Tesis Python

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

CAJAMARCA

Facultad de Ingeniera Civil

TESIS

Para Obtener Titulo de Ingeniero Civil

Anlisis Estructural por el Mtodo de Elementos Finitos Asis-

tido por Computadora

(Vigas-Prticos,Placas,Slidos de Revolucin.)

Tesista: Bach.Christian Gonzalo Salcedo Malaver.

Asesor: Ing.Marco Mendoza Linares.

Marzo del 2014.

SECCIN PRELIMINAR.

1

Universidad Nacional de Cajamarca.Mtodo de Elementos Finitos.2014.

Asesor:Ing Marco Mendoza Linares.Tesista:Christian G. Salcedo Malaver

DEDICATORIA:

Dedico esta tesis a mis padres ya que a ellos les debo la vida y

mis estudios y lo que puedo ser ms adelante.

2



AGRADECIMIENTOS:

* A mi madre a la cual le debo la vida, lo que soy y lo que pretendo

ser, por que siempre estuvo en mis aciertos y mis fracasos y me

enseo la constancia de la vida con su ejemplo.

* A mi padre al que le debo su ejemplo y su coraje para enfrentar

los problemas,el que me demostr que los fracasos de la vida son

solo retos para algo mas grande.

* A mis profesores que con su esfuerzo y buen nimo me aconse-

jaron y me ensearon en todos estos aos.

3



RESUMEN

La presente tesis trata en forma objetiva del anlisis de estruc-

turas con el mtodo de elementos finitos, lo cual se empezar pri-

mero con el aprendizaje del mtodo y despus con la aplicacin

a diferentes sistemas tanto sencillos como complejos,para lo cual

se desarrollar un software en python en el sistema windows para

ejemplos tericos y simples, el objetivo principal de la tesis es de-

mostrar que los resultados obtenidos por el mtodo de elementos

finitos en este caso representado con el script programado llama-

do FEMAX son los ms cercanos posibles a los resultados acep-

tados por la comunidad de ingeniera,ya que estos fueron com-

parados con el software aceptados en forma estandard como el

SAP 2000 V14,en el mbito comparativo se vio que los resultados

obtenidos con el script programado en este caso por objetivos de

la tesis FEMAX fueron satisfactorios obteniendo un error hasta de

0.01 % por lo que se da como resultados aceptables y que se ha

llegado a un caso satisfactorio de la presente tesis.

4

ndice general

1. Problema de Investigacin. 15

1.1. Ubicacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Poblacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Introduccin y Planteamiento del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1. Planteamiento del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2. Formulacin del Problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3. Elementos Continuos y Discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4. Justificacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.5. Alcances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.6. Hiptesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.7. Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.8. Limitaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Breve Historia de los Elementos Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5. Aplicaciones del Mtodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1. Aplicaciones al Anlisis Estructural. . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.2. Aplicacin en Mecnica de Fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.3. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. MTODO DE ELEMENTOS FINITOS 23

2.1. Deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Tensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Fuerzas nodales equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5



3. ANLISIS DE VIGAS. 28

3.1. Vigas Sometidas a Fuerza Axial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Anlisis de Flexin de Vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1. Teora de Flexin de Viga de Euler y Bernoulli. . . . . . . . . . 34

3.2.2. Discretizacin de elementos finitos de dos nodos. . . . . . . . . 36

3.2.3. Matriz de Rigidez Viga Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.4. Teora de Flexin de Viga de Timoshenko . . . . . . . . . . . . 42

3.2.5. Elementos finitos para flexin de vigas de Timoshenko. . . . . 44

3.2.6. Matriz de Rigidez Total V.Timoshenko y Efecto de Bloqueo. . . 46

3.3. Programacin para Vigas hecho en Python. . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1. Que es Python?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.2. Libreras Principales de python. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.3. Programa hecho en python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. PROBLEMAS DE ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. 63

4.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Teoria de la Elasticidad Bidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1. Campo de Desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.2. Campo de Deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.3. Campo de Tensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.4. Relacin Tensin - Deformacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.5. Formulacin de Elementos Finitos.Elemento de tres Nodos. . . 71

4.2.6. Discretizacin del Campo de Desplazamiento. . . . . . . . . . 72

4.2.7. Discretizacin del campo de deformaciones. . . . . . . . . . . 76

4.2.8. Discretizacin del campo de tensiones. . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.9. Ecuaciones de Equilibrio de la Discretizacin. . . . . . . . . . . 79

4.3. Otros Elementos Bidimensionales y el Mtodo de Interpolacin de La-

grange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.1. Elementos Lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6



4.3.2. Interpolacin de alta jerarqua de claseC0,Interpolacin Lagran-

giana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.3. Elementos de Transicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.4. Elementos Triangulares y tetahedricos de clase C0. . . . . . . . 106

4.4. Clculo Analtico sobre Elementos Triangulares y Rectangulares de la-

dos rectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5. SLIDOS DE REVOLUCIN. 114

5.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2. Formulacin Bsica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.1. Campo de Desplazamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.2. Campo de Deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.3. Campos de Tensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2.4. Ecuacin Constitutiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2.5. Expresin del Principio de los Trabajos Virtuales. . . . . . . . . 117

5.3. Formulacin de Elementos Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.3.1. Discretizacin del campo de desplazamientos. . . . . . . . . . 119

5.3.2. Discretizacin del campo de deformaciones y tensiones. . . . . 120

5.3.3. Matriz de Rigidez del Elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3.4. Vectores de fuerzas nodales equivalentes. . . . . . . . . . . . 122

6. Metodologa de Estudio. 124

7. Ejemplos y Problemas de Elementos Finitos. 127

7.1. Vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.1. Problema N01: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2. Prticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.2.1. Problema N02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8. Programacin general del Femax. 139

8.1. Caractersticas del Programa Femax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7



8.1.1. Puesta de Datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.1.2. Matriz de Rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.1.3. Clculo de Deformaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.1.4. Clculo de Fuerzas Internas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.1.5. Grficos y Tablas de Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

9. Conclusiones y Recomendaciones. 180

9.1. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.2. Recomendaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.Codigo Fuente del Programa Femax. 183

11.Figuras y Otros. 211

8

ndice de figuras

2.1. Anlisis de un sistema continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Estado general de Esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1. funciones de forma de viga C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. funciones de forma de viga C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3. funciones del Sistema Natural de tres nodos. . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4. Viga Convencional Euler-Bernulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5. Funciones de forma N1 y N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6. Funciones de forma N2 y N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7. Viga con giro Adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8. Anlisis de Vigas tanto en Momento como en Cortante. . . . . . . . . 44

3.9. Anlisis de Viga en Voladizo V.Timoshenko. . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.10.Una de las libreras de python. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.11.Smbolo de Numpy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1. Elementos en Tensin Plana y Deformacin Plana. . . . . . . . . . . . 64

4.2. Tensin Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3. Material Orttropo con direcciones principales de ortotropa x

y y

. . 71

4.4. Discretizacin de una Estructura con Elementos Triangulares. . . . . . 73

4.5. Elemento discretizado en forma Triangular. . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6. Funciones de forma del elemento triangular de tres nodos. . . . . . . . 77

4.7. Fuerza Sobre un elemento triangulo de tres nodos . . . . . . . . . . . 79

4.8. Interpolacin de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

9



4.9. Espacios Triangular y Rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.10.Mapeo entre los puntos del espacio Natural y el Espacio Cartesiano . 83

4.11.Mapeo del espacio natural al espacio real para un elemento lineal uni-

dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.12.Funciones de forma para un elemento lineal Unidimensional. . . . . . 87

4.13.Elemento bilineal de cuatro nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.14.Mapeo del espacio natural bidimensional al espacio cartesiano real. . 90

4.15.Elemento Unidimensional de dos nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.16.Elemento Unidimensional de tres nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.17.Funciones de Forma Cuadrtica Lagrangiana. . . . . . . . . . . . . . 96

4.18.Elemento bidimensional de cuatro nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.19.Discretizacin del elemento bidimensional de cuatro nodos N1 . . . . . 99




4.23.Elemento Bidimensional de nueve nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.24.Elementos de Discretizacin lineal y bidimensional. . . . . . . . . . . . 103

4.25.Transicin de Malla Cuadrtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.26.Elemento de transicin lineal cuadrtico. . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.27.Elemento Triangular de tres nodos definido en coordenadas triangulares.107

4.28.Patrn para generar elementos de alta jerarqua en coordenadas trian-

gulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.29.Elemento Triangular de 6 nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.30.Coordenadas x,y para el clculo analtico de las integrales de elemen-

tos triangulares y rectangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.1. Slido de Revolucin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2. Tensiones actuando sobre un elemento diferencial de un solido de re-

volucin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3. Elemento slido de Revolucin triangular de tres nodos. . . . . . . . . 119

10



6.1. Esquema de Investigacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.1. Primer Problema para uso del Programa Femax. . . . . . . . . . . . . 127

7.2. Puesta de Datos de Materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3. puesta de datos total del esquema a prueba. . . . . . . . . . . . . . . 128

7.4. Puesta de datos en Sap 2000 V14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.5. Matriz de Rigidez obtenida por Femax. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.6. Comparacin de Resultados de Desplazamientos. . . . . . . . . . . . 131

7.7. Comparacin de Resultado de Fuerzas Int. . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.8. Comparacin de Grficos del Femax con Sap 2000 V14. . . . . . . . . 133

7.9. Esquema del Problema N02. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.10.Puesta de Datos en Sap 2000 V14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.11.Puesta de Datos en Femax 1.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.12.Comparacin de los desplazamientos en Femax y Sap 2000 V14. . . . 136

7.13.Matriz de Rigidez General del Esquema. . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.14.Comparacin de Fuerzas Internas del Femax y el Sap 2000 V14. . . . 137

7.15.Comparacin Grfica del Sap 2000 V14 y el Femax. . . . . . . . . . . 137

8.1. Diagrama de flujo del programa Femax. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.2. Entorno Grfico del Femax y su funcin de Grilla y su resultado . . . . 144

8.3. Descripcin de trazo de Barras en Femax. . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.4. Trazo de las barras en el Programa Femax. . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.5. Subrutina de Materiales del programa Femax . . . . . . . . . . . . . . 151

8.6. Apoyo Fijo y sus propiedades de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.7. Apoyo Empotrado y sus propiedades de contorno. . . . . . . . . . . . 152

8.8. Apoyo Mvil y sus propiedades de contorno. . . . . . . . . . . . . . . 152

8.9. Apoyos en el cuadro de dilogo del Femax. . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.10.Marco de Referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.11.Procedimiento del ensamblaje global por medio del mtodo pii . . . . . 158

8.12.Tabla de Resultado de la Matriz de Rigidez Total Femax. . . . . . . . . 164

11



8.13.Generacin de tabla de Resultados de la tabla de las deformadas Femax.167

8.14.Tabla de Resultados para el clculo de Fuerzas Internas del programa

Femax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.15.Grfica de Resultados del Anlisis del Femax de ui,i,Mi,Vi. . . . . . . 178

11.1.Interaccin suelo Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.2.Aplicaciones del FEM(Finite Element Method.) . . . . . . . . . . . . . 212

11.3.Mecnica de Fluidos FEM(Finite Element Method) . . . . . . . . . . . 212

11.4.Idealizacin de un sistema de Fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

11.5.Puente Idealizado con Elementos Finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . 213

12

ndice de cuadros

3.1. Valores por cada caso de discretizacin de la Barra. . . . . . . . . . . 36

4.1. Relacin entre nodos de los elementos lineales y sus coordenadas

naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2. Relacin de los nodos del elemento bilineal y sus coordenadas naturales. 91

4.3. Ordenamiento de elementos en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . 98

4.4. Tabla nodal del problema de nueve nodos. . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.1. Matriz de Rigidez General hallada por el programa Femax. . . . . . . 129

7.2. Matriz simplificada copiada del Femax. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.3. Tabla de Comparacin del Clculo de los Desplazamientos. . . . . . . 131

7.4. Comparacin de Resultados de Fuerzas Internas de Sap 2000 V14 y

Femax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.5. Tabla de comparacin de las Deformaciones Sap y Femax. . . . . . . 134

7.6. Tabla de Comparaciones de Clculo de Reacciones del esquema. . . 136

13

Planteamiento del Problema.

14

Captulo 1

Problema de Investigacin.

1.1. Ubicacin.

La investigacin por tener carcter terico no se menciona el lugar de la investi-

gacin,pero por motivos de formalismos,se propondr el sitio de estudios a la Univer-

sidad Nacional de Cajamarca.

1.2. Poblacin.

No se menciona por el carcter terico de la tesis.

1.3. Introduccin y Planteamiento del Problema.

1.3.1. Planteamiento del Problema.

Aplicar el mtodo de elementos finitos al campo del anlisis estructural con la

finalidad de disear un software para el clculo de estructuras planas;as como el

aprendizaje del mtodo para sistemas estructurales como vigas-prticos, placas y

slidos de revolucin.

15



1.3.2. Formulacin del Problema.

En que medida se ajusta el mtodo de elementos finitos al estudio del anlisis

estructural,y por que los software comerciales trabajan con dicho mtodo?

1.3.3. Elementos Continuos y Discretos.

Las limitaciones de la mente humana son tales que no pueden captar el com-

portamiento que el complejo mundo que lo rodea en una sola operacin global.Por

ello,una forma natural de proceder de ingenieros consiste en separar los sistemas en

sus componentes individuales,o Elementos,cuyo comportamiento pueden conocer-

se sin dificultad,y a continuacin reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir

de dichos componentes.

En muchos casos se obtiene un modelo adecuado usando un numero finito de com-

ponentes bien definidos.A tales problemas los denominaremos discretos. En otros,las

subdivisin prosigue indefinidamente y el problema solo puede definirse haciendo uso

de la ficcin matemtica infinitesimal.

Ello nos conduce a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes con un nu-

mero infinito de elementos implicados. a tales sistemas los llamaremos continuos.

Su campo de aplicacin de este mtodo es muy amplio,y en consecuencia es una

herramienta importante en las nuevas formulas de analizar y simular fenmenos es-

tructurales,as como tambin en el campo de la hidrulica y la geotcnia. [1, pag.4]

1

1.3.4. Justificacin.

Los avances tecnolgicos obligan el conocimiento cabal de los mtodos ms

precisos para el clculo en la ingeniera, donde el error cada da se vuelve

1[1]Prez Villar Luis Alberto,Tesis:Anlisis de Estructuras por el Mtodo de Elementos FinitosA.Computadora

16



mnimo por lo tanto es necesario el conocimiento analtico y computacional de

teoras de clculo ms precisas y exactas.

Difundir el uso del mtodo de los elementos finitos.

1.3.5. Alcances.

Al ser una tesis de carcter terico a lo que queremos llegar es primero, al conoci-

miento formal del mtodo,as como demostrar la fiabilidad del mtodo programado en

la computadora y tratar de demostrar de por que los programas comerciales trabajan

con el mtodo de elementos finitos.

1.3.6. Hiptesis.

Se comprobar que el mtodo de elementos finitos es un mtodo fiable para el

anlisis y clculo de elementos estructurales,por eso es que los software comerciales

trabajan con dicho mtodo.

1.3.7. Variables.

Las variables de la investigacin son muchas y seria muy apresurado al decidir

que variable es mas importante o cual seria las variables principales de la investiga-

cin por lo tanto este item queda para observarse en el marco terico de la tesis.

1.3.8. Limitaciones.

El programa femax de clculo de elementos planos, tiene como limitacin el

clculo de elementos como placas y slidos de revolucin las cuales sern

resueltos en forma aparte por medio scripts generados en el lenguaje de pro-

gramacin python.

17



el programa femax tiene como problema el sistema de instalacin ya que su eje-

cucin cuenta con libreras especiales la cual complica el sistema de instalado

o de generacin de un archivo.exe.

1.4. Breve Historia de los Elementos Finitos.

Los Conceptos de discretizacin numrica para resolver problemas de Ciencia e

ingeniera son la base para la formulacin del mtodo de elemento finito.La aproxi-

macin geomtrica mas antigua lleva a las pirmides egipcias de 5000 aos.Por otro

lado la aproximacin numrica podra registrarse histricamente en China,Egipto y

Grecia.

Los registros muestran que los chinos calcularon el valor aproximado de pi en el

primer siglo de nuestra era,con un valor de 3.1547 siendo usado para calcular el vo-

lumen de un cilindro.

En el segundo siglo E.C el astrnomo Chang Heng aproximo el valor de pi como

3.1466 14245

,en la Dinasta oriental de Jihn(265-317 E.C) en su comentario de matem-

ticas uso un polgono regular inscrito en una circunferencia para poder aproximar pi la

cual hallo un valor de 3.1416 (3927/1250);es interesante notar que el uso un polgono

de 3072 lados,es decir elementos finitos. De acuerdo con el manuscrito Ahmes, se

muestra que para 1500 A.C. , los Egipcios usaban como valor de pi = 3,1416. Un

papiro de tiempos mas tempranos, ahora en Mosc, indica que los egipcios usaron

la frmula para el volumen de una pirmide y el rea de un crculo de manera aproxi-

mada en 1800 A. C.. Arqumedes uso el concepto de elementos finitos para calcular

volmenes.

En el contexto estructural, las soluciones tanto en elasticidad como en anlisis es-

18



tructural tuvieron un inicio del Mtodo del Elemento Finito con Timoshenko, pero si

se considera que el anlisis de marcos establece el inicio del mtodo del Elemento

Finito, entonces los pioneros fueron Castigliano, Mhor y Maxwell, entre otros, en el

periodo 1850-1875.

En 1915, Maney de los Estados Unidos de Norteamrica, present el mtodo

pendiente-deformacin, expresando los momentos en trminos de desplazamientos

lineales y angulares en los nodos de la estructura, lo cual es una de las formulacio-

nes para plantear el mtodo de las rigideces y un desarrollo similar, fue planteado

por Ostenfeld en Dinamarca. En el ao 1929, Hardy Cross hizo pblico un mtodo

para analizar marcos basado en distribuciones angulares, el cual se utiliz por los

siguientes 35 aos.

En forma paralela a los primeros trabajos sobre anlisis de estructuras reticulares,

se resolvieron problemas de mecnica del medio continuo usando una analoga con

estructuras formadas por barras diagonales para generar mallas con elementos trian-

gulares. A principios de los aos cuarenta Courant propuso funciones de interpolacin

polinomiales por secciones para formular sub regiones triangulares como un caso es-

pecial del mtodo variacional de Rayleigh-Ritz, que obtiene soluciones aproximadas.

Actualmente, el mtodo del elemento finito es utilizado con la ayuda de las compu-

tadoras, lo cual ha contribuido a su desarrollo al mismo ritmo que las computadoras.

Las publicaciones clsicas por Argyris y Kelsey a mediados de los 50-as , hicieron

surgir los conceptos de anlisis de marcos discretizando no solo en nodos sino ade-

ms en puntos intermedios de las barras y anlisis de un continuo, lo que marc un

crecimiento explosivo en el mtodo del elemento finito.

Basndose en el planteamiento esttico del elemento finito, se han ampliado las

19



aplicaciones que incluyen diversos efectos fsicos y vibraciones en el Anlisis di-

nmico, pandeo y post-pandeo, no linealidades en la geometra y en el material,

efectos trmicos, interaccin entre fluidos y estructuras, aero elasticidad, interaccin

acstica-estructura, teora de la fractura, estructuras laminadas, propagacin de olea-

je, dinmica estructural, respuesta dinmica aleatoria, y muchas ms aplicaciones.

Como una consecuencia de tantos campos de estudio, el uso de los programas de

computadora orientados a cada caso, se han convertido en una prctica en los sitios

involucrados en el anlisis estructural. [1, pag.5]

1.5. Aplicaciones del Mtodo.

Existen gran nmero de estructuras que su paso de revisin tanto como post y

pre proceso de diseo,son sometidos a rigurosos procesos de evaluacin tales como

para verificacin de cortantes y flectores y saber si el diseo dado esta correcto.

1.5.1. Aplicaciones al Anlisis Estructural.

En programas como el sap el staad pro tanto en el anlisis de Int-estructura-

estructura y anlisis de suelo-estructura como el safe o el plaxis que son de uso para

el clculo por elementos finitos.

1.5.2. Aplicacin en Mecnica de Fluidos.

El mtodo de elementos finitos tambin puede ser usado en el anlisis de mec-

nica de fluidos libreras en python como ECOASTER o el Fenics o programas como

Abaqus,Nastram nos pueden dar una idea de como este elemento fsico se mueve

e interacciona con el mundo aplicando soluciones particulares a la formulacin de

de la ecuacin general de los fluidos Navier y Stokes,idealizaciones de presas as

como simulaciones de comportamiento de las turbulencias de los fluidos en turbinas

hidrulicas.

20



1.5.3. Objetivos.

Objetivos Generales.

Anlisis Estructural por el mtodo de elementos finitos asistido por computadora(Vigas-

Prticos,Placas,Slidos de Revolucin).

Objetivos Especficos.

Crear un pequeo software en lenguaje de programacin python,as como la

comprobacin de los resultados obtenidos con programas comerciales en este

caso el sap 2000 v14.

21

MARCO TERICO

22

Captulo 2

MTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Las recetas para deducir las caractersticas de un elemento finito de un continuo,

sern presentadas bajo una forma matemtica ms detallada. Es conveniente obte-

ner los resultados de una forma general aplicable a cualquier situacin, pero para

evitar la introduccin de conceptos ms complicados se ilustraran las expresiones

generales con un ejemplo. [2, Pag.21]

u = Na i

Nixai = [N1, N2 . . . Nn]

a1

a2...

an

(2.1)

Un elemento tpico e, se define por sus nodosi, j,m etc y por su contorno for-mado por lneas rectas. Aproximemos los desplazamientos u de cualquier punto del

elemento mediante un vector u, como en la formula anterior. [2, Pag.22]

En el caso particular de tensin plana.

u =

u(x, y)v(x, y) (2.2)

representa los movimientos horizontales y verticales de un punto cualquiera del ele-

mento.

ai =

uivi (2.3)

23



Figura 2.1: Anlisis de un sistema continuo.

Los correspondientes desplazamientos de un nodo i.

Las funciones Ni, Nj, Nm han de escogerse de manera que al sustituir de la ecua-

cin,las coordenadas de los nodos se obtengan los correspondientes desplazamien-

tos nodales. [2, pag.24] 1

2.1. Deformaciones.

Una vez conocidos los desplazamientos para todos los puntos del elemento,pueden

determinarse las deformaciones en cualquier punto.stas darn siempre resultado en

relacin que podr escribirse como sigue en forma matricial.

= Su (2.4)

= Ba (2.5)

B = SN (2.6)

Donde S es un operador lineal apropiado en los casos de la tensin plana las de-

formaciones se expresan en funcin de los desplazamientos mediante las conocidas

1 Bibliogrfica [2] O.CZienkiewichz-RTaylor,Mtodo de Elementos Finitos(Formulacin Bsi-ca,Problemas Lineales).

24



Figura 2.2: Estado general de Esfuerzos

relaciones que definen al operador S.

=

x

y

z

=

x

0

0 y

y

x

uv

(2.7)determinadas ya las funciones de forma es fcil obtener la matriz B.

2.2. Tensiones.

Conociendo el contorno del material o elemento puede estar sujeto a deformacio-

nes iniciales,tales como las debidas a cambios de temperatura etc.Debern diferen-

ciarse entre Esfuerzos iniciales y Esfuerzos 0 que muy bien podran medirse,pero

25



cuya prediccin seria imposible sin un conocimiento completo de la historia del mate-

rial.estas tensiones pueden sencillamente aadirse a las ecuaciones generales asu-

miendo un comportamiento elstico lineal. [3, Pag 27]

i = D( 0) + 0 (2.8)

i =

x

y

xy

(2.9)x

y

xy

=

1Ex vEy

1Ey vEx

1Gxy

=

1E vE

0

vE

1E

0

0 0 1G

x

y

xy

(2.10)

2.3. Fuerzas nodales equivalentes

Son fuerzas que estn en la misma direccin de los desplazamientos de posicin

ai correspondientemente y deben ordenarse en direccin apropiada.

Las fuerzas distribuidas b son por definicin las que actan por unidad de volumen

en direccin correspondientes a las de desplazamientos u de ese punto. [2, Pag 30]

qi =

qe1

qe2...

qen

(2.11)

bi =

bex

bey

(2.12)Para mejor entendimiento se debe dar desplazamientos arbitrarios o virtuales a los

nodos para darle mas sentido fsico. e igualando el trabajo exterior con el interior.

26



V

(i)dV +

l

(ub)dV =i

((u)Xi) (2.13) V

([ae]TBTDBa)dV ) +

V

([ae]T (NTi b)dV )) = [ae]T qi (2.14)

Kiai + fi = qi (2.15)

Ki =

V

(BTDB)dV (2.16)

fi =

V

(NT b)dV (2.17)

[2]

27

Captulo 3

ANLISIS DE VIGAS.

El anlisis de vigas para el estudio de elementos finitos,se hace para entender

en forma elemental las diferentes tipos de discretizaciones a elementos de simples a

complejos,ya que para poder entender los anlisis y clculo de placas y slidos de

revolucin es necesario entender los diferentes items del estudio de vigas tanto so-

metidas a fuerzas axiales como a flexiones que pueden ser tratadas por teoras muy

conocidas como Bernully y Timoshenko sobre todo entendimiento de condiciones de

contorno para pasar a estadios mas complejos. [2, Pag.22]

3.1. Vigas Sometidas a Fuerza Axial.

1 Una vez deducida las ecuaciones principales tanto de Tensin como de defor-

macin,rigideces y fuerzas nodales,aplicaremos esas formulas generales al caso de

vigas sometidas a fuerza axial con la cual empezaramos los casos de aplicacin y

anlisis de FEM. [3, Pag.28]

i = E = Edu

dx(3.1)

con E que es el mdulo de elasticidad de la barra;en la configuracin de equilibrio

de la barra,las tensiones las fuerzas exteriores satisfacen el (Principio de Trabajos

1Bibliografia 3 H.Partll:Eugenio Oate,Clculo de Estructuras por el Mtodo de Elementosfinitos,MGGraw-Hill,(1998)

28



Virtuales) y en este caso en particular el principio quedara expresado de la siguiente

manera. V

()dV =

l0

(ub)dx+

pi=1

(uiXi) (3.2) l0

EAdu

dx=

l0

ubdx+

pi=1

uiXi (3.3)

Bueno usando la aproximacin de una deformacin ui la cual estara aproximada a

una ecuacin lineal ui = u0 + a1x,como ya se vio en el capitulo anterior lo que tiene

es hallar las funciones de forma. [3, Pag.28]

ui = N1a1 +N2a2 (3.4)

(3.5)

Analizando la generalizacin de las deformaciones de la ecuacin lineal tendramos.

u1 = a0 + a1x1 (3.6)

u2 = a0 + a1x2 (3.7)

Solucionando el problema de los casos tanto de a0 y a1 se propondra:

Figura 3.1: funciones de forma de viga C0

29



a0 =u1 u2x1 x2 (3.8)

a1 =x2u1 x1u2

x2x1(3.9)

Para una mejor trabajabilidad de los dos casos hay que tomar en cuenta las secciones

anteriores donde tendramos Ni...Nm los cuales son las funciones de forma entonces

sabiendo que x2 x1 = le,se tendra que: [3, pag.28] x2x1

(dN1dx

u1)AE(dN2dx

u2) x2x1

[N1u1 +N2u2] = u1X1 + u2X2 (3.10)

Agrupando trminos tanto en u1 como 2u2,se obtendra la formula siguiente: x2x1

(dN1dx

(EA)dN1dx

u1 +dN1dx

(EA)dN2dx

u2)dx x2x1

N1bdxX1 = 0 (3.11) x2x1

(dN2dx

(EA)dN2dx

u1 +dN2dx

(EA)dN1dx

u2)dx x2x1

N1bdxX2 = 0 (3.12)

Acomodando con un arreglo matricial:

x2x1

(dN1dx

(EA)dN1dx

) (dN1dx

(EA)dN2dx

)

(dN2dx

(EA)dN2dx

) (dN2dx

(EA)dN1dx

)

dx

u1

u2

x2x1

N1

N2

bdx =

X1

X2

(3.13)con la cual obtenemos que para este caso de vigas sometidas a tension tendramos

las siguientes formulas:

kiai + fi = qi (3.14)

Ki =

x2x1

(dN1dx

(EA)dN1dx

) (dN1dx

(EA)dN2dx

)

(dN2dx

(EA)dN2dx

) (dN2dx

(EA)dN1dx

)

dx = x2x1

(BTi DBi)dx (3.15)

fi =

x2x1

N1

N2

bdx (3.16)En elementos finitos se hablan de coordenadas naturales,pues se analizan en espa-

cio natural la mayora de sus geometras,llevando esta solucin ah espacio natural.

[3, Pag.34]

30



Figura 3.2: funciones de forma de viga C0

Por interpolacin del polinomio de lagrange se hace un anlisis de interpretacin

geomtrica.

Ni =( 1)( 2) . . . ( n)

(i 1)(i 2) . . . (i n) (3.17)

Ni =ni=1

( ji j ) (3.18)

Resolviendo la formulacin por el polinomio de lagrange para el caso de dos nodos

quedara de la siguiente manera.

N1 = (1

2) (3.19)

N2 = (1 +

2) (3.20)

Con esto ya tendramos la posibilidad de calcular tanto el Ki y fi de la cual obten-

dramos los parmetros ya dados en la parte anterior.

x2 x1 = le (3.21)s =

2(x x1)(x2 x1) 1 (3.22)

d

dx=

2

le(3.23)

31



Se pondra en accin de las funciones Bi y Di con ello empezaramos a formular la

Matriz de Rigidez y de fuerza.

Bi = [N1 2le,N2 2le

] (3.24)

KI =

11

(

N1 2le

N2 2le

(AE)[N1 2le , N2 2le ])( le2 )d (3.25)

KI =AE

L

1 11 1

(3.26)f e =

ble2

11 (3.27)

Recordando esto seria la formula clsica de matriz de rigidez sometido a tensin

pura.Pero en elementos finitos se puede aproximar ms a la solucin real del sistema

apoyndonos en mas nodos con la cual tendramos mas cercana de la solucin

correcta del problema fsico.Por eso resolveremos el mismo problema solo que esta

vez lo haremos con 3 nodos. [3, Pag.35]

Figura 3.3: funciones del Sistema Natural de tres nodos.

32



Como vemos en la figura el elemento de tres nodos se analizara de la siguiente

manera:

L(2,1) =( 2)( 3)

(1 2)(1 3) =( 1)

2(3.28)

L(2,2) =( 1)( 3)

(2 1)(2 3) =( + 1)

2(3.29)

L(2,3) =( 1)( 2)

(3 1)(3 2) = (1 2) (3.30)

Ahora resolviendo el caso de i para el caso de solucin del caso general de los tres

nodos:

x = N1x1 +N2x2 +N3x3 (3.31)

dx

d=dN1d

x1 +dN2d

x2 +dN3d

x3 (3.32)

dx

d=

2 12

x1 +2 + 1

2x2 2x3 (3.33)

d

dx=

2

2(x1 + x2 2x3) + le (3.34)d

dx=

2

le(3.35)

Usando las Ecuaciones EC(2.16) y EC(2.17) de Matriz de Rigidez para poder so-

lucionar la aproximacin en el caso de tres nodos la cual quedara de la siguiente

manera:

11

(

( 1

2) 2le

(2) 2le

( + 12)( 2le

)

AE{( 1

2)

2

le, (2) 2

le, ( +

1

2)(

2

le)}( le

2))d (3.36)

Como estamos asumiendo que el elemento es isotrpico y es un sistema Elstico

33



lineal donde A,E,son constantes Resolviendo el sistema anterior. [3, Pag.45]

Ke = (EA

6)

14 16 216 32 16

2 16 14

(3.37)

fi =

11

(1)

2

1 2(+1)

2

ble2 d (3.38)

fi =

1

4

1

ble6 (3.39)

3.2. Anlisis de Flexin de Vigas.

EL clsico problemas de vigas puede ser resuelto con el mtodo tradicionales de

Resistencia de materiales sin embargo resolver el problema con el mtodo sofistica-

do del MEF es de gran inters didctico pues en este particular problema cada nodo

puede ser trabajado con dos variables y puede servir como conceptos primarios para

estudio de placas y lminas.

Entre estos principios y conceptos bsicos existen dos formas planteadas como es-

tudio generalizado de las mismas como son el Estudio de vigas por el mtodo Viga

Bernoulli y el estudio de vigas por el mtodo Viga Timoshenko. [3, Pag.101]

3.2.1. Teora de Flexin de Viga de Euler y Bernoulli.

Consideremos una viga de longitud L,seccin transversal de rea A y mdulo de

inercia I sobre la cual actan una serie de cargas verticales(flechas) y momentos

contenidos en el plano XZ.

34



Figura 3.4: Viga Convencional Euler-Bernulli

=dw

dx(3.40)

= y = yd2w

dx2(3.41)

= Eyd2w

dx2(3.42)

dFi = (Eyd2w

dx2)dA (3.43)

dMi = (Ed2w

dx2)y2dA (3.44)

Mi = EId2w

dx2(3.45)

35



3.2.2. Discretizacin de elementos finitos de dos nodos.

La Incgnita fundamental del problema es la flecha w.No obstante debido a que

en la expresin del trabajo virtual interno aparecen segundas derivadas de w, se

deben usar elementos continuos de clase C1(la variable y su primera derivada han de

ser continuas) para evitar singularidades en el clculo de las integrales.Esta condicin

se puede interpretar fsicamente de manera sencilla teniendo en cuenta dwdx

,coincide

con la pendiente de la deformada del eje de la viga.Por tanto,dicha derivada debe

ser continua para garantizar que la deformada del eje de la viga,de tal manera dicha

derivada debe ser continua para garantizar que la deformada del eje describa una

curva suave.

El elemento mas sencillo de la viga clase C1 es el unidimensional de dos nodos la

cual estara dada de la siguiente manera: [3, Pag.104]

w = 0 + 1 + 22 + 3

3 (3.46)

w= 1 + 22 + 33

2 (3.47)

Por las condiciones de contorno la ecuacin de deformacin quedara sintetizada de

la siguiente manera:

w = N1w1 + N1(dw

dx)1 +N2w2 + N2(

dw

dx)2 (3.48)

Analizaremos para cada caso las Condiciones frontera con la cual sacamos el si-

guiente cuadro comparativo :

H1 H1 H2 H2 H3 H3 H4 H4

1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 1

Cuadro 3.1: Valores por cada caso de discretizacin de la Barra.

Empezaremos a resolver las ecuaciones formadas por las condiciones de con-

torno.

36



Figura 3.5: Funciones de forma N1 y N1

Figura 3.6: Funciones de forma N2 y N2

37



1 1 1 1

0 1 2 3

1 1 1 1

0 1 2 3

0

1

2

3

=

1

0

0

0

(3.49)

1 1 1 1

0 1 2 3

1 1 1 1

0 1 2 3

0

1

2

3

=

0

1

0

0

(3.50)

1 1 1 1

0 1 2 3

1 1 1 1

0 1 2 3

0

1

2

3

=

0

0

1

0

(3.51)

1 1 1 1

0 1 2 3

1 1 1 1

0 1 2 3

0

1

2

3

=

0

0

0

1

(3.52)

38



Resolviendo las ecuaciones matriciales anteriores se obtendrn los coeficientes

de la formula general

Hi = 0 + 1 + 22 + 3

3

con la cual tendramos los coeficientes para cada caso de las condiciones de Con-

torno.

0

1

2

3

=

12

34

0

14

(3.53)

0

1

2

3

=

14

14

14

14

(3.54)

39



0

1

2

3

=

12

34

0

14

(3.55)

0

1

2

3

=

14

14

14

14

(3.56)

Con esto obtendramos las funciones de forma para el caso de flexin de Viga Ber-

noulli.

N1 =1

4(2 3 + 3) (3.57)

N1 =1

4(1 2 + 3) (3.58)

N2 =1

4(2 + 3 3) (3.59)

N2 =1

4(1 + 2 + 3) (3.60)

3.2.3. Matriz de Rigidez Viga Bernoulli.

Con todos los datos anteriores empezaremos con la propuesta de encontrar la

Matriz de rigidez para el caso de viga Bernoulli, aplicaremos la formulaVBTi DBidv

con la cual veremos las particularidades flectores y complementaramos con el siste-

ma Axial de fuerzas para completar la matriz de rigidez de una viga.

Para ello haremos uso de la discretizacin de dos nodos para los ejes x en la cual

40



estableceramos lo siguiente: [3, Pag.103,104]

x =1

2x1 +

1 +

2x2 (3.61)

Empezaremos a resolver el paso de un sistema natural al cartesiano de la siguiente

manera:dx

d=le2

(3.62)

Reemplazando en la ecuacin(2.16)para lo cual ya hallamos las funciones de forma

y el traslado de un sistema por medio del Jacobiano anterior.

Ki =

11

4

l2e

dN1d

dN1d

dN2d

dN2d

EI{dN1d

,dN1d

,dN2d

,dN2d} le

2d (3.63)

Ki =EI

l2e

12 6le 12 6le6le 4l

2e 6le 2l2e

12 6le 12 6le6le 2l

2e 6le 4l2e

(3.64)

Como se pueden ver es la matriz de rigidez aprendida en el curso de Anlisis Estruc-

tural ;estaramos estableciendo ya en este momento la matriz de K(6x6) para lo cual

nos agenciaramos de la Ec(3.26)y tambin la ecuacin EC(3.64).[3, Pag.107]

41



KT =

AEle

0 0 AEle

0 0

0 12EIl3e

6EIl2e

0 12EIl3e

6EIl2e

0 6EIl2e

4EIle

0 6EIl2e

2EIle

AEle

0 0 AEle

0 0

0 12EIl3e6EI

l2e0 12EI

l3e6EI

l2e

0 6EIl2e

2EIle

0 6EIl2e

4EIle

(3.65)

Para hallar las fuerzas en las vigas en forma general usaremos la ecuacin general

de Kiai+f e = q la cual f e es igual avNTi qdv que en este caso seria de la siguiente

manera: [3, Pag.107]

11

N1

N1

N2

N2

qdx =

ql2

ql212

ql2

ql2

12

=

V1

M1

V2

M2

(3.66)

3.2.4. Teora de Flexin de Viga de Timoshenko

La teora de vigas de Timoshenko comparte hiptesis de la teora clsica.Por con-

trapartida,la nueva hiptesis establece que Las secciones planas normales al eje

de viga antes de la deformacin,permanecen planas pero no necesariamente

normales al eje despus de la deformacin.

Esta hiptesis representa una mayor aproximacin a la deformacin real de la seccin

42



transversal en vigas de gran canto.A medida que la relacin longitud/canto disminu-

ye,las secciones transversales dejan de conservarse planas despus de la deforma-

cin. [3, Pag.119]

Figura 3.7: Viga con giro Adicional

= +dw

dx(3.67)

x =du

dx= z d

dx(3.68)

xz =dw

dx+du

dz=dw

dx = (3.69)

Por consiguiente la teora de Timoshenko equivale a considerar el efecto de la de-

formacin por cortante transversal,coincidiendo la magnitud de dicha deformacin

adicional de la norma los dos esfuerzos tanto de x y xz se relacionan con las

correspondientes deformaciones por: [3, Pag.121]

x = Ex = zE ddx

(3.70)

xz = G(dw

dx )Mi = EI d

dx(3.71)

Qi = GA(dw

dx ) = GAxz (3.72)

43



Figura 3.8: Anlisis de Vigas tanto en Momento como en Cortante.

Ahora aplicando el principio de trabajo virtuales pero con la condicin de hacerlo

lineal o constante al elemento cortante de la Viga Timosheko xz = Gxz,donde

es la cortante de forma o de distorsin A = A. V

(x + xzxz)dV =

l

qdx+ni=1

(dw

dx)iMi +

ni=1

wiZi (3.73)

Ahora simplificando la expresin con los datos anteriores deducidos anteriormente

quedara de la siguiente manera: [3, Pag.123]l

[(d

dx)EI(

d

dx) + (

dw

dx )GA(dw

dx)]dx (3.74)

3.2.5. Elementos finitos para flexin de vigas de Timoshenko.

La flecha de la viga Timoshenko esta en funcin en este caso de y w variables

independientes de continuidad C0 por lo tanto se pueden interpolar por separado

44



cada una de ellas por:

w() = N1()w1 +N2()w2 (3.75)

() = N1()1 +N2()2 (3.76)

Donde w1,1 y w2,2 son flechas y giros de los nodos 1 y 2 del elemento.

=d

dx= (

N1()

1 +

N2()

2)

d

dx(3.77)

xy =dw

dx = d

dx= (

N1()

w1 +

N2()

w2)

d

dxN11 N22 (3.78)

Utilizando una formulacin isoparametrica idntica a la empleada para el elemento

barra de dos nodos se obtiene que ddx

= 2le

las ecuaciones Ec.3.79 y Ec.3.78 pueden

ser escritas de la siguiente manera:

= Bfa (3.79)

xz = Bca (3.80)

Bf = [0,2

le

N1

, 0,2

le

N2

] (3.81)

Bc = [2

le

N1

,N1, 2le

N2

,N2] (3.82)ai = [w1, 1, w2, 2] (3.83)

Resolviendo las derivadas de los vectores se tendra:

Bf = [0, 1le, 0,

1

le] (3.84)

Bc = [ 1le, 1

2,

1

le, 1

2] (3.85)

Con las formulas anteriores calcularemos la Matriz de Rigidez general de la Viga

segn teora Timoshenko. para eso volveremos a resolver o simplificar la ecuacin

Ec(3.74) que segn las formulas deducidas en las ecuaciones 3.79 y 3.80 reempla-

zando en la formula 2.13 o el Principio de Trabajo Virtual.

[ae]Tle

[BTf (EI)Bf +BTc (GA)Bc]dx(a

e) = [ae]Tle

NT

(q)dx+ [ae]T qe (3.86)

45



tras Simplificacin de la formula queda de la siguiente manera :

[Kef +Kec ]a

e f e = qe (3.87)

Deduciendo de la Primera parte de la formula anterior quedara:

Kef =

le

BTf (EI)Bfdx (3.88)

Kec =

le

BTc (GA)Bcdx (3.89)

El vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a las cargas repartidas q; y

f e = le

NTqdx (3.90)

N = [N1, 0, N2, 0] (3.91)

El vector de Fuerzas nodales de equilibrio que permite ensamblar las contribuciones

de los distintos elementos de la matriz de rigidez y en el vector de las fuerzas globa-

les.

Todas las integrales anteriores pueden transformarse sobre el dominio normalizado

del elemento.As,teniendo en cuenta que dx = le2d,las ecuaciones Ec(3.88,3.89,3.90)

se escribiran como: [3, Pag 124-126]

Kf =

11BTf (EI)Bf

le2d (3.92)

Kg =

11BTg (EI)Bg

le2d (3.93)

f e = 11NT le

2d (3.94)

3.2.6. Matriz de Rigidez Total V.Timoshenko y Efecto de Bloqueo.

Como en las anteriores ecuaciones se deduce que solo debe existir un solo punto

de integracin,ya que todos los trminos del integrando de Kf exige un solo punto

de integracin,ya que todos los trminos del integrando son contantes as pues tras

46



operar las operaciones obtenemos.

Kf = (EI

le)

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1

(3.95)

Por otra parte la integracin exacta de la matriz de rigidez de cortante precisa dos

puntos de integracin por parecer en el integrando Kc trminos de segundo grado

,obtenindose:

Kc = (GA

l)

1 le21 le

2

le2

l2e3 le

2le2

1 le2

1 le2

le2

le2 le

2l2e3

(3.96)

Ahora sumamos las matrices y obtendremos una matriz general para lo cual la ma-

triz quedar de la siguiente manera y hallando a la vez un sistema de voladizo y

resolviendo con el sistema de V.Timoshenko. [3, Pag ]

GAl

GA2

GAl

GA2

GA2

(GA

3l + EI

l) GA

2(GA

3l EI

l)

GAl

GA2

GAl

GA2

GA2

(GA

3l EI

l) GA

2(GA

3l + EI

l)

w1

1

w2

2

=

V1

M1

P

0

(3.97)

47



Por las condiciones de contorno tendramos que w1 = 0 y que 1 = 0 con ello

analizaramos las soluciones para la deformacin w2 para su respectiva comparacin

con el sistema V.Bernoulli.GAl

GA2

GA2

(GA

3l + EI

l)

w2

2

=

P

0

(3.98)Resolviendo y desarrollando la matriz el problema quedara de la siguiente manera:

w2

2

=

+ 1

(GA

3l + EI

l) l

2

EI

l2

EIlEI

P

0

(3.99)donde = 12EI

GAl2 la flecha o la deformacin vertical estara dada por:

w2 =

+ 1(

l

GA+

l3

3EI)Pw

2 =

l3

3EIP (3.100)

Analizando el cociente entre la solucin sin cortante y la solucin con cortante, que-

dara de la siguiente manera:

=w2w2

=3(42 + 3)

42(2 + 3)(3.101)

Lgicamente el valor de debera tender a la unidad a medida que o esbeltez

aumente pero vemos que segn lo que hemos sacado es totalmente incorrecto eso

quiere decir que el que la viga de Timoshenko de dos nodos es incapaz de repro-

ducir en el lmite la teora clsica de vigas as a medida que la longitud aumenta

se produce un fenmeno de sobre rigidez curiosamente cuando llega a a tener mayor

importancia hasta llegar ah bloquear la solucin. [3] Para tratar de llegar a una exac-

titud lgica es visto que se tiene que sub-evaluar es decir integrarlo solo en un solo

48



Figura 3.9: Anlisis de Viga en Voladizo V.Timoshenko.

punto eliminando = 0 y as tener una solucin que no se distorsione en los limites.

Bc = [1le,1

2,

1

le,1

2] (3.102)

11

(

1le

12

1le

12

GA[

1le,1

2,

1

le,1

2])le2d (3.103)

49



de la cual la matriz de rigidez Kc quedara de la siguiente manera es decir la matriz

de integracin en un solo punto: [3]

Kc = (GA

l)

1 le21 le

2

le2

l2e4 le

2l2e4

1 le2

1 le2

le2

l2e4 le

2l2e4

(3.104)

Resolviendo igual que en el sistema anterior quedara de la siguiente manera pues

la matrices de Rigidez y Flexibilidad despus de eliminar los grados de libertad del

empotramiento.

K =

GAl

GAl

GAl

(GA

4l + EI

l)

(3.105)

F =

( 1GA

+ l3

4EI) l2

2EI

l22EI

( lEI

(3.106)La relacin entre este valor y el exacto para las vigas esbeltas es:

=w2

(w2)eexacta=

32 + 3

42(3.107)

La variacin de la nueva funcin con se ha representado en la figura Fig3.9

vemos como la solucin anterior si se aproxima a la real ya que la otra solucin

de las ecuaciones anteriores al 0 es pero con este sistema subevaluado es igual a 0.75.Pero analizando la anterior solucin vemos que existe un bloqueo ya que al acercarse

a 0 esto tiende al infinito.

50



3.3. Programacin para Vigas hecho en Python.

Deberamos empezar esta seccin con la pregunta del rigor por que en python?,

conociendo otro paquetes de programacin como el Visual Basic,Mathcad,Matlab y

otros, es que si tomamos en cuentas todos los lenguajes anteriores son privativos es

decir si no compras las licencias correspondientes tu script o pequeo programa no

sirve y como funcionan como pre compilacin pues las licencias y todo eso se vuel-

ven prcticamente insostenibles se esta optando por una programacin de software

libres pues esto va acompaado a la lgica y a la moralidad de compartir pues en lo

personal me parece maligno y egosta guardar el conocimiento pues es un derecho

universal de la educacin mundial en ese sentido quiero empezar este bloque dicien-

do que el mundo necesita una lgica y argumentos diferentes para subsistir sobre

todo en pases con subdesarrollo como el nuestro la cual merece una oportunidad de

cambio no solo moral si no tambin tecnolgico.

Figura 3.10: Una de las libreras de python.

3.3.1. Que es Python?.

Programa Interpretado y de Script.

Un lenguaje interpretado o de script es aquel que se ejecuta utilizando un pro-

grama intermedio llamado intrprete, en lugar de compilar el cdigo a lengua-

je mquina que pueda comprender y ejecutar directamente una computadora

(lenguajes compilados).

La ventaja de los lenguajes compilados es que su ejecucin es ms rpida. Sin

51



embargo los lenguajes interpretados son ms flexibles y ms potables.

Python tiene, no obstante, muchas de las caractersticas de los lenguajes com-

pilados, por lo que se podra decir que es semi interpretado. En Python, como

en Java y muchos otros lenguajes, el cdigo fuente se traduce a un pseudo

cdigo mquina intermedio llamado bytecode la primera vez que se ejecuta,

generando archivos .pyc o .pyo (bytecode optimizado), que son los que se eje-

cutarn en sucesivas ocasiones.

Tipado Dinmico.

La caracterstica de tipado dinmico se refiere a que no es necesario declarar

el tipo de dato que va a contener una determinada variable, sino que su tipo se

determinar en tiempo de ejecucin segn el tipo del valor al que se asigne, y

el tipo de esta variable puede cambiar si se le asigna un valor de otro tipo.

Fuertemente Tipado.

No se permite tratar a una variable como si fuera de un tipo distinto al que tiene,

es necesario convertir de forma explcita dicha variable al nuevo tipo previamen-

te. Por ejemplo, si tenemos una variable que contiene un texto (variable de tipo

cadena o string) no podremos tratarla como un nmero . En otros lenguajes el

tipo de la variable cambiara para adaptarse al comportamiento esperado, aun-

que esto es ms propenso a errores.

Multiplataforma.

El intrprete de Python est disponible en multitud de plataformas (UNIX, So-

laris, Linux, DOS, Windows, OS/2, Mac OS, etc.) por lo que si no utilizamos

libreras especficas de cada plataforma nuestro programa podr correr en to-

dos estos sistemas sin grandes cambios.

52



Orientado a Objetos.

La orientacin a objetos es un paradigma de programacin en el que los con-

ceptos del mundo real relevantes para nuestro problema se trasladan a clases y

objetos en nuestro programa. La ejecucin del programa consiste en una serie

de interacciones entre los objetos.

Python tambin permite la programacin imperativa, programacin funcional y

programacin orientada a aspectos.

3.3.2. Libreras Principales de python.

Python dispone de una amplia coleccin de libreras, que simplifican nuestra tarea

a la hora de escribir cdigo. El objetivo de este tema es ensear cmo funcionan

algunas de las libreras, para que los usuarios noveles de este lenguaje tengan una

base para utilizar la mayora de las libreras disponibles, que son muchas, adems

de proporcionar unos consejos que, evitarn ms de un dolor de cabeza o fallos

inesperados a la hora de ejecutar un cdigo.

Numpy

NumPy es el paquete fundamental para la computacin cientfica con Python.

Contiene entre otras cosas: un poderoso N-dimensional array de objetos so-

fisticados (radiodifusin) funciones herramientas para la integracin de cdigo

C / C + + y Fortran cdigo lgebra lineal til, la transformada de Fourier, y la

capacidad de nmeros aleatorios

Adems de sus usos cientficos obvias, NumPy tambin se puede utilizar co-

mo un eficiente multi-dimensional contenedor de datos genricos. Arbitrarias

de tipos de datos pueden ser definidos. Esto permite NumPy para integrar y

rpidamente con una amplia variedad de bases de datos.

Numpy est licenciado bajo la licencia BSD , lo que permite su re utilizacin con

pocas restricciones.

53



Figura 3.11: Smbolo de Numpy

Scipy

Depende directamente de numpy es una librera de calculo numrico sirve para

establecer todo tipo de calculo numrico y potencialmente grande para estable-

cer datos de todo tipo matemtico.

Matplotlib

matplotlib es una de las biblioteca de trazado 2D que produce figuras de calidad

de publicacin,en una variedad de formatos impresos y entornos interactivos,a

travs de plataformas. Matplotlib se puede utilizar en scripts para python, la pi-

tn y la ipython shell, servidores de aplicaciones web.

Matplotlib trata de hacer las cosas fciles . Puede generar grficos, histogra-

mas, espectro de potencia, grficos de barras, errorcharts, diagramas de dis-

persin, etc, con slo unas pocas lneas de cdigo. [5]

3.3.3. Programa hecho en python

Con lo dicho anteriormente vamos ah establecer la primera parte del cdigo fuente

del sistema y hacer unos pequeos ejemplos de aplicacin de vigas continuas y esto

compararlo con programas como el sap.

54



#! /usr/bin/python

#PROGRAMA DE VIGAS_SAMAX PRIMERA PARTE DE TESIS

from numpy import *

from scipy import *

from matrix2d import *

from numpy.linalg import *

from scipy.linalg import *

from FForma import *

from Graficos import*

print (' PROGRAMA HECHA EN PYTHON PONER LOS DATOS DE

SISTEMAS NODALES [0,1.00000000]')

n=input('Colocar el Numero de Vigas :')

nodos=n+1

Cord=[]

for i in range(nodos):

s=input('Colocar las Coordenadas de los nodos :')

Cord = Cord + [s]

Cord1=array(Cord)

L=[]


for j in range(nodos):

if j-i==1:

L = L + [norm(Cord1[j]-Cord1[i])]

#COLOCACION DE PROPIEDADES DE LA BARRA O VIGA

Pt=[]

for i in range(n):

Pi=input('Colocar las Propiedades [E,b,h]:')

Pt=Pt+[Pi]

#COEFICIENTES DE ELASTICIDAD DEL SISTEMA

55



E=[]

I=[]

for i in range(len(Pt)):

E=E+[Pt[i][0]]

#ELEMENTOS DE INERCIA DE LOS ELEMENTOS


I=I+[Pt[i][1]*(Pt[i][2]**3)/12.0]

#MATRICES DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS

K=[]


s=Matrix(E[i],I[i],L[i])

K=K+[s.Constructor ()]

#ACOPLAMIENTO DE LA MATRIZ GLOBAL

R1=range(n)

R2=range(1,n+1)

U1=()

for i in range(len(R1)):

for j in range(len(R2)):

if i==j:

U1=U1+(R1[i],R2[j])

U2=np.array([U1[i]+1 for i in range(len(U1))])

s=len(U1)/2

U3=np.reshape(U2 ,(s,2))

U4=U3*2

O=[]

WQ=array([range(U4[i][0]-2,U4[i][0]) for i in range(len(U4))])

WR=array([range(U4[i][1]-2,U4[i][1]) for i in range(len(U4))])

56



for i in range(len(WQ)):

for j in range(len(WQ)):

if i==j:

O = O + [array([WQ[i],WR[j]]). reshape(4)]

U5=array(O)

Ord=transpose(U5)

""" MATRIZ DE ORDENAMIENTO ----->Ord """

KT=zeros((2*nodos ,2*nodos ))

#PROCEDIMIENTO DE ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ.

for i in range(4):

for j in range(4):

for s in range(len(K)):

KT[Ord[i][s]][Ord[j][s]] =

KT[Ord[i][s]][Ord[j][s]]+K[s][i][j]

#COLOCAR LOS GRADOS DE LIBERTAD DE LOS NODOS O APOYOS.

M=[]


u=input('Nodos Empotrados [0,0] Nodos Fijos [0,1]

Nodos Libres [1,1] :')

M = M + [u]

N=array(M). reshape(2*nodos ,1)

#COLOCAR LAS FUERZAS TANTO EN NODOS COMO EN ELEMENTOS DE RECURRENCIA.

F=[]

y=[]

for i in range(n):

w=input('Colocar el Valor de [1] fuerza Puntual o

57



[2] Fuerza Dist :')

if w==1:

""" Deducidos en La Tesis """

q=input('Colocar [Q_i ,Xi] :')

Q1=Forma(q[1],L[i])

U=[[q[0]*Q1.N_1(),q[0]*Q1.N_2()],[q[0]*Q1.N_3(),q[0]*Q1.N_4()]]

y = y + [q]

F = F + U

if w==2:

""" Deducidos en La Tesis """

s=input('Colocar el valor de qi :')

B=[[s*L[i]/2.0,s*L[i]**2/12.0],[s*L[i]/2.0,-s*L[i]**2/12.0]]

F = F + B

y = y + [[s,0]]

FV=array(y). reshape(n,2)

FI=array(F)

#MATRIZ DE FUERZAS DE LOS ELEMENTOS

#-----------------------------------------------------------

FR=[]

for i in range(1,len(FI)-1,2):

for j in range(2,len(FI)-1,2):

if i!=0:

if j!=0:

if i!=len(FI)-1:

if j!=len(FI)-1:

if j-i==1:

QW=[array(FI[i])+array(FI[j])]

FR = FR + QW

FU=array([array(FI[0])]+FR+[array(FI[len(FI)-1])])

58



.reshape(2*nodos ,1)

#-------------------------------------------------------------

#CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ CORREGIDA .

GDL0=[]

for i in range(len(N)):

if N[i]==0:

GDL0 = GDL0+[i]

GDT=array(GDL0)

KM1=delete(KT,GDT ,axis=0)

KM2=delete(KM1 ,GDT ,axis=1)

FGDL=[]


if N[i]!=0:

FGDL=FGDL+[FU[i]]

FGDL1=array(FGDL). reshape(len(KM2),1)

#HALLANDO EL VECTOR DE LOS DESPLAZAMIENTOS

#--------------------------------------------------

Desp=dot(inv(KM2),FGDL1)

#---------------------------------------------------

#PROCESO DE SEPARACION PROPIEDADES DE VIGAS

UPP=[]

for i in range(len(M)):

for j in range(len(M)):

if j-i==1:

UPP=UPP+[M[i]+M[j]]

UPP1=array(UPP)

AMY=[]


59



if N[i]==1:

AMY=AMY+[[i]]

AMY1=array(AMY)

for i in range(len(AMY1)):

N[AMY[i]]=Desp[i]

N2=N.reshape(len(N)/2,2)

POR=[]

for i in range(len(N2)):

for j in range(len(N2)):

if j-i==1:

POR=POR+[([N2[i]]+[N2[j]])]

POW=np.array(POR)

#-------------------------------------------------------------

#PARCIALIZAR LOS X[i] PARA DE TAL MOTIVO

SACAR LAS GRAFICAS DE LOS ELEMENTOS VIGAS.

X=[]

for i in range(n):

x1=arange(0,L[i],0.1)

X = X + [x1]

Form=[]

for i in range(n):

QR=Forma(X[i],L[i])

Form=Form+[QR]

Resid=[]

for i in range(n):

QM=Residuo(X[i],L[i],FV[i][0],E[i],I[i])

Resid = Resid + [QM]

DEF=[]

60



for i in range(n):

QT=Form[i].N_1()*POW[i][0][0]+Form[i].N_2()*POW[i][0][1]+Form[i]

.N_3()*POW[i][1][0]+Form[i].N_4()*POW[i][1][1]+Resid[i].R_1()

DEF = DEF +[QT]

DEFC=[]

for i in range(n):

QE=Form[i].Gr_1()*POW[i][0][0]+Form[i].Gr_2()*POW[i][0][1]+Form[i]

.Gr_3()*POW[i][1][0]+Form[i].Gr_4()*POW[i][1][1]+Resid[i].R_2()

DEFC = DEFC + [QE]

Mom=[]

for i in range(n):

QU=Form[i].M_1()*POW[i][0][0]+Form[i].M_2()*POW[i][0][1]+Form[i]

.M_3()*POW[i][1][0]+Form[i].M_4()*POW[i][1][1]+Resid[i].R_3()

Mom = Mom +[QU]

Cort=[]

for i in range(n):

QV=Form[i].V_1()*POW[i][0][0]+Form[i].V_2()*POW[i][0][1]+Form[i]

.V_3()*POW[i][1][0]+Form[i].V_4()*POW[i][1][1]+Resid[i].R_4()

Cort=Cort+[QV]

#-------------------------------------------------------------

#GRAFICAS _TERMINAREMOS YA EL PRIMER Y SEGUNDO CAPITULO ;)

#--------------------------------------------------------------

while True:

p=input('Elegir Viga :')

i=p-1

DefT.plot(X[i],DEF[i],'ro')

GirT.plot(X[i],-DEFC[i],'ro')

MomT.plot(X[i],Mom[i],'ro')

CorT.plot(X[i],-Cort[i],'ro')

plt.show()

61



#-------------------------------------------------------------------

# CREACION DE TABLAS DE RESULTADOS DE LOS ELEMENTOS

#--------------------------------------------------------------------

62

Captulo 4

PROBLEMAS DE ELASTICIDAD

BIDIMENSIONAL.

4.1. Introduccin.

En este capitulo se presenta la aplicacin del mtodo de los elementos finitos al

anlisis de estructuras en las que se cumplen las hiptesis de la elasticidad bidimen-

sional(tensin o deformacin plana).la mayor parte de los conceptos que aparecern

a lo largo del capitulo sern utilizados en el resto de la tesis al tratar otros proble-

mas de estructuras en dos, e incluso tres dimensiones.Por consiguiente,este capitulo

puede considerarse, en gran parte,como introductorio a la metodologa general de

aplicacin del mtodo de los elementos finitos a estructuras bi y tridimensionales. [2,

Pag 47]

Existe una gran variedad de estructuras de inters prctico dentro de la ingeniera en

las que se puede hacer uso de las hiptesis de la elasticidad bidimensional.Dichas

estructuras se caracterizan por tener una forma aproximada de prisma recto.No obs-

tante,segn la proporcin que guarden las dimensiones de dicho prisma,y la disposi-

cin de las cargas,pueden clasificarse en uno de los tipos siguientes:

Problemas de Tensin Plana.

Se dice que una estructura prismtica esta en estado de tension plana si una

63



Figura 4.1: Elementos en Tensin Plana y Deformacin Plana.

de sus dimensiones (espesor) es mucho menor que las otras dos, y sobre ellas

actan nicamente cargas contenidas en su plano medio.Entre los problemas

de estructuras que se incluyen dentro de esta categora podemos citar los de

anlisis de vigas de gran canto,placas con cargas en su plano,presas contra-

fuertes,etc.

Problemas de Deformacin Plana.

Una estructura prismtica est en estado de deformacin plana si una de sus

dimensiones (Longitud) es mucho mayor que las otras dos y sobre ella actan

nicamente cargas uniformemente distribuidas a lo largo de toda su longitud

y contenidas en planos ortogonales al eje que une los centros de gravedad

de sus distintas secciones transversales, dentro de esta clasificacin se pue-

den incluir entre otros,los problemas de muro de contencin,presas de grave-

dad,tuberas bajo presin interior y diversos problemas de ingeniera del terreno

(tneles,anlisis de tensiones bajo zapatas,etc) una de las principales ventajas

de la teora bidimensional es que permite el estudio de los problemas de tensin

64



y deformacin plana. [3]

4.2. Teoria de la Elasticidad Bidimensional.

Presentemos los conceptos que hay que conocer de la teora de elasticidad

bidimensional para la utilizacin del mtodo de elementos finitos.

4.2.1. Campo de Desplazamientos.

Las caractersticas geomtricas y de cargas de una estructura en estado de

tensin o deformacin plana permiten establecer la hiptesis de que todas las

secciones perpendiculares al eje prismtico z se deforman en su plano y de ma-

nera idntica .Por consiguiente,basta con conocer el comportamiento de cual-

quiera de dichas secciones.As ,consideramos una | genrica contenida en el

plano x y de cualquiera de las figuras().El campo de desplazamientos de laseccin esta perfectamente definido si se conocen los desplazamientos en las

direcciones x y y de todos sus puntos.El vector de desplazamientos de un punto

se define,por tanto,como [2, Pag 47 ]

u(x, y) =

u(x, y)

v(x, y)

(4.1)Donde u(x, y) y v(x, y) son los desplazamientos del punto en direcciones de

los ejes x , y,respectivamente.

65



Figura 4.2: Tensin Plana

4.2.2. Campo de Deformaciones.

Analizando el campo de desplazamientos y haciendo uso de la teora general

de elasticidad .

x =u

x(4.2)

y =v

y(4.3)

xy =v

x+u

y(4.4)

xz = yz = 0 (4.5)

Con respecto a la deformacin longitudinal z hay que sealar que en el caso

de tensin plana dicha deformacin no es nula ,pero se supone que lo es la

tensin z.Por consiguiente,en ninguno de los dos casos hay que considerar la

deformacin z ya que no interviene en las ecuaciones de trabajo de deforma-

cin al ser producto zz nulo.As,pues el vector de deformacin significativas

de un punto se define para tensin y deformacin plana como [4, Pag.134]

= [x, y, xy]T (4.6)

66



1

4.2.3. Campo de Tensiones.

Se deduce en las ecuaciones Ec.(4.2)... Ec(4.5) que las tensiones tangencia-

les xz y yz son nulas.Por otra parte por los mismos motivos explicados en el

apartado anterior para la deformacin z,la tensin z no trabaja y el vector de

tensiones significativas es [3, Pag.158]

= [x, y, xy]T (4.7)

4.2.4. Relacin Tensin - Deformacin.

La relacin entre tensiones y deformaciones se deduce de la ecuacin cons-

titutiva de la elasticidad tridimensional,con la hiptesis simplificativas descri-

tas anteriormente(z = 0 para tensin plana,z = 0 para deformacin plana y

xz = yz = 0 en ambos casos).Tras realizar las correspondientes operaciones

puede encontrarse la siguiente relacin matricial entre tensiones y deformacio-

nes

= D (4.8)

En la ecuacin Ec(4.8) D es la matriz de constantes elsticas (o matriz consti-

tutiva)

D =

d11 d12 0

d21 d22 0

0 0 d33

(4.9)

1[4] Sergio Gallegos Cazares,Anlisis de Slidos y Estructural mediante el mtodo de elemen-tos finitos

67



Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que D es siempre simtrica,y d12 =

d21.Para elasticidad isotropa se tiene:

Tensin Plana Deformacin Plana

d11 = d22 =E

1v2 d11 = d22 =E(1v)

(1+v)(12v)

d12 = d21 =vE

1v2 d12 = d21 = (E

1v2 )(v

1v )

d33 =E

2(1+v)d33 =

E2(1+v)

= G

(4.10)

Siendo E el mdulo de elasticidad y v es el coeficiente de Poisson. Para un

material orttropo con direcciones principales de ortotropa segn x e y,la matriz

D tiene la expresin siguiente:

Tensin Plana D = 11vxyvyx

vx vxyEx 0

vyxEy Ey 0

0 0 (1 vxyvyx)Gxy

Tensin Plana D = 1adbc

aEx bEx 0

cEy dEy 0

0 0 (ad bc)Gxy

(4.11)

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Donde los diferentes factores estaran dados por:

1

Gxy=

1 + vyxEx

+1 + vxyEy

(4.12)

a = 1 vyzvzy b = vxy + vxzvzy

c = vyx + vyzvzx d = 1 vxzvzx

(4.13)

puesto que D debe ser simtrica se cumple

EyEx

=vxyvyx(Tensin Plana) y

EyEx

=b

c(Deformacin Plana) (4.14)

Si las direcciones principales de ortotropa x,y

estn inclinadas un ngulo

con respecto a los ejes globales de la estructura x e y la matriz constitutiva se

obtiene como sigue.Las deformaciones en eje x y y,se expresan en funcin de

sus valores en ejes x,y,por: [3, Pag 160]

(P U)u = x (4.15)(P U)uort = y (4.16)

xcos() + ysen() = x

(4.17)

xsen() + ycos() = y (4.18)

Con esto podemos analizar tambin los desplazamientos en u y en v con lo

cual tendramos lo siguiente: [6]

u= ucos() + vsen() (4.19)

v= ucos() + vcos() (4.20)

Con los datos Anteriores y usando las formulas general = dudx

con la cual

analizaremos los diferentes paso de coordenadas .

x =u

x=u

x

x

x+u

y

y

x(4.21)

y =v

y=v

x

x

y+v

x

x

y(4.22)

xy =u

y+v

x=v

x

x

x+v

y

y

x+u

x

x

y+u

x

x

y(4.23)

69



Reemplazando las ecuaciones Ec(4.17-4.18-4.19-4.20) en las ecuaciones Ec(4.21-

4.22-4.23) con la cual tendramos lo siguiente:

x = xcos

2() + xysen()cos() + ysen2() (4.24)

y = xsen

2() xysen()cos() + ycos2() (4.25)xy = x 2cos()sen() + y2cos()sen() + xy(cos2() sen2()) (4.26)

Acomodando el sistema en un sistema matricial el sistema quedara de la si-

guiente manera:

x

y

xy

=

cos2() sen2() sen()cos()

sen2() cos2() sen()cos()

2sen()cos() 2sen()cos() cos2() sen2()

x

y

xy

(4.27)

La formula quedara de la siguiente manera con la cual se podra establecer la

siguiente formula:

= T (4.28)

Por otra parte tambin puede demostrase que que las tensiones en los ejes

globales se relacionan con sus valores en ejes x

y y

= T T

(4.29)

= D

(4.30)

Donde D

viene expresada en Ec(4.11) para material ortotrpo.

Finalmente,haciendo uso de las Ecs(4.29)-(4.30) se obtiene:

= T TDT = D (4.31)

D = T TDT (4.32)

70



Figura 4.3: Material Orttropo con direcciones principales de ortotropa x

y y

Es fcil comprobar que la matriz de D en los ejes globales es tambin simtrica

.La expresin de los coeficientes dij para el caso de elasticidad anistropa. Si el

slido esta sometido a un estado de deformacin inicial,tal como puede suceder

en el caso de deformacin trmica,las relaciones pueden modificarse. La de-

formacin total es ahora igual a la elstica e ms la inicial.Por otra parte,las

tensiones siguen siendo proporcionales a las deformaciones elsticas,con lo

que la ecuacin constitutiva se describe como: [3, Pag 161]

= De = D( 0) (4.33)

4.2.5. Formulacin de Elementos Finitos.Elemento de tres

Nodos.

Consideraremos en primer lugar el uso del sencillo elemento triangular de tres

nodos.Este elemento est considerado primario en el estudio de problemas

estructurales bidimensionales por el mtodo de elementos finitos.ya hemos co-

mentado que mucho antes de la aparicin de este mtodo Courant sugiri el

71



uso de una interpolacin polinomica lineal sobre sus subdominios triangulares

para aproximar la solucin numrica de ecuaciones diferenciales. [3, Pag 168]

Aos despus,Turner et al.En un clsico articulo propusieron la divisin de los

dominios bidimensionales en tringulos de tres nodos para facilitar su anlisis

matricial.Por ello,dicho elemento es conocido como elemento de Turner.El trian-

gulo de tres nodos pronto adquiri gran popularidad entre ingenieros estructu-

rales.De las muchas aplicaciones practicas de dicho elemento en su primera

etapa hay que destacar las relaciones con el clculo de presas de gravedad que

constituyeron una autentica innovacin en la metodologa tradicional del anli-

sis de dichas estructuras [2, pag.55].La clave del xito del elemento triangular

de tres nodos fue su gran versatilidad y sencillez que,como veremos,permite

asimilar fcilmente el proceso de anlisis de un dominio bidimensional com-

plejo a las etapas del clsico clculo matricial de estructuras de barras,familiar

a la mayor parte de ingenieros estructurales.Por contrapartida,es un elemento

de precisin limitada,como corresponde a su aproximacin lineal lo que obliga

usualmente a la utilizacin de mallas muy tupidas pese a ello,en la actuali-

dad,sigue siendo un elemento popular y competitivo,ademas de servir de ejem-

plo excelente para introducir la formulacin de elementos finitos en problemas

bidimensionales.

4.2.6. Discretizacin del Campo de Desplazamiento.

En la figura 4.4 se muestra la seccin transversal cualquiera que se analiza bajo

la hiptesis de elasticidad bidimensional.La primera etapa del anlisis es como

siempre la discretizacin en elementos finitos.En la misma figura puede verse

la discretizacin de la seccin en elementos Triangulares de tres nodos es im-

portante recordar de nuevo que la malla de elementos finitos representa una

idealizacin de la geometra lineal.por consiguiente,el anlisis por elementos fi-

nitos reproduce el comportamiento de la malla escogida y no el de la estructura

72



real.Solamente comprobando la convergencia de la solucin podemos estimar

el grado de aproximacin de la solucin de elementos finitos a la exacta.

Un elemento triangular de tres nodos tpico se caracteriza por el nmero de

sus nodos N : 1, 2, 3 y sus coordenadas.Los tres nodos del elemento tienen en

la malla la numeracin global (i, j, k) y coordenadas x1, y1,x2, y2 y x3, y3.Los

nmeros globales de los nodos (i, j, k) corresponden con los locales 1,2 y

3,respectivamente en la prctica es usual utilizar la numeracin local para el

clculo de las matrices del elemento y hacer uso de la correspondencia entre

nmeros locales y globales para el ensamblaje similarmente a como ocurre en

clculo matricial de estructuras. Considerando un elemento aislado como en

Figura 4.4: Discretizacin de una Estructura con Elementos Triangulares.

la figura,podemos expresar los dos desplazamientos cartesianos de un punto

cualquiera del interior del elemento en funcin de los desplazamientos de sus

73



nodos como

u = N1u1 +N2u2 +N3u3 (4.34)

v = N1v1 +N2v2 +N3v3 (4.35)

donde (ui, vi) y Ni son los desplazamientos horizontal y vertical y la funcin de

forma del nodo i del elemento,respectivamente.No hay ninguna razn funda-

mental para escoger las mismas funciones para definir los desplazamientos en

direccin horizontal y vertical.No obstante,por simplicidad, y a menos que haya

claros indicios de que dicha aproximacin debe diferenciarse, es usual utilizar

la misma interpolacin para ambos desplazamientos u,v. [3, Pag 170]

u =

uv =

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