Suppression of Aerodynamic Response for Bridges

8/17/2019 Suppression of Aerodynamic Response for Bridges

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W i n d a n d S t r u c t u r e s , V o l . 1 0 , N o . 1 ( 2 0 0 7 ) 1 - 2 2 1

S u p p r e s s i o n o f a e r o d y n a m i c r e s p o n s e o f s u s p e n s i o n

b r i d g e s d u r i n g e r e c t i o n a n d a f t e r c o m p l e t i o n

b y u s i n g t u n e d m a s s d a m p e r s

V i r o t e B o o n y a p i n y o

†

D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , T h a m m a s a t U n i v e r s i t y , R a n g s i t C a m p u s , P a t h u m t h a n i 1 2 1 2 0 , T h a i l a n d

A d u l A k s o r n

‡

F a c u l t y o f A r c h i t e c t u r e , K h o n K e a n U n i v e r s i t y , K h o n K e a n 4 0 0 0 2 , T h a i l a n d

P a n i t a n L u k k u n a p r a s i t

‡ †

D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , C h u l a l o n g k o r n U n i v e r s i t y , B a n g k o k 1 0 3 3 0 , T h a i l a n d

( R e c e i v e d N o v e m b e r 1 , 2 0 0 5 , A c c e p t e d N o v e m b e r 1 4 , 2 0 0 6 )

A b s t r a c t . T h e s u p p r e s s i o n o f a e r o d y n a m i c r e s p o n s e o f l o n g - s p a n s u s p e n s i o n b r i d g e s d u r i n g e r e c t i o n

a n d a f t e r c o m p l e t i o n b y u s i n g s i n g l e T M D a n d m u l t i T M D i s p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r . A n a d v a n c e d f i n i t e -

e l e m e n t - b a s e d a e r o d y n a m i c m o d e l t h a t c a n b e u s e d t o a n a l y z e b o t h f l u t t e r i n s t a b i l i t y a n d b u f f e t i n g

r e s p o n s e i n t h e t i m e d o m a i n i s a l s o p r o p o s e d . T h e f r e q u e n c y - d e p e n d e n t f l u t t e r d e r i v a t i v e s a r e t r a n s f e r r e d

i n t o a t i m e - d e p e n d e n t r a t i o n a l f u n c t i o n , t h r o u g h w h i c h t h e c o u p l i n g e f f e c t s o f t h r e e - d i m e n s i o n a l

a e r o d y n a m i c m o t i o n s u n d e r g u s t y w i n d s c a n b e a c c u r a t e l y c o n s i d e r e d . T h e m o d a l d a m p i n g o f a s t r u c t u r e -

T M D s y s t e m i s a n a l y z e d b y t h e s t a t e - s p a c e a p p r o a c h . T h e n u m e r i c a l e x a m p l e s a r e p e r f o r m e d o n t h e

A k a s h i K a i k y o B r i d g e w i t h a m a i n s p a n o f 1 9 9 0 m . T h e b r i d g e i s i d e a l i z e d b y a t h r e e - d i m e n s i o n a l f i n i t e -

e l e m e n t m o d e l c o n s i s t i n g o f 6 8 1 n o d e s . T h e r e s u l t s s h o w t h a t w h e n t h e w i n d v e l o c i t y i s l o w , a b o u t 2 0 m /

s , t h e m u l t i T M D t y p e 1 ( t h e v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l T M D w i t h 1 % m a s s r a t i o i n e a c h d i r e c t i o n t o g e t h e r

w i t h t h e t o r s i o n a l T M D w i t h r a t i o o f 1 % m a s s m o m e n t o f i n e r t i a ) c a n s i g n i f i c a n t l y r e d u c e t h e b u f f e t i n g

r e s p o n s e i n v e r t i c a l , h o r i z o n t a l a n d t o r s i o n a l d i r e c t i o n s b y 8 . 6 - 1 3 % . W h e n t h e w i n d v e l o c i t y i n c r e a s e s t o

4 0 m / s , t h e c o n t r o l e f f i c i e n c y o f a m u l t i T M D i n r e d u c i n g t h e t o r s i o n a l b u f f e t i n g r e s p o n s e i n c r e a s e s

g r e a t l y t o 2 8 % . H o w e v e r , i t s c o n t r o l e f f i c i e n c y i n t h e v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s r e d u c e s . T h e

r e s u l t s a l s o i n d i c a t e t h a t t h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y f o r f l u t t e r i n s t a b i l i t y d u r i n g e r e c t i o n i s s i g n i f i c a n t l y

l o w e r t h a n t h a t o f t h e c o m p l e t e d b r i d g e . B y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n , t h e m i n i m u m c r i t i c a l w i n d

v e l o c i t y o f 5 7 . 7 0 m / s o c c u r s a t s t a g e o f 8 5 % d e c k c o m p l e t i o n .

K e y w o r d s : a e r o d y n a m i c r e s p o n s e ; s u s p e n s i o n b r i d g e s ; A k a s h i K a i k y o B r i d g e ; t u n e d m a s s d a m p e r s .

† A s s o c i a t e P r o f e s s o r , C o r r e s p o n d i n g A u t h o r , E - m a i l : b v i r o t e @ e n g r . t u . a c . t h

‡ L e c t u r e r

‡ † P r o f e s s o r


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2 V i r o t e B o o n y a p i n y o , A d u l A k s o r n a n d P a n i t a n L u k k u n a p r a s i t

1 . I n t r o d u c t i o n

W i n d - i n d u c e d f l u t t e r i n s t a b i l i t y a n d b u f f e t i n g r e s p o n s e a r e p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t a e r o d y n a m i c

r e s p o n s e s o f l o n g - s p a n s u s p e n s i o n b r i d g e s a n d l o n g - s p a n c a b l e - s t a y e d b r i d g e s . T h e w i n d e f f e c t m u s t

b e t a k e n i n t o a c c o u n t n o t o n l y f o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e b u t a l s o f o r t h e b r i d g e d u r i n g e r e c t i o n .

F l u t t e r i s a p h e n o m e n o n o f s e l f - e x c i t e d v i b r a t i o n , w h i c h m a y c a u s e a b r i d g e t o v i b r a t e c o n t i n u o u s l y

w i t h i n c r e a s i n g a m p l i t u d e u n t i l t h e b r i d g e s t r u c t u r e f a i l s . A l a r g e b u f f e t i n g a m p l i t u d e m a y c a u s e

f a t i g u e d a m a g e i n s t r u c t u r a l m e m b e r s o r m a k e d r i v e r s a n d p a s s e n g e r s i n m o v i n g v e h i c l e s f e e l

u n c o m f o r t a b l e . W i t h t h e r a p i d i n c r e a s e i n t h e s p a n l e n g t h o f m o d e r n c a b l e - s t a y e d a n d s u s p e n s i o n

b r i d g e s , r e s e a r c h o n a e r o d y n a m i c r e s p o n s e a n a l y s i s a n d i t s s u p p r e s s i o n o f l o n g - s p a n b r i d g e s d u r i n g

e r e c t i o n a n d a f t e r c o m p l e t i o n h a s b e c o m e a p r o b l e m o f g r e a t c o n c e r n .

A l t h o u g h t h e p e r i o d o f d e c k e r e c t i o n i s u s u a l l y n o t t o o l o n g a n d t h e e x p e c t e d w i n d v e l o c i t y f o r

t h i s p e r i o d c a n b e r e d u c e d a c c o r d i n g l y , t h e o v e r a l l s t i f f n e s s o f t h e b r i d g e d u r i n g e r e c t i o n i s

s i g n i f i c a n t l y l e s s c o m p a r e d t o t h a t o f t h e c o m p l e t e d b r i d g e i n s e r v i c e c o n d i t i o n . T h e r e f o r e , t h e

g e n e r a l c o n d i t i o n s a g a i n s t t h e a e r o d y n a m i c i n s t a b i l i t y a r e f o u n d t o b e l e s s f a v o r a b l e t h a n t h e

c o m p l e t e d b r i d g e ( B r a n c a l e o n i 1 9 9 2 , T a n a k a , e t a l . 1 9 9 8 , G e a n d T a n a k a 2 0 0 0 , C o b o d e l A r c o

2 0 0 1 ) . F o r t r u s s s t i f f e n e d b r i d g e s , t h e p r o b l e m m a y b e s o l v e d b y e r e c t i n g t h e o p e n t r u s s f i r s t

( L a r s e n a n d G i m s i n g 1 9 9 2 ) b u t t h i s c a n n o t b e d o n e i n b o x - g i r d e r s u s p e n s i o n b r i d g e s . T h e

s u p p r e s s i o n o f a e r o d y n a m i c r e s p o n s e o f l o n g - s p a n s u s p e n s i o n b r i d g e s d u r i n g e r e c t i o n a n d a f t e r

c o m p l e t i o n c a n b e d o n e b y t h e c o n t r o l m e t h o d a n d t h e c h o i c e o f e r e c t i o n m e t h o d .

T h e s t r a t e g y f o r t h e c o n t r o l o f w i n d - i n d u c e d v i b r a t i o n o f l o n g - s p a n b r i d g e s c a n b e c l a s s i f i e d a s

s t r u c t u r a l c o u n t e r m e a s u r e s , a e r o d y n a m i c c o u n t e r m e a s u r e s a n d m e c h a n i c a l c o u n t e r m e a s u r e s . T h e

s t r u c t u r a l c o u n t e r m e a s u r e s a r e d o n e b y i n c r e a s i n g t h e f i r s t t o r s i o n a l f r e q u e n c y a n d t h e r a t i o b e t w e e n

t h e f i r s t s y m m e t r i c t o r s i o n a l a n d v e r t i c a l b e n d i n g f r e q u e n c i e s . T h i s m e t h o d c a n o b v i o u s l y i m p r o v e

t h e f l u t t e r b e h a v i o r o f b r i d g e s ( S i m i u a n d S c a n l a n 1 9 9 6 ) . T h e a e r o d y n a m i c c o u n t e r m e a s u r e s a r e

u s u a l l y a n e f f e c t i v e m e t h o d f o r r e s p o n s e s u p p r e s s i o n . W a r d l a w ( 1 9 9 2 ) s u m m a r i z e d t h e

c o u n t e r m e a s u r e s f o r i m p r o v i n g t h e a e r o d y n a m i c s t a b i l i t y o f b r i d g e d e c k s a n d n o t e d t h a t a s a t i s f y i n g

a e r o d y n a m i c p e r f o r m a n c e o f b r i d g e d e c k s c a n b e a c h i e v e d b y t h e u s e o f s h a l l o w s e c t i o n s , c l o s e d

s e c t i o n s , e d g e s t r e a m l i n i n g a n d o t h e r m i n o r o r s u b t l e c h a n g e s t o t h e c r o s s - s e c t i o n g e o m e t r y . A c t i v e

a e r o d y n a m i c c o u n t e r m e a s u r e s h a v e a l s o b e e n s t u d i e d f o r i n c r e a s i n g t h e c r i t i c a l f l u t t e r w i n d s p e e d

( W i l d e a n d F u j i n o 1 9 9 8 ) .

P a s t a n d p r e s e n t r e s e a r c h e s o n t h e m e c h a n i c a l c o u n t e r m e a s u r e o f t h e b u f f e t i n g r e s p o n s e

( M a l h o r t r a a n d W i e l a n d 1 9 8 7 , M i y a t a , e t a l . 1 9 9 3 , C o n t i , e t a l . 1 9 9 6 , G u , e t a l . 2 0 0 1 , C h a n g , e t a l .

2 0 0 3 ) a n d f l u t t e r r e s p o n s e ( N o b u t o , e t a l . 1 9 8 8 , G u , e t a l . 1 9 9 8 , P o u r z e y n a l i a n d D a t t a 2 0 0 2 , K w o n

a n d P a r k 2 0 0 4 ) o f l o n g - s p a n b r i d g e s f o c u s m a i n l y o n t h e t u n e d m a s s d a m p e r ( T M D ) . C o n t i , e t a l .

( 1 9 9 6 ) s h o w e d t h a t t h e T M D c a n r e d u c e t h e h o r i z o n t a l b u f f e t i n g r e s p o n s e i n t e r m s o f s t a n d a r d

d e r i v a t i v e v a l u e b y 3 5 % i n a f u l l a e r o e l a s t i c m o d e l t e s t o f t h e N o r m a n d i e c a b l e - s t a y e d b r i d g e

d u r i n g e r e c t i o n . H o w e v e r , p r e v i o u s r e s e a r c h e s o n t h e s u p p r e s s i o n o f a e r o d y n a m i c r e s p o n s e o f l o n g -

s p a n b r i d g e s a r e g e n e r a l l y b a s e d o n : ( 1 ) t h e s p e c t r a l a p p r o a c h w h i c h u s e s o n l y t w o m o d e s , t h a t i s ,

t h e f i r s t v e r t i c a l m o d e a n d t h e f i r s t t o r s i o n a l m o d e , w i t h t h e r e s u l t s b e i n g l i m i t e d t o t h e b u f f e t i n g

r e s p o n s e o n l y i n t e r m s o f t h e s t a n d a r d d e r i v a t i v e v a l u e s ; a n d ( 2 ) t h e s i m p l i f i e d a e r o d y n a m i c m o d e l

t h a t d o e s n o t c o n s i d e r t h e c o m b i n e d f l u t t e r i n s t a b i l i t y a n d b u f f e t i n g r e s p o n s e a n d n e g l e c t s t h e

a e r o e l a s t i c c o u p l i n g b e t w e e n m o d e s . B o o n y a p i n y o , e t a l . ( 1 9 9 9 ) a n d C h e n , e t a l . ( 2 0 0 0 a ) s h o w e d

t h a t n e g l e c t i n g t h e e f f e c t s o f a e r o e l a s t i c c o u p l i n g b e t w e e n m o d e s r e s u l t s i n a s i g n i f i c a n t

u n d e r e s t i m a t i o n o f t h e t o r s i o n a l d i s p l a c e m e n t r e s p o n s e a n d p r o d u c e s a c o n s i d e r a b l e d i f f e r e n c e i n t h e


3/22

S u p p r e s s i o n o f a e r o d y n a m i c r e s p o n s e o f s u s p e n s i o n b r i d g e s d u r i n g e r e c t i o n 3

v e r t i c a l r e s p o n s e a t h i g h w i n d v e l o c i t i e s .

I n a d d i t i o n , p r e v i o u s r e s e a r c h o n m u l t i - m o d e c o u p l e d f l u t t e r a n a l y s i s a n d i t s s u p p r e s s i o n a r e

c o m m o n l y p e r f o r m e d t h r o u g h t h e s o l u t i o n o f a n o n l i n e a r c o m p l e x e i g e n v a l u e p r o b l e m ( M i y a t a a n d

Y a m a d a 1 9 8 8 , A g a r 1 9 9 1 ) . S i n c e u n s t e a d y s e l f - e x c i t e d f o r c e s a r e a f u n c t i o n o f r e d u c e d f r e q u e n c y ,

e a c h s o l u t i o n a s s o c i a t e d w i t h e a c h m o d e n e e d s a n i t e r a t i v e c a l c u l a t i o n u n t i l t h e a s s u m e d f r e q u e n c y

c o i n c i d e s w i t h t h a t o f t h e p r e s c r i b e d t a r g e t m o d e . T h i s p r o c e d u r e c a n b e t i m e c o n s u m i n g a n d

c o m p u t a t i o n a l l y c u m b e r s o m e p a r t i c u l a r l y f o r t h e m u l t i - m o d e f l u t t e r a n a l y s i s o f l o n g s p a n b r i d g e s

t h a t h a v e c l o s e l y - s p a c e d f r e q u e n c i e s . R e c e n t l y , t h e c o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y o f f l u t t e r a n a l y s i s h a s

b e e n i m p r o v e d b y r e p r e s e n t i n g t h e u n s t e a d y s e l f - e x c i t e d f o r c e s i n t e r m s o f a r a t i o n a l f u n c t i o n

a p p r o x i m a t i o n ( F u j i n o , e t a l . 1 9 9 5 , B o o n y a p i n y o , e t a l . 1 9 9 9 , C h e n , e t a l . 2 0 0 0 a , 2 0 0 0 b ) .

A c c o r d i n g l y , t h e m u l t i - m o d e c o u p l e d f l u t t e r a n a l y s i s i s r e d u c e d t o e v a l u a t e t h e e i g e n v a l u e s o f a

c o n s t a n t m a t r i x a t e a c h p r e s c r i b e d w i n d v e l o c i t y . V e r y f e w r e s e a r c h e s , i f a n y , o n t h e s u p p r e s s i o n o f

a e r o d y n a m i c r e s p o n s e o f l o n g - s p a n s u s p e n s i o n b r i d g e s b y u s i n g T M D h a v e b e e n b a s e d o n a n

a d v a n c e d a e r o d y n a m i c m o d e l t h a t c o n s i d e r s c o m b i n e d f l u t t e r i n s t a b i l i t y a n d b u f f e t i n g r e s p o n s e i n

t i m e d o m a i n a n d a e r o e l a s t i c c o u p l i n g b e t w e e n m o d e s . A n a c c u r a t e e s t i m a t i o n o f t h e s u p p r e s s i o n o f

a e r o d y n a m i c r e s p o n s e r e q u i r e s a p r e c i s e p r e d i c t i o n o f t h e a e r o d y n a m i c d a m p i n g a n d p r o p e r

c o n s i d e r a t i o n o f t h e c h a n g e s t h a t t a k e p l a c e i n m o d e s h a p e s d u e t o a e r o d y n a m i c c o u p l i n g . W i t h t h e

r a p i d i n c r e a s e i n t h e s p a n l e n g t h o f m o d e r n c a b l e - s t a y e d a n d s u s p e n s i o n b r i d g e s , a n a d v a n c e d f i n i t e -

e l e m e n t - b a s e d a e r o d y n a m i c m o d e l m u s t b e c o n s i d e r e d a n d t h e n t h e c o n t r o l e f f i c i e n c y o f T M D w i t h

w i n d v e l o c i t y c o u l d b e b e t t e r u n d e r s t o o d a n d a c c u r a t e l y i n v e s t i g a t e d .

I n t h i s p a p e r , t h e s u p p r e s s i o n o f a e r o d y n a m i c r e s p o n s e o f l o n g - s p a n s u s p e n s i o n b r i d g e s d u r i n g

e r e c t i o n a n d a f t e r c o m p l e t i o n b y u s i n g s i n g l e T M D a n d m u l t i T M D i s p r e s e n t e d . A n a d v a n c e d

f i n i t e - e l e m e n t - b a s e d a e r o d y n a m i c m o d e l t h a t c a n b e u s e d t o a n a l y z e b o t h f l u t t e r i n s t a b i l i t y a n d

b u f f e t i n g r e s p o n s e i n t h e t i m e d o m a i n i s a l s o p r o p o s e d . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n i n t h e t i m e d o m a i n

i s e x p r e s s e d i n m o d a l - c o o r d i n a t e s t a t e - s p a c e f o r m . T h e f r e q u e n c y - d e p e n d e n t f l u t t e r d e r i v a t i v e s a r e

t r a n s f e r r e d i n t o a t i m e - d e p e n d e n t r a t i o n a l f u n c t i o n , t h r o u g h w h i c h t h e c o u p l i n g e f f e c t s o f t h r e e -

d i m e n s i o n a l a e r o d y n a m i c m o t i o n s u n d e r g u s t y w i n d s c a n b e a c c u r a t e l y c o n s i d e r e d . T h e b u f f e t i n g

f o r c e s a r e c o n s i d e r e d t h r o u g h a q u a s i - s t e a d y f o r m u l a t i o n t o g e t h e r w i t h t h e a p p r o p r i a t e a e r o d y n a m i c

a d m i t t a n c e s . T h e m o d a l d a m p i n g o f a s t r u c t u r e - T M D s y s t e m i s a n a l y z e d b y t h e s t a t e - s p a c e

a p p r o a c h . T h e n u m e r i c a l e x a m p l e s a r e p e r f o r m e d o n t h e A k a s h i K a i k y o B r i d g e w i t h a m a i n s p a n o f

1 9 9 0 m d u r i n g e r e c t i o n a n d a f t e r c o m p l e t i o n b y u s i n g s i n g l e T M D a n d m u l t i T M D .

2 . T u r b u l e n t w i n d m o d e l a n d i t s s i m u l a t i o n

T h e t u r b u l e n t w i n d m o d e l c o n s i s t s o f a s t e a d y p a r t ( r e l a t e d t o m e a n w i n d s p e e d ) a n d a s u p e r i m p o s e d

f l u c t u a t i n g p a r t . T h e f l u c t u a t i n g w i n d f o r c e s a c t i n g o n t h e s t r u c t u r e d e p e n d o n t h e s i z e o f g u s t i n

r e l a t i o n t o t h e s i z e o f t h e s t r u c t u r e . T h i s d e p e n d e n c e c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e a e r o d y n a m i c

a d m i t t a n c e , w h i c h i s a r a t i o o f t h e f l u c t u a t i n g f o r c e i n t h e t u r b u l e n t w i n d t o t h e q u a s i - s t a t i c f o r c e i n

t h e s t e a d y f l o w . T h e m u l t i d i m e n s i o n a l a u t o r e g r e s s i v e m o v i n g a v e r a g e ( A R M A ) p r o p o s e d b y S a m a r a s ,

e t a l . ( 1 9 8 5 ) f o r g e n e r a t i n g t h e t i m e - s p a c e c o r r e l a t e d f l u c t u a t i n g w i n d v e l o c i t y a l o n g t h e b r i d g e i s

a p p l i e d . T h e d e t a i l s o f t h e t u r b u l e n t w i n d m o d e l a r e g i v e n b y M i y a t a , e t a l . ( 1 9 9 5 ) , a m o n g o t h e r s .

3 . A e r o d y n a m i c f o r c e m o d e l a n d e q u a t i o n o f m o t i o n

T h e a e r o d y n a m i c f o r c e m o d e l i s a s s u m e d t o c o n s i s t o f : ( 1 ) f r e q u e n c y - d e p e n d e n t a e r o e l a s t i c f o r c e


4/22


d u e t o w i n d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n i n a s m o o t h o n c o m i n g w i n d f l o w ; a n d ( 2 ) t i m e - a n d - s p a c e -

d e p e n d e n t b u f f e t i n g f o r c e d u e t o t u r b u l e n c e i n a n o n c o m i n g w i n d f l o w , b u t n e g l e c t e d i n t e r a c t i v e

w i t h s t r u c t u r a l m o t i o n . T h e n , t h e s e c t i o n a l a e r o d y n a m i c w i n d f o r c e s p e r u n i t s p a n a r e d e f i n e d a s

L i f t : L = L

a e

+

L

b

( 1 a )

D r a g : D = D

a e

+ D

b

( 1 b )

M o m e n t : M = M

a e

+ M

b

( 1 c )

w h e r e s u b s c r i p t a e r e f e r s t o a e r o e l a s t i c e f f e c t s ; a n d b t o b u f f e t i n g e f f e c t s .

T h e q u a s i - s t e a d y b u f f e t i n g l i f t , d r a g a n d m o m e n t f o r c e s a r e e x p r e s s e d i n t e r m s o f s t e a d y a v e r a g e

( o r s t a t i c ) l i f t , d r a g a n d m o m e n t f o r c e c o e f f i c i e n t s C

L

, C

D

a n d C

M

, r e s p e c t i v e l y , ( S i m i u a n d S c a n l a n

1 9 9 6 ) a s

( 2 a )

( 2 b )

( 2 c )

w h e r e U = m e a n a l o n g - w i n d v e l o c i t y ; ρ = a i r d e n s i t y ; B = d e c k w i d t h ; u = u ( t ) a n d w = w ( t ) a r e t h e

h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l g u s t ( o r f l u c t u a t i o n ) v e l o c i t y c o m p o n e n t s o f t h e w i n d ; A

n

= p r o j e c t e d a r e a o f

t h e d e c k n o r m a l t o t h e w i n d d i r e c t i o n ; ; ; ; α = w i n d

a n g l e o f a t t a c k .

B e c a u s e t h e a e r o e l a s t i c f o r c e s d e p e n d o n r e d u c e d f r e q u e n c y w h i l e t h e b u f f e t i n g f o r c e s n a t u r a l l y

d e p e n d o n t i m e a n d s p a t i a l l o c a t i o n , t h e f r e q u e n c y - d e p e n d e n t a e r o e l a s t i c f o r c e s a r e t r a n s f o r m e d i n t o

t h e t i m e - d e p e n d e n t f o r c e s s o t h a t t h e y c a n b e a p p l i e d i n a n e x p l i c i t t i m e - d o m a i n a p p r o a c h . T h e

m o s t c o m m o n f o r m o f t h e a p p r o x i m a t i o n o f a e r o e l a s t i c f o r c e c o e f f i c i e n t s u s e d c u r r e n t l y i n

a e r o n a u t i c s i s a r a t i o n a l f u n c t i o n o f t h e n o n d i m e n t i o n a l L a p l a c e v a r i a b l e p w h e r e p = s B / U = i K a n d

n o n d i m e n s i o n a l t i m e s = U t / B .

T h u s , f o r s i n u s o i d a l m o t i o n i n t h e v e r t i c a l y , r o t a t i o n q , a n d h o r i z o n t a l z d i r e c t i o n s , t h e l i n e a r l i z e d

f o r m s o f t h e a e r o e l a s t i c o r s e l f - e x c i t e d f o r c e s a r e c o m p l e t e l y e x p r e s s e d i n t h e L a p l a c e d o m a i n a s

( 3 )

w h e r e t h e a e r o e l a s t i c c o e f f i c i e n t s m a t r i x c a n b e e x p r e s s e d i n t h e r a t i o n a l f u n c t i o n o r p a r t i a l f r a c t i o n

f o r m ( B o o n y a p i n y o , e t a l . 1 9 9 9 ) ; K = B ω / U = r e d u c e d f r e q u e n c y ; ω = n a t u r a l f r e q u e n c y ; a n d

( i = 1 − 6 ) = e x p e r i m e n t a l l y o b t a i n e d f l u t t e r d e r i v a t i v e s o r a e r o e l a s t i c c o e f f i c i e n t s .

F i n a l l y , t h e e q u a t i o n o f m o t i o n i n t h e t i m e d o m a i n i s e x p r e s s e d w i t h a m o d a l - c o o r d i n a t e d s t a t e -

s p a c e f o r m a s ( B o o n y a p i n y o , e t a l . 1 9 9 9 )

L

b

1

2

- - - ρ U

2

B C

L

1 2

u

U

- - - - +

C

L

′

A

n

B

- - - - - C

D

+

w

U

- - - - + =

D

b

1

2

- - - ρ U

2

A

n

C

D

1 2

u

U

- - - - +

C

D

′

w

U

- - - - + =

M

b

1

2

- - - ρ U

2

B

2

C

M

1 2

u

U

- - - - +

C

M

′

w

U

- - - - + =

C

L

′

d C

L

d

α

⁄ = C

D

′

d C

D

d

α

⁄ = C

M

′

d C

M

d

α

⁄ =

L

a e

D

a e

M

a e

1

2

- - - ρ U

2

B

B

B

2

K

2

H

1

*

i K

2

H

4

*

+ K

2

H

5

*

i K

2

H

6

*

+ K

2

H

2

*

i K

2

H

3

*

+

K

2

P

5

*

i K

2

P

6

*

+ K

2

P

1

*

i K

2

P

4

*

+ K

2

P

2

*

i K

2

P

3

*

+

K

2

A

1

*

i K

2

A

4

*

+ K

2

A

5

*

i K

2

A

6

*

+ K

2

A

2

*

i K

2

A

3

*

+

y B ⁄

z B ⁄

θ

x

=

H

i

*

, P

i

*

,

A

i

*

,


5/22


( 4 )

o r s y m b o l i c a l l y e x p r e s s e d a s

( 5 )

w h e r e ; ; ; m o d a l a e r o e l a s t i c m a t r i x A

l

=

Φ

t

a

l

Φ , l = 0 , 1 , 2 , . . . , m + 2 ; Φ = n a t u r a l m o d e s h a p e ; a

l

= a e r o e l a s t i c m a t r i x i n t h e f o r m o f r a t i o n a l

f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n ; M , C a n d K = m o d a l m a s s , d a m p i n g , a n d s t i f f n e s s m a t r i c e s , r e s p e c t i v e l y ;

a n d = a e r o e l a s t i c - m o d i f i e d m o d a l m a s s , d a m p i n g , a n d s t i f f n e s s m a t r i c e s , r e s p e c t i v e l y ; x

l

,

l = 3 , 4 , . . . , m + 2 , = , = a e r o d y n a m i c s t a t e v e c t o r s ; U = m e a n a l o n g - w i n d v e l o c i t y ; q = g e n e r a l i z e d

c o o r d i n a t e ; F

b

= m o d a l b u f f e t i n g f o r c e v e c t o r ; m = p a r t i a l f r a c t i o n o r l a g t e r m s f o r t h e a p p r o x i m a t i o n

o f f l u t t e r d e r i v a t i v e s g e n e r a l l y v a r i e d f r o m 2 t o 4 d e p e n d i n g o n t h e i r c h a r a c t e r i s t i c s .

B e c a u s e E q . ( 4 ) e x p l i c i t l y i n c l u d e s b o t h a e r o e l a s t i c a n d b u f f e t i n g f o r c e s , i t c a n b e u s e d t o a n a l y z e :

( 1 ) s e v e r a l t y p e s o f a e r o d y n a m i c i n s t a b i l i t y , s u c h a s , g a l l o p i n g , t o r s i o n a l f l u t t e r , a n d f l e x u r a l -

t o r s i o n a l f l u t t e r ; a n d ( 2 ) c o m b i n e d f l u t t e r i n s t a b i l i t y a n d b u f f e t i n g r e s p o n s e s . D e t a i l s o f t h e s o l u t i o n

o f f l u t t e r v e l o c i t y u n d e r s m o o t h w i n d a n d t h e s o l u t i o n o f b u f f e t i n g r e s p o n s e u n d e r t u r b u l e n t w i n d

a r e g i v e n b y B o o n y a p i n y o , e t a l . ( 1 9 9 9 ) .

4 . D e s i g n o f t u n e d m a s s d a m p e r s

4 . 1 . E q u a t i o n o f m o t i o n o f s t r u c t u r e - T M D s y s t e m

T h e m o d e l i n g o f t h e b r i d g e - T M D s y s t e m a n d T M D a t t h e s p a n - c e n t e r f o r h o r i z o n t a l , v e r t i c a l a n d

t o r s i o n a l d i r e c t i o n s i s s h o w n i n F i g . 1 . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n f o r a m u l t i - d e g r e e - o f - f r e e d o m

s y s t e m w i t h a T M D 1 a n d a T M D 2 a t t a c h e d t o h

t h

a n d k

t h

d e g r e e s o f f r e e d o m , r e s p e c t i v e l y ,

s u b j e c t e d t o w i n d l o a d p i s g i v e n b y :

( 6 )

T h e s o l u t i o n c a n b e e x p r e s s e d b y t h e m o d a l a n a l y s i s a s

( 7 )

w h e r e u

s

= v e c t o r o f a b s o l u t e d i s p l a c e m e n t o f t h e m a i n s t r u c t u r e ; u

t 1

a n d u

t 2

= a b s o l u t e d i s p l a c e m e n t s o f

T M D 1 a n d T M D 2 , r e s p e c t i v e l y ; x

s

= v e c t o r o f g e n e r a l i z e d - c o o r d i n a t e d i s p l a c e m e n t o f m a i n s t r u c t u r e ;

q

·

q

· ·

x

·

3

x

·

m 2 +

0 I 0 0

M

̂

1 –

K

̂

– M

̂

1 –

C

̂

–

1

2

- - - ρ U

2

M

̂

1 –

1

2

- - - ρ U

2

M

̂

1 –

0 A

3

U

B

- - - -

– b

3

I 0

0 A

m 2 +

0

U

B

- - - -

– b

m 2 +

I

q

q

·

x

3

x

m 2 +

0

M

̂

1 –

0

0

F

b

+ =

η

·

t ( ) A η t ( ) B F

b

t ( ) + =

M

̂

M

1

2

- - - ρ B

2

A

2

– = C

̂

C

1

2

- -- ρ U B A

1

– = K

̂

K

1

2

- - - ρ U

2

A

0

– =

M

̂

C

̂

, , K

̂

m u

· ·

c u

·

k u p = + +

u

u

s

u

t 1

u

t 2

A x

ϕ

1

ϕ

n

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

x

s

x

t 1

x

t 2

= = =


6/22


x

t 1

a n d x

t 2

= g e n e r a l i z e d - c o o r d i n a t e d i s p l a c e m e n t s o f T M D 1 a n d T M D 2 , r e s p e c t i v e l y ; ϕ

n

= n

t h

n a t u r a l

m o d e s h a p e o f t h e m a i n s t r u c t u r e w i t h o u t T M D , n o r m a l i z i n g s u c h t h a t m o d a l m a s s = 1 .

B y s u b s t i t u t i n g E q . ( 7 ) i n t o E q . ( 6 ) a n d p r e m u l t i p l y i n g E q . ( 6 ) w i t h t h e t r a n s p o s e o f A , t h e

e q u a t i o n o f m o t i o n i n m o d a l c o o r d i n a t e s c a n b e w r i t t e n a s

( 8 )

w h e r e

M = d i a g ( 1 , 1 , . . . , 1

n

, m

t 1

, m

t 2

) ( 9 )

( 1 0 )

( 1 1 )

M x

· ·

C x

·

K x P = + +

C A

T

c A

ϕ

1

T

c

s

ϕ

1

0 0 0

0 ϕ

n

T

c

s

ϕ

n

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

c

t 1

φ

1 h

φ

1 h

φ

1 h

φ

n h

φ

1 h

– 0

φ

n h

φ

1 h

φ

n h

φ

n h

φ

n h

– 0

φ

1 h

– φ

n h

– 1 0

0 0 0 0

c

t 2

φ

1 k

φ

1 k

φ

1 k

φ

n k

0

φ

1 k

–

φ

n k

φ

1 k

φ

n k

φ

n k

0 φ

n k

–

0 0 0 0

φ –

1 k

φ

n k

– 0 1

+ + = =

K A

T

k A

ϕ

1

T

k

s

ϕ

1

0 0 0

0 ϕ

n

T

k

s

ϕ

n

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

k

t 1

φ

1 h

φ

1 h

φ

1 h

φ

n h

φ

1 h

– 0

φ

n h

φ

1 h

φ

n h

φ

n h

φ

n h

– 0

φ

1 h

– φ

n h

– 1 0

0 0 0 0

k

t 2

φ

1 k

φ

1 k

φ

1 k

φ

n k

0

φ

1 k

–

φ

n k

φ

1 k

φ

n k

φ

n k

0 φ

n k

–

0 0 0 0

φ –

1 k

φ

n k

– 0 1

+ + = =

F i g . 1 ( a ) M o d e l i n g o f b r i d g e - T M D s y s t e m ; a n d T M D a t t h e s p a n - c e n t e r s e c t i o n f o r : ( b ) h o r i z o n t a l ; ( c ) v e r t i c a l ;

( d ) t o r s i o n a l d i r e c t i o n s


7/22


( 1 2 )

a n d m

t 1

, c

t 1

, a n d k

t 1

= m a s s , d a m p i n g c o e f f i c i e n t , a n d s t i f f n e s s o f T M D 1 ; m

t 2

, c

t 2

, a n d k

t 2

= m a s s ,

d a m p i n g c o e f f i c i e n t , a n d s t i f f n e s s o f T M D 2 .

F i n a l l y , t h e m o d a l d a m p i n g o f t h e s t r u c t u r e - T M D s y s t e m c a n b e a n a l y z e d b y t h e s t a t e - s p a c e

a p p r o a c h .

4 . 2 . O p t i m a l d a m p i n g r a t i o o f T M D

T o s i m p l i f y t h e a n a l y s i s b y n e g l e c t i n g t h e s t r u c t u r a l d a m p i n g r a t i o , t h e o p t i m a l d a m p i n g r a t i o o f

T M D ( ξ

t , o p t

) a n d t u n e d p a r a m e t e r ( f

t , o p t

= ω

t

/ ω

s

) c a n b e o b t a i n e d f o r t h e r a n d o m l y f o r c e d v i b r a t i o n

a s ( A y o r i n d e a n d W a r b u r t o n 1 9 8 0 )

( 1 3 )

( 1 4 )

w h e r e m a s s r a t i o µ = m

t

/ m

s

= t h e r a t i o o f t h e T M D m a s s t o t h e m o d a l m a s s o f s t r u c t u r e . F o r

e x a m p l e s , w h e n µ = 1 % a n d µ = 3 % , ξ

t , o p t

= 5 % a n d 8 . 6 % , r e s p e c t i v e l y . T h e a b o v e f o r m u l a f o r

o p t i m a l d a m p i n g r a t i o o f T M D o r s i m i l a r o n e w a s u s e d b y m a n y r e s e a r c h e r s , s u c h a s f o r c o n t r o l o f

b u f f e t i n g r e s p o n s e ( C h a n g , e t a l . 2 0 0 3 ) a n d f o r f l u t t e r r e s p o n s e ( K w o n a n d P a r k 2 0 0 4 ) . G u , e t a l .

( 1 9 9 8 ) w e r e a l s o u s e d s i m i l a r f o r m u l a f o r p a r a m e t r i c s t u d y o n c o n t r o l o f f l u t t e r r e s p o n s e b y

t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t s t u d i e s . M o r e d e t a i l s o f o p t i m a l d a m p i n g r a t i o o f T M D a r e g i v e n b y

S i m i u a n d S c a n l a n ( 1 9 9 6 ) , a m o n g o t h e r s .

5 . N u m e r i c a l e x a m p l e s o f t h e c o m p l e t e d b r i d g e

T h e f l u t t e r a n d b u f f e t i n g r e s p o n s e s o f t h e A k a s h i K a i k y o B r i d g e w i t h a m a i n s p a n o f 1 9 9 0 m a n d

t w o s i d e s p a n s o f 9 6 0 m a r e i n v e s t i g a t e d w i t h a n d w i t h o u t t u n e d m a s s d a m p e r s . T h e c o m p l e t e d

b r i d g e i s i d e a l i z e d b y a t h r e e - d i m e n s i o n a l f i n i t e - e l e m e n t m o d e l c o n s i s t i n g o f 6 8 1 n o d e s , a s s h o w n

i n F i g . 3 . T h e s t i f f e n i n g t r u s s g i r d e r , a s s h o w n i n F i g . 2 , h a s a 3 5 . 5 m w i d t h , a 1 4 m d e p t h , a

6 . 7 4 m

2

p r o j e c t e d a r e a n o r m a l t o t h e w i n d d i r e c t i o n ( A

n

) a n d a n o f f s e t d i s t a n c e b e t w e e n t h e s h e a r

a n d g r a v i t y c e n t e r s o f 3 m . T h e a e r o e l a s t i c m a t r i x a

l

i n t h e f o r m o f r a t i o n a l f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n

g i v e n b y B o o n y a p i n y o , e t a l . ( 1 9 9 9 ) i s c a l c u l a t e d f r o m e x p e r i m e n t a l l y o b t a i n e d f l u t t e r d e r i v a t i v e s o f

s t i f f e n i n g t r u s s g i r d e r ( m o d i f i e d s e c t i o n ) g i v e n b y t h e H o n s h u - S h i k o k u B r i d g e A u t h o r i t y ( 1 9 9 5 ) .

T h e s t a t i c a e r o d y n a m i c c o e f f i c i e n t s o f t r u s s g i r d e r a r e ;

C

D

= 1 . 9 8 7 3 ,

C

L

= 0 . 0 1 8 2 ,

C

M

= − 0 . 0 0 4 6 ,

C

D

= 0 . 2 1 7 ,

C

L

= 1 . 6 1 2 ,

C

M

= 0 . 3 8 1 . T h e s t a t i c a e r o d y n a m i c d r a g c o e f f i c i e n t s o f t h e m a i n c a b l e a n d

P A

T

p

ϕ

1

T

p

ϕ

n

T

p

0

0

= =

ξ

t o p t ,

µ 3 µ 4 + ( )

8 µ 1 + ( ) µ 2 + ( )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- =

f

t o p t ,

µ 2 +

2 µ 1 + ( )

2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - =


8/22


t o w e r a r e 0 . 7 a n d 1 . 8 , r e s p e c t i v e l y . I n t h e a n a l y s i s , t h e f o l l o w i n g p a r a m e t e r s a r e u s e d : ( 1 ) m o d a l

l o g a r i t h m i c d e c r e m e n t δ = 0 . 0 3 f o r h o r i z o n t a l , v e r t i c a l , a n d t o r s i o n a l m o d e s ; ( 2 ) t i m e s t e p

i n c r e m e n t s = 0 . 5 s ; ( 3 ) w i n d s a r e g e n e r a t e d e v e r y 0 . 5 s ; ( 4 ) l o n g i t u d i n a l t u r b u l e n c e i n t e n s i t y I

u

= 1 0 % ;

v e r t i c a l t u r b u l e n c e i n t e n s i t y I

w

= I

u

/ 2 ; ( 5 ) t h e t u r b u l e n t w i n d ( m e a n a n d f l u c t u a t i n g w i n d v e l o c i t i e s )

i s a p p l i e d t o t h e n o d a l n o d e s o f t h e d e c k , w h i l e t h e s m o o t h w i n d ( t h e m e a n w i n d v e l o c i t y o n l y ) i s

a p p l i e d t o t h e n o d a l n o d e s o f t h e c a b l e s a n d t o w e r s ; ( 6 ) n u m b e r o f s t r u c t u r a l m o d e s u s e d = 2 0 ; a n d

( 7 ) t h e s t a t i s t i c a l r e s p o n s e v a l u e s a r e c a l c u l a t e d f o r 1 0 m i n u t e s s t a r t i n g f r o m t h e 3 0 1 s t s e c o n d

( a v o i d i n g s t a r t i n g t r a n s i e n t r e s p o n s e ) t o t h e 9 0 0 t h s e c o n d . T h e m a j o r n a t u r a l f r e q u e n c i e s a n d m o d e

s h a p e s o f t h e b r i d g e a r e s h o w n i n F i g . 4 ; t h e s e m o d e s a r e a m o n g t h e f i r s t 2 0 m o d e s , e x c e p t f o r t h e

F i g . 3 ( a ) 3 D f i n i t e - e l e m e n t m o d a l ; ( b ) 3 D f l u t t e r m o d e s h a p e ( r e a l p a r t ) ; ( c ) f l u t t e r m o d e s h a p e o f i m a g i n a r y

p a r t ; ( d ) f l u t t e r m o d e s h a p e o f r e a l p a r t

F i g . 2 C r o s s s e c t i o n o f a s t i f f e n i n g t r u s s g i r d e r o f t h e A k a s h i K a i k y o B r i d g e ( d i m e n s i o n s i n m )


9/22


s e c o n d t o r s i o n a l m o d e ( t h e 2 3 t h m o d e ) .

M a n y s i n g l e T M D i n e a c h m o d e a n d m u l t i T M D f o r t h e s u p p r e s s i o n o f a e r o d y n a m i c r e s p o n s e a r e

i n v e s t i g a t e d i n t h i s p a p e r . T h e o p t i m a l d a m p i n g r a t i o a n d f r e q u e n c y o f T M D w e r e d e s i g n e d b a s e d

o n E q s . ( 1 3 - 1 4 ) . T h e m o d a l m a s s o f t h e f i r s t v e r t i c a l , h o r i z o n t a l , a n d t o r s i o n a l m o d e s o f t h e

c o m p l e t e d b r i d g e a r e 6 , 3 4 3 t o n s , 4 , 5 7 1 t o n s , a n d 1 , 1 4 6 , 5 4 2 t o n s - m

2

, r e s p e c t i v e l y . T h e m a s s r a t i o i s

t h e r a t i o o f t h e T M D m a s s t o t h e m o d a l m a s s o f b r i d g e i n e a c h d i r e c t i o n .

5 . 1 . E f f e c t s o f s i n g l e T M D i n e a c h m o d e o n f l u t t e r r e s p o n s e

F i g . 5 s h o w s t h e c o m p a r i s o n s o f c r i t i c a l w i n d v e l o c i t i e s o f t h e c o m p l e t e d b r i d g e b y u s i n g s i n g l e

T M D i n e a c h m o d e w i t h s e v e r a l m a s s r a t i o s . T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e s i n g l e T M D i n e a c h m o d e

r e s u l t s i n n o s i g n i f i c a n t c h a n g e i n t h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y f o r f l u t t e r i n s t a b i l i t y . F o r e x a m p l e , t h e

s i n g l e T M D t h a t s l i g h t l y i n c r e a s e s t h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y i s a s f o l l o w s : ( 1 ) T M D w i t h 1 % a n d

2 % m a s s r a t i o t u n e d t o V 1 m o d e ; ( 2 ) T M D w i t h 1 % a n d 2 % m a s s r a t i o t u n e d t o V 3 m o d e ; ( 3 )

T M D w i t h 3 % a n d 5 % m a s s m o m e n t o f i n e r t i a t u n e d t o T 1 m o d e . T h e s i n g l e T M D t h a t s l i g h t l y

d e c r e a s e s t h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y i s T M D t u n e d t o H 1 m o d e . T h e s i n g l e T M D t h a t s i g n i f i c a n t l y

d e c r e a s e s t h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y i s T M D t u n e d t o H 3 m o d e .

5 . 2 . E f f e c t s o f m u l t i T M D o n f l u t t e r r e s p o n s e

M a n y t y p e s o f m u l t i T M D a r e i n v e s t i g a t e d . F i r s t l y , t h e m u l t i T M D t y p e 1 a t t h e s p a n - c e n t e r

F i g . 4 N a t u r a l f r e q u e n c i e s ( H z ) a n d m o d e s


10/22

1 0 V i r o t e B o o n y a p i n y o , A d u l A k s o r n a n d P a n i t a n L u k k u n a p r a s i t

s e c t i o n c o n s i s t s o f v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l T M D w i t h 1 % m a s s r a t i o i n e a c h d i r e c t i o n t o g e t h e r w i t h

t o r s i o n a l T M D w i t h r a t i o o f 1 % m a s s m o m e n t o f i n e r t i a .

F o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e w i t h o u t T M D , t h e a n a l y t i c a l r e s u l t o f a f l u t t e r w i n d v e l o c i t y o f 1 0 1 . 4 m / s

i s s l i g h t l y h i g h e r t h a n t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t o f 9 2 . 0 0 m / s o b t a i n e d f r o m w i n d - t u n n e l e x p e r i m e n t s

o f t h e f u l l - b r i d g e a e r o e l a s t i c m o d e l u n d e r t a k e n b y t h e H o n s h u - S h i k o k u B r i d g e A u t h o r i t y ( 1 9 9 5 ) .

T h e d i f f e r e n c e i n f l u t t e r v e l o c i t y i s p r o b a b l y c a u s e d m a i n l y b y t h e f l u t t e r d e r i v a t i v e a s w e l l a s t h e

g e o m e t r i c n o n l i n e a r i t y . T h e f l u t t e r d e r i v a t i v e m a y b e i n f l u e n c e d b y t h e m o d e s h a p e a n d

d i s p l a c e m e n t a m p l i t u d e , a s d i s c u s s e d b y S c a n l a n ( 1 9 8 8 ) , a s w e l l a s t h e t o r s i o n a l - d i s p l a c e m e n t -

i n d u c e d w i n d a n g l e o f a t t a c k . H o w e v e r , g o o d a g r e e m e n t i n f l u t t e r m o d e s h a p e i s o b t a i n e d b e t w e e n

t h e a n a l y t i c a l r e s u l t s , a s s h o w n i n F i g . 3 ( b - d ) , a n d t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . A s c a n b e s e e n i n t h e

F i g . 4 , t h e f l u t t e r m o d e s h a p e i s c o u p l e d a m o n g t h e T 1 , H 3 , a n d V 3 m o d e s , w h i c h h a v e t h e n a t u r a l

f r e q u e n c i e s c l o s e t o e a c h o t h e r . T h e h o r i z o n t a l c o m p o n e n t r e s u l t s m a i n l y f r o m t h e s i g n i f i c a n t 3 m

o f f s e t b e t w e e n t h e s h e a r c e n t e r a n d g r a v i t y c e n t e r o f t h e t r u s s g i r d e r , a s w e l l a s t h e a e r o e l a s t i c d r a g

f o r c e s .

F o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e w i t h m u l t i T M D t y p e 1 , t h e r e s p o n s e o f s y s t e m ( s t r u c t u r a l +

a e r o d y n a m i c s ) f r e q u e n c i e s a n d d a m p i n g w i t h w i n d v e l o c i t y a r e s h o w n i n F i g s . 6 - 7 . T h e a n a l y t i c a l

r e s u l t o f a f l u t t e r w i n d v e l o c i t y f o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e w i t h m u l t i T M D t y p e 1 i s a b o u t 1 0 0 . 1 m / s .

T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e m u l t i T M D t y p e 1 r e s u l t s i n n o s i g n i f i c a n t c h a n g e i n t h e c r i t i c a l w i n d

v e l o c i t y f o r f l u t t e r i n s t a b i l i t y . T h i s i s b e c a u s e t h e r a t e o f i n c r e a s e o f n e g a t i v e a e r o d y n a m i c d a m p i n g

i s s o h i g h w h e n t h e w i n d v e l o c i t y a p p r o a c h e s t h e f l u t t e r v e l o c i t y ( h a r d - t y p e f l u t t e r ) , a s s h o w n i n

F i g . 7 .

F i n a l l y , c o m p a r i s o n s o f c r i t i c a l w i n d v e l o c i t i e s o f t h e c o m p l e t e d b r i d g e b y u s i n g s e v e r a l m u l t i

T M D w i t h s e v e r a l m a s s r a t i o s i n e a c h m o d e a r e s h o w n i n F i g . 8 . S i m i l a r t o t h e m u l t i T M D t y p e 1 ,

t h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e s e v e r a l m u l t i T M D s i n c l u d i n g t h e c o m b i n a t i o n o f f l u t t e r m o d e H 3 , V 3 ,

a n d T 1 r e s u l t i n n o s i g n i f i c a n t c h a n g e i n t h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y f o r f l u t t e r i n s t a b i l i t y .

5 . 3 . E f f e c t s o f m u l t i T M D o n b u f f e t i n g r e s p o n s e

T h e p r i n c i p a l c o n c e p t o f m u l t i T M D s i s t o r e d u c e t h e d y n a m i c r e s p o n s e p a r t i n v e r t i c a l ,

F i g . 5 C o m p a r i s o n s o f c r i t i c a l w i n d v e l o c i t i e s o f t h e c o m p l e t e d b r i d g e b y u s i n g T M D i n e a c h m o d e w i t h

s e v e r a l m a s s r a t i o s


11/22

S u p p r e s s i o n o f a e r o d y n a m i c r e s p o n s e o f s u s p e n s i o n b r i d g e s d u r i n g e r e c t i o n 1 1

F i g . 7 R e s p o n s e o f s y s t e m d a m p i n g w i t h w i n d v e l o c i t y f o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e w i t h m u l t i T M D t y p e 1

F i g . 6 R e s p o n s e o f s y s t e m f r e q u e n c i e s w i t h w i n d v e l o c i t y f o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e w i t h m u l t i T M D t y p e 1

F i g . 8 C o m p a r i s o n s o f c r i t i c a l w i n d v e l o c i t i e s o f t h e c o m p l e t e d b r i d g e b y u s i n g s e v e r a l m u l t i T M D w i t h

s e v e r a l m a s s r a t i o s i n e a c h m o d e


12/22


h o r i z o n t a l a n d t o r s i o n a l d i r e c t i o n s , b u t n o t t h e m e a n ( s t a t i c ) r e s p o n s e p a r t . F i g s . 9 a n d 1 0 s h o w

c o m p a r i s o n s o f t h e d i s p l a c e m e n t r e s p o n s e a t t h e c e n t e r n o d e o f t h e m a i n s p a n w i t h a n d w i t h o u t

m u l t i T M D t y p e 1 a t U = 2 0 m / s , a n d 4 0 m / s , r e s p e c t i v e l y . T h e r e s u l t s s h o w t h a t w h e n t h e w i n d

v e l o c i t y i s 2 0 m / s , t h e m u l t i T M D t y p e 1 c a n s i g n i f i c a n t l y r e d u c e t h e b u f f e t i n g r e s p o n s e i n t e r m s o f

t h e s t d ( s t a n d a r d d e r i v a t i v e ) v a l u e s i n t h e v e r t i c a l , h o r i z o n t a l a n d t o r s i o n a l d i r e c t i o n s b y 8 . 6 % , 9 % ,

a n d 1 3 % , r e s p e c t i v e l y . W h e n t h e w i n d v e l o c i t y i n c r e a s e s t o 4 0 m / s , t h e m u l t i T M D t y p e 1 c a n

s i g n i f i c a n t l y r e d u c e t h e t o r s i o n a l b u f f e t i n g r e s p o n s e i n t e r m o f t h e s t d v a l u e s b y 2 8 % [ ( 0 . 3 4 6 8 -

0 . 2 4 9 9 ) / 0 . 3 4 6 8 * 1 0 0 = 2 8 % ] , a n d c a n m o d e r a t e l y r e d u c e t h e v e r t i c a l b u f f e t i n g r e s p o n s e b y 5 . 4 % . I t

i s n o t e d t h a t w h e n v e l o c i t y i n c r e a s e s , t h e c o n t r o l e f f i c i e n c y o f T M D i n r e d u c i n g t h e t o r s i o n a l

b u f f e t i n g r e s p o n s e i n c r e a s e s g r e a t l y b e c a u s e t h e t o r s i o n a l a e r o d y n a m i c d a m p i n g r e d u c e s w i t h w i n d

v e l o c i t y ( s e e F i g . 7 ) . H o w e v e r , i t s c o n t r o l e f f i c i e n c y i n v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s r e d u c e s

b e c a u s e t h e a e r o d y n a m i c d a m p i n g s i n t h e s e d i r e c t i o n s i n c r e a s e w i t h w i n d v e l o c i t y ( s e e F i g . 7 ) a n d

b e c o m e m o r e d o m i n a n t t h a n T M D .

F i g . 9 D i s p l a c e m e n t r e s p o n s e a t t h e c e n t e r n o d e o f t h e m a i n s p a n f o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e w i t h a n d w i t h o u t

m u l t i T M D t y p e 1 a t w i n d v e l o c i t y 2 0 m / s


13/22


5 . 4 . E f f e c t s o f m a s s r a t i o o f m u l t i T M D o n b u f f e t i n g r e s p o n s e a n d p e a k s t o k e

M u l t i T M D w i t h 1 % , 2 % a n d 3 % m a s s r a t i o t u n e d t o H 1 a n d V 1 i n e a c h d i r e c t i o n a n d r a t i o o f

1 % , 2 % a n d 3 % m a s s m o m e n t o f i n e r t i a t u n e d t o T 1 m o d e a r e s t u d i e d . T h e e f f e c t s o f m a s s r a t i o o f

m u l t i T M D o n t h e s t d d i s p l a c e m e n t r e s p o n s e s a t t h e c e n t e r n o d e o f t h e m a i n s p a n a r e s h o w n i n

F i g . 1 1 . T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e c o n t r o l e f f i c i e n c y o f T M D i n r e d u c i n g t h e t o r s i o n a l b u f f e t i n g

r e s p o n s e i n c r e a s e s g r e a t l y a s t h e r a t i o o f m a s s m o m e n t o f i n e r t i a i n c r e a s e f r o m 1 % t o 3 % a t h i g h

w i n d v e l o c i t y . H o w e v e r , i t s c o n t r o l e f f i c i e n c y i n v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s t e n d s t o s a t u r a t e

o r e v e n d e c r e a s e a s t h e m a s s r a t i o i n c r e a s e s f r o m 1 % t o 3 % .

T h e s t r o k e o f m u l t i T M D t y p e 1 f o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e a t w i n d v e l o c i t y 4 0 m / s i s s h o w n i n

F i g . 1 2 . B e c a u s e t h e d a m p e r m a s s a b s o r b s m o s t o f t h e e n e r g y o f t h e e x c i t a t i o n , i t s s t r o k e i s m u c h

l a r g e r t h a n t h a t o f t h e b r i d g e ( s e e F i g s . 1 0 a n d 1 2 ) . T h e e f f e c t s o f m a s s r a t i o o n t h e p e a k s t r o k e o f

F i g . 1 0 D i s p l a c e m e n t r e s p o n s e a t t h e c e n t e r n o d e o f t h e m a i n s p a n f o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e w i t h a n d

w i t h o u t m u l t i T M D t y p e 1 a t w i n d v e l o c i t y 4 0 m / s


14/22


m u l t i T M D w i t h 1 % , 2 % a n d 3 % m a s s r a t i o t u n e d t o H 1 a n d V 1 i n e a c h d i r e c t i o n a n d r a t i o o f 1 % ,

2 % a n d 3 % m a s s m o m e n t o f i n e r t i a t u n e d t o T 1 m o d e s a t w i n d v e l o c i t y 4 0 m / s a r e s h o w n i n F i g . 1 3 .

F i g . 1 1 E f f e c t s o f m a s s r a t i o o n s t d d i s p l a c e m e n t r e s p o n s e s a t t h e c e n t e r n o d e o f t h e m a i n s p a n f o r t h e

c o m p l e t e d b r i d g e w i t h m u l t i T M D t u n e d t o H 1 , V 1 a n d T 1


15/22


T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e p e a k s t r o k e s o f T M D i n v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s s i g n i f i c a n t l y

r e d u c e a s t h e m a s s r a t i o i n c r e a s e f r o m 1 % t o 3 % . T h e r e f o r e , t h e m a s s r a t i o o f T M D i n v e r t i c a l a n d

h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s m a y i n c r e a s e u p t o 2 - 3 % f o r a l o n g - s p a n b r i d g e t o r e d u c e t h e p e a k s t r o k e o f

T M D a n d t o m a k e i t s s t r o k e m o v e w i t h i n t h e o p e r a t i o n r a n g e i n s i d e t h e s t i f f e n i n g t r u s s g i r d e r .

6 . N u m e r i c a l e x a m p l e s o f t h e b r i d g e d u r i n g e r e c t i o n

T h e f l u t t e r a n d b u f f e t i n g r e s p o n s e s o f t h e A k a s h i K a i k y o B r i d g e d u r i n g e r e c t i o n a r e i n v e s t i g a t e d

w i t h a n d w i t h o u t t u n e d m a s s d a m p e r s . D e c k e r e c t i o n o f t h e s u s p e n s i o n b r i d g e i n v o l v e s m a n y

c h a l l e n g i n g p r o b l e m s w i t h r e s p e c t t o b o t h c o n s t r u c t i o n s a f e t y a n d t i m e s c h e d u l e s . I t n e e d s t o b e

c a r e f u l l y s e l e c t e d b y c o n s i d e r i n g a l l p r a c t i c a l a s p e c t s , s u c h a s g e o m e t r y c o n t r o l , s t a t i c a n d d y n a m i c

s t r e s s , a s w e l l a s t h e a e r o s t a t i c a n d a e r o d y n a m i c s t a b i l i t i e s . I n t h i s r e s e a r c h , t w o t y p i c a l t y p e s o f

F i g . 1 2 S t r o k e o f m u l t i T M D t y p e 1 i n s t a l l e d a t t h e s p a n - c e n t e r f o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e a t w i n d v e l o c i t y 4 0 m / s


16/22


d e c k e r e c t i o n s e q u e n c e ( G i m s i n g 1 9 9 7 ) s h o w n i n F i g . 1 4 a r e i n v e s t i g a t e d a s f o l l o w s : ( 1 ) m i d s p a n -

t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n , a n d ( 2 ) p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n .

6 . 1 . N a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e b r i d g e d u r i n g e r e c t i o n

T h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e b r i d g e d u r i n g e r e c t i o n b y m i d s p a n - t o - p y l o n a n d p y l o n - t o - m i d s p a n

a r e s h o w n i n F i g s . 1 5 a n d 1 6 , r e s p e c t i v e l y . S o m e i m p o r t a n t r e s u l t s c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s .

( 1 ) T h e f i r s t h o r i z o n t a l f r e q u e n c y i s n o t i n f l u e n c e d s i g n i f i c a n t l y b y t h e p e r c e n t a g e o f t h e e r e c t e d

d e c k l e n g t h n o r t h e e r e c t i o n s e q u e n c e . T h i s i m p l i e s t h a t t h e r a t i o o f t h e e f f e c t i v e s t i f f n e s s t o t h e

e f f e c t i v e m a s s i n t h e f i r s t h o r i z o n t a l m o d e r e m a i n s m o r e o r l e s s a t t h e s a m e v a l u e . ( 2 ) T h e f i r s t

v e r t i c a l f r e q u e n c y a n d t h e f i r s t t o r s i o n a l f r e q u e n c y b y t h e p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n a r e h i g h e r

t h a n t h o s e b y t h e m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n . T h i s m e a n s t h a t t h e p y l o n - t o - m i d s p a n

c o n f i g u r a t i o n i s s t i f f e r t h a n t h e m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n . ( 3 ) T h e t h i r d h o r i z o n t a l f r e q u e n c y

i s i n f l u e n c e d s i g n i f i c a n t l y b y t h e p e r c e n t a g e o f t h e e r e c t e d d e c k l e n g t h a n d t h e e r e c t i o n s e q u e n c e .

6 . 2 . F l u t t e r r e s p o n s e o f t h e b r i d g e d u r i n g e r e c t i o n

T h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t i e s f o r f l u t t e r d u r i n g e r e c t i o n b e t w e e n m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n a n d

p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n a r e c o m p a r e d i n F i g . 1 7 . S o m e i m p o r t a n t r e s u l t s c a n b e s u m m a r i z e d

a s f o l l o w s . ( 1 ) T h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y d u r i n g e r e c t i o n i s s i g n i f i c a n t l y l o w e r t h a n t h a t o f t h e

c o m p l e t e d b r i d g e , e s p e c i a l l y a t t h e s t a g e o f 2 5 - 9 5 % d e c k c o m p l e t i o n b y m i d s p a n - t o - p y l o n

F i g . 1 4 D e c k e r e c t i o n s e q u e n c e

F i g . 1 3 E f f e c t o f m a s s r a t i o o n t h e p e a k s t r o k e o f m u l t i T M D t y p e 1 f o r t h e c o m p l e t e d b r i d g e a t w i n d

v e l o c i t y o f 4 0 m / s


17/22


c o n f i g u r a t i o n a n d a t s t a g e o f 5 5 - 9 5 % d e c k c o m p l e t i o n b y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n . ( 2 ) T h e

c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y d u r i n g e r e c t i o n b y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n i s s i g n i f i c a n t l y h i g h e r t h a n

t h a t b y m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n . ( 3 ) B y m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n , t h e f i r s t m i n i m u m

c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y o f 4 1 . 2 0 m / s o c c u r s a t a n e a r l y s t a g e o f a b o u t 2 5 - 4 0 % d e c k c o m p l e t i o n , a n d

t h e s e c o n d m i n i m u m c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y o f 4 5 . 7 0 m / s o c c u r s a t t h e s t a g e o f 8 5 % d e c k

c o m p l e t i o n . ( 4 ) B y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n , t h e m i n i m u m c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y o f 5 7 . 7 0 m / s

o c c u r s a t t h e s t a g e o f 8 5 % d e c k c o m p l e t i o n . A t t h i s s t a g e , t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e d e c k t o t h e

o v e r a l l s t i f f n e s s i s n o t y e t f u l l y d e v e l o p e d a n d t h e b r i d g e d e c k i s v e r y l o n g t o p i c k u p t h e

a e r o d y n a m i c f o r c e s , t o g e t h e r w i t h t h e n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f T 1 , V 3 , a n d H 3 m o d e s t h a t c a u s e

f l u t t e r a n d w h i c h a r e c l o s e t o e a c h o t h e r .

T h e f l u t t e r m o d e s h a p e s i n r e a l p a r t a t 8 5 % d e c k c o m p l e t i o n b y m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n

a n d b y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n a r e s h o w n i n F i g s . 1 8 a n d 1 9 , r e s p e c t i v e l y . A s c a n b e s e e n

i n t h e f i g u r e s , s i m i l a r t o t h e c o m p l e t e d b r i d g e , t h e f l u t t e r m o d e s h a p e s i n t w o t y p e s o f e r e c t i o n

s e q u e n c e a r e s t i l l c o u p l e d a m o n g t h e T 1 , H 3 , a n d V 3 m o d e s .

F i g . 1 5 C o m p a r i s o n s o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s d u r i n g e r e c t i o n b y m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n

F i g . 1 6 C o m p a r i s o n s o f n a t u r a l f r e q u e n c i e s d u r i n g e r e c t i o n b y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n


18/22


F i g . 1 7 C o m p a r i s o n s o f c r i t i c a l w i n d v e l o c i t i e s d u r i n g e r e c t i o n b y m i d s p a n - t o - p y l o n a n d p y l o n - t o - m i d s p a n

c o n f i g u r a t i o n s

F i g . 1 8 F l u t t e r m o d e s h a p e a t 8 5 % d e c k c o m p l e t i o n b y m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n

F i g . 1 9 F l u t t e r m o d e s h a p e a t 8 5 % d e c k c o m p l e t i o n b y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n


19/22


6 . 3 . E f f e c t s o f s i n g l e T M D a n d m u l t i T M D o n f l u t t e r r e s p o n s e d u r i n g e r e c t i o n

E f f e c t s o f s i n g l e T M D i n e a c h m o d e a n d m u l t i T M D o n a e r o d y n a m i c r e s p o n s e a r e i n v e s t i g a t e d .

S i n g l e T M D i n e a c h m o d e a n d m u l t i T M D w i t h 1 % a n d 2 % m a s s r a t i o b y m i d s p a n - t o - p y l o n

F i g . 2 0 C o m p a r i s o n s o f s t d d i s p l a c e m e n t r e s p o n s e a t 8 5 % d e c k c o m p l e t i o n w i t h a n d w i t h o u t T M D t y p e 1 a t

e n d o f d e c k b y p y l o n s - t o - m i d s p a n a n d a t t h e c e n t e r n o d e o f t h e m a i n s p a n b y m i d s p a n - t o - p y l o n s


20/22


c o n f i g u r a t i o n a n d p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n a r e c o n s i d e r e d . T h e r e s u l t s s h o w t h a t , s i m i l a r t o

t h e c o m p l e t e d b r i d g e c a s e , t h e s i n g l e T M D i n e a c h m o d e a n d m u l t i T M D r e s u l t i n n o s i g n i f i c a n t

c h a n g e i n t h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y f o r f l u t t e r i n s t a b i l i t y . F o r e x a m p l e , t h e s i n g l e T M D t u n e d t o T 1

m o d e , a n d m u l t i T M D t u n e d t o H 1 , V 1 , a n d T 1 m o d e s l e a d t o a s l i g h t i n c r e a s e i n t h e c r i t i c a l w i n d

v e l o c i t y f o r f l u t t e r i n s t a b i l i t y . T h e r e f o r e , t h e d e t a i l e d r e s u l t s a r e n o t s h o w n h e r e .

6 . 4 . E f f e c t s o f m u l t i T M D o n b u f f e t i n g r e s p o n s e d u r i n g e r e c t i o n

T h e m u l t i T M D t y p e 1 c o n s i s t s o f t h e v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l T M D w i t h 1 % m a s s r a t i o i n e a c h

d i r e c t i o n t o g e t h e r w i t h a t o r s i o n a l T M D w i t h r a t i o o f 1 % m a s s m o m e n t o f i n e r t i a o f t h e b r i d g e

d u r i n g e r e c t i o n i s i n v e s t i g a t e d . T h e m u l t i T M D t y p e 1 i s i n s t a l l e d a t t h e s p a n - c e n t e r s e c t i o n f o r

m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n a n d a t t h e t w o e n d s e c t i o n s f o r p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n .

C o m p a r i s o n s o f s t d d i s p l a c e m e n t r e s p o n s e a t 8 5 % d e c k c o m p l e t i o n w i t h a n d w i t h o u t m u l t i T M D

t y p e 1 a t t h e c e n t e r n o d e o f t h e m a i n s p a n b y m i d s p a n - t o - p y l o n s c o n f i g u r a t i o n a n d a t e n d o f d e c k

b y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n a r e s h o w n i n F i g . 2 0 . T h e r e s u l t s s h o w t h a t , s i m i l a r t o t h e

c o m p l e t e d b r i d g e c a s e , w h e n v e l o c i t y i n c r e a s e s , t h e c o n t r o l e f f i c i e n c y o f m u l t i T M D i n r e d u c i n g t h e

t o r s i o n a l b u f f e t i n g r e s p o n s e i n c r e a s e s g r e a t l y . H o w e v e r , i t s c o n t r o l e f f i c i e n c y i n t h e v e r t i c a l a n d

h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s r e d u c e s .

7 . C o n c l u s i o n s

T h e s u p p r e s s i o n o f a e r o d y n a m i c r e s p o n s e o f l o n g - s p a n s u s p e n s i o n b r i d g e s d u r i n g e r e c t i o n a n d

a f t e r c o m p l e t i o n b y u s i n g s i n g l e T M D a n d m u l t i T M D i s p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r . A n a d v a n c e d

f i n i t e - e l e m e n t - b a s e d a e r o d y n a m i c m o d e l t h a t c a n b e u s e d t o a n a l y z e b o t h f l u t t e r i n s t a b i l i t y a n d

b u f f e t i n g r e s p o n s e i n t h e t i m e d o m a i n i s a l s o p r o p o s e d . T h e m o d a l d a m p i n g o f a s t r u c t u r e - T M D

s y s t e m i s a n a l y z e d b y t h e s t a t e - s p a c e a p p r o a c h . F r o m t h e n u m e r i c a l e x a m p l e s o f t h e A k a s h i K a i k y o

B r i d g e , t h e c o n c l u s i o n s a r e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s :

W h e n t h e w i n d v e l o c i t y i s l o w , a b o u t 2 0 m / s , t h e m u l t i T M D t y p e 1 ( t h e v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l

T M D w i t h 1 % m a s s r a t i o i n e a c h d i r e c t i o n t o g e t h e r w i t h a t o r s i o n a l T M D w i t h r a t i o o f 1 % m a s s

m o m e n t o f i n e r t i a ) c a n s i g n i f i c a n t l y r e d u c e t h e b u f f e t i n g r e s p o n s e i n t e r m s o f t h e s t d v a l u e i n

v e r t i c a l , h o r i z o n t a l a n d t o r s i o n a l d i r e c t i o n s b y 8 . 6 - 1 3 % .

W h e n t h e w i n d v e l o c i t y i n c r e a s e s t o 4 0 m / s , t h e c o n t r o l e f f i c i e n c y o f m u l t i T M D t y p e 1 i n

r e d u c i n g t h e t o r s i o n a l b u f f e t i n g r e s p o n s e i n c r e a s e s g r e a t l y t o 2 8 % b e c a u s e t h e t o r s i o n a l

a e r o d y n a m i c d a m p i n g r e d u c e s w i t h t h e w i n d v e l o c i t y . H o w e v e r , i t s c o n t r o l e f f i c i e n c y i n v e r t i c a l a n d

h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s r e d u c e s b e c a u s e t h e a e r o d y n a m i c d a m p i n g s i n t h e s e d i r e c t i o n s i n c r e a s e w i t h

t h e w i n d v e l o c i t y a n d b e c o m e m o r e d o m i n a n t t h a n T M D .

T h e s i n g l e T M D a n d m u l t i T M D r e s u l t i n n o s i g n i f i c a n t c h a n g e i n t h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y f o r

f l u t t e r i n s t a b i l i t y . T h i s i s b e c a u s e t h e r a t e o f i n c r e a s e o f n e g a t i v e a e r o d y n a m i c d a m p i n g i s s o h i g h

w h e n t h e w i n d v e l o c i t y a p p r o a c h e s t h e f l u t t e r v e l o c i t y .

T h e c o n t r o l e f f i c i e n c y o f T M D i n r e d u c i n g t h e t o r s i o n a l b u f f e t i n g r e s p o n s e i n c r e a s e s g r e a t l y a s

t h e r a t i o o f t h e m a s s m o m e n t o f i n e r t i a o f T M D i n c r e a s e s f r o m 1 % t o 3 % a t h i g h w i n d v e l o c i t y .

A l t h o u g h , i t s c o n t r o l e f f i c i e n c y i n v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s t e n d s t o s a t u r a t e o r e v e n

d e c r e a s e a s t h e m a s s r a t i o o f T M D i n c r e a s e s f r o m 1 % t o 3 % , i t s m a s s r a t i o i n v e r t i c a l a n d

h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s m a y i n c r e a s e u p t o 2 - 3 % f o r t h e l o n g - s p a n b r i d g e t o r e d u c e t h e p e a k s t r o k e o f

T M D a n d t o m a k e i t s s t r o k e m o v e w i t h i n t h e o p e r a t i o n r a n g e i n s i d e t h e s t i f f e n i n g t r u s s g i r d e r .


21/22


T h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y f o r f l u t t e r i n s t a b i l i t y d u r i n g e r e c t i o n i s s i g n i f i c a n t l y l o w e r t h a n t h a t f o r

t h e c o m p l e t e d b r i d g e . T h e c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y d u r i n g e r e c t i o n b y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n

i s s i g n i f i c a n t l y h i g h e r t h a n t h a t b y m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a t i o n . B y m i d s p a n - t o - p y l o n c o n f i g u r a -

t i o n , t h e m i n i m u m c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y o f 4 1 . 2 0 m / s o c c u r s a t a n e a r l y s t a g e o f a b o u t 2 5 - 4 0 %

d e c k c o m p l e t i o n . B y p y l o n - t o - m i d s p a n c o n f i g u r a t i o n , t h e m i n i m u m c r i t i c a l w i n d v e l o c i t y o f 5 7 . 7 0

m / s o c c u r s a t t h e s t a g e o f 8 5 % d e c k c o m p l e t i o n .

S i m i l a r t o t h e c o m p l e t e d b r i d g e c a s e , w h e n v e l o c i t y i n c r e a s e s , t h e c o n t r o l e f f i c i e n c y o f m u l t i

T M D i n r e d u c i n g t h e t o r s i o n a l b u f f e t i n g r e s p o n s e o f b r i d g e d u r i n g e r e c t i o n i n c r e a s e s g r e a t l y .

H o w e v e r , i t s c o n t r o l e f f i c i e n c y i n v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l d i r e c t i o n s r e d u c e s .

A c k n o w l e d g e m e n t s

T h i s r e s e a r c h i s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e T h a i l a n d R e s e a r c h F u n d u n d e r g r a n t n u m b e r R T A / 1 0 /

2 5 4 4 a n d R M U 4 9 8 0 0 1 2 . T h e a u t h o r s w o u l d l i k e t o e x p r e s s t h e i r s i n c e r e g r a t i t u d e t o P r o f e s s o r

T o s h i o M i y a t a f o r m e r l y o f Y o k o h a m a N a t i o n a l U n i v e r s i t y a n d P r o f e s s o r H i t o s h i Y a m a d a o f

Y o k o h a m a N a t i o n a l U n i v e r s i t y f o r t h e i r s u p p o r t s a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s r e s e a r c h w o r k . T h e

v a l u a b l e c o m m e n t s o f t h e a n o n y m o u s r e v i e w e r s o f t h e p a p e r a r e a l s o a c k n o w l e d g e d .

R e f e r e n c e s

A g a r , T . J . A . ( 1 9 9 1 ) , “ D y n a m i c i n s t a b i l i t y o f s u s p e n s i o n b r i d g e s ” , C o m p u t . S t r u c t . , 4 1 ( 6 ) , 1 3 2 1 - 1 3 2 8 .

A y o r i n d e , E . O . a n d W a r b u r t o n , G . B . ( 1 9 8 0 ) , “ M i n i m i z i n g s t r u c t u r a l v i b r a t i o n s w i t h a b s o r b e r s ” , J . E a r t h q u a k e

E n g . S t r u c t . D y n a m i c s , 8 , 2 1 9 - 2 3 6 .

B o o n y a p i n y o , V . , M i y a t a , T . a n d Y a m a d a , H . ( 1 9 9 9 ) , “ A d v a n c e d a e r o d y n a m i c a n a l y s i s o f s u s p e n s i o n b r i d g e s b y

s t a t e - s p a c e a p p r o a c h ” , J . S t r u c t . E n g . , A S C E , 1 2 5 ( 1 2 ) , 1 3 5 7 - 1 3 6 6 .

B r a n c a l e o n i , F . ( 1 9 9 2 ) , “ T h e c o n s t r u c t i o n p h a s e a n d i t s a e r o d y n a m i c i s s u e s ” , A e r o d y n a m i c s o f L a r g e r B r i d g e s ,

L a r s e n , A . E d . , B a l k e m a , R o t t e r d a m , T h e N e t h e r l a n d s , 1 4 7 - 1 5 8 .

C h a n g e , C . C . , G u , M . a n d T a n g , K . H . ( 2 0 0 3 ) , “ T u n e d m a s s d a m p e r s f o r d u a l - m o d e b u f f e t i n g c o n t r o l o f

b r i d g e s ” , J . B r i d g e E n g . , A S C E , 8 ( 4 ) , 2 3 7 - 2 4 0 .

C h e n , X . , M a t s u m o t o , M . a n d K a r e e m , A . ( 2 0 0 0 a ) , “ A e o d y n a m i c c o u p l i n g e f f e c t s o n f l u t t e r a n d b u f f e t i n g o f

b r i d g e s ” J . E n g . M e c h . , A S C E , 1 2 6 ( 1 ) , 1 7 - 2 6 .

C h e n , X . , M a t s u m o t o , M . a n d K a r e e m , A . ( 2 0 0 0 b ) , “ T i m e d o m a i n f l u t t e r a n d b u f f e t i n g r e s p o n s e a n a l y s i s o f

b r i d g e s ” , J . E n g . M e c h . , A S C E , 1 2 6 ( 1 ) , 7 - 1 6 .

C o b o d e l A r c o , D . a n d A p a r i c i o , A . ( 2 0 0 1 ) , “ I m p r o v i n g t h e w i n d s t a b i l i t y o f s u s p e n s i o n b r i d g e s d u r i n g

c o n s t r u c t i o n ” , J . S t r u c t . E n g . , A S C E , 1 2 7 ( 8 ) , 8 6 9 - 8 7 5 .

C o n t i , E . , G r i l l a u d , J . , J a c o b , J . a n d C o h e n , N . ( 1 9 9 6 ) , “ W i n d e f f e c t s o n n o r m a n d i e c a b l e - s t a y e d b r i d g e :

c o m p a r i s o n b e t w e e n f u l l a e r o e l a s t i c m o d e l t e s t a n d q u a s i - s t e a d y a n a l y t i c a l a p p r o a c h ” , J . W i n d E n g . I n d .

A e r o d y n . , 6 5 , 1 8 9 - 2 0 1 .

F u j i n o , Y . , W i l d e , K . , M a s u k a w a , J . a n d B h a r t i a , B . ( 1 9 9 5 ) , “ R a t i o n a l f u n c t i o n a p p r o x i m a t i o n o f a e r o d y n a m i c s

f o r c e s o n b r i d g e d e c k a n d i t s a p p l i c a t i o n t o a c t i v e c o n t r o l o f f l u t t e r ” , P r o c . 9 t h I n t . C o n f . o n W i n d

E n g i n e e r i n g , N e w D e l h i , I n d i a , 9 9 4 - 1 0 0 5 .

G e , Y . J . a n d T a n a k a H . ( 2 0 0 0 ) , “ A e r o d y n a m i c s t a b i l i t y o f l o n g - s p a n s u s p e n s i o n b r i d g e s u n d e r e r e c t i o n ” , J .

S t r u c t . , A S C E , 1 2 6 ( 1 2 ) , 1 4 0 4 - 1 4 1 2 .

G i m s i n g N . J . ( 1 9 9 7 ) , C a b l e S u p p o r t e d B r i d g e s : C o n c e p t & D e s i g n , 2 n d E d . , J o h n W i l e y & S o n s , N e w Y o r k .

G u , M . , C h a n g , C . C . , W u , W . a n d X i a n g , H . F . ( 1 9 9 8 ) , “ I n c r e a s e o f c r i t i c a l f l u t t e r w i n d s p e e d o f l o n g - s p a n

b r i d g e s u s i n g t u n e d m a s s d a m p e r s ” , J . W i n d E n g . I n d . A e r o d y n . , 7 3 , 1 1 1 - 1 2 3 .

G u , M . , C h e n , S . R . a n d C h a n g ( 2 0 0 1 ) , “ P a r a m e t r i c s t u d y o n m u l t i p l e t u n e d m a s s d a m p e r s f o r b u f f e t i n g c o n t r o l

o f y a n g p u b r i d g e ” , J . W i n d E n g . I n d . A e r o d y n . , 8 9 , 9 8 7 - 1 0 0 0 .

H o n s h u - S h i k o k u B r i d g e A u t h o r i t y ( 1 9 9 5 ) , “ F u l l - b r i d g e - m o d e l w i n d - t u n n e l e x p e r i m e n t o f A k a s h i K a i k y o


22/22


B r i d g e ” , A n n u a l R e p o r t 1 9 9 5 , T o k y o , J a p a n ( i n J a p a n e s e ) .

K w o n , S . - D . a n d P a r k K . - S . ( 2 0 0 4 ) , “ S u p p r e s s i o n o f b r i d g e f l u t t e r u s i n g t u n e d m a s s d a m p e r s b a s e d o n r o b u s t

p e r f o r m a n c e d e s i g n ” , J . W i n d E n g . I n d . A e r o d y n . , 9 2 , 9 1 9 - 9 3 4 .

L a r s e n , A . a n d G i m s i n g , N . J . ( 1 9 9 2 ) , “ W i n d e n g i n e e r i n g a s p e c t s o f t h e e a s t b r i d g e t e n d e r p r o j e c t ” , J . W i n d E n g .

I n d . A e r o d y n . , 4 2 , 1 4 0 5 - 1 4 1 6 .

M a l h o r t r a , L . a n d W i e l a n d , M . ( 1 9 8 7 ) , “ T u n e d m a s s d a m p e r f o r s u p p r e s s i n g w i n d e f f e c t s i n c a b l e - s t a y e d

b r i d g e s ” , P r o c . I n t . C o n f . o n C a b l e - S t a y e d B r i d g e s , B a n g k o k .

M i y a t a , T . , S a t o , H . a n d K i t a g a w a , M . ( 1 9 9 3 ) , “ D e s i g n c o n s i d e r a t i o n f o r s u p e r s t r u c t u r e s o f t h e A k a s h i K a i k y o

b r i d g e ” , P r o c . I n t . S e m i n a r o n U t i l i z a t i o n o f L a r g e B o u n d a r y L a y e r W i n d T u n n e l , T s u k u b a , J a p a n , 1 2 1 - 1 3 9 .

M i y a t a , T . a n d Y a m a d a , H . ( 1 9 8 8 ) , “ C o u p l e d f l u t t e r e s t i m a t e o f a s u s p e n s i o n b r i d g e ” , J . W i n d E n g . , J a p a n , 3 7 ,

4 8 5 - 4 9 2 .

M i y a t a , T . , Y a m a d a , H . , B o o n y a p i n y o , V . a n d S a n t o s , J . C . ( 1 9 9 5 ) , “ A n a l y t i c a l i n v e s t i g a t i o n o n t h e r e s p o n s e o f a

v e r y l o n g s u s p e n s i o n b r i d g e u n d e r g u s t y w i n d ” , P r o c . 9 t h I n t . C o n f . o n W i n d E n g i n e e r i n g , N e w D e l h i , I n d i a ,

1 0 0 6 - 1 0 1 7 .

N o b u t o , J . , F u j i n o , Y . a n d I t o , M . ( 1 9 8 8 ) , “ A s t u d y o n t h e e f f e c t i v e n e s s o f T M D t o s u p p r e s s a c o u p l e d f l u t t e r o f

b r i d g e d e c k ” , P r o c . o f t h e J a p a n S o c i e t y o f C i v i l E n g i n e e r i n g , N o . 3 9 8 / I - 1 0 , p p . 4 1 3 - 4 1 6 .

P o u r z e y n a l i , S . a n d D a t t a , T . K . ( 2 0 0 2 ) , “ C o n t r o l o f f l u t t e r o f s u s p e n s i o n b r i d g e d e c k u s i n g T M D ” , I n t . J . W i n d

S t r u c t . , 5 ( 5 ) , 4 0 7 - 4 2 2 .

S a m a r a s , E . , S h i n o z u k a , M . a n d T s u r u i , A . ( 1 9 8 5 ) , “ A R M A r e p r e s e n t a t i o n o f r a n d o m p r o c e s s ” , J . E n g . M e c h . ,

A S C E , 1 1 1 ( 3 ) , 4 4 9 - 4 6 1 .

S c a n l a n , R . H . ( 1 9 8 8 ) , “ O n f l u t t e r a n d b u f f e t i n g m e c h a n i s m s i n l o n g - s p a n b r i d g e s ” , P r o b a b i l i s t i c E n g . M e c h . ,

3 ( 1 ) , 2 2 - 2 7 .

S i m i u , E . a n d S c a n l a n , R . H . ( 1 9 9 6 ) , W i n d E f f e c t s o n S t r u c t u r e s , 3 r d E d . , J o h n W i l e y & S o n s , N e w Y o r k , N . Y .

T a n a k a , H . , L a r o s e , G . L . a n d K i m u r a , K . ( 1 9 9 2 ) , “ A e r o d y n a m i c s o f l o n g - s p a n b r i d g e s d u r i n g e r e c t i o n ” ,

A e r o d y n a m i c s o f L a r g e r B r i d g e s , L a r s e n , A . E d . , B a l k e m a , R o t t e r d a m , T h e N e t h e r l a n d s , 1 1 9 - 1 2 7 .

W a l d l a w , R . L . ( 1 9 9 2 ) , “ T h e i m p r o v e m e n t o f a e r o d y n a m i c p e r f o r m a n c e ” , A e r o d y n a m i c s o f L a r g e r B r i d g e s ,

L a r s e n , A . E d

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Suppression of Aerodynamic Response for Bridges

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