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F´ormula de Taylor y aplicaciones
Formula de Taylor y aplicaciones
Indice general
1. HISTORIA 3
2. INTRODUCCION Y DEFINICIONES 52.1. TEOREMA DE LAS SERIES ALTERNAS . . . . . . . . . . . 6
3. FORMULA DE TAYLOR 83.1. EXPRESION DE UN POLINOMIO POR SUS DERIVADAS
EN UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2. FORMULA DE TAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3. DIVERSAS FORMAS DEL TERMINO COMPLEMENTARIO 10
3.3.1. Forma infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2. Forma de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.3. Forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.4. Otras formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4. DIVERSAS EXPRESIONES DE LA FORMULA DE TAYLOR 123.4.1. Mac-Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4.2. Forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4.3. Teorema del valor medio: . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4.4. Teorema de Taylor en terminos de h: . . . . . . . . . . 15
3.5. EL CASO DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES . . . 153.5.1. Polinomios de primer y segundo orden . . . . . . . . . 163.5.2. Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5.3. Matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5.4. Polinomios de orden mas alto . . . . . . . . . . . . . . 21
4. APLICACIONES 244.1. CALCULO DE LIMITES INDETERMINADOS . . . . . . . . 24
1
4.2. CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS UTILIZANDO DE-RIVADAS DE ORDEN SUPERIOR . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3. ERROR DE TRUNCAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4. APLICACIONES AL ESTUDIO DE LA CONVEXIDAD . . . 284.5. SENOS, COSENOS Y eX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5.1. ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5.2. Cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5.3. Sinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6. SINH y COSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7. LOGARITMOS, ARCO TANGENTES Y π . . . . . . . . . . 37
4.7.1. Calculo de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.7.2. Calculo de π y arctan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
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Capıtulo 1
HISTORIA
Los polinomios figuran entre las funciones mas sencillas que se estudianen Analisis. Son adecuadas para trabajar en calculos numericos porque susvalores se pueden obtener efectuando un numero finito de multiplicacionesy adiciones. Por lo tanto, cualquier otra funcion que pueda aproximarse porpolinomios facilita su estudio, entre ellas las funciones logarıtmicas, exponen-ciales y trigonometricas, las cuales no pueden evaluarse tan facilmente. Ve-remos que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y queestas, en lugar de la funcion original, pueden emplearse para realizar calculoscuando la diferencia entre el valor real de la funcion y la aproximacion po-linomica es suficientemente pequena. Varios metodos pueden emplearse paraaproximar una funcion dada mediante polinomios. Uno de los mas amplia-mente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada ası en honor delmatematico ingles Brook Taylor. Brook Taylor nacio en Edmonton (Inglate-rra) en 1685. Fue discıpulo de Newton y continuo su obra en el campo delanalisis matematico. Su obra Methodus Incrementorum Directo et Inversa ,la publico en Londres en 1715, donde describe su formula, aunque sin demos-trarla, cosa que hizo Mac-Laurin (aunque esta formula era ya conocida porGregory y Leibniz, pero no la habıan publicado). Allı examino los cambiosde variable, las diferencias finitas (las cuales definio como incrementos), ypresento el desarrollo en serie de una funcion de una variable. Tales estudiosno se hicieron famosos enseguida, sino que permanecieron desconocidos hasta1772, cuando el matematico frances Joseph Louis de Lagrange, subrayo laimportancia para el desarrollo del calculo diferencial. Publico tambien variostrabajos sobre perspectiva, dando el primer tratamiento general de los pun-
3
tos de fuga; sobre los fenomenos de capilaridad, sobre problemas de cuerdasvibrantes y sobre centros de oscilacion, a los que ya en 1708 habıa dado unasolucion. Fallecio en Londres en 1731.
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Capıtulo 2
INTRODUCCION YDEFINICIONES
-Una sucesion es una funcion cuyo dominio es el conjunto de los numerosnaturales (enteros positivos).
Si denotamos la funcion por f , su valor para n es f(n). La sucesion f esel conjunto
[[n, f(n)]|n = 1, 2, 3, ...
]; es decir, el conjunto de todas las parejas
[n, f(n)], con n entero positivo.
Ası, por ejemplo,[(n, 1/n)|n = 1, 2, 3, ...
]es una sucesion cuyo valor para
n es 1/n.
Puesto que el dominio de una sucesion es siempre el mismo (el conjunto delos enteros), es costumbre abreviar la notacion y escribir solo f(n) en lugarde [n, f(n)]. Ası la sucesion
[(n, 1/n)|n = 1, 2, 3, ...
]se expresa de forma
abreviada[1/n
]. Analogamente,
[12
n−1]representa la sucesion
[(n,
1
2n−1
)∣∣∣∣n = 1, 2, 3, ...
].
-Lımite de una sucesion.-Una sucesion [(n, an)] puede tener distinto valoran para cada valor diferente de n; pero sucede a veces que los distintos valoresan tienden a agruparse en torno a cierto numero L, y se escribe:
5
lımn→∞
(an) = L.
Definamos que es una serie: En matematicas, una serie es la suma delos terminos de una sucesion. Se representa una serie con terminos an como∑N
i=1 ai donde N es el ındice final de la serie. Las series infinitas son aque-llas donde i toma el valor de absolutamente todos los numeros naturales, esdecir,i = 1, 2, 3, ... .
Las series convergen o divergen. En calculo, una serie diverge si lımn→∞∑n
i=1 ai
no existe o si tiende a infinito; converge si lımn→∞∑n
i=1 ai para algun LεR.
Una serie de la forma
a + ar + ar2 + ... + arn−1 + ...
recibe el nombre de serie geometrica. El cociente de un termino al anteriorvale r.
2.1. TEOREMA DE LAS SERIES ALTER-
NAS
Un importante teorema del calculo que se utiliza a menudo para establecerla convergencia de una serie y determinar el error asociado con su truncaciones el teorema de las series alternas, esto es, series en las que los terminossucesivos alternan el signo.
Teorema 2.1.1. Si a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ .., 0 para todo valor de n ylım
n→∞an = 0, entonces la serie alterna:
a1 − a2 + a3 − a4 + ...
converge, esto es:
∞∑
k=1
(−1)k−1ak = lımn→∞
n∑
k=1
(−1)k−1ak = lımn→∞
Sn = S
donde S es la suma de la serie y Sn la suma parcial hasta el terminoenesimo. Ademas, para todo n se verifica que:
|S − Sn| ≤ an+1
6
La consecuencia practica de este teorema es la siguiente: si la magnitud delos terminos en una serie alterna converge monotonamente a cero, entoncesel error que se comete al truncar la serie no es mayor que la magnitud delprimer termino omitido.
Veamos un ejemplo. Consideremos la expansion en series de Taylor de lafuncion seno:
sen x = x− x3
3!+
x5
5!− ... =
∞∑
k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!(|x| < ∞)
¿Cuantos terminos serıan necesarios para calcular sen(1) con un errormenor de (1
2)10−6?. La respuesta es una aplicacion inmediata del teorema de
las series alternas. El desarrollo para x = 1 es:
sen 1 = 1− 1
3!+
1
5!− . . . +
(−1)n−1
(2n− 1)!+
(−1)n
(2n + 1)!+ . . .
Si truncamos la serie en 1(2n−1)!
el error no excede de acuerdo a dicho
teorema el primer termino que despreciamos, esto es 1(2n+1)!
. En consecuencia,basta con seleccionar un n tal que:
1
(2n + 1)!<
1
210−6
Tomando el logaritmo decimal a ambos lados de la igualdad:
log (2n + 1)! > log 2 + 6 = 6, 3
Para n ≥ 5 la ecuacion anterior se verifica siempre.
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Capıtulo 3
FORMULA DE TAYLOR
3.1. EXPRESION DE UN POLINOMIO POR
SUS DERIVADAS EN UN PUNTO
Queremos intentar aproximar una funcion f(x) en el entorno de un puntoa, mediante un polinomio de grado prefijado que tenga el contacto de ordenmas elevado (polinomio osculador), y hallar el orden de magnitud del errorque se comete en esta aproximacion. Para abordarlo comencemos por expre-sar un polinomio P (x) de grado n, mediante sus derivadas en x− a, para locual lo escribimos de la forma:
P (x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + ... + cn(x− a)n
Para determinar los coeficientes, basta derivar sucesivamente, y luegohacer x = a con lo que se obtiene:
P (a) = c0
P ′(a) = 1!c1
P ′′(a) = 2!c2
...
P n)(a) = n!cn
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de donde, reemplazando, resulta la expresion buscada:
P (x) = P (a) +P ′(a)
1!(x− a) +
P ′′(a)
2!(x− a)2 + ... +
P n)(a)
n!(x− a)n
(3.1.1)
que puede enunciarse ası: el incremento P (x) − P (a) de un polinomio es lasuma de los productos de las potencias del incremento de la variable por lasderivadas sucesivas en el punto inicial, divididas por los factoriales respecti-vos.
3.2. FORMULA DE TAYLOR
Si f(x) es una funcion cualquiera definida en un entorno E de a, y conderivadas sucesivas finitas en x = a hasta la -esima, el problema planteadoen la anterior seccion, se resuelve aproximandola por un polinomio P (x) degrado n, que coincida en x = a con f(x), conjuntamente con las n primerasderivadas respectivas, pues se tendra entonces un contacto de orden superiora n− 1. En virtud de 3.1.1, dicho polinomio existe y es unico:
P (x) = f(a) +f ′(a)
1!(x− a) +
f ′′(a)
2!(x− a)2 + ... +
fn)(a)
n!(x− a)n
(3.2.1)
Llamando Tn(x) al termino complementario que hay que agregar a este po-linomio para obtener f(x), se tiene la formula general de Taylor:
f(x) = P (x) + Tn(x)
= f(a) +f ′(a)
1!(x− a) + · · ·+ fn)(a)
n!(x− a)n + Tn(x)
(3.2.2)
Los polinomios Pn(x) aproximan a f(x) en la vecindad de x = a, tantomejor cuanto mayor sea n, y el termino complementario Tn(x) da el error deaproximacion.
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3.3. DIVERSAS FORMAS DEL TERMINO
COMPLEMENTARIO
3.3.1. Forma infinitesimal
Hipotesis: Existe fn(n) finita. El termino complementario es:
Tn(x) = f(x)− f(a)− f ′(a)
1!(x− a)− ...− fn)(a)
n!(x− a)n (3.3.1)
que se anula para x = a, lo mismo que sus derivadas hasta la de orden ninclusive; luego, llamando h = x− a:
Tn(x) = o(hn) (3.3.2)
En muchas cuestiones (concavidad, inflexiones, contactos) es suficiente estaexpresion, es decir, basta saber que al detener el desarrollo en la potencia hn,el termino complementario es infinitesimo respecto de ella. Por otra parte,un desarrollo de esta forma permite definir derivadas sucesivas generalizadas.
3.3.2. Forma de Lagrange
Impongamos ahora a f(x) la condicion mas restrictiva de que en un en-torno de x = a sea fn)(x) continua y que exista fn+1)(x) como derivadaunica. Tomemos un x = a + h en el. Entonces (3.2.2) se transforma en:
f(a + h) = f(a) +f ′(a)
1!h +
f ′′(a)
2!h2 + ... +
fn)(a)
n!hn + Tn (3.3.3)
siendo (para a y h fijos) Tn una constante. Vamos a demostrar que puededarsele la siguiente forma, atribuida a Lagrange:
Tn =fn+1(ξ)
(n + 1)!(x− a)n+1 (a < ξ < x) (3.3.4)
Para ello, pongamos b = a + h y consideremos la funcion de t(es decir,sustituimos t por a):
f(t) +f ′(t)1!
(b− t) + ... +fn)(t)
n!(b− t)n +
Tn
hn+1(b− t)n+1 (3.3.5)
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que es continua y toma el mismo valor f(b) = f(a+h), para t = a y t = b. Envirtud del teorema de Rolle, su derivada, que existe en virtud de las hipotesishechas y es:
f (n+1)(t)
n!(b− t)n − Tn
hn+1(n + 1)(b− t)n (3.3.6)
se anula en un punto intermedio ξ = a + θh, de donde resulta (3.3.4).Volviendo a la notacion de (3.2.2), tendremos el termino de Lagrange en
la forma :
Tn(x) =f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x− a)n+1 (3.3.7)
que da a Tn(x) la misma estructura de los terminos del polinomio Pn(x), conla sola modificacion de tomar la derivada en el punto ξ, que depende de x yde n.
3.3.3. Forma integral
Sea f(x) una funcion continua conjuntamente con sus derivadas hasta elorden n + 1.Se tiene:
f(x)− f(0) =
∫ x
0
f ′(u)du =
∫ x
0
f ′(x− t)dt
e integrando por partes resulta:
f(x)− f(0) = xf ′(0) +
∫ x
0
f ′′(x− t)tdt
Si reiteramos el procedimiento, tomando como parte diferencial tdt = (dt2)2
, t2dt =(dt3)
3, · · · , tendremos, despues de n integraciones por partes se obtiene:
f(x) = f(0) + xf ′(0) +x2
2!f ′′(0) + ... +
xn
n!fn)(0) + Tn
siendo
Tn =1
n!
∫ x
0
fn+1)(x− t)tndt
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Esta es la formula de Mac Laurin (3.3.1), con la expresion exacta deltermino complementario. Aplicandola a F (h) = f(a + h), resulta para laformula de Taylor(3.3.3):
Tn =1
n!
∫ h
0
f (n+1)(a + h− t)tndt
o bien, con el cambio de variables a + h− t = τ :
Tn =1
n!
∫ a+h
a
f (n+1)(τ)(a + h− τ)ndτ
3.3.4. Otras formas
Si se modifica la funcion, reemplazando en el ultimo termino n + 1 porp (0 < p < n + 1), el razonamiento anterior puede repetirse de igual modo,y se llega a la forma de Tn llamada de Schlomilch:
Tn =f (n+1)(a + θh)
n!phn+1(1− θ)n+1−p (3.3.8)
Otra forma del termino residual de la formula de Taylor y que es de muchaimportancia es la forma de Cauchy(para p=1):
Tn =f (n+1)(a + θh)
n!hn+1(1− θ)n (3.3.9)
3.4. DIVERSAS EXPRESIONES DE LA FOR-
MULA DE TAYLOR
3.4.1. Mac-Laurin
Si tomamos a = 0 en la formula de Taylor (3.2.2) adopta esta formallamada formula de Mac-Laurin:
f(x) = f(0) +f ′(0)
1!x +
f ′′(0)
2!x2 + ... +
fn)(0)
n!xn + Tn (3.4.1)
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Estando ξ en (3.3.7)comprendido ahora entre 0 y x, puede ponerse ξ = θx(cumpliendo θ la condicion 0 < θ < 1), y Tn tiene la expresion:
Tn =f (n+1)(θx)
(n + 1)!xn+1 (3.4.2)
3.4.2. Forma diferencial
Si en la forma (3.3.3) de la formula de Taylor tomamos para Tn la formade Lagrange (3.3.4), y ponemos luego a = x, h = dx, aquella formula adoptala llamada forma diferencial:
∆f(x) =df(x)
1!+
d2f(x)
2!+ ... +
dnf(x)
n!+
dn+1f(ξ)
(n + 1)!(3.4.3)
siendo ahora ξ = x + θdx. Esta forma nos da la relacion del incremento δfcon infinitesimos diferenciales.
Corolario 3.4.1. Diferencial de una magnitud (y) respecto de otra (x) es launica funcion lineal del incremento (dy = k(x)dx), la unica estimacion linealdel ∆y, que permite obtener la relacion exacta entre ∆y y ∆x via integral, ypara ello su pendiente debe coincidir con la funcion derivada : y′.
Para n− 0 resulta como caso particular el teorema del incremento finito3.4.4. Tambien resulta, de (3.4.3), que el incremento es un infinitesimo equi-valente a la primera diferencial no nula dividida por el factorial del ındice.Esta forma diferencial es la mas adecuada para la generalizacion a variasvariables.
Teorema 3.4.2. Teorema del Incremento Finito: Si f : [a, b] → R es unafuncion continua en el intervalo [a, b] f es derivable en (a, b) y f(a) = f(b),entonces existe al menos un punto cε(a, b) tal que f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).Del teorema del incremento finito resulta, que si la derivada de una funciones nula en todos los puntos de un intervalo, entonces la funcion es constanteen dicho intervalo, ademas, la funcion es creciente (resp. Decreciente) en elintervalo si la derivada de la funcion es positiva (resp. Negativa) en todos lospuntos del intervalo.
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Corolario 3.4.3. : Sea f : [a, b] → R una funcion continua en el intervalo[a, b] y derivable en (a, b).
· Si f ′(x) = 0∀xε(a, b), entonces la funcion f es constante en [a, b].
· Si f : [a, b] → R es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f ′(x) ≥ 0(resp. f ′(x) ≤ 0) ∀xε(a, b), entonces la funcion f es creciente (resp. Decre-ciente) en el intervalo [a, b].
Observacion: Si f ′(x) > 0 (resp. f ′(x) < 0)∀xε(a, b) entonces f es estric-tamente creciente (resp. estrictamente decreciente) en [a, b].
3.4.3. Teorema del valor medio:
El caso especial de n = 0 en el teorema de Taylor se conoce como Teoremadel valor medio. Tomando n = 0 en la ecuacion (3.2.2), obtenemos:
f(x) = f(a) + (x− a)f ′(ξ)
lo que nos permite enunciar el teorema del valor medio como:
Teorema 3.4.4. Si f es una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b]y derivable en cada punto del intervalo abierto (a, b), entonces: existe un ξen (a, b) tal que:
f(b) = f(a) + (b− a)f ′(ξ) , ξε(a, b)
En consecuencia, el cocientef(b)− f(a)
b− aes igual a la derivada de f en
algun punto comprendido entre a y b, esto es:
f ′(ξ) =f(b)− f(a)
b− aξε(a, b) ,
lo que nos permite usarf(b)− f(a)
b− acomo una aproximacion a la derivada
de f en el intervalo (a, b).
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3.4.4. Teorema de Taylor en terminos de h:
Otra forma muy util del teorema de Taylor es la expansion en terminosde h. Partiendo de:
f(x) =n∑
k=0
fk(a)
k!(x− a)k + Tn
Llamando h a la distancia x− a:
f(x) =n∑
k=0
fk(x− h)
k!(h)k + Tn
Y realizando el cambio de variable x = x + h obtenemos:
f(x + h) =n∑
k=0
fk(x)
k!(h)k + Tn
Tn =fn+1(ξ)
(n + 1)!hn+1, x < ξ < x + h
El termino de error Tn converge a cero con la misma velocidad con quehn+1 converge a cero. Explıcitamente:
f(x + h) = f(x) + f ′(ξ1)h = f(x) + o(h)
f(x + h) = f(x) + f ′(x)h +1
2!f ′′(ξ2)h
2 = f(x) + f ′(x)h + o(h2)
f(x + h) = f(x) + f ′(x)h +1
2!f ′′(x)h2 +
1
3!f ′′′(ξ3)h
3
= f(x) + f ′(x)h +1
2!f ′′(x)h2 + o(h3)
3.5. EL CASO DE LAS FUNCIONES DE
DOS VARIABLES
Consideramos el caso de una funcion de dos variables, ponemos z =f(x, y), que queremos aproximar cerca de un punto p = (x0, y0) mediantepolinomios.
15
3.5.1. Polinomios de primer y segundo orden
La estrategia para obtener aproximaciones mas y mas precisas consisteen considerar polinomios de grado cada vez mas alto. El polinomio de gradouno de una funcion z = f(x, y) es, obviamente, el polinomio que define a suplano tangente. De manera que, si llamamos T1,pf(x, y) a ese polinomio degrado 1 en el punto p, se tiene:
T1,pf(x, y) = f(x0, y0) + (∂f
∂x)p · (x− x0) + (
∂f
∂y)p · (y − y0)
Considerando una derivada parcial (∂f∂
) de una funcion de diversas va-riables su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otrasconstantes.
Como hemos senalado, un plano es un objeto lineal, que no puede detectarfenomenos como la curvatura. Si queremos obtener una aproximacion masprecisa y con mas informacion, debemos considerar un polinomio de gradosuperior. Si la funcion f es suficientemente regular en p (por ejemplo si es declase C2 o mas en una bola centrada en p), la expresion que se obtiene parael polinomio de Taylor de grado dos en p es la que reflejamos en la siguientedefinicion:
Polinomio de Taylor de grado dos:
Si z = f(x, y) es de clase C2 en el punto p, entonces su polinomio deTaylor de grado dos en ese punto es
T2,pf(x, y) = f(x0, y0) + (∂f
∂x)p(x− x0) + (
∂f
∂y)p(y − y0)
+1
2!
[(∂2f
∂x2)p(x− x0)
2 + 2(∂2f
∂y∂x)p(x− x0)(y − y0)
+ (∂2f
∂y2)p(y − y0)
2
]
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En la segunda y tercera lıneas de esta formula aparecen los terminos degrado dos, que involucran a las derivadas segundas de f en p. Como puedeverse, los terminos de grado menor coinciden con los del polinomio de Taylorde orden uno. Esta es una propiedad general de los polinomios de Taylor,y que ya conocemos en el caso de funciones de una variable: al aumentarel grado del polinomio se anaden nuevos terminos a los ya conocidos. Elsiguiente teorema nos confirma que este polinomio es la aproximacion quebuscabamos. Recordemos que para usar el polinomio de Taylor de grado dos,hemos pedido que la funcion sea derivable dos veces.
Teorema 3.5.1. Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p =(x0, y0), en la que f es de clase C3. Entonces, si (x, y) es cualquier punto deesa bola, se tiene
f(x, y) = T2,pf(x, y) + o(||(x− x0, y − y0)||)donde
lım(x,y)→p
o(||(x− x0, y − y0)||)||(x− x0, y − y0)||2 = 0 .
Es decir, que el error que se comete al usar T2,pf(x, y) como aproximacional valor f(x, y) es muy pequeno: es pequeno comparado con el cuadrado dela distancia de (x, y) a p. Ademas, al igual que en el caso de una variable, elpolinomio de Taylor T2,pf(x, y) es el unico polinomio de grado dos con estapropiedad.
Veamos un ejemplo:Ejemplo. Dada la funcion z = f(x, y) = sen(xy) su polinomio de Taylor
en el punto p = (π/2, 1) se calcula teniendo en cuenta estos valores:f(p) = sen(π/2) = 1
⇒ ∂f∂x
= y cos(xy) ⇒ ∂f∂xp
= 0,(∂2f∂x2
)p
= −y2 sen(xy) ⇒ (∂2f∂x2
)p
= −1(∂2f∂y∂x
)=
(∂2f∂x∂y
)= cos(xy)− xy sen(xy)
⇒ ∂f∂y
= x cos(xy) ⇒ ∂f∂xp
= 0(∂2f∂y2
)p
= −x2 sen(xy) ⇒ (∂2f∂y2
)p
= −1(∂2f∂y∂x
)p
=(
∂2f∂x∂y
)p
= −π/2
17
Por lo tanto el polinomio que buscamos es:
T2,pf(x, y) = 1 + 0 · (x− π/2) + 0 · (y − 1)+
+1
2![(−1) · (x− π/2)2 + 2 · (−π/2) · (x− π/2) · (y − 1) + (−1) · (y − 1)2]
=1
2− 1
2x2 + xπ − 3
8π2 − 1
2πxy +
1
4π2y − 1
2y2 + y
3.5.2. Formas cuadraticas
En el proximo capıtulo trataremos sobre los extremos locales de una fun-cion de dos variables z = f(x, y). La herramienta basica para hacerlo es elpolinomio de Taylor que acabamos de describir. Y, como en el caso de unavariable, para poder decidir si un cierto punto es un maximo, un mınimo oninguna de ambas cosas, tendremos que analizar los terminos de orden dos(las derivadas segundas) de ese polinomio. Por esa razon nos vamos a detenerahora a analizar con algo de detenimiento esos terminos de orden dos, paraexpresarlos de una forma mas conveniente.
Dada una matriz cuadrada A = (aij), de orden n, y un vector x =(x1; · · · ; xn) de Rn, podemos combinarlos de esta forma
q(x) =(x1 x2 xn
)
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a31 a32 a3n
x1
x2
xn
Es decir, interpretamos el vector x a la izquierda como una matriz fila(1, n) y a la derecha como una matriz columna (n, 1). Y multiplicamos lastres matrices que aparecen aquı; el resultado es una matriz (1, 1), es decir,un numero.
Ejemplo: Si usamos x = (x1, x2) es un vector cualquiera de R2, entoncesla forma cuadratica asociada a la matriz
A =
(1 35 −1
)
se obtiene calculando:
18
q(x1, x2) =(x1 x2
)A
(x1
x2
)
q(x1, x2) =(x1 x2
)A
(x1
x2
)=
(x1 x2
) (x1 + 3x2
5x1 − x2
)
= x21 + 3x1x2 + 5x2x1 − x2
2 = x21 + 8x1x2 − x2
2
Como puede verse, el resultado es un polinomio de grado dos en las coor-denadas (x1, x2). Ademas, todos los terminos del polinomio son de grado dos,no hay terminos de grado uno o cero (el polinomio es homogeneo). Recıpro-camente, dado cualquier otro polinomio homogeneo de grado dos en (x1, x2)(sin terminos de grado uno o cero), como, por ejemplo,
q(x1, x2) = 2x21 + 8x1x2 + 6x2
2
podemos encontrar una matriz A que permite expresar q(x1; x2) como laforma cuadratica asociada a esa matriz. Por ejemplo, poniendo
q(x1, x2) = 2x21 + 8x1x2 + 6x2
2 = 2x21 + 5x1x2 + 3x2x1 + 6x2
2
se observa que podemos usar la matriz
A =
(2 53 6
)
Y si escribimos el mismo polinomio q(x1; x2) de esta otra forma
q(x1, x2) = 2x21 + 8x1x2 + 6x2
2 = 2x21 + 10x1x2 − 2x2x1 + 6x2
2
vemos que podemos usar tambien esta otra matriz
A =
(2 10−2 6
)
Como se ve, hay una cierta arbitrariedad en la eleccion de la matriz,asociada a los terminos cruzados x1x2. Podemos eliminar esa arbitrariedadpidiendo que la matriz A sea simetrica. En ese caso, solo hay una matrizposible:
19
q(x1, x2) = 2x21+8x1x2+6x2
2 = 2x21+4x1x2+4x2x1+6x2
2 =(
x1 x2
) (2 44 6
)(x1
x2
)
Resumimos las anteriores observaciones en una definicion:
DEFINICION:Forma cuadraticaDada una matriz cuadrada de orden nA = (aij) y simetrica, es decir,
con aij = aji), la forma cuadratica asociada a la matriz A es la aplicacionq : Rn → R definida mediante:
q(x1, · · · , xn) =(
x1 x2 · · · xn
)
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann
x1
x2
· · ·xn
= x·A·xT
donde el vector x se interpreta como una matriz fila (1; n), y xT es sumatriz traspuesta (una matriz columna).
3.5.3. Matriz Hessiana
Ahora que disponemos de este lenguaje de formas cuadraticas, podemosvolver a los polinomios de Taylor. Si nos fijamos en los terminos de gradodos del polinomio de Taylor, que son
1
2!
[(∂2f
∂x2)p · (x− x0)
2 + 2(∂2f
∂y∂x)p · (x− x0) · (y − y0) + (
∂2f
∂x2)p · (y − y0)
2]
observaremos que estos terminos son homogeneos en x− x0 e y− y0. Porlo tanto, podemos usar la notacion matricial para representarlos como unaforma cuadratica:
1
2!
(x− x0 y − y0
)(
∂2f∂x2
∂2f∂y∂x
∂2f∂x∂y
∂2f∂y2
)
p
(x− x0
y − y0
)
La matriz que aparece en esta expresion se merece un nombre:
DEFINICION: Matriz Hessiana
20
Si f es dos veces derivable en el punto p = (x0, y0), entonces su matrizhessiana en p es la matriz 2x2:
Hf(p) =
(∂2f∂x2
∂2f∂y∂x
∂2f∂x∂y
∂2f∂y2
)
p
Observese que si f es de clase C2 en p entonces la matriz hessiana essimetrica (Lema de Schwarz).
3.5.4. Polinomios de orden mas alto
Naturalmente, si en el punto p la funcion f es de una clase Ck con k > 3,podemos seguir buscando aproximaciones polinomicas de grado superior. Porejemplo, el polinomio de grado tres se obtiene sumando al de grado dos estosterminos de grado tres:
t3,p(f)(x) =1
3!
[(∂3f
∂x3)p · (x− x0)
3 + 3(∂3f
∂x2∂y)p · (x− x0)
2 · (y − y0)+
3(∂3f
∂x2∂y)p · (x− x0) · (y − y0)
2 + (∂3f
∂x3)p · (y − y0)
3]
De manera que, como decıamos el polinomio de Taylor de grado tres es
T3,p(f)(x) = T2,p(f)(x) + t3,p(f)(x)
¿Cual es la justificacion del coeficiente 3 que acompana a la derivada∂3f
∂x2∂y? La razon es que este termino proviene de tres derivadas parciales
cruzadas iguales:
∂3f
∂x∂x∂y,
∂3f
∂x∂y∂x,
∂3f
∂y∂x∂x
De la misma forma el coeficiente 3 que acompana a la derivada∂3f
∂x∂y2
proviene de estas otras tres derivadas parciales cruzadas iguales:
21
∂3f
∂x∂x∂y,
∂3f
∂x∂y∂x,
∂3f
∂y∂x∂x
Numero de derivadas parciales cruzadas coincidentes. En general, el po-linomio de Taylor de grado k es de la forma:
Tk,p(f)(x) = t0,p(f)(x)+t1,p(f)(x)+t2,p(f)(x)+· · ·+tk,p(f)(x) = Tk−1,p(f)(x)+tk,p(f)(x)
donde tk,p(f)(x) son los terminos de orden k de este polinomio. Parapoder escribirlos necesitamos averiguar cuantas derivadas cruzadas de ordenk coinciden, como hemos hecho en el caso k = 3.
Ejemplo: Este problema es puramente combinatorio. Una derivada par-cial tal como:
∂7f
∂x5∂y2
se obtiene derivando f siete veces, cinco de ellas con respecto a x y doscon respecto a y. Un posible orden de derivacion es este:
( ∂
∂x
( ∂
∂y
( ∂
∂x
( ∂
∂x
( ∂
∂y
( ∂
∂x
( ∂
∂x
)))))))
Pero si f es de clase C7, se puede intercambiar las posiciones de las x ylas y, sin que cambie el resultado. Es decir, que en general tenemos
( ∂
∂??
( ∂
∂??
( ∂
∂??
( ∂
∂??
( ∂
∂??
( ∂
∂??
( ∂f
∂??
)))))))
y tenemos a nuestra disposicion cinco letras x y dos letras y para colo-carlas en lugar de las interrogaciones. ¿De cuantas formas distintas podemoshacerlo? Es facil darse cuenta de que se trata simplemente de decidir enque dos posiciones colocamos las dos y, y luego rellenar el resto con x. Setrata de elegir las dos posiciones de las y entre siete posibles; en combinatoriase aprende que la respuesta es
(a7a2
)= 7!
2!((7−2)!)= 21. Es decir, que hay 21
ordenes distintos de derivacion que producen el mismo valor de la derivadaparcial.
Generalizando el ejemplo anterior es facil ver que, dada una derivadaparcial de orden k, de la forma
∂kf
∂xi∂yj
22
(donde, naturalmente, se debe cumplir i + j = k), se pueden encontrar(ki
)=
(kj
)=
k!
i!j!derivadas cruzadas iguales.Con estos resultados, es facil entender que los terminos de grado k del
polinomio de Taylor son (aquı se usa que j = k − i):
tk,p(f)(x) =1
k!
k∑
k=0
(akai
) ( ∂kf
∂xi∂yk−i
)p(x− x0)
i(y − y0)k−i
Y por tanto el polinomio de grado k completo es:
Tk,p(f)(x) =k∑
s=0
( 1
s!
s∑i=0
(asai
) ( ∂sf
∂xi∂ys−i
)p(x− x0)
i(y − y0)s−i
(por convenio, la derivada de orden 0 de f es la propia f).
23
Capıtulo 4
APLICACIONES
4.1. CALCULO DE LIMITES INDETERMI-
NADOS
El metodo mas rapido y seguro para calcular lımites de cocientes y pro-ductos en los casos de indeterminacion, consiste en efectuar los desarrollostaylorianos de las funciones elementales que componen la expresion, utili-zando la forma infinitesimal del termino complementario, que no es precisosiquiera escribir. Por ejemplo:
lımx→0
x− sen x
x(cos x− 1)= lım
x→0
x− (x− x3
3!+ x5
5!+ ...)
x(1− x2
2!+ x4
4!+ ...− 1)
=
= lımx→0
x3
3!− x5
5!+ ...
−x3
2!+ x5
4!+ ...
= lımx→0
13!− x3
5!+ ...
− 12!
+ x3
4!− ...
=13!
− 12!
= −1
3
Otra posibilidad de calculo de este lımite es aplicar la regla de L’Hopital,pero
los calculos se complican un poco mas.
24
4.2. CRITERIO DE MAXIMOS Y MINIMOS
UTILIZANDO DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
El criterio de la segunda derivada para encontrar valores extremos parauna funcion de una variable, funciona cuando para un punto crıtico x0, lasegunda derivada evaluada en x0 es diferente de 0, siendo un valor maximosi f ′′(x0) < 0 y un valor mınimo si f ′′(x0) > 0. Sin embargo hay funcionescon valores extremos en un punto crıtico x0 en las que tambien se anula lasegunda derivada, como se muestra en el siguiente sencillo ejemplo:
-Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores ex-tremos de la funcion f(x) = x4.
Solucion: Los puntos crıticos satisfacen f ′(x) = 4x3 = 0 Lo cual se satisfa-ce unicamente para xo = 0. Como f ′′(x) = 12x2, entonces f ′′(0) = 0, fallandoel criterio de la segunda derivada. Si utilizamos el criterio de la primera de-rivada, vemos facilmente que esta funcion tiene un valor mınimo en xo = 0.A continuacion demostraremos, utilizando el Teorema de Taylor, un criteriopara detectar valores extremos relativos, cuando el de la segunda derivadafalla.
-4 -2 2 4
-400
-200
200
400
Figura 4.1: 4x3
25
Teorema 4.2.1. Sea f : R → R con n derivadas continuas en un intervalo(a, b) que contiene a xo y supongase que f ′(xo) = 0, f ′′(xo) = 0, f (3)(xo) =0, ..., f (n−1)(xo) = 0 y f (n)(xo) = 0; entonces:
1. Si n es par: a) f (n)(xo) < 0 ⇒ f toma un maximo relativo en xo. b)f (n)(xo) > 0 ⇒ f toma un mınimo relativo en xo.
2. Si n es impar, la funcion no alcanza un valor extremo en xo.
Demostracion 1.Supongamos, por ejemplo, que n es par. Como f (n)(x) escontinua en un intervalo (a, b) que contiene a xo y f (n)(xo) < 0, podemosencontrar un subintervalo (xo − δ, xo + δ) j (a, b) de tal manera f (n)(x) seanegativa en este subintervalo.
Consideremos x en el intervalo (xo− δ, xo + δ), por el Teorema de Taylor:
f(x) = f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+f ′′(x0)
2!(x−x0)
2+...+f (n−1)(x0)
(n− 1)!(x−x0)
n−1+En−1
con En = f (n)(c)n!
(x−x0)n y c entre x y xo como las primeras (n−1) derivadas
se anulan en xo, se tiene:
f(x) = f(xo) +f (n)(c)
n!(x− xo)
n
f (n)(c) < 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo(xo − δ, xo + δ) donde la n-esima derivada es negativa. Al ser f (n)(c) < 0 y npar, la expresion (x−xo)
n < 0 y por lo tanto y en consecuencia f(x) < f(xo)para toda x en el intervalo (xo − δ, xo + δ), lo cual significa que f(xo) es elmayor de los valores de f en dicho intervalo, es decir f alcanza un maximorelativo en xo.
Ejemplo: Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x
Solucion: Encontremos primero los puntos crıticos:
f ′(x) = 4x3 + 12x2 + 12x + 4 = 0
f ′(x) = 4(x3 + 3x2 + 3x + 1) = 4(x + 1)3 = 0 ⇒ x = −1
26
Por lo tanto el unico punto crıtico es xo = −1 Tratemos ahora de deter-minar su naturaleza:
f ′′(x) = 12x2 + 24x + 12f ′′(−1) = 0
f (3)(x) = 24x + 24f (3)(−1) = 0
f (4)(x) = 24f(4)(−1) = 24
Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4es par, el signo positivo de esta cuarta derivada nos dice que f alcanza unmınimo en xo = −1.
4.3. ERROR DE TRUNCAMIENTO
Vamos a exponer un ejemplo de utilizacion del teorema para estimar elresiduo a fin de determinar el error de truncamiento.
Ejemplo: Calcular e con un error menor que 10−7.
Hallamos el desarrollo de Taylor paraf(x) = ex:
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ ... +
xn
n!+ Tn
Y aplicando x = 1:
e = 1 + 1 +1
2!+
1
3!+ ... +
1
n!+ Tn
con:
Tn = ec 1
(n + 1)!
para algun numero c comprendido entre 0 y 1. Poedemos limitar el numeroe en el intervalo tal que:
1
(n + 1)!< Tn <
3
(n + 1)!
pues 1 < ec < 3. Por tanto hallamos que 19!
> 10−6.Por tanto debemos tomar(n + 1) igual a 10 como mınimo.Con un error menor que 10−4,
c = 1 + 1 +1
2!+
1
3!+ ... +
1
9!≈ 2, 718282
27
4.4. APLICACIONES AL ESTUDIO DE LA
CONVEXIDAD
Se dice que una funcion f : (a, b) → R, derivable, es convexa si el grafo dela funcion(hace referencia al subconjunto como agregado de pares ordenados opuntos en un plano) pertenece a todos los semiplanos superiores definidos porsus tangentes en dicho intervalo (a, b). Se define sımetricamente la concavidadpor el hecho de que el grafo pertenezca a todos los semiplanos inferioresque definen las rectas tangentes en (a, b). Es inmediato que f(x) es convexa(globalmente) en el intervalo (a, b) si es convexa localmente en todo puntox0ε(a, b). Lo mismo ocurre con la concavidad.
Asi, pues, si es y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0)la recta tangente a f(x) enx0ε(a, b), se tiene que:- Si f(x) − y > 0,∀xε(a, b), f(x) es convexa en (a, b).-
Si f(x)− y < 0∀xε(a, b), f(x) es concava en (a, b).
Proposicion:
Si la funcion f : (a, b) → R es 2-veces derivable en x0ε(a, b), entonces, setiene que f(x) es convexa en x0 si f ′′(x0) > 0, o concava en x0 si f ′′(x0) < 0.
Demostracion Consideremos el desarrollo de Taylor de f(x) hasta el orden2, y la recta tangente en x0:
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)
2(x− x0)
2 + Tn
y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)
Se tiene, al restar ambas expresiones:
f(x)− y =f ′′(x0)
2(x− x0)
2 + Tn = (x− x0)2[f ′′(x0)
2+
Tn
(x− x0)2
]
y siendo Tn
(x−x0)2→ 0, se tienen las dos alternativas:
f(x)− y =f ′′(x0)
2(x− x0)
2 + Tn = (x− x0)2[f ′′(x0)
2+
Tn
(x− x0)2
]
28
- Si es f ′′ > 0 ⇒ f(x)− y > 0 ⇒ f(x)convexa en x0.
- Si es f ′′ < 0 ⇒ f(x)− y < 0 ⇒ f(x)concava en x0.
Corolario 4.4.1. Si es f(x) 3-veces derivable en x0ε(a, b), se cumple que sif ′′(x0) = 0, y es f ′′′(x0) > 0, la funcion es concava a la izquierda y convexaa la derecha de x0, y, simetricamente, si es f ′′(x0) = 0, y esf ′′′(x0) > 0, lafuncion es convexa a la izquierda y concava a la derecha de x0.
Para probar esto haremos aquı el desarrollo de Taylor de f(x) hasta elorden 3, y la ecuacion de la recta tangente en x0:
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′′(x0)
3!(x− x0)
3 + Tn
y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)
Restamos ahora ambas expresiones:
f(x)− y =f ′′(x0)
3!(x− x0)
3 + Tn = (x− x0)3[f ′′′(x0)
3!+
Tn
(x− x0)3
]
y siendo Tn
(x−x0)3→ 0, se tienen las dos alternativas:
- Si es f ′′′(x0) > 0 :
↪→si x < x0 ⇒ f(x)− y < 0 ⇒ concava.
↪→si x > x0 ⇒ f(x)− y > 0 ⇒convexa
⇒ la funcion es concava a la izquierda y convexa a la derecha de x0. Esdecir, en x0 hay un punto de inflexion concavo-convexo.
- Si es f ′′′(x0) < 0 ⇒
↪→si x < x0 ⇒ f(x)− y > 0 ⇒convexa
↪→si x > x0 ⇒ f(x)− y < 0 ⇒concava
⇒la funcion es convexa a la izquierda y concava a la derecha de x0.Esdecir, en x0 hay un punto de inflexion convexo-concavo.
29
Generalizacion: Sea f(x) suficientemente derivable en x0ε(a, b).
Si la primera derivada que no se anula, f (n)(x0), es de orden par, la curvaes concava (si f (n)(x0) > 0), o convexa (si f (n)(x0) < 0).
Si la primera derivada que no se anula, f(n)(x0), es de orden impar, lacurva tiene un punto de inflexion , que sera concavo-convexo (si f (n)(x0) > 0),o convexo-concavo (si f (n)(x0) < 0).
4.5. SENOS, COSENOS Y eX
4.5.1. ex
Mostrar que la serie de Taylor de f(x) = ex en torno a a = 0 convergehacia f(x) para cualquier valor real de x.Sea f(x) = ex. Esta funcion y todas
sus derivadas son continuas en cada punto, por lo que podemos aplicar elteorema de Taylor para cualquier valor conveniente a a. Tomamos a = 0para facilitar el calculo de los valores de f y sus derivadas. El teorema deTaylor da
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ Rn(x, 0)
donde
Rn(x, 0) =ec
(n + 1)!xn+1
Para algun numero comprendido entre 0 y x. Como ex es una funcion cre-
ciente de x, y c esta entre 0 y x, el valor de ec se hallara entre 1 y ex. Portanto, si x es negativo, tambien lo es c, y ec < 1; si x es positivo, tambien losera c, y ec < ex. Ası, podemos escribir
Rn(x, 0) < |x|n+1
(n+1)!cuando x < 0,
y
Rn(x, 0) < ex xn+1
(n+1)!cuando x > 0.
30
Cuando x = 0, el primer termino de la serie (9a) es 1 = e0, por lo que elerror es cero. Finalmente, como
lımn→∞ xn+1
(n+1)!= 0 para todo x,
es cierto ademas que
lımn→∞ Rn(x, 0) = 0 para todo valor de x:
ex =∞∑
k=0
xk
k!= 1 + x +
x2
2!+ · · ·+ xk
k!+ · · · .
-2 -1 1 2
2
4
6
Figura 4.2: ex y aproximaciones
Tambien podemos calcular f(x) = e−x, dando lugar a:
Fe−x = 1− x +x2
2!− x3
3!+
x4
4!+ ... + (−1)n xn
n!
31
-10 -5 5 10
-50
50
Figura 4.3: e−x y aproximaciones
4.5.2. Cosx
La serie de Maclaurin para cos x converge hacia cos x cualquier valor dex. Comenzamos sumando el termino del residuo al polinomio de Taylor paracos x de la ecuacion (4) de la seccion anterior, con lo que obtenemos la formulade Taylor para cos x con n = 2k:
cos x = 1− x2
2!+
x4
4!+ · · ·+ (−1)k x2k
(2k)!+ R2k(x, 0).
Como las derivadas del coseno tiene valor absoluto menor o igual que 1,aplicamos el teorema 2 con M = 1 y r = 1, y resulta
|R2k(x, 0)| ≤ 1 · |x|2k+1
(2k + 1)!
Para cualquier valor de x,R2k → 0 cuando k → ∞. Por tanto, la serie
converge hacia cos x para todo valor de x:
cos x =∞∑
k=0
(−1)kx2k
(2k)!= 1− x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+ . . .
32
-2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 4.4: Cosx y aproximaciones
4.5.3. Sinx
La serie de Maclaurin para sen x converge hacia sen x para todo x. Ex-presadas en terminos de x, la funcion y sus derivadas son
f(x) = sen x, f ′(x) = cos x, f ′′(x) = − sen x,f ′′′(x) = − cos x, ... ...
... ... ...
f (2k)(x) = (−1)k sen x, f (2k+1)(x) = (−1)k cos x,
de manera que f (2k)(0) = 0 y f (2k+1)(0) = (−1)k.
La serie solo tiene terminos de potencias impares y, para n = 2k + 1, laformula de Taylor da:
sen x = x− x3
3!+
x5
5!− · · ·+ (−1)kx2k+1
(2k + 1)!+ R2k+1(x, 0).
Ahora bien, como todas las derivadas de sen x tienen valor absoluto menoro igual que 1, podemos aplicar el teorema 2 con M = 1 y r = 1 para obtener
|R2k+1(x, 0)| ≤ 1 · |x|2k+2
(2k + 2)!.
33
dado que [|x|2k+2/(2k + 2)!] → 0 cuando k →∞, para todo valor de x,
R2k+1(x, 0) → 0,
y la serie de Maclaurin para sen x converge hacia sen x para todo x:
sen x =∞∑
k=0
(−1)kx2k+1
(2k + 1)!= x− x3
3!+
x5
5!+
x7
7!+ · · · .
-2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
Figura 4.5: Sen x y aproximaciones
EJEMPLO : ¿Que valor de a debe elegirse en la serie de Taylor3.1.1para calcular sen 35o?Podrıamos tomar a = 0 y utilizar la serie
sen x = x− x3
3!+
x5
5!− · · ·
+(−1)n x2n+1
(2n + 1)!+ 0 · x2n+2 + R2n+2(x, 0)
o bien elegir a = π/6(que corresponde a 30o)con la serie
34
sen x = senπ
6+ cos
π
6
(x− π
6
)− sen
π
6
(x− π/6)2
2!− cos
π
6
(x− π/6)2
3!
+ · · ·+ sen(π
6+ n
π
2
)(x− π/6)n
n!+ Rn
(x,
π
6
).
El residuo de la serie segunda satisface la desigualdad
|R2n+2(x, 0)| ≤ |x|2n+3
(2n + 3)!
que tiende a cero cuando n se hace infinito, por muy grande que sea |x|.
Podrıamos entonces calcular sen 35o haciendo
x =35π
180= 0, 6108652
en la aproximacion
sen x ≈ x− x3
6+
x5
120− x7
5040.
Mediante la serie, con a = π/6, podrıamos obtener la misma precision con
un exponente n menor, pero a costa de tener que introducir cos π/6 =√
3/2como uno de los coeficientes. En esta serie, con a = π/6, tomarıamos
x =35π
180,
pero la cantidad elevada a las distintas potencias es
x− π
6=
5π
180= 0, 0872665,
que drecrece rapidamente cuando los exponentes son altos. De hecho,para
35
facilitar el calculo del seno o del coseno de cualquier angulo con la seriede Maclaurin de las dos funciones, pueden usarse varias identidades trigo-nometricas, como
sen(π
2− x
)= cos x,
Este metodo para determinar el seno o el coseno de un angulo se aplica en
el calculo con computadores.
4.6. SINH y COSH
Sabiendo que:
senh x =ex − e−x
2
cosh x =ex + e−x
2
Y aplicando Taylor:
Tsenh x(x) = x +x3
3!+
x5
5!+ ... +
x2n+1
(2n + 1)!
-4 -2 2 4
-20
-10
10
20
Figura 4.6: Seno hiperbolico
36
-4 -2 2 4
5
10
15
20
25
30
Figura 4.7: Coseno hiperbolico
Tcosh x(x) = 1 +x2
2!+
x4
4!+ ... +
x2n
(2n)!
4.7. LOGARITMOS, ARCO TANGENTES
Y π
4.7.1. Calculo de logaritmos
Los logaritmos naturales pueden calcularse mediante series. El punto departida es la serie para ln(1 + x) en potencia de x:
ln(x + 1) = x− x2
2+
x3
3− · · ·+ (−1)n−1xn
n+ · · · . (4.7.1)
Esta serie deriva directamente del desarrollo en serie de Taylor, ecuacion3.4.1, con a = 0. Tambien se obtiene integrando la serie geometrica para1/(1 + t) desde t = 0 hasta t = x:
∫ x
0
dt
1 + t=
∫ x
0
< (1− t + t2 − t3 + · · · )dt,
37
ln(1 + t)]x
0= t− t2
2+
t3
3− t4
4+ · · ·
]x
0,
ln(1 + x) = x− xx2
2+
x3
3− x4
4+ · · · .
-3 -2 -1 1 2 3
-5
5
Figura 4.8: Ln(x + 1)
El desarrollo 4.7.1 es valido para |x| < 1, ya que entonces el residuoRn(x, 0) tiende a cero cuando n →∞, como veremos ahora. El residuo vienedado por la integral del residuo en la serie geometrica, esto es,
Rn(x, 0) =
∫ x
0
(−1)ntn
1 + tdt.
Supongamos que |x| < 1. Para todo t comprendido entre 0 y x inclusive,
tenemos
|1 + t| ≥ 1− |x|
38
y
|(−1)ntn| = |t|n,
de modo que
∣∣∣(−1)ntn
1 + t
∣∣∣ ≤ |t|n1− |x| .
Por tanto,
|Rn(x, 0)| ≤∫ |
o
x| tn
1− |x|dt =1
n + 1· |x|
n+1
1− |n| .
Cuando n →∞, esta ultima expresion tiende a cero y, por tanto, tambien lo
hara el resto. Ası, 4.7.1 se cumple para |x| < 1.
4.7.2. Calculo de π y arctan x
En el siglo III a. de C., Arquımedes (287-212) dio para π la aproximacion
31
7> π > 3
10
71.
Otra interesante formula descubierta por el matematico ingles Wallis, es
π
4= 1− 1
3+
1
5− 1
7+ · · · ,
conocida como formula de Leibniz. Pero si miramos a la serie para tan−1 x,
la cual da origen a la formula de Leibniz y otras mediante las que puedecalcularse π con gran numero de cifras decimales. Dado que
tan−1 x =
∫ x
o
dt
1 + t2,
39
se trata de integrar la serie geometrica con residuo
1
1 + t2= 1− t2 + t4 − t6 + · · ·+ (−1)nt2n +
(−1)n+1t2n+2
1 + t2.
Ası,
tan−1 x = x− x3
3+
x5
5− x7
7+ · · ·+ (−1)n x2n+2
2n + 1+ R,
donde
R =
∫ x
0
(−1)n+1t2n+2
1 + t2dt.
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 4.9: Arco tangente
El denominador del integrando es mayor, o igual, que 1, y por tanto,
|R| ≤∫ |x|
0
t2n+2dt =|x|2n+3
2n + 3.
Si |x| ≤ 1, el segundo miembro de la desigualdad (6) tiende a cero cuando
n →∞. Por tanto, R tambien tiende a cero, y tenemos
40
tan−1 x =∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
2n + 1,
o sea,
tan−1 x = x− x3
3+
x5
5− x7
7+ · · · , |x| ≤ 1.
Cuando en (8) ponemos x = 1, tan−1 1 = π/4, y obtenemos la formula de
Leibniz:
π
4= 1− 1
3+
1
5− 1
7+
1
9− · · ·+ (−1)n−1
2n− 1+ · · ·
Esta serie converge lentamente y no sirve para aproximar π con muchas cifras
decimales. La serie tan−1 x converge mas rapidamente cuando x esta cercade cero. Por esta razon, para calcular π mediante tan−1 x, se utilizan variasidentidades trigonometricas. Por ejemplo, si
α = tan−1 1
2y β = tan−1 1
3,
entonces
tan (α + β) =tan α + tan β
1− tan α tan β=
12
+ 13
1− 16
= 1 = tanπ
4
y
π
4= α + β = tan−1 1
2+ tan−1 1
3.
De este modo, se calculan mediante (8)tan−1 12
y tan−1 13, y la suma de esos
resultados, multiplicada por 4, proporciona π
41
