Date post: | 20-Jul-2015 |
Category: |
Education |
Upload: | radu-dumbraveanu |
View: | 411 times |
Download: | 2 times |
Logica s, i calculul propozit, ionalStructuri discrete (F.02.O.13)
Radu Dumbraveanu
Universitatea de Stat “A. Russo” din Balt, iFacultatea de S, tiint,e Reale
Aceasta prezentare este pusa la dispozitie sub Licenta Atribuire -Distribuire-ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptata (CC BY-SA 3.0)
2013
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 1 / 36
Ce este (sau ce studiza) logica?
Logica poate fi definita ca stiinta a evaluarii argumentelor(rat, ionamentelor).
Un argument, ın logica, este un s, ir de enunt, uri (sau judecat, i) ın careultimul enunt, , numit concluzie, rezulta din celelate enunt, uri, numitepremize.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 2 / 36
Ce este (sau ce studiza) logica?
Logica poate fi definita ca stiinta a evaluarii argumentelor(rat, ionamentelor).
Un argument, ın logica, este un s, ir de enunt, uri (sau judecat, i) ın careultimul enunt, , numit concluzie, rezulta din celelate enunt, uri, numitepremize.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 2 / 36
Ce este (sau ce studiza) logica?
Exemplu (de argument)Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.
Exemplu (de argument)Zapada este alba. Alb este adjectiv. Deci zapada este adjectiv.
[Deci ]Argumentele (rat, ionamentele) pot fi adevarate sau false (valide sauinvalide, corecte sau incorecte ...).
[Iar ]Logica ne ofera cadrul teoretic pentru a evalua corectitudineaargumentelor.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 3 / 36
Ce este (sau ce studiza) logica?
Exemplu (de argument)Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.
Exemplu (de argument)Zapada este alba. Alb este adjectiv. Deci zapada este adjectiv.
[Deci ]Argumentele (rat, ionamentele) pot fi adevarate sau false (valide sauinvalide, corecte sau incorecte ...).
[Iar ]Logica ne ofera cadrul teoretic pentru a evalua corectitudineaargumentelor.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 3 / 36
Ce este (sau ce studiza) logica?
Exemplu (de argument)Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.
Exemplu (de argument)Zapada este alba. Alb este adjectiv. Deci zapada este adjectiv.
[Deci ]Argumentele (rat, ionamentele) pot fi adevarate sau false (valide sauinvalide, corecte sau incorecte ...).
[Iar ]Logica ne ofera cadrul teoretic pentru a evalua corectitudineaargumentelor.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 3 / 36
Ce este (sau ce studiza) logica?
Exemplu (de argument)Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.
Exemplu (de argument)Zapada este alba. Alb este adjectiv. Deci zapada este adjectiv.
[Deci ]Argumentele (rat, ionamentele) pot fi adevarate sau false (valide sauinvalide, corecte sau incorecte ...).
[Iar ]Logica ne ofera cadrul teoretic pentru a evalua corectitudineaargumentelor.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 3 / 36
Logica formala
In literatura de specialitate deseori este utilizeaza sinonimul “logicaformala”.
Logica este o s, tiint, a formala ıntrucıt se face abstract, ie de cont, inutulrationamentelor; acestea sınt cercetate ın general.
Exemplux este y. y este z. Deci x este z.
Daca acest argument este adevarat, este adevarat s, i argumentul cuSocrate.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 4 / 36
Logica formala
In literatura de specialitate deseori este utilizeaza sinonimul “logicaformala”.
Logica este o s, tiint, a formala ıntrucıt se face abstract, ie de cont, inutulrationamentelor; acestea sınt cercetate ın general.
Exemplux este y. y este z. Deci x este z.
Daca acest argument este adevarat, este adevarat s, i argumentul cuSocrate.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 4 / 36
Logica formala
In literatura de specialitate deseori este utilizeaza sinonimul “logicaformala”.
Logica este o s, tiint, a formala ıntrucıt se face abstract, ie de cont, inutulrationamentelor; acestea sınt cercetate ın general.
Exemplux este y. y este z. Deci x este z.
Daca acest argument este adevarat, este adevarat s, i argumentul cuSocrate.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 4 / 36
Logica formala
In literatura de specialitate deseori este utilizeaza sinonimul “logicaformala”.
Logica este o s, tiint, a formala ıntrucıt se face abstract, ie de cont, inutulrationamentelor; acestea sınt cercetate ın general.
Exemplux este y. y este z. Deci x este z.
Daca acest argument este adevarat, este adevarat s, i argumentul cuSocrate.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 4 / 36
Propozit, ii
Definit, ieSe numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbajsimbolic despre care se poate spune ca este adevarat sau fals.
I “Vlad T, epes, este fiul predecesorului sau”;I “«Sarmanul Dionis» este o carte scrisa de Mircea Eliade”;I “Zapada este alba”;I “3 < 7”;
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 5 / 36
Propozit, ii
Definit, ieSe numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbajsimbolic despre care se poate spune ca este adevarat sau fals.
I “Vlad T, epes, este fiul predecesorului sau”;I “«Sarmanul Dionis» este o carte scrisa de Mircea Eliade”;I “Zapada este alba”;I “3 < 7”;
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 5 / 36
Propozit, ii
Exprimarile care nu sunt propozitii includ adesea ıntrebari si comenzi –acestea nu pot fi adevarate sau false, desi pot fi inteligibile sau absurde.[G.M.Panaitescu]
I “Stinge lumina.”;I “Tu es, ti Mircea?”;I “Es, ti catolic?”;I “x:=2” (Limbajul Pascal).
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 6 / 36
Propozit, ii
Exprimarile care nu sunt propozitii includ adesea ıntrebari si comenzi –acestea nu pot fi adevarate sau false, desi pot fi inteligibile sau absurde.[G.M.Panaitescu]
I “Stinge lumina.”;I “Tu es, ti Mircea?”;I “Es, ti catolic?”;I “x:=2” (Limbajul Pascal).
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 6 / 36
Valoare de adevar a unei propozit, ii
Este foarte important a observa ca fiecare propozitie este adevarata saufalsa ın raport cu o lume posibila (sau universul discursului).[G.M.Panaitescu]
De exemplu propozit, ia “orice fiint, a vie nu poate exista mult timp faraapa” este adevarata ın lumea nostra; cine s, tie cum stau lucrurile ın altesisteme solare.
Sau, de exemplu, afirmat, ia “printr-un punct la o dreapta putem duce doaro singura paralela” este adevarata doar ın geometria lui Euclid, dar nu s, i ıngeometriile Bolyai-Lobacevski s, i Riemann.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 7 / 36
Valoare de adevar a unei propozit, ii
Este foarte important a observa ca fiecare propozitie este adevarata saufalsa ın raport cu o lume posibila (sau universul discursului).[G.M.Panaitescu]
De exemplu propozit, ia “orice fiint, a vie nu poate exista mult timp faraapa” este adevarata ın lumea nostra; cine s, tie cum stau lucrurile ın altesisteme solare.
Sau, de exemplu, afirmat, ia “printr-un punct la o dreapta putem duce doaro singura paralela” este adevarata doar ın geometria lui Euclid, dar nu s, i ıngeometriile Bolyai-Lobacevski s, i Riemann.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 7 / 36
Valoare de adevar a unei propozit, ii
Este foarte important a observa ca fiecare propozitie este adevarata saufalsa ın raport cu o lume posibila (sau universul discursului).[G.M.Panaitescu]
De exemplu propozit, ia “orice fiint, a vie nu poate exista mult timp faraapa” este adevarata ın lumea nostra; cine s, tie cum stau lucrurile ın altesisteme solare.
Sau, de exemplu, afirmat, ia “printr-un punct la o dreapta putem duce doaro singura paralela” este adevarata doar ın geometria lui Euclid, dar nu s, i ıngeometriile Bolyai-Lobacevski s, i Riemann.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 7 / 36
Notat, ii
Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r , s...) pentru a notapropozit, iile.
Valorile de adevar le vom nota prin “1” pentru adevar s, i “0” pentru fals.
Simbolul “:” imediat dupa simbolul unei propozit, ii va fi utilizat cu sens dea explica care este cont, inutul propozit, iei.
p : “Londra este capitala Marii Britanii”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 8 / 36
Notat, ii
Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r , s...) pentru a notapropozit, iile.
Valorile de adevar le vom nota prin “1” pentru adevar s, i “0” pentru fals.
Simbolul “:” imediat dupa simbolul unei propozit, ii va fi utilizat cu sens dea explica care este cont, inutul propozit, iei.
p : “Londra este capitala Marii Britanii”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 8 / 36
Notat, ii
Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r , s...) pentru a notapropozit, iile.
Valorile de adevar le vom nota prin “1” pentru adevar s, i “0” pentru fals.
Simbolul “:” imediat dupa simbolul unei propozit, ii va fi utilizat cu sens dea explica care este cont, inutul propozit, iei.
p : “Londra este capitala Marii Britanii”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 8 / 36
Notat, ii
Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r , s...) pentru a notapropozit, iile.
Valorile de adevar le vom nota prin “1” pentru adevar s, i “0” pentru fals.
Simbolul “:” imediat dupa simbolul unei propozit, ii va fi utilizat cu sens dea explica care este cont, inutul propozit, iei.
p : “Londra este capitala Marii Britanii”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 8 / 36
Conectori/operatori logici
Conector unar:
I Negat, ia.
Conectori binari:
I Conjuct, ia;I Disjunct, ia;I Echivalent, a;I Disjunct, ia exclusiva;I Conectorul lui Sheffer;I Conectorul lui Pierce.I Implicat, ia;
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 9 / 36
Conectori logici: Negat, ia
p ¬p0 11 0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
In Pascal este operatorul “NOT”.
In C++ s, i Java este operatorul “!”.
¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat student, ilor de laspecialitat, ile socioumane.
p : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 10 / 36
Conectori logici: Negat, ia
p ¬p0 11 0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
In Pascal este operatorul “NOT”.
In C++ s, i Java este operatorul “!”.
¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat student, ilor de laspecialitat, ile socioumane.
p : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 10 / 36
Conectori logici: Negat, ia
p ¬p0 11 0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
In Pascal este operatorul “NOT”.
In C++ s, i Java este operatorul “!”.
¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat student, ilor de laspecialitat, ile socioumane.
p : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 10 / 36
Conectori logici: Negat, ia
p ¬p0 11 0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
In Pascal este operatorul “NOT”.
In C++ s, i Java este operatorul “!”.
¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat student, ilor de laspecialitat, ile socioumane.
p : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 10 / 36
Conectori logici: Negat, ia
p ¬p0 11 0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
In Pascal este operatorul “NOT”.
In C++ s, i Java este operatorul “!”.
¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat student, ilor de laspecialitat, ile socioumane.
p : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 10 / 36
Conectori logici: Negat, ia
p ¬p0 11 0
Posibile simboluri: non p, p, ˜p.
In Pascal este operatorul “NOT”.
In C++ s, i Java este operatorul “!”.
¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat student, ilor de laspecialitat, ile socioumane.
p : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 10 / 36
Conectori logici: Conjuct, ia
p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
In Pascal este operatorul “AND”.
In C++ s, i Java este operatorul “&&”.
p ∧ q : “Orele de curs la SD sınt Luni s, i Joi”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 11 / 36
Conectori logici: Conjuct, ia
p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
In Pascal este operatorul “AND”.
In C++ s, i Java este operatorul “&&”.
p ∧ q : “Orele de curs la SD sınt Luni s, i Joi”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 11 / 36
Conectori logici: Conjuct, ia
p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
In Pascal este operatorul “AND”.
In C++ s, i Java este operatorul “&&”.
p ∧ q : “Orele de curs la SD sınt Luni s, i Joi”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 11 / 36
Conectori logici: Conjuct, ia
p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
In Pascal este operatorul “AND”.
In C++ s, i Java este operatorul “&&”.
p ∧ q : “Orele de curs la SD sınt Luni s, i Joi”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 11 / 36
Conectori logici: Conjuct, ia
p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
In Pascal este operatorul “AND”.
In C++ s, i Java este operatorul “&&”.
p ∧ q : “Orele de curs la SD sınt Luni s, i Joi”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 11 / 36
Conectori logici: Conjuct, ia
p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1
Posibile simboluri: p AND q, p&q.
In Pascal este operatorul “AND”.
In C++ s, i Java este operatorul “&&”.
p ∧ q : “Orele de curs la SD sınt Luni s, i Joi”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 11 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia
p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
In Pascal este operatorul “OR”.
In C++ s, i Java este operatorul “||”.
p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent avet, i nevoie de buletinul deidentitate sau de permisul de conducere”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 12 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia
p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
In Pascal este operatorul “OR”.
In C++ s, i Java este operatorul “||”.
p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent avet, i nevoie de buletinul deidentitate sau de permisul de conducere”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 12 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia
p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
In Pascal este operatorul “OR”.
In C++ s, i Java este operatorul “||”.
p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent avet, i nevoie de buletinul deidentitate sau de permisul de conducere”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 12 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia
p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
In Pascal este operatorul “OR”.
In C++ s, i Java este operatorul “||”.
p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent avet, i nevoie de buletinul deidentitate sau de permisul de conducere”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 12 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia
p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
In Pascal este operatorul “OR”.
In C++ s, i Java este operatorul “||”.
p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent avet, i nevoie de buletinul deidentitate sau de permisul de conducere”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 12 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia
p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1
Posibile simboluri: p OR q, p + q.
In Pascal este operatorul “OR”.
In C++ s, i Java este operatorul “||”.
p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent avet, i nevoie de buletinul deidentitate sau de permisul de conducere”
p : ???; q : ???
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 12 / 36
Conectori logici: Echivalent, a
p q p ↔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1
In Pascal este operatorul “=”.
In C++ s, i Java este operatorul “==”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 13 / 36
Conectori logici: Echivalent, a
p q p ↔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1
In Pascal este operatorul “=”.
In C++ s, i Java este operatorul “==”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 13 / 36
Conectori logici: Echivalent, a
p q p ↔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1
In Pascal este operatorul “=”.
In C++ s, i Java este operatorul “==”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 13 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia exclusiva
Este negat, ia echivalent, ei.
p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0
In Pascal: “XOR”.
XOR - eXclusive OR
In Java: “ˆ”.
In C++ “ˆ” este disjunct, ia exclusiva la nivel de bit.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 14 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia exclusiva
Este negat, ia echivalent, ei.
p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0
In Pascal: “XOR”.
XOR - eXclusive OR
In Java: “ˆ”.
In C++ “ˆ” este disjunct, ia exclusiva la nivel de bit.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 14 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia exclusiva
Este negat, ia echivalent, ei.
p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0
In Pascal: “XOR”.
XOR - eXclusive OR
In Java: “ˆ”.
In C++ “ˆ” este disjunct, ia exclusiva la nivel de bit.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 14 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia exclusiva
Este negat, ia echivalent, ei.
p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0
In Pascal: “XOR”.
XOR - eXclusive OR
In Java: “ˆ”.
In C++ “ˆ” este disjunct, ia exclusiva la nivel de bit.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 14 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia exclusiva
Este negat, ia echivalent, ei.
p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0
In Pascal: “XOR”.
XOR - eXclusive OR
In Java: “ˆ”.
In C++ “ˆ” este disjunct, ia exclusiva la nivel de bit.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 14 / 36
Conectori logici: Disjunct, ia exclusiva
Este negat, ia echivalent, ei.
p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0
In Pascal: “XOR”.
XOR - eXclusive OR
In Java: “ˆ”.
In C++ “ˆ” este disjunct, ia exclusiva la nivel de bit.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 14 / 36
Conectori logici: conectorul lui Pierce
Este negat, ia disjunct, iei.
p q p ↓ q0 0 10 1 01 0 01 1 0
Simboluri: p NOR q
NOR - Not OR
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 15 / 36
Conectori logici: conectorul lui Pierce
Este negat, ia disjunct, iei.
p q p ↓ q0 0 10 1 01 0 01 1 0
Simboluri: p NOR q
NOR - Not OR
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 15 / 36
Conectori logici: conectorul lui Pierce
Este negat, ia disjunct, iei.
p q p ↓ q0 0 10 1 01 0 01 1 0
Simboluri: p NOR q
NOR - Not OR
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 15 / 36
Conectori logici: conectorul lui Pierce
Este negat, ia disjunct, iei.
p q p ↓ q0 0 10 1 01 0 01 1 0
Simboluri: p NOR q
NOR - Not OR
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 15 / 36
Conectori logici: conectorul lui Sheffer
Este negat, ia conjunct, iei.
p q p|q0 0 10 1 11 0 11 1 0
Simboluri: “↑”, p NAND q
NAND - Not AND
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 16 / 36
Conectori logici: conectorul lui Sheffer
Este negat, ia conjunct, iei.
p q p|q0 0 10 1 11 0 11 1 0
Simboluri: “↑”, p NAND q
NAND - Not AND
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 16 / 36
Conectori logici: conectorul lui Sheffer
Este negat, ia conjunct, iei.
p q p|q0 0 10 1 11 0 11 1 0
Simboluri: “↑”, p NAND q
NAND - Not AND
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 16 / 36
Conectori logici: conectorul lui Sheffer
Este negat, ia conjunct, iei.
p q p|q0 0 10 1 11 0 11 1 0
Simboluri: “↑”, p NAND q
NAND - Not AND
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 16 / 36
Conectori logici: Implicat, ia
p q p → q0 0 10 1 11 0 01 1 1
Analogie: p → q este adevarata daca numai daca p ≤ q
p → q : “Daca p atunci q”
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 17 / 36
Conectori logici: Implicat, ia
p q p → q0 0 10 1 11 0 01 1 1
Analogie: p → q este adevarata daca numai daca p ≤ q
p → q : “Daca p atunci q”
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 17 / 36
Implicat, ia
Implicat, ia este mai put, in intuitiva decıt ceilalt, i conectori logici.
Sa consideram doua calculatoare, A s, i B, izolate de Internet s, i de oriceret, ea locala. Ele sınt conectate doar ıntre ele. Se s, tie ca daca A devineinfectat de virus, i de calculator atunci ın scurt timp s, i B va fi infectat.
Cazuri:p q p → q0 0 A nu este infectat B nu este infectat Adevarat0 1 A nu este infectat B este infectat Adevarat1 0 A este infectat B nu este infectat Fals1 1 A este infectat B este infectat Adevarat
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 18 / 36
Implicat, ia
Implicat, ia este mai put, in intuitiva decıt ceilalt, i conectori logici.
Sa consideram doua calculatoare, A s, i B, izolate de Internet s, i de oriceret, ea locala. Ele sınt conectate doar ıntre ele. Se s, tie ca daca A devineinfectat de virus, i de calculator atunci ın scurt timp s, i B va fi infectat.
Cazuri:p q p → q0 0 A nu este infectat B nu este infectat Adevarat0 1 A nu este infectat B este infectat Adevarat1 0 A este infectat B nu este infectat Fals1 1 A este infectat B este infectat Adevarat
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 18 / 36
Implicat, ia
Implicat, ia este mai put, in intuitiva decıt ceilalt, i conectori logici.
Sa consideram doua calculatoare, A s, i B, izolate de Internet s, i de oriceret, ea locala. Ele sınt conectate doar ıntre ele. Se s, tie ca daca A devineinfectat de virus, i de calculator atunci ın scurt timp s, i B va fi infectat.
Cazuri:
p q p → q0 0 A nu este infectat B nu este infectat Adevarat0 1 A nu este infectat B este infectat Adevarat1 0 A este infectat B nu este infectat Fals1 1 A este infectat B este infectat Adevarat
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 18 / 36
Implicat, ia
Implicat, ia este mai put, in intuitiva decıt ceilalt, i conectori logici.
Sa consideram doua calculatoare, A s, i B, izolate de Internet s, i de oriceret, ea locala. Ele sınt conectate doar ıntre ele. Se s, tie ca daca A devineinfectat de virus, i de calculator atunci ın scurt timp s, i B va fi infectat.
Cazuri:p q p → q0 0 A nu este infectat B nu este infectat Adevarat0 1 A nu este infectat B este infectat Adevarat1 0 A este infectat B nu este infectat Fals1 1 A este infectat B este infectat Adevarat
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 18 / 36
Implicat, ia: Condit, ii suficiente s, i necesare
Implicat, ia (p → q) consta din premisa s, i concluzie.
Concluzia se mai numes, te condit, ie necesara pentru ipoteza.
Ipoteza la rındul sau se numes, te condit, ie suficienta pentru concluzie.
Ele sınt legate ın felul urmator:
I Daca nu se ındeplines, te condit, ia necesara atunci nu-i ipoteza;I Daca este ipoteza atunci este concluzia.
ExempluDin expresia “Nu-i fum fara foc” reiese ca fumul este o condit, ie necesarapentru foc.S, i de aici reiese ca “Daca este foc atunci este fum”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 19 / 36
Implicat, ia: Condit, ii suficiente s, i necesare
Implicat, ia (p → q) consta din premisa s, i concluzie.
Concluzia se mai numes, te condit, ie necesara pentru ipoteza.
Ipoteza la rındul sau se numes, te condit, ie suficienta pentru concluzie.
Ele sınt legate ın felul urmator:
I Daca nu se ındeplines, te condit, ia necesara atunci nu-i ipoteza;I Daca este ipoteza atunci este concluzia.
ExempluDin expresia “Nu-i fum fara foc” reiese ca fumul este o condit, ie necesarapentru foc.S, i de aici reiese ca “Daca este foc atunci este fum”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 19 / 36
Implicat, ia: Condit, ii suficiente s, i necesare
Implicat, ia (p → q) consta din premisa s, i concluzie.
Concluzia se mai numes, te condit, ie necesara pentru ipoteza.
Ipoteza la rındul sau se numes, te condit, ie suficienta pentru concluzie.
Ele sınt legate ın felul urmator:
I Daca nu se ındeplines, te condit, ia necesara atunci nu-i ipoteza;I Daca este ipoteza atunci este concluzia.
ExempluDin expresia “Nu-i fum fara foc” reiese ca fumul este o condit, ie necesarapentru foc.S, i de aici reiese ca “Daca este foc atunci este fum”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 19 / 36
Implicat, ia: Condit, ii suficiente s, i necesare
Implicat, ia (p → q) consta din premisa s, i concluzie.
Concluzia se mai numes, te condit, ie necesara pentru ipoteza.
Ipoteza la rındul sau se numes, te condit, ie suficienta pentru concluzie.
Ele sınt legate ın felul urmator:
I Daca nu se ındeplines, te condit, ia necesara atunci nu-i ipoteza;I Daca este ipoteza atunci este concluzia.
ExempluDin expresia “Nu-i fum fara foc” reiese ca fumul este o condit, ie necesarapentru foc.S, i de aici reiese ca “Daca este foc atunci este fum”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 19 / 36
Implicat, ia: Condit, ii suficiente s, i necesare
Implicat, ia (p → q) consta din premisa s, i concluzie.
Concluzia se mai numes, te condit, ie necesara pentru ipoteza.
Ipoteza la rındul sau se numes, te condit, ie suficienta pentru concluzie.
Ele sınt legate ın felul urmator:
I Daca nu se ındeplines, te condit, ia necesara atunci nu-i ipoteza;I Daca este ipoteza atunci este concluzia.
ExempluDin expresia “Nu-i fum fara foc” reiese ca fumul este o condit, ie necesarapentru foc.S, i de aici reiese ca “Daca este foc atunci este fum”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 19 / 36
Implicat, ia: Condit, ii suficiente s, i necesare
Implicat, ia (p → q) consta din premisa s, i concluzie.
Concluzia se mai numes, te condit, ie necesara pentru ipoteza.
Ipoteza la rındul sau se numes, te condit, ie suficienta pentru concluzie.
Ele sınt legate ın felul urmator:
I Daca nu se ındeplines, te condit, ia necesara atunci nu-i ipoteza;I Daca este ipoteza atunci este concluzia.
ExempluDin expresia “Nu-i fum fara foc” reiese ca fumul este o condit, ie necesarapentru foc.
S, i de aici reiese ca “Daca este foc atunci este fum”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 19 / 36
Implicat, ia: Condit, ii suficiente s, i necesare
Implicat, ia (p → q) consta din premisa s, i concluzie.
Concluzia se mai numes, te condit, ie necesara pentru ipoteza.
Ipoteza la rındul sau se numes, te condit, ie suficienta pentru concluzie.
Ele sınt legate ın felul urmator:
I Daca nu se ındeplines, te condit, ia necesara atunci nu-i ipoteza;I Daca este ipoteza atunci este concluzia.
ExempluDin expresia “Nu-i fum fara foc” reiese ca fumul este o condit, ie necesarapentru foc.S, i de aici reiese ca “Daca este foc atunci este fum”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 19 / 36
Conectori logici
p q p ∧ q p ∨ q p ↔ q0 0 0 0 10 1 0 1 01 0 0 1 01 1 1 1 1
p q p ↑ q p ↓ q p ⊕ q0 0 1 1 00 1 1 0 11 0 1 0 11 1 0 0 0
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 20 / 36
Conectori logici ın cadrul limbajului natural
Limbaj natural Conector logic Expresia logicanon p; nu p negat, ia p sau ¬pp este falsp s, i q; simultan conjunct, ie p ∧ qp sau q disjunct, ie p ∨ qfie p fie qp daca s, i numa daca q; echivalenta p ↔ qnecesar s, i suficientp implica q implicat, ie p → qdaca p, atunci qp este necesar pentru q implicat, ie q → p
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 21 / 36
Negat, ie corecta (absoluta)
Enunt, : LibreOffice este un program liber s, i gratuit.
Negat, ie incorecta: LibreOffice este un program neliber s, i contra cost.
Legile lui DeMorgan:
¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)
¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)
Negat, ie corecta: LibreOffice este un program neliber sau contra cost.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 22 / 36
Negat, ie corecta (absoluta)
Enunt, : LibreOffice este un program liber s, i gratuit.
Negat, ie incorecta: LibreOffice este un program neliber s, i contra cost.
Legile lui DeMorgan:
¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)
¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)
Negat, ie corecta: LibreOffice este un program neliber sau contra cost.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 22 / 36
Negat, ie corecta (absoluta)
Enunt, : LibreOffice este un program liber s, i gratuit.
Negat, ie incorecta: LibreOffice este un program neliber s, i contra cost.
Legile lui DeMorgan:
¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)
¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)
Negat, ie corecta: LibreOffice este un program neliber sau contra cost.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 22 / 36
Negat, ie corecta (absoluta)
Enunt, : LibreOffice este un program liber s, i gratuit.
Negat, ie incorecta: LibreOffice este un program neliber s, i contra cost.
Legile lui DeMorgan:
¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)
¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)
Negat, ie corecta: LibreOffice este un program neliber sau contra cost.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 22 / 36
Ierarhia conectorilor logici
Lista conectorilor logici ın ordinea descres, terii prioritat, ii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
Astfel formula
p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q
este echivalenta cu
(p ∨ (q ∧ (¬r)))↔ (p → q)
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 23 / 36
Ierarhia conectorilor logici
Lista conectorilor logici ın ordinea descres, terii prioritat, ii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
Astfel formula
p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q
este echivalenta cu
(p ∨ (q ∧ (¬r)))↔ (p → q)
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 23 / 36
Ierarhia conectorilor logici
Lista conectorilor logici ın ordinea descres, terii prioritat, ii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.
Astfel formula
p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q
este echivalenta cu
(p ∨ (q ∧ (¬r)))↔ (p → q)
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 23 / 36
Aplicat, ii ale conectorilor logici
I Filtrarea rezultatelor cautarilor (Google, MS Access, SQL etc);I Expresii logice ın algoritmi.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 24 / 36
Formule propozit, ionale
Orice propozit, ie obt, inuta din alte propozit, ii prin intermediul conectorilorlogici se numes, te formula propozit, ionala.
Ramura logicii care se ocupa cu formule propozit, ionale, operat, iile cu eleetc. se numes, te “logica propozit, iilor” sau “calculul propozit, ional”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 25 / 36
Formule propozit, ionale
Orice propozit, ie obt, inuta din alte propozit, ii prin intermediul conectorilorlogici se numes, te formula propozit, ionala.
Ramura logicii care se ocupa cu formule propozit, ionale, operat, iile cu eleetc. se numes, te “logica propozit, iilor” sau “calculul propozit, ional”.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 25 / 36
Tautologii
O tautologie este o expresie care ıntotdeauna este adevarata.
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p)→ q.
p q ¬p p ∨ ¬p0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0 1
p q ¬p p ∧ ¬p (p ∧ ¬p)→ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 0 1
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 26 / 36
Tautologii
O tautologie este o expresie care ıntotdeauna este adevarata.
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p)→ q.
p q ¬p p ∨ ¬p0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0 1
p q ¬p p ∧ ¬p (p ∧ ¬p)→ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 0 1
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 26 / 36
Tautologii
O tautologie este o expresie care ıntotdeauna este adevarata.
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p)→ q.
p q ¬p p ∨ ¬p0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0 1
p q ¬p p ∧ ¬p (p ∧ ¬p)→ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 0 1
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 26 / 36
Tautologii
O tautologie este o expresie care ıntotdeauna este adevarata.
De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p)→ q.
p q ¬p p ∨ ¬p0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0 1
p q ¬p p ∧ ¬p (p ∧ ¬p)→ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 0 1
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 26 / 36
Tautologii: Notat, ii
p ⇔ q ınseamna ca p ↔ q este o tautologie
p ⇒ q ınseamna ca p → q este o tautologie
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 27 / 36
Identitat, i remarcabile
Comutativitatea
I p ∧ q ≡ q ∧ pI p ∨ q ≡ q ∨ p
Asociativitatea
I p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ rI p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
Distributivitatea
I p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)I p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 28 / 36
Identitat, i remarcabile
Comutativitatea
I p ∧ q ≡ q ∧ pI p ∨ q ≡ q ∨ p
Asociativitatea
I p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ rI p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
Distributivitatea
I p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)I p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 28 / 36
Identitat, i remarcabile
Comutativitatea
I p ∧ q ≡ q ∧ pI p ∨ q ≡ q ∨ p
Asociativitatea
I p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ rI p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
Distributivitatea
I p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)I p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 28 / 36
Identitat, i remarcabile
Regulile lui De Morgan
I ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qI ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Absorbt, ia
I p ∧ (p ∨ q) ≡ pI p ∨ (p ∧ q) ≡ p
Idempotent, a
I p ∧ p ≡ pI p ∨ p ≡ p
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 29 / 36
Identitat, i remarcabile
Regulile lui De Morgan
I ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qI ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Absorbt, ia
I p ∧ (p ∨ q) ≡ pI p ∨ (p ∧ q) ≡ p
Idempotent, a
I p ∧ p ≡ pI p ∨ p ≡ p
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 29 / 36
Identitat, i remarcabile
Regulile lui De Morgan
I ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qI ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Absorbt, ia
I p ∧ (p ∨ q) ≡ pI p ∨ (p ∧ q) ≡ p
Idempotent, a
I p ∧ p ≡ pI p ∨ p ≡ p
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 29 / 36
Identitat, i remarcabile
I p ∧ 0 ≡ 0I p ∨ 0 ≡ p
I p ∧ 1 ≡ pI p ∨ 1 ≡ 1
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 30 / 36
Identitat, i remarcabile
I p ∧ 0 ≡ 0I p ∨ 0 ≡ p
I p ∧ 1 ≡ pI p ∨ 1 ≡ 1
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 30 / 36
Problema (logica): Pentru sau anti colonizare?
Aurel nu era de parere ca nu trebuia sa se opuna din rasputeri adversarilormiscarii contra luptei ımpotriva necolonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
Care era atitudinea lui Aurel ın privinta colonizarii altor planete?
[http://www.logicus.ro/index.php/rationament/355-pentru-sau-anti-colonizare, 2.01.2013]
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 31 / 36
Problema (logica): Pentru sau anti colonizare?
Aurel nu era de parere ca nu trebuia sa se opuna din rasputeri adversarilormiscarii contra luptei ımpotriva necolonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
Care era atitudinea lui Aurel ın privinta colonizarii altor planete?
[http://www.logicus.ro/index.php/rationament/355-pentru-sau-anti-colonizare, 2.01.2013]
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 31 / 36
Problema (logica): Pentru sau anti colonizare?
Aurel nu era de parere ca nu trebuia sa se opuna din rasputeri adversarilormiscarii contra luptei ımpotriva necolonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
Care era atitudinea lui Aurel ın privinta colonizarii altor planete?
[http://www.logicus.ro/index.php/rationament/355-pentru-sau-anti-colonizare, 2.01.2013]
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 31 / 36
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
Aurel nu era de parere ca nu trebuia sa se opuna din rasputeri adversarilormiscarii contra luptei ımpotriva necolonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
¬¬¬¬¬¬¬︸ ︷︷ ︸7
“colonizarii altor planete ın viitoarea suta de ani”.
Un numar impar de negat, ii se reduce la o singura negat, ie.
Respectiv ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu colonizarii altorplanete ın viitoarea suta de ani”.
Adica Aurel este ımpotriva colonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 32 / 36
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
Aurel nu era de parere ca nu trebuia sa se opuna din rasputeri adversarilormiscarii contra luptei ımpotriva necolonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
¬¬¬¬¬¬¬︸ ︷︷ ︸7
“colonizarii altor planete ın viitoarea suta de ani”.
Un numar impar de negat, ii se reduce la o singura negat, ie.
Respectiv ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu colonizarii altorplanete ın viitoarea suta de ani”.
Adica Aurel este ımpotriva colonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 32 / 36
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
Aurel nu era de parere ca nu trebuia sa se opuna din rasputeri adversarilormiscarii contra luptei ımpotriva necolonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
¬¬¬¬¬¬¬︸ ︷︷ ︸7
“colonizarii altor planete ın viitoarea suta de ani”.
Un numar impar de negat, ii se reduce la o singura negat, ie.
Respectiv ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu colonizarii altorplanete ın viitoarea suta de ani”.
Adica Aurel este ımpotriva colonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 32 / 36
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
Aurel nu era de parere ca nu trebuia sa se opuna din rasputeri adversarilormiscarii contra luptei ımpotriva necolonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
¬¬¬¬¬¬¬︸ ︷︷ ︸7
“colonizarii altor planete ın viitoarea suta de ani”.
Un numar impar de negat, ii se reduce la o singura negat, ie.
Respectiv ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu colonizarii altorplanete ın viitoarea suta de ani”.
Adica Aurel este ımpotriva colonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 32 / 36
Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”
Aurel nu era de parere ca nu trebuia sa se opuna din rasputeri adversarilormiscarii contra luptei ımpotriva necolonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
¬¬¬¬¬¬¬︸ ︷︷ ︸7
“colonizarii altor planete ın viitoarea suta de ani”.
Un numar impar de negat, ii se reduce la o singura negat, ie.
Respectiv ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu colonizarii altorplanete ın viitoarea suta de ani”.
Adica Aurel este ımpotriva colonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 32 / 36
Problema (logica): Doua auditorii
Intr-o scoala noua, ın fiecare dintre doua auditorii libere poate sa se afle
”Laboratorul de Fizica” sau ”Cabinetul de Informatica”. Pe usileauditoriilor a fost instalata cate o placuta glumeata: pe prima usa, placutacu inscriptia ”Cel putin ın una din aceste doua auditorii este plasatCabinetul de Informatica”; pe a doua usa, ”Laboratorul de Fizica se afla ınalt auditoriu”. Intre timp, apare o inspectie din exterior, care cunoaste doarca inscriptiile de pe placute sunt sau ambele adevarate, sau ambele false.Va propunem sa-l ajutati pe inspector sa gaseasca, pe cale logica, undeeste ”Cabinetul de Informatica”.
[http://www.agir.ro/buletine/249.pdf, 2.01.2013]
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 33 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”
p : “In primul auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
q : “In al doilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
¬p : “In primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
¬q : “In al doilea auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
Afirmatiei de pe placuta unui auditoriu (primului) ıi corespunde expresialogica: p ∨ q.
Afirmatiei de pe placuta celuilalt (al doilea) ıi corespunde expresia logica:¬p.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 34 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”
p : “In primul auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
q : “In al doilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
¬p : “In primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
¬q : “In al doilea auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
Afirmatiei de pe placuta unui auditoriu (primului) ıi corespunde expresialogica: p ∨ q.
Afirmatiei de pe placuta celuilalt (al doilea) ıi corespunde expresia logica:¬p.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 34 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”
p : “In primul auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
q : “In al doilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
¬p : “In primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
¬q : “In al doilea auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
Afirmatiei de pe placuta unui auditoriu (primului) ıi corespunde expresialogica: p ∨ q.
Afirmatiei de pe placuta celuilalt (al doilea) ıi corespunde expresia logica:¬p.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 34 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”
p : “In primul auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
q : “In al doilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
¬p : “In primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
¬q : “In al doilea auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
Afirmatiei de pe placuta unui auditoriu (primului) ıi corespunde expresialogica: p ∨ q.
Afirmatiei de pe placuta celuilalt (al doilea) ıi corespunde expresia logica:¬p.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 34 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”
p : “In primul auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
q : “In al doilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
¬p : “In primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
¬q : “In al doilea auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
Afirmatiei de pe placuta unui auditoriu (primului) ıi corespunde expresialogica: p ∨ q.
Afirmatiei de pe placuta celuilalt (al doilea) ıi corespunde expresia logica:¬p.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 34 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”
p : “In primul auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
q : “In al doilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.
¬p : “In primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
¬q : “In al doilea auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.
Afirmatiei de pe placuta unui auditoriu (primului) ıi corespunde expresialogica: p ∨ q.
Afirmatiei de pe placuta celuilalt (al doilea) ıi corespunde expresia logica:¬p.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 34 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”; Continuare
Faptul ca inscriptiile de pe placute sunt sau ambele adevarate, sau ambelefalse ınseamna ca: p ∨ q ↔ ¬p.
p q p ∨ q ¬p p ∨ q ↔ ¬p0 0 0 1 00 1 1 1 11 0 1 0 01 1 1 0 0
Unicul caz cınd echivalenta este adevarata este atunci cınd p este 0 s, i q -1.
Astfel, ın primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica, iar ın aldoilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 35 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”; Continuare
Faptul ca inscriptiile de pe placute sunt sau ambele adevarate, sau ambelefalse ınseamna ca: p ∨ q ↔ ¬p.
p q p ∨ q ¬p p ∨ q ↔ ¬p0 0 0 1 00 1 1 1 11 0 1 0 01 1 1 0 0
Unicul caz cınd echivalenta este adevarata este atunci cınd p este 0 s, i q -1.
Astfel, ın primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica, iar ın aldoilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 35 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”; Continuare
Faptul ca inscriptiile de pe placute sunt sau ambele adevarate, sau ambelefalse ınseamna ca: p ∨ q ↔ ¬p.
p q p ∨ q ¬p p ∨ q ↔ ¬p0 0 0 1 00 1 1 1 11 0 1 0 01 1 1 0 0
Unicul caz cınd echivalenta este adevarata este atunci cınd p este 0 s, i q -1.
Astfel, ın primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica, iar ın aldoilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 35 / 36
Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”; Continuare
Faptul ca inscriptiile de pe placute sunt sau ambele adevarate, sau ambelefalse ınseamna ca: p ∨ q ↔ ¬p.
p q p ∨ q ¬p p ∨ q ↔ ¬p0 0 0 1 00 1 1 1 11 0 1 0 01 1 1 0 0
Unicul caz cınd echivalenta este adevarata este atunci cınd p este 0 s, i q -1.
Astfel, ın primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica, iar ın aldoilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 35 / 36
Legaturi utile
List of logic symbols, articol de pe Wikipedia, accesibil la adresahttp://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols, consultatala 2.01.2013.
Logical connective, articol de pe Wikipedia, accesibil la adresahttp://en.wikipedia.org/wiki/Logical_connective, consultata la2.01.2013.
The Comprehensive LATEXSymbol List, accesibil la adresahttp://www.tex.ac.uk/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf, consultata la 2.01.2013.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 36 / 36
Basic logic, accesibil la adresahttp://philosophy.hku.hk/think/logic/, consultata la 2.01.2013.
Probleme de logica, accesibil la adresa http://www.invatasingur.ro/logica/index.php/Pagina_principal%C4%83, consultata la 2.01.2013.
Eating at Quonk: A tough puzzle, accesibil la adresahttp://www.cs4fn.org/quonk.html, consultata la 2.01.2013.
Mihai Jalobeanu, Note la cursul de Logica Computationala, accesibil laadresahttp://www.itim-cj.ro/˜jalobean/Cursuri/LogComp/note.html,consultata la 2.01.2013.
R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 36 / 36