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TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD
TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVABILIDAD
2.4.1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
2.4.2. Extremos locales de una función
2.4.3. Intervalos de concavidad y convexidad
2.4.4. Optimización de funciones
2.4.5. Regla de L’Hôpital
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Dada una función RR :f definida en un intervalo ),( ba , diremos que: a) f es estrictamente creciente en (a,b) si para todos los pares de valores
21, xx de dicho intervalo se verifica que )()( 1212 xfxfxx . b) f es estrictamente decreciente en (a,b) si para todos los pares de valores
21, xx de dicho intervalo se verifica que )()( 1212 xfxfxx . c) f es creciente en (a,b) si para todos los pares de valores 21, xx de dicho intervalo se verifica que )()( 1212 xfxfxx . d) f es decreciente en (a,b) si para todos los pares de valores 21, xx de dicho intervalo se verifica que )()( 1212 xfxfxx .
EJEMPLO. Analizar el crecimiento y decrecimiento de la función que tiene por gráfica:
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.1. INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Sea )(xf una función continua y derivable en el punto de abscisa 0x . Si 0)(' 0 xf , entonces la función )(xf es estrictamente creciente en 0x . Si 0)(' 0 xf , entonces la función )(xf es estrictamente decreciente en 0x . Si 0)(' 0 xf , entonces la función )(xf tiene un punto crítico en 0x . TEOREMA DE MONOTONÍA Sea )(xf una función continua y derivable en el intervalo ),( ba : Si 0)(' 0 xf para todo ),(0 bax , entonces la función )(xf es estrictamente creciente en ),( ba . Si 0)(' 0 xf para todo ),(0 bax , entonces la función )(xf es estrictamente decreciente en ),( ba .
Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. a. Calculamos el dominio D de definición de la función. b. Analizamos la continuidad y derivabilidad de la función en D. c. Obtenemos los valores kxxx ,...,, 21 que anulan la derivada de la función, es decir, resolvemos la ecuación 0)(' xf y buscamos aquellos puntos en los que la función no es derivable (puntos críticos de la función) d. Eliminamos del dominio los puntos que anulan la derivada y los puntos en los que la función no es derivable y obtenemos un conjunto de intervalos en los que el signo de la derivada permanece constante. e. Estudiamos el signo de la función derivada en cada uno de los intervalos obtenidos. f. La función será creciente en los intervalos en los que la derivada es positiva y decreciente en aquellos en los que la derivada es negativa.
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.1. INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
EJEMPLO:
1. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de xexxf 2)(
2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 9
4)(
2
xxf
EJERCICIOS:
Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:
a) 21)(
x
xxf
b) 3159)( 23 xxxxg
c) x
exh
x
)(
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.1. INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Una función f tiene un mínimo local o relativo en 0x si existe un entorno de centro 0x , ),( 00 hxhx , tal que para todo punto x perteneciente a dicho entorno se verifica
que )()( 0xfxf Una función f tiene un máximo local o relativo en 0x si existe un entorno de centro 0x ,
),( 00 hxhx , tal que para todo punto x perteneciente a dicho entorno se verifica que )()( 0xfxf
Sea RRf : diremos que )(0 fDomx es un punto crítico de f si se verifican una de las dos siguientes condiciones: i) La función es derivable en 0x y 0)(' 0 xf ii) La función no es derivable 0x .
EJEMPLO: f(x)=|x|
TEOREMA. Si 0x es la abscisa de un extremo local de f , entonces 0x es un punto crítico de f .
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.2. EXTREMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA: Sea 0x un punto crítico de f entonces diremos que la función: - Tiene un máximo local o relativo en el punto de abscisa 0x si se verifica que la
función es creciente en el intervalo ),( 00 xhx , y decreciente en el intervalo ),( 00 hxx , para cierto 0h .
- Tiene un mínimo local o relativo en el punto de abscisa 0x si se verifica que la función es decreciente en el intervalo ),( 00 xhx , y creciente en el intervalo
),( 00 hxx , para cierto 0h .
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea 0x )( fDom tal que 0)(' 0 xf y existe )(" 0xf entonces: Si 0)(" 0xf f tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa 0x . Si 0)(" 0xf f tiene un máximo relativo en el punto de abscisa 0x
EJEMPLO: Obtener los extremos locales de las funciones APLICANDO si es posible cada
uno de los siguientes criterios: a) 35 53)( xxxf b) 1)( 2 xxg
EJERCICIOS. Halla los extremos locales de las siguientes funciones:
a) x
exf
x
)( b) 4)( 2 xxg c) 2
)( xexh
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.2. EXTREMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Sean )(xf una función, ),( 00 yx un punto perteneciente a su gráfica y )(xr la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función por dicho punto: Diremos que f es cóncava en el punto ),( 00 yx si la recta tangente está por encima de la gráfica en las cercanías de 0x , es decir, existe un entorno ),( 00 xx tal que para todo ),( 00 xxx se verifica que )()( xrxf (Figura 1) Diremos que f es convexa en el punto ),( 00 yx si la recta tangente está por debajo de la gráfica en las cercanías de 0x , es decir, existe un entorno ),( 00 xx tal que para todo ),( 00 xxx se verifica que )()( xrxf (Figura 2). Diremos que f tiene un punto de inflexión en el punto ),( 00 yx si la recta tangente cambia de posición, es decir, en las cercanías de 0x por la izquierda la tangente toma una posición diferente respecto de la curva que en las cercanías de 0x por la derecha (Figura 3).
FIGURA 1 FIGURA 2 FIGURA 3
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.3. INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Sea )(),( fDomba : a) Diremos que ),( ba es un intervalo de concavidad de la función f si para todo
),( bax la función es cóncava en x . b) Diremos que ),( ba es un intervalo de convexidad de la función f si para todo
),( bax la función es convexa en x .
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.3. INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Si fxf 0)(" 0 es convexa en 0x . Si fxf 0)(" 0 es cóncava en 0x . Si 0)(" 0 xf y el signo de )(" 0 xf es distinto al signo de )(" 0 xf (siendo muy pequeño) entonces f tiene un punto de inflexión en 0x .
Por ejemplo, estudiemos a continuación los intervalos de concavidad y convexidad de la
función 35 53)( xxxf .
UTILIZAMOS EL PROCEDIMIENTO SIGUIENTE: 1) Calculamos la derivada segunda: 2) Hallamos los valores en los que se anula la derivada segunda: 3) Con los valores que anulan la derivada segunda y el dominio, construimos los intervalos en los que el signo de la derivada segunda se mantiene constante: 4) Analizamos el signo de la derivada segunda en dichos intervalos por medio de una tabla: 5) Obtención de los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión. EJERCICIOS: Estudia los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de las siguientes funciones:
a) 2
)( xexf b) 9)( 2 xxg C) 21)(
x
xxh
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.3. INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Sea RRDf : y sea Dx 0 . Diremos que: f tiene un máximo global o absoluto en 0x si )()( 0 xfxf , para todo Dx f tiene un mínimo global o absoluto en 0x si )()( 0 xfxf , para todo Dx
Si la función es continua en el intervalo ba, , entonces el máximo y mínimo absoluto se encuentra entre los puntos críticos de la función y los puntos extremos del intervalo a y b .
EJEMPLOS.
1) Obtener los máximos y mínimos absolutos de las siguientes funciones:
A) 2)( xxf definida en el intervalo 2,1
B)
02
04)(
xx
xxxf y queremos obtener el máximo y mínimo globales en el intervalo
2,2
2) Problema de optimización. Un granjero tiene 80 m de malla para realizar un corral
rectangular junto a un lado del establo que tiene 100 m de largo. ¿Qué dimensiones
deberá tener el corral para que el área que encierra sea máxima?
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.4. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1) Calcula el máximo y mínimo global de las siguientes funciones en los intervalos indicados:
a) xxxf 2)( 3 en 1,2 b) |3|)( xxg en 4,0
c) xxh )( en 2,1 d) 2)( 5 xxxi en 1,1
2) Halla dos números enteros positivos cuyo producto sea 16 y tal que su suma sea mínima.
3) Una empresa produce x unidades de un cierto bien a un precio de x90 euros por
unidad. Si los costes de producción vienen determinados por la función xxC 30100)( ,
determinar el número de unidades que tendrá que producir para obtener un beneficio
máximo.
4) Una plataforma petrolífera está 2 km mar adentro y la refinería a 4 km al sur en la
misma costa. El coste del metro de oleoducto es de 2.000 euros si este se fabrica en
tierra firme y el doble si se construye en el mar. ¿Cuál es el trayecto que debe tener el
oleoducto para minimizar los costes?
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.4. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES: EJERCICIOS.
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Sean f y g dos funciones derivables en el intervalo ),( 00 hxhx tales que:
0)(lim0
xfxx , 0)(lim
0
xgxx . Si existe
)('
)('lim
0 xg
xf
xx entonces el
)(
)(lim
0 xg
xf
xx existe y se verifica
que: )(
)(lim
0 xg
xf
xx )('
)('lim
0 xg
xf
xx.
EJEMPLO: 23
12lim
3
2
1
xx
xx
x
Sean f y g dos funciones derivables tales que 0)(lim
xfx
y 0)(lim
xgx
. Si existe
)('
)('lim
xg
xf
x entonces
)(
)(lim
xg
xf
x existe y se verifica que:
)(
)(lim
xg
xf
x )('
)('lim
xg
xf
x .
EJEMPLO:
1
1ln
1
lim
x
xx
x
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.5. REGLA DE L’HÔPITAL
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Indeterminaciones tipo
.
Sean f y g dos funciones derivables tales que
)(lim0
xfxx y
)(lim
0
xgxx . Si existe
)('
)('lim
0 xg
xf
xx
entonces )(
)(lim
0 xg
xf
xx existe y se verifica que:
)(
)(lim
0 xg
xf
xx )('
)('lim
0 xg
xf
xx.
Por ejemplo, )(23
lim2
xe
xxxx
Indeterminaciones tipo 0
Sean f y g dos funciones derivables tales que 0)(lim0
xfxx y
)(lim
0
xgxx . Entonces
)()(/1
)(lim)
0
0(
)(/1
)(lim)()(lim
000
xf
xg
xg
xfxgxf
xxxxxx.
Por ejemplo: )1ln()1(lim1
xxx
Indeterminaciones tipo
Sean f y g dos funciones derivables tales que
)(lim0
xfxx y
)(lim
0
xgxx . Entonces
)0
0(
)()(
1
)(
1
)(
1
lim)()(lim00
xgxf
xfxgxgxf
xxxx. Por ejemplo,
xxsenx
11lim
0
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.5. REGLA DE L’HÔPITAL
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Indeterminaciones 1 , 0 y 00
Para resolver estas indeterminaciones utilizaremos logaritmos y sus propiedades:
Deseamos calcular )(
0
)(lim xg
xxxf
. Supongamos que Lxf xg
xx
)(
0
)(lim , entonces tomado
logaritmos neperianos:
)ln()(limln )(
0
Lxf xg
xx
.
Aplicando las propiedades de los límites:
)ln()(lnlim )(
0
Lxf xg
xx
teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos:
)ln()(ln)(lim0
Lxfxgxx
El primer límite será una indeterminación del tipo 0 , que una vez resuelta nos dará un cierto valor A . Por tanto,
AeLLA )ln( .
EJEMPLOS: 1) )1(coslim2/3
0
x
xx 2) )0(lim 0
0
x
xx 3) )(
1lim 0
0
x
x x
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.5. REGLA DE L’HÔPITAL
2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1) Calcula los siguientes límites:
a) 20
coslim
x
senxxx
x
b) 12
22lim
3
23
1
xx
xxx
x
c) 3
limx
ex
x
2) Calcula los siguientes límites:
a)
)2/()3(lim 2
0xtgxx
x
b)
xx
x
x ln
1
1lim
1
3) Calcula los siguientes límites:
a) x
xx /1lim
b) x
xx
1
1
1lim
2.4. APLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.5. REGLA DE L’HÔPITAL: EJERCICIOS
