TANGENCIAS

Dibujo Bachillerato

Se dice que una recta es tangente a una circunferencia cuando la toca en un punto. La distancia delcentro a la recta es igual al radio, por tanto, el radio que pasa por el punto de tangencia es perpendiculara la tangente.

- Dibujar una recta tangente a la circunferencia dada en el punto T

La perpendicular S al radio OT en el punto de tangencia T, resuelve el problema.

DATOS RESOLUCIÓN

TO O

S

T

- Dibujar las rectas tangentes a la circunferencia dada O1 que pasen por el punto exteriorPDATOS RESOLUCIÓN

P O1 P O1

T2

T1

O2

Si unimos el punto P con el centro O1 de la circunferencia y trazamos otra que tenga O2 P de radio,cortará a la circunferencia dada en los puntos T1 y T2 que son los puntos de tangencia, los cualesunidos con P darán las soluciones del problema.

l Dibujar una circunferencia tangente a otra dada O1 que pase por el punto exterior P y por el puntoa de la circunferencia.

Trazamos un radio de circunferencia O1 que pase por a y loprolongamos. Unimos el punto a con P. La mediatriz del segmentoaP nos da el centro O2 de la circunferencia que buscamos, enla prolongación del radio inicial.

DATOS RESOLUCIÓNP

O1

P

O1 O2a

Dos circunferencias son tangentes en un punto T cuando existeuna recta tangente común a ambas en dicho punto.

- Dibujar una circunferencia de radio r, tangente a dos rectas dadas R y S concurrentes

DATOS RESOLUCIÓN

rR

S

R

S

r r

O

T1

T2

Trazamos dos rectas paralelas a las dadas y a una distancia r de ellas. El punto O, encuentro deéstas, es el centro de la circunferencia pedida. Las perpendiculares desde O a R y S dan los puntosde tangencias T1 y T2. Colocando la distancia r en los otros semiplanos que determinan las rectas,tendríamos tres soluciones más.

- Dibujar una circunferencia de radio R tangente a otra dada O1, que pase por el punto exterior

Sumamos el radio R a la circunferencia O1 y trazamos otra circunferencia concéntrica a ella. Desdeel punto P trazamos una circunferencia de radio R. Donde corten las dos obtenemos O2 y O3, centrosde circunferencia de radio R, y posibles soluciones del problema.

DATOS RESOLUCIÓNP

O1

P

O1

O2

R

O3

R+rR

a

T1

- Dibujar una circunferencia de radio r, tangente exterior a otra circunferencia dada O1 y auna recta dada S

DATOS RESOLUCIÓNr

O1

S

O1

S

R

R+r

O2

r

T1

T2

Sumamos el radio r a la circunferencia O1, trazando una auxiliar de radio R+r.Trazamos una recta paralela a S a una distancia r, y donde se corta con lacircunferencia auxiliar tenemos el centro O2. Los puntos de tangencia se obtienenuniendo los centros O1 y O2 para T2, y trazando la perpendicular a S desde O1para T1.

- Dibujar una circunferencia de radio R tangente interior a otra circunferencia dadas O1 y auna recta dada S

Con centro en O1 trazamos una circunferencia de radio R-r . Trazamosuna paralela a S a una distancia R y la prolongamos hasta que corte a lacircunferencia auxiliar en el punto O2, centro de la circunferencia tangentea la recta y a la circunferencia dada. Los puntos de tangencia T1 y T2 vienendados trazando una perpendicular a S desde O2 para T1 y pasando unradio desde O1 a O2 y prolongando para T2.

DATOS RESOLUCIÓNR

O1

S

O1

S

O2

T2

T1

R

R-r

- Dibujar las rectas tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias dadas O1 y O2

DATOS RESOLUCIÓN

O1 O2

Trazamos una circunferencia concéntrica con la mayor, O1, que tenga por radio la diferencia de radiosde las circunferencias dadas. Unimos los centros O1 y O2 mediante una recta y trazamos su mediatriz.Desde O3 trazamos un arco con radio O1O3 que nos cortará a la circunferencia auxiliar en los puntosa y b. Si trazamos radios que pasen por O1, a y b tendremos los puntos de tangencia T1 y T2. Despuéstrazamos radios paralelos por O2 para obtener los puntos de tangencia T3 y T4. Una vez conseguidossólo queda trazar las rectas T1T3 y T2T4, tangentes exteriores a las dos circunferencias.

O1 O2O3

r-r’r

T2

T1

r’

T3

T4

a

b

- Dibujar las rectas tangentes interiores comunes a las dos circunferencias dadas O1 y O2

Trazamos una circunferencia concéntrica con la mayor, O1, que tenga por radio la suma de radiosde las circunferencias dadas. Unimos los centros O1 y O2 mediante una recta y trazamos su mediatriz.Desde O3 trazamos un arco con radio O1O3 que nos cortará a la circunferencia auxiliar en los puntosa y b. Si trazamos radios que pasen por O1, a y b tendremos los puntos de tangencia T1 y T2. Despuéstrazamos radios paralelos por O2 para obtener los puntos de tangencia T3 y T4. Una vez conseguidossólo queda trazar las rectas T1T4 y T2T3, tangentes interiores a las dos circunferencias.

DATOS RESOLUCIÓN

O1 O2O1 O2O3

r+r’ r

T1

r’

T3

T4

a

bT2

- Dibujar dos circunferencias de radio R, tangentes exteriores a otras dos O1 y O2

Trazaremos dos circunferencias concéntricas a las dadas, que tengan por radios los correspondientesa ellas más R; éstas se cortarán en los puntos O3 y O4 que son centros de las soluciones del problema.La unión de O3 y O4 con O1 y O2 nos darán los puntos de tangencia.

DATOS RESOLUCIÓNR

O1

O2

O1

O2

O3

O4

R

R

- Dibujar circunferencias de radio conocido, tangentes exteriores a una circunferencia einteriores a otra.Datos:

Trazamos dos circunferencias auxiliares concéntricas con las dadas y de radios r2+R y R-r1, segúnel tipo de tangencia, exterior o interior. Su intersección nos determina los centros buscados O3 y O4,y la unión de éstos con los de las cirucunferencias iniciales, los puntos de tangencia.

R

O1O2

O1O2

R+r2R-r1

O3

O4

T1

T2

T3

T4

- Dibujar las circunferencias tangentes comunes a tres rectas dadas.

Sean R, S y X las rectas dadas. Los puntos de intersección O1, O2, O3 y O4, de las bisectrices delos ángulos que forman las rectas dadas al cortarse, son centros de las circunferencias que resuelvenel problema.

T2

T1 T3

T4

T5T6

T7

T8T9

T10

T11

T12

O1

O2O3

O4

R S

X

- Dibujar circunferencias de radio conocido, tangentes interiores a dos circunferenciasdadas.

En el caso de tangencia interior de dos circunferencias, la distancia entre sus centros es la diferenciade los radios respectivos.Así, trazamos dos circunferencias auxiliares, concéntricas con las dadas, y de radios R-r1 y R-r2: laintersección de ambas nos define los centros O3 y O4 de las circunferencias solución. Los puntosde tangencia en las circunferencias iniciales se hallan sobre las rectas de centros, O3-O1, O4-O2 yO3-O2, O4-O1.

R

O1 O2

O1 O2 R-r2R-r1

r1 r2

O4

O3

T1

T2

T3

T4

- Dibujar circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta conocido el puntode tangencia en la recta.

Datos:

O

r

T

O

rT

A

B

O1

O2

La perpendicular trazada a la recta dada por elpunto de tangencia T es la recta de centros sobrela que deben hallarse los centros de lascircunferencias buscadas. A partir de T, y enambos sentidos, llevamos el radio r de lacircunferencia y obtenemos los puntos A y B.Unimos cada uno de estos puntos con O ydeterminamos las mediatrices de los segmentosOA y OB, su intersección con la recta de centrosnos facilita los centros de las dos circunferenciasque, con radio igual a la distancia hasta T,cumplen las condiciones del enunciado.También se puede resolver aplicando el conceptode eje radical.

- Dibujar circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta conocido el puntode tangencia en la circunferencia.

Datos:

Trazamos la recta que, en la circunferencia dada, une su centro con el punto de tangencia y laperpendicular a la misma por el punto T. Esta última perpendicular se corta en la recta r en el puntoA. Determinamos las bisectrices de los ángulos suplementarios que tienen vértice en A: susintersecciones con la recta O-T son los centros O1 y O2 de las circunferencias buscadas. Desdecada uno de ello, y perpendicularmente a r, determinamos los punto de tangencia sobre la recta T1y T2. También se puede averiguar los puntos de tangencia considerando que A es un centro radicalpor lo que las tangentes tienen la misma magnitud.

O

r

T

O

r

T O1

O2

T1T2 A

ENLACESDibujo Bachillerato

- Enlazar dos rectas secantes mediante un arco de radio conocido

Constituye una aplicación del trazado de una circunferencia tangente a dos rectas no paralelas. Elcentro O del arco del enlace está en la intersección de la bisectriz del ángulo formado por las dosrectas, con la paralela a una cualquiera de ellas a la distancia R del radio dado. Conocido O,determinamos los puntos de tangencia T1 y T2 sobre cada una de las recta y trazamos, entre ambos,el arco del enlace. Una vez resuelto el ejercicio, vemos que la unión entre las rectas r y se se realizade forma armónica y continua mediante el arco tangente a ambas rectas.

DATOS SOLUCIÓNr

R

S

R

S

r

O

T1

T2

l Enlazar dos rectas paralelas con arcos de igual radio conocidos los puntos de tangencia en cada unade ellas

R

S

T1

T2

R

S

T1

T2

Por cada punto de tangencia T1y T2, trazamos la perpendicular a la recta correspondiente. Mediantela mediatriz del segmento T1/T2 determinamos su punto medio M, en el cual cambiar’a la curvaturade los dos arcos del enlace. La intersección de las perpendiculares iniciales con las mediatrices delos segmentos T1-M y T2-M, nos determinanlos centros O1 y O2 de los arcos que nos permiten enlazarlas paralelas, tal como vemos en la figura.

DATOS SOLUCIÓN

M

- Enlazar dos rectas paralelas con dos arcos de distinto radio conocidos los puntos de tangenciay uno de los radios.

R

S

T1

T2

DATOS SOLUCIÓNr1R

S

T1

T2

r1

r1

O1

M

O2

T

Por los puntos de tangenciaT1 y T2, trazamosperpendiculares a cada unade las rectas. Sobre ellas,llevamos la magnitud r1, delradio dado y determinamos lospuntos O1 *centro de uno delos arcos( y M. Unimos ambospuntos y trazamos sumediatriz, que corta laperpendicular trazada por T2

en la posición O2 del segundo centro. La recta de centros O1-O2, en suintersecci’on con el segmento T1-T2, determina el punto T en que seproduce el cambio de curvatura entre los dos arcos del enlace. Finalmente,trazamos los dos arcos: el primero, con centro en O1 y radio r1; el segundo,con centro en O2 y con un radio igual a la distancia hasta T2.

- Enlazar una recta y un arco de circunferencia, conocido el punto de enlace en la recta.

- Enlazar una recta y un arco de circunferencia, conocido el punto de enlace en el arco.

O

T r

DATOS RESOLUCIÓN

O

T

r

Por el punto de tangencia T situado en la circunferencia inicial, trazamos la recta de centros que pasapor T y por el centro O de la circunferencia, y la perpendicular al mismo, que corta en el punto Q ala recta r. La bisectriz del ángulo de vértice en Q, al cortarse con la recta T-O, nos determina el centroO1, del arco del enlace. Desde él, trazmos la perpendicular a la recta para determinar el punto detangencia T1 y poder completar el trazado.

Q

O

T

r

DATOS RESOLUCIÓN

O

T

A

O1T1

Trazamos la recta de centros perpendicularmente a r por el punto de tangencia T. Después, llevamossobre ella, en el sentido indicado en la figura, la magnitud del radio R de la circunferencia, ydeterminamos el punto A. La mediatriz del segmento O-A intercepta, en la recta de centros, el centroO, del arco del enlace. La dirección de la recta O-O1 determina el punto de tangencia T1 sobre lacircunferencia, con lo que podemos realizar el enlace solicitado.

- Enlazar mediante arcos tangentes de circunferencia, varios puntos no alineados.

DATOS RESOLUCIÓN

A

BC

D

Ángulo AB = 240º

A

BC

DO1

O2

O3

240º

El centro del primer arco AB puede estar en cualquier punto de la mediatriz del segmento que delimitanesos puntos. Para hacerlo determinado, necesitamos una segunda condición, que puede ser un valorconcreto de radio o, como en el caso de la figura , un valor angular para dicho arco. Un arco , porejemplo de 240º, significa un ángulo central del mismo valor. Esto nos obliga a trazar una semirrectaque parta de A e intercepte sobre la mediatriz de AB el primer centro O1, con un ángulo de 30º.

El centro O2 del segundo arco BC está situado en la intersección de la mediatriz del segmento BCcon la recta de centros de los arcos tangentes O1-B. Los restantes centros se determinan de la mismaforma en la intersección de la mediatriz correspondiente con la recta de unión del centro anterior yel punto común de tangencia.

- Enlazar dos circunferencias mediante un arco, conocido el punto de tangencia en una deellas.

O1

O2

T1

O1

O2

T1

O3

T2

A

Sobre la prolongación del radio O1-T1, llevamos la magnitud T1-A, igual al radio de la otra circunferencia.La mediatriz del segmento O2-A, en su intersección con la prolongación del radio inicial, nos determinael centro O del arco del enlace, que trazamos tras situar el punto de tangencia T2 en la segundacirucunferencia y en su intersección con la recta que definen los puntos O3 y O2.