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Teil I : Empirische Eigenwertverteikngand Wigner 's Halbkreisgeseh
\
The men :
1. Wigner 's Halbkmisgesett for die empinische
Eigehwertverteilhug von Mellen symmehischew
Zufallsmehiten
2,
Momeuknmethode fir die sdwachekowegkz( Kowergeuz in Verteilnug ) von Warscheinlichkiitsmapen
150
1. Reellesymmehische Ensembles & empirischetigehwertverteikng
In Folgeudeu : NXN Zufdlsmohizen der Form
H = ¥ A ( Ajk ) jien . . n
"
wobei 1. Ajk talk ZV
, uuabhahgig bis Anf Ajn = Akj2
. EIAJUFO , EfAjv?]= I tfjck
3. snup jsypE#jke] = : re < a teen
' Ajk normdvvkiltBeispidi GOEftp.#uy=ouudEfAju2tf=tt8jkNadSpekwdsehliptsichH
orthogonal diagonal isiern :
FOEOCN ),
da,
... ,diver : H= Otdiegltn ,
...
, in )O
Def : Das Borelmap Ln i - Fy EE Sy auf IR heiptempirische Eigeuwertvvtlilung von H
.
Der ErwartuugswertIn ÷ Ellnf heft Zustaudsdichkmap .
Explizik Form : Fhi fe ECCR )
Lnlflitffdln= In §=
,
fltj ) = In
trfut) ( zafellig ! )
Tnlfliffdln= . .
.
= InEtrfltt
)Beide Mape Ln
,LT Sind W . Mape : Lnh )=InH=1
160
Sci MIR ) :={ W . Mepeanf R }.
Def : Schwede Vwuvvgeuz von µn)cMlR) gegeu pre MAR )
µ w→µ :< ⇒ ffeebhr ) : µ1 f) → elf ) .
Shige,besdrcinkk Fkten
"
Agnivalent data ist Portmanteau Thm nveguzin
Fnatitfotmldx) → FG)=fotµd× ) Verkikhg!
fir alleter,
an deuen Fskhigist . llibug! )
Sak : Wigner 's HalbknisgesehFir obige Zufdlsmahizen gilt :
→to
z
P ( ↳ w-> g) = 1 fast sicheekowegat.
-
Mit off ) : = f.fk ) a) dx, oktzt ✓ ( 4- x4+
.
Wir werdeu nur die schwoichere Ahssegezeigeu
In → 5 kowvgeuz in Mikel
and den Beweis der fast sidcreu Kowergeuthurskitziereh ,
Der Sah bleibtgiltig , falls men Ahnemme 3 nurfi EHZ
fordert .
Die Existent alter Momeukistder Beweismethodegeschwlddt
.) Beispid fir Universal itat !
170
2.
Abshrakk Momeukumethode
Hat µ. MIR ) kompakku Treger ,
dannistdas Map
eihdentig dhrch Seine Momeuk
me (g) it fxepldx) ,le No
R
bestimmt.
( Weiershapsder Approximations sett : libug! )In Allgemeine ist dies fdsch !
Sat Seipe MIR ) mit melp) < a fir allele No.
Besittt die Pokhzhihe e§omelµE÷ linen positive n
Vwuvegeuradihs ,donn ist µ des lintige W .
Mepmitdiesen Momeuten
,
Bewis : Thm.
30.1.
In Billingsley : Prob.
& measure, Wiley 1895
,
Bspe : 1 supp µa [ - RR ] ⇒ men € Re
0 luyerade2. p Standard wormdvvthitwng ⇒ mettle feed! ! lgerade
*. .
' Ee. r ).
@
Salt 1. Seiyu ) CMCR ) Folgemitglichmepigbeschriihkkh
Momenkw : HEINO : snip melt) = : Me < a.
Dann :
µ w→µ ⇒ tee IN.
: me # → melp).
2. Seiyu ) CMHR ) Mapemiteudlicheu Momeuku und
µe MCR ) lihdlnhigdhrch Seine Momeuk beshimmt. Dann ;
the No : melqu) → melp ) ⇒ µnw→ µ .
Benes : 1. iibuug .
2,
Schutt 1 : fhn) ist Sheff Folge ,d. h
.
He > 0 : F Read : the IN : µ ( R ) f-Re ,Re] ) < E
Begriindnug : Chebyscheff - Markov Uuglidhug :
µ I RH - 12,12) ) ⇐ £2 mzfnn ) ¥ fzzm ,( µ ) .
Schlitt 2 ; Sat von Pnhorov
F Teicflge (pm ),
ve Mlk ) : µnµw- v
(vgl . Billingsley ) " Schwede kompaktheit der
Einheitskngel"
@
Schritt 3 : the No : ftp.melpnr. ) = mew )
Begnindug : Wgen melpnn ) → melt) Sind die
Moment melpnu)glichmopig beschrcinkt.
Somit
fdgtdie Bel.
as 1 und Schlitt 2.
Schlitt 4 : µ= v
Begriihdnug ; Einduhgkeibsatt S.
18.
Schmitt 5 : µ→w
µ
Be
grinding:
Seif'n ) beliebigeteilfolge von pn .
Schlitt 1-4 auf pinaugweudt liefrn line
Teilfolgevonpin
'
him mit µ'u→µ .
Alsobesilztjede Teilfdgewwe
gegeu µ Kouvegkk Tlilflge is
@
3. Beweis des Wignerschen Halbknisgsehes via
Momeuknmethode
Momeuk des Wigner 'schen Hdbknis : llibuug! )
fxeotdx ) = { 0 e uugerade
K Cek e gerede
wobei Ce : . ¥ ( He ) Catalan Zahl.
Auperdem : melhj ) = Effxelnldx) ]= fuEftr He]
Die Schweder Vaiawk von Wigner's Sattfolgtsomitans :
lemme :teen
: nhjng In # fh#e) ={°eugeradeCeklgerade
Beweis : o.B. d. A
.
l 21.
In EFHHEI . In # Eftrae ]
= ftp.T?gge=aElAjnjzAjzjs....Ajej. ]
= ¥-52 § EfAj] # s
Abkiirzhugen : j=ljn , ...
, jeijn ) Konvenhoh : jenijn .
@
Via Knoknmenge V={ jn , ...
, je } wud Kankn ljkijknldefiniert j linen Graph en G = ( V
, E)Dieser Graph ist uugnchkt und nichtnotweudigeihfach .
Der Kaukutugj ist line Euler Rudbur,
Somitist 6
ein Euler - Graph ,
Sen'
vcj ) = Ahzahl der verschiedeheh Iudizes In j .
Bsp .N= 9 l= 6
4 .
5
÷ ( 45,6 ,5
,9,9 ,
z )3
6
7
vlj ) = 4a
8g
⇒ * = ¥,÷_4¥*rElAjit
Summeiiber alle Euler Graph en anfr Knokn mite Kahen !
Fall 1 ; tcft1 ⇒
¥52E EfAj]= 01N rift )
jvljfrBegr : Holder Uughichuug let . . .
+ 1e=1
IEFAJII ⇐ II (Etajkjeaithtfnfj.
II. (ret .
re .
Vwmbindorik : # ljlvcjtr } ← ( Nr ) re e Nrre@
Smit : µ¥±l.fi#FfAjI/eRereNrti1 a
Fall 2 : r > £+1Ist G= HE ) ein Euler Graph Anf r= # V Knoknuud
l= # E Kaukumitr >
42+1,
dem gibt es minds tens line
echk, eihfeche Kauk
,
Erihnernug : • Kawhe ist eihfach ,weun es keihe parable
. Kate gibt : # •
,.
, $-edit, falls jktjkt
Be grinding: Behrachk Graph en Gtwie '
) welder church
Losch en der uuechkh Kanter airs Gehbkht.
Sen 's
die Ahzahl der eihfacheh KankninEuler GraphE
';
st ¥ > # V - 1 = r - 1 > t⇒ s > 0
.
eihf .
Kahnmind; doppdte
TSpannbanm -
£
Kaukw abschatthhg
Bemerknug : Allgemeine Kahn man zeigeu:
@
Lemma Si G = ( V. E) ein Euler Graph Anf re # V
Knokh und he # E Kaukn und sei Se IN Mit rifts .
Dann besittt G mihdeskhs ZSH. eihfeeheiechkkankh .
Fir r > ftt gibt es somitmindestenseiheeihfeche ,
echk Kate ljk , jnn } und somit
ElAj ] ¥Efajnjnn ] E[... ]
;0
.
Unabhoingikeit Ahn.
2.
Ahh.
1.
Fall r= £+1 ( d. h.
l - zm grade ! )Die zhr Summe beitragudeu Graph en :
a,
eukaltenkeihceihfaoheuKawteu,
da sonst EfAj]= 0.
b) Sind Baumgrapheh mit verdoppdkh Keuka ,da
- jeder Spann barm r -1=21 Kauku hat,
uud
- die Kaku genial a) nidt eihfach Sind,
54 .
Bsp : j={ 2,5 , 615,9 , 5,2 } 36
e=6 r= 4 728g
Ist j line Euler . Ruudtohr in eihemsolchen@
vvdoppdtenbanmgraphew ,dam :
EFAJT ;IT Elttab ] = 1
Kanter lab }
Uhobliangigkeit
imspennbanm
Ahh .1, vohj
⇒j§g,=±nE#A= # { j1 vcjkeztn }
Waihle r=mHKnown aus { 1,
... ,N } .
Bewachkdie Menge der ierwunelteulplananu ) Baumgrephen
Anf mtt Knoten und m kauteh. Bsp .
m =3
HkIPk¥7dinarsBijekhioh zu Dyck
Pfadewauf {On ,
... ,2m }
Irrfahrt von 0... Zm
,die stets 20 bleibt
.
:.
63=5z
.
,1 1 1
1
2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6 2 4 6
Ahzahl der Dyck
Pfade= Cm
Catalan Zahl ( libuug ! )
@
Somit :
# ljlvljt - EH }= Cez. (Fn) . fztn ) !
pp
Ahtahlderversoh ,
Abfolgeder
Khotenanswahlen Knokn in j
Zhsemmeufassuug der Faille :
leg TEHHe ]= {° eager .de
y Cezl grade
N ( Nh ) :-. A-m )him
¥= 1 �1�
N→N
@
rgihzuugeu und Ahsblick
A) Zur fast sicheren Kowergeuz In Wigner's Satt
Diese fdgt -2,13.
mit Hilf eines Borel Cartelli Arguments
A.emma : teen
.: Efhekntmekn) 12] = 01£ )
Zum Beweis dieses lemme wird EH#e) FIEHHE) ]2
cihulich wie oben aualysiert .
(vgl .
Anderson / Giounnetteitouni : Intro.
to RM, Cambridge 2010)
Aus lemma folgt : He > 0,
A- No i
P ( lmekn) - melon ) 1 > e) ⇐ TEEK.)Y= 01£ )
⇒ µ§ P ( ... ) < a uudmit Borel - Cartelli
somit die fast - sichere Kowergeuz :
nhjmalme( Ln ) - me ( Ln ) 1=0 teen
Mit lemma 5.21und Sett 5.19fdgt die Beh. .
Details : libhng .
@
B) Baudbmik der Momenta method & Alternative n
Mit Hilfe der Momeukumethode zeigt men arch :
a) Wigner Hdbkreisgbeh fir kowplexehemitesche ZM
H = fat A miti
1. Ajk E E uuabhangige ZV bis Anf Ajn=AuT
2. EAµ e 0 EIAJUP = 1 fir j< K
3. ftp.syp ElAjule < a
.
Bsp : GUE
b,
Marcheuko . Pasteur Geoett fir Wishart Ensemble ;
Fir N → a, F- = X kowergivt ↳ fast sicherschwah
gegen 5× hit a ÷ It IT )2,
b=h+rIl2
Fall Azt : 5×1×1=2,÷×fb-x)+Txa)+Fall X< 1 : wie obeu + Atom bei 0
#
Ft ×
1 1
a b
280
Alternative Method : Stieltjes Transformation
S( µ , ⇒ = f
thet.ec
× - z
. charekknsivt pre MCR ) eindmkg• Unkrdeu Ahnahmen 1+2
.( ohne 3. ! ) zeigt
man die fast sichere Kowegeuz :
V. zeet ; Skmt ) → SG,
z )
Details ; T.
Tao, Topics In RMT
,AMS 2012
.
C) Operator norm via Momeukumekode
Idle : Bewaehk Moments l - OC Nd) mit or > 0
Ist HHH a 24 . NE ),
v > 0,
dann
erwarktman :
2- NEHRHN'
] =
Olein"
) or > v
OH ) or . v{# KIHN >
HHHA.
NT} So v .
Details : Eiredil Komlos,
Combination .ca 14981 ) 233-241
Soshnikov,
CMP 20711999 ) 697-733,
