+ All Categories
Home > Documents > Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. ·...

Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. ·...

Date post: 03-Mar-2021
Category:
Upload: others
View: 1 times
Download: 1 times
Share this document with a friend
20
Tapas of Descartian Geometry 2009
Transcript
Page 1: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Tapas of Descartian Geometry

������ ������ � ��� � ��������� ���� ��������������

������ ������ 2009

Page 2: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Table of Contents

Introduction

Jan Hogendijk 3

Comparing Descartes’s La Geometrie and Discours de la Methode

Eric van Lit 5

Het construeren van oplossingen van vergelijkingen door Descartes

Lorijn van Rooijen 21

Over dioptriek in Descartes’ Geometrie

Anco Moritz 31

Handleiding bij Mathematica-notebooks voor het tekenen van enkele geometrische krommen van Descartes

Wouter Duivesteijn 41

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes

Auke Mollema 57

Jan de Witt, staatsman en wiskundige

Marianne Hoksbergen 73

De kus van de winterprinses

Thekla Teunis 89

2 Tapas of Descartian Geometry

Page 3: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Introduction

Jan Hogendijk

�� ��� ���� �� 2009 � ������ �� ��� �������� �� ����� ��������� �1596�1651� ��� ���� � ��� ����������

�� ���������� �� ��� �������� �� �������� ��� ������ ��� �������� � �! ���������� ��"����� ����

��� �������� �� ������� ��� ��"���� ���� ��� �������� �� #���� ��� ��� ��"���� ���� ��� ��������

�� $%����� ��� ������ ��� �"������� � ���� &����� ������ ��� &�� '� (����%)�

��� ��� �� ��� ������ ����� � ��������� ��� ��� '���� �������� ���%��� �� &����� ������ �� ���

����������� ���"������ �� *���� ��� +������� %"��� �1615�1660�� ,�� �� ��� �������� ����� "����

�� -�� +������� �� ������ ��� �� #��� ���������� �� ��� ���������� �� ��������� ������� �" ����� �

*����� � 1637� .� ���"�� ���� ��� ���������� ��"�� � � ��� �" %��� ��� � ������ ��� ����� ��������

*��� ��� ���������� � � ������ ���) � ��� ������ �� ���������� � ���� ���� �������� ��� ��������

���� ��� ��� �������� � ���������� ��"�� ��/ ��� ��� �������� "�� x ��� y� ���� �����"����

+������� ��� ���������� � ����� ����� �� � ��� ����� ����� � � ������� ��� �� 0���� ����������

���� ���� � ����"�� ��� �1925�� ��� ��)�� ��� ��!� ������ �� �� � ������ �������� �� ��"����� ���

������ ���� *������ ���� ��� ��������� � � � ����� � ��������� �������� ����� � �������/ � � ����

�������� � ��� ��) � (��) 1�� ������ ������� ��������� �� ��� ������ �� ����������/ ���� ���

���������� ���������� ��������� ������������� �� ��� ����� ������ ������� �� �����������

�$�� 2��)/ +����� 2001��

��� ������ �������� �� � ����� �� 3����� ���)�� ������ �� ��� ��"��� ��� 3��� ��� ������ ����

���������� ����"��� � &�� (����%) �� ��� ������ �� ��������� � ������ �� ���������� � ������ ���

�� ��� 3��� ���� �� 1��) 1 �� ��� ����������� 4����� ��� �� ��� ����� ������ ���� �������� � ��� ��"������

���� ���� "�"���� ����� ��� ��� 5��"��6 �� 45 ��"��� ����� � � 15���"�� ���)� �� ��� ����

�� ��� ������ ��� ����� 51��)�6 �� ��� ���������� ���� ���� "� ��� ����"� �������� �� ��� 3��� 5��"�6

��� �� ��� ��"����� ��"�� �����"�� � �����"��� ������ ���� �� ��� ���������� ��� �����!������ 25

��"��� �������� � 7"������ ��� ���"����� � ��� �"����� ���� ��� �"������ �� ���� ���� ��� ����

� �������� �� ����� ���"����� �� ���� � �� �� ������� ���� "� ��� ��� �� ��� �8�"���� � ��� ��!��

�� ��� ������ ��"� ������� ��"���� ��"�� �� � ����������� �� � �" %��� ������� �� ��� ���������� ��

���������� +"�� ��"���� ������������ ���� ��� �� ��� ������ 9���) ������ �� ���� ������� ���������

��� "���������� ��� ���������� : ����� �"���� )���� � 9���) ���7"�� ������ ������� 7"������!�:

��� ����� ����������� �� ���������; ����������� ���): ��� ����������� ���� �� ��������� ������� ��

Tapas of Descartian Geometry 3

Page 4: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Introduction

����������� ��� ������� � ������������ ������� ������� ��������� ��� �������� ��������� ����������

��� ���������� ������� ��� ����������� ��� � ��� � ��������� � ����� ������ ��� � ���������� � ���

������ �� � ��� ����������� �� ���� ��������������� ���� �� ��� �� ���� !�� �������� ���� ����� � �����

�� ������ ������ � ��� ���� � ��� � ����� ���������� � � � � ����� � � ��� ����������� "� ��� � ���� � ���

�������� �� ���� ���� � � #��� �� ��� $��� %� ���&� ��� � ������ ' �� 1 ��� 2 ��� ��� $��� ���� � ' �

3� ���� ������� ����� ���� 385

(�� ��#�� ������ �� ���� � ������ � ���� ������� �� ��� �������� �� ������������ �� ��� ������� � ���

������� � )��*� ��������� (��� ��� �������� ���� �� ���������� ����

(�� $��� ������ �� ���� #�� +��� �� �� �� ��� ������ ����� ������� ��� ����������� ��� ��� ���� � ������

����� � ��������� (�� ����������� ��� ��������� � ������ ���� �� ���� � ���� ��� ������� ��� ��� ���

���������� ���� � ���� � ������ ���� ����� � �������� �������� �� �� ��������� ��� ���� ������� ��� � �� �

���� ���� ��� ����������� �� �� %�������& � ��� �������� �� �� ��������

(�� $��� ����� �� �� ������� ��� ��� ��������� ������ ��� �� ������ ��� �������� ���� ��� ���� �� ���

������� "� ��� ��� �� ������ + ��,� #�� ) �,�� ��������� ��� ��� � ' � """ � ��� ������������ ���� ���

��� ���� ����� �� ��� � � � #�� �� ��� $��� %� ���& "� ��� ����� ������ !�� - ���. �����.�� � � ���������

������� � ������ �� ' � ""� ����� ������� �� ���� ������ � ���������� ������ ��� �������� �� �� ���

������� (�� � ���� ����� �� � ���� ���#�����,� �� ��# ��� � ��� ������� � � �� � ��� � ���������

���#�� ����� ���� �� ��� ��� �� ' � � ��� ����������� "� ��� $��� ������ !��� - ����� ������� ���

���� � � ��������� � ������� � ����������� �������� /��� ����� ��������0 �� � �#��� � �� ����� 12��3

������� ���#����� �� ����� (�� ���� ����� �� -������� 4 �������� �� �� �� ��� � �� � ��� �����

��������� ��� �� ���� /1625316720� �� ���� ��� ����� ������ �� � ��� 5� ����� ����� ��� �� ����

�� 6���� #�� 7�� ��� �� ��� �� 3# ���� ��� �� ����� � � ��� +���� ��������� � /1659316610 "� ��� $���

������ (����� (����� ��������� ��� � ����� ������ ������� ��������� ��� �������� ���.����� � ��� ��� ��

�� ���� � ������� ������� � !� �� ���� /�� 200 '80 ! �� �� ������� � ������ � ��� �������� � � �� �

���������� ��������� �� ���� �� ���� /��� � �� � � ������0 �� ��� � ����� ������

"� �� ���� ���� ���� ����� �� " ���� � ����� ��� ������� ������������ ��� ������� � ���� � � ����� ���� ������

��� ���� � ��

9������� !����� 11� 2009�

��� 4 �����,�

4 Tapas of Descartian Geometry

Page 5: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Driehoekslandmeetkunde op de maniervan Descartes

Auke Mollema

��� ������� � ��� ��� ���� �� ��� � �������� �� ������ ��� ���������� ��� ��� 3 �� ��� 4� ��

���� ��� ������� �� ������ �� ������������ ��� ���������� � ��� ��� �� �� ����� ��� �� �� ���

��� ����������� ��� �� ������� ��� ���� �� �� ����� ������ �� ���� ������ �� ��� ���������

������������� �������� �� ��������� ���� � ��� ������� ������ �� ������������ ����� ���� � ���

����� � ��� �����

Inleiding

�� �� ����� �� �� 17e ����� !� 1637 ������� �� "������ #��$� �������� ���� ���� �� ���������� %�����

�������� ��� &����� ��' �������� ���� ��� �� (�������� �� ��� �� ��� ����������� ��� �����

�� �������� �� ���� ��� ���� �� �� ������ ���� �� ��� ��� ����������� �� ������� ��� �� ������ �����

�� ��� ����� )� ���� �������� ����� ���� x �� �� ������ � �� �� ������ ������

�������� ����� ��� �� ������ �� ��� ��� ���� �� ��� ������ � �������� ��* +� ��� ���� ��� ��

���������� ��� ����� �� ��� ������ ������� ��� ������ ����������������� �� ��� �� ��� ���� ����

����� ��� �� �� �������

!� ��� �������� ������ ��' ��� �� �� ������� � �������� ����� ���� �� �� ������' ������ ����

��� ����������������������� ��� ������

La Geometrie

Geschiedenis

#��$� �������� ���� �� ���� �� &������� �� 1596 �� ������ ��� 1650� !� �� ������� � 1620 ��� 1628

������ ��� ��� �� �� ���� ����� ����� �� +����� �� 1628 ��� 1648 �� ��� �� (������� �� ����� ����

,������� !� 1648 ���� �������� �� )����� �� ������ �� �� 1650 � ��� ��������������� �������� �������

���� ���� �� �� �������� �� ���� �������� %�� ����� �� �������� �� �� ������ �� �� ���������

�� �����' �� ����� �� ��� ��������� � ������ ������� ���������� �� �� ������ ���� ��� ����������

������ ��������� !� 1637 ������� �������� �� ��������� �� ��� &��� ��� ��� �������� � �����������

Tapas of Descartian Geometry 57

Page 6: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes

��������� ������� �� �� ���� ��� �� � ��������� ������� � ������ ��� ������ ��� � ������� ���

�������� �� ��� �� ������� ��� �� ������������� ����� �� ������ ��� ���� �������� ��134�138 !

De methode

"�������� ������� ��� ��� ����� ��� ��#� ����$

%&��� ��������� �� � '������ � ������ ���������#� ��� �� ����� ������ ��� �� ��������������

�� ��� ����� ������ � ������ ��� ��� ���� ������ ��#��� � �� ��#����������! ���(� �� ������

�� �� � �� ���������! �� �����������) �*�� �� +������ ���� ��� � ������ �� ��89

&� ��� ����� ������� "�������� �� ��� ������� �� �������� ������������� ��� ��� �� ��� ��� �����

�������� �������� ,�� ������ ��� � �� ������������ �������� ��� ��� �������� ��� ��� �������#���� ��� -�-��

������� �

"�������� ������ ��� ����������� �� ��� ��� �������� ��� ��� �������#���� �� ����� "�� ������������ ��

�� �� ����. ��� �������� ��� ��� �� ���� ��� �������� ��� ����������� ������� ��� ���������� ���� ���

�����$

1 /��� ��� �� ��� �������� �� �������� ��

2 +��( ����� ��� � ��#�������� �� ��� ������� ��� 0���� �x �� y ��� ������� � �� ��#�������� a ��

b ��� ����� � ��#��������

3 1������ -�-�� ��#����� �� ���� ����������� � �������� ��� �� ������

4 ���� �� ���� ��� ��������� ��� ���� 3 ��� ������ ����#�� �� ���(� ��� �������#����

5 2�� � �������#���� �� ��� �� �� ��� �������

6 '��� � ������� ��� ���������

"��� �� �� ��� ����������� � ������������� �� ������� �� ������#���� ����� � ������ �� �� ��� ����� �

���� ��������� 3�����#� ��� �� #� �������������� ������ #��� ��������������� � �� � ���������� �

����� � /� �� "�������� ��#� ����� � ���������� ���(� ���� ��#$

%'��� �� ��� ���� ������� �� �� �� ���� ����� ��� �� ������� �� �� �� �� � ��� ������� ���

�(����� �� �� ���( ��� �� ������� �� ��� ��� ��� ��� �� ����� �� ���������� ��� � ���� ��

��(����� ������� ������� ��# ��� ��������#���� ��� �� �� ��� ��� ��� ���������� ��� �������)

�*�� �� +������ ���� ��� � 4����� �� ��90

58 Tapas of Descartian Geometry

Page 7: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Auke Mollema

Vraagstukken

�� �� ������� ���� � ����� �� ������� ��� ������ ����� ���� ���� ��� �� ������ ��� �� �����

��� �� �� ��� ����� �� ��������� ������ ������� �� �� �������� �� ��� ������������ ������ ��� ����� ��

������ ���� ��� ���� ������ �� ��� �� ������� ��� �� ����� ���� �������� ����� ��� ������� ��

���� ���� �������� ������ �� ��� �������� ���� ������ ����� ��� �� ���� ���� 1 �� 2 ��� �� �������

��� �� ����� ���� �������� ��� ��� ������ ����������� ������ ��� �� ���� ��� ������ ������� �� ���

�� �� � ��� ���� �� ����� ��� �����

Vraagstuk 1

��� ��� �� ����� �� � �������� ��� ��� �� ��� !����� ��� "����� ��� 1615 #���119$�

Gegeven: %�� ��������� �� ���� ABC ��� ����� �������

Gevraagd: ���� ���� ����� ���� ���� �������� ������ ��� ����

Oplossing:

1� &� ����� ��� ��� ��� ������� ������ � � � ������� ABC � �� ���� ���� ����� ��������� ABD ��

BCD �������� #'�� (���� 1$

2� &� ������ ������ C ��� �������� �� AB �� ��� ������� ��� AB ������ �� E� ����� ����� �� ���

������ ������ ��� ������) |CB| = a�|AC| = b� |AB| = c� |AD| = y� |ED| = d �� |BD| = x� *������ �����

�� �� ��� |AE| = y − d� ����� � �� ������ #|CE|$ ��� �� ������� ABC ��� ����� ��� �� �������

��� +,������� ����� ���√

b2 − (y − d)2

3� &� ����� �� ���������� ��� ������� ADC �� ������� BCD)

-��(ADC) =� � · ������

2=

y · √b2 − (y − d)2

2

-��(BCD) =� � · ������

2=

x · √b2 − (y − d)2

2

4� �� ���� ���������� �� �� ������ ��� ������ ��� ����� ����� ����� �� �� ���� ������)

-��(ADC) =y · √b2 − (y − d)2

2=

x · √b2 − (y − d)2

2= -��(BCD)

5� ���� ����������� ����� �� ���� ��)y

2=

x

2

*������ ���� ��� x ����� ���� ���� ��� y�

Tapas of Descartian Geometry 59

Page 8: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes

6� ��� �� �� ���� C ��� ��� ������ � ��������� ���� ��� ������� ���������� �� �� AB �������

������ 1� �������� ��� �������� 1

��� �� �� ������ �� ��������� �� �� ���������� ��������� ������� �� �� �� ��� �� ���� ��� �� ���

����� �� ����� ��� ����� �� ��� � ���� �� ����� ������ ���� �� �� ���� �� �� ����� ����

���� � �������� ��� �� ����� �� �� ������ �� �� �� ����� �� ������ �� �� � �����! �� �� ��

���� � � �� �������� ������� �� �� �������� �� ������� ���� "����� ������� �� ��� �������� ��� ��

��� ���� �� �#�� ��� �� ������ ����������� ���� ������� ��� � �� �� ��$

%�� � � ������ ��� � �� �� ������ �������� �� �� 17e ���� ������ �� � ���� ��� �� ������� ���� � ��

�� ���� ��� �� � �� �� ����� ������ ������ ���

Vraagstuk 2

&� ������� ������ �� ��� � ��� �� "����� �� 1� �������� ��� �� ������ �� �� �� �� ������� ��'

������� ������ �� ����� ������ �� �� � ���� �� �� ���� �� ()���� &��� *������� �� 1614

+���24,�

Gegeven: -� ���������� � �� ��� ABC �� ������ �����

Gevraagd: ���� ����������� � ���� ��� ������ ��� ���� ���� ���� �������� ��� 1 : 2�

Oplossing:

1� .� ��� �� �� �� �������� ������� ��� �������� ABC �� � ��� ����������� � ���� ��� +ADC

� BCD, ������� �� �� ��������� �� 1 : 2 ���� �� ��� � ���� ����

2� .� ���� ���� C �� ������ �� AB � �� ���� �� AB ���� �� E� "����� ���� �� ��

�� �� ���� �� �� ��� |CB| = a!|AC| = b! |AD| = c |DB| = d � |EC| = y� �� ���� �� �� �� �����

��������� �� �� �������

3� .� ������ �� ��������� � �� �������� ABD � �������� BCD�

/��(ADC) =����� · ���� �

2=

c · y2

60 Tapas of Descartian Geometry

Page 9: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Auke Mollema

���(BCD) =����� · ����

2=

d · y2

4� � ��� ����������� ��� �� ����� ��� ����� �� �� ��������� 2 : 1 ����� �� �� ��� ������

2 ·���(ADC) = 2 · c · y2

=d · y

2= ���(BCD)

5� ��� ���������� ������ �� ���������

c =d

2

������ ����� �� d ����� ��� ���� ��� 2c�

6� �� �� ���� ����� C ��� ��� ���������� ��� ��� �� �� ��������� 1 : 2 ����� ��� ������� �� ���

����� ��� �� ���� AB ��������

������ 2� �������� ��� �������� 2

�� ��������� ��� �� ������� ���� � � �������� ���� ���� �� ��� ��� ������� 1� ������ ��� �� ��

�� ����� AB �� 2 ������ �������� �� ��� D ���� 2|AD| = |DB|�

Vraagstuk 3

� ������� �� �� ��� ������� ! ������� ��� ��� ���� ��� "����� ��� #����� �� 1615 $���84%�

Gegeven: &�� ��������� ��� ���� ABC �� ������� �������

Gevraagd: &�� ��������� ��� ���� �� �� ����� ����� ��� �� �������� ��� ����� ��� �� �������� ��

�������� ���������� ��� �� ���������

Oplossing:

1� '� ����� ��� �� �� �������� ������ ��� (�� �������� ABC ���� ��� �������� ABEF ������� ��

����� ����� ��� �� �������� ��� ����� ��� �� �������� ��� &� ��� ��� �� �� ���������� ��� ��

�������� ABC ����� �� ��� �� ���������� ��� �� �������� ABEF�

Tapas of Descartian Geometry 61

Page 10: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes

2� �� ������� ���� C ��� ��� ��� �� ������ AB �� ��� ������ ��� AB ������ �� D� ��� �� ��� �

|CB| = a� |AC| = b� |AB| = c� |AD| = d �� |AF| = |BE| = x� ��� �� � � ������ �|CD|� ��� � ������

ABC ��� ����� ��� � ������� ��� ���������� ����� ���√

b2 − d2

3� �� ������� � ����������� ��� � ������ ABC �� � ����������� ��� � ��������� ABEF�

���(ABC) =���� · ������

2=

c · √b2 − d2

2

���(ABEF) = ���� · ������ = c · x

4� ����!�� � ���� ������������ �� � ����� ���� ��� ������ ����� ������ !�� ��� ��

���(ABC) =c · √b2 − d2

2= c · x = ���(ABEF)

5� "� ���������� �������� ���#� ��� √b2 − d2

2= x

�� !�� �� � ��������� ��� � ���������� ����� � ��� 12 |CD|�

6� "� � ��������� ���#� ��� ������ �x� ��� 12 |CD|�

������ 3� �������� ��� �������� 3

$"�� � ��� �����%� !� � �������� �� ��� ������� ��� � ������ $ �� � ����������� ��� ��� ������

� ���#� ��� ���� ���� ������ �� � ����������� ��� ��� ��������� ���� ���� ������ �� ���� �� � �

���#� ��� � ������ ��� ������ ��� � ��������� �����&% '�� �������� �� � ����� ��� "�������� !��� �

�������� ���� ���� ����������

Vraagstuk 4

"� ������ � ���� ����������� !�� ������� ��� (���� ��� )������� 1659*1660 ����56�57��

Gegeven: +�� �����!� � ������� ��� ��� ABC ��� ����� � !� � �a��

Gevraagd: "�� �#����� �� ������ �����!� �� �������� ������ ��� � ����� �!��# � ������

������ ��� ��� ������������ !�������� ��� ��� �

Oplossing:

62 Tapas of Descartian Geometry

Page 11: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Auke Mollema

�� ����� ���� ��� �� � ��� ���� ������� ��� �� ����� ���� ���������� ��� ����� |AD| = |AI| = |DI| =

|CE| = |CF| = |EF| = |BG| = |BH| = |GH| = x �������� �������� ������������� ����������� |DE| = |FG| =

|HI| = b = a − 2x ��� ��� 2x ��� ���� ����� ��� ��� ������������� ������� ��� �� |AB| = |BC| = |AC| = a =

x + x + b� �� ���� ��� �! ������

�(ADI) = �(CEF) = �(BGH) = 3x

�(DEFGHI) = 3x + 3b = 3(a − 2x) + 3x = 3a − 3x

�� ����� �� �������� ��� �� ���� ���������� ����� ������ ���� ��� �� ����� ��� �� �������

3 · (3x) = 9x = 3a − 3x �"�

������� �����

12x = 3a → x =1

4a

#� ����� �� �� ������ ��� �� ������ ���������� ���� ���� ���� ��� ��� ���� ��� �� ����� ��� �� ����

��������

������ 4� �������� ��� �������� 4

�� �� �����$ ������ � � �� $��$�������� �� �$������� %#� ���� ������ ���� �� � �� ��� �������

��� �� ����� �������$��������� ��� � ���� �� �� b ������ ��� ���� ��� 2x�& ������ ��� ��� %�������

�� ��� ����� ���������� ������� ����$�� ���� ����� ��� �� ���� �� ��� ��� #��$����� '�� ��� ��

������������ �"� ��� 3x ��� ���� ����� ��������& #������ ������� �� �� �� 3x ��� ���� ����� �����

Vraagstuk 5

Gegeven: (�� ������������ ��������� ��� ���� ABC �� ������ ����� �a��

Gevraagd: #��� �������� ������������� ���������� ������ ���� ��� ����� �������� ���������� � �� ���

Tapas of Descartian Geometry 63

Page 12: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes

��� ������� �������� ��� ����

Oplossing:

�� ����� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ���� �� �� �� ����� � � ��������� ��� ����� |AD| = |AI| = |DI| =

|CE| = |CF| = |EF| = |BG| = |BH| = |GH| = x �������� ��������� �� ��������� ������������ |DE| = |FG| =

|HI| = b ��� ��� � 2x ��� � �� ���� ��� ��� �� ��������� �������� ��� �� |AB| = |BC| = |AC| = a = x+ x+b�

�� �� �� ��� �� ������ ��� �������� ABC �� ��� � ����

�����(ABC) =

√a2 −

(1

2a

)2

=

√3

4a2 =

1

2

√3a

!� � �� ������ ���� ��� �������� ABC�

"��(ABC) =��� · ������

2=

1

4

√3a · a =

1

4

√3a2

#������� �� ������ ���� ��� �� ���� ���������� ��� �� ������ ���� ��� �� ����� �� ��� ������ ��� ���

�� ������ ���� ��� �� �������� ABC �� �� ��� �� ���������� ��� ������ ���� ��� 18

√3a2 ������ �������

$� �� �� ���

"��(ADI) = "��(BEF) = "��(CGH) =

√3

24a2

!� ������ ��� %�%�� ���������� � ��� ���� � ��� �� &�� ��� ��� '(������� �� ��� ���√

32 x� !� ��� � ��

������ ���� ��� ��� �����������

"��(ADI) = "��(BEF) = "��(CGH) =

√3

4x2

�� ������ �� ���� ����� �������� ���� ��� ����������� !�� ������ �� ��� � ���� �� ����� ���

"��(ADI) = "��(BEF) = "��(CGH) =

√3

24a2 =

√3

4x2

"� ��� ����� ����1

24a2 =

1

4x2

→ x =1√6a

������ 5� �������� ��� �������� 5

64 Tapas of Descartian Geometry

Page 13: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Auke Mollema

��������� � �� � ������� ��� �� ����� ��� �� ������ �� ��� ���� �� ������� �� ��� �������� �� ��

���� ��� ����� ���� �� ��� ���� ��� ����� ��� �� �� ���� � ��� ������ ������ �� ���� ������ ��

���� ������ ��� �� � ������� �� �� ��� �� ������� ��� ����� ����� �������� �� ��� ��� ����������� �

������� ��� ��� �� ��� � ��� �� ���� ������ ��� �� � ��� � ����� ����� �� ������� ��� �� ����� � ��������

Vraagstuk 6

�� ������� � ������� � �������� ��� ��� ��� ��� !" ���� #���� $� ����� �� 1614 %���35&� '�� �� ���

��� �� ��� ���� � ������ ���� ���� �������� ��� � ��� ����� ���� ��� ( � ������� ��� �� ������ ���

�� ������ )����* ��� ��� ���� ���� �� +������ � ��� ��� �� ���� ������ ��� ��� ���� ���� � �������� �

�� ��� �� )�����* ��� ��� ���� ����� '�� ���� � ��� ����

Gegeven: (�� ��������� � ������ ���� ���� ABC ��� �� �������� �������������

|AC| =√

605 %,&

|AB| + |BC| + ���(ABC) = 154 %-&

Gevraagd: �� ������� |AB| �� |BC|�

Oplossing:

.��������� ��� ��� � ����� � �������� ����� �� ���� ���������� ��� ����� |BC| = a/ |AB| = c ��

|AC| = b =√

605� .�� �� ��� � ������ �� �� ���� ������ ��� � ����� ABC�

���(ABC) =��� · ������

2=

c · a2

��� ������ �� ���� �������� ������� � �� ������� %-&�

|AB| + |BC| + ���(ABC) = c + a +c · a2

= 154 %0&

1� ��� ���������� � ����� ������ �� �� !������ ��� 2"����� �� ��������� ������

|AB|2 + |BC|2 = |AC|2������ ���−−−−−−→ c2 + a2 = b2 = 605 %3&

4� ���� �� ��� �� ��������� %0& �� %3& ���� �� ��������� �������� ��� ���� ���������/ �� ��

������ ��������� 5� ��� ���� ��� ����� ��� %3&�

a =√

605 − c2 %6&

���� ������� � �� ������� %0& ��� � ����

√605 − c2 + c +

√605 − c2 · c

2= 154 %7&

Tapas of Descartian Geometry 65

Page 14: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes

���� ���������� � ������ ����� �� ���� ������� c = 11� ��� �������� �� ��� ������

a =√

605 − c2 =√

605 − 112 =√

484 = 22

��� �� ��������� ������� ����� |AB| = 11 �� |BC| = 22 ��� ��������� ������

������ 6� �������� �� ��� ������� 6

���� �� ��� ������ �������� ������ ��� �������� ����������� ���� ��� �� ��� !" �������� �� ���������

�� �#�� � �$ ��� ���������� �%� ���� ������ �� ����������� ����� � ������� ! &���� � ���� �������

��� ��� ��������� ���� � ������� ��� ��� ����� ��� ��� �'�� ��� ���� ������� ���� ��� ������� ��� !�

Conclusies

(� ��� �� ��� ������ ������ � �������� ������ �� ����������� ��� �� ��� �����������

De werkwijze van de scholiere

�� ��������� ����� ��� ������ )������* �� ����� ��� �� ����� �������� ������ �� +������� 3� ��� �� �� ��

�������� �� ��� � ������ ��� �� ����������� &���� �� ��� �������� ������� ��� ����� �� ����������

���� ��� �������� ������ �� ���� ��� ������ ��� �� ������� ��� ��� �������� ������ �� ����������

�� +������� 1�� &���� �� �� ������� ��� ��������� ��������� ���� ������� �� ��� �� ��� ������ ����

�� ����� ��������� , ������� ����� ������ �� � ��������� �&�� ��� � ������ ������������ �����

� ������ ���� ������ �� ��� ! �� �-����� ����� �� ������� ��� ��������� ��������� �������� ��� ���� �

� ������ �� +������� 1�!

66 Tapas of Descartian Geometry

Page 15: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Auke Mollema

De methode

�� ��������� ���� � ����� � � ��������� ���� �������� ����� � �� x � y ��� ��� ��� �� �

����� � � a� b � c ��� ���� � ���� ��� ���� �� �� �� ��� ���� ����������� �� ��� ����� �

���� ��� �������� �� � �� ������ ������ �� ������ � �� �� ����������� ���� �������� ���������� �

����� �� ��� ��� � � ��� ���� ��� ��� �� �� ��������� �� ������������ ������� �� �� �� ���

����� �� �� ��� ���� �� �� ��� � �� �������� �� �� ����� �� ���������!" � �� ���� � ���� �

��� ����� � �� �� ����� �� ����� ������������ ��� �������� � ����� � � �� ��� � � ���������� ��

���� � �� �� ����� � ����� ���

De vraagstukken

#�� � ������ ��� ����������� ��������� � ��������� �� � ��� ���� � � ���� �� ��������� �����������

$��� �� � ��������� ��� ���� � �� %�����& ��������� � �� ����� � �� ����������� � � �� ����

�� �������� � ��� ��������� �� �� ������ �� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ��� �� ��� � ���������� ���

���� '�� �� �� ������ � ��� ���� �� ��� ������ �� ������� �� ��� �� ������� ��� � ��� �� �� ����� ���

� �� �� �� ����������� ���� �� ��������� �� �� ������ ��� ��!"

(����� � ����� �� (�������� 4 �� �� ������� � �� ���� �� ��� ��� ��������� �� ���)���� ��

��� ���� � ���������� ��� � *�� (�������� 5 � (�������� 6 �� �� ��� ������ �� ��������� � ���� �

�� ��������� ��� ���� ���������� � (�������� 5 �� �� ������ +���� ����� ��������� �� ��� ��� �������

��������� �� ���,���� ����������

Conclusie van de scholiere

� � �� ��� ��� ���� � �� ��! (����������� ������� �� ����� �� �� �� �������� #��� �� ��� ���

�� ��� � �������� � ��� �� ��� ����� ������� �������� �� ���� � �� ��������� �� �������� ���� ����

��� ���� � ��� ��� � �� � � ������ ������ ��� �� �� ����� ������ � � �� �� ��� ����� �� ���

� ��� ��� ����������� �� ��� ���� �� (-� 4 �� ���� ���� ��� ��� ��� ������ �����!" .���������

������ �� �� ������� �� /�/� ���������� *��� �� �������� �� ��� ����� �� ��� � � ����������� ��� ���

� ��� ��������� ��� �� ������

Tapas of Descartian Geometry 67

Page 16: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes

Mijn conclusie

����� ��� ���� �� � ��� ����������� �� �� �� ������ ��� � ��������� �������� �� � ���������

�� ��� �� ��� � ��������� ����� ���� ������� � ��� ��� �� � ���������� ��� ����� ��� � ��� ���

����������� �� ��� � ����� ��� ����� �� ������ ����� ������� �� ��������� �� �� ���� ��� ���� ����

��� � ��� �� ����� ���

������ �� ����� �� � � ������� �������� �� � ��������� �� � ��������� ��� ��� �� �� ������ ���

��� �� � ������ �� �� � ��������� ��� �������� ��������� ���� � ���� ��� � ��������� �� ���

��� ��� ���� �� �� � ��� ������ ���� � ��������� ������� ����� �� ������� ���� �� �� ����� �

���! "# ��� ��� ��� ����� ���� � ��� ���� �� �� �� ��� ������ ������ �� �� �� �� �� ���� �� ���

������$� # ��� �� ���� ����� � ��������� ��� ���� �������� ���������� ������ ����������

%�� �� ����� ����� �� ��� ������� ��� &���' ��������� ��� ������ �� ����� ���� �� �� �� ����������

���� �� ���������� ���� ��� �������� ���������� �������� �� ���� ������������� ��� ������������ ������

���������� ����� ����� (������������ �������� �� ������ )� �� ����� � ������ �� ��������� ��� ���

�������� �� ��������� ������ ��� ��� ������ �� ���������� ��� �������� �����������

Verantwoording

(��� �� ����* ��� � �������� �� ��������� �� +��,� ��������� �������� #� ��� �������� ��������

� � ������� ����� -���� ��� )�����. ��� ��������� ���� �������� ������ �� �� ������� ��� ���

���������� ���� ����� ��� �� �������� ���������' ������ ��� ��� �������� �� ��� ��������

�������� ����� ������� �� �� � ������ ���� ������'� �� ���� ���� ���� ���� ������ ���� ��� ��������

�� �� ���� �� http://www.math.uu.nl/people/hogend/descartes1.pdf. (���� ���� � ��������� ���/

���� ��� ��������� ��� � ������ ����� �� � �� ������� ����� # ��� ��� �� ��������� � �����

��� ������ � ��������� �� 0���� �� 1�������� �� ����� � �� �������� � ����������� ��

2���� �� 3����� �� ������ �������� � ������� ��� �� ������� �� 1*����� ����� 3�������

�������� # ��� ������� �� ��� ��������� ���� ����� ���� �� �� �� ������� �� ���� ��� �

�������� ����������� #� � ������� ���� � ������� ����'� �� � ��������� ����� ���� # ��� ������

��� ��� ��������� �� ������� �� ����������������

4� ��� � ������ ������ �� � ���������� ��� ��� ������ ��� ��� ��5� ��������� ��� �� ������ �� ����/

��� ��� � %�� �������� %������ �� ���� ��� ��� ������� � �� � ���������� ������ ��� ������������

�� �������� ����������� ��� ����� ���� ����� � ������� www.fransvanschooten.nl �������

68 Tapas of Descartian Geometry

Page 17: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Auke Mollema

���� �� ��������� ���� �� �� �� ���� ������ ��� �� ��� ������������ � �� ���� ��� ��� ����

����� �� �� ����� ������������ � �� ���� ��� �� �� ����������� ���� ����� ��� ���� ��������� ��

��� ���� �������

��� �� ���� ��� ��� �������� ������� �� �� ����� ��� ��� ������ ��� ��������� �� !� �� �� ������

���� ��� �� ��"� �� ���� �� ����� �������� ���� ���� ������ ��� �������� �� ����# ������ ������

������ �� �� ������ ��� ������� �� ������ �� �������� �� ��� ������ ����� ���� �� � �������

$� ��!�������� ��� �� ����������� ��� �� �� �� ���� ����� �� ������� �� �� ����� ��� �� ��������

�� �� ����������� �� �� ���� ����% ���� ����� &����

Bibliografie

��� ��������� �� ����� ������� ����� ������������ � �� ���� ��� 2� ������� '��������� '���#

����� �� 2008�

�����# ����� ������������ � �� ���� ���# ������� 1990� �� ������ (�# '���� )"�����* http:

//www.dbnl.org/tekst/stru008gesc01_01/)

+����� ��� ,������ �� ������������ �� ������������ ����������� ��� ��� ����� ��� � ���� ��

���� ����������� ��������� � ������� ��� ���������� ���� ������� �� ���������� ���� ���������

��������� ���� ���� ��� ����� ����� ���� �� ������ �� � ���������� � +�%���# 1615� )"�����* http:

//books.google.com-

�% ���� ����! ,��������# 1614 ������� ������������ � ������ ��� ��� ��� ����� �� ��������� ��

�� ��!��� �� ���� ���� �� ���* +����� � ���# 1614 �����!�� ��� ���������� ��������� )"�����*

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=312895-�

.���� ��� ������# 1659/1660� ����������� "�#������� �����$�� �� �!� ������� %&' �����! ��� ��

�� ��� (����� ��������� � ���������� �� �$����� � ��� �� ���� �)���� *������� � � ���� ��

����� �� �� ���������� ��� ��� ����� ���������� � �� ���������� ��� $���$����� � ��������#

0(�� 1���� ��� 1����� ����# ������������ �� 2 &��� �� ��3 )"�����* http://digbijzcoll.library.

uu.nl-

��4� ���� �� $�+� +����# 1954 (�� �������� �� ���� ��������# 5�& 6���* ����� �� ��������

)"�����* ���$+,,��������������� -

Tapas of Descartian Geometry 69

Page 18: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes

Bijlagen

������� ��� ����� � 1

������� ��� ����� � 2

70 Tapas of Descartian Geometry

Page 19: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Auke Mollema

������� ��� ����� � 3

������� ��� ����� � 4 �� 5

Tapas of Descartian Geometry 71

Page 20: Tapas of Descartian Geometry - Universiteit Utrechthietb101/gnpdf/Descartes... · 2012. 4. 26. · Table of Contents Introduction Jan Hogendijk 3 Comparing Descartes’s La G´eom´etrie

Driehoekslandmeetkunde op de manier van Descartes Auke Mollema

������� ��� ����� � 6

72 Tapas of Descartian Geometry


Recommended