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Grundpraktikum WS 04/05

Weight-Constrained Shortes Path :

Teil 1 : Preprocessing

Praktikanten : Hao Li & Tingting Wang

Betreuer : Dr. Gleb Belov

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Überblick

• Problemstellung

• Preprocessing Algorithmus

• Ergebnis

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MotivationMotivation

Problem der kürzesten Wege

Stadt 1Stadt 3

Stadt 2

25€ 30€

70€

Problem der kürzesten Wege unter Ressourcenrestiktion ( RCSPP)

2h 3 h

4 h

Anzahl der Ressourcenarten = 1

Weight Constained Shortest Path Problem

Fahrtzeit <=4

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Teil I: ProblemstellungTeil I: ProblemstellungAllgemeine Beschreibung des WCSPPGegeben: • Graph G = G (V, A) gerichtet , schleifefrei

• cij : Kosten auf dem Bogen (i,j)• wij : Ressourcenverbrauch auf dem Bogen (i,j) • W : maximale verfügbare Ressourcenmengen

Gesucht: einen zulässigen Weg P = (i0, i1, ... , ip )

d.h. den kürzesten Weg bezüglich der Kosten, auf

dem maximal W Einheiten der Ressourcen

konsumiert werden

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Teil I: ProblemstellungTeil I: Problemstellung

WCSPP ( in Standform) :

min!1

1

p

kii kk

c

p

kii WwPwkk

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)(bei

ijij wc ,

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Komplette Preprocessing Methode zur Graphenreduzierung!

Teil II: Preprocessing Algorithmus

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Teil II: Preprocessing AlgorithmusAblauf des Algorithmus

• Schritt 0: Bestimmung von oberer Kostenschranke U; und setze die untere Schranke L=0 ein.

• Schritt 1: Finde kürzesten Weg bezüglich Kosten. (Algorithmus von Dijkstra)

• Schritt 2: Finde kürzesten Weg bezüglich Ressourcenverbrauch.

• Schritt 3: Graphenreduzierung

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Ablauf des Algorithmus anhand

eines Beispiel

Teil II: Preprocessing Algorithmus

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(2 , 5)

(1, 3)

(4 , 3)

(2 , 4)(3, 3)

(2 , 2)

(4 , 2)

(3 , 4)

V1

V2

V3

V4

V5

V6

Kosten Ressourcen

Beispiel : Graph mit 6 Knoten und W = 8

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• Bestimmung der oberen und untere Schranke für die Kosten • U0 = max Ca * ( V -1) +1 = 4 * (5 -1) +1 = 17• Wir setzen U = U0 = 17 L = 0

4

4

Schritt 0 :

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• Finde kürzeste Wege von V1 nach allen Knoten ohne Berücksichtigung der Ressourcenrestriktion mittels Algorithmus von Dijkstra • Bezeichnung :

)(: csi

ci Qc

csiQ

Summe der Kosten auf dem Weg

Schritt 1 :

csiQ

z.B. 3)(: 133 cc Qc

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Knoten Vi (S=V1 )

V2 1

V3 3

V4 3

V5 5

V6 7

• Der Algorithmus von Dijkstra liefert uns :

Schritt 1 (Forts.) :

ciQ1

421

321

531

6421

21

ci

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* hier :

• Überprüfe, ob optimal ist.

Schritt 1 (Forts.) :cQ16

?)( 16 WQw c

ja

Nein *

Optimale Lösung gefunden !!

weiter suchen WQw c 810)( 16

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• Finde kürzeste Wege von allen Knoten nach Endknoten t (=V6) ohne Beachtung der Ressourcenrestriktion ( Dijkstra)

citQ

Schritt 1 (Forts.):

Knoten Vi (t=V6)

V1 7V2 6V3 5V4 4V5 3

citQ

ci

6421

642

653

64

65

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• Finde kürzeste Wege von V1 nach allen Knoten nun bezüglich Ressourcenverbrauch (ebenfalls Dijkstra )• Bezeichnung :

)(: wsi

wi Qw

wsiQ

Gesamte Menge der Ressourcenverbrauche auf dem Weg

Schritt 2 :

wsiQ

• Hier gilt 8)( 16 wQw

Kostenoberschrank zu verbessern

15)( 16 wQcU

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• Untersuche die Optimalität des (zulässigen) Weges• Finde kürzeste Wege von allen Knoten nach V6 bezüglich Ressourcenverbrauch (ebenfalls Dijkstra )

wQ16

Schritt 2 (Forts.) :

witQ

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• Nachprüfen , ob wenn ja , den Knoten Vi und alle mit dem inzidenten Bögen zu entfernen !!

Schritt 3 : Reduzieren des Graphen

?Wwi

wi tsVi ,\

Ressourcen

V2 3 7 10V3 3 5 8V4 6 2 8V5 5 4 9

wi w

i

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(2 , 5)

(1, 3)

(4 , 3)

(2 , 4)(3, 3)

(2 , 2)

(4 , 2)

(3 , 4)

V1

V2

V3

V4

V5

V6

Schritt 3 (Forts.) :

Optimale Lösung gefunden !!!

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Teil III:Teil III: Preprocessing ErgebnisPreprocessing Ergebnis

Ergebnis für „Road_graph_small.txt“ :

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Teil III:Teil III: Preprocessing ErgebnisPreprocessing Ergebnis

Ergebnis für die ersten 10 Knoten

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Teil III:Teil III: Preprocessing ErgebnisPreprocessing Ergebnis

Ergebnis für das gesamte Testdatei

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Ende !!!

Danke für Ihre Aufmerksamkeit !

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