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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
SEGUNDO SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
CÁLCULO II
Versión modificada de la gestión I/2010, por:
Ing. Veronica Jaldin Mita
Gestión Académica I / 2013
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 1
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R.M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y
competitividad al servicio de la sociedad.
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
SYLLABUS
Asignatura: CALCULO II
Código: MAT 112 C
Requisito: MAT 102 C
Carga Horaria: 100 Horas
Créditos: 10
I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
Al final del curso el estudiante deberá ser capaz de:
Dominar los conocimientos básicos del cálculo diferencial, de las derivadas parciales y de las ecuaciones diferenciales.
Analizar sistemas de costos basados en el costeo estándar, tendiente a optimizar la rentabilidad de la gestión, mediante el control en el uso de los recursos aplicados a la suma de procesos productivos.
Definir y calcular Integrales Indefinidas o Antiderivadas ya sea con empleo de tablas o los diferentes métodos enseñados.
Calcular el área entre dos o más curvas. Diferenciar entre escalares y vectores. Representar los vectores geométricamente. .Hallar la ecuación de una recta en el espacio además de resolver ejercicios
de aplicación mediante los conceptos de rectas paralelas y ortogonales el ángulo entre dos rectas.
Hallar le ecuación de un Plano usando las diversas formas de notación, además de encontrar las ecuaciones de planos paralelos y ortogonales y sus ejercicios e aplicación
Calcular derivadas parciales de orden superior. Aplicar la Regla de la Cadena en funciones compuestas. Derivar implícitamente. Calcular los máximos y mínimos de una función de dos o más variables. Calcular la matriz Hessiana. Aplicar la matriz Hessiana en el cálculo de puntos críticos
II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
UNIDAD I: DERIVADAS PARCIALES
1.1. Introducción1.1.1. Concepto de derivada1.1.2. Tabla de derivación
1.2. Derivadas Parciales y su notación1.2.1. Concepto de derivadas parciales1.2.2. Definición de derivadas parciales1.2.3. Interpretación geométrica de las derivadas parciales
1.3. Calculo de derivadas parciales de primer orden1.3.1. Derivadas parciales de funciones de dos y tres variables1.3.2. Regla de la cadena1.3.3. Derivación Implícita
1.4. Derivadas parciales de orden superior1.4.1. Notación e interpretación1.4.2. Derivadas parciales de orden superior de dos y tres variables
1.5. Jacobianos 1.6. Diferenciales de primer y segundo orden
UNIDAD II: APLICACIONES DE LA DERIVADA PARCIAL
2.1. Máximos y Mínimos de una función de dos variable2.1.1 Condiciones de máximo y mínimo2.1.2 Criterios de determinación de máximo o mínimo
2.2. Máximos y Mínimos de una función de tres variables2.2.1 Máximos y mínimos relativos
2.3. Máximos y Mínimos condicionadas2.3.1 Condiciones de máximos y mínimos condicionadas
2.4. Aplicaciones en Economía2.4.1 Costo mínimo para dos o más artículos2.4.2 Ingreso máximo por dos o más artículos2.4.3 Utilidad o beneficio máximo
UNIDAD III GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
TEMA 3: VECTORES
3.1 Escalares y Vectores3.2 Representación Geométrica3.3 Sistema de coordenadas en el Espacio3.4 Modulo de un Vector3.5 Álgebra Vectorial y Propiedades3.6 Vectores Componentes3.7 Producto Escalar3.8 Producto Vectorial
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TEMA 4: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL6.1. Distancia entre dos puntos
4.2. División de un Segmento según una Razón dada4.3. Ángulos Directores, Cósenos Directores y Números
Directores4.4. La Recta
4.4.1. Ecuación Vectorial de la Recta4.4.2. Ecuación Paramétrica de la Recta4.4.3. Ecuación Simétrica de la Recta4.4.4. Rectas Paralelas y Ortogonales4.4.5. Angulo entre Dos Rectas4.4.6. Distancia Mínima entre Dos Rectas (Rectas que se cruzan)
4.5. El Plano4.5.1. Definición4.5.2. Ecuación Vectorial del Plano4.5.3. Ecuaciones Paramétricas del Plano4.5.4. Ecuación General del Plano4.5.5. Planos Paralelos y Ortogonales4.5.6. Intersección de Planos4.5.7. Intersección entre Recta y Plano4.5.8. Plano Paralelo a una Recta y Plano Perpendicular a una Recta4.5.9. Distancia de un Punto a un Plano4.5.10. Angulo entre Recta y Plano4.5.11. Distancia Mínima entre un Plano y una Recta que no esta
contenida4.5.12. Angulo entre dos Planos
UNIDAD IV: INTEGRALES
TEMA 6 :INTEGRALES INDEFINIDAS Y DEFINIDAS
5.1. Concepto de integral Indefinida simple5.1.1 Antiderivada y función primitiva
5.2. Calculo de la Integral Indefinida Simple5.2.1 Tabla de integración5.2.2 Integración por tabla
5.3. Métodos de Integración5.3.1 Método de sustitución5.3.2 Método de Fracciones Parciales5.3.3 Método de Por Partes5.3.4 Integración trigonométrica
5.4. Integrales Múltiples
5.4.1Integrales Dobles
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Integrales Triples 5.5. Integrales Definidas Simple
5.5.1 Concepto de Integral definida simple5.5.2 Calculo de Integral definida simple
5.6. Integral Definida Múltiple5.6.1 Concento de Integral definida doble5.6.2 Cálculo de Integral definida doble5.6.3 Cálculo de Integral definida triple
UNIDAD V: SERIES
6.1Concepto y definición de Sucesiones 6.1.1 Sucesiones6.1.2 Límite de sucesiones
6.2 Series numéricos6.2.1Criterios de convergencia y divergencia
6.3. Series de potencia6.3.1. Series Geométricas6.3.2 Series positivos y series negativos6.3.3 Series de términos alternos
6.4. Aplicaciones de las series en economía
III. ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA LAS BRIGADAS UDABOL
Las brigadas están destinadas a incidir de manera significativa en la
formación profesional integral de nuestros estudiantes y revelan las
enormes potencialidades que presentan esta modalidad de la educación
superior no solamente para que conozcan a fondo la realidad del país y se
formen de manera integral, sino, además, para que conforme a su
preparación académica los problemas de la vida real a los que resulta
imperativo encontrar soluciones desde el campo profesional en el que
cada uno se desempeñará.
El trabajo de las brigadas permite que nuestros estudiantes se conviertan
a mediano plazo en verdaderos investigadores, capaces de elaborar y
acometer proyectos de desarrollo comunitario a la vez que se
acostumbren a trabajar en equipos interdisciplinarios o multidisciplinario
como corresponde al desarrollo alcanzado por las ciencias y la tecnología
en los tiempos actuales.
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La ejecución de diferentes programas de interacción social y la
elaboración e implementación de proyectos de desarrollo comunitario
derivados de dichos programas confiere a los estudiantes, quienes son,
sin dudas, los más beneficiados con esta iniciativa, la posibilidad de:
Desarrollar sus prácticas pre-profesionales en condiciones reales y
tutorados por sus docentes con procesos académicos de
enseñanza aprendizaje de verdadera “aula abierta”.
Trabajar en equipos habituándose a ser parte integral de un todo
que funciona como unidad, desarrollando un lenguaje común,
criterios y opiniones comunes y planteándose metas y objetivos
comunes para dar solución en común a los problemas.
Realizar investigaciones multidisciplinarias en un momento
histórico en que la ciencia atraviesa una etapa de diferenciación y
en que los avances tecnológicos conlleva la aparición de nuevas y
más delimitadas especialidades.
Desarrollar una mentalidad crítica y solidaria con plena conciencia
de nuestra realidad nacional.
IV. EVALUACION DE LA ASIGNATURA
PROCESUAL O FORMATIVA
A lo largo del semestre se realizarán repasos cortos y otras actividades de
aulas, además de los trabajos prácticos y sus respectivas defensas. Cada
uno se tomará como evaluación procesual calificándola entre 0 y 50 puntos.
DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE APRENDIZAJE O SUMATIVA
Se realizan dos evaluaciones parciales con contenido teórico y práctico. El
examen final consistirá en un examen escrito de todo el avanzado. Cada
una de estas se calificará entre 0 y 50 puntos.
V. BIBLIOGRAFIA
CHUNGARA V; “Cálculo II”, Teoría y Problemas. Sig-Top 515.35 C47 t.2
AYRES, F; “Ecuaciones diferenciales. Sig top 515.35 Ay74
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LEITHOLD F; “Cálculo”, Ed. Mc GrawHill, 1992. Sig-Top 515.3 L53
LARSON, R, ”Calculo y geometría analitica”. Sig-Top 515.15 L32 c.2
Emir F. Vargas Peredo; “CALCULO para Ciencias Económicas y Financieras”, Edit. Maac Print, 2 005.
Charles H. Lehmann; “GEOMETRÍA ANALÍTICA”, Edit. Limusa, 1.990.
Murray H. Protter y Charles B. Morrey; “CALCULO CON GEOMETRÍA ANALITICA”, Edit. Fondo Educativo Interamericano, U.S.A. 1.980.
Roland E. Larson, Robert P. Hostetler y Bruce H. Edwards; “CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA-Volumen II”, Edit. Mc Graw-Hill, México 1.995.
Frank Ayres y Elliot Mendelson; “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”, Edit. Mc Graw-Hill, México 1991.
William Anthony Granville; “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”, Edit. Uthea.
Dennis G. Zill; “CALCULO CON GEOMETRÍA ANALITICA”, Edit. Iberoamericana, 1997.
Victor Chungara Castro; “APUNTES Y PROBLEMAS DE CALCULO II”, 2.000.
Demidovich; “5000 PROBLEMAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO”, Edit. Mir, Moscú 1980.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA.
CHUNGARA, V, “Ecuaciones diferenciales”. Sig-Top 515.35 Ch47 c.2
ESPINOZA, E. “Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones”. Sig- Top
515.35 Es65
VI. CONTROL DE EVALUACIONES
1° evaluación parcialFecha:Nota: 2° evaluación parcial
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Fecha: Nota: Examen finalFecha:Nota:
APUNTES
VII. PLAN CALENDARIO
SEMANA ACTIVIDADES ACADÉMICAS OBSERVACIONES
1ra. avance de materia TEMA I
2da. Avance de materia TEMA I
3ra. Avance de materia TEMA I
4ta. Avance de materia TEMA II
5ta. Avance de materia TEMA II
6ta. Avance de materia TEMA II
7ma. Avance de materia Primera Evaluación
8va. Avance de materia Primera Evaluación Presentación de notas
9na. Avance de materia TEMA III Presentación de notas
10ma. Avance de materia TEMA III
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11ra. Avance de materia TEMA IV
12da. Avance de materia TEMA IV
13ra. Avance de materia Segunda Evaluación
14ta. Avance de materia Segunda Evaluación Presentación de notas
15ta. Avance de materia TEMA IV Presentación de notas
16ta. Avance de materia TEMA V
17ma. Avance de materia TEMA V
18va. Avance de materia TEMA V
19na. Avance de materia Evaluación Final
20va. avance de materia Evaluación Final Presentación de notas
21va. Avance de materia Cierre de Gestión 2da. Instancia
Presentación de notas
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VIII. WORK PAPER´S Y DIF´S
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Derivadas parciales de primer orden y de orden superior
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Parcial
DERIVADAS PARCIALES
Conceptos y definiciones:
Conceptualmente la derivada de una función es la variación de la variable dependiente
con respecto a la variable independiente, por ejemplo la velocidad, que es la variación
de la distancia con respecto al tiempo.
Propiedades Básicas:
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En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales de primer orden:
1. a) b)
2. a) b)
3. a) b)
4. a) b)
5. a) b)
6. a) b)
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales de segundo
orden:
7. a) b)
8. a) b)
9. a) b)
10. a) b)
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En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales:
11. a) b)
12. a) b)
13. a) b)
Hallar los diferenciales de las funciones indicadas
Hallar los diferenciales de orden superior indicados
Aplicando la regla de la cadena, calcular las derivadas indicadas
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Máximos y Mínimos
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer parcial
Hallar máximos o mínimos de las siguientes funciones.
1. a)
2.- b)
3. a)
4.- b)
5. a)
6.- b)
7.-
8.-
9. a)
10.- b)
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Máximos y mínimos
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Evaluación Final
Resolver los siguientes problemas de aplicación práctica de los máximos y mínimos.
1.Dadas las funciones de costo y de ingreso:
. Hallar el costo mín., ingreso máx. y utilidad máx.
2.Una fábrica produce dos tipos de artículos, de unidades q1 y q2, cuyos precios son p1
y p2, respectivamente. Costos unitarios c1, c2; costo fijo Cf. Hallar la máxima ganancia y
los precios que maximiza la utilidad.
a) Si ; ;
b) Si ; ;
3. Hallar la máxima ganancia en la producción de dos artículos, de unidades q1 y q2,
cuyos precios son p1 y p2, respectivamente. El costo total de producción es Ct.
a) Si ; ;
b) Si ; ;
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: GEOMETRÌA ANALITA EN EL ESPACIO
TITULO: VECTORES
FECHA DE ENTREGA:
1.-Graficar los siguientes vectores:a) b) c) d)
e) f) g) h) i)
j) k) .
2.- Para los anteriores vectores hallar sus Módulos.
3.- Hallar el valor de K, para que el vector tenga por modulo 10.
4.- Si: ; ; ; , hallar:
a) b)
5.- Hallar con los siguientes pares de vectores:
a) , b) , c) ,
d) , e) , f)
,
6.- Si: , , hallar t para:
a) b)
7.- Hallar por producto escalar el ángulo entre: a) , b) ,
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c) , d) ,
e) , .
8.- Hallar los ángulos interiores del triángulo de vértices:a) A(3,-1,4); B(2,2,-1) y C(-1,3,1)b) A(-2,1,3); B(1,-1,1) y C(2,4,1)c) A(3,1,3); B(-1,-1,2) y C(0,4,1)
9.- Hallar el parámetro k si: a) , , b) , ,
c) , ,
d) , , .
10.- Hallar con los siguientes pares de vectores:
a) , b) , c) ,
d) , e) ,
11.- Hallar por producto vectorial el ángulo entre: a) , b) , c) ,
d) , e) , f)
, .
12.- Por el producto vectorial, hallar las áreas del paralelogramo y triángulo de los siguientes vectores:
a) , b) ,
13.- Calcular el área del triángulo de vértices:a) A(3,-3,2); B(-3,1,2) y C(2,4,-2)b) A(1,1,-1); B(2,-1,3) y C(5,4,6)c) A(-4,-4,-2); B(4,1,2) y C(2,4,-1)
14.- Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los siguientes pares de vectores:
a) , b) , .
15.- Calcular en los siguientes vectores:
a) ; ;
b) ; ;
16.- Hallar el volumen del paralelepípedo entre: a) ; ;
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b) ; ;
17.- Calcular en los siguientes vectores:
a) ; ;
b) ; ;
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WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: GEOMETRÌA ANALITA EN EL ESPACIO
TITULO: LA RECTA
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FECHA DE ENTREGA:
1.- Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos:a) A(-3,5,4) y B(7,-6,6) b) A(1,2,2) y B(3,-5,4)c) A(1,3,3) y B(2,7,6)
2.- Hallar las ecuaciones de las medianas y su punto de intersección en los triángulos de vértices:
a) A(4,1,4); B(-2,3,-3) y C(3,6,7)b) A(-2,-3,2); B(3,0,0) y C(0,4,0)c) A(5,-3,1); B(-1,1,2) y C(3,-1,5)d) A(4,0,2); B(3,1,4) y C(2,5,0)
3.- Si los puntos medios de un triángulo son los puntos A, B y C. Hallar las coordenadas de los vértices:
a) A(3,-2,1); B(3,1,1) y C(4,1,-1)b) A(1,1,1); B(-1,-2,1) y C(2,4,4)c) A(0,3,1); B(3,3,2) y C(2,4,1)
4.- Hallar los puntos de trisección y bisección del segmento que une los puntos A(3,1,-1) y B(-2,2,3).
5.- Determinar si las líneas rectas son paralelas, ortogonales ó ninguna de ellas. Si no son ni paralelas, ni ortogonales, calcule el ángulo entre las rectas.
a) y
b) y
c) y
d) y
e) y
f) y
g) y
6.- Encuentre la recta que pasa por A(3,1,5) y es paralela a la recta .
7.- Encuentre la recta que pasa por A(2,1,4) y sea perpendicular a la recta .
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8.- Encuentre la recta que pasa por A(3,1,-2) y es perpendicular a la recta
.
9.- Hallar los puntos de intersección de la recta L con cada uno de losplanos coordenados.
10.- Hallar la distancia mínima entre las rectas formadas por los puntos A y B y los puntos C y D. (Rectas que se cruzan).
a) A(5,-2,3), B(1,2,5) y C(3,1,2), D(2,5,-1)b) A(2,-2,2), B(3,-1,0) y C(2,2,1), D(-3,2,-2)
11.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,-3,4) y es perpendicular a
cada una de las rectas y .
12.- Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las rectas y .
13.- Determine el punto de intersección de las rectasa) y .
b) y
14.- Calcule la distancia del punto A a la recta L:a) A(3,2,5) ,
b) A(3,2,5) ,
15.- Hallar la ecuación de la línea recta que es perpendicular al plano 2x+3y-4z+7=0 y que pasa por el punto A(3,2,7).
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: GEOMETRÌA ANALITA EN EL ESPACIO
TITULO: EL PLANO
FECHA DE ENTREGA:
1.- Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A y tiene el vector normal .
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a) A(1,4,2) , b) A(2,1,-5) , c) A(4,-2,-5) ,
2.- Hallar la ecuación del plano que pasa por A y que es perpendicular a la recta L. a) A(2,-1,3) , b) A(1,2,-3) , c) A(2,-1,-2) ,
3.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos no colineales siguientes:a) A(2,-1,5), B(6,2,-3) y C(1,0,7)b) A(8,-5,-5), B(0,9,4) y C(2,3,-2)c) A(2,2,1), B(-1,2,3) y C(3,-5,-2)
4.- Determine si los planos son paralelos o perpendiculares:a) y b) y c) y
5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y que es perpendicular al plano dado Q.
a) A(-2,3,1) , b) A(-1,0,-2) , c) A(2,-1,-3) ,
6.- Hallar la ecuación del plano que pasa por A y que es paralelo al plano Q.a) A(1,-2,-1) , b) A(-1,3,2) , c) A(3,0,2) ,
7.- Hallar la ecuación del plano que contiene a la rectas y
a) ,
c) ,
d) ,
e) ,
8.- Hallar la ecuación del plano que pasa por A y que contiene a la recta dada L.
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a) A(3,-1,2) ,
b)A(1,-2,3) ,
9.- Calcule la intersección de los planos siguientes:a) y b) y c) y
10.- Hallar el punto de intersección de la recta L y el plano Q.
a) y
b) y
c) y
11.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta y que es paralelo a .
a) ,
b) ,
12.- Hallar la distancia del punto A al plano Q.a) A(2,1,-1) , b) A(-1,3,2) , c) A(3,-1,2) ,
13.- Hallar la mínima distancia de la recta L al plano Q.
a) y
b) y
c) y
14.- Hallar el ángulo entre los dos planos.a) y b) y c) y
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 7
UNIDAD O TEMA: GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
TITULO: LA ESFERA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Parcial
1.- Hallar la ecuación general de la esfera, que cumplen las siguientes condiciones:a) Centro C = (3,5,3) y Radio r = 2.b) Diámetro esta entre los puntos (1,2,5) y (3,6,1)c) Centro C = (2,4,4) y pasa por el origen de coordenadasd) Centro C = (2,4,3) y tangente al plano P: 2x+2y+z-9=0.e) Centro C = (3,5,4) y tangente a la recta
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L:
f) Centro C = (3,2,-2) y es tangente al plano x+3y-2z+1=0
2.- Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos no colineales siguientes:a) (6,5,6), (5,1,7), (2,4,3), (2,5,4)b) (9,0,1), (3,12,1), (12,3,13), (0,0,4)
3.- Hallar el Centro y Radio de las siguientes esferas:a) b) c) d) e) f) g) h)
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 8
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES
TITULO: Integración por Tabla
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
INTEGRALES SIMPLES
Concepto y Definición:
Conceptualmente la Integral indefinida es el proceso inverso de la derivada de una
función.
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Es decir, , donde c es una constante.
Por ejemplo;
Propiedades básicas:
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales indicadas.
1. a) b)
2. a) b)
3. a) b)
4.-a) b)
5.- b)
6.- a) b)
7. a) b)
8. a) b)
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
9. a) b)
10. a) b)
11. a) b)
1 2. a) b)
13. a) b)
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 9
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES
TITULO: Métodos de Integración
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales indicadas.
1.- a) b)
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
2.- a) b)
3.- a) b)
4.- a) b)
5.- a) b)
6.- a) b)
7.- a) b)
8.- a) b)
Calcule las integrales por el método de Sustitución
1.- 2.-
3.- 4.-
5.- 6.-
7.- 8.-
9.- 10.-
11.- 12.-
13.- 14.-
15.- 16.-
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17.- 18.-
19.- 20.-
21.- 22.-
23.- 24.-
25.- 26.-
27.- 28.-
29.- 30.-
31.- 32.-
33.- 34.-
35.- 36.-
37.- 38.-
39.- 40.-
41.- 42.-
43.- 44.-
45.- 46.-
47.- 48.-
49.- 50.-
51.- 52.-
53.- 54.-
55.- 56.-
57.- 58.-
59.- 60.-
61.- 62.-
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 30
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
63.- 64.-
65.- 66.-
67.- 68.-
69.- 70.-
71.- 72.-
73.- 74.-
75.- 76.-
77.- 78.-
79.- 80.-
81.- 82.-
83.- 84.-
85.- 86.-
87.- 88.-
89.- 90.-
91.- 92.-
93.- 94.-
95.- 96.-
97.- 98.-
99.- 100.-
101.- 102.-
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
103.- 104.-
105.- 106.-
107.- 108.-
109.- 110.-
111.- 112.-
113.- 114.-
115.- 116.-
117.- 118.-
119.- 120.-
121.- 122.-
123.- 124.-
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 10
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES
TITULO: Métodos de Integración
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales indicadas.
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1.- a) b)
2.- a) b)
3.- a) b)
4.- a) b)
5.- a) b)
6.- a) b)
7.- a) b)
8.- a) b)
9,- a) b)
10.- a) b)
11.- a) b)
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales indicadas.(METODO DE
INTEGRACION POR PARTES)
1.- 2.-
3.- 4.-
5.- 6.-
7.- 8.-
9.- 10.-
11.- 12.-
13.- 14.-
15.- 16.-
17.- 18.-
19.-
20.- a) b)
21.- a) b)
22.- a) b)
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WORK PAPER # 11
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES
TITULO: Integrales Definidas y Cálculo de Área
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Primer Parcial
Calcular las siguientes integrales definidas
1.- a) b)
2.- a) b)
3.- a) b)
En cada una de las siguientes figuras, calcular el área de la región sombreada.
4.- a) b)
y = x2 – x – 1 y = x + 2
2x + 3y = 6
-3
-2
Graficar la región limitada por las curvas dadas y calcular su área:1.- 2.- 3.-
4.-
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5.- 6.- 7.-
8.-
9.-
10.-
11.- 12.- 13.- 14.- 15.- 16.- 17.- 18.- 19.- 20.-
21.-
22.-
23.-
24.- 25.- (Obtener el área de todas las
regiones formadas)
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WORK PAPER # 12
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES
TITULO: Integrales Dobles
FECHA DE ENTREGA:
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PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Parcial
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las integrales dobles que se indican.
1.- a) b)
2.- a) b)
3.- a) b)
4.- a) b)
5.- a) b)
6.- a) b)
7.- a) b)
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WORK PAPER # 13
UNIDAD O TEMA: SERIES
TITULO: Sucesiones, Series y Series de Potencias
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN: Segundo Parcial
Encuentre la expresión más simple para el enésimo término de las sucesiones que se
dan a continuación.
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
1.- a) b)
2.- a) b)
Escribe cinco primeros términos de las sucesiones que se dan a continuación.
3.- a) b)
4.- a) b)
Calcular la suma de los primeros diez términos de las series que se dan a continuación.
5.- a) b)
6.- a) b)
En cada uno de los siguientes incisos, encuentre una serie de potencias de x de la
función dada.
7.- a) b) c)
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DIF ’s # 01
UNIDAD O TEMA: INTEGRALES
TITULO: Concepto de integral indefinida
FECHA DE ENTREGA:
Conceptualmente la integral indefinida es el proceso inverso de la derivada.
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
TAREA PARA DIF ‘s:
A partir de la tabla de derivación generar la tabla de integración de funciones básicas.
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DIF ’s # 02
UNIDAD O TEMA: INTEFRALES
TITULO: Concepto de integral definida
FECHA DE ENTREGA:
La integral definida geométricamente represente el área comprendida entre a y b bajo
la curva que representa a f(x)
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 40
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Sea f(x) una función definida en [a,b] como se muestra en el siguiente diagrama
f(x)
a b
El área de la región sombreada es: A =
Como, si entonces
Por lo tanto, A =
TAREA PARA DIF ‘s:
A partir de este concepto generalizar la forma de determinar el área de una región
arbitraria.
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DIF ’s # 03
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Concepto de derivada y de derivada parcial
FECHA DE ENTREGA:
Conceptualmente, la derivada de una función de una variable es la variación o el
cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente.
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 41
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
TAREA PARA DIF ‘s:
A partir de este concepto, determinar el significado o el concepto de la derivada parcial
y su interpretación geométrica
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DIF ’s # 04
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Concepto de demanda y oferta
FECHA DE ENTREGA:
TAREA PARA DIF ‘s:
A partir del conocimiento adquirido en la asignatura de “Economía”, dar a conocer el
concepto de demanda y oferta, sus ecuaciones y la característica de su gráfica.
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 42
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Para cierto producto la cantidad demandada es 100 unidades, si el precio es 10
unidades monetarias, y 60 unidades si el precio es 20 unidades monetarias. Hallar la
ecuación de la curva de demanda, suponga que es lineal.
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DIF ’s # 05
UNIDAD O TEMA: DERVADAS PARCIALES
TITULO: Definición de Ingreso y Ingreso marginal
FECHA DE ENTREGA:
TAREA PARA DIF ‘s:
A partir del conocimiento adquirido en la asignatura de “Economía”, dar a conocer la
definición de ingreso, función ingreso, ingreso marginal y la característica de su gráfica.
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 43
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
Para cierto producto la ecuación de demanda es:
Donde q = cantidad y p = precio
Determine la función de ingreso, en función de la cantidad.
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DIF ’s # 06
UNIDAD O TEMA: DERVADAS PARCIALES
TITULO: Definición de Costo y Costo marginal
FECHA DE ENTREGA:
TAREA PARA DIF ‘s:
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 44
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
A partir del conocimiento adquirido en la asignatura de “Economía”, dar a conocer la
definición de Costo, función Costo, Costo marginal y la característica de su gráfica.
Para cierto producto el costo unitario es 2 unidades monetarias y el costo fijo es de
1500 unidades monetarias.
Determine la función de costo total, en función de la cantidad.
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DIF ’s # 07
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Definición de Utilidad y Utilidad marginal
FECHA DE ENTREGA:
TAREA PARA DIF ‘s:
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 45
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
A partir del conocimiento adquirido en la asignatura de “Economía”, dar a conocer la
definición de Utilidad beneficio, función de Utilidad, Utilidad marginal y la característica
de su gráfica.
Considerando los datos de DIF 6 y 7, determine la función de utilidad.
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DIF ’s # 08
UNIDAD O TEMA: DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Condiciones de máximo y mínimo relativos
FECHA DE ENTREGA:
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
TAREA PARA DIF ‘s:
A partir del conocimiento de Cálculo I, dar a conocer las condiciones de máximo y
mínimo relativos, y generalizar para funciones de más de una variable.
Para la función de dos variables:
Analice se tiene un máximo o un mínimo relativo.
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DIF ’s # 09
UNIDAD O TEMA: APLCACIONES DE DERIVADAS PARCIALES
TITULO: Función de utilidad de dos variables
FECHA DE ENTREGA:
Considere una empresa que produce dos tipos de productos. Es decir,
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 47
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
q1 = cantidad demandada del primer tipo
q2 = cantidad demandada del segundo tipo
p1 = precio del primer tipo
p2 = precio del segundo tipo
c1 = costo unitario del primer tipo de producto
c2 = costo unitario del segundo tipo de producto
cf = costo fijo de la empresa
Ecuaciones de demanda:
TAREA PARA DIF ‘s:
Determine la utilidad en función de las cantidades q1 y q2.
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DIF ’s # 10
UNIDAD O TEMA: GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
TITULO: VECTORES
FECHA DE ENTREGA:
1.- Sean A(1,-2,1), B(1,-3,4) y C(2,4,-1). Calcular:
a) A + B b) A + 2B –3C c)
2.- Sean A(1,4,-1), B(2,5,4) y C(0,4,0). Calcular:
a) A + C b) c)
3.- Si A(1,2,1), B(-1,3,2) realizar gráficamente las siguientes operaciones:
a) A – B b) c)
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 48
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
4.- Dados los vectores P y Q, en cada una de las ecuaciones determinar un vector R que satisfaga:
a) P(2,3,5), Q(1,3,-4); 3R – 2P + Q = 0.b) P(1,2,-1), Q(0,3,1); R – 3P - Q = 2Rc) P(0,5,1), Q(3,1,-1); 5R + P + 3Q = 2Q
5.- Si A(3,1,4) y B(2,-1,-3). Calcular la longitud o módulo de:a) A +B b) 2A – 3B c) 5B - 3A
6.- Indicar cuáles de los siguientes pares de vectores son paralelos y en tal caso, si tienen el mismo sentido.
a) P(2,4,6), Q(4,3,2) b) P(5,7,3), Q(15,21,9) c) P(-2,-1,2), Q(8,4,-8)
7.- Sean M(3,0,5) y N(2,-1,-3). Calcular:a) b) c)
8.- Demostrar que el ángulo que forman A(1,2,1) y B(2,1,-1) es el doble del que forman C(1,4,1) y D(2,5,5).
9.- Sean A(1,2,-3), B(1,-1,0) y C(-1,-2,1). Calcular:a) b) c)
10.- Calcular el área del paralelogramo de lados:a) a = (5,3,1) y b = (3,7,-1)b) c = (1,3,2) y d = (-2,-4,3)c) e = (3,5,-2) y f = (1,0,-2)
11.- Calcular el área del triángulo de vértices:a) M(1,5,4), N(-1,-2,-1) y O(0,2,-3)b) b) P(-2,1,3), Q(3,0,6) y R(4,5,-1)c) A(2,4,4), B(3,6,2) y C(1,2,6)d) D(3,3,2), E(1,1,5) y F(2,6,3)
12.- Dados los pares de vectores: A(3,1,5) y B(2,7,4); A(2,1,0) y B(-5,2,1) y A(3,5,2) y B(1,2,5)
a) Graficar los vectores.b) Calcular: , , , y .c) Mediante el producto vectorial, calcule el área del triángulo entre A y B.d) Hallar el ángulo que forman los vectores utilizando el producto escalar y el
producto vectorial.
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 49
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
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DIF ’s # 11
UNIDAD O TEMA: GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
TITULO: LÍNEA RECTA
FECHA DE ENTREGA:
1.- Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos:a) A(3,2,4) y B(7,6,6) b) C(2,4,2) y D(3,6,4) c)
E(1,2,5) y F(3,6,1) d) G(-1,-2,2) y H(2,4,-1) e) I(1,0,2) y J(3,6,5)f) E(3,2,4) y F(2,3,-4)
2.- Dados los vértices P,Q y R de un triángulo. Calcular la longitud de la mediana que parte de P.
a) P(2,4,2), Q(1,1,5) y R(3,7,3)b) P(-1,2,3), Q(0,-1,7) y R(1,0,-3)
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 50
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
3.- Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son A(-2,-3,-2), B(-3,1,4) y C(2,3,-1).
4.- Dados los puntos A(1,2,3) y B(3,6,7). Hallar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en 3 partes iguales.
5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:a) A(1,2,2) y B(3,5,4) b) C(3,2,4) y D(3,6,2) c)
E(2,3,5) y F(-3,4,7) d) G(8,-3,2) y H(5,0,1) e) I(1,1,1) y J(-3,2,-1)f) K(1,3,2) y L(2,-1,4)
g) M(1,0,5) y N(-2,0,1) h) O(4,-2,0) y P(3,2,-1) j) Q(5,5,-2)y R(6,4,-4)
6.- Hallar la ecuación de la recta en todas sus formas posibles, si:a) P(5,3,-2) y el vector dirección (2,-3,2).b) P(-1,-3,-5) y el vector dirección (-2,7,3).c) P(3,6,3) y el vector dirección (1,2,4).
7.- Hallar el vector dirección y un punto que pertenezca a las rectas:
a) b)
c)
8.- Halle tres puntos que pertenezcan a las rectas:
a) b)
c)
9.- Decidir si las rectas M y N son perpendiculares:
a) y
b) y
c) y
d) y
e) y
10.- Hallar las ecuaciones de las medianas del triángulo cuyos vértices son A(4,0,2), B(3,1,4) y C(2,5,0).
11.- Hallar la ecuación de la recta que cumple con las siguientes condiciones:a) Pasa por P(3,1,5) y es paralela a la recta
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 51
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
b) Pasa por P(-6,5,3) y es paralela a la recta
c) Pasa por P(2,1,4) y es perpendicular a la recta
d) Pasa por P(2,-1,5) y es perpendicular a la recta
12.- Hallar el punto de intersección entre las rectas:
a) y
b) y
c) y
d) y
13.- Hallar la mínima distancia entre la recta L y el punto P.
a) y P(8,9,7).
b) y P(4,6,5).
c) y P(7,8,9).
d) L = (1,2,-1) + t(3,4,1) y P(1,1,1).e) L: x=t,y=1-t,z=3+t
14.- Hallar la mínima distancia entre las rectas:
a) y
b) y
c) y d) y
15.- Hallar el ángulo entre las siguientes rectas.
a) y
b) y c) y d) y
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 52
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
16.- Hallar los ángulos agudos del triángulo cuyos vértices son A(1,0,1), B(2,-2,3) y C(7,-2,4).
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DIF ’s # 12
UNIDAD O TEMA: GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
TITULO: EL PLANO
FECHA DE ENTREGA:
1.- Hallar la ecuación del plano, cuyo vector normal es N y pasa por el punto P.a) N(1,3,2) y P(2,5,3). b) N(0,2,0) y P(3,5,4). c) N(1,1,2) y
P(3,4,4). d) N(1,3,2) y P(0,0,0).e) N(1,3,2) y P(2,5,3). f) N(1,-4,2) y P(5,-1,3).g) N(3,1,-4) y P(1,4,2). h) N(3,0,2) y P(2,1,-5).
2.- Hallar las ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados:a) P(2,2,3), Q(3,5,2) y R(1,4,3).b) P(1,2,1),Q(2,-1,0) y R(4,1,-2).c) P(7,2,3), Q(4,5,6) y R(-1,0,1).d) P(2,-1,1), Q(-2,1,3) y R(3,2,-2).e) P(-3,2,4), Q(1,5,7) y R(2,2,-1).f) P(1,4,-4), Q(2,5,3) y R(3,0,-2).g) P(1,-2,1), Q(2,0,3) y R(0,1,-1).h) P(2,2,1), Q(-1,2,3) y R(3,-5,-2).
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 53
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
3.- Graficar los siguientes planos.a) 10x-7y-z+19=0 b) 34x-7y-4z+19=0
c) 8x-5y+4z-21=0 d) 3x-2y-5z+10=0
4.- Hallar la ecuación del plano que pasa por P y que es perpendicular a la recta L:a) P(2,-1,3) y .b) P(-1,2,-3) y .c) P(-2,-1,5) y L: A(2,-1,2), B(-3,1,-2).d) P(6,4,-2) y L: A(7,-2,3), B(1,4,-5).
5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por Q y que es perpendicular al plano dado.a) Q(-2,3,1) y P: 2x+3y+z-3=0.b) Q(1,-2,-3) y P: 3x-y-2z+4=0.c) Q(1,2,3) y P: x-y+2z=0.
6.- Hallar la ecuación del plano que pasa por Q y que es paralelo al plano dado.a) Q(1,-2,-1) y P: 3x+2y-z+4=0.b) Q(-1,3,2) y P: 2x+y-3z+5=0.c) Q(1,2,-3) y P: 3x-y+2z=4.d) Q(3,-2,6) y P: 4y-3z+12=0.
7.- Hallar la ecuación del plano que pasa por Q y que es paralela a la recta dada.
a) Q(2,-1,3),
b) Q(1,-2,0),
8.- Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas L y M.
a) y
b) y
c) y
d) y
9.- Hallar la ecuación del plano que pasa por P y que contiene a la recta L.
a) P(3,-1,2),
b) P(1,-2,3),
10.- Hallar las ecuaciones en forma paramétrica de la recta de intersección de los planos dados.
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 54
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
a) 3x+2y-z+5=0 , 2x+y+2z-3=0b) x+2y-z+4=0 , 2x+4y+3z-7=0
11.- Hallar el punto de intersección de la recta y plano dados.
a) 3x-y+2z-5=0,
b) 2x+3y-4z+15=0,
c) 4x+2y+5z=85,
12.- Hallar el ángulo entre los planos.a) 2x-y+2z-3=0 , 3x+2y-6z-11=0b) 2x-y+3z-5=0 , 3x-2y+2z-7=0c) 3x+y-z+3=0 , x-y+4z-9=0
13.- Hallar la distancia del punto Q al plano P.a) Q(-1,2,1), P=(4,0,-1)+s(0,1,0)+t(1,3,-1).b) Q(4,1,3), P: x+y+z=6.
14.- Hallar los puntos de intersección de la recta L con los planos coordenados XY, YZ y XZ.
a)
b)
15.- Hallar la ecuación del plano paralelo que diste 6 unidades del plano x-2y-2z-12=0.
16.- Hallar la ecuación del plano paralelo que diste 21 unidades del plano 2x+3y+6z-12=0.
17.- Hallar la distancia del punto P(3,-2,1) al plano formado por los tres puntos no colineales A(1,2,3), B(3,2,1) y C(-1,-2,2).
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 55
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
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DIF ’s # 13
UNIDAD O TEMA: GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
TITULO: LA ESFERA
FECHA DE ENTREGA:
1.- Hallar la ecuación general de la esfera que tiene su centro C y radio r.a) C(0,2,5), r = 2 b) C(4,-1,1), r = 5.
2.- Hallar la ecuación de la esfera con centro en el punto (2,4,4) y que pasa por el origen de coordenadas.
3.- Hallar la ecuación general de la esfera que tiene su centro en C(-2,1,1) y es tangente al plano de coordenadas XY.
4.- Hallar la ecuación de la esfera cuyo diámetro está entre A y Ba) A(1,2,5) y B(3,6,1). b) A(2,0,0) y B(0,6,0).
5.- Hallar el centro y el radio de la esfera cuya ecuación es:a) b) c) d) d) d) d)
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 56
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
6.- Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos:a) A(9,0,1), B(3,12,1), C(12,3,13) y D(0,0,4).b) A(6,5,6), B(5,1,7), C(2,4,3) y D(2,5,4).
7.- Hallar la ecuación general de la esfera de Centro C y que es tangente al plano P.a) C(3,-5,4), P: 2x-3y+z-8=0.b) C(-1,2,0), P: x+2y+z+2=0.
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DIF ’s # 14
UNIDAD O TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES
TITULO: Ecuaciones diferenciales de primer orden
FECHA DE ENTREGA:
La siguiente ecuación diferencial de primer orden describe el crecimiento de la
población en Bolivia:
Donde p = población y t = tiempo
TAREA PARA DIF ‘s:
Si la población actual es de 8,5 millones de habitantes, determinar la población dentro
los diez años.
UNIVERSIDAD DE AQUINO DE BOLIVIA 57