,
1 9 8 8 .
[ 1 5 ] C a l v e t , 3 - P . ,
a n d
A r h u n , Y . ,
s u b m i t t e d
t o
C o m p u t e a n d
C h e m i c a l E n g i n e e r i n g .
APPENDIX
P r o o f :
C o n s i d e r
a
c a n d i d a t e
L y a p u n o v
f u n c t i o n
V ( z )
=
T P : .
W i t h
t h e c o n t r o l
l a w
g i v e n i n ( 7 ) a n d
a c c o r d i n g t o
A . 1 t h e
c l o e d -
l o o p
s y s e m
i s d e s r i b e
b y
i
=
Az-BR'BTPs
+
B X ( z ) 4 .
T h e n
t h e d e i v a t i v e o f V i s
g i v e n b y
L ( x , t )
=
V ( x ( t ) )
=
2TP(As
-
BT1BYPx
+
B x ( z ) d )
B u t
2 t N r P A x
=
x(PA +
A T P ) z
a d i n s i d e
B ( r )
we
h a v e
2 T P B X ( x ) d
6 / , A / i
b u t
I I z t 1
c
f
v
t
E
1 0 ,
T 1
w i t h
T
A ( p ) ( r 2
-
6 2 / 7 p 2 )
Q ( 6 2 / y p
- 4 2 )
( 2 1 )
( 2 2 )
N o t e t h
T
i s
p o s i t i v e .
T h e n
A . ( P ) ] I z ( T ) ] P
6 / /
i T p
w e
h a v e
- Q l l ( r ) l l 2