temporelles de l’évaluation du risque en · 2016. 10. 24. · Chapitre 7 – La crise du modèle...

Christian Walter, Fondation Maison des sciences de l’homme

Collège d’études mondiales

Chaire Ethique et finance

Cours M2 (2016-2017) – page 1

Production de données et échelles temporelles de l’évaluation du risque en

finance

Deuxième partie : la construction de la représentation brownienne du risque

Séminaire d’enseignement M2 (2016-2017)




Cours M2 (2016-2017) – page 2

Plan

1. Les relations entre temps boursier et risque

financier

2. Les quatre étages de la représentation brownienne




Cours M2 (2016-2017) – page 3

Support du cours

Chapitre 1 – La construction des représentations boursières

1. Les représentations boursières

2. La fabrication d’une représentations boursières

3. La fabrication de la représentations brownienne

Chapitre 2 – Les origines du modèle de marche au hasard

1. Jules Regnault et la morale

2. Louis Bachelier et les probabilités

3. Alfred Cowles et l’économétrie

Chapitre 3 – La validation du modèle de marche au hasard

1. Alfred Cowles et l’inertie du marché

2. Holbrook Working et l’analyse technique

3. La marche au hasard dans les années 1950

4. Vers l’idée d’efficacité informationnelle

Chapitre 4 – Loi normale et gestion des portefeuilles

1. Diversification et théorie des erreurs

2. Indexation et théorie des moyennes

3. Multigestion et théorie des types

Chapitre 5 – Efficacité informationnelle et martingales

1. L’hypothèse d’efficacité informationnelle d’un marché

2. La crise de l’hypothèse d’efficacité informationnelle

3. Le maintien de l’hypothèse d’efficacité informationnelle

Chapitre 6 – L’apogée du modèle de marche au hasard

1. Le Graal des actuaires anglais

2. La pierre philosophale des financiers américains

Chapitre 7 – La crise du modèle de marche au hasard

1. Le syndrome non brownien

2. Le phénomène leptokurtique

3. L’histoire de la représentation stable

4. La mémoire des marchés

5. La représentation fractale

Chapitre 8 – La renaissance du modèle de marche au hasard

1. Marches au hasard générales

2. Marches au hasard laplaciennes

3. Marches au hasard en temps boursier




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LES RELATIONS ENTRE TEMPS BOURSIER ET RISQUE FINANCIER




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1. Partition 0 = t0 < t1 < t2 < … < tn = T de l'intervalle [0,T]

2. Rentabilité périodique DXk = ln S(tk) – ln S(tk-1)

3. Obtention d’un échantillon statistique {DX1, DX2,…, DXn}

4. La mesure du temps : temps physique ou temps de l’échange (temps calendaire ou temps des marchands) ? Trois possibilités pour le choix des dates tk :

a) Un nombre constant d'unités de temps tk – tk-1 = t b) Un nombre constant de titres échangés V(tk) – V(tk-1) = v

c) Un nombre constant d'échanges N(tk) – N(tk-1) = N

5. Si temps de l’échange : rentabilités non homogènes

6. Si temps physique, alors t est l’échelle de résolution de l'analyse du marché. Quelle échelle choisir ?

La question de la temporalité




Cours M2 (2016-2017) – page 6

Le référentiel de temps social

• Le temps de l’échange boursier – Idée proposée par Mandelbrot

• Temps non homogène

• Contraction ou dilatation du temps calendaire par l’activité boursière : création d’un temps social du marché

– Poids de l’échange, « profondeur » du marché

– Le marché est très calme sauf quand il bouge beaucoup

o Notion de « température boursière »

• Déformer le temps physique par l’activité boursière – Par le nombre de transactions (Mandelbrot et Taylor,1967)

– Par le nombre de titres échangés (Clark, 1973)

– L’horloge aléatoire de la bourse • Les transactions

– Mandelbrot et Taylor (1967) : mouvement alpha-stable

o loi de Pareto d’exposant ½

o Mouvement brownien en temps parétien

• Les volumes – Clark (1973), Harris (1986), Müller et al. (1990, 1997), Chauveau (1997),

Gouriéroux Jasiak Le Fol (1994)

o Redressement du temps et mouvement brownien en temps déformé




Cours M2 (2016-2017) – page 7

Temps social et information

• Notion de « température boursière »

• Interprétation par l’information

– Association entre volume et information

– « Quantité d’information » contenue dans le prix (Harris,

1986; Chauveau, 1997)

– Gros volumes : information estimée importante (à tort ou à

raison)

• Exogène : une nouvelle de l’économie

• Endogène : des caractéristiques techniques du marché




Cours M2 (2016-2017) – page 8

Processus de cours et information : Alcatel entre le 21/10 et le 3/11/2005




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Le référentiel de temps physique

• Temps caractéristique d’observation

– Souvent une échelle de référence pour les autres mesures

• Echelle à privilégier ?

– Capter la morphologie de l’incertitude financière

– La morphologie de l’incertitude dépend-elle de l’échelle ?

• Utilisation différentes

– Haute fréquence : arbitrages financiers

– Fréquence quotidienne : évaluation et liquidité des instruments

– Basse fréquence : macroéconomie (PIB etc.)

– Echelle de temps : logique institutionnelle

• Populations concernées

– Haute fréquence : arbitragistes, salles des marchés

– Basse fréquence : gérants de portefeuille, assureur

– Echelle de temps : horizon de mesure de risque

• Enjeux réglementaires




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Risque et échelles temporelles dans le cadre réglementaire

• L’évaluation du risque dans les réglementations internationales

– Bâle III, Solvabilité II, OPCVM 5 • (B3, S2, O5) : le « mur réglementaire »

– Calcul du besoin en capitaux (« Value-at-Risk »)

• 5%, 1% de « chance » que la perte dépasse tel montant en euros

• Quantile de probabilité à un seuil donné (95%, 99% etc.)

– Mesure du besoin en capitaux

• A différents horizons de temps (VaR 1 jour, VaR 1 an etc.)

• Structure par terme des VaR

• Les échelles temporelles dans les réglementations internationales

– Calcul classique : 1 an avec données quotidiennes • Peu adéquat : lissage des risques et « surprise » (Shackle) possible

– Réduire l’horizon statistique. • Quelle échelle choisir ? Laquelle reflète le mieux la morphologie du risque ?

• Plus on réduit l’horizon statistique, plus il faut de points : même dynamique ?

– Loi d’échelle sur la VaR • Convolution : cas i.i.d.

• Structure de dépendance : cas non i.i.d.




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Variations intraquotidiennes, journalières, hebdomadaires, mensuelles etc. ? Du grain de sable au tas de sable… Haute fréquence : microstructure des marchés, relation entre bourse et carnets d’ordre. Basse fréquence : macroéconomie, relation entre bourse et économie.

Entre les deux : échelle indifférente ?

Une même morphologie à différentes échelles ?




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Réduction de l’horizon statistique




Cours M2 (2016-2017) – page 13

Augmentation de la fréquence




Cours M2 (2016-2017) – page 14

• La géométrie fractale de Mandelbrot et

l’analyse multifractale apportent des

réponses à ces questions – Cadre conceptuel pertinent pour traiter l’irrégularité

– Analyse simultanée du marché sur plusieurs

échelles

• Définitions – Un processus est fractal quand une partie d’une

trajectoire peut être retrouvée par un changement

d’échelle, en réduisant ou en agrandissant (zoom)

la taille de l’image représentant une trajectoire • Un motif élémentaire est répété à chaque échelle par un procédé

récurrent

– Un processus est multifractal si on est obligé de

changer les proportions en zoomant

– Deux sortes de répétitions : déterministe et aléatoire

– Fractales aléatoires : motifs seulement

statistiquement similaires • On ne trouve pas les mêmes motifs en agrandissant l’image mais

des motifs qui se ressemblent, qui semblent avoir une

dynamique commune : des fluctuations (risque) de nature

(morphologie) identique

Fractales et multifractales




Cours M2 (2016-2017) – page 15

• La recherche d’invariance d’échelles

– Mandelbrot cherchait la régularité dans l’irrégularité

– Il cherchait une invariance d’échelle

• Propriétés statistiques qui ne dépendent pas de la

fréquence d’échantillonnage

• Processus aléatoire autosimilaire par changement

d’échelle

– Exemple : le modèle de Bachelier (1900) sur les cours de

la rente à Paris

• Le mouvement brownien est un processus invariant par

changement d’échelle, autosimilaire d’indice ½

– En divisant l’échelle temporelle par 4 et l’échelle de valeur

par 2, on retrouve des images similaires

– Variation d’un cours sur N jours : même loi statistique que

sa variation sur un jour à un facteur N½ près

– C’est la « loi en racine carrée du temps » de Jules

Regnault (1863)

Echelles de l’évaluation du risque (1)




Cours M2 (2016-2017) – page 16

• Traduction financière

– Invariance de de l’évaluation du risque par rapport à l’échelle

– La morphologie de l’incertitude financière possède une structure fractale

– Comment comprendre cette idée ? • Soit comme une « non propriété » : l’absence d’échelle caractéristique, d’échelle privilégiée

d’observation pour la mesure du risque

• Soit comme la trace d’une « signature » de l’existence d’une organisation forte dans les données

et le système boursier

• Avantages de l’invariance

– Statistique : économie d’estimations • En observant le marché à n’importe quelle échelle, on capte sa structure de risque

fondamentale.

– Informationnel : économie d’information • L’information acquise sur le marché est indépendante de la résolution à laquelle la mesure est

effectuée

• On ne perd pas d’information si l’on manque une échelle d’analyse.

Echelles de l’évaluation du risque (2)




Cours M2 (2016-2017) – page 17

Lois de changement d’échelle de temps / de risque

• Quel que soit le moment de la distribution :

– Passer d’une échelle « t » à une échelle « n x t »

– Pour tout moment d’ordre k

– Déformation du risque : de mk(t) à mk(nt)

• Regnault (1863) : loi en racine carrée du temps

• Entre 1900 et 2000 la loi de Jules Regnault est généralisée plusieurs fois

Temps multifractal




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LES QUATRE ÉTAGES DE LA REPRÉSENTATION BROWNIENNE




Cours M2 (2016-2017) – page 19

De la marche au hasard à la représentation brownienne (1) Un exemple sur deux périodes




Cours M2 (2016-2017) – page 20

De la marche au hasard à la représentation brownienne (2) L’indépendance des rentabilités successives




Cours M2 (2016-2017) – page 21

Exemple : deux lancés successifs d’un dé à six faces, ou deux loteries. Indépendance.

L’indépendance est très commode, mais il reste encore des calculs à faire.

De la marche au hasard à la représentation brownienne (3) La stationnarité des rentabilités




Cours M2 (2016-2017) – page 22

De la marche au hasard à la représentation brownienne (4) La marche au hasard en général

Un processus à accroissements i.i.d. est un processus de Lévy

ou, en temps discret, une MARCHE AU HASARD.




Cours M2 (2016-2017) – page 23

Marche au hasard sur la rentabilité cumulée :

une exponentielle de processus de Lévy sur les cours.

Le modèle de la marche au hasard




Cours M2 (2016-2017) – page 24

Toutes les caractéristiques du marché (rentabilité, risque) sont

logées dans le processus de Lévy Xt.

De la marche au hasard à la représentation brownienne (5) Deux sortes de processus de Lévy : Brownien, NIG




Cours M2 (2016-2017) – page 25

EX

X1 1 2 3 4 5 6 3,50

P1 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667

X2 1 2 3 4 5 6 3,50

P2 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P 0,0278 0,0556 0,0833 0,1111 0,1389 0,1667 0,1389 0,1111 0,0833 0,0556 0,0278 7,00

Exemple : deux lancés successifs d’un dé à six faces, ou deux loteries.

Indépendance et stationnarité. Cependant, la distribution de la somme n’a pas la

même FORME que la distribution de la loi de base. On dit que la distribution de

base n’est PAS STABLE par l’addition des variables aléatoires.

On remarque aussi que l’espérance E(X) double : le passage de la période de

base (1 tour) à la période totale (2 tours) a pour effet de doubler l’espérance. Car,

avec la propriété i.i.d., on a E(X1+X2) = EX1+EX2 mais le risque (la forme) ?

i.i.d.

non stable…

De la marche au hasard à la représentation brownienne (6) La stabilité par addition au sens de Lévy




Cours M2 (2016-2017) – page 26

Un processus processus de Lévy a-stable est fractal. a est l’exposant de stabilité

: il définit la forme qui se conserve.

De la marche au hasard à la représentation brownienne (7) La stabilité par addition au sens de Lévy




Cours M2 (2016-2017) – page 27

La valeur de l’exposant caractéristique a détermine la forme de l’erraticité

trajectorielle, la structure morphologique du hasard boursier.

alpha = 0.7

alpha = 1.3

alpha = 1.9

Morphologie de l’incertitude et valeur de l’exposant caractéristique alpha




Cours M2 (2016-2017) – page 28

Probabiliser l’incertitude : Hasard lisse et hasard rugueux

FLUCTUATIONS SONT "LISSES" :

IL N'APPARAIT PAS DE "PIC"

L'échelle des ordonnées est graduée en écart-types.

AVEC UN MOUVEMENT BROWNIEN,

LES

FLUCTUATIONS SONT VIOLENTES :

IL APPARAIT PLUSIEURS "PICS"

AVEC UN PROCESSUS DE LEVY, LES

a = 2 a < 2




Cours M2 (2016-2017) – page 29

Un processus de Lévy 2-stable est un mouvement brownien ou, en temps

discret, une marche au hasard gaussienne.

De la marche au hasard à la représentation brownienne (8) La normalité des rentabilités




Cours M2 (2016-2017) – page 30

On retrouve l’équation différentielle stochastique (EDS) du marché de Black-

Scholes-Merton (1973).

De la marche au hasard à la représentation brownienne (9) Le hasard « lisse » et l’hypothèse de continuité




Cours M2 (2016-2017) – page 31

Dans la reconstruction théorique du marché boursier, quatre hypothèses ont été

nécessaires pour parvenir à la loi en racine carrée du temps :

•Indépendance + stationnarité + stabilité par addition + normalité

Avec ces quatre hypothèses, on obtient comme processus aléatoire de

représentation de la dynamique boursière le mouvement brownien.

De la marche au hasard à la représentation brownienne (10) Les quatre hypothèses successives

Date post:	23-Sep-2020
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