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La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle

Techniques de demodulation aveugle en interception designaux MIMO

Steredenn DAUMONT

Equipe Signal, Communication et Electronique Embarquee, Supelec–IETR

Ecole doctorale Matisse, Universite de Rennes I

Directeurs de these : Jacques Palicot et Daniel Le Guennec

19 novembre 2009

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Contexte des etudes

� These CIFRE avec la societe IPSIS et Supelec/SCEE� Concevoir un recepteur aveugle pour l’ecoute de signaux issus de

systemes MIMO (Multiple Input Multiple Output) pour la DGA(Delegation Generale de l’Armement) dans le cadre d’un marche passeentre la societe IPSIS et la DGA

� Recepteur aveugle :Pas de symboles pilotesCanal de transmission non connu du recepteurAucune connaissance des parametres de transmission (modulation, codeMIMO, Nt )

� Projet divise en trois parties :Pre-identification d’un signal MIMO avec une antenne receptrice, SocieteIPSISInterception du signal, estimation des parametres de transmission,Universite Bretagne OccidentaleEstimation des symboles transmis, Supelec

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Objectifs et methodes utilisees

2 techniques possibles :

� La separation aveugle de sources (BSS):Estime directement les symboles transmisInconvenients : ambiguıtes introduites par la BSS (phase, ordre),algorithmes parfois lents a converger (gradient stochastique)Objectifs : lever certaines ambiguıtes en utilisant la redondance introduitepar les codes MIMO, utiliser la separation aveugle sur des canaux variantsrapidement dans le temps instantanes

� L’estimation de canalUtilisation du filtre de Kalman pour poursuivre les canaux variablesinstantanes ou convolutifsInconvenient : utilise dans des systemes cooperatifs (initialisation par dessequences d’apprentissage)Objectif : initialisation du filtre de Kalman de maniere aveugle

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Plan1 La separation aveugle de sources en MIMO

Les systemes MIMOPrincipe et indeterminations de la BSSHypotheses et pre et post traitementsLes criteresAlgorithmes de minimisation des criteres

2 Exploitation de la redondance des codes spatio-temporel MIMOPrincipeCritere propose pour le code d’Alamouti, minima et resultatsCritere propose pour le code de Tarokh, minima et resultatsCritere propose pour le code d’Or, minima et resultatsConclusion et perspectives

3 Deux algorithmes analytiquesPrincipeFonction de coutRecherche du sous-espace contenant la solutionRecherche du sous-espace contenant la solutionL’AMMA adaptatifResultatsConclusion et perspectives

4 Poursuite des canaux MIMO en aveuglePrincipeLe cas instantaneResultatsLe cas convolutifResultats

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Les transmissions MIMO

� Nt antennes emettrices

� Nr antennes receptrices

� Canal de transmission represente par la matrice H de dimension Nr × Nt

� Le cas instantane : y(k) = H(k)x(k) + b(k)

� Le cas convolutif : y(k) = H(k) ∗ x(k) + b(k)

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Les codes MIMO

� Techniques a multiplexage spatial1 2 : augmentent la capacite dusysteme par rapport a un systeme SISO

V-BLAST : architecture VerticaleH-BLAST : architecture HorizontaleD-BLAST : architecture Diagonale

� Les codes espace-temps : introduisent de la redondance pouraugmenter la fiabilite de la transmission

Le code d’Alamouti3Les codes de Tarokh4

Le code d’or5

1G. J. Foschini, Layered Space-Time Architecture for Wireless Communication in a Fading Environment When Using MultipleAntennas, Bell Labs Technical Journal, 1996

2P.W. Wolniansky and G.J. Foschini and G.D. Golden and R.A. Valenzuela, V-BLAST : An architecture for realizing very high datarates over rich-scattering wireless channel, International Symposium on Signals, Systems, and Electronics, 1998

3S. M. Alamouti, A simple transmit diversity technique for wireless communication, IEEE Journal on Selected Areas inCommunications, 1998

4V. Tarokh and H. Jafarkhani and A.R. Calderbank, Space-time block codes from orthogonal designs, IEEE Transactions onInformation Theory, 1999

5J.C. Belfiore and G. Rekaya and E. Viterbo, The Golden code: A 2 x 2 full-rate space-time code with nonvanishing determinants,IEEE transactions on information theory, 2005

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Principe et indeterminations de la BSS

� Principe de separation

z(k) = WH(k)y(k)

= WH(k)(H(k)x(k) + b(k))

= GH(k)x(k) + b′(k)

Avec G = HHW → INt et b′(k) = WHb(k)

� Indeterminations

z(k) = ΦPx(k) + b′(k)

G = ΦP

Φ une matrice diagonale de dimension Nt × Nt representantl’indetermination sur la phase et l’amplitudeP une matrice de dimension Nt × Nt representant les permutations

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Hypotheses et pre et post traitements

� Les sources sont mutuellement independantes a un instant k donne� Les sources ont une puissance unitaire� Au plus un seul signal source a une distribution gaussienne� Le canal H est de rang complet Nt

� Le bruit b(k) est additif et independant des sources� Nr ≥ Nt

� Le blanchiment� Decorrelation ou orthogonalisation

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Le critere CM (Constant Modulus)

8<: JCMA =PNt

n=1 E»˛|zn(k)|2 − R

˛2–

sous WHW = INt

avec zn(k) = Wn(k)y(k) et R =E

h|s(k)|4

iE[|s(k)|2]

.

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Les criteres MM et SCM

� Le critere MM (MultiModulus)8<: JMMA =PNt

m=1

„E

»“< (zm(k))2 − Rr

”2–

+ E»“= (zm(k))2 − Ri

”2–«

sous WHW = INt

avec Rr = Ri = R =E

h|<(s(k))|4

iE[|<(s(k))|2]

.

� Le critere SCM (Simplified Constant Modulus)8<: JSCMA =PNt

m=1 E»“< (zm(k))2 − Rr

”2–

sous WHW = INt

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Algorithmes de minimisation des criteres

� Le gradient stochastique a pas fixe

Wn(k) = Wn(k − 1)− µen(k)y(k), n ∈ {1, . . . , Nt}

� Le gradient stochastique a pas variable

Wn(k) = Wn(k − 1)− µn(k)en(k)y(k), n ∈ {1, . . . , Nt}avec µn(k) = f (en(k))

� Les moindre carres recursifs (RLS)

Wm(k) = Wm(k − 1) + Km(n)em(k)

� Les outils analytiques (ACMA6) : reecriture du critere CM

Wl = arg mindl (k)=Wl (k)⊗Wl (k)‖dl (k)‖=R

PNtl=1 dT

l (k)C(k)dl(k)

6A. Van Der Veen and A. Paulraj, An analytical constant modulus algorithm, IEEE Trans. on Signal Processing, 199612 / 66







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Principe

� Rappel

z(k) = ΦPx(k)

avec Φ =

0B@ ejφ1 0 . . . 0...

. . ....

0 . . . 0 ejφNt

1CA et P une matrice modelisant les

permutations sur les lignes de x(k).

Proposition :

Se servir de la redondance introduite par les codes MIMO (Alamouti, Tarokh,code d’or) pour diminuer le nombre d’indetermination inherente a la BSS.Proposition de criteres d’exploitation de la redondance associes au critere deseparation.

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Critere propose pour le code d’Alamouti

� Le code d’Alamouti

H2 =

„s(2k) −s∗(2k + 1)

s(2k + 1) s∗(2k)

«Nt = 2rendement r unitaire, r = Nombre de symboles utiles transmis par le code

Nombre de slots qu’utilise le codecode orthogonal

� Perte de la structure du code d’Alamouti en sortie de la BSS

Lorsqu’il n’y a pas de permutation des lignes :

Z(k) =

„s(2k)ejΦ1 −s∗(2k + 1)ejΦ1

s(2k + 1)ejΦ2 s∗(2k)ejΦ2

«avec Φ1 et Φ2 arbitraires.Et lorsqu’il y a permutation des lignes :

Z(k) =

„s(2k + 1)ejΦ1 s∗(2k)ejΦ1

s(2k)ejΦ2 −s∗(2k + 1)ejΦ2

«15 / 66


Critere propose pour le code d’Alamouti

Le critere JAlamouti :

Jalamouti =1

Ns

NsXk=1

|z1(2k)− z∗2 (2k + 1)|2

avec Ns le nombre donne de symboles transmis.

� Lorsque la BSS n’introduit pas de permutation sur les lignes, le criterevaut :

minΦ1,Φ2

Jalamouti = minΦ1,Φ2

˛ejΦ1 − e−jΦ2

˛2σ2

s ⇒ Φ1 = −Φ2

avec σ2s ' 1

Ns

PNsk=1 |s(k)|2, ou les symboles s(k) sont i.i.d.

� Lorsqu’une permutation des lignes est introduite par la BSS, le criteredevient :

minΦ1,Φ2

Jalamouti = minΦ1,Φ2

˛ejΦ1 + e−jΦ2

˛2σ2

s ⇒ Φ1 = −Φ2 ± π

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Critere de separation associe au critere JAlamouti

� Afin de retrouver les signaux sources, JAlamouti doit etre associe a uncritere de separation aveugle de sources, nous avons utilise le critereCM.

J = JCM + JAlamouti

sous GHG = INt

Cette association permet d’obtenir en sortie de l’algorithme les resultatssuivants :

Permutation Phases Structure du code en sortie de la BSS

Non Φ1 = −Φ2 Z =

„s(2k)ejΦ1 −s∗(2k + 1)ejΦ1

s(2k + 1)e−jΦ1 s∗(2k)e−jΦ1

«Oui Φ1 = −Φ2 ± π Z =

„s(2k + 1)ejΦ1 s∗(2k)ejΦ1

−s(2k)e−jΦ1 s∗(2k + 1)e−jΦ1

«

� On retrouve alors une structure d’Alamouti

� Une fois les symboles sources estimes, la redondance est exploitee parmoyennage : (

z′1(k) =z1(2k)+z∗2 (2k+1)

2

z′2(k) =z2(2k)−z∗1 (2k+1)

2

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Etude des points stationnaires (JCM + JAlamouti )

Apres une etude du systeme (S) des gradients nuls et du systeme (C) descontraintes, on obtient les proprietes :

Propriete 1 demontree dans la these

Les points suivants sont solutions des deux systemes (S) et (C) etcorrespondent ainsi a des points stationnaires du critere J sous la contrainteGHG = I2 :

g11 = g∗22 et g12 = g21 = 0 avec |g11|2 = |g22|2 = 1g12 = −g∗21 et g11 = g22 = 0 avec |g21|2 = |g12|2 = 1

i.e.

G =

„e−jΦ 0

0 ejΦ

«ou G =

„0 ejΨ

−e−jΨ 0

«


Ces points stationnaires correspondent a des minima de notre critere J sousla contrainte GHG = I2 car leur matrice Hessienne est semi-definie positive.

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Hypotheses de simulations et resultats (JCM + JAlamouti )

� Modulation 4-QAM

� Signaux transmis sur un canal deGauss instantane fixe

� µ = 0, 002

� Un code d’Alamouti est utiliseen emission

� Permutation eventuelle leveemanuellement

0 1000 2000 3000 4000 50000

5

10

15

20

SINR, Nt=N

r=2, µ=0.002, SNR=15dB et une modulation 4−QAM

nb symboles

SIN

R (

dB)

JCMA

+JAlamouti

JCMA

0 1000 2000 3000 4000 5000−2

0

2

4

nb échantillons

angl

e (r

ad)

phase en sortie de la BSS JCMA

+JAlamouti

, Nt=N

r=2, 4−QAM, SNR=30 dB

0 1000 2000 3000 4000 5000−3

−2

−1

0

nb échantillons

angl

e (r

ad)


, Nt=N


phase sortie 1phase sortie 2

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TEB et EQM (JCM + JAlamouti )

0 5 10 15 20

10−4

10−3

10−2

10−1

100

TEB ,Nt=2, N

r=4, µ=0.002 et une modulation 4−QAM

Es/N

0(dB)

TE

B

JCMA

+JAlamouti

JCMA

Egalisation non aveugle

0 5 10 15 20 25 30−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

EQM, Nt=2, N

r=4, µ=0.002 et une modulation 4−QAM

Es/N

0(dB)

EQ

M

JCMA

+JAlamouti

JCMA

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Critere propose pour le code de Tarokh

� Le code de Tarokh G3 :„s(4k) −s(4k + 1) −s(4k + 2) −s(4k + 3) s∗(4k) −s∗(4k + 1) −s∗(4k + 2) −s∗(4k + 3)

s(4k + 1) s(4k) s(4k + 3) −s(4k + 2) s∗(4k + 1) s∗(4k) s∗(4k + 3) −s∗(4k + 2)s(4k + 2) −s(4k + 3) s(4k) s(4k + 1) s∗(4k + 2) −s∗(4k + 3) s∗(4k) s∗(4k + 1)

«Nt = 3

rendement 1/2

code orthogonal

� Perte de la structure du code de Tarokh en sortie de la BSS :

Z =

0@ ejΦ1 0 00 ejΦ2 00 0 ejΦ3

1A Px(k)

Le symbole s(4k) occupe les diagonales de ce code : particulariteexploitee pour la proposition du critere

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Le critere JG3 :

JG3 =1

Ns

NsXk=1

|2z1(4k)− z2(4k + 1)− z3(4k + 2)|2

� Afin de retrouver les signaux sources, JG3 doit etre associes a un criterede separation aveugle de sources, nous avons utilise le critere CM

J = JCM + JG3

sous GHG = I3

Cette association permet d’obtenir en sortie de l’algorithme les resultatssuivants :

Permutation Phases Structure du code en sortie de la BSS

Non Φ1 = Φ2 = Φ3 Z(k) =

0@ ejΦ1 0 00 ejΦ1 00 0 ejΦ1

1A x(k)

Ainsi, on leve totalement le probleme de l’ordre22 / 66



� La redondance introduite par le code de Tarokh peut etre exploitee dansun premier temps pour estimer la phase Φ1 modulo π :

Φ1 + kπ ' Arg(z1(8k)z1(8k + 4))

2

� Ensuite, la redondance est utilisee pour reduire l’EQM des symboles parmoyennage :8>>><>>>:

z′1(k) =z1(8k)+z2(8k+1)+z3(8k+2)+z∗1 (8k+4)+z∗2 (8k+5)+z∗3 (8k+6)

6

z′2(k) =z2(8k)−z1(8k+1)+z3(8k+3)+z∗2 (8k+4)−z∗1 (8k+5)+z∗3 (8k+7)

6

z′3(k) =z3(8k)−z1(8k+2)−z2(8k+3)+z∗3 (8k+4)−z∗1 (8k+6)−z∗2 (8k+7)

6

z′4(k) =−z3(8k+1)+z2(8k+2)−z1(8k+3)−z∗3 (8k+5)+z∗2 (8k+6)−z∗1 (8k+7)

6

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Etude des points stationnaires (JCM + JG3)

Apres une etude des points qui verifient le systeme (S) des gradients nuls etle systeme (C) des contraintes, on obtient les proprietes :


Seul le point g11 = g22 = g33 = ejΦ et gmn = 0, m 6= n ∈ {1, . . . , 3} avec|gnn| = 1 est solution des deux systemes (S) et (C), c’est donc un pointstationnaire du critere J sous la contrainte GHG = I3, i.e.

G =

0@ ejΦ 0 00 ejΦ 00 0 ejΦ

1APropriete 2 demontree dans la these

Ce point stationnaire correspond a l’unique minimum du critere J sous lacontrainte GHG = I3 car sa matrice Hessienne est semi-definie positive.

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Hypotheses de simulations (JCM + JG3) et resultats


� Signaux transmis sur un canal deGauss instantane et fixe

� µ = 0, 002

� Un code de Tarokh est utiliseen emission

� Nt = Nr = 3

0 1000 2000 3000 4000 5000−5

0

5

10

15

20

SINR, Nt=N

r=3, 4−QAM, µ=0.002, SNR=15 dB

nb symboles

SIN

R (

dB)

JCMA

+JG3

JCMA

0 1000 2000 3000 4000 5000−2

0

2

nb échantillons

angl

e (r

ad)


+JTarokh

, Nt=N

r=3, 4−QAM, SNR=30dB

0 1000 2000 3000 4000 5000−2

0

2

nb échantillons

angl

e (r

ad)


, Nt=N

r=3, 4−QAM, SNR=30dB

phase sortie 1phase sortie 2phase sortie 3

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TEB et EQM (JCM + JG3)

0 5 10 15 20

10−4

10−3

10−2

10−1

100

TEB, Nr=N

t=3, µ=0.002 et une modulation 4−QAM

Es/N

0(dB)

TE

B

JCMA

+JG

3

JCMA

Egalisation non−aveugle

0 5 10 15 20 25 30−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0EQM, Nr=Nt=3, µ=0.002 et une modulation 4−QAM

Es/N

0(dB)

EQ

M (

dB)

JCMA

+JG3

JCMA

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Critere propose pour le code d’Or

� Le code d’Or

O2 =

„x1(k) x3(k)x2(k) x4(k)

«= 1√

5

„α (s(4k) + θs(4k + 1)) α (s(4k + 2) + θs(4k + 3))

jα`s(4k + 2) + θs(4k + 3)

´α

`s(4k) + θs(4k + 1)

´ «avec θ = 1+

√5

2 le nombre d’or, θ = 1− θ,α = 1 + i(1− θ), α = 1 + i(1− θ).

Nt = 2rendement 2code lineaire en bloc

� Les symboles codes xn(k) peuvent s’exprimer sous forme vectorielle :

x(k) =

0BB@x1(k)x2(k)x3(k)x4(k)

1CCA =1√5

0BB@α αθ 0 00 0 jα jαθ0 0 α αθα αθ 0 0

1CCA0BB@

s(4k)s(4k + 1)s(4k + 2)s(4k + 3)

1CCAx(k) = Cs(k)

� Pour retrouver les symboles non-codes s(k), il suffit d’appliquer lamatrice code inverse C−1 : s(k) = C−1x(k).

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� Cependant, les symboles codes sont retrouves en sortie de la BSS avecune certaine ambiguıte de phase et d’ordre :

z(k) = WH„

H„

x1(k) x3(k)x2(k) x4(k)

«+ b

«(1)

= ΦP„

x1(k) x3(k)x2(k) x4(k)

«+ b’(k) (2)

� Ces ambiguıtes ne nous permettent plus de retrouver les symbolesnon-codes puisque :

s(k) = C−1„

ΦP 00 ΦP

«x(k) = C−1

„ΦP 00 ΦP

«Cs(k) ⇔ ΦP = I

� Ainsi, au lieu de chercher les symboles codes x en sortie de la BSS, oncherche les symboles non codes s

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Soit tn(k), les symboles obtenus en sortie de la BSS de la maniere suivante :0BB@t1(k)t2(k)t3(k)t4(k)

1CCA = C−1„

W 00 W

« „y(2k)

y(2k + 1)

«

C’est a dire

t(k) = C−1„

GH 00 GH

«Cs(k)

t(k) = G′Hs(k)

avec G = HH

W et G′H = C−1„

GH 00 GH

«C.

Le critere JOr : 8<: JOr =PNt

n=1 Eˆ(|tn(k)|2 − R)2˜

sous GHG = INt

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� Nous allons montrer que cette fonction de cout comporte deux minima :Soit tous les symboles s(k) sont retrouves dans le bon ordre a unephase pres identique, i.e.

G′ =

0BB@ejΦ 0 0 00 ejΦ 0 00 0 ejΦ 00 0 0 ejΦ

1CCA ⇔ G =

„ejΦ 00 ejΦ

«

Soit les symboles non codes sont retrouves dans un ordre decroissant :

G′ =

0BB@0 0 0 ejΦ

0 0 −ejΦ 00 −jejΦ 0 0

jejΦ 0 0 0

1CCA ⇔ G =

„0 ejΦ

−jejΦ 0

«

� Le critere propose permet donc de retrouver les symboles non-codesdans l’ordre croissant ou decroissant a une phase pres.

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Etude des points stationnaires (JOr )

Apres une etude du systeme (S) des gradients nuls et du systeme (C) descontraintes, on obtient les proprietes :


Seuls deux points sont solutions des deux systemes (S) et (C) :

G′ =

0BB@ejΦ 0 0 00 ejΦ 0 00 0 ejΦ 00 0 0 ejΦ

1CCAm

G =

„ejΦ 00 ejΦ

«ou

G′ =

0BB@0 0 0 ejΨ

0 0 −ejΨ 00 −jejΨ 0 0

jejΨ 0 0 0

1CCAm

G =

„0 ejΨ

−jejΨ 0

«


Ces points stationnaires correspondent aux deux minima du critere JOr sousla contrainte GHG = I2 car sa matrice Hessienne est semi-definie positive.

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Hypotheses de simulations (JOr ) et resultats


� Signaux transmis sur un canalde Gauss instantane et fixe

� µ = 0, 002

� Un code d’Or est utilise enemission

0 500 1000 1500−5

0

5

10

15

20SINR, SNR=15dB, Nt=2, Nr=4 et une modulation de 4−QAM

nb symbolesS

INR

(dB

)

JCMA

JCMA

+JG3

, pas variable

JCMA

, pas variable

L’algorithme minimisant le critere JOr est compare a l’algorithme CMA

applique aux vecteurs„

y(2k)y(2k + 1)

«afin de retrouver les 2Nt sources

non-codees a une phase et permutation pres.

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Phase en sortie des BSS(JOr )

0 1000 2000 3000 4000 5000−3.5

−3

−2.5

nb échantillons

angl

e (r

ad)

phase en sortie de la BSS JOr

, Nt=2, N


0 1000 2000 3000 4000 5000

−2

0

2

nb échantillons

phas

e (r

ad)


, Nt=2, N


phase sortie 1phase sortie 2phase sortie 3phase sortie 4

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TEB (JOr )

Convergence de l’algorithme,utilisant le critere JOr , versdeux points nonstationnaires :8<: g′1 = −g′2, |g′1| = 1/

√5 et g′3 = g′4 = 0

oug′3 = g′4, |g′3| = 1/

√5 et g′1 = g′2 = 0

Gradient stochastique a pasfixe ⇒ convergence vers dessolutions indesirables

Solution : utilisation dugradient stochastique a pasvariable

0 5 10 15 20 2510

−4

10−3

10−2

10−1

100

TEB, code d or, Nt=Nr=2, modulation de 4−QAM

RSB(dB)T

EB

JOr

pas variable

JCMA

JOr

pas fixe

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Conclusion et perspectives

� Proposition de nouveaux criteres en complement de la BSS pour lescodes de Tarokh et d’Alamouti

� Proposition d’un critere pour le code d’Or : peut etre utilise plusgeneralement sur tout code lineaire en bloc moyennant quelquesmodifications

� Les criteres proposes permettent de lever certaines ambiguıtesintroduites par la BSS

ordre phase levee indeterminationsAlamouti Oui ou Meme phase sur partielle

ordre inverse toutes les lignesTarokh Oui Meme phase sur totale

toutes les lignesCode d’Or Oui ou Meme phase sur partielle

ordre inverse toutes les lignes

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Principe

� Les algorithmes MMA et SCMA

Poursuite du residu de porteuse contrairement au CMAMais ils utilisent un gradient stochastique ⇒ convergence lente ⇒algorithmes non utilisables sur des canaux variables temporellement

� L’algorithme ACMA adaptatif7

Utilise des outils analytiques pour minimiser le critere CMConverge rapidement ⇒ utilisable sur canaux variables temporellement

Proposition :

Minimiser les criteres MM et SCM en utilisant des outils analytiques afin depoursuivre le residu de phase tout en separant les sources transmises sur uncanal variable dans le temps instantanes

7A. Van Der Veen, An adaptive version of the algebraic constant modulus algorithm, IEEE Int. Conf. on Acoust., Speech, and SignalProcess., 2005

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Fonction de cout

� La fonction de cout MM

JMM =

NtXm=1

„E

»“< (zm(k))2 − Rr

”2–

+ E»“= (zm(k))2 − Ri

”2–«

On definit la matrice (2Nt × Nt) de separation reelle T = (t1 . . . tNt ) et lesvecteurs (2Nt × 1) y(k) et y(k) comme :

tn =

„<(wn)=(wn)

«, y(k) =

„<(y(k))

=(y(k))

«, y(k) =

„=(y(k))

−<(y(k))

«Ainsi, l’expression de zn(k) devient :

zn(k) = tTn y(k) + jtT

n y(k), n ∈ {1, . . . , Nt}

38 / 66


Fonction de cout

� Afin d’implementer le critere MM de maniere analytique, ce dernier estreecrit comme un probleme des moindres carres :

JAMMA(z) =1

Ns

NtXm=1

NsXk=1

„“< (zm(k))2 − Rr

”2+

“= (zm(k))2 − Ri

”2«

avec Ns un nombre fixe de symboles transmis.

� En utilisant les proprietes8 du produit de Kronecker, les carres desparties reelles et imaginaires de zn(k) s’ecrivent sous la forme suivante :

<2(zl(k)) = tTl (y(k)yT (k))tl

= (y(k)⊗ y(k))T (tl ⊗ tl)

et

=2(zl(k)) = tTl (y(k)yT (k))tl

= (y(k)⊗ y(k))T (tl ⊗ tl)

exemple pour Nt = Nr = 2

y(k)⊗y(k)) =

0BB@y

1(k).y(k)

y2(k).y(k)

y3(k).y(k)

y4(k).y(k)

1CCA8vec(abH ) = b∗ ⊗ a et vec(ABC) = (CT ⊗ A)vec(B)

39 / 66


Fonction de cout

� On pose Y =“

y(0), . . . , y(Ns − 1)”

et Y =“

y(0), . . . , y(Ns − 1)”

� Soit les matrices P = (Y ◦ Y)T et P = (Y ◦ Y)T de dimension Ns × (2Nt)2

obtenues en utilisant la definition du produit de Khatri-Rao9

� Soit le vecteur dl issu du produit de Kronecker de tl avec lui-meme :dl = tl ⊗ tl de dimension (2Nt)

2 × 1.

Ces notations permettent d’ecrire la fonction de cout MM sous la formesuivante :

JAMMA(dl) =1

Ns

NtXl=1

»‚‚‚Pdl − R.1‚‚‚2

+‚‚Pdl − R.1

‚‚2–

avec R = Ri = Rr et 1 = (1, . . . , 1)T

9A ◦ B = (a1 ⊗ b1 a2 ⊗ b2 . . .)40 / 66


Fonction de cout

� Soit les matrices C et C de dimension (2Nt)2 × (2Nt)

2 :

C =1

NsP

TP− 1

NsP

T1.

1Ns

1T P

etC =

1Ns

PT P− 1Ns

PT 1.1

Ns1T P

� En utilisant une decomposition QR, on peut alors ecrire le critere MMsous la forme suivante :

tl = arg mindl =tl⊗tl‖dl‖=R

NtXl=1

dTl

“C + C

”dl

� On recherche le sous-espace qui contient les vecteurs solutions tl

41 / 66


Recherche du sous-espace contenant la solution


Les matrices C et C sont symetriques et semi-definies positives.

Lemme

dTl

“C + C

”dl ≥ 0, ∀l ∈ {1, . . . , Nt} et ainsi,

arg mindl =tl⊗tl‖dl‖=R

NtXl=1

dTl

“C + C

”dl ⇔ arg min

dl =tl⊗tl‖dl‖=R

dTl

“C + C

”dl , ∀l ∈ {1, . . . , Nt}

Par la suite on pose Nt = 2.

42 / 66



Definition

dimhker

“C + C

”i= 6

Grace au theoreme du rang, rang“

C + C”

= 10 :

rang“

C + C”

+ dim“

ker“

C + C””

= dim(R16),


Dans le noyau de C + C, seul le vecteur 0R16 possede une structure deKronecker.


Soit E , l’ensemble des vecteurs dans R16 ayant une structure de Kronecker :E =

˘P ∈ R16/P = T ⊗ T , T ∈ R4¯

alors E ⊂“

Image“

C + C”∪ {0}

”.

43 / 66


L’ASCMA

� On peut montrer que C = (Γ⊗ Γ)C(Γ⊗ Γ)−1 avec Γ =

„0Nt INt

−INt 0Nt

«� Ainsi, C et C sont similaires et ont ainsi le meme sous-espace image

� Puisque les matrices C et C ont la meme image, ainsi minimiser lafonction

min JASCMA = dTl Cdl , ∀l ∈ {1 . . . Nt}

sous dl = tl ⊗ tl , ‖dl‖ = R

est suffisant pour obtenir les vecteurs solutions tl

Cette fonction de cout correspond au SCM :

JSCM(W) =

NtXm=1

Eh< (zm(k))2 − Rr

i

44 / 66



� On cherche donc le vecteurs dl ∈ Image“

C + C”

qui minimise :(min JAMMA = dT

l

“C + C

”dl , ∀l ∈ {1 . . . Nt}

sous dl = tl ⊗ tl , ‖dl‖ = R

� Les vecteurs dl qui minimisent dTl

“C + C

”dl sont les vecteurs propres

de C + C associes aux plus faibles valeurs propres non nulles

� On cherche a minimiser la fonction de cout JAMMA de maniereadaptative :(

min JAMMA(tl) = dTl (k)

“C(k) + C(k)

”dl(k), ∀l ∈ {1 . . . Nt}

sous dl(k) = tl(k)⊗ tl(k), ‖dl(k)‖ = R

45 / 66


L’AMMA adaptatif

� Recherche des vecteurs propres de C(k) + C(k) : algorithme depoursuite de sous espace (NOOJA) → dl(k |k)

� Satisfaire la contrainte dl(k) = tl(k)⊗ tl(k) :

dl(k |k) = tl(k)⊗ tl(k) = vec(tl(k)tl(k)T )

vec−1(dl(k |k)) = Dl(k |k) = tl(k)tl(k)T

On obtient ensuite tl(k) par :

tl(k + 1) = Dl(k |k)tl(k)

� Dl(k + 1|k) = tl(k + 1)⊗ tl(k + 1) : prediction utilisee par l’algorithmeNOOJA a l’iteration suivante

� Construction de la matrice de separation par colonne :

wlm = tlm + jtl(m+Nt ), l , m ∈ 1, . . . , Nt

Pour eviter l’extraction de la meme source plusieurs fois, W estorthogonalisee a chaque iteration.

46 / 66


Hypotheses de simulations et resultats


� Signaux transmis sur un canal instantane variable (Rayleigh)

� Nt = 2 et Nr = 4

0 500 1000 1500 2000−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

nb échantillons

Gai

n (d

B)

Gain des trajets h11

et h21

, fdT

s=0.0033, K=−∞ dB, RSB=30 dB N

t=2, N

r=4, 4−QAM

Variations du trajet |h11

|

Estimation du trajet |h11

| avec l’AMMA


|


| avec l’AMMA

−5 0 5−505Figure a): Signaux reçus

réel

imag

inai

re

−1 0 1−101Figure b): Signaux transmis

réel

imag

inai

re

−1 0 1−101Figure c): AMMA adaptatif

réelim

agin

aire

−1 0 1−101

Figure d): ASCMA adaptatif

réel

imag

inai

re

−2 0 2−101

Figure e): ACMA adaptatif

réel

imag

inai

re

−1 0 1−101

Figure f): MMA

réel

imag

inai

re47 / 66


TEB et SINR

0 5 10 15 2010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

TEB, fdT

s=0.0011, δ T

s=0, N

t=2,N

r=4, 4−QAM

Es/N0(dB)

TE

B

AMMA adaptatifASCMA adaptatifACMA adaptatifMMA

0 50 100 150 2000

2

4

6

8

10

12

14

SINR, fdT

s=0.0033, N

t=2, N

r=4, SNR=15 dB et une constellation 4−QAM

nb symbolesS

INR

(dB

)

AMMA adaptatifASCMA adaptatifACMA adaptatifSCMA

48 / 66


Conclusion et perspectives

� Proposition de l’AMMA et de l’ASCMA adaptatif construit par extensionde l’ACMA adaptatif propose par Van Der Veen :

Meilleur performances en termes de TEB et SINR lorsque le canal variedans le tempsPoursuite du residu de phase

� Recherche du sous-espace contenant la solution de notre probleme

� Inconvenient : convergence lente avec une constellation ≥ 16-QAM acause de l’algorithme de poursuite de sous-espace

49 / 66







50 / 66


Principe

� Le filtre de Kalman : bonnes performances en termes de poursuite

� Il permet d’estimer et de poursuivre un canal MIMO instantane ouconvolutif

� Dans la litterature101112, il est associe a un egaliseur, permettant ainsid’estimer les symboles transmis sur un canal selectif en temps

� Mais il doit etre initialise par des sequences d’apprentissage(cooperatifs)

Proposition :

Initialiser le filtre de Kalman de maniere aveugle : utilisation de la separationaveugle de sources pour initialiser le filtre de Kalman

10M. Enescu and V. Koivunen, Time-varying channel tracking for space-time block coding, Vehicular Technology Conference, 200211M. Enescu and M. Sirbu and V. Koivunen, Adaptive equalization of time-varying MIMO channels,Signal Processing, 200212C. Komninakis and C. Fragouli and A. H. Sayed and R. D. Wesel, ulti-input multi-output fading channel tracking and equalization

using Kalman estimation, IEEE Transactions on signal processing, 200251 / 66


Le filtre de Kalman

� Rappel : y(k) = H(k)x(k) + b(k)

� Estimateur recursif, il repose sur deux equations :h(k) = Fh(k − 1) + An(k) l’equation d’etaty(k) = X’(k)h(k) + b(k) l’equation de mesure

ouh(k) = vec(H(k)) : le vecteur Nt Nr × 1 d’etat

n(k) et b(k) : bruits blancs gaussiens de dimension Nt Nr × 1 et Nr × 1 etRn = I et Rb = σ2

b I respectivement

X’(k) = INr ⊗`x1(k) . . . xNt (k)

´est une matrice Nt × Nt Nr ou ⊗ represente

le produit de Kronecker

F : la Nt Nr × Nt Nr matrice diagonale de transition

52 / 66


Le filtre de Kalman

� Calcul de la matrice F :

D’apres l’equation d’etat :

Ehh(k)hH(k + 1)

i= FH

D’apres le modele de Jakes13 :

Eˆhm(k)hH

m(k + 1)˜

= J0

“2πf (m)

d Ts

”9>>>>=>>>>; ⇒ f = fnn = J0 (2πfd Ts)

ou J0 represente la fonction de Bessel d’ordre zero de premiere espece

� Calcul de la matrice A :

Rn = Ih(k) = Fh(k − 1) + An(k)Rh = I

9=; ⇒ A =p

1− f 2I

13W. C. Jakes, Microwave mobile communication, NY : Wiley, 197413W. C. Jakes, Microwave mobile communication, NY : Wiley, 197413W. C. Jakes, Microwave mobile communication, NY : Wiley, 197413W. C. Jakes, Microwave mobile communication, NY : Wiley, 1974

53 / 66


Le filtre de Kalman

� Pour estimer le canal h(k) le filtre de Kalman utilise:L’etat precedemment estime h(k − 1)Les signaux recus a l’instant courant y(k)Les signaux transmis a l’instant courant X(k)⇒ utilisation d’un egaliseur

� Algorithme de poursuite du canal :1 Etape de prediction

h (k | k − 1) = Fh (k − 1 | k − 1)

P (k | k − 1) = FP (k − 1 | k − 1) FH + AAH matrice de covariance de l’erreurd’estimation

2 Estimation des symboles X(k) a l’aide d’un egaliseur3 Etape d’estimation

K(k) = P(k |k−1)XH (k)

Rb+X(k)P(k |k−1)XH (k)

e(k) = y(k)− X(k)h (k | k − 1)

h (k | k) = h (k | k − 1) + K(k)e(k)P (k | k) = P (k | k − 1)− K(k)X(k)P (k | k − 1)

54 / 66


Initialisation du filtre de Kalman

� Systemes cooperatifs : utilisation de sequences d’apprentissage

� BSS analytiques par blocs : convergence sur des blocs de taille > N2t

� Utilisation d’une BSS analytiques par blocs sur les Np premiers signauxrecus :

Estimee des Np premiers symboles transmisMatrice de separation W telle que : WH(k)H(k) = I ⇒ estimee du canal de

transmission H(k) =“

WH(k)”†

� Une fois le filtre de Kalman amorce, l’estimee des symboles transmis estobtenue avec un egaliseur

55 / 66




� Signaux transmis sur un canalinstantane variable (Rice)

� Nt = 2, Nr = 4, Np = 10

� fd Ts = 0, 0056, K = 3dB

� Un code d’Alamouti est utiliseen emission

0 50 100 150 200

−10

−5

0

5

Nombre d’échantillons

Gai

n de

h11

et h

1 (dB

)

Gain des raets h11

et h21

, fdTs=0.0056, K=dB, N

s=100,N

p10, E

s/N

0=30 dB

Variations du trajet h11

Estimation du trajet h11

avec KF + BSS

Variations du trajet h21

Estimation du trajet h21

avec KF + BSS

56 / 66


Comparaison filtre de Kalman aveugle et AMMA adaptatif

0 5 10 1510

−3

10−2

10−1

100

TEB, fdTs=0.0056, K=3dB, Np=20, Nt=2, N

r=4, constellation 4−QAM

Es/N0(dB)

TE

B

filtre de Kalman en aveuglefiltre de Kalman avec des symboles pilotesAMMA adaptatif

Canal de Rice

0 5 10 1510

−4

10−3

10−2

10−1

100

TEB, fdTs=0.0056, K=−∞ dB, Np=20, Nt=2, N

r=4, 4−QAM

Es/N0(dB)

TE

B

Filtre de Kalman aveugleFiltre de Kalman coopératifAMMA adaptatif

Canal de Rayleigh

57 / 66


Modele theorique d’une transmission sur des canaux convolutifs

� y(k) =PL

n=0 Hn(k)s(k − n) + b(k) avecL la profondeur du canaly(k) =

`y1(k) . . . yNr (k)

´T le vecteur des Nr signaux recus,

s(k) =`s1(k) . . . sNt (k)

´T les Nt signaux transmis a l’instant k ,Hn, n = 1, . . . , L la matrice canal de dimension Nr × Nt correspondante aunieme retard.

� Par la suite, on considere le vecteur y(k) qui contient Nf + 1 vecteurssignaux recus y(k) :

y(k) = H(k)s(k) + b(k)

avecy(k) =

`yT (k), yT (k − 1), . . . , yT (k − Nf )

´T

s(k) =`sT (k), sT (k − 1), . . . , sT (k − Nf − L)

´T

b(k) =“

bT (k), bT (k − 1), . . . , bT (k − Nf )”T

En supposant les matrices de canal Hn stationnaires sur Nf + 1 echantillons,H(k) =

`H0(k) H1(k) . . . HL(k)

´est la matrice de Sylvester de

dimension (Nf + 1)Nr × (Nf + L + 1)Nt associee a H(k)

58 / 66


La separation aveugle de sources, l’egaliseur et le filtre de Kalman enconvolutif

� Utilisation d’une BSS analytiques par blocs adaptee14 aux canauxconvolutifs :

Nr > Nts(k − l) = W(l)H y(k)

� Utilisation de l’egaliseur DFE en sortie du filtre de KalmanEgaliseur non-lineaire : compose d’ un filtre de retour BDFE et d’un filtredirect FDFEEstime les symboles transmis a l’instant k − l :

s(k − l) = FHDFE−opt (k)y(k) + BH

DFE−opt (k)s(k − l − 1)

ou BDFE−opt(k) = f (H(k), Rb, Rs)et FDFE−opt(k) = f (BDFE−opt(k), Rsy , Ry )

� Filtre de Kalman fonctionnant avec un retard l : estime le canal al’instant k − l

� Prediction du canal a l’instant k : h(k) = Flh(k − l)

14A. Ikhlef and K. Abed Meraim and D. Le Guennec, A new blind adaptive signal separationand equalization algorithm for MIMO convolutive systems, In IEEE Statistical Signal ProcessingWorkshop, 2007

59 / 66


Initialisation du filtre de Kalman

� Utilisation d’une BSS analytiques par blocs adapte au convolutif sur lesNp premiers signaux recus : Estimee des Np premiers symbolestransmis avec un retard l

� Permet au filtre de Kalman de converger vers le canal h(Np − l)

� Une fois le filtre de Kalman amorce, l’estimee du canal est transmise auDFE qui estimera les symboles s(Np − l + 1), utilises par le filtre deKalman a l’iteration suivante pour estimer h(Np − l + 1)

60 / 66




� Signaux transmis sur uncanal de Rice

� L = 2, Nt = 2, Nr = 4, l = 3et Np = 50

0 5 10 1510

−2

10−1

100

TEB, fdT

s=0, K=−∞ dB, Nt=2, Nr=4, 4−QAM

Es/N0(dB)

TE

B

atténuation de puissance de 4,5 dB sur les retards des sous−canaux MIMOaucune atténuation de puissance sur les retards des sous−canaux MIMO

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Filtre de Kalman en convolutif

0 500 1000 1500 2000−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

nb échantillons

Gai

n (d

B)

Gain des trajets directs h11

et h21

, fdT

s=0.0011, K=4,5dB, Ns=2000,Np=50, E

s/N

0=30 dB

Variations du trajet |h

11|


| avec le KF +BSS


|


| avecKF + BSS

0 5 10 15 2010

−3

10−2

10−1

100

TEB, fdT

s=0.0011, K=3dB, Np=50, 4−QAM

Es/N0(dB)

TE

B

0 5 10 15 2010

−2

10−1

100

Es/N0(dB)

TE

B

Symboles estimés par l’ACMA pour initialiser le filtre de Kalman aveugle, Np=50

Filtre de Kalman aveugleFiltre de Kalman coopératif

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Conclusion generale et perspectives

Estimation des sources de maniere aveugle sur canaux fixes et levercertaines indeterminations introduites par la BSS lorsqu’un code STBCest utilise en emission :

� Codes de Tarokh et Alamouti : proposition de criteres associes aucritere de separation

� Codes d’Or : proposition d’un critere de separation permettant de levercertaines ambiguıtes

Perspectives :

� Proposition de nouveaux criteres pour d’autres codes STBC

� Critere propose pour le code d’Or : peut etre adapte aux autres codeslineaires en blocs

� Algorithme propose pour le code d’Or : converge vers des pointsindesirables et non-stationnaires

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Conclusion generale et perspectives

Estimation des sources de maniere aveugle sur canaux instantanes etvariants dans le temps :

� Canaux de Rayleigh : Minimisation des criteres MM et SCM de maniereanalytique ⇒ l’AMMA et l’ASCMA adaptatifs

Gain en termes de TEB et SINR par rapport a l’ACMA adaptatifPoursuite du residu de phase contrairement a l’ACMA adaptatif

Canaux de Rice : Initialisation du filtre de Kalman par la BSS

Perspective : Ameliorer les performances de l’AMMA et de l’ASCMAadaptatifs lorsqu’une constellation ≥ 16-QAM est utilisee en modifiantl’algorithme de poursuite de sous-espaceEstimation des sources de maniere aveugle sur canaux convolutifs etvariants dans le temps :

Initialisation du filtre de Kalman par une BSS adaptee au convolutif

TEB obtenu eleve par rapport a l’instantane aveugle et au convolutifcooperatif

64 / 66


Publications

RevueS. Daumont and D. Le Guennec, ”An analytical multi-modulus algorithm for blinddemodulation in a time-varying MIMO channel context ”, International Journal of DigitalMultimedia Broadcasting, EURASIP, Hindawi, 2009

Conferences internationalesS. Daumont and D. Le Guennec, ”Adaptive Analytical Simplified Constant Modulus Algorithm:A BSS algorithm for MIMO systems with time-varying environments”, European Associationfor Signal Processing (Eusipco), Scotland, Glasgow, August 2009

S. Daumont and D. Le Guennec, ”Adaptive Analytical MMA with time-varying MIMO channelsand diversity in interception context”, IEEE International Conference on Digital SignalProcessing (DSP), Greece, Santorini, July 2009

S. Daumont and D. Le Guennec, ”Blind tracking of time-varying MIMO channel with Alamoutischeme in interception context”,International Symposium on Wireless CommunicationSystems, ISWCS, Island, Rekjavik, October 2008

S. Daumont and D. Le Guennec, ”Blind source separation with order recovery for MIMOsystem and an Alamouti or Tarokh space-time block coding scheme”, IEEE symp. on signalprocessing and information technology, ISSPIT, pp. 437-442, Egypt, Cairo, December 2007

Conference nationaleS. Daumont and D. Le Guennec, ”Separation aveugle de source pour des systemes MIMO etun codage d’Alamouti et de Tarokh”, Majecstic,France, Caen, October 2007

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