Première Scientifique - 1ère S - 11th grade Second degré

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TD 4 (4 PAGES) Exercice 1

Construire le tableau de signes des trinômes

suivants :

a) −2𝑥! + 8𝑥 − 6

b) !!"𝑥! − !

!"𝑥 + !

!"

c) −𝑥! + 3𝑥 − 5

d) 2𝑥! − 5𝑥 + 1

e) 5𝑥 − 3 2 − 𝑥

f ) 𝑥 + 1 ! − 4 𝑥 + 2 !

g) 2𝑥 + 1 𝑥 − 3 − 6𝑥! + 3𝑥

h) − 𝑥 + 2 ! − 3

Exerc ice 2

Résoudre chacune des inéquations suivantes et

vérifier graphiquement le résultat à l’aide de la calculatrice.

a) 5𝑥! + 2𝑥 − 3 ≤ 0

b) 2𝑥 + 3 3𝑥 − 12 < 0

c) 3𝑥! − 𝑥 + 1 > 0

d) −5𝑥! + 19𝑥 + 4 ≥ 0

e) 4𝑥! + 3𝑥 − 20 > −2 𝑥! + 𝑥 − 18

f ) 3𝑥 + 14 + !"!≤ 0

g) 3𝑥 − 2 ! > 𝑥 + 1 !

Exerc ice 3

Résoudre les inéquations suivantes :

a) 𝑥! − 4 𝑥! − 4𝑥 + 3 ≥ 0

b) !!!!!!!!!!!!!!!!"

< 0

c) !!!!"!!!!"

≥ !"(!!!)!"!!!!"!!!"

d) !!!!!!!

+ !!!!!!!

≥ 0

e) !!!!

+ !!!!

> !!

f ) !!!!

− !!!!!

> !! !!!

Exerc ice 4

1) Déterminer les positions relatives de la droite 𝑑

d’équations 𝑦 = 2𝑥 + 1 et de la parabole 𝒫

d’équation

𝑦 = 2𝑥! − 9𝑥 + 13. 2) Vérifier graphiquement le résultat obtenu en

traçant la droite 𝑑 et la parabole 𝒫 à l’aide de la

calculatrice.

Exercice 5

1) Déterminer les positions relatives de la droite 𝒫

d’équations 𝑦 = 𝑥! + 4𝑥 − 1 et de la parabole 𝒫′

d’équation

𝑦 = −𝑥! + 𝑥 + 4. 2) Vérifier graphiquement le résultat obtenu en

traçant les paraboles 𝒫 et 𝒫′ à l’aide de la

calculatrice.

Exercice 6

Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓 𝑥 = ! !!!!!!!!!!!

et 𝒞!

sa courbe représentative.

1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction

𝑓.

2) Tracer la courbe 𝒞! sur l’écran de votre

calculatrice.

Décrire la position de 𝒞! par rapport aux droites

d’équations 𝑦 = −2 et 𝑦 = 4.

3) Montrer que pour tout 𝑥, −2 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 4.

4) Calculer 𝑓 !!!!

.

5) Montrer que le minimum de 𝑓 est 1 − 5.

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Exercice 7

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 − 4𝑥 + 3. On note 𝒞! la courbe représentative de 𝑓 dans un repère

orthonormé du plan.

a) Résoudre 𝑓(𝑥) = 0. En déduire les abscisses des points d’intersection de 𝒞! avec l’axe des abscisses.

b) Quelle est l’abscisse α du sommet de la parabole 𝒞! ? En déduire le tableau de variations de 𝑓.

Vérifier vos résultats avec la calculatrice.

c) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la parabole 𝒞! avec l’axe des ordonnées.

d) Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥).

e) Tracer 𝒞!.

Exerc ice 8

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥! + 3𝑥 + 2,5. On note 𝒞! la courbe représentative de 𝑓dans un repère

orthonormé du plan et 𝒮 son sommet. Un logiciel de mathématique a permis d’obtenir le graphique ci-dessous :

a) Lire graphiquement l’abscisse de 𝒮 et l’une des solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = 0.

b) En déduire la valeur de la solution « cachée » de l’équation 𝑓(𝑥) = 0.

c) Résoudre algébriquement l’équation 𝑓(𝑥) = 0. Comparer les résultats avec les questions précédentes.

d) Résoudre algébriquement 𝑓(𝑥) = −4 . Vérifier graphiquement vos résultats.

e) Dresser le tableau de variation de 𝑓.

f ) Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥).

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Exercice 9

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓 𝑥 = 2𝑥! + 8𝑥 + 4,5. On note 𝒞! la courbe représentative de 𝑓 dans un repère

orthonormé du plan.

a) Résoudre les équations :

𝑓(𝑥) = 0

𝑓(𝑥) = −8

𝑓(𝑥) = −15

b) Interpréter graphiquement ces résultats.

c) Dresser le tableau de signe de 𝑓(𝑥). Vérifier avec votre calculatrice.

d) Dresser le tableau de variation de 𝑓. Vérifier avec votre calculatrice.

e) Tracer 𝒞!.

Exerc ice 10

Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓 𝑥 = 2𝑥! − 3𝑥 − 5. On note 𝒞! la courbe représentative de 𝑓 dans un repère

orthonormé du plan.

Soit 𝒟 la droite du plan d’équation 𝑦 = −𝑥 + 7.

1) Visualiser à la calculatrice les courbes 𝒞! et 𝒟.

a) Conjecturer les résultats des équations 𝑓 𝑥 = 0 et 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 7.

b) Conjecturer la position de 𝒞! par rapport à 𝒟.

2) Résoudre algébriquement les équations 𝑓 𝑥 = 0 et 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 7.

Votre conjecture est-elle vérifiée ?

3) Résoudre algébriquement 𝑓 𝑥 > −𝑥 + 7. Votre conjecture est-elle vérifiée ?

Exercice 11

Soit 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 les fonctions définies sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑥! − 3𝑥 − 5 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = 4 − 𝑥!

a) Représenter graphiquement les fonctions 𝑓 𝑒𝑡 𝑔.

b) Résoudre algébriquement l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). En donner une interprétation graphique.

c) Résoudre algébriquement l’inéquation 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥). En donner une interprétation graphique.

Exercice 12

Sur votre calculatrice, tracer la parabole 𝒫 d’équation 𝑦 = − !!𝑥! + 𝑥 + !

! et la droite 𝒟 d’équation 𝑦 = !

! 𝑥 + 3.

a) Faire une conjecture quant à l’intersection de 𝒟 et 𝒫.

b) Démontrer algébriquement que 𝒟 et 𝒫 ne se coupent pas.

Exercice 13

Dans une entreprise, les coûts de fabrication de q objets sont donnés, en euros, par : C q = 0,1q! + 10q + 1500

a) Déterminer q pour que les coûts de fabrication soient égaux à 1610€.

b) L’entreprise vend chaque objet fabriqué 87€.

c) Quel est le bénéfice de l’entreprise lorsqu’elle fabrique et vend 50 objets ? 100 objets ?

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d) Exprimer le bénéfice B(q) en fonction de la quantité q d’objets fabriqués et vendus.

e) Pour quelles valeurs de q le bénéfice est-il nul ?

Exercice 14

Un artisan fabrique des objets. Il ne peut pas en fabriquer plus de 70 par semaine. On suppose que tout objet

fabriqué est vendu. Le coût de fabrication de 𝑥 dizaines d’objets, en centaines d’euros, est modélisé par la fonction 𝑓 deefinie

sur [0; 7] par 𝑓(𝑥) = 0,1𝑥! + 0,2𝑥 + 0,3.

On donne la courbe représentative de 𝑓 ci-dessous :

1) On souhaite déterminer le coût de production de 50 objets et le nombre d’objets produits pour un coût de 300 euros.

a) Résoudre graphiquement ce problème.

b) Résoudre algébriquement ce problème.

c) Comparer les résultats obtenus

2) Chaque objet fabriqué est vendu 80 euros. On note 𝑔 𝑥 la recette obtenue par la vente de 𝑥 dizaines d’objets, en

milliers d’euros.

a) Justifier que 𝑔 𝑥 = 0,8𝑥.

b) Tracer la courbe représentative de 𝑔 dans le repère ci-dessus.

3) Par lecture graphique, déterminer les quantités à fabriquer pour que les coûts de production soit égaux à la recette.

4) Résoudre algébriquement l’équation 0,1𝑥! + 0,2𝑥 + 0,3 = 0,8𝑥. Interpréter le résultat.

5) Par lecture graphique, déterminer la quantité d’objets à fabriquer pour que l’artisan réalise des bénéfices.

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Exercice 15

Une usine fabrique et vend des boites de jeux pour enfants.

Apres la fabrication et la vente de 𝑥 centaines de boites de jeux, le benefice net realisé en un mois s’exprime en euros

par 𝐵 𝑥 = −10𝑥! + 900𝑥 − 2610 pour 𝑥 compris entre 3 et 100.

1) Dresser le tableau de signe sur ℝ de la fonction 𝑓: 𝑥⟼ −10𝑥! + 900𝑥 − 2610.

2) En déduire le tableau de signes de 𝐵(𝑥) sur [3 ; 100].

3) Déterminer la quantité de boites de jeux à fabriquer et à vendre pour que l’entreprise réalise des bénéfices, c’est-à-

dire pour avoir 𝐵 𝑥 ≥ 0.

4) Déterminer l’abscisse du sommet de la parabole représentant la fonction 𝑓 dans un repère orthonormé du plan. En

déduire la quantité de boites de jeux à fabriquer et à vendre pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal.