STATİK DENGE VE KUVVET ANALİZİ Static Equilibrium and Force Analysis
Bu bölümde durağan halde dengede olan rijit sistemlere etki eden kuvvetlerin hesaplanması görülecektir.
In this chapter we learn the detarminaton of the forces acted on rigid systems at equilibrium
Denge Şartı: • Bir sistemin dengede olmasının şartı üzerine etki eden kuvvetlerin bileşkesinin ve bir noktaya göre
momentinin sıfır olmasıdır. • The static equilbrium condition of a system is that the resultant force and moment are zero. • Bu şart uzayda 2 vektörel denklem veya 6 skaler lineer (1nci dereceden) denklem, düzlemde ise 2
vektörel denklem veya 3 skaler lineer denklem ile ifade edilir. • This condition is expressed in space (3D problems) by 2 vectoral or 6 scaler equations, in plane (2D
problems) by 2 vectoral or 3 scaler equations. • (Statikçe belirli, yani izostatik sistemler için)Bu denklemler kullanılarak sisteme etki eden tüm kuvvetler
hesaplanabilir.
3 boyutlu durumda vektörel denge denklemleri ( 2tane ) 2 independent Vectoral equlibrium equations
3 boyutlu durumda skaler denge denklemleri ( 6 tane) 6 scaler independent equations for 3 Dimensional problems
2 boyutlu durumda skaler denge denklemleri ( 3 tane) 3 scaler independent equations for plane problems
Örümcek adamın son numarası
Püf Noktası 4.2 (sıkça yapılan bir hata): Problemlerde bilinmeyen sayısı, denklem sayısından fazla olursa, farklı bir noktaya göre moment alınıp bir denklem daha elde edilebilir gibi bir yanılgı içine düşülebilmektedir. Halbuki farklı bir noktaya göre alınan moment, diğer denklemlerden türetilmiş bir denklemdir. Dolayısıyla ilave bağımsız bir denklem olmayacaktır.
• Püf noktasi 4.1: Genelde 3 boyutlu uzay denge problemlerinde vektörel çözüm, 2 boyutlu düzlem denge problemlerinde skaler çözüm daha pratiktir.
• Crux 4.1 : We generaly prefer vectoral solution at 3 dimensional problems, and scaler soluton at 2 D problems
Kuvvet Hesaplarında İşlem Adımları: The steps for calculating the forces on a systems at static equilibrium: 1- Önce sistemde varsa çift kuvvet elemanları tespit edilir. (ileride açıklanacaktır) Firstly, we should see all «two force members» on the system. 2- Dengesi incelenecek sistemin serbest cisim diyagramı (SCD) çizilir. We should draw the free body diagrams of the systems, correctly. Serbest cisim diyagramının anlamı şudur: Cisim veya sistem bağlantı noktalarından ayrılarak uzayda boşlukta asılı vaziyette çizilir ve üzerine etki eden tüm dış kuvvetler ve tüm bağlantı tepki kuvvetleri gösterilir. Bağlantılardan gelen kuvvetler de bu cisim için dış kuvvetlerdir. Explaation of Free body diagrams: The systems are separated from their some connections at our dream, than draw on the space. The forces should be shown it. 3- Statik denge denklemleri yazılır ve bilinmeyen kuvvetler bu denklemlerden bulunur. Static equilbrium equations are writen and forces can be calculated from these equations.
Sahibine kahve götürmeye çalışan bir köpek
Sınavlara çalışırken bir ipucu: Denge problemlerini çalışırken, tümünü çalışmaya vaktimiz olmayabilir. Bu durumda bazı problemleri hesap makinasıyla sonuna kadar çözün.. Bazılarının ise sadece SCD sini çizmeye çalışın..
Unutmayın: SCD problemin çözümündeki en önemli aşamadır. Yanlış çizildiği taktirde, hatalı sonuçlar elde edilir.
Serbest Cisim Diyagramı (SCD – Free Body Diagrams ): Bir cisim tüm temasta olduğu kısımlardan izole edilerek uzayda serbest olarak çizilir. «Kendi üzerine etkiyen dış kuvvetler + izole edildiği temas kısımlarındaki diğer cisimlerden gelen kuvvetler» cismin üzerinde gösterilir. Bu şekle cismin serbest cisim diyagramı ismi verilir. SCD çizerken püf noktaları: 1-Cisim izole edilirken, her izole edildiği temas kısmında mutlaka kuvvet oluşur, 2-İzole edilmediği temas noktalarında ise kuvvet gösterilmez. 3-Çift kuvvet elemanları varsa mutlaka tespit edilmelidir. (ileride açıklanacak) 4-Herbir SCD da tüm kuvvetler birbirini dengelemelidir.
Adam ve Tartı dan oluşan dengede bir sistem (*adamın bastığı kısmın ağırlığı ihmal ediliyor W1: adamın ağırlığı, W2: tartı ağırlığı)
SCD-1: Tüm sistem Tüm Sistem sadece yerden izole edilmiş. Adamın ayaklarının temas ettiği kısımdan izole edilmediğinden burada (adamın ayak kısmında ) bir kuvvet çizilmediğine dikkat ediniz.
SCD-2 : Adam: Adam tartıdan izole edilmiş. İzole edilen temas noktalarında (ayaklarında) tepki kuvvetleri şimdi çizilir.
SCD-3 : Tartı: Tartı hem yerden hem adamdan izole edilmiş. (Diğer SCD lere göre bunu kendiniz yorumlayın)
Çift Kuvvet Elemanı: Two Force Member
Sadece 2 noktasından tekil kuvvete maruz elemanlara denir. If a member is subjected only two single forces, it is called a «two force member»
Bu elemanların; Tek Denge Şartı :Etki eden tekil kuvvetler, etkime noktalarını birleştiren doğrultu üzerinde, eşit şiddette ve zıt yönde olmak zorundadır. There is only one equilibrium condition for two force members: The single forces must be on the line connecting action points, same value and opposite direction.
Çift Kuvvet Elemanı: Two Force Member
Şimdi yukarıda izah edilen denge şartını deneyerek anlayalım: Elinize bir kalem veya benzeri çok hafif bir cisim alın.. İki elinizin işaret parmakları arasına bu cismi sıkıştırın. Başka bir yerle temas ettirmeyin. Bu cismi dengede tutmaya çalışın. İşaret parmaklarınızla uyguladığınız yukarıda izah edilen tek denge şartını sağladığını göreceksiniz. Eşit şiddette, zıt yönde, kalem doğrultusunda.. O halde bu yükleme durumu için kalem çift kuvvet elemanıdır. (Bu örnekte kalem n ağırlığı ve sürtünmeler ihmal edilmiştir.)
Bu resmi laptopumun kamerasıyla çektim.. Çekerken mouse’a çenemle basmak zorunda kaldığım için bu şekilde çıktı..
Kalem çift kuvvet elemanıdır. (bu yükleme durumu için)
Acele etme.. Burada biraz durmak icabediyor..
F F
Çift Kuvvet Elemanı:
Soru: L şeklindeki elemanın sadece A ve B noktalarına 2 tekil kuvvet uygulanacaktır. O halde bu bir çift kuvvet elemanıdır. Bu elemanın dengede kalması aşağıdaki durumlardan hangisi nde sağlanır? Questions: Which case is equlibrium case?
A
B
A
B
P
P
A
B
P
P
A
B
P
P
A
B
P
P
𝐹𝑥= 0
𝐹𝑦= 0
𝑀𝐴 ≠ 0
𝐹𝑥= 0
𝐹𝑦= 0
𝑀𝐴 ≠ 0
𝐹𝑥 ≠ 0
𝐹𝑦= 0
𝑀𝐴 ≠ 0
𝐹𝑥= 0
𝐹𝑦= 0
𝑀𝐴= 0
a-) b-) c-) d-)
Dengede değil Dengede değil Dengede değil Dengede No equlibrium No equlibrium No equlibrium Equlibrium
Denge ancak d şıkkında sağlanır. Bir önceki sayfadaki tek denge şartını tekrar okuyunuz.
Çift Kuvvet Elemanı:
Püf Noktası -1 : Sadece 2 noktasından pimlerle diğer elemanlara bağlı olan elemanlara başka bir kuvvet etki etmiyorsa, bu elemanlar çift kuvvet elemanıdır.
Bilgi: Çift kuvvet elemanlarının ağırlıkları ihmal edilir. Aksi halde çift kuvvet elemanı olmaktan çıkarlar.
Püf Noktası -2 : Bir denge problemi ni çözerken herşeyden önce, varsa çift kuvvet elemanlarını tespit etmelisiniz. Sonra SCD çizimini yapıp kuvvetleri hesaplayınız.
Püf Noktası -3 : İleride görülecek konular için şunu şimdiden aklınıza koyun: Kafes Sistemlerde tüm çubuklar çift kuvvet elemanıdır. Basit makinalar ve çerçeve sistemlerde ise çift kuvvet elemanı olmayabilir; eğer varsa herşeyden önce bunları tespit etmeniz gerekir. Aksi halde problemi çözemezsiniz.
Çift kuvv.el.
AB-BD-BC Çift kuvvet elemanlarıdır.
SCD Örnekleri
SCD Örnekleri
SCD Örnekleri
Bağlantı Çeşitleri ve Ortaya Çıkan Tepkiler Connection Types and Reaction Forces
Bağlantı elemanlarından sistem izole edilip serbest çizilirse (yani SCD çizilirse), mutlaka bağlantı noktalarında tepkiler SCD de yer almalıdır.
Hiçbir yönde ötelenmeye izin vermiyor, Her yönde dönmeye izin veriyor. (örn: Banyo duş telefonu) Hiçbir yönde ötelenmeye ve dönmeye izin
vermiyor. Örn: İnşaatlardaki kolon ve krişler her iki uçlarından ankastredir.
püf noktası -4: Ötelenmeye izin verilmeyen doğrultuda tepki kuvveti; dönmeye izin verilmeyen eksen etrafında tepki momenti ortaya çıkar. Crux: The reaction forces occur through the directions on which not allowed displacement, the reaction moments occur about the axis on which not allowed the rotation.
Bağlantı Elemanları için Serbest Cisim Diyagramı (SCD) örnekleri:
Püf Noktası -5 : (Tepki kuvvetlerin yönünün belirlenmesi:) Crux (for the direction of reactional forces): • Tepki kuvvetinin yönü ilk seferinde keyfi olarak
seçilir. Hesaplandığı zaman işareti negatif (-) çıkarsa, seçilen yönün tersineymiş denir.
• First time we can select the direction of reaction ,arbitrary. After calculation, if its sign is negative, it is shown that its direction we select is not true.On other words, İts direction is opposite direction we select.
• Örneğin Ax tepkisinin x doğrultusunda olacağı kesindir. Ancak + x veya –x yönünde olup olmadığına her zaman karar vermek zordur. Bu sebeple, +x veya –x den bir yönde keyfi yerleştirilir. Sonuçta işareti – çıkarsa ters yöndeymiş denir. (– çıkması –x yönü anlamına gelmez.)
• Dikkat: Bir tepki kuvveti 2nci kez keyfi yerleştirilemez. İlk yerleştirmedeki yönü dikkate alınarak 2nci kez yönü belirlenir. Özellikle bu durum çerçeve sistemleri konusunda önem kazanır.
• İşareti negatif çıkan tepki kuvvetinin yönü değiştirilmezse, denklemlerde işaretiyle birlikte kullanılmalıdır.
500 N-luk F kuvvetini AB ve AC çubukları boyunca iki bileşene ayırınız. AC çubuğu doğrultusundaki bileşenin şiddeti 300 N ve yönü A dan C ye doğru olsun. Bu durumda AB doğrultusundaki bileşenin şiddeti ve θ açısı ne olur?
Örnek
Çözüm:
1- Sistemde çift kuvvet elemanı var mıdır?
Evet vardır. AB ve AC çubukları çift kuvvet ( AB and AC tree force members ) elemanıdır. Zira sadece 2 noktasından tekil kuvvete maruzdur.
Tüm Sistem için SCD
Denge Problemleri Örnekleri
Örnek: Şekildeki gibi 10 kN luk yük taşıyan, 6 kN ağırlığındaki uniform kirişe bağlı kablodaki ve A pimindeki kuvvetleri bulunuz.
Çözüm:
Herşeyden çift kuvvet elemanı var mıdır? Bu sorunun cevabını bulmalıyız. -Kablo kendi ekseninde çeki kuvvet taşır. Bir nevi çift kuvvet elemanıdır. önce dengesi incelenecek cisme karar verilmeli ve serbest cisim diyagramı çizilmelidir. Problem 2 boyulu olduğu için skaler
çözüm yapılması daha pratiktir.
Örnek: 100 N ağırlığındaki dirseğin B
noktasına 50 N luk kuvvet, düşeyle 300 lik açı
yapacak şekilde uygulanmıştır. Sistem şekilde
görülen konumda dengede ise A ve E
bağlantılarında ortaya çıkan tepkileri
hesaplayınız. (Sürtünmeleri ihmal ediniz)
(Dirseğin ağırlık merkezi G noktasıdır.)
Çözüm: Sistemde çift kuvvet elemanı yoktur.
Örnek: A noktasındaki tepkileri bulunuz.
Çözüm: Sistemde çift kuvvet elemanı yoktur. SCD çizilirse;
Örnek 2: 1000 kg kütleli bir sabit vinç 2400 kg kütleli bir cismi kaldırmakta kullanılıyor. Vinç A da sabit B de kayıcı mafsal ile mesnetlenmiştir. Vincin kütle merkezi G dir. A ve B mesnetlerindeki tepkileri bulunuz.
Çözüm: Sistemde çift kuvvet elemanı yükün asıldığı kablo olarak düşünülebilir. Vincin serbest cisim diyagramı önce çizilir.
B deki mesnet kayıcı mafsal olduğu için y ekseni doğrultusunda kuvvet taşıyamaz. Bundan dolayı B mesneti sadece x ekseni doğrultusunda tepki kuvveti uygulayabilir.
Bu eşitliklerden;
bulunur.
Örnek Kamyonete bağlı üç çubuktan oluşan kaldırma sistemine500 N luk yük asılmıştır. Çubuklara düşen kuvvetleri hesaplayınız?
Çözüm:
1- Herşeyden önce sistemde çift kuvvet elemanı varsa tespit edilmelidir. Sonra S.C.D çizimine geçilmeli ve son olarak denge denklemleriyle kuvvetler bulunmalıdır.
Evet, çubuklar sadece uç noktalarından kuvvete maruzdur ve herbir çubuk çift kuvvet elemanıdır.
2-Sadece A noktasının serbest cisim diyagramını çizelim. Yani A noktasını sistemden izole edeceğiz. A ile bağlantısı kesilen cisimler 3 çubuk ve yükün asıldığı zincirdir. Bu ayrılan (izole edilen) kısımlarda mutlaka kuvvetler gösterilir.
3- Şimdi Denge Denklemleriyle kuvvetleri bulmaya çalışacağız.
Problem 3 boyutlu olduğu için vektörel çözümü tercih ediyoruz.
Uzayda 2 tane bağımsız vektörel denge denklemi vardır:
Ancak bu örnekteki gibi tüm kuvvetler aynı noktadan geçerse, moment denklemi yazılamaz. Dolayısıyla sadece 1 vektörel denklem yazılabilir.
Benzer şekilde;
=
3 lineer denklemden 3 bilinmeyen kuvvet bulunur:
Örnek 4 Çözüm: .kablolar kendi ekseninde çeki kuvveti taşır. Sistemin SCD si:
Örnek 4
1-6 denklemlerinden:
Örnek: A ucundan duvara betonlanmış ABCDE cismi şekildeki gibi yüklenmiştir. Buna göre A ucundaki tepkileri hesaplayınız.
Çözüm: Sistemde çift kuvvet elemanı yoktur. A ucundan betonlanması demek, bu uçta hiçbir yönde ne ötelenmeye ne de dönmeye izin verimemesi anlamını taşır. Yani bu uç ankastre bağlantı özelliğine sahiptir. Buna göre serbest cisim diyagramı çizilirse:
A noktasında 3 yönde tepki kuvvetleri(Fx,Fy,Fz) ve 3 yönde tepki momentleri (Mx,My,Mz) oluşur. Şekilde ise bunların bileşkeler( ) gösterilmiştir.
Not: bileşkeler değil tepki kuvvetleri olduğuna dikkat ediniz. Çünkü dengedeki bir sistemde bileşkeler sıfırdır.
Örnek: Yere bağlanmış ve gerdirilmiş kablolar vasıtası ile dengede tutulan ve ağırlığı ihmal edilebilen şekildeki direğin CD kablosunda ortaya çıkan çekme kuvveti T = 1.2 kN olduğuna göre AE kablosunda ortaya çıkan çekme kuvvetini bulunuz. O daki ankastre mesnette x ve y-yönünde moment tepkisi doğmadığını kabul ediniz. z-yönünde doğabilir.
Çözüm: GF kablosu çift kuvvet elamanı gibi düşünülebilir.
Örnek 3: P = 450 N luk bir yük şekildeki gibi bükülmüş bir rijid borunun C köşesine uygulanmıştır. Boru A da zemine ve D de düşey duvara küresel mafsalla bağlanmış, E de ise EG kablosu yardımı ile sabit duvara tesbit edilmiştir. EG kablosunda oluşan kuvvetin şiddetini bulunuz
Çözüm: GE kablosu çift kuvvet elemanıdır. Borunun serbest cisim diyagramı:
Sadece kablo kuvveti soruluyor. AD eksenine göre moment alınırsa, küresel mafsallardaki tepkiler işleme katılmadan doğrudan sonuç elde edilir.
EG doğrultusundaki Birim vektör:
Örnek Şekildeki gibi bükülmüş olan ABEF çubuğu C ve D yatakları ve AH kablosu ile dengede tutulmaktadır. AH kablosunda ortaya çıkan çekme kuvveti T yi hesaplayınız. AB = 250 mm.
Çözüm:
Soru : Şekildeki adam, 10kg kütleli, 4m
uzunluğundaki AB çubuğunu, halatı
çekerek dengede tutmaktadır.
Sürtünmeleri ihmal ederek A daki tepki
kuvvetini ve halattaki kuvveti hesaplayınız.
Cevap: N 8.147 N,9.81 Ahalat RT
Cevap:
Cevaplar:
Cevaplar:
Cevap:
