| Date post: | 18-Jan-2016 |
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1. Para un capacitor plano de superficie S; separación d y tensión V Calcule la
capacidad; densidad superficial de la carga y campo eléctrico.
d
V
d
V
d
VEt
Et
d
Sc
d
S
V
q
d
VE
EdV
dxEdlEV
Et
S
q
S
q
S
qEt
Sq
s
q
dx
S
qE
qSE
qdsEdsE
qixdsixEixdsixE
qdsEPara
drdsE
dd
0
0
0
0
0
00
0
000
0
0
00
00
0
0
22
0
2
2
)()()(
qsdEdvsdEs
vs
.. 00
qEr
qEr
ddrE
22
cos
..sin
2
0
2
00
2
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2
0
2
0
rir
qEr
2
04
0
2
42
0
2
422
42
0
2
2
0
2
0
2
1
16
16
2
1
162
1
2
1
n
r
rn
r
qn
En
0
22
2
0
22
2
0
2
2
0
4
4
4
4
4
rF
r
r
r
qF
r
qqF
qEF
2. Para dos esferas conductoras concéntricas de radios a > b y diferencia de tensión V,
calcule la capacidad, densidad de superficial de carga, campo eléctrico.
ridrldldEvs
..
ab
qv
ba
q
r
qv
r
drqridrri
r
qv
a
b
a
b
a
b
11
4
11
4
1
4
4..
4
000
2
0
2
0
ab
c
ab
v
qc
11
4
11
4 00
2
2
2 44
4 rqr
qrs
s
q
4. Dos pequeñas esferas conductoras cada una de masa m están suspendidas de los
extremos de dos hilos aisladores de longitud l unidos en un punto. Se depositan cargas
sobre las esferas de modo que se separan una distancia d. Una carga Q1 se coloca en la
esfera 1. ¿Cuál es la carga Q2 en la esfera 2?
𝑡𝑔𝜃 =ℎ
𝑑2⁄
𝑡𝑔𝜃 =2ℎ
𝑑
ℎ = √𝑙2 − (𝑑
2)2
𝑡𝑔𝜃 =2√𝑙2 − (
𝑑2)2
𝑑
𝛴𝐹𝑥 = 0
𝐹𝑟 − 𝑇𝑥 = 0 𝐹𝑟 = 𝑇𝑥 𝐹𝑟 = 𝑇 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 (1)
𝛴𝐹𝑦 = 0 𝑇𝑦 − 𝑚𝑔 = 0
𝑇 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑔 𝑇 =
𝑚𝑔
𝑠𝑒𝑛𝜃 (2)
(2) en (1)
𝐹𝑟 =𝑚𝑔
𝑠𝑒𝑛𝜃∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐹𝑟 =𝑚𝑔
𝑡𝑔𝜃
𝐹𝑟 =𝑚𝑔
2√𝑙2−(𝑑2)2
𝑑
(3)
𝐹𝑟 =𝑚𝑔𝑑
2√𝑙2−(𝑑
2)2
𝐹 =𝑄1𝑄2
4𝜋𝜀0𝑑2 (4)
(3) = (4)
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜀0𝑑2=
𝑚𝑔𝑑
2√𝑙2 − (𝑑2)2
𝑄2 =4𝜋𝜀0𝑑
3𝑚𝑔
2𝑄1√𝑙2 − (𝑑2)2 //
5. Una pequeña esfera de masa M esta en un campo gravitacional g, y tiene una carga Q.
Mediante una cuerda de masa despreciable se conecta a una lámina de caga superficial
e la misma polaridad y con densidad σ. Cual e el ángulo entre la lamina y la carga?
Ө
l h
d
Q1 Q2 Ө Ө
Ty
Tx mg
Fr
T
o
lam
o
QF
E
2
.
2
Mg
QTang
Mg
QTang
TangMgQ
..2
.
..2
.
..2
.
0
1
0
0
cos
0cos.
0
Mg
Mg
Fy
senF
senF
F
e
e
x
0
0
MgTangF
senMgF
e
e
cos
.
(1)
(2) (3)
(2) y (3)
(4)
Igualando (1) y (4)
6. Deduzca la inducción magnética que genera una línea recta de corriente
r
IB
IrB
IdrB
IrdB
IizdzirdirdriB
IdLB
NetagarCadsEt
dsEt
dsIdLB
o
o
o
o
o
o
o
oo
2
2
1
1
.1
.1
0.
...1
2
0
∮𝑠 9. Una esfera tiene una carga q uniformemente distribuida en todo su volumen,
calcular el campo y el potencial eléctrico en el interior y exterior de la esfera y realizar
un grafico de E y V en función de la distancia (radio) de la esfera.
Є0 E.ds = q
Є0 Ed∫ s = q
Є0 E.S = q => S = 4πr2
E = 𝑞
Є₀S =
𝑞
Є₀4πr²
ρ = 𝑞
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 => q1 = ρ Volumen
Vesfera = 4
3 πr3
E = ρ.𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
4πr³
x x a x x x x x x x
E = ρ(4πr³/3)
4πr²
E = ρ.𝑟
3Є₀
En el Interior
ρ = 𝑞
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚.𝑇.
VT = 4
3 π
Eint = 𝑞𝑇.𝑟
4πa3
Vint. = +∫ 𝐸𝑟. 𝑖𝑟. 𝑑𝑟. 𝑖𝑟𝑟
0 = + ∫
𝑟
0
𝑞𝑇.𝑟
4Є₀πa³𝑑𝑟 = +
𝑞𝑇
4Є₀πa³ ∫
𝑟
0𝑟. 𝑑𝑟 =
Vint. = 𝑞𝑇
4Є0πa3 (r2
2)
Vint. = 𝑞𝑇
8πa3 (r²)
En el exterior
Si r = a
Eext. = 𝑞(𝑟)
4πr³Є₀
Eext. = 𝑞
4πЄ₀r²
Vext. = +∫ 𝐸𝑟. 𝑖𝑟. 𝑑𝑟. 𝑖𝑟∞
0 = - ∫
∞
0
𝑞
4Є₀πr²𝑑𝑟
Vext. = - 𝑞
4πЄ₀ ∫
∞
0
1
r²𝑑𝑟
Vext. = - 𝑞
4πЄ0 (1
−𝑟)
Eext. = 𝑞
4πЄ₀r
Gráfica:
r E inter. E exter. V inter. V exter.
0 0 ∞ 0 ∞ a 𝑞
4πЄ₀a2
𝑞
4πЄ₀a2
𝑞
8πЄ₀a
𝑞
4πЄ₀a
∞ ∞ 0 ∞ 0
E
0 r
10. Un cable coaxial esta lleno de un dieléctrico de campo eléctrico de distribución de
20000V/cm. Calcular la máxima energía que podría transportar este cable si tiene una
longitud de 50m, un radio exterior de 2cm y un radio interior de 1cm.
2
)ln(.
)ln(.
ln
)ln(
ln
)ln(
)(
ln
)ln(
ln
)ln(
0
)ln(
)ln(
lnln
ln0
ln
)2()1(
ln0
0
)2(
ln
)1(
0
2
oEWE
ir
a
br
VoE
ir
b
ar
VoE
irr
VE
VE
r
a
b
Vob
b
a
VorV
b
b
a
VoA
b
a
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VoA
a
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VoB
a
bBVo
bBaBVo
bBA
aBAVo
y
bBA
Vbr
condicion
aBAVo
VoVar
condicion
Vbr
VoVar
bordedescondicione
VE
oEWE
rBArV
a
b
lVooE
lr
a
br
VooE
VolWEE
a
br
VooWE
E
E
E
2
2
2
2
2
ln2
.
ln.2
*
ln.2
Ejercicios:
1. Determinar la energía almacenada en un condensador cilíndrico de radio interno a y externo b, al cual se le aplica una diferencia de potencial Vo.
2
)ln(.
)ln(.
ln
)ln(
ln
)ln(
)(
ln
)ln(
ln
)ln(
0
)ln(
)ln(
lnln
ln0
ln
)2()1(
ln0
0
)2(
ln
)1(
0
2
oEWE
ir
a
br
VoE
ir
b
ar
VoE
irr
VE
VE
r
a
b
Vob
b
a
VorV
b
b
a
VoA
b
a
b
VoA
a
b
VoB
a
bBVo
bBaBVo
bBA
aBAVo
y
bBA
Vbr
condicion
aBAVo
VoVar
condicion
Vbr
VoVar
bordedescondicione
VE
oEWE
rBArV
2. Calcule la energía almacenada en un condensador esférico de radio interno . y externo .
si se aplica un voltaje Vo.
Condiciones de borde
Aplicando las condiciones tenemos
Entonces
Reemplazando e en a
Reemplazando A y B en la ecuación principal
3.- Determinar la energía almacenada en una bobina circular de radio r
zizr
Rirzizrr 1
Rirr 1 2
1
22 )(1 zRrr
3
)(
4 rlr
rlrdlxIB o
o
2
3
22 )(
)()(
4zR
zizRirxiRdIB o
o
)()(
)(4 2
3
22
zizRirxiRd
zR
IB oo
ziyixi
zR
RdzizRirxiRd
0
00)()(
iizdRirzRdzizRirxiRd 2)()(
B
X
R
r1
Y
P r
Z
Io dl
2
0
2
2
3
22
)((
)(4
izdRirzRdzR
zR
IB oo
2
0
2
0
2
2
3
22
(
)(4
izdRirdzR
zR
IB oo
)22(
)(4
2
2
3
22
izRrzR
zR
IB oo
Para el entro de la espira z = 0
)2(
)(4
2
2
3
22
izR
zR
IB oo
espiraunaparaiz
zR
IB oo
2
3
22 )(4
bobinaBH
0
1
espirabobina NBB
R
INH
2
1 00
0
R
INB oo
2
R
NIH
2
0
n = Densidad de energía
U = Energía
n = 2
02
1H
n =
2
0
022
1
R
NI
n =
2
22
2
0
2
022
1
R
IN
n = 2
22
00
8
1
R
NI
4.- Calcular el potencial y la resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a y externo
b y longitud l y conductividad σ si el cilindro interior es hueco. se aplica una diferencia de
potencial Vo y circula una corriente Io.
𝑉𝑧 = 𝐴 + 𝐵𝑧
Condiciones de borde
1.− 𝑍 = 0 𝑉 = 0
2.− 𝑍 = 𝑙 𝑉 = 𝑉𝑜
condición 1
𝑍 = 0 𝑉 = 0
0 = 𝐴 + 𝐵𝑧
𝐴 = 0
condición 2
𝑍 = 𝑙 𝑉 = 𝑉𝑜
𝑉𝑜 = 𝐴 + 𝐵𝑙
𝐵 =𝑉𝑜 − 𝐴
𝑙
𝐵 =𝑉𝑜
𝑙
𝑉(𝑧) = 𝐴 + 𝐵𝑧
𝑉(𝑧) =𝑉𝑜(𝑧)
𝑙
�⃗� = −∇𝑉
�⃗� = −𝑉𝑜(−𝑖𝑧)
𝑙
�⃗� =𝑉𝑜(𝑖𝑧)
𝑙
𝐽 = 𝜎�⃗�
𝐽 = 𝜎𝑉𝑜(𝑖𝑧)
𝑙
𝐼 = ∮ 𝐽 𝑑𝑠
𝐼 = ∬ 𝜎𝑉𝑜(𝑖𝑧)
𝑙
2𝜋 𝑏
0 𝑎
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑
𝐼 = 𝜎𝑉𝑜
𝑙
𝑟2
22𝜋
𝐼 = 𝜎𝑉𝑜
𝑙(𝑏2−𝑎2)𝜋
𝐼 = 𝐼𝑜
𝐼𝑜⃗⃗ ⃗ = 𝜎𝑉𝑜
𝑙(𝑏2−𝑎2)𝜋
𝐼𝑜
𝐼= 𝑅
𝑅 =𝑙
𝜎(𝑏2−𝑎2)𝜋
7.- Un cilindro de radio de radio a esta colocado dentro de un campo magnético
uniforme Hoix . Encuentre el campo magnético magnético si el cilindro tiene una
permeabilidad 2 y esta rodado por medio cuya permeabilidad es 1.
irn
irn
BxnBxnar
BnBnar
extBBr
finitoBr
scondicione
1
2
022
121
1
11
0221.1
0
1
2
2
1 1
2
isenirHoB
isenira
HoB
isenirHoa
HoB
cos12
21112
cos12
21111
cos12
21111
2
2
9.-Determinar el potencial vectorial magnético y el campo para la siguiente
distribución de corriente. Cilindro infinitamente largo de radio a que transporta una
corriente superficial k i0 .
Condiciones:
1) r = 0 1 = finito
2) r = a 2 = 0
3) r = a 02211
BnBn
4) r = a ktBnBn
2
0
2
0
1
1*
1*
cos
cos
2
22
r
BAr
r
DCr
1) r = 0 finito1 2) r = 2 = 0
k
i0 .
rin
rin2
a
2n
1n 2
1
B = 0 C = 0
1 = Ar cos 1 = cos2r
D
zidz
di
dr
dri
dr
d
1
B
iAsenrrAB
isenr
Dri
r
DB
B cos
cos
1
33
3) r = a 02211
BnBn
0cos*3
risenr
DriAri
4) r = a ktBnBn
2
0
2
0
1
1*
1*
zisenkisen
r
DxriiiAsenktx
0300
1)(
1
zisenkzisenr
Dzisen
A
0
0
30
0
0
30
kr
DA
0
30
0
303
0
2; k
a
Dk
a
D
a
D
2
3
00 akD
o
2
.
1
2
..
2
ln2
ln2
ln2
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
aJoH
BH
aJoB
r
JoaB
irJoa
rB
AxB
rJoa
Az
rC
JoaAz
2
2
2
2
0
2
ln2
ln2
ln2
2
2
2
2
.
C
J
ro
aV
ro
aV
a
ro
V
dror
V
EdrV
orE
l
q
orl
qE
oErlq
dzoErdq
dzrdrds
dsoEq
l
)(cos2
)(cos2
001
3
300
isenrik
B
isenrir
akB
B
10.-Cuales son los campos B y H para una corriente volumetrica distribuida
uniformemente Jo iz atravez de un cilindro de radio a y permeabilidad limitada por
el espacio libre.
A=r2 o
3.- Determinar la energía almacenada en una bobina circular de radio r
zizr
Rirzizrr 1
Rirr 1 2
1
22 )(1 zRrr
3
)(
4 rlr
rlrdlxIB o
o
2
3
22 )(
)()(
4zR
zizRirxiRdIB o
o
)()(
)(4 2
3
22
zizRirxiRd
zR
IB oo
ziyixi
zR
RdzizRirxiRd
0
00)()(
iizdRirzRdzizRirxiRd 2)()(
B
X
R
r1
Y
P r
Z
Io dl
2
0
2
2
3
22
)((
)(4
izdRirzRdzR
zR
IB oo
2
0
2
0
2
2
3
22
(
)(4
izdRirdzR
zR
IB oo
)22(
)(4
2
2
3
22
izRrzR
zR
IB oo
Para el entro de la espira z = 0
)2(
)(4
2
2
3
22
izR
zR
IB oo
espiraunaparaiz
zR
IB oo
2
3
22 )(4
bobinaBH
0
1
espirabobina NBB
R
INH
2
1 00
0
R
INB oo
2
R
NIH
2
0
n = Densidad de energía
U = Energía
n = 2
02
1H
n =
2
0
022
1
R
NI
n =
2
22
2
0
2
022
1
R
IN
n = 2
22
00
8
1
R
NI
4.- Calcular el potencial y la resistencia de un conductor cilíndrico de radio interno a y externo
b y longitud l y conductividad σ si el cilindro interior es hueco. se aplica una diferencia de
potencial Vo y circula una corriente Io.
𝑉𝑧 = 𝐴 + 𝐵𝑧
Condiciones de borde
1.− 𝑍 = 0 𝑉 = 0
2.− 𝑍 = 𝑙 𝑉 = 𝑉𝑜
condición 1
𝑍 = 0 𝑉 = 0
0 = 𝐴 + 𝐵𝑧
𝐴 = 0
condición 2
𝑍 = 𝑙 𝑉 = 𝑉𝑜
𝑉𝑜 = 𝐴 + 𝐵𝑙
𝐵 =𝑉𝑜 − 𝐴
𝑙
𝐵 =𝑉𝑜
𝑙
𝑉(𝑧) = 𝐴 + 𝐵𝑧
𝑉(𝑧) =𝑉𝑜(𝑧)
𝑙
�⃗� = −∇𝑉
�⃗� = −𝑉𝑜(−𝑖𝑧)
𝑙
�⃗� =𝑉𝑜(𝑖𝑧)
𝑙
𝐽 = 𝜎�⃗�
𝐽 = 𝜎𝑉𝑜(𝑖𝑧)
𝑙
𝐼 = ∮ 𝐽 𝑑𝑠
𝐼 = ∬ 𝜎𝑉𝑜(𝑖𝑧)
𝑙
2𝜋 𝑏
0 𝑎
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑
𝐼 = 𝜎𝑉𝑜
𝑙
𝑟2
22𝜋
𝐼 = 𝜎𝑉𝑜
𝑙(𝑏2−𝑎2)𝜋
𝐼 = 𝐼𝑜
𝐼𝑜⃗⃗ ⃗ = 𝜎𝑉𝑜
𝑙(𝑏2−𝑎2)𝜋
𝐼𝑜
𝐼= 𝑅
𝑅 =𝑙
𝜎(𝑏2−𝑎2)𝜋
6.-Una corriente contante Ko
i fluye sobre la superficie de una esfera de radio R. Cuál es el
campo magnético en el centro de la esfera?
irn
irn
2
1
cos),,(2
r
BArzr
Condiciones:
0........4
.1
2.1
.........3
0...........2
........0.1
2
2
0
1
0
1
2211
1
Br
BxnBxnRr
BnBnRr
finitoBr
isenr
DCir
r
DCB
isenr
BAir
r
BAB
..cos2
.
..cos2
.
3322
3311
cos
cos
22
21
r
DC
r
BA
r
r
Condición 1:
iAsenirABB
finitoBr
cos......0
........0
1
1
Condición 4:
isenr
Dir
r
DBBr
3322 cos2
.......0.......
Condición 2:
3
3
33
2211
2
0cos2
cos
..cos2
...cos.
0............
R
DA
R
DA
isenR
Dir
R
DiriAsenirAir
BnBnRr
Condición 3:
6
.
3
.2
3
.)11(
3
.)0cos(cos
3
.cos
3
...
3
.
.3
.2
...
....
....cos2
...cos.
..1
2.1
........
3
00
3
00
3
00
3
00
3
00
0
0
3
00
0
3
00
003
0033
003
003
0033
02
0
1
0
1
RkD
RkD
RkD
RkD
RkD
dRk
dsenD
sen
RkD
ksenR
D
ksenR
Dsen
R
D
ksenR
DAsen
ikisenR
DiAsen
ikisenR
Dir
R
DiriAsenirAir
kBxnBxnRr
3
.
3
.
2
00
3
3
00
3
kA
R
RkA
R
DA
izk
B
irsenirk
B
3
.
cos3
.
001
001
