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TE220
DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
Bibliografia:
1. Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J. Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17.
2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U. Cambridge University Press (1988)
3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company (1977)
4. Física Vol 1. 4ta edição. Tipler P. LTC editora (1999)
Introdução
Como resolver estes circuitos? i(t)=?, v(t)=?, q(t)=?...Utilizando equações no domínio dos números reaisUtilizando equações no domínio dos números complexosA relação de Euler ei = cos + i sen (relaciona funções harmônicas com exponenciais complexas!!!)Vamos analisar o primeiro circuito RLC acima
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Segundo Kirchhoff 𝑅𝐼+𝑞𝐶
+𝐿𝑑𝐼𝑑𝑡
=𝑉 (𝑡 )=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)
𝐿 𝑑2𝑞𝑑𝑡2 +𝑅 𝑑𝑞
𝑑𝑡+ 𝑞𝐶
=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)Como i=dq/dt temos
Com a solução do tipo: ]
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Método da amplitude complexa
Utilizando Euler
Passamos a trabalhar com
Onde:
𝑞 (𝑡 )=𝑞0 (𝜔 ) cos [𝜔𝑡−𝛼 (𝜔 ) ]=ℜ {𝑞0𝑒𝑖 (𝜔𝑡−𝛼 ) }=¿
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𝑞 (𝑡 )=𝑞0𝑒−𝑖 (𝜔𝑡 −𝛼 )=𝑞0𝑒
𝑖 𝛼𝑒−𝑖 𝜔𝑡
𝑞0(𝜔)𝑒𝑖𝛼 (𝜔)≡𝑞 (𝜔)Amplitude complexa, ela contem todas as informações que precisamos para determinar a solução unívoca da equação do circuito!!!!!
¿ ℜ{𝑞0𝑒−𝑖 (𝜔𝑡 −𝛼 )}
Método da amplitude complexa
O mesmo com I(t)
Passamos a trabalhar com
Onde:
𝐼 (𝑡 )=𝑑𝑞 (𝑡 )𝑑𝑡
=ℜ{−𝑖𝜔𝑞0𝑒− 𝑖 (𝜔𝑡−𝛼 ) }
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𝐼 0 (𝜔 )=−𝑖𝜔𝑞0𝑒𝑖 𝛼=− 𝑖𝜔𝑞(𝜔)
Vamos agora resolver a equação do circuito RLC
𝑖𝜔𝑞0 (𝜔 )𝑒𝑖𝛼 (𝜔 )≡ 𝐼 0 (𝜔 )𝑒𝑖𝛼 (𝜔 )≡ 𝐼 (𝜔)
𝐿 𝑑2𝑞𝑑𝑡2 +𝑅 𝑑𝑞
𝑑𝑡+ 𝑞𝐶
=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)
Método da amplitude complexa
Solução proposta é:
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𝐿 𝑑2𝑞𝑑𝑡2 +𝑅 𝑑𝑞
𝑑𝑡+ 𝑞𝐶
=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)
]
Procedimento no domínio dos números reais
Procedimento no domínio dos reais ou dos complexos???
Escrevemos: cos [𝜔𝑡−𝛼 (𝜔 ) ]=cos (𝜔𝑡 )𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 )𝑠𝑒𝑛𝛼
A equação acima se transforma em: 𝐷 cos (𝜔𝑡 )+𝑆 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
Onde D e S contem as constantes L, R, C e além de q0 e
Logo: D=V0 e S=0 e assim determinamos q0 e
Método da amplitude complexa
Solução proposta é:
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𝐿 𝑑2𝑞𝑑𝑡2 +𝑅 𝑑𝑞
𝑑𝑡+ 𝑞𝐶
=𝑉 0 cos (𝜔𝑡)
]
Procedimento no domínio dos números complexos
Aqui definimos: =
Neste caso V()=V0 pois =0 para a fonte de tensão
Substituindo na equação temos:
(−𝜔2L−iω𝑅+ 1𝐶 )𝑞 (𝜔 )=𝑉 (𝜔)
Método da amplitude complexa
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De onde:𝑞 (𝜔 )= 𝑉 (𝜔)
1𝐶−𝜔2 L−iω𝑅
Cociente entre dois complexos!O de cima é um número real (V0)O de baixo tem modulo e ângulo de fase:
√¿¿ 𝑡𝑔𝛿=−𝜔𝑅
1𝐶−𝜔2L
Como a amplitude da razão entre dois números complexos é igual à razão entre as amplitudes e o ângulo de fase é a diferença entre os ângulos de fase individuais, teremos:
𝑞0 (𝜔 )=𝑉 0
√¿ ¿¿𝑡𝑔𝛼=
𝜔 𝑅1𝐶−𝜔2 L
(𝛼=−𝛿)
Método da amplitude complexa
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O mesmo poderia ser feito para a amplitude complexa da corrente no circuito. Ela é obtida multiplicando q() por (i), ou seja:
I (𝜔 )≡ 𝐼 0 (ω )𝑒𝑖 𝛽=− 𝑖𝜔𝑞 (𝜔 )=− 𝑖𝜔𝑞0 (𝜔 )𝑒𝑖 𝛼 (𝜔 )=𝑒− 𝑖 𝜋
2 𝜔𝑞0 (𝜔 )𝑒𝑖𝛼 (𝜔 )=¿Ou seja: 𝐼 0 (ω)=𝜔𝑞0𝑒𝛽=𝛼−
𝜋2
O mesmo poderia ser feito para dI/dt
𝑎 (𝜔 ) ≡𝑎0 (𝜔 )𝑒𝑖𝛾 (𝜔 )=−𝜔2𝑞 (𝜔 ) ¿𝜔2𝑞0❑(𝜔)𝑒𝑖(𝛼 (𝜔 )−𝜋)
𝑎0 (𝜔 ) ≡𝜔❑2 𝑞0 (𝜔 ) 𝛾 (𝜔) =𝛼 (𝜔 )−𝜋
Método da amplitude complexa
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No caso geral, em que V(t) = V0 cos(t+)
Re
Im
V()(1 𝐶−𝜔
2 L )q(ω)
−𝑖 𝜔𝑅𝑞(𝜔)
q (ω )1𝐶
−𝜔2 𝐿q (ω )
𝑞 (𝜔 )= 𝑉 (𝜔)1𝐶−𝜔2 L−iω𝑅
Como:
teremos:=
em fase fora de fase
Como: 𝑞 (𝜔 )≡𝑞0 (𝜔 )𝑒𝑖 𝛼 (𝜔 )→â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝛼
𝑡𝑔(𝛼−∅ )=𝜔𝑅
1𝐶−𝜔2 L
Defasagem entre V(t) e q(t) será:
Método da amplitude complexa