Ingenier´ ıa Mar´ ıtima An´ alisis de Fourier Apuntes de Clase MOS, MDM, AMF Grupo de Din´ amica de Flujos Ambientales, Universidad de Granada. Curso 2012–2013 ´ Indice 1.Introducci´on 1 2. Espectro de energ´ ıa 1 2.1. Diagrama de Amplitudes .................................... 2 2.2. Diagrama de Varianzas ..................................... 3 2.3. Espectro de Energ´ ıa ...................................... 6 3. Series de Fourier 7 3.1. Desarrollo en Serie de senos y cosenos ............................ 7 3.2. Desarrollo en Serie de cosenos ................................. 9 3.3. Desarrollo Exponencial de Fourier .............................. 9 3.4. Ejemplos ............................................ 11 3.4.1. Funci´ on lineal ...................................... 11 3.4.2. Funci´ on paso ...................................... 11 4. An´ alisis espectral de se˜ nales discretas 12 4.1. Acabado de la ventana de datos ................................ 18 4.2. Frecuencia de Nyquist y aliasing ............................... 18 4.3. Un registro o varios registros ................................. 20 4.4. Filtrado ............................................. 21 5. Pr´ actica An´ alisis Espectral 21 5.1. Enunciado ............................................ 21 5.2. Indicaciones pr´ acticas del uso de fft() en Matlab TM ..................... 22 i
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Ingenierıa Marıtima
Analisis de Fourier
Apuntes de Clase
MOS, MDM, AMF
Grupo de Dinamica de Flujos Ambientales, Universidad de Granada.
serie de Fourier, periodo, frecuencia, energıa, espectro.
Bibliografıa Basica
Canada, A., 2002. Series de Fourier y Aplicaciones. Piramide.
Goda, Y., 2010. Random Seas and Design of Maritime Structures. Vol.33 World Scientific Pub. Co.Inc.
Holthuijsen, L.H., 2007. Waves in Oceanic and Coastal Waters. Cambridge University Press.
Recomendaciones para obras marıtimas ROM1.0 (2009).
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1. Introduccion
El analisis espectral es una tecnica de descomposicion en frecuencias de un fenomenofısico, por lo general, complejo. Por ejemplo, cuando se habla de espectro de energıa deun sistema dado se quiere decir distribucion de la energıa del sistema en funcion de lafrecuencia, es decir, a tal frecuencia, tal energıa.
El concepto de espectro fue introducido en el s.XVII en el contexto de ondas lu-minosas, referido a la descomposicion espectral en colores (frecuencias) de un rayo deluz cuando pasa a traves de un prisma. El analisis espectral que aquı desarrollaremospara ondas superficiales proviene originariamente de disciplinas como la Optica y laElectronica. En general, el analisis de Fourier se emplea en ambitos tan diversos comooptica, oceanografıa, sismologıa, electronica, acustica, etc. Citamos aquı a Lord Kelvin:
“Los metodos de Fourier no son solamente uno de los resultados mas hermosos delAnalisis moderno, sino que puede decirse ademas que proporcionan un instrumento in-dispensable de casi todas las cuestiones de la Fısica actual, por reconditas que sean.”
A lo largo de este capıtulo, por concision, nos referiremos a series de elevacionesde la superficie libre η(t) asociadas al oleaje, marea, viento, etc.; pero los desarrollosserıan identicos para otras magnitudes como por ejemplo corrientes, temperatura, opresion atmosferica. El analisis espectral de ondas irregulares es importante para eldiseno de estructuras y para el analisis de procesos y forzamientos. Por ejemplo, en eldiseno de molinos de viento off-shore o de buques portacontenedores, donde la fuerza deloleaje juega un papel importante, es necesario disenar la estructura o un buque de talmodo que su frecuencia natural de oscilacion quede lejos de la banda de energıa dondese concentra la mayor parte de la energıa del oleaje. Con esto se evitan problemasde resonancia que pueden dar lugar a deformaciones o sobretensiones. Para ello, esimportante descomponer el oleaje en sus frecuencias fundamentales y determinar laenergıa asociada a cada una de ellas. Otros ejemplos pueden encontrarse en el analisisespectral de senales oceanograficas, el cual proporciona informacion de que forzamientosson los que controlan el movimiento horizontal de la masa de agua, la generacion deondas internas, etc.
2. Espectro de energıa
Un campo de elevaciones η(x, t) unidimensional medido a una profundidad mediah y asociado a una onda progresiva lineal viene dado por
η(x, t) = a cos(ω t− k x+ δ) , (1)
donde a = H/2 es la amplitud de la onda en cuestion, con H la altura de ola, sise tratara de oleaje, o la carrera de marea, en caso de marea; ω = 2π/T = 2πf es lafrecuencia angular, siendo T el periodo de onda y f la frecuencia lineal; k = 2π/λ es el
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Tabla 1: Valores de los parametros empleados para generar la onda irregular de laFig. 1.
η1 η2 η3 η4 η5
H (m) 5.6 1.2 7.4 6.1 5.1T (s) 9.0 7.0 5.6 2.4 1.1δ (rad) 1 -3 -0.10 0.67 4.01
numero de onda, donde λ es la longitud de onda; y, finalmente, δ es la fase inicial. Lalongitud de onda y la frecuencia no son independientes, estan ligados, segun la TeorıaLineal de ondas, a traves de la ecuacion de ondas por la relacion de dispersion siguiente
ω2 = gk tanh(kh) . (2)
En terminos de la celeridad c se tiene c2 = g/k tanh(kh). Esta ecuacion describe laforma en la cual un campo de ondas propagantes constituido por multiples frecuenciasse separarıan (o se dispersarıan) debido a las diferentes celeridades de las distintascomponentes.
2.1. Diagrama de Amplitudes
Consideremos, por sencillez, que el punto de observacion se encuentra en x = 0,por lo que en este punto η(t) = a cos(ω t + δ). Y para ganar intuicion sobre lo que elespectro de energıa representa observemos la Fig. 1. Esta figura representa una elevacionirregular de la superficie libre (ultimo panel), construida a partir de la suma de cincoondas sinusoidales (paneles 1-5) cada una con diferentes periodos Ti, amplitudes ai yfases δi (las indicadas en la Tabla 1). La elevacion de la superficie libre de la ondairregular se construye como
η(t) =5∑i=1
ηi(t) =5∑i=1
ai cos(ωi t+ δi) , (3)
donde ωi = 2π/Ti.Notese que, supuesto que se trata de ondas progresivas, i.e. de la forma dada por
la Eq. 1, es equivalente disponer de la serie temporal η(t) mostrada en el ultimo panelde la Fig. 1 y los coeficientes consignados en la Tabla 1 (Hi, Ti y δi). Se puede, portanto, pasar del dominio del tiempo al dominio espectral (en frecuencias) sin perdida deinformacion: la relacion es unıvoca1. En general, diremos que la descripcion espectral(en el dominio de la frecuencia) es equivalente a la descripcion temporal. Por ello,
1En este ejemplo sencillo, hemos pasado de los datos espectrales a la descripcion temporal. Esto es,con los datos mostrados en la Tabla 1 hemos pintado la onda irregular de la Fig. 1. El paso inverso, dela serie temporal a los datos espectrales, no es tan sencillo en general y eso es precisamente el objetode este Tema y lo discutiremos mas adelante.
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Figura 1: Tren de ondas irregular (panel inferior) generado por la superposicion de cincoondas lineales (primeros cinco paneles), cuyos valores se encuentran en la Tabla. 1.
una u otra pueden usarse indistintamente. Cuando usar una u otra depende de lo quequeramos estudiar.
Por tanto, en vez de la serie temporal de la Fig. 1 podrıan emplearse los llamadosdiagrama de amplitudes y fases, que no son mas que figuras que representan la amplitudy la fase de la senal frente a la frecuencia a la que se presentan (Fig. 2). En estudiosde oleaje, que es basicamente un proceso estocastico, el interes se centra, sobre todo,en como se distribuye la energıa asociada a la serie temporal, por lo que es habitualno considerar la informacion de la fase. Para reconstruir la serie temporal a partir delespectro sencillamente se suele asignar una fase aleatoria inicial a cada componente. Enotros ambitos, por ejemplo, para determinar los coeficientes de reflexion en una estruc-tura o para el estudio de la propagacion de la onda de marea, es necesario conservar lainformacion espectral de la fase.
2.2. Diagrama de Varianzas
Sin embargo, el diagrama de amplitudes no suele usarse. Mas comun es el diagramade varianzas, que no es mas que una figura que representa, en vez de a(f), 1
2a(f)2. Estacantidad se representa en la Fig. 3. La varianza retiene la informacion de amplitud aiy de cada componente de frecuencia fi. Se denomina de varianzas porque, para unaonda armonica (lineal; Eq. 1) cuya elevacion de la superficie libre sea η(t) se tiene quela varianza σ2
η es precisamente a2/2:
σ2η = Var [η(t)] = Esp
[(η(t)− Esp [η(t)])2
], (4)
3
Figura 2: Diagrama de amplitud para el conjunto de ondas definido en Tabla. 1. ¡Ojo!No son histogramas.
Figura 3: Diagrama de varianzas para la onda irregular dada por la superposicion dearmonicos con parametros dados en la Tabla 1.
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Figura 4: Ejemplo de espectro real (discreto) de una serie de oleaje del Atlantico Norte.
donde Esp es el valor esperado (esperanza matematica o media) y la barra representael promedio temporal de la serie en un periodo Ti = 1/fi. En nuestro caso, al tratarsede una senal armonica, el promedio temporal de η es nulo, por lo que2
σ2η = Esp
[η2(t)
]=
1
T
∫ T
0η2(t) dt =
1
2a2 . (5)
Se emplea el diagrama de varianzas por su relacion directa con la energıa de la onda.La energıa por unidad de area de una onda individual i es, segun la Teorıa Lineal
Ei =1
2ρga2
i =1
8ρgH2
i , (6)
donde ρ es la densidad del agua3, g es la aceleracion de la gravedad y sus unidadesson [E] = MT−2. La energıa de la onda es proporcional a la varianza (a la amplitudal cuadrado), i.e. E ∝ a2/2. Tıpicamente, la energıa asociada a multitud de fenomenososcilatorios, en muy diversas areas, viene dada por una magnitud proporcional a laamplitud de la onda al cuadrado.
El diagrama de varianzas suele convertirse habitualmente en el espectro de varianzas.La densidad espectral de la onda η, Sη(f), es la varianza por unidad de frecuencia conunidades [Sη] = L2T , se define como
Sη(f) =a2/2
∆f, (7)
2Haga uso de la relacion cos2(θ) = (1 + cos(2θ))/2.3La densidad del agua es del orden de 1025 kg/m3. Tengase en cuenta que cambios apreciables de
densidad del agua del mar pueden tener lugar en estuarios, desembocaduras, lagunas costeras y, engeneral, en otros ambientes de transicion.
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donde ∆f es la resolucion espectral. Veremos con mas detalle despues que, parauna serie de datos experimentales, ∆f depende de la duracion del registro de eleva-ciones; concretamente, ∆f = 1/Tregistro, donde Tregistro es la duracion en segundosdel registro de datos. La Fig. 4 representa el espectro para un caso real de oleaje.Puesto que en la mayorıa de las aplicaciones ∆f = cte. no deja de ser una normaliza-cion apropiada del diagrama de la varianza. Esta normalizacion es conveniente puestoque, dada una descomposicion de una onda irregular (como la de la Fig. 1, ultimopanel) en N ondas individuales, verifica que la integral (suma) en todo el dominio es∑N
n=1a2n
2∆f∆f =∑N
n=112a
2n que esta relacionada, como hemos visto en la Eq. 6, con el
contenido energetico total de la serie temporal.
2.3. Espectro de Energıa
Equivocadamente, al espectro de la varianza suele denominarse a veces espectro deenergıa; pero estrictamente hablando el espectro de energıa o la densidad espectral deenergıa debe definirse multiplicando por ρg el espectro de la varianza:
Eη(f) = ρ ga(f)2/2
∆f= ρ g Sη(f) . (8)
Fısicamente, Eη(f) representa la energıa de oscilacion por unidad de frecuencia. Enla practica una onda irregular esta compuesta por un numero infinito de ondas linealescon diferentes frecuencias (Fig. 4). Para que la suma ρ g
∑Nn=1 Sη(f)∆f (una integral
en el paso al lımite) sea finita, ∆f debe tender a cero y el espectro de la varianza debeaproximarse a una curva continua. En tal caso, la energıa total se determina medianteuna integral. El contenido energetico total del registro sera entonces
Eη = ρ g
∫ ∞0
Sη(f) df . (9)
Si estamos interesados unicamente en el contenido energetico de solo una banda delespectro, debera calcularse la misma integral pero cambiando los lımites de integracionen consonancia.
A partir de Sη(f) o de Eη(f) puede derivarse la serie temporal. En la Fig. 4 ladensidad espectral de energıa Sη(f) se divide en N partes por el ancho de banda ∆f .Esto significa que un tren de ondas irregulares se compone de N ondas sencillas, asaber,
η(t) =N∑i=1
ηi(t) =N∑i=1
ai cos(ωi t+ δi) . (10)
La energıa de cada una de las ondas i = 1, 2 . . . , N es
6
ρ g Sη(fi)∆f = ρ g1
2a2i , (11)
y, por tanto, la amplitud es
ai =√
2Sη(fi) ∆f (12)
y frecuencia ωi = 2π/Ti = 2πfi. La Eq. 12 representa una relacion directa entrela descripcion en el dominio de la frecuencia y dominio temporal. A la fase inicial δi,supuesto que estamos trabajando con oleaje y que unicamente disponemos de Sη(f)(amplitudes), se le suele asignar un valor aleatorio inicial δi ∈ (0, 2π). Por tanto, usandola Eq. 10 se puede obtener la elevacion de la superficie libre cuyo espectro de varianzases como el mostrado en la Fig. 4.
Tengase en cuenta que, como las senales tienen energıa finita, el espectro tiene quecaer a cero a altas frecuencias (debe verificar la condicion 0 6
∫∞0 Eη(f) df < +∞). La
parte interesante del espectro, que es donde se concentra la mayor parte de la energıa,reside en una banda de frecuencias reducida.
3. Series de Fourier
La conversion de una serie temporal de elevaciones a espectro de varianzas no esuna tarea tan simple como el ejemplo anterior, donde las componentes que constituyenla senal completa son conocidas (Fig. 3). Habitualmente lo que uno mide en el empla-zamiento es algo similar (mas complicado en realidad) a lo mostrado en el ultimo panelde la Fig. 1. Es decir, no conocemos a priori las amplitudes de las constituyentes oarmonicos ni, en algunos casos, las propias frecuencias caracterısticas. Se requiere, portanto, descomponer una onda irregular dada en funcion del tiempo, η(t), en armonicos.Para ello recurrimos al concepto de serie de Fourier.
3.1. Desarrollo en Serie de senos y cosenos
Una serie temporal real η(t) medida en un punto dado, p.ej. la darsena de un puerto,definida en un intervalo temporal (a, b) puede expresarse en terminos de una serietrigonometrica (de senos y cosenos)4, siempre y cuando asumamos que la funcion η(t)es periodica de periodo T0 = b− a. Como las funciones senos y cosenos estan definidas
4El alumno deberıa recordar que existen otros desarrollos en serie de funciones, como, por ejemplo,los desarrollos en serie de Taylor. Las series de Taylor se desarrollan en torno a un punto dado y losinfinitos coeficientes se obtienen a partir de las derivadas de la funcion en ese punto. La funcion debeser, por tanto, infinitamente derivable en el punto y la convergencia esta limitada a un entorno delpunto en cuestion. Los desarrollos de Fourier, en cambio, no dependen de un punto dado y no son tanexigentes con los requisitos que debe verificar la funcion. Por ejemplo, basta con que la funcion seacontinua para que exista su desarrollo, esto es, que existan sus coeficientes. En general, si una funciones de cuadrado integrable, la serie de Fourier converge casi por doquier.
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en todo R y no solo en (a, b), se asume entonces que la funcion η(t) es determinadafuera del intervalo de muestreo (a, b) como η(t) = η(t+T0), esto es, como una extensionperiodica de η(t) al resto de la recta real. En tal caso, la serie trigonometrica de senosy cosenos tiene la forma
η(t) = a0 +
∞∑n=1
(an cos (2πn t/(b− a)) + bn sin (2πn t/(b− a))) , (13)
donde los an y bn son los coeficientes de Fourier y que estan dados (afortunadamente)por la misma serie η(t) segun
a0 =1
b− a
∫ b
aη(t) dt (14)
an =2
b− a
∫ b
aη(t) cos (2πn t/(b− a)) dt (15)
bn =2
b− a
∫ b
aη(t) sin (2πn t/(b− a)) dt , (16)
para n = 1, 2 . . . La frecuencia angular para cada armonico es ωn = 2πn/(b − a),siendo 2π/(b−a) la frecuencia fundamental. Se deja como ejercicio al lector demostrar,a partir de la Eq. 13, las relaciones dadas5 en Eq. 14. En particular, a0 resulta serel valor (nivel) medio de la serie. La serie de Fourier converge si η y su derivada η′
son continuas casi por doquier6. La relacion entre η y sus coeficientes es unıvoca. Lasuma en este caso no es finita (no hay un numero finito de armonicos), sino infinita(numerable). En los tiempos t donde la funcion es continua, la serie trigonometricaconverge, tal y como cabrıa esperar, al valor η(t). En cambio, en los puntos t0 dondela funcion es discontinua la serie de Fourier (la serie, no η que en t0 es discontinua)converge mas lentamente a 1
2
(η(t−0 ) + η(t+0 )
), siendo η(t−0 ) y η(t+0 ) los lımites por la
izquierda y la derecha, respectivamente. Este resultado se conoce como el Teorema deDirichlet. En los puntos de discontinuidad como t0 se observa que la grafica de la sumaparcial oscila con mayor amplitud en torno a esos puntos.
Una vez calculados los coeficientes del desarrollo de Fourier de senos y cosenos, asaber, los an y bn, es posible determinar el espectro de energıa sabiendo que para cadafrecuencia ωn = 2πn/(b− a) se tiene una energıa
Eη(ωn) = ρ ga2n + b2n2∆f
, (17)
siendo ∆f = 1/(b− a).
5El conjunto {1, cos (ωnt) , sin (ωnt)}∞n=1, donde ωn = 2πn/(b−a), es una base ortogonal de L2(a, b).6Una funcion continua casi por doquier es continua en todo su dominio excepto, como mucho, en
un conjunto infinito numerable de puntos.
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3.2. Desarrollo en Serie de cosenos
La Eq. 13 puede reordenarse del siguiente modo:
η(t) =∞∑n=0
(cn cosφn︸ ︷︷ ︸ cos (ωnt) + cn sinφn︸ ︷︷ ︸ sin (ωnt)
), (18)
siendo ωn = 2πn/(b − a) y habiendo definido las fases φn, que verifican an =cn cosφn, bn = cn sinφn, i.e. cn =
√a2n + b2n y φn = arctan(bn/an). Haciendo uso de
la relacion trigonometrica del coseno de la diferencia se llega al desarrollo en serie decosenos
η(t) =∞∑n=0
cn cos (ωn t− φn) , (19)
mas parecido a la Eq. 1 o, mas concretamente, a la Eq. 3. Esencialmente, la Eq. 19nos viene a decir que la elevacion de la superficie libre de un tren irregular de ondascontinuo puede expresarse como una serie infinita de ondas (progresivas) individuales.Se deja como ejercicio al alumno obtener una expresion de los cn y φn en terminosde η(t), de forma similar a la Eq. 14. La densidad espectral de energıa en este caso de
forma analoga al desarrollo de senos y cosenos (Eq. 17) toma la forma Eη(ωn) = ρ g c2n2∆f .
3.3. Desarrollo Exponencial de Fourier
Frecuentemente es util expresar el desarrollo de Fourier en terminos de numeroscomplejos, con los que es mas sencillo operar que con senos y cosenos y abre las puertasal calculo del desarrollo de Fourier para series discretas o digitales, como las medidasen campanas de campo. Se define ası la expresion compleja del desarrollo de Fourierderivada de la Eq. 13 haciendo uso de la expresion compleja de los senos y cosenos7:
η(t) =
+∞∑n=−∞
dnei ωnt , (20)
donde ωn = 2πn/(b− a), n = 0,±1,±2, . . . y los coeficientes dn se obtienen como
dn =1
b− a
∫ b
aη(t)e−i ωn t dt . (21)
7Para deducir la expresion compleja del desarrollo en serie de Fourier, haga uso de la la expresionexponencial de las funciones seno y coseno (i.e. de la identidad de Euler) en la Eq. 13, a saber, sin(z) =(eiz − e−iz
)/ (2i) y cos(z) =
(eiz + e−iz
)/2. Luego se agrupan los terminos en eiz y e−iz en dos
sumatorias y se realiza un cambio de ındices biyectivo, de n a −n, en la suma cuyas exponencialesllevan en el exponente un signo menos.
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Figura 5: Aproximacion de una funcion paso (panel izquierdo) y una funcion lineal(panel derecho) por la suma parcial de los 20 primeros armonicos de sus respectivasseries de Fourier. Notese la mayor amplitud de las oscilaciones en torno a los puntos dediscontinuidad (fenomeno de Gibbs). Los insets muestran el resultado de la extensionperiodica.
En nuestro caso, la funcion η(t) es una funcion real (p.ej. elevacion asociada al efectode las mareas), esto es, debe haber una relacion entre los coeficientes complejos dn detal modo que η(t) sea, en efecto, real. La relacion es la siguiente:
dn =
an2 − i
bn2 , si n = 1, 2, . . .
a0, si n = 0a−n
2 + i b−n
2 , si n = −1,−2, . . .
(22)
Los valores de dn y d−n deben ser complejo conjugados para que la funcion η(t) seauna funcion real8. La funcion |dn| es, por tanto, una funcion par, simetrica respecto den = 0 (frecuencia nula). Por tanto, el espectro de energıa obtenido a partir de estoscoeficientes (a saber, el espectro cuyos valores son proporcionales a |dn|2 para cada fn,siendo fn = ωn/(2π)) hereda esa simetrıa.
Los terminos para n ≤ −1 se dice, abusando del lenguaje, que se correspondencon frecuencias negativas, aunque las frecuencias que realmente tienen sentido fısicoson las frecuencias positivas. Las frecuencias negativas o frecuencias ωn con n ≤ −1son un artificio al pasar al plano complejo, donde aparecen exponenciales complejasen vez de sinusoides. Sin embargo, cuando se dibuja un espectro con las componentesexponenciales, uno suele referirse indistintamente tanto al ındice como a la frecuenciade esa componente. Diremos entonces no de forma muy rigurosa que ωn = 2πn/(b− a)(para n = 0, ±1, ±2, . . . ) representa la frecuencia de la senal eiωnt. En cambio, en elsentido “trigonometrico” , las frecuencias pueden ser solo positivas y el espectro de lasseries trigonometricas de Fourier existe solo para las positivas.
8De hecho ası estan definidos a partir del desarrollo Eq. 13 segun la deduccion explicada anterior-mente.
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3.4. Ejemplos
Para finalizar esta seccion se presentan dos ejemplos sencillos de calculo de series deFourier de senos y cosenos, i.e. dada una η(t) se obtienen analıticamente los coeficientesan y bn, y se comenta brevemente el llamado fenomeno de Gibbs.
3.4.1. Funcion lineal
En este ejemplo se muestra como el desarrollo en serie de senos y cosenos de lafuncion
η(t) = t, −π ≤ t ≤ π (23)
se aproxima mas y mas a la funcion η(t) al ir anadiendo nuevos terminos, esto es,al incrementar el orden de la aproximacion. En este caso, el desarrollo de Fourier esη(t) =
∑∞n=0 (an cos (n t) + bn sin (n t)) siendo T0 = 2π y con an = 0 y bn = (−1)n−12/n.
La funcion η(t) es impar en el intervalo −π ≤ t ≤ π, luego todos los an = 0. En laFig. 5 se muestra una aproximacion a η(t) (curva discontinua) por la suma parcial delos 20 primeros terminos.
3.4.2. Funcion paso
Al igual que en el ejemplo anterior, se muestra como el desarrollo en serie de senosy cosenos de la funcion
η(t) =
{1, si 0 6 t < 1/2
0, si 1/2 6 t < 1(24)
aproxima mejor la funcion al ir incrementando el numero de terminos. La funcion deeste ejemplo es continua casi por doquier. En este caso η(t) = 1/2+
∑n impar (2/π/n sin (2πn t)).
Vease Fig. 5. En el punto de discontinuidad la serie converge al valor promedio de loslımites por la derecha e izquierda en el punto.
La funcion η(t)− a0 es impar9, luego todos los an = 0. El teorema de Dirichlet nosdice que, en un punto t0 = 1/2 con una discontinuidad de salto, la grafica de la suma dela serie de Fourier pasa por el punto medio en t0, siendo (η(t−0 ) + η(t+0 )))/2 = 1/2. Esoes precisamente lo que se observa en la Fig. 5. Las sumas parciales10 en las cercanıasde los puntos de discontinuidad reducen su velocidad de convergencia, i.e. convergenmas lentamente en los puntos de salto. En esos puntos se observa que la grafica dela suma parcial oscila con mayor amplitud alrededor de t0. Cuando se incrementa elnumero de terminos, las oscilaciones se concentran a ambos lados del punto pero suamplitud no parece decrecer. Esto se conoce como el fenomeno de Gibbs. El tamanode la oscilacion depende de la funcion η(t) en cuestion, pero, para una funcion paso,
9La funcion η(t) no es ni par ni impar.10No la infinita, sino hasta un n0 < +∞ dado.
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Figura 6: Muestreo de la superficie libre a intervalos regulares de Ts = 0,1 s. Lasmuestras de la elevacion, medida respecto a un nivel medio conocido, se indican concuadrados; las lıneas discontinuas solo unen los puntos y no representan ningun dato.Datos tomados en el 2009 en el Golfo de Cadiz.
Gibbs demostro que la oscilacion es del orden de un 9 % del tamano del salto. Tambienaparecen oscilaciones que aparecen en el extremo del intervalo de interes es debido a quela extension periodica de la funcion η(t) a toda la recta real presenta discontinuidadesprecisamente en los extremos del intervalo. Lo mismo se observa en el Ejemplo 3.4.1.
4. Analisis espectral de senales discretas
En la practica, lo normal es que no dispongamos de una senal η(t) continua sensustricto (e.g. elevaciones asociadas a oleaje) en un intervalo finito dado (e.g. el tiempoque dura una campana de campo), sino una senal discreta, resultado de muestrearautomaticamente una magnitud fısica concreta en tiempos tk (mediante sensores depresion, mareografos, AWAC con modulo AST, radar y otros) a intervalos de tiempo∆t. Por sencillez, se asume que las muestras estan equiespaciadas, una muestra cada∆t = tn+1 − tn. Esta situacion es lo usual. El espaciado temporal ∆t entre cada dosmuestras es precisamente lo que se define como periodo de muestreo Ts del instrumento(que produce una muestra cada Ts). Su valor recıproco fs = 1/Ts se define como lafrecuencia de muestreo (vease Fig. 6).
Podrıamos expresar una serie discreta de N muestras de elevacion de la superficielibre como {η(t1), η(t2), . . . , η(tN )}, definida, logicamente, en un intervalo finito. Lasmuestras, en este caso, han sido tomadas en tiempos {t1, t2, . . . , tN}. Por ahorrarnotacion nos referiremos al valor de elevacion observado en tiempo tk como ηk ≡ η(tk).Sin perdida de generalidad, y para seguir conservando la notacion anterior, definimos lostiempos primero y ultimo como a = t1 y b = tN , respectivamente. Vease una muestrade un registro de oleaje en la Fig. 6. Concretamente, la pregunta que nos hacemos enesta seccion es como determinar el espectro de energıa o de varianzas a partir de solola serie discreta.
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Hasta ahora hemos tratado series continuas definidas en intervalos finitos que seaproximan por una suma infinita numerable de funciones armonicas. Sabemos que unafuncion real y continua η(t) tiene como desarrollo complejo la Eq. 20, donde el numerode frecuencias necesario para describir la funcion es infinito numerable. Si la funcionη es discreta, nos adelantamos al afirmar que el numero de frecuencias sera finito y sudesarrollo en exponenciales complejas sera
+∞∑n=−∞
dnei ωnt ≈
+N/2∑n=−N/2
dnei ωntk , (25)
donde N es el numero de muestras y el lımite superior del ındice no excede N/2.El lımite de N/2 puede entenderse a partir de lo mostrado en la Fig. 7. La frecuenciamaxima (o periodo mınimo) que somos capaces de detectar o de describir con una senaldiscreta sera fmax = 1/(2 · ∆t) = (N/2)/(b − a). Esta frecuencia maxima detectableen un analisis de Fourier recibe el nombre de frecuencia de Nyquist. Al igual que enlas series continuas, el lımite inferior esta determinado por la frecuencia fundamental11
fmin = fn=1 = 1/(b−a), que coincide con la resolucion espectral12 ∆f = 1/(b−a) (o enterminos de la frecuencia angular ∆ω = 2π/(b − a)). Es intuitivo que con el muestreode la senal original, no podemos detectar frecuencias mayores a fmax. Por tanto, elespectro, en realidad, esta limitado en banda, siendo la frecuencia de corte superiorfmax y la inferior fmin. Cada frecuencia aparece en fn = 2π/(b − a) · n, en multiplosnaturales de 1/(b − a), la frecuencia fundamental. Por tanto, el ındice comienza13 enn = 1 (fmin = 1/(b−a)) y llega hasta N/2 ((fmax = N/2/(b−a))). En la expresion finalen Eq. 25 los ındices varıan desde −N/2 hasta N/2, consecuencia de haber pasado anotacion exponencial, con frecuencias positivas y negativas. Si hubieramos consideradoel desarrollo trigonometrico, ahı sı que, en efecto, el ındice de la sumatoria irıa desden = 1 hasta N/2:
η(tk) = ηk = a0 +
N/2∑n=1
(an cos(ωntk) + bn sin(ωntk)) . (26)
La Eq. 26 (tambien la expresion exponencial) representa la serie de Fourier que pasapor todos los puntos {(tk, ηk)}Nk=1, donde k = 1 . . . , N . Los coeficientes ya no estarıandados por expresiones integrales (Eq. 14), sino por sumatorias derivadas de discretizardirectamente las integrales:
11Podrıa pensarse que la frecuencia “mınima.es 0, una constante (identificada por a0). Pero cuandose habla de frecuencia fundamental se refiere a la primera frecuencia no nula no nula.
12Notese que para tener una resolucion espectral grande, conveniente para poder resolver y separardos picos proximos en el espectro, es necesario tener registros de oleaje largos, con el b− a mas grandeposible.
13Notese que n = 0 es para el coeficiente reservado para el valor medio de la serie
13
Figura 7: Ejemplo con N = 11. Intervalo (0, 2π) dividido en 10 subintervalos, estoes, Ts = ∆t = 2π/10. El periodo maximo que se puede detectar es Tmax = b − a =T0 = 2π. La frecuencia mınima (excluyendo f = 0) sera fmin = 1/Tmax = 1/(2π). Ala inversa, el periodo mınimo que es capaz de resolver sera, por tanto, Tmin = 2∆t quees 2 · (b− a)/(N − 1), siendo ∆t = (b− a)/(N − 1) el periodo de muestreo. Por tanto,la frecuencia maxima, definida como la frecuencia de Nyquist, es fNyquist = fmax =1/Tmin = (N − 1)/(b− a)/2 = (N − 1)/(4π). La frecuencia de Nyquist es la mitad dela frecuencia de muestreo fs. Y ojo que si la resolucion temporal esta dada por ∆t, laresolucion espectral es ∆f = 1/(b− a).
a0 =1
N∆t
N∑k=1
ηk∆t (27)
an =2
N∆t
N∑k=1
ηk cos(2πnk/N) ∆t (28)
bn =2
N∆t
N∑k=1
ηk sin(2πnk/N) ∆t . (29)
Calcular el espectro de energıa empleando los coeficientes Eq. 27 y siguientes eslento e ineficiente para N grande. Por ello se recurre habitualmente a sofisticados yeficientes algoritmos como la Transformada Rapida de Fourier14 (conocido por FFTpor sus siglas en ingles) para determinar la transformada discreta.
Los programas comerciales que proporcionan los coeficientes de la transformadadiscreta (por ejemplo, MatlabTM) no usan directamente la expresion Eq. 25, sino unamodificacion de esta. Habitualmente expresan el desarrollo entre los ındices n = 0 yn = N − 1, siendo una expresion analoga a la anterior pero con los ındices positivos, ycon valores discretos de k. Puesto que la serie temporal es ahora discreta, es mas apro-
14Reduce la complejidad del algoritmo de orden N2 a N log2(N).
14
Figura 8: Espectro de varianzas para un registro de oleaje observado en el Golfo deCadiz cuya frecuencia de muestreo se establecio en fs = 4 Hz. La frecuencia maximaque se es capaz de resolver (frecuencia de Nyquist) es fmax = N/(2Ts) = 2 Hz, la mitadde la frecuencia de muestreo a la que estaba programado el equipo.. En esta figura solose muestra el resultado para frecuencias positivas. Las frecuencias negativas aparecenpara n ≤ 1 y serıa la imagen especular hacia la izquierda de n = 0 de la curva mostrada.Esto ultimo es consecuencia de la simetrıa par de los coeficientes dn (la serie es real).
piado escribir la expresion anterior con la notacion definida antes para series discretas15
sustituyendo los valores de tk y ωn
ηk = η(tk) =
+N/2∑n=−N/2
dnei 2πnk/N , (30)
El desarrollo discreto Eq. 30 puede separarse en frecuencias positivas y negativasde la siguiente forma
ηk =
+N/2∑n=−N/2
dnei 2πnk/N = d0 +
+N/2∑n=1
dnei 2πnk/N +
−1∑n=−N/2
dnei 2πnk/N . (31)
En la ultima sumatoria podemos cambiar n → −n sin perdida de generalidad,resultando16
+ a, donde k = 1, . . . , N . Sin embargo, el anadir ala discusion al termino en a, solo anade una fase que es absorbida por los coeficientes dn. Al efectuar|dn|2 esa fase no contribuye al espectro.
16Se verifica que, para un n dado, ω−n = −2πn/(b− a) = −ωn.
15
ηk = d0 +
+N/2∑n=1
dnei 2πnk/N +
N/2∑n=1
d−ne−i 2πnk/N . (32)
Ahora realizando el cambio n→ N − n para la sumatoria de frecuencias negativasse tiene
ηk = d0 +
+N/2∑n=1
dnei 2πnk/N +
N−1∑n=N/2
dn−Ne−i 2π(N−n)k/N , (33)
pero e−i 2π(N−n)k/N = ei 2πnk/N , puesto que k es un numero entero. Por tanto, lassumas anteriores pueden juntarse definiendo nuevos coeficientes gn
ηk =N−1∑n=0
gnei 2πnk/N , (34)
donde
gn =
dn, si n = 1, 2, . . . , N/2− 1
a0, si n = 0
aN/2, si n = N/2
dn−N , si n = N/2 + 1, . . . , N − 1 .
(35)
El valor gN/2 = dn + dn−N y por la simetrıa de los dn, se tiene el valor mostradoen Eq. 35. La Fig. 9 (panel inferior) muestra el modulo de los gn de la serie de oleajeen funcion de la frecuencia mostrada en el panel superior de la misma figura. Loscoeficientes se han determinado haciendo uso de la funcion de MatlabTM fft() (veasePractica de Analisis Espectral en la Seccion 5) sobre una serie de datos de oleaje{tk, ηk}Nk=1 registrados en la desembocadura del estuario del Guadalquivir durante T0 =b − a = 7 min (Fig. 9). Se ha aplicado una ventana de datos (en la Seccion 4.1 severa que significa esto) para hacer continua en a y b la extension periodica a R delintervalo (a, b). El orden de salida de los coeficientes para cada n dados por MatlabTM
no son consecutivos y se especifican indican en la propia Fig. 9.Al hacer el cambio de ındices de n → −n y luego n → N − n en la suma de las
frecuencias negativas, el espectro es ahora simetrico en n = N/2. La parte para n > N/2es la que antes se correspondıa con las frecuencias negativas (ındices n ≤ −1). A efectospracticos, la relacion entre los coeficientes dn, dados por la Eq. 35, y los proporcionadospor la funcion propia de MatlabTM es la indicada por la Eq. 41, en Practica de AnalisisEspectral (Seccion 5).
16
Figura 9: Panel superior: Serie observada de datos de oleaje en el Golfo de Cadiz. Laduracion del registro que aquı se muestra es de 7min. Panel inferior: Modulo de loscoeficientes gn (Eq. 20 obtenidos mediante la fft() de Matlab. No se muestra, pero seindica, el valor d0, que es el primer valor en el eje de abscisas, este es, el valor a frecuencianula n = 0 y que se corresponde con el valor medio de la serie temporal que, en estecaso, es del orden de 15,016m. Incluye aliasing. En este caso ∆f ≈ 2,38 · 10−3s−1.
17
Figura 10: Efecto de la ventana de datos, η′ = η ·W .
4.1. Acabado de la ventana de datos
El acabado se refiere al ajuste a cero de los extremos de la ventana de datos. Laexistencia de un desarrollo de Fourier para la funcion η(t) requiere que esta sea unafuncion periodica en (a, b). Si no es periodica la funcion, como es habitual en los re-gistros experimentales, se observan oscilaciones espurias en los extremos del intervaloa causa del fenomeno de Gibbs (Ejemplos 3.4.1 y 3.4.2). Para evitar esto, suelen mo-dificarse ligeramente datos para que la extension periodica a R “enganche”bien en losextremos del intervalo, cumpliendose entonces la condicion de periodicidad en (a, b).La modificacion se lleva a cabo con la ayuda de una ventana de datos. Una funcionventana habitual es la siguiente:
w(t) =
12 (1− cos(πt/(αT0))) , si 0 ≤ t ≤ αT0
1, si αT0 < t < (1− α)T0
12 (1 + cos(π(t− (1− α)T0)/(αT0))) , si (1− α)T0 ≤ t ≤ T0 ,
(36)
Donde α = 1/10 es la fraccion de intervalo T0 afectada por la ventana. Es posiblereducir aun mas el transitorio de 0 a 1 en los contornos modificando el valor de α. Laventana de datos se emplea para transformar la serie temporal η(t), pasando a tener unanueva serie η?(t) = η(t) · w(t) que cumple la condicion de periodicidad en el intervalode medida (a, b). El efecto de la ventana puede visualizarse en la Fig. 10.
4.2. Frecuencia de Nyquist y aliasing
Como hemos visto, en la practica, la senal registrada de oleaje, marea, etc. (que esuna senal digital) esta discretizada al haber sido obtenida muestreando uniformemente
18
con Ts la elevacion de la superficie libre (analogica). Para las aplicaciones de oleaje elintervalo de muestreo suele ser del orden de o inferior a 0,5 s. Tambien hemos vistoque para series de datos discretas, sus correspondientes series de Fourier se presentanentonces en forma de sumas finitas. Aparte de la perdida de informacion inherente (yesperada) a la discretizacion17 existe un error (denominado error de aliasing) que noes tan evidente.
Considere una senal armonica monocromatica de frecuencia f1 muestreada unifor-memente a intervalos Ts. Los puntos medidos con un periodo de muestreo Ts puedenno caracterizar unıvocamente a la senal de frecuencia f1, pues es posible que otra senalf2 de mayor frecuencia tambien pase por esos mismos puntos en los mismos instantesde tiempo. Basta considerar por ejemplo un periodo de muestreo Ts = 1/(f1 + f2). Portanto, el analisis de Fourier que emplea solo los puntos muestreados, no sera capaz dedistinguir entre una y otra frecuencia18. La consecuencia en el dominio de la frecuenciaes que la energıa de la frecuencia mas elevada f2 se anade a la energıa de la frecuenciamenor f1 (vease Fig. 11). De hecho, es como si la distribucion de energıa “se reflejara”en la frecuencia maxima detectable en un analisis de Fourier (y sus multiplos), denomi-nada, como hemos visto anteriormente, frecuencia de Nyquist19 (la que antes definimoscomo fmax), fNyquist = fmax = fs/2. La energıa a frecuencias altas (no muestreadas)aparecen a otras frecuencias de aquellas a las que deberıa, i.e. bajo un “alias”. El errorde aliasing produce un error del 100 % en torno a la frecuencia de Nyquist, tal y comose puede observar en la Fig. 11.
El error de aliasing siempre esta presente en datos oceanograficos aunque no sueleser crıtico, puesto que la energıa del espectro cae rapidamente a cero a altas frecuencias.No obstante, la unica solucion para evitarlo es seleccionar en el dispositivo de medidauna frecuencia de muestreo lo suficientemente alta, mucho mayor que las frecuenciasen las que estamos interesados. Para medidas en el mar, tıpicamente fNyquist = 1 Hz,que se corresponde con Ts = 0,5 s, pero claramente es necesario considerar un periodode muestreo aun menor para evitar el aliasing. Se puede mostrar mediante un analisisriguroso en terminos de transformadas de Fourier que el error de aliasing es debido a larepeticion periodica en el dominio de la frecuencia del espectro verdadero. Considerandoque la senal muestreada es
ηs(t) = η(t)∞∑
n=−∞δ(t− nTs) , (37)
donde δ es una distribucion delta de Dirac. Haciendo uso del desarrollo de Fourierde la δ, que es
17Las senales reales no estan limitadas en banda, i.e. estan constituidas por infinitas frecuencias.18Este efecto tambien aparece cuando observamos un rueda girar en sentido inverso al real, tanto con
luz estroboscopica (o a traves de un monitor o pantalla de television) o con luz continua. La respuestaparece estar en el funcionamiento del sistema conjunto ojo-cerebro. Otro ejemplo es el de la frecuenciade refresco de los monitores.
19El concepto de frecuencia de Nyquist significa que los coeficientes de Fourier {an, bn} contienen dospartes. La primera parte, n = 0, . . . , N/2 − 1, representa las componentes verdaderas (las frecuenciasfısicas), mientras que la segunda parte n = N/2, . . . , N − 1 son las componentes “plegadas” (aliasing).
19
Figura 11: Error de aliasing. La cola plegada contribuye al espectro resultante dandolugar a una amplitud no real. Para recuperar la senal temporal original deberıamos efec-tuar una transformacion inversa, pero solo de las frecuencias hasta fNyquist. El espectroresultante de eliminar el resto de frecuencias (tras un filtrado paso baja) esta distor-sionado por dos razones: (1) se pierde la cola para f > fNyquist y (2) la misma colaaparece invertida, o plegada sobre el espectro a la frecuencia fNyquist.
∞∑n=−∞
δ(t− nTs) =1
Ts
∞∑n=−∞
eiωst , (38)
con ωs = 2π/Ts, resulta
ηs(t) =1
Ts
∞∑n=−∞
η(t) eiωst . (39)
Aplicando la transformada a ambos miembros de la igualdad se llega a
ds(ω) =1
Ts
∞∑n=−∞
d(ω − nωs) , (40)
que es una repeticion de espectros cada fs, como se muestra en la Fig. 11. Si la senalesta limitada en banda (i.e. que tiene un espectro acotado superiormente en fNyquist)se evita el solape (aliasing) muestreando a fs = 2fNyquist. Si la senal no esta limitadaen banda, como ocurre en realidad, la unica solucion es incrementar la frecuencia demuestreo para no afectar las frecuencias de interes.
4.3. Un registro o varios registros
El hecho que usualmente se disponga de un solo registro de datos de oleaje parallevar a cabo un analisis espectral, implica que la varianza se estima solamente a partir
20
de una unica amplitud a2n/2 en vez de Esp(
{a2n/2}
). Esta suele ser una estimacionburda20, observandose un espectro muy ruidoso, como ocurre en la Fig. 8.
Lo optimo es promediar varios (muchos) registros de oleaje independientes, i.e.realizar un promedio en el sentido de colectividades21 o, con un registro de datos losuficientemente largo, realizar un particion de N0 intervalos que no solapen (de longitud
(b − a)/N0) y calcular el promedio de los (a(k)n )2/2 en cada subintervalo k. Esto es,
calcular 〈a2n/2〉 = 1
N0
∑N0k=1(a
(k)n )2/2. Con esto reducimos el error en la estimacion a
100 %/√N0, pero a costa de reducir la resolucion espectral a N0 · ∆f ′. Por tanto, se
requiere en todos los casos un compromiso entre la resolucion espectral y el error en laestimacion.
4.4. Filtrado
A veces interesa obtener la serie temporal asociada exclusivamente al oleaje, sepa-rada de otras componentes, como la marea (o al reves), para, por ejemplo, estimar eltransporte de sedimentos asociada a una u otra. Para ello se recurre a Filtrados Pa-so Baja (“deja pasar”todas las componentes con frecuencias comprendidas entre 0 yfsuperior), Alta (“deja pasar”todas las componentes con frecuencias mayores a finferior)o Banda (“deja pasar”todas las componentes con frecuencias comprendidas entre finferior
y fsuperior), segun sea el caso. En definitiva, los filtrados eliminan de una senal dada lascomponentes correspondientes a un conjunto de frecuencias.
5. Practica Analisis Espectral
5.1. Enunciado
En esta practica se determinara el espectro de amplitudes, de la varianza y deenergıa de una senal de oleaje registrada en el Golfo de Cadiz. Se recomienda el uso deMatlabTM para el desarrollo de esta y subsiguientes practicas22.
1. Elimine la cabecera del archivo ’oleajeAWAC.dat’ y cargue los datos del archivoen el entorno MatlabTM mediante la instruccion load().
2. Represente las elevaciones (dadas en metros) en funcion del tiempo (s) mediantela instruccion plot(). Para ello tenga en cuenta que la frecuencia de muestro fsdel instrumento era fs = 4Hz, es decir, que tomaba 4 muestras por segundo.
20Un registro lo suficientemente largo no soluciona esto, puesto que al incrementar (b− a) se reduce∆f , pero en cada intervalo de anchura ∆f hay un unico dato a2n/2 y el error, que es proporcional aσ/√N = σ (una unica muestra N = 1) puede ser grande.
21Holthuijsen lo llama quasi-ensemble average.22Octave/MatlabTM es un entorno versatil que integra potentes herramientas de calculo numerico
y simbolico, visualizacion y programacion de alto nivel y es ampliamente utilizado en dentro y fueradel ambito ingenieril tanto a nivel universitario como profesional. La Universidad de Granada disponede Licencia Campus para MatlabTM y Octave es un interprete de software libre para el lenguaje deMatlab. Este permite ejecutar la mayorıa de los programas desarrollados para Matlab sin tener quehacer costosas modificaciones en el codigo fuente ni la necesidad de adquirir una licencia.
21
3. Haciendo uso de la funcion de MatlabTM fft() determine (a) el espectro de ampli-tudes, (b) espectro de la varianza y (c) espectro de energıa de la senal de oleaje.En el apartado siguiente se dan unas instrucciones basicas para relacionar loscoeficientes proporcionados por la funcion fft() con los coeficientes del desarrollode Fourier.
4. Una vez obtenidos los espectros, ¿sabrıa decir a que frecuencia se corresponde laamplitud maxima? ¿Sabrıa identificar su origen?
5. (Opt.) Realice un Filtrado Paso-Baja de la senal con una frecuencia de cortefc = 0,1215 Hz. Compare la senal original con la senal filtrada en el dominio deltiempo. Explique para que podrıa ser util un filtrado.
6. (Opt.) A partir del espectro calculado (por ejemplo, el de amplitudes) reconstruyala senal original η(t) en el dominio del tiempo
a) usando la funcion de MatlabTM ifft().
b) sumando uno a uno todos y cada uno de los terminos del desarrollo deFourier. Emplee para ello una estructura de programacion iterativa (ciclofor).
5.2. Indicaciones practicas del uso de fft() en MatlabTM
Como hemos comentado a lo largo de la leccion, para determinar los coeficientesde Fourier haremos uso Transformada de Fourier Rapida. La funcion de MatlabTM querealiza el calculo se denomina fft() y, para la transformada inversa, ifft(). El unicotrabajo duro, por tanto, sera saber cuales son las entradas y salidas de estas funciones.MatlabTM hara el calculo por nosotros.
La funcion fft() recibe como entrada la serie temporal discreta {(tk, ηk)}Nk=1 quequeremos analizar, definida en un intervalo temporal (a, b), con N valores y muestreadauniformemente con periodo de muestreo Ts; y produce como salida unos coeficientesagrupados en un vector de numeros complejos G, cuyos coeficientes son, segun la no-tacion de Matlab, G(n), donde n = 1 . . . N . Estos coeficientes estan relacionados conlas amplitudes de cada frecuencia. El orden de salida de esos coeficientes es como elque se muestra en la Fig. 9, a saber, desde G(1) hasta G(N/2 + 1) los coeficientes secorresponden con las frecuencias positivas y los coeficientes G(N/2 + 2) . . . G(N) conlas frecuencias negativas. La relacion entre los coeficientes G(n) que produce la funcionfft() y los coeficientes an y bn del desarrollo de Fourier es la siguiente:
a0 ←1
NG(1) para n = 1
an−1 ←2
Nreal(G(n)) para 2 6 n 6 N/2 + 1
bn−1 ← −2
Nimag(G(n)) para 2 6 n 6 N/2 + 1
(41)
22
donde real(G(n)) e imag(G(n)) representan (tambien en MatlabTM), respectiva-mente, la parte real e imaginaria del coeficiente G(n). A la derecha de la flecha se sigueuna “notacion MatlabTM”, con un vector de coeficientes G, cuyos ındices comienzan en1, no en 0 como en los desarrollos matematicos previos. A la izquierda de la flecha, loscoeficientes son los del desarrollo de Fourier discreto Eq. 26. Por tanto, como se mues-tra en la ecuacion anterior, hay que dividir los coeficientes que proporciona la fft() deMatlabTM por N , el numero de muestras. Definiendo g(n) ≡ G(n)/N , vemos que g(1)es siempre real y coincide con el a0 del desarrollo de Fourier, que representa el valormedio de la serie analizada. El resto de coeficientes sera, en general, complejo y, comose puede comprobar en la relacion Eq. 41, se cumple que g(n)→ (an−1− i bn−1)/2 para2 6 n 6 N/2 + 1 (y g(n)→ (an−1 + i bn−1)/2 para N/2 + 2 6 n 6 N).
El vector que contiene las componentes del espectro de energıa (esencialmente eldado por Eq. 8), por tanto, se calcula como
E(1, . . . , N/2 + 1) =ρg
2∆f·[a2
0, a21 + b21, . . . , a
2N/2+1 + b2N/2+1
], (42)
siendo ∆f = 1/(b − a) la resolucion espectral (la espaciado entre cada frecuencia)que coincide con la duracion en segundos del registro de datos.
