TESE DE DOUTORADO Transi˘c~ao de fase Super uido-Isolante ... · Mott em redes opticas via modelo...

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

PRO-REITORIA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA

NUCLEO DE POS-GRADUACAO EM FISICA

TESE DE DOUTORADO

Transicao de fase Superfluido-Isolante deMott em redes opticas via modelo de

Jaynes-Cummings-Hubbard

Clelio Brasil Cardoso Gomes

SAO CRISTOVAO-SE

- 2013 -

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

PRO-REITORIA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA

NUCLEO DE POS-GRADUACAO EM FISICA

TESE DE DOUTORADO

Transicao de fase Superfluido-Isolante deMott em redes opticas via modelo de

Jaynes-Cummings-Hubbard

Clelio Brasil Cardoso Gomes

Tese de Doutorado apresentada aoNucleo de Pos-Graduacao em Fısica daUniversidade Federal de Sergipe comoparte dos requisitos necessarios para aobtencao do tıtulo de Doutor em Fısica

ORIENTADO PELO PROF. DR. ANDRE MAURICIO C. DE SOUZA

SAO CRISTOVAO-SE

- 2013 -

iii

As mulheres da minha vida.

iv

AGRADECIMENTOS

E difıcil agradecer de forma apropriada a todos que contribuıram direta ou indi-

retamente, para que este trabalho pudesse ser realizado. Agradeco ao meu orientador

prof. Dr. Andre Maurıcio Conceicao de Souza pela orientacao e por sua conduta etica

a ser seguida. Ao meu amigo de longa data prof. Dr. Francisco Assis Gois de Almeida

pela colaboracao na minha aquisicao de conhecimento e pela dedicacao demonstrada.

Ao prof. Dr. Gerson Cortes Filho pelas longas horas de conversa e interminaveis

xıcaras de cafezinhos. Ao departamento de Fısica e ao nucleo de pos-graduacao em

fısica por disponibilizarem as devidas condicoes para que tudo pudesse transcorrer de

forma tranquila. Ao coordenador da pos-graduacao prof. Dr. Ronaldo Santos da Silva

pela competencia e presteza. Ao secretario da pos-graduacao Alvaro Cardoso pela cor-

dialidade e gentileza para com todos. Aos professores Valdir Barbosa Bezerra, Maria

Luiza Cescato, Carlos Pires e Carlos Romero Filho, Adriano Natale, Gastao Krein,

Ruben Audrovandi, Dionisio Bazeia e Jose Pereira por terem contribuıdo para a minha

formacao como dedicados professores das disciplinas por mim cursadas no mestrado.

Aos demais professores e servidores do departamento de fısica pela responsabilidade

que lidam com os assuntos academicos. A todos os meus colegas da pos-graduacao pela

prestativa companhia no dia a dia. A FAPITEC e a CAPES pelo apoio financeiro.

Aos meus pais pelo apoio incondicional e por sempre acreditarem que eu seria

capaz. Aos meus irmaos e amigos por estarem presentes nas horas em que pensamos

em desistir de tudo. As minhas sobrinhas Lyana, Nicoly e Letıcia pelo carinho. A

Lilian Dinelli por ser uma guerreira e segurar a barca de todos estes anos em que

passei cursando o doutorado, convivendo com todos os problemas, nunca deixando de

me apoiar e de acreditar em um final feliz. As minhas filhas Justine Aimee e Julia

Aimee, mais conhecidas como loirinha e tesouro, por serem meu sol, minha lua, minha

terra, meu ar, as estrelas, minha agua e meus amores. Papai prometeu, ele vai cumprir,

esta por chegar o nosso dia, viveremos o nosso Hakuna Matata e seremos felizes para

sempre...

Sumario

1 Introducao 1

2 Aspectos Fundamentais 5

2.1 Informacao Quantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Interacao Atomo-Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Meio tipo Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Eletrodinamica Quantica de Cavidade(QEDC) 19

3.1 O Modelo Jaynes-Cummings e Aproximacao de Onda Girante . . . . . 22

3.2 Modelo Bose-Hubbard e a Transicao de Fases Superfluido-Isolante de Mott 27

4 Transicao de fase superfluido-isolante de Mott em redes de Bravais

via modelo Jaynes-Cummings-Hubbard 34

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Modelo Jaynes-Cummings-Hubbard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Aproximacao de Fermions FA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 A influencia de um meio tipo Kerr na transicao de fase isolante de

Mott para superfluido do ponto de vista do modelo Jaynes-Cummings-

Hubbard 51

5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Modelo Jaynes-Cummings-Hubbard-Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Aproximacao de Fermions e Campo Medio . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Transicao MI-SF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

v

SUMARIO vi

6 Conclusoes e consideracoes finais 64

A Quantizacao do Campo Eletromagnetico 66

B Autovalores e Autovetores do hamiltoniano Jaynes-Cummings 76

C Transformada de Fourier sem a Aproximacao de Fermion e a Relacao

de Dispersao das Redes 78

Referencias Bibliograficas 80

Lista de Figuras

2.1 Esfera de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Ilustrac~ao de um atomo de dois nıveis sob a influencia de um

campo eletromagnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Esquema de uma cavidade de Microondas utilizando atomos de Rydberg

para a analise de transic~ao de estado quantico |e⟩ |g⟩. Figura

retirada da referencia [37] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Interac~ao atomo-campo no modelo Jaynes-Cummings: (a) σ−a†k, (b)

σ+ak, (c) σ−ak e (d) σ+a†k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Esquema dos nıveis de energia descrito pelo hamiltoniano (3.7).

Cada nıvel de energia corresponde ao respectivo autovetor no

espaco de Hilbert. Figura retirada da referencia [41] . . . . 25

3.4 Transic~ao de fase Superfluido-Isolante de Mott. No estado SF

o sistema esta deslocalizado enquanto que no estado MI (U ≫

t) prevalece a localizac~ao dos atomos [15] . . . . . . . . . . . . 28

3.5 Resultado experimental encontrado por Greiner et al [15] onde

foi comprovada a existencia da transic~ao de fase SF-MI . . . . 31

4.1 Cavidades contendo um atomo de dois nıveis com itinerancia de

fotons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Ilustrac~ao do lobulo de Mott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Redes de Bravais 3D. [61] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

vii

LISTA DE FIGURAS viii

4.4 Primeiro lobulo de Mott para dessintonia nula para diferentes

metodos aproximativos. DMRG [63], VCA [64], aproximac~ao de fermions

e campo medio [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5 Primeiros tres lobulos de Mott para diferentes estruturas de

rede para dessintonia nula. A parte a esquerda e a fase MI enquanto

que a parte a direita e a fase SF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.6 Lobulos de Mott para n = 1 para varios valores de dessintonia

para (a) SC e (b) FCC redes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.7 Grafico do log(tc/g) versus δ/g para varios valores de n para (a)

SC e (b) FCC redes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.8 Maxima dessintonia versus n para o hopping crıtico para as redes

SC e FCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.9 Hopping crıtico para as redes SC e FCC em func~ao de n para

dessintonia nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.10 Grafico dilog do hopping crıtico tc/g versus n para varias redes

no regime de n≫ 1. Observe que a rede FCC e BCC tem o mesmo

comportamento quando n e grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1 Energias para valores de δ e γ. As linhas solidas se referem

ao caso quando t = 0.2g enquanto que as linhas tracejadas se

referem a t = 0.001g. Note que quando tg→ 0, o mınimo desaparece 57

5.2 Lobulos de Mott para (a) δ = 0 e (b) δ = g. As linhas tracejadas

se referem a γ = 0.01g e as linhas solidas a γ = 0 . . . . . . . 60

5.3 tc versus n. As linhas pontilhadas s~ao meramente guias visuais

e os sımbolos + representa γ = 0.01g enquanto que × representa

γ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4 tc versus δ. As linhas tracejadas equivalem a γ = 0.01g, as

linhas solidas s~ao para γ = 0.005g e as linhas pontilhadas quando

γ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

LISTA DE FIGURAS ix

5.5 tc versus γ. Para n > 100, δ > 15 e tc =4

7ζ(3)γ. Mostra a dependencia

linear de tc em relac~ao a γ quando n e δ s~ao muito grandes. . 63

LISTA DE FIGURAS x

RESUMO

Estudamos a transicao de fase superfluido-isolante de Mott (SF-MI) em redes

opticas via modelo Jaynes-Cummings-Hubbard utilizando a aproximacao de fermions.

Inicialmente fazemos uma revisao do modelo Jaynes-Cummings que descreve a in-

teracao de um atomo de dois nıveis com um campo eletromagnetico quantizado. Em se-

guida estudamos as propriedades da transicao de fase SF-MI no modelo Bose-Hubbard

e discutimos as caracterısticas das duas fase quanticas e as condicoes para a transicao

de fase. Aplicamos o modelo Jaynes-Cummings-Hubbard com a finalidade de estudar-

mos a influencia da topologia das redes de Bravais linear, quadrada, cubica simples

(SC), cubica de corpo centrado (BCC) e cubica de faces centradas (FCC) na transicao

de fase SF-MI para diferentes numeros de excitacao e diferentes valores de dessintonia

entre o atomo e o campo e encontramos que os lobulos de Mott nao sao renorma-

lizaveis apenas para a rede FCC. Mas no regime de muitas excitacoes, as redes BCC e

FCC passam a ter o mesmo comportamento enquanto que as demais continuam com

sua dependencia no numero de vizinhos. Em seguida, estudamos o modelo de Jaynes-

Cummings-Hubbard para uma cadeia com a adicao do efeito tipo Kerr (efeito optico

nao-linear) atraves da aproximacao de fermions (FA). Observamos que o efeito tipo

Kerr nao provoca grandes alteracoes no espectro de energia. No entanto, as proprie-

dades de transicao de fase SF-MI passam por mudancas significativas devido ao efeito

tipo Kerr. Outra caracterıstica importante que foi observada e que o efeito tipo Kerr

favorece a fase MI.

LISTA DE FIGURAS xi

ABSTRACT

We study the phase transition superfluid-Mott insulator in optical lattices through

model Jaynes-Cummings-Hubbard using the fermion approximation. Initially we did

a review of the Jaynes-Cummings model that is a model that describes the interaction

between an atom with two levels and a quantized electromagnetic field. Then we stu-

died the properties of the phase transition superfluid-Mott insulator (SF-MI) through

the model Bose-Hubbard and we discuss the characteristics of the two quantum phases

and the conditions for phase transition. Apply the model Jaynes-Cummings-Hubbard

in order to study the influence of topology of network Bravais linear, square, single cubic

(SC), body-centered cubic (BCC) and face-centered cubic (FCC) in the phase transi-

tion SF-MI to different numbers of excitation and different detuning values between the

atom and the field and we found that the Mott lobes and the critical hopping terms are

not renormalizable only for the FCC network. But the regime from many excitations,

the critical hopping is renormalizable to all networks and is independent of detuning.

Then we study the Jaynes-Cummings-Hubbard model for a chain with the addition of

the Kerr effect (nonlinear optical effect) through the approximation of fermions (FA).

We observed that the Kerr effect does not cause large changes in the energy spectrum.

However, the properties of the phase transition SF-MI undergoes significant changes

due to the Kerr effect. Another important feature which has been observed is that the

Kerr effect favors the phase MI.

Capıtulo 1

Introducao

A mecanica quantica e uma area da fısica que teve inıcio a partir do inıcio do seculo

XX com o brilhante trabalho desenvolvido por Max Planck sobre a radiacao do corpo

negro [1]. Nesse trabalho, Planck postulou que a energia do espectro de emissao do

corpo negro nao era contınuo, e sim, discreto. Apos o trabalho de Planck, muitos outros

fısicos famosos como Einstein, Compton, Heisenberg, Born, Bohr, Dirac, Schrodinger,

Landau dentre outros, ajudaram a fortalecer e desenvolver a mecanica quantica [1].

Ao mesmo tempo que se desenvolvia a mecanica quantica, uma outra revolucao tomou

corpo na decada de 1930, principalmente devido ao trabalho do matematico e logico

ingles Alan Turing. Atendendo a um desafio de um outro grande matematico da

epoca, David Hilbert, Turing criou um modelo computacional abstrato conhecido como

Maquina de Turing [2]. Uma maquina de Turing e um aparato idealizado que opera

com sequencias logicas de unidades de informacao chamadas de bits. Um bit pode

adquirir apenas (0) ou (1) como valores, ou seja, qualquer informacao e codificada

e processada como uma sequencia de zeros e uns nessa maquina. Um computador

convencional como os que temos hoje sobre as nossas mesas e uma realizacao fısica de

uma maquina de Turing. Toda informacao fornecida a ele e lida, processada e retornada

sob a forma de sequencias de bits. Por serem idealizacoes matematicas, maquinas de

Turing independem de que objetos fısicos irao representar bits. Nos computadores

atuais, esses objetos sao componentes eletronicos que existem aos bilhoes dentro dos

chips. A necessidade do aumento de memoria e da velocidade de processamento dos

computadores fez com que os chips cada vez mais acomodassem um maior numero

1

Introducao 2

desses componentes. Em 1970, Gordon Moore percebeu que havia um crescimento

muito rapido no numero de transistores por unidade de volume nos chips ao longo dos

anos e, consequentemente, uma reducao no tamanho fısico dos bits. Segundo a lei de

Moore, nos proximos dez anos, o resultado e algo extraordinario pois na decada de 2020,

um bit de informacao sera representado por apenas um unico atomo [2]. Isto poderia

entao significar o limite fısico natural dos computadores. Com um atomo representando

um bit, nao haveria mais como aumentar a capacidade dos computadores. No entanto,

nao e bem assim, pois na escala atomica, o paradigma classico da Maquina de Turing

deixa de ser valido, pois essa escala e governada pela mecanica quantica, e os processos

computacionais deverao obedecer as leis dessa nova teoria, e nao as regras de uma

maquina classica [2].

Muitas tentativas vem sendo realizadas com o intuito de implementar um bit

quantico (qubit). Trabalhos teoricos e experimentais em aprisionamento de ıons tem

tido avancos consideraveis [3, 4]. Os avancos experimentais geram a expectativa de

que em breve seja possıvel a implementacao tecnologica dessa tecnica em teoria da

informacao quantica. O estudo da interacao entre um atomo de dois nıveis com um

modo do campo eletromagnetico tem se mostrado um dos mais importantes temas de

investigacao, estando presente em muitos problemas encontrados na fısica de laser e

optica quantica [5]. Um modelo teorico que implementa esta interacao foi desenvolvido

por E. Jaynes e F. Cummings em 1963 e e conhecido como modelo Jaynes-Cummings

(JCM) [6]. A grande vantagem do JCM e que, quando utilizado a aproximacao de onda

girante [The rotating wave approximation (RWA)], o modelo e analiticamente soluvel

e o numero de excitacoes do sistema torna-se constante. Os recentes experimentos

com atomos de Rydberg em cavidades de micro-ondas de alto fator de qualidade Q,

onde os fotons permanecem dentro da cavidade tempo suficiente para que possam ser

absorvidos pelo atomo, tem demonstrado grandes avancos quanto a controlabilidade

no confinamento de atomos e na possibilidade de transmissao de informacao entre es-

tes [7, 8, 9, 10]. Um trabalho bastante conhecido foi realizado pelo grupo de Paris (P.

Nussenzveig et. al.) com atomos de Rydberg [11]. Neste experimento foi realizada a

transferencia da menor unidade de informacao quantica (qubit) entre dois atomos de

Introducao 3

Rubıdio com numero de excitacao elevado n = 51 em uma cavidade com alto fator

de qualidade. Propostas similares estao sendo desenvolvidas pelo Grupo de Optica

Quantica e Espectroscopia da Universidade de Insbruck (Austria). Um exemplo e o

trabalho de Mundt et al [12, 13] onde realizaram o acoplamento coerente entre ıons de

calcio com um campo em uma cavidade optica. Alem da interacao de um atomo com

um campo eletromagnetico, faz-se necessaria a construcao de redes opticas onde seja

possıvel realizar a interacao de atomos de dois nıveis com um campo eletromagnetico

de forma controlada. A generalizacao do JCM para um sistema de dois nıveis e conhe-

cido como modelo Jaynes-Cummings-Hubbard (JCHM) onde e adicionado um termo de

hopping no hamiltoniano Jaynes-Cummings [14], permitindo o tunelamento dos fotons

entre uma cavidade e outra. Neste modelo, esta presente a competicao entre a cons-

tante de acoplamento atomo-campo e o termo de hopping. Recentemente, Greiner et al

[15] demonstraram experimentalmente a existencia de uma transicao de fase quantica

em redes opticas com bosons aprisionados e ultrafrios. Foi observado o fenomeno de

transicao de fase superfluido (SF), onde os atomos estao deslocalizados, para uma fase

isolante de Mott (MI) onde ha locali-

zacao bem definida dos atomos na rede. O JCHM pode ser usado como ferramenta

matematica para estudar esse tipo de fenomeno em redes opticas [14]. A presenca de

efeitos opticos nao lineares e comum em atomos aprisionados [16, 17]. Foi mostrado,

por exemplo, que efeitos de anamorticidade do meio tipo Kerr podem produzir estados

tipo gato de Schrodinger [18, 19].

Neste trabalho investigamos o efeito da topologia das redes de Bravais na transicao

de fase SF-MI e mostramos que a estrutura da rede influencia na transicao fase para

um pequeno numero medio de fotons e, quando o numero de fotons e grande, as redes

passam a ter comportamentos identicos. Tambem investigamos a influencia do efeito

tipo Kerr na transicao de fase SF-MI e mostramos que sua presenca pouco e percebida

no espectro de energia, mas sua influencia na transicao de fase e de grande relevancia.

Mostramos tambem que o efeito tipo Kerr aumenta o termo de hopping crıtico, o que

mostra que sua presenca privilegia a fase MI.

Este trabalho esta organizado da seguinte forma: No capıtulo 2, apresentamos

Introducao 4

os aspectos fundamentais da teoria da informacao quantica, a interacao entre atomo-

campo e um meio nao linear tipo Kerr. No capıtulo 3, introduzimos o conceito de

eletrodinamica quantica em uma cavidade onde mostramos o modelo Jaynes-Cummings

e a aproximacao de onda girante, em seguida mostramos o modelo Bose-Hubbard e a

transicao de fase superfluido-isolante de Mott. No capıtulo 4 investigamos a influencia

da topologia das redes de Bravais na transicao de fase SF-MI. No capıtulo 5mostramos

a influencia do efeito tipo Kerr na transicao de fase SF-MI. Finalmente no capıtulo 6

estao as conclusoes e as consideracoes finais da tese.

Capıtulo 2

Aspectos Fundamentais

A mecanica classica assumiu sua estrutura apos a obra de Isaac Newton publicada

em 1687 (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica). Esse trabalho representou

a primeira tentativa bem sucedida da humanidade em tratar quantitativamente e de

forma ampla os fenomenos do movimento dos corpos, sendo ate hoje amplamente apli-

cado [20]. Antes de Newton, o fısico holandes Christiaan Huygens propos que a luz

tinha propriedades ondulatorias, segundo a qual ela consistiria de vibracoes de uma

substancia chamada eter. A teoria de Huygens nao era suficientemente precisa e logo

foi ofuscada pela teoria corpuscular de Newton. Tambem em optica, Newton formu-

lou a primeira grande teoria que em 1704 foi publicada e intitulada Opticks. Nesta

teoria Newton assumiu que a luz consistia de feixes de partıculas, que se propagam

segundo as leis da mecanica [21]. O sucesso da recem criada mecanica newtoniana

foi a motivacao fundamental de tal hipotese. Tudo mudou em 1801 quando o fısico

ingles Thomas Young realizou um experimento no qual pode observar efeitos luminosos

com uma configuracao tıpica de interferencia. O experimento consistia essencialmente

em iluminar com a luz de uma fonte de tamanho pequeno um aparato contendo dois

orifıcios minusculos e muito proximos um do outro. Segundo a teoria de Young, os efei-

tos de difracao so seriam perceptıveis quando as dimensoes do objeto fossem proximas

ao comprimento de onda da onda em questao, do contrario a difracao ainda ocorreria

mas nao poderia ser detectada sem o auxılio de aparelhos. Esse trabalho culminou com

a nova discussao sobre a propriedade ondulatoria da luz [21].

Paralela as discussoes e experimentos realizados em optica, outra area da fısica se

5

CAPITULO 2. ASPECTOS FUNDAMENTAIS 6

desenvolvia a passos largos, e que seria esta teoria a explicacao que faltava para a

propriedade ondulatoria da luz. Ja em 1785 um frances chamado Charles Augustin

de Coulomb, utilizando uma balanca de torcao conseguiu quantificar a forca eletrica e

descobriu que a intensidade da forca eletrica e proporcional ao produto das cargas e in-

versamente proporcional ao quadrado da distancia entre elas. Essa nova teoria marcou

um grande passo que levou o estudo da eletricidade do qualitativo para o quantita-

tivo. Um grande exemplo disso ocorreu em 1796, quando o fısico italiano Alessandro

Volta construiu a primeira pilha. Seu invento foi o primeiro a conseguir retirar energia

eletrica de uma outra fonte que nao fosse mecanica. Volta construiu sua pilha com um

processo quımico hoje conhecido como oxido-reducao. Em 1820 um novo fenomeno foi

observado por acaso pelo fısico dinamarques Hans Christian Oersted. Ele percebeu que

quando uma corrente eletrica passa por um fio condutor, um campo magnetico e ge-

rado ao seu redor. Essa notıcia se espalhou rapidamente e muitos experimentos foram

realizados. Andre Marie Ampere, um matematico frances, logo descobriu o efeito de

duas correntes passando por fios paralelos e estabeleceu a primeira teoria matematica

desse novo fenomeno. Logo em seguida, Michael Faraday, fısico ingles, descobriu onze

anos depois de Oersted ter feito o casamento da eletricidade com o magnetismo, que

a variacao temporal magnetica ao redor de um fio gera uma corrente eletrica. Com as

descobertas de Oersted, Ampere e Fariday, tornou-se possıvel a construcao de motores

eletricos e outras formas de gerar movimento atraves da eletricidade. Coube ao fısico

escoces James Clerk Maxwell sistematizar a descricao teorica dos fenomenos eletro-

magneticos. Suas pesquisas culminaram na formulacao de quatro equacoes fundamen-

tais publicadas em 1876 e conhecidas como equacoes de Maxwell do eletromagnetismo,

cuja validade nao foi afetada pelas transformacoes ocorridas na fısica em nosso seculo.

Dessas equacoes, Maxwell deduziu a existencia de ondas eletromagneticas, algo comple-

tamente fora das cogitacoes da epoca, mas que foram confirmadas pelos experimentos

realizados por Heinrich Hertz, em 1887. Maxwell pode tambem calcular a velocidade

de propagacao das ondas eletromagneticas e, para seu espanto, verificou que o valor

obtido era o mesmo da velocidade da luz. Essa coincidencia dava indıcios de que a

luz deveria ser uma onda eletromagnetica. Maxwell conseguiu entao deduzir conexoes


quantitativas entre os parametros opticos e os parametros eletromagneticos, reduzindo

assim a optica ao eletromagnetismo, domınios ate entao tidos como completamente

independentes [21, 22].

Apos o desenvolvimento da mecanica newtoniana, da optica geometrica, da ter-

modinamica e do eletromagnetismo, muitos imaginaram que a fısica havia chegado ao

fim e que, a partir daquele momento apenas aplicacoes tecnologicas seriam realizadas.

O calcanhar de Aquiles resumia-se em explicar a radiacao do corpo negro e o efeito

fotoeletrico com as teorias existentes na epoca. Foi entao que surgiu o fısico alemao

Max Planck para mudar completamente a historia da ciencia. A entao fısica moderna

surgiu no inıcio do seculo XX (1900) apos Max Planck publicar seu trabalho onde

descrevia o problema da radiacao do corpo negro como uma distribuicao discreta de

energia, indo de encontro a todas as ideias existentes na epoca. Seu trabalho tornou-

se esquecido pois era considerado irracional admitir que a energia fosse discreta. Foi

entao que em 1905 o tambem fısico alemao Albert Einstein, publicou quatro trabalhos

que mudariam para sempre a forma de ver a fısica. Um destes trabalhos foi o for-

malismo teorico do efeito fotoeletrico em que, utilizando as ideias de Planck, Einstein

demonstrou matematicamente que o efeito fotoeletrico possuia um espectro de energia

discreto, sendo assim, compatıvel com o postulado de Planck. Para perplexidade de

todos, medicoes minuciosas realizadas em 1914 pelo grande fısico experimental norte

americano Robert Millikan confirmaram as previsoes de Einstein. Os experimentos de

Millikan deram como frutos dois premios Nobel da fısica, um para Einstein em 1921 e

outro a si proprio em 1923 pela determinacao da razao carga/massa do eletron [1, 21].

Apos estes brilhantes estudos, a fısica quantica se tornou a ideia do momento e muitos

cientistas da epoca trataram de elaborar uma teoria quantica, mais conhecida como

mecanica quantica. Com o desenvolvimento da nova mecanica, surgiu a necessidade

de explicar quanticamente fenomenos que so eram descritos classicamente como a ter-

modinamica, a optica e o eletromagnetismo. A quantizacao dos campos classicos foi

o primeiro desafio da nova ciencia e o primeiro grande passo para o fortalecimento da

fısica moderna. A quantizacao do campo eletromagnetico propiciou o desenvolvimento

da Optica quantica enquanto que o tratamento quantico da termodinamica e de sis-


temas de muitos corpos levou ao desenvolvimento da mecanica estatıstica quantica.

Estas duas teorias estao presentes na maioria dos objetos que utilizamos diariamente

como televisao, celular, micro-ondas, geladeira e computador [23, 24, 25, 26].

Na secao (2.1) faremos uma breve revisao da teoria da informacao quantica e da

necessidade do surgimento dos conceitos quanticos como ferramenta para o desenvol-

vimento da computacao do seculo XXI. Em seguida, na secao (2.2), mostraremos de

forma detalhada a interacao de um atomo de dois nıveis com um campo eletromagnetico

e por fim, faremos uma abordagem teorica do efeito optico nao linear tipo Kerr na secao

(2.3).


2.1 Informacao Quantica

“Nao estamos nem perto de finalizar

o sonho basico do que o PC pode ser”

Bill Gates

Paralelamente ao desenvolvimento da ciencia da computacao nos anos 40, outra

revolucao cientıfica ocorria na area da teoria da informacao. Em 1948, Claude Shan-

non publicou uma serie de trabalhos que se tornariam os fundamentos da teoria da

informacao e da comunicacao [27]. Shannon definiu matematicamente o conceito de

informacao. Na pratica, ele desenvolveu dois teoremas basicos onde, no primeiro quan-

tificava os recursos fısicos necessarios para se transmitir ou armazenar uma certa quan-

tidade de informacao sem ruıdos; e no segundo quantificou a quantidade de informacao

util que pode ser transmitida atraves de um canal com ruıdos e, para este caso, de-

senvolveu codigos corretores de erros [2]. Uma utilizacao importante para a entropia e

que podemos utiliza-la para quantificar os recursos necessarios para armazenarmos in-

formacao. A entropia de Shannon H(x) = −∑

k pxklog2(pxk

) e uma funcao que mede a

quantidade de informacao associada a uma variavel aleatoria X = xk|k ∈ I ⊂ N que

e o domınio de uma distribuicao de probabilidade p : X → [0, 1]. A entropia de Shan-

non tambem e conhecida como a entropia classica pois existe uma generalizacao para

o caso de eventos descritos por mecanica quantica, conhecida como entropia de Von

Newmann dada por S(ρ) = −tr(ρ log2 ρ) onde ρ e o operador densidade ρ = |Ψ⟩⟨Ψ|.

Em teoria da informacao classica, a menor unidade de informacao e conhecida

como bit e possui apenas dois valores possıveis que sao 0 ou 1. Estes valores podem

ser interpretados como verdadeiro ou falso. Com o avanco da mecanica quantica e

a necessidade de processadores mais velozes e maior capacidade de armazenamento

de informacao, surgiu entao a necessidade de uma nova interpretacao para o conceito

de bit. De forma analoga ao bit classico, o bit quantico (qubit) possui dois estados

quanticos possıveis que sao dois vetores |0⟩ e |1⟩ pertencentes ao espaco de Hilbert.


A diferenca entre o bit e o qubit e que um estado quantico qualquer |Ψ⟩ pode ser

produzido a partir do princıpio da superposicao dos estados (Postulado 1) |0⟩ e |1⟩ de

forma que

|Ψ⟩ = α|0⟩+ β|1⟩, (2.1)

onde α e β ∈ C e |0⟩ e |1⟩ sao vetores ortogonais geradores do espaco vetorial com

α2 + β2 = 1.

Podemos interpretar estados fısicos do tipo Eq. (2.1) de varias formas. Podemos

imaginar que o estado |1⟩ e o eletron com o spin ↑ enquanto que o estado |0⟩ representa

o spin ↓ ao longo do eixo z onde e possıvel mover o estado |0⟩ → |1⟩ e vice-versa. Outra

interpretacao e imaginar um atomo onde apenas dois nıveis de energia sao possıveis

de forma que o estado |1⟩ e o estado excitado do atomo enquanto que |0⟩ e o estado

fundamental de energia e estando os demais nıveis fora da ressonancia. O interessante

e que teoricamente e possıvel reduzir a duracao do estımulo de um eletron que se

encontra inicialmente em |0⟩ e leva-lo a um estado intermediario entre |0⟩ e |1⟩. Como

α2 + β2 = 1, temos entao

|Ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩+ eiϕsen(θ/2)|1⟩, onde θ e ϕ ∈ R. (2.2)

Os numeros θ e ϕ definem um ponto sobre a superfıcie de uma esfera de raio r = 1

conhecida como esfera de Bloch mostrada na figura (2.1).

O paradoxo e que aparentemente em um qubit e possıvel armazenar infinitas in-

formacoes ja que a superfıcie da esfera de Bloch esta sobre a reta real, mas quando o

estado |Ψ⟩ e lido, o estado superposto e colapsado em |0⟩ ou |1⟩.

Consideremos agora o caso de um atomo onde apenas dois nıveis de energia sao

considerados e que todos os outros estados estacionarios sao ignorados restando assim

um sistema de dois nıveis. Esta aproximacao e bastante utilizada pelo fato de permitir

um tratamento analıtico e completo da dinamica fısica em questao. Assim, definimos

|g⟩ e |e⟩ como os estados fundamental e excitado do atomo, respectivamente. Podemos


Figura 2.1: Esfera de Bloch

assim representar matricialmente estes estados na forma

|g⟩ =

[01

](2.3a)

|e⟩ =

[10

]. (2.3b)

O desenvolvimento de nossas ferramentas matematicas comeca com a definicao de

operadores que possam agir sobre o sistema quantico em questao. Operacoes sobre

um qubit da forma |Ψ⟩ = α|g⟩ + β|e⟩ devem preservar a sua norma, e portanto sao

descritas por matrizes unitarias 2×2. Um conjunto de matrizes unitarias 2×2 bastante

utilizadas sao as matrizes de Pauli pois qualquer matriz 2 × 2 pode ser escrita como

uma combinacao linear das tres matrizes de Pauli que sao descritas por

σx =

[0 11 0

], (2.4a)

σy =

[0 −ii 0

], (2.4b)

σz =

[1 00 −1

]. (2.4c)


Precisamos entao definir operadores de forma a levar meu sistema do seu estado

fundamental |g⟩ para o estado excitado |e⟩ e vice-versa. Vamos entao definir os opera-

dores σ+ como operar de levantamento e σ− como operador de abaixamento de nıvel

a serem escritos utilizando a base formada pelas matrizes de Pauli.

σ+ =σx + iσy

2=

[0 10 0

], onde σ+|g⟩ = |e⟩ (2.5a)

σ− =σx − iσy

2=

[0 01 0

], onde σ+|e⟩ = |g⟩ (2.5b)

σz =[σ+, σ−] = [

1 00 −1

], onde

σz|g⟩ = −|g⟩σz|e⟩ = |e⟩

. (2.5c)

Dessa forma, torna-se possıvel, utilizando os operadores descritos acima, a im-

plementacao de um modelo matematico para o estudo de um atomo de dois nıveis

comportando-se como um qubit. Uma forma de estimular o atomo de sair do estado

fundamental e ir para o seu estado excitado e utilizando um campo eletromagnetico in-

teragindo com o atomo. Esta interacao pode ser controlada fazendo com que o sistema

possa oscilar de |g⟩ |e⟩ a depender da intensidade do campo. Na secao seguinte fa-

remos a descricao da interacao de um atomo de dois nıveis interagindo com um campo

eletromagnetico.


2.2 Interacao Atomo-Campo

“A mente que se abre a uma nova ideia

jamais voltara ao seu tamanho original”

Albert Einstein

Fısica das radiacoes e a area da fısica que estuda a interacao da radiacao com a

materia. Sua aplicabilidade pode ser encontrada na area medica com a criacao de

equipamentos para uma melhor analise clınica dos pacientes como tambem em estudos

avancados de optica. Na regiao do espectro que vai do raio x ao raio γ existem varias

interacoes possıveis com o atomo ou com o eletron. Uma situacao simples em que

envolve a interacao de um atomo com um campo eletromagnetico e o acoplamento de

um atomo de dois nıveis com um unico modo de radiacao conhecido como sistemas

de dois nıveis [25]. Consideramos um sistema de dois nıveis quando apenas dois nıveis

vizinhos de energia estao em ressonancia ou muito proximo desta e que os demais nıveis

de energia estao distantes da frequencia ressonante.

Em uma aproximacao de dipolo onde assumimos que o campo eletromagnetico e

uniforme sobre todo o atomo, podemos encontrar a interacao de um atomo com um

campo E atraves do hamiltoniano

H = Hc + Ha − er · E, (2.6)

onde Hc e a energia do campo eletromagnetico enquanto que Ha e a energia do atomo.

O vetor r e o vetor posicao do atomo e e a carga fundamental eletrica [25].

A energia do campo eletromagnetico pode ser representada em termos de segunda

quantizacao utilizando os operadores de criacao a† e aniquilacao a que pode ser visto

na equacao (A.38) do Apendice I. Sendo assim, temos entao que

Hc =∑k

ℏωk(a†kak +

1

2). (2.7)


Vamos agora expressar a energia do atomo em termos de operadores de transicao

atomica como mostrado na secao anterior. Seja |i⟩ um conjunto complexo de auto-

estados, sendo estes auto-normais |i⟩⟨j| = δi,j com Ha|i⟩ = Ei|i⟩. A energia atomica e

entao dada por

Ha =∑i

Ei|i⟩⟨i|. (2.8)

Como estamos tratando de um atomo de dois nıveis onde |g⟩ e |e⟩ sao os estados

fundamental e excitado do atomo, respectivamente, utilizando a equacao (2.8) temos

que a enegia do atomo e entao

Ha = Ee|e⟩⟨e|+ Eg|g⟩⟨g| =1

2ℏωeg(|e⟩⟨e| − |g⟩⟨g|) + 1

2(Ee + Eg)1, (2.9)

em que ℏωeg = Ee−Eg e a energia de transicao atomica e 1 = |e⟩ ⟨e|+ |g⟩ ⟨g| e a matriz

identidade. O ultimo termo e uma constante e assim e possıvel incorpora-lo em uma

adequada escala de energia.

Utilizando as matrizes definidas nas equacoes (2.3) podemos entao observar que

σz = |e⟩⟨e| − |g⟩⟨g|, assim, temos a energia da transicao atomica dada pela equacao

Ha =1

2ℏωegσz. (2.10)

Vamos agora tratar do termo de interacao atomo-campo que e representado pela

ultima expressao da equacao (2.6). De forma analoga ao campo eletromagnetico, o

campo eletrico pode ser quantizado de forma que sua expressao matematica e dada

por

E =∑k

ekEk(a†k + ak), (2.11)

onde Ek = (ℏωk/2ϵ0V )12 .

Semelhantemente ao que foi feito para a energia de transicao atomica, vamos es-

crever o termo de transicao de dipolo eletrico em termos de segunda quantizacao e

matrizes de Pauli tal que

er = e∑i,j

|i⟩⟨i|r|j⟩⟨j| =∑i,j

℘i,j|i⟩⟨j|, (2.12)


Figura 2.2: Ilustrac~ao de um atomo de dois nıveis sob a influencia de um

campo eletromagnetico.

onde ℘i,j = e⟨i|r|j⟩ e o elemento de matriz de transicao de dipolo eletrico. Utilizando

agora as equacoes (2.11) e (2.12) encontramos

er · E =∑i,j

∑k

℘i,jk |i⟩⟨j| · ekEk(a

†k + ak). (2.13)

Por se tratar de um atomo de dois nıveis e admitindo que os elementos sao reais,

temos que∑

i,j ℘i,jk = ℘g,g

k + ℘g,ek + ℘e,g

k + ℘e,ek . Os termos ℘g,g

k = ℘e,ek = 0 pois nao ha

transicao entre os mesmos estados enquanto que ℘g,ek = ℘e,g

k = ℘k. Assim, escrevendo

na forma matricial encontramos

℘i,jk = ℘k

[0 11 0

]= ℘k(σ

+ + σ−). (2.14)

Sendo assim, a energia de interacao atomo-campo para um sistema de dois nıveis e

entao

er · E = ℏ∑k

Ωk(σ+ + σ−)(a†k + ak), (2.15)

sendo Ωk = −℘kEk

ℏ .

Assim, temos que o hamiltoniano de interacao de um campo eletromagnetico com

um atomo de dois nıveis e dado por

H = ℏ∑k

ωk(a†kak +

1

2) +

1

2ℏωegσz + ℏ

∑k

Ωk(σ+ + σ−)(a†k + ak). (2.16)

O hamiltoniano (2.16) nao possui solucao analıtica. Apesar do primeiro e do se-

gundo termos do hamiltoniano serem diagonais, o ultimo termo e nao diagonal e nao


conserva o numero de excitacoes. Uma solucao muito peculiar para este hamiltoniano

e encontrada a partir de uma aproximacao chamada de aproximacao de onda girante

(RWA). A nao conservacao da energia do ultimo termo como tambem a aproximacao

RWA serao melhor discutidos na secao (3.1). Veremos que a partir dessa aproximacao

e possıvel encontrarmos uma solucao analıtica para o hamiltoniano (2.16).


2.3 Meio tipo Kerr

“A tarefa e, nao tanto para ver o que ninguem viu ainda, mas pensar

o que ninguem ainda pensou, sobre o que todo mundo ve”

Erwin Schrodinger

Quando um material e submetido a um campo eletrico, os eletrons que compoem

o material sofrem um efeito chamado de polarizacao. Quando a intensidade do campo

incidente e menor que o campo intra-atomico, o ındice de refracao do meio independe

da intensidade do campo e a polarizacao e proporcional a intensidade do campo eletrico

incidente e dado por [26]

P = εoχ(1)E, (2.17)

sendo εo a constante dieletrica do vacuo, χ(1) a susceptibilidade optica linear e E o

campo eletrico incidente.

Quando o campo incidente e da ordem ou superior ao campo intra-atomico, a

distribuicao dos eletrons pode alterar, gerando diferentes ındices de refracao e a sua

propagacao atraves do meio dependera da intensidade do campo incidente. Como

resultado, a polarizacao induzida no meio e nao linear e satisfaz uma relacao mais

geral [28]

P = εoχ(1)E+ εoχ

(2)E2 + εoχ(3)E3..., (2.18)

onde χ(2) e χ(3) sao as susceptibilidades nao lineares de segunda e terceira ordem

respectivamente.

Como mostrado na referencia [29], um meio nao linear pode ser modelado classica-

mente como um oscilador anarmonico com frequencia ω tal que

H = Hc +µ

ω(H2

c /ω −Hc), (2.19)

de forma que Hc e o oscilador harmonico simples e µ e o parametro de anarmoticidade

relacionado a nao linearidade do meio. Na descricao quantica desse efeito, e necessario


que tratemosHc como um oscilador harmonico quantico que e dado porHoh = ℏω(a†a+12) ≈ ℏω(a†a) como demonstrado no apendice I. Temos assim

H = ℏωa†a+µ

ω((ℏω(a†a))2/ω − ℏω(a†a)) = ℏωa†a+ ℏµ[(a†a)2 − a†a]. (2.20)

Podemos ver que pela regra de comutacao [a, a†] = 1, podemos facilmente reescrever

o ultimo termo da equacao acima como ℏµa†2a2. Dessa forma

H = ℏωa†a+ ℏµa†2a2 (2.21)

Se tivermos um campo eletromagnetico interagindo com o meio nao linear onde a† e

a sao os operadores nao lineares de frequencia ω enquanto que b† e b sao os operadores

do campo com frequencia ω0, o hamiltoniano de interacao sera dado por [30]

H = ℏωa†a+ ℏµa†2a2 + ℏω0b†b+ ℏg(a†b+ b†a) (2.22)

onde g e o termo de acoplamento do meio nao-linear com o campo.

No limite quando ω0 e ω estao em grande dessintonia, uma aproximacao chamada

de limite adiabatico, que e muito utilizada em optica nao-linear, pode ser utilizada.

Este metodo assume que o tempo de resposta do meio e muito menor do que a escala

de tempo tıpico da cavidade. Dessa forma, e possıvel introduzir a susceptibilidade nao-

linear de terceira ordem, tornando o sistema soluvel analiticamente e o hamiltoniano

efetivo e escrito em termos dos operadores b† e b tal que

H = ℏωb†b+ ℏξb†2b2, (2.23)

sendo ξ = µg4

(ω−ω0)4e ω = ω − g2

ω−ω0[30, 31].

O termo ξ e proporcional a susceptibilidade de terceira ordem χ(3) que esta associada

a um meio tipo Kerr [32].

Capıtulo 3

Eletrodinamica Quantica deCavidade(QEDC)

Eletrodinamica quantica em cavidade tem como objetivo o estudo da interacao en-

tre a radiacao e a materia em seu nıvel mais fundamental [33, 34]. Ha dois domınios

de atuacao: experimentos de domınio optico (luz com comprimento de onda proximo

ao visıvel) usando nıveis atomicos pouco excitados e experiencias com atomos de Ryd-

berg, e cavidades micro-onda (com frequencia de ressonancia tipicamente entre 20 e

60 GHz) [35, 36]. Nosso interesse nesse capıtulo e o estudo da interacao do campo

eletromagnetico com atomos de Rydberg aprisionados em cavidades de alto fator de

qualidade. Devido ao fato de estes atomos possuırem um elevado numero quantico

principal, o eletron mais excitado passa a maior parte do tempo muito afastado do

nucleo e dos demais eletrons, tornando o seu comportamento similar ao de um atomo

de hidrogenio com um nucleo atomico com carga Z blindado por Z-1 eletrons e, assim,

tendo um potencial muito semelhante ao do atomo de hidrogenio que possui energia

En = − Rn2 , onde R = 13, 6eV .

Devido as suas propriedades serem bastante semelhantes as do atomo de hidrogenio,

o momento de dipolo de transicao entre dois estados de Rydberg n→ n− 1 sera dado

aproximadamente por p = n2ea0, onde e e a carga do eletron e a0 = 0, 53× 10−10m e o

raio de Bohr. Como n e muito grande, vemos claramente que o dipolo eletrico tem um

valor muito elevado em comparacao ao gerado por outros atomos, como ja comentado

anteriormente.

Uma classe muito importante de atomos de Rydberg sao os denominados atomos

19

Eletrodinamica Quantica de Cavidade(QEDC) 20

circulares, em que o momento angular orbital l e sua projecao em z, tem valores

maximos m = l = n− 1. Assim, pela regra de selecao de dipolo eletrico δl = ±1, esses

estados so podem se acoplar aos estados circulares imediatamente superiores (n + 1)

ou inferiores (n − 1). Dessa forma, pode-se utilizar atomos de Rydberg com numero

quantico principal adjacente a n = 50 (estado fundamental |g⟩) e n = 51 (estado

excitado |e⟩) para implementar sistemas de dois nıveis.

Uma propriedade essencial de atomos de Rydberg e seu longo tempo de vida. So

para tıtulo de comparacao, um atomo circular com n ≈ 50 tera um tempo de vida de

30ms enquanto que o mesmo em seu estado fundamental estara na ordem de 10−5s.

Com isso, o atomo nao muda seu estado entre a cavidade e o detector, permitindo a

realizacao de experimentos como mostrado na figura (3.1) em que atomos de Rydberg

(Rubıdio) sao emitidos de O e selecionados em B no estado excitado |e⟩ com n = 51 e

com uma velocidade controlada ate atravessarem a cavidade C que possui uma fonte

eletromagnetica S em ressonancia δ = ωeg − ω = 0. Seu estado final e analisado no

detector D e, assim, e analisado a controlabilidade da transicao |e⟩ |g⟩ atraves das

caracterısticas da cavidade e do campo [37].

Em cavidades de alto fator de qualidade onde o tempo de vida do campo na cavidade

e alto, o tempo de vida do campo eletromagnetico sera tanto maior quanto maior for

o fator de qualidade da cavidade, o que pode ser determinado por

Q = τυω, (3.1)

onde τυ e o tempo de vida e ω e a frequencia do campo armadilhado. A cavidade

funciona como uma memoria quantica efetiva porque a transferencia de informacao se

completa apos um tempo de atraso durante a passagem do atomo.

Quando resfriadas a temperaturas de aproximadamente 0, 5 K, cavidades supercon-

dutoras de Niobio apresentam baixo numero medio de fotons termicos, em frequencia

da ordem de 20 GHz e fator de qualidade Q ≈ 108 [38]. Este fator de qualidade per-

mite fazer com que os campos de radiacao com frequencia na regiao de microondas

(ω ≈ 1010Hz) possuam um tempo de vida da ordem de 10−3 a 10−2 segundos [38].

As frequencias do campo e das transicoes atomicas podem ser ajustadas de modo a


Figura 3.1: Esquema de uma cavidade de Microondas utilizando atomos

de Rydberg para a analise de transic~ao de estado quantico |e⟩ |g⟩.Figura retirada da referencia [37]

obter dois tipos de interacao radiacao-materia: ressonante ou dispersiva. Na interacao

ressonante, a frequencia do campo de radiacao e igual a frequencia de transicao atomica,

assim, a dessintonia δ = ωeg − ω, discutida na seccao (3.1) e igual a zero. No caso

dispersivo, utiliza-se o efeito Stark, que consiste em aplicar um campo eletrico nas

paredes da cavidade atraves da fonte de radiacao S ′, provocando um alargamento entre

os nıveis de energia do atomo, fazendo com que a frequencia de transicao atomica seja

diferente da frequencia do campo na cavidade, obtendo assim uma interacao dispersiva

entre o atomo e o campo.

Neste capıtulo, iniciaremos abordando o JCM que descreve a interacao de um campo

eletromagnetico com um atomo de dois nıveis. Ainda na secao (3.1), introduziremos

a aproximacao RWA que torna a solucao do hamiltoniano de Jaynes-Cummings exato

com a conservacao do numero de excitacoes. Na secao (3.2), faremos uma breve ex-

planacao do modelo Bose-Hubbard e discutiremos a transicao de fase SF-MI.


3.1 O Modelo Jaynes-Cummings e Aproximacao de

Onda Girante

“Cada atomo, feliz ou miseravel,

gira apaixonado em torno do sol”

Jalaluddin Rumi

Na teoria semi-classica da interacao atomo-campo, apenas o atomo e quantizado

enquanto o campo eletromagnetico e tratado como uma funcao definida no tempo e

nao como um operador. Esta teoria explica muitos fenomenos que sao observados em

otica moderna como por exemplo a existencia de ciclos de Rabi em que quando as

frequencias de transicao atomica e do campo estao em ressonancia ou proximas dela,

a troca de energia entre o atomo e o campo possui periodicidade e as probabilidades

de excitacao atomica possuiem energias bem definidas. Foi descoberto mais tarde

que o ressurgimento da inversao da populacao atomica apos seu colapso (collapse-

revival) e uma consequencia direta da singularidade de estados do campo (fotons). Foi

demonstrado que quando o campo e preparado num estado numero, temos as oscilacoes

de Rabi, ou seja, a troca de energia entre o atomo e o campo possui periodicidade, mas

quando o campo e preparado em um estado coerente, as oscilacoes de Rabi colapsam e

ressurgem apos um tempo que depende da intensidade do campo [39, 40], ou seja, um

efeito puramente quantico que nao poderia ser explicado pela teoria semi-classica. Este

fenomeno foi explicado posteriormente com a utilizacao do JCM. O modelo de Jaynes-

Cummings e um modelo teorico de optica quantica que descreve a interacao entre um

atomo de dois nıveis com um modo quantizado do campo eletromagnetico em uma

cavidade optica com ou sem a presenca da luz. Este modelo foi originalmente proposto

em 1963 por Edwin Jaynes e Fred Cummings com o intuito de estudar a relacao entre

a teoria quantica da radiacao e a teoria semi-classica para descrever o fenomeno da

emissao espontanea [6]. Por se tratar de uma interacao atomo-campo, podemos partir

da equacao (2.16) que tem para um unico modo de campo o hamiltoniano de interacao


dado por

Hint = −ℏΩ(σ−a†k + σ+ak + σ+a†k + σ−ak). (3.2)

O termo correspondente a energia de interacao atomo-campo da equacao (3.2) con-

siste em quatro termos onde o primeiro σ−a†k descreve o processo onde o atomo inicial-

mente encontra-se excitado e e levado para o estado fundamental e um foton de modo

k e emitido. O termo seguinte σ+ak descreve o processo inverso, ou seja, o atomo

encontra-se no estado fundamental e e excitado absorvendo um foton. A energia e

conservada para ambos os processos acima. O termo σ−ak descreve o processo onde o

atomo inicialmente esta no estado excitado e e levado para o estado fundamental ao

absorver um foton. O ultimo processo σ+a†k e inverso ao anterior e ambos nao conser-

vam o numero de excitacoes do sistema. A figura (3.2) mostra este processo de forma

mais clara.

Para estudarmos a dinamica do hamiltoniano (3.2), podemos escreve-lo na repre-

sentacao de interacao onde H0 = Ha+ Hc onde Ha e Hc sao os termos do hamiltoniano

(2.16) correspondentes a energia do atomo e do campo respectivamente.

Hint = eiH0t/ℏHinte−iH0t/ℏ (3.3)

Sabemos que os operadores atomicos e de campo comutam entre si. Entao, admi-

tindo um unico modo do campo ω, podemos escrever Hint na forma

Hint = ℏg[eiHat/ℏ(σ+ + σ−)e−iHat/ℏeiHct/ℏ(a†k + ak)e−iHct/ℏ], (3.4)

onde

eiHat/ℏσ+e−iHat/ℏ = σ+e−iωegt,

eiHat/ℏσ−e−iHat/ℏ = σ−eiωegt,

eiHct/ℏa†e−iHct/ℏ = a†e−iωt,

eiHct/ℏae−iHct/ℏ = aeiωt.

Utilizando os resultados obtidos acima, podemos reencrever o hamiltoniano de in-


Figura 3.2: Interac~ao atomo-campo no modelo Jaynes-Cummings: (a) σ−a†k,

(b) σ+ak, (c) σ−ak e (d) σ+a†k

teracao como sendo

Hint = ℏΩ(σ+aei(ωeg−ω)t + σ+a†ei(ωeg+ω)tσ−ae−i(ωeg+ω)t + σ−a†e−i(ωeg−ω)t). (3.6)

Os termos σ+a e σ−a† sao multiplicados por exponenciais complexas com frequencia

ωeg − ω e sao chamados de termos girantes. Os outros dois termos da equacao (3.6)

sao conhecidos como contra-girantes e sao multiplicados por exponenciais complexas

com frequencia ωeg+ω. Se utilizarmos a aproximacao de onda girante (RWA), ou seja,

quando ωeg + ω ≫ ωeg − ω, podemos desprezar os termos contra-girantes quando o

sistema estiver proximo da ressonancia ωeg − ω ≈ 0 pois os termos girantes oscilam


Figura 3.3: Esquema dos nıveis de energia descrito pelo hamiltoniano

(3.7). Cada nıvel de energia corresponde ao respectivo autovetor no

espaco de Hilbert. Figura retirada da referencia [41]

lentamente enquanto que os termos contra-girantes oscilam muito mais rapido. Assim, e

esperado que os termos contra-girantes estejam longe da ressonancia, nao contribuindo

com a evolucao do sistema. Desta forma, o hamiltoniano de interacao atomo-campo

com a aproximacao RWA e dado por

HJC = ℏ∑k

ωk(a†kak +

1

2) +

1

2ℏωegσz + ℏ

∑k

Ωk(σ+ak + σ−a†k) (3.7)

que e o modelo Jaynes-Cummings que possui solucao analıtica.

Em uma situacao simplificada do modelo, o atomo esta no estado excitado |e⟩

enquanto o modo do campo da cavidade encontra-se no estado de vacuo |0⟩ ou, o

atomo encontra-se em seu estado fundamental |g⟩ e um foton e liberado pelo atomo

e permanece preso na cavidade pronto para ser reabsorvido. Apesar do decaimento

irreversıvel da energia atomica, observamos que existe uma oscilacao entre os dois

estados quanticos |e, 0⟩ e |g, 1⟩, onde esta oscilacao e denominada de frequencia de

Rabi Ω = 12er0ε sendo ε =

√ℏω

2ϵ0Va amplitude do campo da cavidade e V o seu

volume.

Devido a aproximacao RWA, vemos que o ultimo termo do hamiltoniano (3.7)

passa a ter apenas termos que conservam a energia. Alem disso, o numero total de

excitacoes do sistema passa a ser uma constante de movimento [(Nex = a†a + σ+σ−),

onde [HJC , Nex] = 0]. Estas particularidades nos permitem encontrar a solucao exata


para o JCM de forma que os autoestados do hamiltoniano (3.7) serao (Ver apendice

II )

|n,±⟩ =Ω√n|n, g⟩+ (− δ

2± χn)|n− 1, e⟩

√2χn

√χn ∓ δ

2

. (3.8)

Os termos χn =√nΩ2 + (δ/2)2 e δ = ωeg − ω sao respectivamente a frequencia de

Rabi generalizada e a dessintonia (detuning) entre o atomo e o campo. Assim, sendo

|n, g⟩, |n− 1, e⟩n∈N∗ os vetores da base no espaco de Hilbert, temos

En+ = ℏωn− (

ω − ωeg

2) + ℏ

√nΩ2 + (δ/2)2 (3.9a)

En− = ℏωn− (

ω − ωeg

2)− ℏ

√nΩ2 + (δ/2)2 (3.9b)

os autovalores do modelo Jaynes-Cummings com autoestados definidos na equacao

(3.8). Estes resultados estao melhor detalhados no apendice II dessa tese.

A figura (3.3) mostra o espectro de energia do modelo Jaynes-Cummings para o

caso nao ressonante. O modelo Jaynes-Cummings e um modelo teorico amplamente

estudado. Sua implementacao experimental vem sendo desenvolvida gradativamente

ao longo dos anos com novas tecnicas de aprisionamento de ıons atraves da criacao de

cavidades opticas de alta qualidade. O modelo Jaynes-Cummings-Hubbard (JCHM),

que pode ser tratado como uma generalizacao do JCM. O JCHM possui o termo de

hopping que possibilita a itinerancia dos fotons entre as cavidades. Este modelo e

utilizado por exemplo para o estudo da transicao de fase superfluido-isolante de Mott.

Na secao seguinte, iremos discutir melhor a transicao de fase SF-MI.


3.2 Modelo Bose-Hubbard e a Transicao de Fases

Superfluido-Isolante de Mott

“A imaginacao e mais importante que a ciencia, porque a ciencia e limitada,

ao passo que a imaginacao abrange o mundo inteiro”

Albert Einstein

A fısica do estado solido e um dos maiores ramos de pesquisa da fısica da materia

condensada. As principais teorias e pesquisas nessa area estao focadas no estudo de

cristais devido a periodicidade dos atomos que facilita a modelagem matematica, e

tambem porque materiais cristalinos frequentemente possuem propriedades eletricas,

magneticas, opticas, ou mecanicas que podem ser explorados para fins de aplicacao em

engenharia. Porem, quando um gas de bosons e resfriado a baixas temperaturas e os

comprimentos de onda de de Broglie dos atomos se tornam da ordem das distancias

interatomicas, os bosons sofrem uma transicao de fase passando a formar uma nuvem

de atomos densa e coerente onde todos os atomos ocupam o mesmo estado quantico

conhecido como condensado de Bose-Einstein (CBE) [42, 43, 44]. Este fenomeno foi

teoricamente concebido por Bose e Einstein em 1925 e sua primeira realizacao experi-

mental foi realizada por Anderson et al em 1995 [42]. Diferentemente do que ocorre

em um cristal em que temos uma rede fixa e bem definida como mencionado anterior-

mente, em um CBE os parametros da rede podem ser controlados com facilidade. Por

exemplo, a periodicidade e a profundidade de cada sıtio porem ser modificados atraves

da frequencia e da intensidade do laser que forma o CBE.

Em fısica, os fenomenos da transicao de fase sao estudados desde fenomenos classicos

como a mudanca do estado de um lıquilo para um estado solido ate fenomenos pura-

mente quanticos como mudanca de estado magnetico da materia. Fenomeno crıtico

e um evento associado a fısica que ocorre em um determinado ponto crıtico. Tais

fenomenos incluem divergencias de leis de potencias como a susceptibilidade em transicoes

de fase ferromagneticas que e descrita por expoentes crıticos, entre outros. Ao contrario


Figura 3.4: Transic~ao de fase Superfluido-Isolante de Mott. No estado

SF o sistema esta deslocalizado enquanto que no estado MI (U ≫ t)prevalece a localizac~ao dos atomos [15]

de transicoes de fase classicas que ocorrem por flutuacoes termicas, transicoes de fase

quantica (TFQ) ocorrem em temperatura nula (T= 0K) e, portanto, sao governadas

por um parametro de ordem nao termico, como por exemplo, a pressao externa. Desse

modo, em um certo valor crıtico do parametro de ordem da transicao, o sistema sofre

uma transicao de fase, passando de um estado fundamental para outro, promovida

pelas flutuacoes puramente quanticas do sistema. Uma transicao de fase quantica e

caracterizada pela divergencia do comprimento de correlacao do sistema ξ e de uma

divergencia no tempo de correlacao τ a medida que o parametro de ordem se apro-

xima de um ponto crıtico. Esse ponto de instabilidade, onde as flutuacoes adquirem

correlacoes de longo alcance, tanto no espaco quanto no tempo sao chamados de PCQ

[45].

Seja o Hamiltoniano H(u), que varia em funcao de uma constante de acoplamento

adimensional u. Este hamiltoniano pode descrever um sistema com N atomos nos sıtios

de uma rede, por exemplo. Em geral, as propriedades fısicas do estado fundamental


do sistema variam suavemente conforme variamos o parametro adimensional u, mas

a depender das caracterısticas do Hamiltoniano, pode ocorrer situacoes onde exista

o cruzamento de nıveis entre o estado fundamental e primeiro excitado. Em outras

palavras, pode existir um ponto u = uc em que o primeiro estado excitado se torna

o estado fundamental do sistema, gerando um ponto nao analıtico da energia do es-

tado fundamental em funcao de u. Um comportamento semelhante acontece quando

o numero N de atomos, sıtios ou spins tendem ao infinito. Os nıveis fundamental e

primeiro excitado, quando variamos o parametro u, podem se repelir na vizinhanca

de algum ponto uc, e, a medida que aumentamos o valor de N, a distancia entre os

dois nıveis de energia fica cada vez menor, levando no limite, ao surgimento de um

ponto nao analıtico em u = uc. Numa transicao de fase contınua, o comportamento

nao analıtico de certas grandezas termodinamicas e determinado pelos modos que tem

grandes comprimentos de correlacao no ponto crıtico. Assim sendo, as flutuacoes do-

minantes possuem grandes comprimentos de onda e podem entao serem desprezadas

as derivadas de ordem superiores na expressao da energia livre. Qualquer ponto nao

analıtico na energia do estado fundamental no caso limite N → ∞ do sistema, e consi-

derado uma manifestacao da Transicao de Fase Quantica. Esta nao analiticidade pode

ser tanto devido ao cruzamento de nıveis ou devido ao limite da repulsao dos nıveis

[45].

Como na transicao de fase classica, existem as transicoes de fase quantica de pri-

meira e de segunda ordem. As TFQ de primeira ordem sao aquelas que possuem um

cruzamento de nıveis e este cruzamento persiste no limite N → ∞, ja as TFQ de se-

gunda ordem sao aquelas em que a escala de energia caracterıstica das flutuacoes acima

do estado fundamental vao a zero quando u se aproxima de uc. O grande questiona-

mento que deve ser feito e com respeito a impossibilidade experimental de alcancarmos

a temperatura zero absoluto. Faz-se entao necessario nos questionarmos o que ocorre

com o ponto crıtico a temperatura nao nula. Precisamos assim distinguir flutuacoes de

carater predominantemente termico e quantico. Para isto, basta comparar a energia

termica kβT com a energia de escala quantica ℏωc. Flutuacoes quanticas serao impor-

tantes enquanto sua energia de escala tıpica for maior do que a energia termica kβT


[46].

Em 2002, Greiner et al [15] mostraram experimentalmente uma transicao de fase

que ocorre em uma rede opticas com bosons ultrafrios aprisionados. Neste experimento

foi observado em temperaturas proximas a T = 0K a existencia de uma fase superfluido

(SF) onde os atomos estavam deslocalizados. E a partir de mudancas de parametros

da rede tal como sua profundidade, o sistema passou para uma fase onde os atomos

estavam localizados em todos os sıtios da rede chamado de fase isolante de Mott (MI).

A figura (3.4) mostra o esquema da transicao de fase observada por Greiner et al.

Observe que inicialmente o nosso sistema encontra-se em um regime superfluido onde

as partıculas encontram-se deslocalizadas. Sabemos que classicamente a probabilidade

de um atomo pular de um sıtio para outro quando sua energia e inferior a potencial

e zero, mas devido a existencia do fenomeno puramente quantico de tunelamento e

sabido que a probabilidade de um atomo mudar de sıtio para outro, mesmo que sua

energia seja menor que a energia do poco de potencial e diferente de zero. Como em

redes opticas temos a possibilidade de ocupacao de dois, tres ou mais partıculas por

sıtio, e possıvel a visualizacao desse fenomeno de transicao. Entao, se considerarmos

haver interacao U entre as partıculas, o sistema preferira uma ocupacao individual,

assim, fica claro que ha uma competicao entre o tunelamento t e a interacao entre as

partıculas U .

Como mencionado, o primeiro modelo a estudar este tipo de transicao foi o modelo

de Bose-Hubbard e seu hamiltoniano e escrito como

H = −∑<ij>

tij a†i aj − µ

∑i

ni +1

2

∑i

Uni(ni − 1), (3.10)

onde tij e o termo de hopping, n o operador numero, U a interacao e µ o potencial

quımico.

Quando t ≫ U , o termo de hopping e dominante no modelo de Bose-Hubbard

e os atomos podem circular livremente por todos os sıtios e podendo haver mais de

um atomo por sıtio representando um regime superfluido e o estado fundamental do

sistema e dado por [15]:

|ΨSF ⟩U=0 ∝ (M∑i=1

a†i )N |0⟩ (3.11)


Figura 3.5: Resultado experimental encontrado por Greiner et al [15] onde

foi comprovada a existencia da transic~ao de fase SF-MI

onde N e o numero de bosons no estado fundamental e M o numero de sıtios. Quando

as interacoes sao desprezıveis em relacao a energia cinetica, o sistema forma um CBE

perfeito.

Veja que no regime SF o sistema ira privilegiar os sıtios em que a energia forem

mınimas e no limite quando t ≫ U , os atomos estarao deslocalizados como mostrado

na figura (3.4).

No outro limite quando t ≪ U , ha um numero inteiro de atomos por sıtio e os

processos de interacao sao dominantes em relacao a energia cinetica. Neste caso, o

estado fundamental e dado pelo produto direto tal que [15]

|ΨMI⟩t=0 ∝M∏i=1

(a†i )N |0⟩ (3.12)

onde N e o numero de bosons no estado fundamental e M o numero de sıtios.

No caso particular quando t = 0, temos que o hamiltoniano (3.10) se resume a

H = −µ∑i

ni +1

2

∑i

Uni(ni − 1), (3.13)

com auto energias

Eni = −µni +

U

2ni(ni − 1). (3.14)


Vemos que a energia para colocarmos uma partıcula no sistema e dada por En+1i −

Eni , enquanto que a energia para retirar uma partıcula e En−1

i − Eni . Usando (3.14),

encontramos

En+1i − En

i = −µ+ Uni ≡ µ+, (3.15a)

Eni − En−1

i = −U(ni − 1) + µ ≡ µ−. (3.15b)

A variacao do potencial quımico vai de U(ni − 1) a U(ni). Para o caso quando

t = 0, temos que em µ+ o termo de hopping e negativo enquanto que em µ− o hopping

e positivo. Desta forma, a medida que o valor de t aumenta, a diferenca entre as energias

diminui e quando µ+ = µ−, temos um valor crıtico que depende de t e de U . A transicao

de fase ocorre quando a energia de interacao U e o termo de hopping t encontram-se

na mesma ordem de grandeza. Assim, existe um valor crıtico Uc

tno qual ocorre a

transicao de fase SF-MI. No experimento realizado por Greiner et al, e mostrada uma

serie de imagens com a ocupacao no espaco recıproco (Fourier) para varios valores da

razao V/Er, onde o parametro V e a profundidade da rede e esta relacionada a energia

potencial U enquanto o termo Er e a energia cinetica que corresponde ao hopping t.

Na figura (3.5) temos as imagens do processo de transicao de fase SF-MI. A escala

a direita que vai do cinza claro ao vermelho indica a densidade de bosons em um

certo momento k. Em (a) temos o condensado na fase SF e o ponto na cor vermelha

indicando a ocupacao do estado k = 0. As figuras (b)-(c)-(d) mostram o condensado

se desfazendo a medida que a profundidade da rede e aumentada. Vemos que comeca

a aparecer ocupacoes de outros estados de k = 0. A transicao de fase e mostrada nas

figuras (e)-(f). As imagens (g)-(h) correspondem a fase MI.

Outros modelos podem ser usados para o estudo de transicao de fase SF-MI. O

Jaynes-Cummings-Hubbard e utilizado no estudo da transicao de fase SF-MI quando

tratamos de um sistema de dois nıveis. O estudo de transicao de fase para este modelo

tem grande apelo pratico, como por exemplo, para uma possıvel construcao de um byte

quantico.

Nos capıtulos seguintes, iremos investigar a transicao de fase SF-MI utilizando o

modelo JCH atraves da aproximacao de fermion. Toda a discussao sobre o modelo e


aproximacao de fermion sera melhor detalhada nos capıtulos a seguir.

Capıtulo 4

Transicao de fasesuperfluido-isolante de Mott emredes de Bravais via modeloJaynes-Cummings-Hubbard

34

Transicao de Fases SF-MI em redes de Bravais via JCHM 35

4.1 Introducao

Aparatos experimentais envolvendo atomos frios tem sido usados como um efici-

ente simulador de sistema de muitos corpos devido a sua facil controlabilidade [47, 48].

Pesquisas envolvendo sistemas bosonicos ultrafrios aumentaram ainda mais o interesse

no assunto [14, 49]. Experimentos com redes opticas em tres dimensoes vem sendo

realizados, porem, devido a dificuldade matematica, sao poucos os modelos teoricos

para a implementacao desses sistemas [50]. O JCHM vem sendo usado para inves-

tigar sistemas de muitos corpos [51, 52, 53, 54]. Ele descreve a competicao entre

acoplamento atomo-campo e o termo de hopping e como discutido na secao (3.2), esta

competicao pode gerar uma transicao de fase quantica [15, 55] como discutido na secao

3.2. Quando o termo de hopping e nulo, o modelo se resume ao JCM que tem solucao

analıtica como mostrado anteriormente [6, 56], porem, quando o termo de hopping e

diferente de zero, a dificuldade de encontrar uma solucao analıtica tem levado muitos

pesquisadores a buscar metodos aproximativos apropriados para estudar esse modelo

[57]. Recentemente, Mering et al [14] propuseram um metodo aproximativo onde os

operadores de spin sao substituidos por operadores fermionicos e assim e aplicada uma

transformada de Fourier para desacoplar o hamiltoniano, que estao associados a valo-

res de momento especıficos. A grande vantagem desse metodo e a simplicidade com

que grandezas fısicas tais como energia e potencial quımico sao encontrados. Nossa

proposta e estudar a influencia da topologia das redes de Bravais na transicao de fase

SF-MI atraves do JCHM utilizando a aproximacao de fermions.

Na secao (4.2) faremos a descricao do modelo Jaynes-Cummings-Hubbard. Na

secao (4.3) mostramos o metodo de aproximacao fermionica que sera utilizado neste

trabalho. Os resultados e discussoes da transicao de fase SF-MI em redes de Bravais

estao na secao (4.4).


4.2 Modelo Jaynes-Cummings-Hubbard

O hamiltoniano JCHM para uma rede de L atomos e dado por (ℏ = 1)

H = ω∑j

a†j aj + ωeg

∑j

σ+j σj + g

∑j

(a†jσj + ajσ+j )− t

∑<ij>

(a†i aj + a†j ai), (4.1)

onde σ± = σx±iσy

2e σx,y,z sao as matrizes de Pauli, aj (a†j) sao os operadores de ani-

quilacao e criacao, ω e a frequencia da luz, ωeg e a energia de transicao, g e a interacao

atomo-campo e t e o termo de hopping que representa o salto dos fotons. E importante

salientar que a itinerancia do modelo JCH e dos fotons. Cada cavidade optica possui

um atomo de dois nıveis interagindo com o campo eletromagnetico sendo que ha a

competicao entre o termo de hopping t e o acoplamento atomo-campo g. O nosso obje-

tivo e investigar o comportamento da transicao de fase SF-MI quando estas grandezas

sofrem mudancas quantitativas no modelo. A medida que g aumenta comparado a t,

os fotons tendem a ficar presos na cavidade e consequentemente passamos a ter um

regime MI enquanto que quando t aumenta de forma significante a ponto de superar o

interacao g, os fotons passam a circular e saltar entre as cavidades representando um

regime SF. A figura 4.1 mostra esta itinerancia.

Figura 4.1: Cavidades contendo um atomo de dois nıveis com itinerancia de

fotons

Quando t = 0, o hamiltoniano (4.1) esta desacoplado e temos independentes hamil-


tonianos JCM, ou seja,

H =∑j

Hj (4.2)

onde

Hj = ωa†j aj + ωegσ+j σ

−j + g(a†jσ

−j + ajσ

+j ). (4.3)

Note que [Nj, Hj] = 0, onde Nj = a†j aj + σ+j σj e o numero total de excitacoes no

sıtio j. Os auto estados desse hamiltoniano podem ser vistos na equacao (3.8) e suas

autoenergias sao dadas por [53]

Enj

j = (1− δnj ,0)[njω +δ

2± 1

2

√δ2 + 4njg2] (4.4)

onde δ ≡ ωeg − ω e a dessintonia (detuning) entre o atomo e a frequencia da luz.

Quando t = 0, temos que [Hi, Hj] = 0 e o sistema pode ser descrito por hamiltoni-

anos individuais Hj. Porem, quando t = 0, os atomos estao acoplados, dificultando a

solucao. Assim, precisamos de um metodo aproximativo apropriado, e utilizaremos a

aproximacao de fermions.


4.3 Aproximacao de Fermions FA

A aproximacao de fermions (FA) e um metodo aproximativo bastante usado [58,

59, 60]. Sua introducao no JCHM foi feita recentemente pelo trabalho de Mering et al

[14] Como nosso objetivo e encontrar uma solucao para o hamiltoniano (4.1), vamos

entao aplicar uma transformada de Fourier (FT) para os operadores bosonicos

aj =1

L

∑k

e−2πik.RjL ak, e a†j =

1

L

∑k

e2πik.RjL a†k (4.5)

e fermionicos

σx,y,zj =

1

L

∑k

e−2πik.RjL σx,y,z

k . (4.6)

Podemos notar que a FT nao preserva as mesmas propriedades para os operadores

de spin. As matrizes de Pauli sao hermitianas (σx,y,zj )† = σx,y,z

j mas no espaco de

Fourier nao, pois

(σx,y,zk )† = σx,y,z

−k . (4.7)

Realizando a FT, o hamiltoniano (4.1) pode ser escrito como (ver apendice III):

H ≡∑k

[ωka†kak + ωegσ

+−kσ

−k + g(a†kσ

−k + akσ

+−k)], (4.8)

onde ωk ≡ ω − νk, sendo νk a relacao de dispersao da rede [14].

Podemos notar que o hamiltoniano nao pode ser escrito como uma soma indepen-

dente de hamiltonianos devido a explıcita dependencia em k e −k. Devido a este

problema, introduzimos uma aproximacao de fermions que consiste em substituir os

operadores de spin σ± por operadores de fermions c† (c), que tem uma simples e bem

conhecida FT. O hamiltoniano (4.3) entao e reescrito na forma

H = ω∑j

a†j aj + ωeg

∑j

c†j cj + g∑j

(a†j cj + aj c†j)− t

∑<ij>

(a†i aj + a†j ai). (4.9)

Para o caso quando t = 0, obtemos que H =∑

j Hj, onde os hamiltonianos indi-

vuduais sao

Hj = ωa†j aj + ωeg c†j cj + g(a†j cj + aj c

†j), (4.10)

que possui as mesmas autoenergias do caso exato. Isto entao sugere que a FA e uma

boa aproximacao para o caso quando t ≈ 0.


Para diagonalizar o hamiltoniano (4.9), realizaremos uma FT na forma

cj =1

L

∑k

e−2πik.RjL ck, e c†j =

1

L

∑k

e2πik.RjL c†k, (4.11)

e entao obtemos que o hamiltoniano passa a ser

H ≡∑k

[ωka†kak + ωeg c

†kck + g(a†kck + akc

†k)], (4.12)

que possui autoenergias ja conhecidas tais que

Enkk = (1− δnk,0)[nkω +

δ + νk2

± 1

2

√(δ + νk)2 + 4nkg2, (4.13)

e como visto anteriormente no capıtulo (3.1), [Nk, Hk] = 0 onde Nk = a†kak + c†kck e o

numero total de excitacoes.

Mesmo Mering et al [14] tendo apontado que uma caracterıstica importante da FA e

que a energia total do sistema e a soma das energias individuais, ou seja, E =∑

k Ek,

isso nao e sempre verdade mesmo para o caso quando t = 0. As propriedades de

anti-comutacao dos operadores fermionicos fazem com que [Hk, Hk′ ] = 0. Com isso o

sistema nao esta desacoplado mesmo que o termo de hopping seja nulo. O comutador

e entao

[Hk, Hk′ ] = 2g2(a†ka†k′ ckck′ + a†kak′ ckc

†k′ + aka

†k′ c

†kck′ + akak′ c

†kc

†k′) (4.14)

onde k = k′. Observe que em duas situacoes o comutador e nulo: (i) se g = 0 e

(ii) se todas as excitacoes do sistema tiverem o mesmo momento k, ou seja, Nk = N e

Nk′ = 0, ondeN e o numero total de excitacoes. A situacao (i) nao nos tem importancia

fısica pois o acoplamento atomo-campo seria nulo, perdendo assim toda a informacao

desejada. O caso (ii) corresponde a fase SF quando todas as partıculas possuem o

mesmo momento k e podemos assim encontrar, utilizando a FA para os lobulos de Mott.

Como discutido na seccao (3.2), para um numero fixo N nos temos uma configuracao

nk1 , nk2 , nk3 ... que minimiza a energia do estado fundamental. Mas para t ≪ 1,

temos que para o estado isolante de Mott, a configuracao e dada por n, n, n, ... onde

n = NL. Quando o valor de t aumenta, o sistema passa para um estado superfluido onde

o sistema tende a ser deslocalizado (Ver figura (3.5)) e temos 0, 0, nk, 0, 0.... Como


mostrado na secao (3.2), Os lobulos de Mott podem ser obtidos atraves da analise de

“partıcula” e “buraco” onde temos que µ+ = En+1k′ −En

k′ e µ− = En

k −En−1k e sendo k′

e k os valores que maximizam e minimizam as energias do potenciais. Na situacao em

que µ+ = µ−, temos um ponto crıtico como fora discutido da secao 3.2 e desta forma

ocorre uma transicao de fase quantica MI-SF.

Figura 4.2: Ilustrac~ao do lobulo de Mott

Uma forma bastante utilizada de se estudar transicao de fase SF-MI e atraves dos

lobulos de Mott. A figura 4.2 ilustra um lobulo de Mott onde a regiao em verde e a fase

MI enquanto a regiao na cor branca representa a fase SF. O potencial µ+ que representa

o “buraco” e dado pela curva superior do lobulo enquanto que µ− que representa a

“partıcula” e dada pela curva inferior do lobulo de Mott. Quando µ+ = µ−, temos um

ponto crıtico de tc onde a partir deste ponto so possui fase SF.


4.4 Resultados

Como o nosso principal objetivo e investigar a influencia da topologia das redes de

Bravais na transicao de fase SF-MI, investigamos as redes 1D, quadrada (SQ), cubica

simples (SC), cubica de corpo centrado (BCC) e cubica de face centrada (FCC) onde

em cada sıtio das redes temos um atomo de dois nıveis interagindo com um modo do

campo eletromagnetico.

Figura 4.3: Redes de Bravais 3D. [61]

As relacoes de dispersao νk para as redes sao dadas por [62]

ν(1D)k = −2t cos(ka),

ν(SQ)kx,ky

= −2t[cos(kxa) + cos(kya)],

ν(SC)kx,ky,kz

= −2t[cos(kxa) + cos(kya) + cos(kza)],

ν(BCC)kx,ky,kz

= −8t[cos(kxa) cos(kya) cos(kza)] e

ν(FCC)kx,ky,kz

= −4t [cos(kxa) cos(kya) + cos(kxa) cos(kza)+ cos(kya) cos(kza)] ,

onde a e um parametro da rede. Para cada estrutura de rede encontramos o valor de

k que maximiza o buraco e minimiza a partıcula com o objetivo de encontrar µ+ e µ−


e consequentemente os lobulos de Mott como ja discutido anteriormente.

Com o objetivo de verificar a confiabilidade da FA, comparamos nossos resulta-

dos para o primeiro lobulo de Mott (n = 1) em uma dimensao com outros metodos

aproximativos.

Figura 4.4: Primeiro lobulo de Mott para dessintonia nula para diferentes

metodos aproximativos. DMRG [63], VCA [64], aproximac~ao de fermions e

campo medio [14]

Observe que quando t = 0, todos os metodos tem o mesmo resultado, o que e

de se esperar pois quando t = 0 a solucao do hamiltoniano e exata como discutido

anteriormente, mas quando t = 0, vemos que os metodos aproximativos diferem um

dos outros. Podemos observar que a FA tem um resultado bastante semelhante ao

encontrado quando e utilizado as aproximacoes do grupo de renormalizacao da matriz

densidade (DMRG) [63] e o Metodo Variacional de Clusters (VCA) [64].

A aproximacao de campo medio [52] difere quantitativamente de todos os outros,

como pode ser visto na figura (4.4). Uma observacao importante e a proximidade dos

resultados encontrados pelos metodos FA, VCA e DMRG para o valor de tc, sendo que

FA e DMRG possuem resultados praticamente identicos.


Figura 4.5: Primeiros tres lobulos de Mott para diferentes estruturas de

rede para dessintonia nula. A parte a esquerda e a fase MI enquanto

que a parte a direita e a fase SF

A figura (4.5) mostra os tres primeiros lobulos de Mott para dessintonia nula para

as redes 1D, 2D, SC, BCC e FCC. Aqui usaremos a frequencia do campo ω = 1.

Podemos observar que a medida em que o numero de vizinhos aumenta, o tc diminui.

Este resultado e esperado ja que quao maior o numero de vizinhos, a probabilidade de

um foton tunelar de um sıtio para o outro aumenta. Se observarmos a figura (4.5),

podemos observar que as redes 1D, 2D, SC, BCC possuem o mesmo comportamento

e verificamos que estas podem ser renormalizadas fazendo td = tc/d onde d e o numero

de vizinhos, ou seja, elas colapsam em uma unica estrutura porem, a rede FCC nao

apresenta a mesma caracterıstica. Ou seja, as redes biparticionadas (que podem ser

decompostas em duas estruturas) possuem a mesma forma de lobulos de Mott enquando

que a rede FCC, que nao e bipartite, possui caracterıstica diferente das demais.

Vemos assim que a topologia da rede influencia na estrutura dos lobulos de Mott e

no tc. Vamos entao comparar os resultados obtidos para a SC como rede bipartite e

FCC como rede nao bipartite.

O primeiro lobulo de Mott (n=1) para as redes SC e FCC e mostrado na figura


(4.6). Vemos o comportamento do lobulo de Mott para varios valores de dessintonia e

percebemos que as duas redes possuem estruturas semelhantes e que a sua variacao e

quantitativa. Para o caso quando t = 0, vemos que os dois casos possuem valores iguais,

o que e de se esperar, ja que quando o termo de hopping e nulo, nao ha transicao de

fase, pois, independente da estrutura da rede, os fotons permanecerao aprisionados em

seus sıtios. Porem, quando t cresce, percebemos que a regiao da fase MI da rede SC e

maior que a da rede FCC. Para ambos os casos, a medida que a dessintonia aumenta,

as regioes dos lobulos de Mott diminuem. Um resultado importante e mostrado na

figura (4.7). Nela vemos o comportamento do tc para varios valores de n em relacao

a dessintonia. E visto que para as duas topologias, o valor de tc e maximo proximo

a ressonancia (dessintonia nula). No caso n = 1 isso nao ocorre e vemos que o valor

maximo e quando ωeg = 0. A mesma caracterıstica vista na figura com os lobulos

de Mott e tambem observada aqui, ou seja, as duas redes possuem comportamentos

qualitativos identicos, porem ha uma diferenca consideravel na parte quantitativa. A

figura (4.8) mostra a relacao entre a dessintonia maxima (δm) em funcao de n para o

hopping crıtico. Nesta fica claro que, exceto para o caso quando n = 1, os valores de

tc maximo ocorrem proximos a ressonancia, como ja mencionado anteriormente..

Quando fixamos um valor de dessintonia, como por exemplo, δ = 0, e investigamos

o comportamento do tc em relacao a n, percebemos que a medida que n cresce, o valor

de tc diminui. Este resultado e previsto por [14]. Observe na figura (4.9) que, mais uma

vez, as duas redes possuem comportamento qualitativo identico e compatıvel com os

resultados mostrados na citacao anterior, e que a diferenca entre as redes e puramente

quantitativa ficando bem visıvel a existencia de um gap entre ambas.

Uma analise necessaria deve ser feita quando o numero de excitacoes e muito grande

n≫ 1. Como os atomos sao de dois nıveis, para que n≫ 1, e necessario que o numero

de fotons na cavidade seja grande. Assim, expandindo o tc para n ≫ 1, foi observado

que o tc possui um termo dominante que pode ser dado por

tc =g

10dn3/2+O(n−3) (4.16)

onde d = 4 para as redes FCC e BCC e d = d para as demais redes, onde d e a


dimensao da rede. E importante ressaltar que a dependencia do valor da dessintonia

como da topologia da rede desaparecem quando n ≫ 1. Vimos que quando a rede

nao era bipartite, seu comportamento era diferente das demais, porem podemos ver

na figura (4.10) que este comportamento desaparece. Veja que o comportamento de

tc perde a dependencia em δ. A linha solida e o comportamento assintotico n ≫ 1

da equacao (4.16) enquanto os sımbolos sao os resultados numericos no metodo para

δg=−0.5, 0, e 0.5. Os resultados sao excelentes para quando n > 4, ou seja, a topologia

das redes aqui analisadas perdem sua importancia quando o numero de fotons e muito

grande. Isso e esperado, ja que quando n ≫ 1, a analise da transicao de fase torna-se

difıcil, ja que o numero de fotons livres e grande, e mesmo que um destes tenha sido

absorvido pelo atomo, uma nuvem de fotons livres seria observada caracterizando um

regime SF.


Figura 4.6: Lobulos de Mott para n = 1 para varios valores de dessintonia

para (a) SC e (b) FCC redes.


Figura 4.7: Grafico do log(tc/g) versus δ/g para varios valores de n para

(a) SC e (b) FCC redes.


Figura 4.8: Maxima dessintonia versus n para o hopping crıtico para as

redes SC e FCC


Figura 4.9: Hopping crıtico para as redes SC e FCC em func~ao de n para

dessintonia nula


Figura 4.10: Grafico dilog do hopping crıtico tc/g versus n para varias

redes no regime de n ≫ 1. Observe que a rede FCC e BCC tem o mesmo

comportamento quando n e grande

Capıtulo 5

A influencia de um meio tipo Kerrna transicao de fase isolante deMott para superfluido do ponto devista do modeloJaynes-Cummings-Hubbard

51

A influencia de ummeio tipo Kerr na transicao de fase MI-SF do ponto de vista JCHM52

5.1 Introducao

Como vimos na secao (3.1), o JCM possui solucao exata quando e utilizada a

aproximacao de onda girante [65], porem, o JCHM nao possui solucao exata e requer

assim o metodo aproximativo. Como no capıtulo anterior, vamos aqui utilizar a FA ja

discutida anteriormente. Este metodo foi proposto por Mering et al [14] e consiste em

substituir os operadores de spin por operadores fermionicos.

Efeitos opticos nao lineares sao geralmente observados em redes opticas [66, 67].

Estes efeitos tem atraıdo significante interesse devido a possibilidade de producao de

estados emaranhados, um fenomeno muito importante para a teoria da informacao

quantica [68, 69]. O efeito tipo Kerr e um efeito de terceira ordem na polarizacao da

luz como discutido na secao (2.3) [70, 71, 72]. Este efeito esta presente em cavidades

opticas e muitas vezes sua presenca e negligenciada. Estudos envolvendo JCM na

presenca de um meio tipo Kerr vem sendo realizados, inclusive na investigacao da

inversao de populacao de redes opticas [73, 74, 75]. Nesse trabalho, investigamos o

JCHM na presenca de um meio tipo Kerr para uma rede optica usando o metodo

desenvolvido por Mering et al e mostramos que a presenca do efeito Kerr na rede

optica influencia a transicao MI-SF, aumentando o hopping crıtico.

Na secao (5.2) faremos a descricao do modelo Jaynes-Cummings-Hubbard-Kerr

(JCHKM). Na secao (5.3) esta a aproximacao fermionica e de campo medio que sera

utilizada neste capıtulo. Os resultados da transicao de fase SF-MI estao na secao (5.4).


5.2 Modelo Jaynes-Cummings-Hubbard-Kerr

O hamiltoniano Jaynes-Cummings-Hubbard-Kerr (JCHKH) para uma rede de L

atomos e dado pela adicao do termo de hopping e o termo tipo Kerr ao hamiltoniano

(3.7).

H =∑j

ωj a†j aj + ωeg

∑j

σ+j σ

−j + g

∑j

(a†jσ−j + ajσ

+j ) +

+∑d

∑j

tj;j+d(a†j aj+d + a†j+daj) + γ

∑j

a†2j a2j

onde ωj e a frequencia da luz do j-esimo sıtio, td e o termo de hopping e γ e o termo

tipo kerr. Como ja mensionado, os quatro primeiros termos do hamiltoniano representa

o JCHM e diferente do hamiltoniano (4.1) utilizado no capıtulo anterior, onde apenas

saltos para primeiros vizinhos eram possıveis, o hamiltoniado (5.1) admite saltos de

longo alcance. O ultimo termo e relativo a presenca de um meio tipo Kerr que foi

melhor discutido na secao (2.3)[76, 77, 78, 79].

A frequencia de oscilacao local ωj e a amplitude do salto tj,j+d podem ser determi-

nados pela longitudinal e transversal frequencias ωx e ωz tal que

ωj = − ω2z

2ωx

L−1∑l=0,l =j

1

|uj − ul|3(5.2a)

tj;j+d =ω2z

2ωx

1

|uj − uj+d|3(5.2b)

onde uj sao as posicoes de equilıbrio dos ıons [80].

Para uma rede optica muito grande (L ≫ 1), a posicao de equilıbrio dos ıons sao

aproximadamente equivalentes, sendo uj = ju onde u e a distancia entre dois ıons

vizinhos [80]. Para L→ ∞ temos que

ωj ≡ −ω =ω2z

ωxu3

∞∑d=1

1

d3= 2tζ(3) (5.3a)

tj;j+d ≡ td =ω2z

2ωxu31

d3= t

1

d3(5.3b)

onde t ≡ ω2z

2ωxu3 e ζ(3) =∑∞

d=11d3

e a funcao zeta.


Assim, o hamiltoniano pode ser escrito como

H = ω∑j

a†j aj + ωeg

∑j

σ+j σ

−j + g

∑j

(a†jσ−j + ajσ

−j ) +

+∑d

td∑j

(a†j aj+d + a†j+daj) + γ∑j

a†2j a2j . (5.4)

Quando no capıtulo anterior em que investigamos a influencia das topologias das

redes de Bravais, quando o hopping e o termo tipo Kerr desaparecem, o hamiltoniano

acima e o JCM com solucao analıtica e bem conhecida como mostrado no capıtulo

(3.1). Vemos que se γ = 0 e td = 0, o hamiltoniano continua desacoplado e com

solucao analıtica. Porem, se td = 0, necessitamos de uma aproximacao e como no

capıtulo (4), utilizaremos a aproximacao de fermions.


5.3 Aproximacao de Fermions e Campo Medio

Vamos entao aplicar a aproximacao de fermions no hamiltoniano (5.4) tal que

H = ω∑j

a†j aj + ωeg

∑j

c†j cj + g∑j

(a†j cj + aj c†j) +

+∑d

td∑j

(a†j aj+d + a†j+daj) + γ∑j

a†2j a2j . (5.5)

Utilizando as relacoes de comutacao dos operadores a† e a no ultimo termo do

hamiltoniano (5.5), encontramos

γ∑j

a†2j a2j = γ

∑j

[(a†j aj)2 − a†j aj]. (5.6)

Nosso objetivo e reescrever o hamiltoniano (5.4) na forma (4.12). O termo quadratico

da relacao mostrada acima nos impede de escrevermos o hamiltoniano como (4.12) pois

este mantem a dependencia em n2. Desta forma, faz-se necessario a realizacao de uma

aproximacao de campo medio no termo quadratico. Nos substituımos assim o termo

(a†j aj)2 por (a†j aj) < n >0. Veja que no regime MI, a distribuicao de fotons por cavidade

e igual em todas as cavidades como discutido na secao 3.2, ou seja, nossa aproximacao

torna-se consistente dentro do regime que estamos tratando. Vamos entao realizar uma

aproximacao de campo medio no termo quadrado

γ∑j

[(a†j aj)2 − a†j aj] = γ

∑j

[(a†j aj) < n >0 −a†j aj] = γ(< n >0 −1)∑j

a†j aj, (5.7)

onde < n >0=1L

∑j < a†j aj >0≡ n0 e o numero medio de fotons por sıtio.

Como no capıtulo anterior, realizaremos uma transformada de Fourier tal (4.5)

e (4.11) em (5.5) com o ultimo termo sendo substituido por (5.7). Cada termo do


hamiltoniano (5.5) sera dado por

∑j

a†j aj =∑k

a†kak,∑j

c†j cj =∑k

c†kck,∑j

(a†j cj + aj c†j) =

∑k

(a†kck + akc†k),∑

d

td∑j

(a†j aj+d + a†j+daj) =∑d

td∑k

a†kak(e−2πi k.d

L + e2πik.dL )

= 2∑d

td∑k

a†kakcos(2πk.d

L).

Utilizando as transformadas de Fourier acima no hamiltoniano 5.5, nossa hamilto-

niano sera dado por

H =∑k

[ωka

†kak + ωeg c

†kck + g(a†kck + akc

†k)], (5.9)

sendo ωk = 2t[∑∞

d=1

cos(2π k.dL

)

d3− ζ(3)] + γ(n0 − 1) e ζ(3) a funcao zeta de Riemann [81].

Os autoestados do hamiltoniano (5.9) sao identicos aos do modelo Jaynes-Cummings

tal que |ψ0⟩ = α|n, g⟩+ β|n− 1, e⟩ e

|n,±⟩ =g√n|n, g⟩+ ( ωk−ωeg

2± χn

k)|n− 1, e⟩√2χn

k

√χnk ∓

ωk−ωeg

2

, (5.10)

como pode ser visto em (B.10).

Como discutido no capıtulo 4, o numero total de excitacoes Nk = a†kak + c†kck

comuta com Hk, mas observe que ωk = ωk(n) depende de n e os autovetores dependem

de ωk e n gerando assim uma equacao transcendental. Para isso, foi necessario o

desenvolvimento de um metodo numerica para encontrar o valor de n que satisfaz a

equacao transcendental. A energia do estado fundamental do hamiltoniano (5.9) pode

ser vista em (3.9). Observe que a diferenca consiste apenas que no caso do JCM, a

frequencia ω e uma constante enquanto que em (5.11), ωk = ωk(t, n).

Enk = ωkn− (ωk − ωeg)

2− χn

k , (5.11)

onde χnk =

√g2n+ (ωk−ωeg)2

4.


Enk/g

−6

−5

−4

−3

−2

−1

k/L

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

γ=0

δ=0

n=1

n=2

n=3

n=4(a)

Enk/g

−6

−5

−4

−3

−2

−1

k/L

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

γ=0

δ=g

n=1

n=2

n=3

n=4(c)

Enk/g

−6

−5

−4

−3

−2

−1

k/L

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

γ=0.01gδ=0

n=1n=2n=3n=4(b)

Enk/g

−6

−5

−4

−3

−2

−1

k/L

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

γ=0.01gδ=g

n=1n=2n=3n=4

(d)

Figura 5.1: Energias para valores de δ e γ. As linhas solidas se referem

ao caso quando t = 0.2g enquanto que as linhas tracejadas se referem a

t = 0.001g. Note que quando tg→ 0, o mınimo desaparece

E assim, podemos calcular o numero medio de fotons no estado fundamental usando

n0 = ⟨ψ0|a†kak|ψ0⟩ = n|α|2 + (n− 1)|β|2 = n− |β|2. (5.12)

E para resolvermos a equacao transcendental, usamos um processo iterativo atraves

das equacoes (5.10) e (5.12). Com isso, e possıvel encontrarmos o espectro de energia

do modelo que pode ser visto na figura (5.1).


5.4 Transicao MI-SF

A figura (4.10) mostra como o comportamento da energia em relacao ao momento

k. Podemos observar que quando t → 0 a energia perde a dependencia em k. Con-

sequentemente, os fotons estao uniformemente distribuıdos no espaco dos momentos

caracterizando, como ja discutido anteriormente, uma fase MI. Porem, quando o valor

de t aumenta, vemos que a energia possui um mınimo quando k = L2, privilegiando um

unico valor de momento, caracterizando assim uma fase SF. Como mostrado na secao

(3.2), a energia para adicionar uma partıcula e dada por µ+ = En+1k′ − En

k′ (partıcula)

enquanto que para retirar temos µ− = Enk − En−1

k (buraco). Se observarmos a figura

(5.1), vemos que quando o termo de hopping t = 0, o momento k′ = L2minimiza a ener-

gia do sistema e temos assim um regime SF com k′ minimizando a energia do potencial

quımico da “partıcula”. Porem, quando k = 0 ou k = L, temos a situacao inversa,

ou seja, k maximiza a energia do sistema e temos assim o valor de k que maximiza a

energia do potencial quımico do “buraco”. Quando µ+ = µ−, temos uma transicao de

fase SF-MI onde apos o valor de tc so temos regime SF.

Um modo muito usado de ilustrar a transicao de fase MI-SF e atraves dos lobulos

de Mott que sao mostrados na figura (5.2). Vemos µ versus tc para n = 1, 2, 3, 4, δ =

0 e δ = g com ou sem a presenca do efeito tipo Kerr. Podemos observar que o efeito

tipo Kerr provoca uma mudanca nos lobulos de Mott que se torna mais acentuado a

medida que n cresce. Quando n cresce, os tc’s tornam-se maiores, o que mostra que

o efeito tipo Kerr, mesmo que da ordem de 10−2g, influencia de forma consideravel a

transicao de fase SF-MI. Esse resultado e esperado pois, como vimos anteriormente, o

efeito tipo Kerr cresce com n2. Quando n = 1, vemos que os lobulos de Mott tornam-se

praticamente os mesmos com ou sem a presenca do termo Kerr. Isso ocorre pois temos

o meio tipo Kerr e modelado por a†2j a2j e quando n = 1 temos que este efeito torna-se

nulo. E possıvel observar tambem que o detuning e mais influente na transicao de fase

quanto menor for o valor de n. Veja que quando n = 1 sua influencia e grande no

lobulo de Mott mas no caso quando n = 2, 3, 4, sua dependencia diminui. Ou seja,

quando n ≫ 0, o tc perde a dependencia em δ mas nao perde a dependencia em γ. A


figura (5.3) mostra tc versus n. Vemos que mesmo para valores grandes de δ, quando

n≫ 1, o tc converge para tc = 0 quando γ = 0 e para tc = 0 quando γ = 0, 01.

A influencia do espacamento de nıveis no valor de tc pode ser visto na figura (5.4).

A medida que δ aumenta, o valor de tc diminui consideravelmente. Este resultado e

esperado ja que quando o espacamento de nıveis e grande, os fotons tentem a permane-

cer livres no sistema e teremos assim um regime SF para tc ≪ 1. Porem, e importante

ressaltar que tc perde a dependencia em n, mas como no caso de n grande, nao perde

a dependencia em γ e mesmo para grandes valores de δ, o efeito tipo Kerr influencia

no valor de tc. Ainda na figura (5.4) vemos que a medida que γ aumenta, o valor de

tc tambem aumenta e de forma proporcional. Tanto para valores de n grande quanto

δ grande, o tc permanece sensıvel a presenca de γ.

Se admitirmos n≫ 1 e δ ≫ 1 temos que

µ+ ≈ −7t

2ζ(3) + γn, (5.13)

µ− ≈ γ(n− 2). (5.14)

A condicao para que ocorra a transicao de fase e µ+ = µ−, temos entao que tc =

47ζ(3)

γ. A figura (5.5) mostra tc versus γ para n > 100, δ > 15 e tc =4

7ζ(3)γ. Vemos que

como comentado antes, tc cresce de forma linear em relacao a γ. Percebemos assim que

a presenca do meio tipo Kerr favorece ao regime MI aumentando o valor de tc mesmo

quando γ e centenas de vezes menor que as outras grandezas presentes.


-log(-μ/g)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

log(t/g)

−3 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5

δ=0

n=1

n=2

n=3

n=4

(a)

-log(-μ/g)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

log(t/g)

−3 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5

ε=gn=1n=2n=3n=423232323

(b)

δ=gn=1n=2n=3n=4

(b)

Figura 5.2: Lobulos de Mott para (a) δ = 0 e (b) δ = g. As linhas

tracejadas se referem a γ = 0.01g e as linhas solidas a γ = 0


n

2

3

4

2

3

4

2

3

4

Figura 5.3: tc versus n. As linhas pontilhadas s~ao meramente guias

visuais e os sımbolos + representa γ = 0.01g enquanto que × representa

γ = 0


δ/g

Figura 5.4: tc versus δ. As linhas tracejadas equivalem a γ = 0.01g, as

linhas solidas s~ao para γ = 0.005g e as linhas pontilhadas quando γ = 0


γ/g

Figura 5.5: tc versus γ. Para n > 100, δ > 15 e tc = 47ζ(3)

γ. Mostra a

dependencia linear de tc em relac~ao a γ quando n e δ s~ao muito grandes.

Capıtulo 6

Conclusoes e consideracoes finais

Estudamos as propriedades de transicao de fase SF-MI aplicado em varias topologias

de redes de Bravais o modelo JCH admitindo saltos apenas entre primeiros vizinhos,

e utilizamos a FA. Encontramos que as redes bipartidas possuem um reescalonamento

em relacao ao numero de vizinhos enquanto que a rede FCC, que e nao bipartida,

nao preserva esta propriedade. Os lobulos de Mott para as redes SC (representando

as redes bipartidas) e FCC possuem o mesmo comportamento qualitativo, havendo

apenas uma diferenca quantitativa. O mesmo ocorre quando observamos tc versus n

para dessintonia nula e δm versus n em que a diferenca quantitativa diminui a medida

que n aumenta. Assim, observamos que nao so o numero de vizinhos influencia na

transicao de fase como tambem a topologia da rede. Porem, no caso assintotico quando

n≫ 1, vemos que a rede FCC passa a ter comportamento semelhante a rede BCC que

e bipartida e a dependencia da topologia e perdida. Outra caracterıstica encontrada

e que no regime assintotico quando n ≫ 1, o sistema tambem perde a dependencia

sobre a dessintonia [82]. Em seguida, estudamos o comportamendo de uma rede linear

em que admitimos saltos de longo alcance com a presenca de um meio tipo Kerr.

Mostramos que apesar de o efeito Kerr ser muito pequeno (γ ≪ g) comparado as

demais grandezas do modelo, sendo sua presenca quase imperceptıvel no espectro de

energia (fig 5.1), este causa relevantes mudancas nos lobulos de Mott (fig 5.2). Um

similar resultado foi encontrado por Hohenadler et al [83]. Estes mostraram que se

considerarmos saltos apenas entre primeiros ou para os demais vizinhos, o espectro de

energia sofre pequenas mudancas enquanto que os lobulos de Mott sofrem mudancas

64

Consideracoes Finais 65

consideraveis. Mostramos aqui que nao apenas a distancia do salto provoca esse efeito.

Admitimos saltos de longo alcance e adicionamos um termo tipo Kerr que e centenas de

vezes menos que as demais grandezas envolvidas e percebemos que sua presenca causa

grandes mudancas nos lobulos de Mott e no valor de tc. Assim, chamamos a atencao

de que qualquer grandeza fısica, por menor que esta seja, pode nao ser percebida no

espectro de energia, mas se o estudo em questao for transicao de fase SF-MI, esta

deve ser levada em conta e sua presenca pode provocar mudancas consideraveis nas

propriedades de transicao de fase. Outra observacao e que tanto para n ≫ 1 quanto

para δ ≫ 0 o valor de tc perde a dependencia para ambas as grandezas mas nao perde

sua dependencia em γ. No caso quando n e δ sao muito grandes, percebemos que tc

tem um comportamental linear em funcao de γ (fig 5.5). Faz-se tambem necessario

salientar que a presenca do meio tipo Kerr favorece a fase MI, ou seja, quao maior for

o efeito tipo Kerr, maior deve ser tc para que o sistema mude para a fase SF [84]. Esta

propriedade e importante pois a presenca de γ facilita o aprisionamento do foton pelo

atomo.

Uma investigacao que devemos realizar e analisar se a adicao de um termo nao linear

nao especıfico influencia a transicao de fase SF-MI e qual deve ser sua caracterıstica

para maximizar a absorcao dos fotons. Um questionamento a ser feito e se todas as

nao linearidades favorecem a fase MI. A influencia da decoerencia na transicao de fase

SF-MI tambem e uma perspectiva futura de trabalho. Sabe-se que a presenca do meio

sobre a cavidade e importante de ser investigada e nos interessamos em saber qual a

sua parcela de contribuicao na transicao de fase SF-MI. Outra linha de pesquisa que

devemos seguir e o estudo de sistemas dissipativos em transicao de fase SF-MI.

Apendice A

Quantizacao do CampoEletromagnetico

O tratamento completo da quantizacao do campo eletromagnetico e um problema

bastante complicado e que levou bastante tempo para ser resolvido de forma satis-

fatoria, mesmo que para isso tenha tido que recorrer a procedimentos matematicos

complicados, como por exemplo a renormalizacao [85].

Para o que pretendemos estudar, nao se faz necessario um estudo aprofundado do

campo eletromagnetico. Precisamos dos aspectos fundamentais da interacao de um

atomo de dois nıveis de energia (nao degenerados) com o campo eletromagnetico no in-

terior de uma cavidade optica de qualidade Q. Apresentaremos agora a eletrodinamica

classica e a quantizacao canonica da teoria eletromagnetica que consiste em escrever

grandezas classicas numa forma conveniente para, entao, usarmos o princıpio da cor-

respondencia, escrevendo o analogo quantico da teoria.

Eletrodinamica Classica

Vamos considerar em princıpio a teoria classica do eletromagnetismo numa cavidade

optica sem perdas e com possıveis interacoes do campo com fontes (distribuicao de carga

e de corrente). Assim, temos as equacoes de Maxwell [86]:

66

Quantizacao do Campo Eletromagnetico 67

∇× E(r, t) = − ∂

∂tB(r, t) (A.1a)

∇×B(r, t) =1

c2∂

∂tE(r, t) +

1

E0c2j(r, t) (A.1b)

∇ · E(r, t) =1

E0ρ(r, t) (A.1c)

∇ ·B(r, t) = 0 (A.1d)

onde B(r, t) e E(r, t) sao respectivamente os campos magneticos e eletricos e, ρ(r, t) e

j(r, t) sao as densidades de carga e corrente.

Podemos reescrever as equacoes acima em termos dos potenciais vetor e escalar

A(r, t) e ϕ(r, t). Como o divergente de B(r, t) e nulo e, utilizando o fato de que o

divergente do rotacional se anula, podemos expressar o campo magnetico atraves da

relacao com o potencial vetor A(r, t) dada por

B(r, t) = ∇×A(r, t). (A.2)

Sabe-se que o rotacional do gradiente de um potencial escalar e sempre nulo (∇×

∇ϕ(r, t) = 0), assim, temos

E(r, t) =∂

∂tA(r, t)−∇ϕ(r, t) (A.3)

Substituindo as equacoes acima nas equacoes de Maxwell, utilizando a identidade

∇×∇×A(r, t) = ∇ · ∇A(r, t)−∇2A(r, t) e as transformacoes de gauge de Lorentz,

temos

∇ ·A(r, t) +1

c2∂

∂tϕ(r, t) = 0 (A.4a)

∇2A(r, t)− 1

c2∂2

∂t2A(r, t) = −µ0j(r, t) (A.4b)

∇2ϕ(r, t)− 1

c2∂2

∂t2ϕ(r, t) = − 1

Eoρ(r, t) (A.4c)

Segundo o teorema de Helmholtz, qualquer campo vetorial C pode ser escrito como

C = CT +CL, de forma que CT e CL sao as componentes transversais e longitudinais

do campo vetorial tal que

∇ ·CT = 0, (A.5a)

∇×CL = 0. (A.5b)


Assim, podemos escrever a densidade de corrente como j(r, t) = jT (r, t) + jL(r, t).

Usando a equacao de continuidade, encontramos

∇ · jL(r, t) +∂

∂tρ(r, t) = 0. (A.6)

Da equacao de Poisson, temos

∂

∂t∇2ϕ(r, t) =

1

E0∂

∂tρ(r, t) ⇒ j(r, t) = E0∇

∂

∂tϕ(r, t). (A.7)

Sabemos que 1c2

∂∂t∇ϕ(r, t) = µ0jL(r, t), ou seja

∇2A(r, t)− 1

c2∂2

∂t2A(r, t) = −µ0j(r, t), (A.8a)

∇2ϕ(r, t) = − 1

E0ρ(r, t). (A.8b)

Por simplificacao admitimos que estamos no vacuo e sem fontes (j(r, t) = 0 e

ρ(r, t) = 0), temos assim

∇2A(r, t)− 1

c2∂2

∂t2A(r, t) = 0, (A.9a)

∇2ϕ(r, t) = 0. (A.9b)

Usando o metodo da separacao de variavel, e possıvel encontrar as equacoes de

movimento

A(r, t) = α(t)A0(r) + α∗(t)A∗0(r); (A.10)

Temos assim a equacao de Helmholtz

∇2A0(r) + k2A0(r) = 0, (A.11)

onde k = ωk

ce

α(t) + ω2kα(t) = 0 ⇒ α(t) = α(0)e−iωkt. (A.12)

E conveniente fazermos uma decomposicao deA0(r) em relacao a variavel espacial r,

para isso, utilizaremos a serie de Fourier. Vamos admitir que o campo eletromagnetico

esta contido em uma cavidade cubica de largura L e volume V = L3. As solucoes

validas sao decorrentes das condicoes de contorno periodicas impostas ao problema do

campo de radiacao na cavidade A0(r+ L) = A0(r).


A solucao da equacao (A.11) tem um conjunto discreto e infinito de solucoes or-

togonais que descrevem os modos de amplitude e vibracao da cavidade. Com isso, as

amplitudes de cada modo podem ser utilizadas para descrever o campo eletromagnetico

no lugar do potencial vetor A(r, t). Estas condicoes de contorno periodicas asseguram

que as paredes da cavidade sao perfeitamente refletoras, ou seja, as componentes nor-

mais do vetor de Pointing S(r, t) = E(r, t)×B(r, t) sao nulas nas paredes da cavidade

e, portanto, nao ocorre emissao de radiacao.

A expressao de Fourier tridimensional como sendo os modos de uma onda plana e

dada por

A0(r) = ei(k.r+φ). (A.13)

Uma possıvel solucao ja normalizada e dada por

A(r, t) =

(1

E0V

) 12 ∑

k

αkA0(r), (A.14)

onde k tem componentes ki = 2πni

L, ni = 0,±1,±2, ..., e i = x, y, z, formando um

conjunto discreto, tendo ∑k

=+∞∑

kx=−∞

+∞∑ky=−∞

+∞∑kz=−∞

, (A.15)

que possui todos os valores possıveis de k.

A natureza real de A(r, t) leva a condicao αk(t) = α∗k(t). Sendo ek.k = 0, onde ek

e k sao respectivamente, o vetor unitario de polarizacao e o vetor de propagacao da

onda plana.

Como A(r, t) satisfaz a equacao (A.8a), temos entao que(1

E0V

) 12 ∑

k

(|k|2 + 1

c2∂2

∂t2

)αk(t)eke

i(k.r+φ) = 0, (A.16a)

αke−iωkt + α∗

keiωkt = αk(t). (A.16b)

Podemos escrever αk em termos de duas componentes ortogonais escolhidas de

maneira que a condicao de transversalidade seja valida. Faremos isso selecionando um


par de vetores ortonormais de base ek1 e ek2 que satisfacam as condicoes

k.ek,i = 0 (A.17a)

ek,j.ek,i = δi,j (A.17b)

ek,j × ek,i = k. (A.17c)

Por praticidade, vamos utilizar um conjunto de vetores de base associados a um

vetor de onda particular k cujos angulos polar e azimutal sao θ e ϕ, ou seja,

ek1 = cos θ cosϕx1 + cos θsinϕy1 − sinθz1, (A.18a)

ek2 = sinϕx1 + cosϕy1, (A.18b)

os quais satisfazem as condicoes (A.17) e, assim, representam duas polarizacoes lineares

ortogonais associadas ao vetor de onda k. Por outro lado, os vetores da base complexa

ek1 =1√2[(cosθcosϕ− isinϕ)x1 + (cosθsinϕ+ icosϕ)y1 − sinθz1] , (A.19a)

ek2 =1√2[(icosθcosϕ− sinϕ)x1 + (icosθsinϕ+ cosϕ)y1 − isinθz1] ,(A.19b)

representam, respectivamente, uma polarizacao circular a direita e a esquerda associa-

dos com o vetor de onda k, e tambem satisfazem (A.17).

Estes vetores unitarios (ek1 , ek1 e k) formam uma base cartesiana ortonormal.

Utilizando essa base e as propriedades dos cossenos diretores, podemos obter o potencial

vetor a(r, t) em termos dos modos do campo de radiacao

A(r, t) =

(1

E0V

) 12 ∑

k,λ

[αk,λ(t)ek,λe

i(k.r+φ) + cc]

(A.20)

Assim, podemos encontrar as expressoes dos modos dos campos eletricos e magneticos

tais que

E(r, t) = − ∂

∂tA(r, t) =

(i

E0V

) 12 ∑

k,λ

ωk

[αk,λ(t)ek,λe

i(k.r+φ) − cc], (A.21a)

B(r, t) = ∇×A(r, t) =

(i

E0V

) 12 ∑

k,λ

[αk,λ(t)(k× ek,λ)e

i(k.r+φ) − cc],(A.21b)

sendo ∇× (ek,λ) = ±i(k× ek,λ)e±ik.r


Energia do Campo Classico

Vamos agora escrever a energia total do campo na cavidade, que e dada pela ex-

pressao

H =1

2

∫V

dr3[E0E2(r, t) +

1

µ0

B2(r, t)

](A.22)

Utilizando as relacoes∫V

dr3ei(k−k′) = V δ3k,k′ , (A.23a)

(k× e∗k,λ).(k× ek,λ′) = |k|2e∗k,λ.ek,λ′ = |k|2δλ,λ′ , (A.23b)

encontramos uma forma compacta de H

H = 2∑k,λ

ω2k |αk,λ(t)|2 (A.24)

que relaciona a energia como sendo a soma de todos os modos do campo eletro-

magnetico.

Para a quantizacao do campo eletromagnetico, e conveniente escrevermos H em sua

forma hamiltoniana introduzindo um par de variaveis canonicas, definidas como

qk,λ(t) =[αk,λ(t) + α∗

k,λ(t)], (A.25a)

pk,λ(t) = −iωk

[αk,λ(t)− α∗

k,λ(t)]. (A.25b)

Tanto qk,λ(t) e pk,λ(t) oscilam senoidalmente no tempo com frequencia ωk. Temos

entao as equacoes de movimento

qk,λ(t) = pk,λ(t), (A.26a)

pk,λ(t) = −ω2k.qk,λ(t). (A.26b)

Reescrevendo o hamiltoniado utilizando as variaveis canonicas temos

H =1

2

∑k,λ

∣∣p2k,λ(t) + ω2kq

2k,λ(t)

∣∣ , (A.27)

que e a energia de um sistema de osciladores harmonicos independentes para cada

modo (k, λ).


Momento do Campo Classico

O momento linear total P(r, t) do campo eletromagnetico e proporcional a integral

de volume do vetor de Pointing [86],

P(r, t) = E0∫V

dr3E(r, t)×B(r, t). (A.28)

Podemos, de forma analoga ao hamiltoniano, obtermos uma forma compacta para

P(r, t) utilizando as relacoes (A.23),

P(r, t) = 2∑k,λ

ωk |αk,λ(t)|2 k. (A.29)

Reescrevendo em termos de qk,λ(t) e pk,λ(t) temos

P(r, t) =1

2

∑k,λ

∣∣p2k,λ(t) + ω2kq

2k,λ(t)

∣∣k, (A.30)

que e o momento total.

Quantizacao dos Campos Eletromagneticos

Em uma cavidade podem existir infinitos modos normais de vibracao de ondas

estacionarias e o campo eletromagnetico pode ser expandido em termos desses modos.

Utilizando as equacoes de Maxwell, pode-se mostrar que cada um dos coeficientes dessa

expansao obedece a equacoes diferenciais identicas as equacoes de osciladores vibrando

harmonicamente com a mesma frequencia do modo normal. A quantizacao do campo

eletromagnetico e realizada quantizando esses osciladores harmonicos associados aos

varios modos normais da cavidade [88]. Para descrevermos o campo eletromagnetico

no formalismo da mecanica quantica, temos que associar operadores do espaco de

Hilbert com as variaveis dinamicas, os quais, em geral, nao comutam.

Quantizacao Canonica

De acordo com os postulados da mecanica quantica, cada par de operadores canoni-

camente conjugados tem o comutador igual a iℏ. Podemos, assim, escrever o seguinte


conjunto de relacoes de comutacao:

[qk,λ,pk′,λ′

]= iℏδ3k,k′δλ,λ′ , (A.31a)[

qk,λ,qk′,λ′

]= 0, (A.31b)[

pk,λ,pk′,λ′

]= 0, (A.31c)

em que o estado do campo eletromagnetico e agora descrito pelo vetor de estado [ψ⟩

no espaco de Hilbert.

Como observaveis fısicos estao associados a operadores hermitianos, os autovalores

correspondentes sao sempre reais. assim, Assim, o hamiltoniano do campo de radiacao

quantizado e dado por

H =1

2

∑k,λ

[p2k,λ(t) + ω2

kq2k,λ(t)

](A.32)

E conveniente trabalharmos com um conjunto de operadores definido por

ak,λ(t) =

(1

2ℏωk

) 12 [ωkqk,λ(t) + ipk,λ(t)

], (A.33a)

a†k,λ(t) =

(1

2ℏωk

) 12 [ωkqk,λ(t)− ipk,λ(t)

]. (A.33b)

Essas equacoes podem ser invertidas imediatamente

qk,λ(t) =

(ℏ2ωk

) 12 [ak,λ(t) + a†k,λ(t)

], (A.34a)

pk,λ(t) = i

(ℏωk

2

) 12 [ak,λ(t)− a†k,λ(t)

], (A.34b)

e de (A.31), obtemos as relacoes de comutacao para ak,λ(t) e a†k,λ(t)[

ak,λ, a†k′,λ′

]= δ3k,k′δλ,λ′ , (A.35a)[

ak,λ, ak′,λ′]

= 0, (A.35b)[a†k,λ, ak′,λ′

]= 0, (A.35c)


Podemos entao escrever as expressoes dos modos do campo quantizado como

A(r, t) =∑k,λ

(ℏ

2E0ωkV

) 12 [ak,λ(t)ek,λe

i(k.r+φ)+h.c], (A.36a)

E(r, t) =∑k,λ

(ℏωk

2E0V

) 12 [iak,λ(t)ek,λe

i(k.r+φ)+h.c], (A.36b)

B(r, t) =∑k,λ

(ℏ

2E0ωkV

) 12 [iak,λ(t)(k× ek,λ)e

i(k.r+φ)+h.c]. (A.36c)

Energia do Campo Eletromagnetico Quantizado

Se substituirmos as equacoes (A.34) em (A.32), temos

H =1

2

∑k,λ

ℏωk

[ak,λ(t)a

†k,λ(t) + a†k,λ(t)ak,λ(t)

]. (A.37)

Das relacoes de comutacao (A.35) podemos expressar H como

H =∑k,λ

ℏωk

[a†k,λ(t)ak,λ(t) +

1

2

], (A.38)

que e o operador energia do campo eletromagnetico quantico. Essa expressao sera

utilizada nessa tese.

Momento do Campo Quantizado

Usando o mesmo procedimento para a obtencao do hamiltoniano do campo quan-

tizado. Devido ao fato dos operadores E(r, t) e B(r, t) nao serem hermitianos, consi-

deraremos a seguinte expressao para o operador momento:

P(r, t) = E0∫V

dr3 [E(r, t)×B(r, t)−B(r, t)× E(r, t)] . (A.39)

Substituindo (A.36) e as relacoes de comutacao (A.35), temos

P(r, t) =∑k,λ

ℏk[a†k,λ(t)ak,λ(t) +

1

2

]. (A.40)

A contribuicao da energia do ponto zero para o momento se anula pois existe um

termo −12ℏk para cada 1

2ℏk quando somados sobre todos os modos tal que


P(r, t) =∑k,λ

ℏknk,λ(t). (A.41)

Podemos escrever tanto o momento P(r, t) como o hamiltoniano H em funcao

de nk,λ(t). Assim, os dois operadores comutam. Os auto-estados de H sao tambem

auto-estados de P(r, t). Isto implica que o momento do campo eletromagnetico e uma

constante de movimento.

Apendice B

Autovalores e Autovetores dohamiltoniano Jaynes-Cummings

Dado o hamiltoniano de Jaynes-Cummings onde ℏ = 1

HJC = ωa†a+1

2ωegσz + Ω(σ+a+ σ−a†). (B.1)

Sejam |n, g⟩ e |n− 1, e⟩ os estados da base de HJC , entao temos que para n ⩾ 1

HJC |n, g⟩ = (−1

2ωeg + nω)|n, g⟩+ Ω

√n|n− 1, e⟩, (B.2a)

HJC |n− 1, e⟩ = (1

2ωeg + (n− 1)ω)|n− 1, e⟩+ Ω

√n|n, g⟩. (B.2b)

Podemos diagonalizar o hamiltoniano (B.1) atraves do determinante∣∣∣∣ −12ωeg + nω − λ Ω

√n

Ω√n 1

2ωeg + (n− 1)ω − λ

∣∣∣∣ = 0,

tal que

λ = (n− 1/2)ω ±√nΩ2 + (δ/2)2, onde δ = ω − ωeg. (B.3)

Assim, as autoenergias de HJC sao

En± = ωn− (

ω − ωeg

2)±

√nΩ2 + (δ/2)2. (B.4)

Vamos entao encontrar os autovetores |n,±⟩ de forma que HJC |n,±⟩ = En±|n,±⟩.

Sejam |n,±⟩ = a±|n, g⟩+b±|n−1, e⟩, onde, assumindo que a± e b± ∈ ℜ, com a2±+b2± = 1,

teremos

a+(−1

2ωeg + nω)|n, g⟩+ a+Ω

√n|n− 1, e⟩+ b+(

1

2ωeg + (n− 1)ω)|n− 1, e⟩+

+b+Ω√n|n, g⟩ = a+E

n+|n, g⟩+ b+E

n+|n− 1, e⟩. (B.5)

76

Autovalores e Autovetores do hamiltoniano Jaynes-Cummings 77

Da equacao acima encontramos o sistema

a+(−1

2ωeg + nω) + b+Ω

√n = a+E

n+

b+(1

2ωeg + (n− 1)ω) + a+Ω

√n = b+E

n+. (B.6)

Comparando os dois lados da igualdade da primeira equacao, encontramos que

b+ =a+(χ− δ

2)

Ω√n

, onde χ =√nΩ2 + (δ/2)2. (B.7)

Usando o fato de que a2± + b2± = 1 e nΩ2 = χ2 − (δ/2)2, teremos

a+ =Ω√n

√2χ

√χ− δ

2

e b+ =

√χ− δ

2√2χ

. (B.8)

Fazendo de forma analoga para a− e b− encontraremos

a− =Ω√n

√2χ

√χ+ δ

2

e b− = −

√χ+ δ

2√2χ

. (B.9)

Encontramos entao que

|n,±⟩ =Ω√n|n, g⟩+ (− δ

2± χ)|n− 1, e⟩

√2χ

√χ∓ δ

2

, (B.10)

que sao os autovetores do hamiltoniano Jaynes-Cummings.

Apendice C

Transformada de Fourier sem aAproximacao de Fermion e aRelacao de Dispersao das Redes

Dada o hamiltoniano abaixo

H = ω∑j

a†j aj + ωeg

∑j

σ+j σj + g

∑j

(a†jσj + ajσ+j )− t

∑<ij>

(a†i aj + a†j ai), (C.1)

e realizado sobre ele uma transformada de Fourier para os operadores bosonicos

aj =1

L

∑k

e−2πik.RjL ak, e a†j =

1

L

∑k

e2πik.RjL a†k (C.2)

e fermionicos

σx,y,zj =

1

L

∑k

e−2πik.RjL σx,y,z

k , (C.3)

para o primeiro e ultimo termos do hamiltoniano, temos:

ω∑j

a†j aj =ω

L

∑k,k

∑j

e2πik.RjL e−2πi

k′.RjL a†kak′ = ω

∑k

a†kak (C.4)

t∑i

(a†i ai+d + a†i+dai) = 2t∑k

a†kak cos[2π(dk)/L] (C.5)

Como o hopping e apenas para primeiros vizinhos, entao d = ±1. Dessa forma,

o primeiro e o ultimo termos do hamiltoniano podem ser escritos tal que∑

k ωka†kak,

sendo ωk = ω − νk e νk a relacao de dispersao da rede.

O segundo e o terceiro termos o hamiltoniano envolvem operadores de spin. Entao,

faz-se necessario escrevermos os operadores σ+ e σ em funcao das matrizes de Pauli.

O segundo termo do hamiltoniano e entao dado por∑j

σ+j σj =

2 + i(σyj σ

xj − σx

j σyj )

4. (C.6)

78

FT sem a FA e a Relacao de Dispersao das Redes 79

Aplicando a transformada de Fourier em σyj σ

xj encontramos que

∑j

σyj σ

xj =

∑k,k′

∑j

e−2πik.RjL e−2πi

k′.RjL σy

kσxk′ =

∑k

σykσ

x−k. (C.7)

Se realizarmos a mesma transtormada e reescrevemos os operadores σ+k e σk, en-

contramos que ∑j

σ+j σj =

∑k

σ+k σ−k. (C.8)

De forma analoga, se realizarmos a transformada de Fourier no terceiro termo do

hamiltoniano encontraremos que

g∑j

(a†jσj + ajσ†j) = g

∑k

(a†kσ−k + akσ

+−k)]. (C.9)

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[88] H. M. Nessenzveig, Introduction to Quantum Optics. Gordon and Breach, Science

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