| Date post: | 04-Oct-2015 |
| Category: |
Documents |
| Upload: | annisa-syahrani-dahlan |
| View: | 322 times |
| Download: | 65 times |
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusipendekatan dengan kasus
Andi Kresna [email protected]
Jurusan Matematika
September 22, 2014
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Outline
1 Review
2 Teorema Limit Pusat
3 Teorema Limit Distribusi
Back
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Outline
1 Review
2 Teorema Limit Pusat
3 Teorema Limit Distribusi
Back
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Outline
1 Review
2 Teorema Limit Pusat
3 Teorema Limit Distribusi
Back
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Sasaran pembelajaran: Kemampuan mahasiswa menjelaskankonsep limit distribusi
1 Kemampuan memahami teorema limit pusat2 Ketepatan dalam penjelasan limit distribusi untuk penaksir
Metode: Kuliah dan Diskusi
Text book: Hogg dan Craig, Introduction toMathematical Statistics; Casella dan Berger,Statistical Inference
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Opening
It is a capital mistake to theorize before one has data.Insensibly one begins to twist facts to suit theories, instead oftheories to suit facts. - Sherlock Holmes, A Scandal inBohemia Sir Arthur Conan Doyle
Planning a statistical analysis after youve collected the datais like developing plans for a structure after youve purchasedthe materials.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Opening
It is a capital mistake to theorize before one has data.Insensibly one begins to twist facts to suit theories, instead oftheories to suit facts. - Sherlock Holmes, A Scandal inBohemia Sir Arthur Conan Doyle
Planning a statistical analysis after youve collected the datais like developing plans for a structure after youve purchasedthe materials.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Ada dua teorema penting dalam Teori Peluang, yang pertamaadalah Teorema Limit Pusat dan yang kedua adalah HukumBilangan Besar. (Hukum bilangan besar akan dipelajari padamata kuliah tingkat lanjut)
Teorema limit pusat menyatakan bahwa Distribusi dari jumlah(atau rata-rata) variabel yang distribusinya saling bebas danidentik adalah berdistribusi (hampiran) normal.
Untuk memahami ini akan diberikan tinjauan untuk kasussederhana.
Misalkan X adalah peubah acak dengan fmp
f (x) =
{0, 45 x = 10, 55 x = 2
dan nol untuk yang lain.
Jika diambil sampel acak berukuran n dari distribusi
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Ada dua teorema penting dalam Teori Peluang, yang pertamaadalah Teorema Limit Pusat dan yang kedua adalah HukumBilangan Besar. (Hukum bilangan besar akan dipelajari padamata kuliah tingkat lanjut)
Teorema limit pusat menyatakan bahwa Distribusi dari jumlah(atau rata-rata) variabel yang distribusinya saling bebas danidentik adalah berdistribusi (hampiran) normal.
Untuk memahami ini akan diberikan tinjauan untuk kasussederhana.
Misalkan X adalah peubah acak dengan fmp
f (x) =
{0, 45 x = 10, 55 x = 2
dan nol untuk yang lain.
Jika diambil sampel acak berukuran n dari distribusi
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Ada dua teorema penting dalam Teori Peluang, yang pertamaadalah Teorema Limit Pusat dan yang kedua adalah HukumBilangan Besar. (Hukum bilangan besar akan dipelajari padamata kuliah tingkat lanjut)
Teorema limit pusat menyatakan bahwa Distribusi dari jumlah(atau rata-rata) variabel yang distribusinya saling bebas danidentik adalah berdistribusi (hampiran) normal.
Untuk memahami ini akan diberikan tinjauan untuk kasussederhana.
Misalkan X adalah peubah acak dengan fmp
f (x) =
{0, 45 x = 10, 55 x = 2
dan nol untuk yang lain.
Jika diambil sampel acak berukuran n dari distribusi
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Ada dua teorema penting dalam Teori Peluang, yang pertamaadalah Teorema Limit Pusat dan yang kedua adalah HukumBilangan Besar. (Hukum bilangan besar akan dipelajari padamata kuliah tingkat lanjut)
Teorema limit pusat menyatakan bahwa Distribusi dari jumlah(atau rata-rata) variabel yang distribusinya saling bebas danidentik adalah berdistribusi (hampiran) normal.
Untuk memahami ini akan diberikan tinjauan untuk kasussederhana.
Misalkan X adalah peubah acak dengan fmp
f (x) =
{0, 45 x = 10, 55 x = 2
dan nol untuk yang lain.
Jika diambil sampel acak berukuran n dari distribusi
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Ada dua teorema penting dalam Teori Peluang, yang pertamaadalah Teorema Limit Pusat dan yang kedua adalah HukumBilangan Besar. (Hukum bilangan besar akan dipelajari padamata kuliah tingkat lanjut)
Teorema limit pusat menyatakan bahwa Distribusi dari jumlah(atau rata-rata) variabel yang distribusinya saling bebas danidentik adalah berdistribusi (hampiran) normal.
Untuk memahami ini akan diberikan tinjauan untuk kasussederhana.
Misalkan X adalah peubah acak dengan fmp
f (x) =
{0, 45 x = 10, 55 x = 2
dan nol untuk yang lain.
Jika diambil sampel acak berukuran n dari distribusi
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Untuk n = 2, 3, 4, bentuk grafik fmp untuk X adalah:
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Untuk n = 40, bentuk grafik fmp untuk X adalah:
Bentuk kurva menyerupai kurva normal.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Pada materi distribusi untuk X , mean sampel distribusiN(, 2), bentuk peubah acak
Z =
n(X )
untuk sembarang bilangan bulat positif n, akan berdistribusiN(0, 1).
Jika n maka Z p Z0, dimana Z0 N(0, 1)Walaupun kondisi X bukan dari distribusi Normal, bentuk
Y =
n(X )
akan mempunyai distribusi hampiran normal dengan mean 0dan variansi 1.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Pada materi distribusi untuk X , mean sampel distribusiN(, 2), bentuk peubah acak
Z =
n(X )
untuk sembarang bilangan bulat positif n, akan berdistribusiN(0, 1).
Jika n maka Z p Z0, dimana Z0 N(0, 1)Walaupun kondisi X bukan dari distribusi Normal, bentuk
Y =
n(X )
akan mempunyai distribusi hampiran normal dengan mean 0dan variansi 1.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Pada materi distribusi untuk X , mean sampel distribusiN(, 2), bentuk peubah acak
Z =
n(X )
untuk sembarang bilangan bulat positif n, akan berdistribusiN(0, 1).
Jika n maka Z p Z0, dimana Z0 N(0, 1)Walaupun kondisi X bukan dari distribusi Normal, bentuk
Y =
n(X )
akan mempunyai distribusi hampiran normal dengan mean 0dan variansi 1.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
teorema limit pusat
Teorema 1
Misalkan X1,X2, ,Xn adalah sampel acak dari sebuah distribusipeluang yang meannya dan variansinya 2 > 0. Maka peubahacak Yn = (
Xi n)/
n =
n(X )/ konvergen dalam
distribusi ke peubah acak yang berdistribusi N(0, 1).
Misalkan X adalah mean sampel acak yang berukuran n = 75dari distribusi dengan fkp
f (x) =
{1 0 < x < 10 yang lain
Aproksimasi nilai P(0.45 < X < 0.55)
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
teorema limit pusat
Teorema 1
Misalkan X1,X2, ,Xn adalah sampel acak dari sebuah distribusipeluang yang meannya dan variansinya 2 > 0. Maka peubahacak Yn = (
Xi n)/
n =
n(X )/ konvergen dalam
distribusi ke peubah acak yang berdistribusi N(0, 1).
Misalkan X adalah mean sampel acak yang berukuran n = 75dari distribusi dengan fkp
f (x) =
{1 0 < x < 10 yang lain
Aproksimasi nilai P(0.45 < X < 0.55)
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
contoh 1
Diketahui f (x) = 1, 0 < x < 1 dan nol untuk yang lain. maka
=
10xdx =
1
2
2 =
10
(x 1/2)2dx = 112
Maka aproksimasi nilai P(0.45 < X < 0.55) adalah
P(0.45 < X < 0.55) = P
(a 0
maka
P
(Unc 1 < ) = P (1c
|Un c | < )= P (|Un c | < |c |)
maka
limnP
(Unc 1 < ) = limnP (|Un c | < |c|) .
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Karena untuk sembarang > 0, makalimn P (|Un c | < ) = 1, maka
limnP
(Unc 1 < ) = 1.
Unc
p 1.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Karena untuk sembarang > 0, makalimn P (|Un c | < ) = 1, maka
limnP
(Unc 1 < ) = 1.
Unc
p 1.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Teorema 3
Misalkan Fn(u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak Un yang
bergantung pada n. Jika Unp c , di mana c 6= 0 dan
P(Un < 0) = 0n, maka peubah acakUn
p c .
Perhatikan bahwa bentuk limn P(|Un c | ) = 0, dan(Un c) = (
Un
c)(Un +
c). maka
P(|Un c | ) = P(|(Un
c)(Un +
c)| )
= P
(|Un
c |
(Un +
c)
) P
(|Un
c |
(c)
).
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Perhatikan bahwa P(|Un
c |
(c)
) 0. Untuk
n berlaku
0 limnP
(|Un
c |
(c)
) lim
nP(|Unc | ) = 0.
Sehingga Uncp 1.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Teorema 4
Misalkan Fn(u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak Un yangbergantung pada n. Jika limit distribusi Un adalah F (u) dan
misalkan terdapat peubah acak Vnp 1,maka limit distribusi dari
peubah acak Wn = Un/Vn adalah F (w).
Berikut adalah sebuah penerapan 4 teorema di atas, untukX1,X2, ,Xn sampel acak dari distribusi Bernoulli, b(1, pi)dan Yn =
Xi .
Misalkan Yn b(n, pi) untuk 0 < pi < 1, maka denganteorema 1 diperoleh
Un =Yn npinpi(1 pi) N(0, 1).
Perhatikan pula bahwa Yn/np pi dan (1 Yn/n) p (1 pi),
maka (Ynn
)(1 Yn
n
)p pi(1 pi).
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Teorema 4
Misalkan Fn(u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak Un yangbergantung pada n. Jika limit distribusi Un adalah F (u) dan
misalkan terdapat peubah acak Vnp 1,maka limit distribusi dari
peubah acak Wn = Un/Vn adalah F (w).
Berikut adalah sebuah penerapan 4 teorema di atas, untukX1,X2, ,Xn sampel acak dari distribusi Bernoulli, b(1, pi)dan Yn =
Xi .
Misalkan Yn b(n, pi) untuk 0 < pi < 1, maka denganteorema 1 diperoleh
Un =Yn npinpi(1 pi) N(0, 1).
Perhatikan pula bahwa Yn/np pi dan (1 Yn/n) p (1 pi),
maka (Ynn
)(1 Yn
n
)p pi(1 pi).
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Teorema 4
Misalkan Fn(u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak Un yangbergantung pada n. Jika limit distribusi Un adalah F (u) dan
misalkan terdapat peubah acak Vnp 1,maka limit distribusi dari
peubah acak Wn = Un/Vn adalah F (w).
Berikut adalah sebuah penerapan 4 teorema di atas, untukX1,X2, ,Xn sampel acak dari distribusi Bernoulli, b(1, pi)dan Yn =
Xi .
Misalkan Yn b(n, pi) untuk 0 < pi < 1, maka denganteorema 1 diperoleh
Un =Yn npinpi(1 pi) N(0, 1).
Perhatikan pula bahwa Yn/np pi dan (1 Yn/n) p (1 pi),
maka (Ynn
)(1 Yn
n
)p pi(1 pi).
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Maka dengan teorema 2 diperoleh
(Yn/n)(1 Yn/n)pi(1 pi)
p 1.
Selanjutnya dengan memakai teorema 2, misalkan
Vn =
((Yn/n)(1 Yn/n)
pi(1 pi))1/2
Vnp 1.
Jika peubah acak Wn = Un/Vn, maka dengan teorema 4,diperoleh bahwa Wn N(0, 1).
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Maka dengan teorema 2 diperoleh
(Yn/n)(1 Yn/n)pi(1 pi)
p 1.
Selanjutnya dengan memakai teorema 2, misalkan
Vn =
((Yn/n)(1 Yn/n)
pi(1 pi))1/2
Vnp 1.
Jika peubah acak Wn = Un/Vn, maka dengan teorema 4,diperoleh bahwa Wn N(0, 1).
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Maka dengan teorema 2 diperoleh
(Yn/n)(1 Yn/n)pi(1 pi)
p 1.
Selanjutnya dengan memakai teorema 2, misalkan
Vn =
((Yn/n)(1 Yn/n)
pi(1 pi))1/2
Vnp 1.
Jika peubah acak Wn = Un/Vn, maka dengan teorema 4,diperoleh bahwa Wn N(0, 1).
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Maka dengan teorema 2 diperoleh
(Yn/n)(1 Yn/n)pi(1 pi)
p 1.
Selanjutnya dengan memakai teorema 2, misalkan
Vn =
((Yn/n)(1 Yn/n)
pi(1 pi))1/2
Vnp 1.
Jika peubah acak Wn = Un/Vn, maka dengan teorema 4,diperoleh bahwa Wn N(0, 1).
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
contoh 3
Misalkan Y b(n, p) Tentukan nilai peluang bahwaY npnYn(1 Yn
)terletak di selang (2, 1), jika n.Untuk menjawab ini dapat dimanfaatkan bentuk
Wn = Un/Vn =Y npnYn(1 Yn
) .Sehingga untuk n maka
Y npnYn(1 Yn
) N(0, 1),Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
contoh 3
Misalkan Y b(n, p) Tentukan nilai peluang bahwaY npnYn(1 Yn
)terletak di selang (2, 1), jika n.Untuk menjawab ini dapat dimanfaatkan bentuk
Wn = Un/Vn =Y npnYn(1 Yn
) .Sehingga untuk n maka
Y npnYn(1 Yn
) N(0, 1),Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
contoh 3
Misalkan Y b(n, p) Tentukan nilai peluang bahwaY npnYn(1 Yn
)terletak di selang (2, 1), jika n.Untuk menjawab ini dapat dimanfaatkan bentuk
Wn = Un/Vn =Y npnYn(1 Yn
) .Sehingga untuk n maka
Y npnYn(1 Yn
) N(0, 1),Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
P
2 < Y npnYn(1 Yn
) < 1 = P(2 < Z < 1)
= (1) (2)= (1) + (2) 1= 0, 8413 + 0, 9772 1= 0, 8186.
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi
Closing
Statistics really is like rocket science; it isnt
easy, even to us who have studied it for a long time.
Anybody who think its easy surely lacks a deep
enough knowledge to understand why it isnt! If your
scientific integrity matters, and statistics is a
mystery to you, then you need expert help. Find a
statistician in your company or at a nearby
university, and talk to her face-to-face if possible.
It may well cost money. Its worth it.
Russ Lenth
Andi Kresna Jaya [email protected] Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi
ReviewTeorema Limit PusatTeorema Limit Distribusi
