The Stochastic Integral

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICAS

LA INTEGRAL ESTOCASTICA DE ITO Y ALGUNAS

APLICACIONES AL CAMPO DE LAS FINANZAS

Trabajo de Tesis

Para Optar el Tıtulo Profesional de Licenciado en Matematicas

Autor:

Br. Dennis Nicanor Quispe Sanchez

Asesor:

Dr. Obidio Rubio Mercedes

Trujillo - Peru

2012

ii

Presentacion

Senores miembros del jurado:

En cumplimiento a lo dispuesto por el reglamento de la Universidad Nacional de

Trujillo, para optar el tıtulo de Licenciado en Matematicas, pongo a su disposicion el

presente trabajo titulado LA INTEGRAL ESTOCASTICA DE ITO Y ALGUNAS

APLICACIONES AL CAMPO DE LAS FINANZAS, para que con su aprobacion

haga realidad mi deseada meta.

Con la consideracion de que este trabajo pueda estar incompleto, acepto hones-

tamente todas sus apreciaciones y sugerencias que tengan a bien formular, lo cual

me servira para mejorarlo en el futuro.

Trujillo, Agosto del 2012

El Autor

iii

iv

Introduccion.

En 1944, durante la segunda guerra mundial, el matematico japones Kiyosi Ito

publico su artıculo llamado Integral Estocastica ([3]) en las actas de la Universidad

Imperial de Tokyo. Es ası como empezo la historia del calculo estocastico de Ito, la

contraparte del calculo determinıstico de Newton-Leibniz para funciones aleatorias.

Desde entonces el calculo estocastico de Ito es una de las herramientas mas utiles

en las matematicas financieras modernas, sobre el cual descansa practicamente to-

da la teorıa economica y el analisis financiero en tiempo continuo y en ambientes

estocasticos.

El objetivo principal de este trabajo es definir un tipo de integral estocastica de un

proceso estocastico f(t, w) con respecto a un movimiento Browniano W (t, w) ([2])

I(f) =

T∫0

f(t, w)dW (t, w) (1)

siguiendo las ideas presentadas por Ito en su artıculo de 1944. Ademas mostrar algu-

nas aplicaciones de integracion estocastica en diversas areas de las finanzas ([7],[8]).

Para lograr estos objetivos se ha dividido el trabajo en cuatro capıtulos:

En el primer capıtulo enunciamos algunas definiciones, notaciones y resultados en

teorıa de probabilidad y procesos estocasticos que usamos en la exposicion de los

temas centrales del trabajo.

Un proceso estocastico es un modelo matematico del comportamiento en el tiempo

de un fenomeno aleatorio. La aleatoriedad del fenomeno se captura a traves de un

espacio de probabilidad (Ω,F ,P). En este contexto, un proceso estocastico X(t, w)

es un conjunto de variables aleatorias definidas sobre Ω con valores en R.

v

vi

Para cada w ∈ Ω fijo, X(., w) es una funcion medible (llamada funcion muestral del

proceso X(t, w)).

Frecuentemente, cuando se trabaja con procesos estocasticos, es necesario especi-

ficar el tipo de informacion que esta disponible en cada punto en el tiempo. Por

ejemplo, si se quiere calcular la esperanza matematica, condicional a la informacion

disponible, de valores futuros de un proceso, entonces es necesario especificar de ma

nera precisa la informacion que se utiliza en los calculos. Usualmente, en los modelos

financieros se requiere que los precios, presente y pasados, de los activos financieros

sean conocidos para producir un pronostico. Esta idea es formalizada en el concepto

de filtracion. Una filtracion es una familia F = Ft; t ≥ 0 de σ-algebras monotona

creciente en t. Una filtracion puede ser pensada como una estructura de informacion

dinamica, donde Ft representa la informacion relevante disponible hasta el tiempo

t.

En el segundo capıtulo, definimos la integral estocastica (1), donde el integrando

f(t, w) es un proceso estocastico adaptado a la filtracion F, esto significa que el

valor que tome f(t) depende solamente de la informacion disponible al tiempo t, y

ademas en general sus funciones muestrales son no diferenciables con probabilidad

uno.

El integrador W (t, w) es un movimiento Browniano, el cual es un proceso estocasti-

co con funciones muestrales continuas, no diferenciables y de variacion infinita con

probabilidad uno.

La naturaleza compleja del movimiento Browniano nos obliga a plantear el problema

de integracion estocastica de una forma diferente que en el caso determinıstico.

Para ello definimos el espacio de procesos estocasticos f(t, w) adaptados a la fil-

tracion F que satisfacen la condicion de integrabilidad:

T∫0

E(|f(t, w)|2)dt <∞

el cual lo denotamos como L2ad([0, T ] × Ω) y E al espacio de procesos estocasticos

en L2ad([0, T ]× Ω) que son escalonados.

vii

Primero definimos la integral estocastica de Ito en el espacio E , se muestra la den-

sidad de este espacio en L2ad([0, T ]×Ω), para luego definir la integral estocastica de

Ito en el espacio L2ad([0, T ]×Ω) como el lımite en media cuadratica de una sucesion

de Cauchy de variables aleatorias en L2(Ω).

En el capıtulo 3, extendemos la definicion de la integral estocastica de Ito a un es-

pacio mas amplio de integrandos.

Definimos el espacio Lad(Ω, L2[0, T ]) de procesos estocasticos adaptados a F que

satisfacen la siguiente condicion

P

[w ∈ Ω :

T∫0

|f(t, w)|2dt <∞

]= 1

Para cada f en Lad(Ω, L2[0, T ]) se prueba que existe una sucesion (fn)n≥1 de ele-

mentos en E tales que

lımn→∞

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt = 0 en probabilidad

para luego definir la integral estocastica de Ito del proceso estocastico f(t, w) como

el lımite en probabilidad de la sucesion de variables aleatorias (I(fn))n≥1.

Al final de este capıtulo se demuestra la version estocastica de la regla de la cadena

determinıstica, la formula de Ito.

En el ultimo capıtulo de este trabajo, mostramos algunas aplicaciones de integracion

estocastica en la formulacion y solucion de algunos modelos matematicos que surgen

en diversas areas de las finanzas. Para finalmente dar las conclusiones del presente

trabajo con su respectiva bibliografıa.

El Autor

viii

Indice general

Presentacion II

Introduccion IV

1. Preliminares 1

1.1. Variables aleatorias y leyes de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Procesos estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Descripcion de la ley de probabilidad de un proceso estocastico . . . . 10

1.4. El movimiento Browniano o proceso de Wiener . . . . . . . . . . . . . 13

2. La Integral Estocastica de Ito 21

2.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2. Filtraciones para un movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Integral Estocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1. Los espacios L2ad([0, T ]× Ω) y E . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2. Definicion de la integral estocastica en E y sus propiedades . . 28

2.3.3. El espacio E es denso en L2ad([0, T ]× Ω) . . . . . . . . . . . . 30

2.3.4. Definicion de la integral estocastica de Ito en el espacio L2ad([0, T ]×

Ω) y sus propieades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.5. Procesos estocasticos definidos por integrales de Ito . . . . . . 43

3. Extension de la Integral Estocastica y la Formula de Ito 51

3.1. Un espacio mas amplio de integrandos . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

ix

x INDICE GENERAL

3.2. Lema de aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Definicion de la integral estocastica de Ito en el espacio Lad(Ω, L2[0, T ]) 56

3.4. La formula de Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Aplicaciones de la Integral Estocastica 71

4.1. Motivacion: Ecuaciones Diferenciales Estocasticas . . . . . . . . . . . 71

4.2. Aplicaciones de la formula de Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3. La ecuacion diferencial parcial de Black, Merton y Scholes . . . . . . 83

Conclusiones 86

Bibliografıa 88

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo, se presenta la teorıa necesaria para desarrollar el tema y alcan-

zar los objetivos planteados en el proyecto de tesis, se presentan algunos resultados

de teorıa de probabilidad y procesos estocasticos, nos enfocamos en un proceso

estocastico en especial, el Proceso de Wiener o tambien llamado Movimiento Brow-

niano.

1.1. Variables aleatorias y leyes de probabilidad

Para dar la definicion formal de variable aleatoria tenemos que dar la nocion de

espacio muestral, eventos y funcion de probabilidad.

Definicion 1.1 Se denomina espacio muestral y se denota por Ω, al conjunto que

consiste de todos los posibles resultados o estados de la naturaleza, de un experimento

aleatorio. A cada elemento del espacio muestral se le denomina punto muestral.

Definicion 1.2 Se denomina evento a cualquier subconjunto del espacio muestral

Ω. Se dice que ocurre un evento E, si contiene por lo menos un punto muestral.

Observacion: Se ha de tener en cuenta que por razones tecnicas, normalmente no

se permite que todos los subconjuntos de Ω sean eventos. En lugar de ello se traba-

jara con una familia F de subconjuntos de Ω que tenga las siguientes propiedades:

1

2 1.1. Variables aleatorias y leyes de probabilidad

1. Ω ∈ F .

2. E ∈ F ⇒ Ec ∈ F .

3. Si Ei ∈ F ,∀i = 1, 2, . . . , entonces∞⋃i=1

Ei ∈ F .

Esta familia toma el nombre de σ−algebra.

Para el desarrollo de la teorıa matematica de probabilidades a menudo basta tomar

como familia de eventos la familia mas pequena de subconjuntos de Ω que poseen

propiedades 1 - 3 y ademas contengan todos los subconjuntos que esperamos nos

interesan.

Definicion 1.3 Suponga que un espacio muestral Ω esta asociado a un experi-

mento aleatorio y F una familia de eventos aleatorios. La funcion de probabilidad

P[·] es una aplicacion:

P : F → [0, 1]

tal que:

1. P[E] ≥ 0,∀E ∈ F .

2. P(Ω) = 1.

3. Si Ei ∈ F ,∀i = 1, 2, . . . , Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j entonces P

(∞⋃i=1

Ei

)=∞∑i=1

P(Ei).

En la teorıa aplicada de las probabilidades, no se emplean explıcitamente los espa-

cios muestrales. En vez de ello, se tratan la mayor parte de problemas en funcion de

variables aleatorias.

Se dice que E es un conjunto de Borel, si E puede obtenerse mediante un numero de

operaciones numerable, partiendo de un conjunto abierto, cada operacion consiste

en tomar uniones, intersecciones o complementos.

La familia B = B/B es Borel, es llamada σ-algebra de Borel. Ademas B es la

menor σ-algebra que contiene a todos los abiertos.

1. Preliminares 3

Definicion 1.4 X es una variable aleatoria si:

1. X : Ω → R. Es una funcion de valor real definida en el espacio muestral

de representacion Ω en cuya familia F de eventos se ha definido la funcion

probabilidad P[·].

2. ω/X(ω) ∈ B ∈ F , donde B ∈ B.

Definicion 1.5 La funcion de probabilidad de una variable aleatoria X es una

aplicacion:

PX : B −→ [0, 1]

B 7−→ PX [B] = P[ω/X(ω) ∈ B].

Definicion 1.6 Las Variables Aleatorias X e Y estan distribuidas identicamente

si

PX [B] = PY [B], ∀B ∈ B

Definicion 1.7 La funcion distribucion de la Variable X esta definida por

FX : R −→ [0, 1]

x 7−→ FX(x) = P[X ≤ x].

Observacion:

1.

FX(x) = P [X ≤ x] = P [X ∈ 〈−∞, x]]

= P [ω/X(ω) ∈ 〈−∞, x]]

= PX [〈−∞, x]]

= P[X−1 〈−∞, x]

].

2. FX es no decreciente, FX(−∞) = 0 y FX(+∞) = 1.


Definicion 1.8 Una variable aleatoria X es continua si existe una funcion lla-

mada de densidad de probabilidad de X y representada por fX(·), en funcion de la

cual se pueda representar PX [·] como una integral, para cualquier conjunto de Borel

B:

PX [B] = P[X ∈ B] =

∫B

fX(x)dx.

Observacion:

Ya que

FX(x) =

x∫−∞

fX(t)dt ; −∞ < t < x.

Se deduce que :

fX(x) =d

dxFX(x).

Para todo x en los que exista la derivada.

Definicion 1.9 La variable aleatoria X tiene distribucion normal o Gaussiana

de parametros m y σ, si su funcion densidad es dada por

f(x) =1√

2πσ2e−

(x−m)2

2σ2 .

Definicion 1.10 El valor esperado de una variable aleatoria X representado por

E[X], se define (cuando existe) mediante:

E[X] =

∞∫−∞

xdFX(x) =

∞∫−∞

xfX(x)dx.

siempre que existan las integrales.

Definicion 1.11 La Varianza de X se define mediante:

V ar [X] = E[(X − E [X])2] .

Definicion 1.12 La desviacion tıpica de una variable aleatoria X se define me-

diante:

σ[X] =√V ar[X].

1. Preliminares 5

Definicion 1.13 Las variables aleatorias X1, . . . , Xn estan distribuidas conjun-

tamente si estan definidas como funciones en el mismo espacio muestral de repre-

sentacion.

Su funcion conjunta de distribucion es:

FX1,X2,...,Xn(x1, x2, . . . , xn) = P [X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn]

. = P [ω : X1(ω) ≤ x1, . . . , Xn(ω) ≤ xn] .

Definicion 1.14 Las variables aleatorias distribuidas conjuntamente X1, . . . , Xn

son independientes si y solo si es cierto uno de los enunciados equivalentes que se

indican acontinuacion:

1. Criterio en funcion de las funciones de distribucion

∀B1, . . . , Bn conjuntos de Borel,

P [X1 ∈ B1, . . . , Xn ∈ Bn] = P [X1 ∈ B1] . . .P [Xn ∈ Bn] .

2. Criterio en funcion de las funciones de distribucion

∀x1, . . . , xn ∈ R. FX1,...,Xn(x1, . . . , xn) = FX1(x1) . . . FXn(xn).

3. Criterio funcion de las esperanzas matematicas:

∀g1(·), . . . , gn(·) funciones medibles y acotadas

E [g1(x1), . . . , gn(xn)] = E [g1(x1)] . . .E [gn(xn)] .

Definicion 1.15 La variable aleatoria E [X|A ] es la esperanza condicional de X

relativa a la σ−algebra A si X ∈ L1(Ω) y

1. E [X|A ] es A - medible

2.

∫A

E [X|A ] dP =

∫A

XdP, ∀A ∈ A


Teorema 1.1 Sean X e Y variables aleatorias en L1(Ω) y A ∈ F , una σ−alge-

bra, entonces se cumplen 1:

1. Si X ≤ Y entonces E [X|A ] ≤ E [Y |A ]

2. E [aX + bY |A ] = aE [X|A ] + bE [Y |A ]

3. Si X es A -medible entonces E [X|A ] = X

4. Si Y es A -medible y XY es integrable entonces E [XY |A ] = Y E [X|A ]

5. Si A1, A2 son σ-algebras tal que A1 ⊂ A2 son σ-algebras tal que A1 ⊂ A2,

entonces

E [E [X|A2] |A1] = E [X|A1]

6. Sea X integrable, suponer que φ es una funcion convexa sobre R y φ(X) inte-

grable, entonces φ(E [X|A ]) ≤ E [φ(X)|A ]

En teorıa de probabilidades como en analisis necesitamos usar varias clases de con-

vergencia de variables aleatorias. Tres de estas son particularmente importantes:

1. Convergencia en Probabilidad

2. Convergencia con Probabilidad uno

3. Convergencia en LP (Ω)

Definicion 1.16 La sucesion de variables aleatorias (Xn)n≥1 converge en proba

bilidad a la variable aleatoria X, si para cada ε > 0

lımn→∞

P [ω ∈ Ω/ |Xn(ω)−X(ω)| > ε] = 0

1Para demostracion ver [5]

1. Preliminares 7

NOTACION: XnP−−→ X

Definicion 1.17 La sucesion de variables aleatorias (Xn)n≥1 converge con proba

bilidad uno a la variable aleatoria X, si:

P[ω ∈ Ω/ lım

n→∞Xn(ω) = X(ω)

]= 1

NOTACION: XnP.1−−−→ X

Definicion 1.18 La sucesion de variables aleatorias (Xn)n≥1converge en media

de orden p, 0 < p <∞ a la variable X si,

lımn→∞

E[|Xn −X|P

]= 0

NOTACION:XnLp−−−→ X

Observacion: Las variables aleatorias X1, X2, . . . son independientes, si ∀n ∈ N,

las variables aleatorias X1, . . . , Xn son independientes.

Lema 1.1 Sea (Yn)n≥1 una sucesion de variables aleatorias, entonces las siguien

tes condiciones son equivalentes.2

1. YnP.1−−−→ 0

2. ∀ε > 0

lımk→∞

P

[∞⋃n=k

ω/ |Yn| ≥ ε

]= 0

Teorema 1.2 Si XnP.1−−−→ X, entonces Xn

P−−→ X

Demostracion:

Considerar Yn = Xn−X ası el problema se reduce a la discusion de la convergencia

de Yn a cero.

Puesto que YnP.1−−−→ 0 por el lema 1.1 tenemos:

lımk→∞

P

[∞⋃n=k

ω/ |Yn(ω)| ≥ ε

]= 0 (1.1)

2Para demostracion ver[5]


pero ω : |Yk| ≥ ε ⊂∞⋃n=k

ω : |Yn(ω)| ≥ ε

entonces:

P [ω ∈ Ω : |Yk(ω)| ≥ ε] ≤ P

[∞⋃n=k

ω : |Yn(ω)| ≥ ε

]

0 ≤ lımk→∞

P [ω ∈ ω : |Yk(ω)| ≥ ε] ≤ lımk→∞

P

[∞⋃n=k

: |Yn(ω)| ≥ ε

]

Por lo tanto, por (1.1) lımk→∞

P [ω ∈ Ω : |Yk(ω)| ≥ 0] = 0.

XnP−→ X. (1.2)

Lema 1.2 (Desigualdad de Chebyshev) Si X es una variable aleatoria no

negativa, ε > 0, 0 < p <∞ entonces:3

P [X ≥ ε] ≤ E [Xp]

εp. (1.3)

Teorema 1.3 Si XnLP−−−→ X entonces Xn

P−−→ X.

Demostracion:

Sea Yn = |Xn −X|, entonces Yn es un variable aleatoria no negativa, por hipotesis

tenemos que:

lımn→∞

E [|Xn −X|p] = 0 (1.4)

ası por la desigualdad de Chebyshev (Lema 1.2) tenemos que:

P [Yn ≥ ε] ≤ E [Y pn ]

εp

P [|Xn −X| ≥ ε] ≤ E [|Xn −X|p]εp

. (1.5)

Usando (1.4) en (1.5) obtenemos:

lımn→∞

P [|Xn −X| ≥ ε] = 0. (1.6)


1. Preliminares 9

Por lo tanto:

XnP−−→ X. (1.7)

Lema 1.3 (Borel-Cantelli) Si∞∑n=1

P(An) <∞ entonces P[

lımn→∞

supAn

]= 0.

Demostracion:

lımAn =∞⋂n=1

∞⋃m=n

Am ⊂∞⋃m=n

Am,

Ası,

0 ≤ P[

lımAn]≤ P

(∞⋃m=n

An

)≤

∞∑m=n

P [Am] < ε

Si ε→ 0 tenemos que

P[

lımn→∞

supAn

]= 0. (1.8)

Teorema 1.4 Si XnP−−→ X entonces existe una subsucesion Xkn que converge

a X con probabilidad uno, es decir, XknP.1−−−→ X.4

1.2. Procesos estocasticos

Se considera a la teorıa de probabilidad como el estudio de los modelos matematicos

de fenomenos aleatorios. Se define un fenomeno aleatorio como un fenomeno empıri-

co que obedece leyes probabilısticas, mas que determinısticas.

Un fenomeno aleatorio que surge en un proceso (por ejemplo, el movimiento Brown-

iano que consta de una partıcula de polen en el agua) que se desarrolla en el tiempo

de una manera controlada por medio de leyes probabilısticas, se denomina un pro-

ceso estocastico.


101.3. Descripcion de la ley de probabilidad de un proceso

estocastico

El concepto de proceso estocastico es fundamental para el desarrollo de la teorıa fi-

nanciera en tiempo continuo y en ambientes de riesgo e incertidunbre. Los procesos

estocasticos son utiles para describir el comportamiento aleatorio de las variables

financieras en el tiempo como los precios de los activos, las tasas de interes, los tipos

de cambio, los ındices bursatiles,etc. A continuacion se presenta la definicion formal

de proceso estocastico en tiempo continuo.

Definicion 1.19 Un proceso estocastico es una funcion medible X : [0, T ]×Ω→

R tal que, para cada t−fijo, X(t, ·) es una variable aleatoria sobre (Ω,F) y para

cada ω fijo, X(·, ω) es una funcion medible definida sobre [0, T ] (llamada funcion

muestral del proceso).

NOTACION: Por conveniencia denotaremos a la variable aleatoria X(t, ·) como

X(t) y a un proceso estocastico como X = X(t); t ≥ 0 o X(t, ω).

1.3. Descripcion de la ley de probabilidad de un

proceso estocastico

Parece adecuado considerar que un proceso estocastico X(t, ω), se puede repre-

sentar para propositos practicos de manera conveniente mediante un cierto numero

finito de ordenadas. Por consiguiente, una manera de representar un proceso es-

tocastico X(t, ω) consiste en especificar la ley de probabilidad conjunta de las n-

variables aleatorias X(t1), . . . , X(tn) para todos los enteros n y n puntos t1, t2, . . . , tn

en [0, T ]

1. Preliminares 11

Para especificar la ley de probabilidad conjunta de las n−variables aleatorias

X(t1), . . . , X(tn), se debe especificar bien:

1. La funcion de distribucion conjunta, dada por:

F (x1, x2, . . . , xn) = P [Xt1 ≤ x1, . . . , Xtn ≤ xn] .

Ejemplos:

1. La sucesion de sumas consecutivas Sn = X1 + X2 + . . . + Xn de variables

aleatorias independientes Xn constituye un proceso estocastico. (Parametro

discreto)

2. Considerese el proceso estocastico de parametro continuo X(t, ω) definido por:

X(t, ω) = Acos(ωt) +Bsen(ωt).

donde la frecuencia ω es una constante positiva conocida y A y B son variables

aleatorias independientes distribuidas normalmente con medias 0 y varianza

σ2

Definicion 1.20 Sea X(t, ω) un proceso estocastico, entonces

Ft := σX(s); 0 ≤ s ≤ t.

Es la σ−algebra generada por las variables aleatorias X(s) para 0 ≤ s ≤ t, llamada

la historia del proceso hasta el instante t ≥ 0.

Muy frecuentemente cuando se trabaja con procesos estocasticos, es necesario es-

pecificar el tipo de informacion que esta disponible en cada punto en el tiempo.

Usualmente en los modelos financieros se requiere que los precios presentes y pasa-

dos de las variables economicas sean conocidos para dar un pronostico acertado.

Esta idea es formalizada con el concepto de filtracion.

121.3. Descripcion de la ley de probabilidad de un proceso

estocastico

Definicion 1.21 Una familia F = Ft; 0 ≤ t ≤ T de sub-σ−algebras de F , la

cual es monotona creciente en t, es llamada una filtracion. Un proceso estocastico

X = X(t); 0 ≤ t ≤ T, es adaptado a F, si para cada t, la variable aleatoria X(t)

es Ft−medible

Definicion 1.22 Sea X = X(t); 0 ≤ t ≤ T un proceso estocastico adaptado

a la filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T y E[|X(t)|] < ∞ para todo t ∈ [0, T ], entonces

X = X(t); 0 ≤ t ≤ T es llamado un martingala con respecto a F, si para cualquier

s ≤ t en [0, T ] se cumple:

E[X(t) | Fs] = X(s). casi seguro

En el caso de que la filtracion no sea especificada, entonces la filtracion F = Ft; 0 ≤

t ≤ T es entendida como la generada por las variables aleatorias X(s), s ≤ t, es

decir:

Ft = σX(s); s ≤ t

El concepto de martingala es una generalizacion de la sucesion de sumas parciales a

partir de una sucesion Xnn≥1 de variables aleatorias independientes identivamente

distribuidas con medida cero. Sea Sn = X1 + ... + Xn entonces la sucesion Snn≥1

es un martingala.

Martingalas son importantes en teorıa de la probabilidad principalmente porque

ellas admiten las siguientes poderosas estimativas.

Teorema 1.5 Sea X = X(t); 0 ≤ t ≤ T un proceso estocastico con caminos

muestrales continuos casi seguro,5

i) Si X(t); 0 ≤ t ≤ T es un martingala, entonces

P[w ∈ Ω : max

0≤t≤T|X(t)| ≥ λ

]≤ 1

λE[|X(T )|

], para todo λ > 0


1. Preliminares 13

ii) Si 1 < p <∞ entonces

E[

max0≤t≤T

|X(t)|p]≤(

p

p− 1

)pE[|X(T )|p

]

1.4. El movimiento Browniano o proceso de Wiener

El movimiento Browniano fue observado fısicamente por el medico y botanista

frances Robert Brown (1928), quien noto que cuando el polen es dispersado en el

agua las patıculas supendidas realizan un camino aleatorio en tres dimensiones.

Este fenomeno fue estudiado por Albert Einstein (1905), quien dio una teorıa ele

gante en una serie de trabajos donde describe el movimiento de las partıculas

suspendidas bajo la accion de una fuerza fluctuante, el escribe un artıculo sobre

mecanica estadıstica que proporciona la formulacion matematica del movimiento

Browniano.

Louis Bachelier uso el movimiento Browniano como un modelo del precio de ac-

ciones en la Bolsa de Francia (1900) en su tesis doctoral “teorıa de la especulacion”.

Pero fue Norbert Wiener (1923) el primer matematico que dio la primera construc-

cion rigurosa del movimiento Browniano. En esta seccion definiremos un movimiento

Browniano y desarrollaremos sus propiedades basicas. Para nosotros, las propiedades

mas importantes del movimiento son la de ser un martingala y que este acumula

variacion cuadratica a razon de uno por unidad de tiempo. Este hace el calculo

estocastico de Ito diferente del calculo de Newton - Leibniz.

Definicion 1.23 Un proceso estocastico W (t, w) es un movimiento Browniano

estandar si satisface las siguientes condiciones:

14 1.4. El movimiento Browniano o proceso de Wiener

i) P[w ∈ Ω : W (0, ω) = 0] = 1

ii) Para cualquier 0 ≤ s < t, la variable aleatoria W (t) −W (s) es normalmente

distribuida con media cero y varianza t− s, es decir, para cualquier a < b,

P[w ∈ Ω : a ≤ W (t)−W (s) ≤ b] =1√

2π(t− s)

b∫a

e−x2

2(t−s)dx

iii) W (t, w) tiene incrementos independientes, es decir, para cualquier 0 ≤ t1 <

t2 < ... < tn las variables aleatorias

W (t1),W (t2)−W (t1), ...,W (tn)−W (tn−1)

son independientes.

Teorema 1.6 Sea X(t); 0 ≤ t ≤ T un proceso estocastico y asumir que existen

constantes α, β, C > 0 que satisfacen la desigualdad.

E[|X(t)−X(s)|β

]≤ C|t− s|1+α , para todo 0 ≤ t, s ≤ T

Entonces X(t); 0 ≤ t ≤ T tiene funciones muestrales continuas con probabilidad

uno.6

Ası puesto que E[|W (t)−W (s)|4

]= 3|t−s|2 entonces el movimiento Browniano

satisface las condiciones del teorema con β = 4, α = 1 y C = 3.


1. Preliminares 15

Lema 1.4 Suponer que W (t, w) es un movimiento Browniano estandar. En-

tonces

E[W (t)W (s)] = mınt, s para t ≥ 0, s ≥ 0

Demostracion: Asumir t ≥ s ≥ 0. Entonces

E[W (t)W (s)] = E[(W (s) +W (t)−W (s))W (s)]

= E[W (s)2] + E[(W (t)−W (s))W (s)]

= s+ E[W (t)−W (s)]E[W (s)]

= s

= mınt, s.

Si X(t, w) es cualquier proceso estocastico con E[X(t)2] < ∞, para todo t ≥ 0

definimos:

r(t, s) := E[X(t)X(s)] , t, s ≥ 0

llamada la funcion autocorrelacion de X(t, w).

Si r(t, s) = f(t − s) para alguna funcion de valor real f y E[X(t)] = E[X(s)], para

todo t, s ≥ 0 entonces X(t, w) es un proceso estocastico estacionario debil.

Definicion 1.24 Un ruido blanco ξ(t); 0 ≤ t ≤ T, es definido como un proceso

estocastico generalizado, gaussiano y estacionario debil con media E[ξ(t)] = 0 y

funcion autocorrelacion E[ξ(t)ξ(s)] = δ0(t − s). Donde δ0 es la funcion delta de

Dirac en 0.


Teorema 1.7 (Existencia de un movimiento Browniano) Sea (Ω,F ,P) un espa-

cio de probabilidad sobre el cual son definidas una sucesion de variables aleatorias

independientes An normalmente distribuidas con media cero y varianza uno. En-

tonces existe un movimiento Browniano W (t, w) definido para w ∈ Ω y t ≥ 0.7

Ahora mostraremos que para casi todo ω, la funcion muestral t 7−→ W (t, ω) es

uniformemente Holder continua con exponente γ < 12, pero no es Holder continua

para cualquier exponente γ > 12. En particular t 7−→ W (t, ω) es no diferenciable y

de variacion no acotada en cada subintervalo de tiempo casi seguro.

Definicion 1.25 i) Sea 0 < γ ≤ 1. Una funcion f : [0, T ] −→ R es llamada

uniformemente Holder continua con exponente γ > 0 si existe una constante

k tal que

|f(t)− f(s)| ≤ k|t− s|γ para todo s, t ∈ [0, T ]

ii) Decimos que f es Holder continua con exponente γ > 0 en el punto s, si existe

una constante k tal que

|f(t)− f(s)| ≤ k|t− s|γ para todo t ∈ [0, T ]

Teorema 1.8 Sea X(t, w) un proceso estocastico con funciones muestrales con-

tinuas casi seguro, tal que:

E[|X(t)−X(s)|β

]≤ C|t− s|1+α

para constantes β, α > 0, C ≥ 0 y para todo 0 ≤ t, s.

Entonces para cada 0 < γ < αβ, T > 0 y casi todo ω, existe una constante k =

k(w, γ, T ) tal que:

|X(t, ω)−X(s, ω)| ≤ k|t− s|γ para todo 0 ≤ s, t ≤ T 8

7Para demostracion ver[2]8Para demostracion ver[4]

1. Preliminares 17

Considerar un movimiento Browniano estandar. Tenemos que para todos los enteros

m = 1, 2, ...

E[|W (t)−W (s)|2m

]=

1√2πr

∫R

x2me−x2

2r dx , para r = t− s > 0

=1√2πrm∫R

y2me−y2

2 dy

(y =

x√r

)= Crm = C|t− s|m

Ası las hipotesis del teorema 1.8 son validas para β = 2m, α = m−1. Ası el proceso

estocastico W (t, ω) es Holder continuo casi seguro, con exponentes:

0 < γ <α

β=m− 1

2m=

1

2− 1

2m∀ m ∈ N

Entonces la funcion muestral t 7−→ W (t, ω) es uniformemente Holder continua sobre

[0, T ] para cada exponente 0 < γ < 12.

Teorema 1.9 i) Para cada 12< γ ≤ 1 y casi todo w la funcion muestral

t 7−→ W (t, ω) no es Holder continuo con exponente γ.

ii) En particular, para casi todo ω, la funcion muestral t 7−→ W (t, ω) es no dife

renciable y es de variacion no acotada sobre cada subintervalo.9

A continuacion probaremos dos teoremas los cuales son de gran utilidad en el sigu-

iente capıtulo.



Teorema 1.10 Sea W (t, w) un movimiento Browniano y Ft = σW (s); s ≤ t

entonces W (t, ω) es un martingala.

Demostracion: Para cualquier s ≤ t

E[W (t) | Fs

]= E

[W (t)−W (s) | Fs

]+ E

[W (s) | Fs

]Puesto que W (t)−W (s) es independiente de Fs tenemos que:

E[W (t)−W (s) | Fs

]= E

[W (t)−W (s)

]= 0

Por otro lado E[W (s) | Fs

]= W (s) pues W (s) es Fs−medible. Entonces

E[W (t) | Fs

]= W (s). ∀ s ≤ t

Definicion 1.26 Sea f(t) una funcion definida para 0 ≤ t ≤ T la variacion

cuadratica de f hasta el instante T es

[f, f](T ) = lım

‖P‖→0

n∑i=1

[f(ti)− f(ti−1)

]2donde P = t0, t1, . . . , tn y 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T .

Observacion: En calculo determinıstico se trabaja con funciones que tienen derivadas

continuas, entonces su variacion cuadratica es cero. Por esta razon, no se considera

el termino variacion cuadratica en el calculo clasico de Newton - Leibniz.

Teorema 1.11 Sea P = 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T una particion del

intervalo [0, T ]. Entonces

[W,W

](T ) = lım

‖P‖→0

n∑i=1

(W (ti)−W (ti−1)

)2= T en L2(Ω)

1. Preliminares 19

Demostracion:

Notar que T =n∑i=1

(ti − ti−1), sea

Φn =n∑i=1

[(W (ti)−W (ti−1)

)2 − (ti − ti−1)]

=n∑i=1

Xi

donde Xi =(W (ti)−W (ti−1)

)2 − (ti − ti−1). Entonces

Φ2n =

n∑i,j=1

XiXj

Para i 6= j, E[XiXj

]= 0 puesto que W (t) tiene incrementos independientes y

E[|W (t)−W (s)|2

]= |t− s|.

Por otro lado E[|W (t)−W (s)|4

]= 3|t− s|2 y ası para i = j tenemos

E[X2i

]= E

[(W (ti)−W (ti−1)

)4 − 2(ti − ti−1)(W (ti)−W (ti−1)

)2+ (ti − ti−1)2

]= 3(ti − ti−1)2 − 2(ti − ti−1)2 + (ti − ti−1)2

= 2(ti − ti−1)2

Por lo tanto, obtenemos que:

E[Φ2n

]=

n∑i=1

2(ti − ti−1)2 ≤ 2‖P‖n∑i=1

(ti − ti−1)

= 2‖P‖T −→ 0 si ‖P‖ −→ 0

esto demuestra que Φn converge a 0 en L2(Ω).


Capıtulo 2

La Integral Estocastica de Ito

Sea W (t, w) un movimiento Browniano. En este capıtulo definimos la integral

estocastica

T∫0

f(t, w)dW (t, w) de acuerdo a la definicion dada por Kiyosi Ito en su

artıculo Integral Estocastica publicado en 1944.

Es oportuno mencionar que uno de los objetivos planteados es alcanzado con el lema

2.5, ademas los teoremas 2.2 y 2.3 son resultados de gran importancia, el primero

muestra que la integral estocastica indefinida de Ito es un martingala mientras que

el Teorema 2.3 muestra la propiedad de continuidad de la integral estocastica, dado

que esta propiedad en el calculo estocastico, no es un hecho trivial como en el analisis

real elemental.

2.1. Motivacion

La teorıa de integracion estocastica desarrollada por Kiyoso Ito estuvo motivada

en sus inicios en encontrar un metodo directo para construir procesos de difusion

como soluciones de ecuaciones diferenciales estocasticas. Pero esta puede tambien

ser motivada desde el punto de vista de martingalas. Sea W (t, w) un movimiento

Browniano entonces:

21

22 2.1. Motivacion

¿Como podemos definir la integral estocastica

T∫0

f(t, w)dW (t, w) de tal forma

que el proceso estocastico

X(t, w) =

t∫0

f(s, w)dW (s, w), 0 ≤ t ≤ T.

sea un martingala?.

Para obtener algunas ideas necesarias para responder a esta pregunta, vamos

a considerar un caso particular. Sea f(t, w) = W (t, w), ası la integral en cuestion

es

T∫0

W (t, w)dW (t, w), sea P = t0, t1, ..., tn una particion del intervalo [0, T ], Ln

y Rn las sumas de Riemann - Stieljes correspondientes a los puntos de evaluacion

τi = ti−1 y τi = ti, respectivamente, es decir:

Ln =n∑i=1

W (ti−1)(W (ti)−W (ti−1)), (2.1)

Rn =n∑i=1

W (ti)(W (ti)−W (ti−1)). (2.2)

Luego tenemos que:

Rn − Ln =n∑i=1

(W (ti)−W (ti−1))2. (2.3)

Donde el lımite lımn→∞

(Rn−Ln) es la variacion cuadratica del movimiento Browniano

W (t, w), el cual es igual a T , por el teorema 1.11.

lım‖P‖→0

(Rn − Ln) = T en L2(Ω)

Por lo tanto lım‖P‖→0

Rn 6= lım‖P‖→0

Ln, pero ¿cuales son estos lımites?.

Observar que:

Rn + Ln =n∑i=1

(W (ti)2 −W (ti−1)2) = W (tn)2 −W (t0)2 = W (T )2 (2.4)


Obviamente, se sigue de las ecuaciones (2.3) y (2.4) que

Rn =1

2

(W (T )2 +

n∑i=1

(W (ti)−W (ti−1))2

)Ln =

1

2

(W (T )2 −

n∑i=1

(W (ti)−W (ti−1))2

)Podemos usar el teorema 1.4.11 y tomar el lımite en L2(Ω) de Rn y Ln cuando

‖P‖ → 0

lım‖P‖→0

Rn =1

2(W (T )2 + T ). (2.5)

lım‖P‖→0

Ln =1

2(W (T )2 − T ). (2.6)

¿Cual de las ecuaciones (2.5) y (2.6) debe ser elegida como el valor de

T∫0

W (t, w)dW (t, w)?

es decir, ¿Cual de los puntos de evaluacion debe usarse para la evaluacion del inte-

grando en las sumas de Riemann-Stieltjes?

Para responder a esta pregunta, definamos los procesos estocasticos:

R(t) =1

2(W (t)2 + t) , L(t) =

1

2(W (t)2 − t)

Observar que E[R(t)] = t, por lo tanto R(t, w) no es un martingala.

Por otro lado L(t, w) es un martingala, esto puede ser verificado de la siguiente

forma:

Sea Ft = σW (s); s ≤ t luego para cualquier s ≤ t

E[L(t) | Fs

]=

1

2E[W (t) | Fs

]− t

2(2.7)

pero E[W (t)2 | Fs] = t−s+W (s)2, ası reemplazando en la ecuacion (2.7) obtenemos:

E[L(t) | Fs

]=

1

2(W (s)2 − s) = L(s) , ∀ s ≤ t

Esto muestra que L(t, w) es un martingala.

24 2.1. Motivacion

A partir de este ejemplo podemos concluir lo siguiente:

“Si queremos tener la propiedad de martingala para la aun a ser definida integral

estocastica

t∫0

f(s, w)dW (s, w), debemos elegir el punto de evaluacion τi = ti−1 de

cada subintervalo de la particion P = tini=0”.

Veamos otro ejemplo motivador:

X(t, w) =

t∫0

W (1, w)dW (s, w) , 0 ≤ t ≤ 1.

Intuitivamente esperamos que X(t, w) = W (1, w)W (t, w), pero el proceso estocasti-

co X(t, w) no es un martingala ya que E[W (1)W (t)] = mın1, t = t. La razon para

que tal integral no este definida (cuando queremos obtener martingalas) es por que

el integrando W (1, w) no es adaptado a la filtracion FWt = σW (s); s ≤ t.

Ası tenemos un importante requerimiento para el integrando:

“Si queremos tener la propiedad martingala para la aun a ser definida integral

estocastica

t∫0

f(s, w)dW (s, w), necesitamos asumir que el integrando sea adaptado

a la filtracion generada por el Movimiento Browniano FWt = σW (s); s ≤ t”.


2.2. Filtraciones para un movimiento Browniano

Como apuntamos en la seccion previa, la aun a ser definida integral estocasticaT∫

0

f(t, w)dW (t, w) debe tener la propiedad que cuando T es reemplazado por t el

proceso estocastico resultante, X(t, w) =

t∫0

f(s, w)dW (s, w), 0 ≤ t ≤ T sea un

martingala con respecto a la filtracion FWt = σW (s); s ≤ t.

Recordar que W (t, w) tiene incrementos independientes, esta propiedad implica que

W (t, w) es un martingala con respecto a la filtracion FWt = σW (s); s ≤ t.

En efecto la propiedad de incrementos independientes esta relacionada a la indepen-

dencia de incrementos con respecto a otra filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T segun la

siguiente proposicion.

Proposicion 2.1 Si W (t, w), es un proceso estocastico adaptado a la filtracion

F = Ft; t ≥ 0 tal que W (t)−W (s) es independiente de Fs, para cualquier s ≤ t,

entonces el proceso estocastico W (t, ω) tiene incrementos independientes con respec-

to a F.1

Ahora suponer que W (t, w) es un proceso estocastico que satisface las condiciones

(i) y (ii) en la definicion 1.23, ademas suponer que existe una filtracion F = Ft; 0 ≤

t ≤ T tal que W (t, w) satisface las hipotesis de la proposicion 2.1 es decir, W (t, w)

es adaptado a F y W (t)−W (s) es independiente de Fs para cualquier s ≤ t, entonces

por la proposicion 2.1, el proceso estocastico W (t, ω) tiene incrementos independi-

entes con respecto a F, por lo tanto W (t, w) es un movimiento Browniano de acuerdo

a la definicion 1.23.

Luego W (t, ω) es un movimento Browniano con respecto a la filtracion F = Ft; 0 ≤

t ≤ T si esta satisface condiciones (i) y (ii) en la definicion 1.23 y la hipotesis de

la proposicion 2.1 con respecto a F = Ft; 0 ≤ t ≤ T.


26 2.2. Filtraciones para un movimiento Browniano

Ahora supongamos que W (t, w) es un movimiento Browniano con respecto a la

filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T y G = Gt; 0 ≤ t ≤ T otra filtracion tal que Ft @ Gtpara todo t ≥ 0.

En general no se cumple que W (t, w) sea un movimiento Browniano con respecto a

G = Gt; 0 ≤ t ≤ T como lo muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Sea W (t, w) un movimiento Browniano con respecto a su propia filtracion

FWt = σW (s); s ≤ t.

Considerar la filtracion G = Gt; 0 ≤ t ≤ T dada por:

Gt = la σ − algebra generada por W (1, w) y FWt , t ≥ 0

Entonces W (t, w) no es un movimiento Browniano con respecto a la filtracion G =

Gt; 0 ≤ t ≤ T .

En efecto simplemente notar que para cualquier 0 < t < 1.

E[W (1, w) | Gt] = W (1) 6= W (t)

Luego W (t, w) no en un martingala con respecto a G = Gt; 0 ≤ t ≤ T, asi se sigue

que W (t, w) no es un movimiento Browniano con respecto a G .

A partir de ahora consideramos una filtracion F con respecto a la cual W (t, w)

sea un movimiento Browniano pues queremos permitir que el integrando f(t, w)

en la aun a ser definida integral estocastica

T∫0

f(t, w)dW (t, w) pertenezca a una

clase amplia de procesos estocasticos. En particular, no se requiere que el integran-

do f(t, w) sea adaptado a la filtracion FWt ; t ≥ 0 como veremos en las secciones

posteriores.


2.3. Integral Estocastica

Motivados por la discusion anterior, a partir de ahora fijamos un movimiento

Browniano estandar W (t, w) sobre un espacio de probabilidad filtrado (Ω,F ,F,P)

cuya filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ Tsatisface las siguientes condiciones:

a) Para cada t ∈ [0, T ], W (t) es Ft−medible.

b) Para cualquier s ≤ t, la variable aleatoria W (t)−W (s) es independiente de la

σ−algebra Fs.

2.3.1. Los espacios L2ad([0, T ]× Ω) y E

Por conveniencia, usamos L2ad([0, T ] × Ω) para denotar al espacio de todos los

procesos estocasticos f(t, w), 0 ≤ t ≤ T, w ∈ Ω, que satisfacen las siguientes

condiciones:

(1) f(t, w) es adaptado a la filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T.

(2)

T∫0

E(|f(t, w)|2)dt <∞.

En esta seccion usamos las ideas originales de Kiyosi Ito en su artıculo “Integral

Estocastica” de 1944, para definir la integral:

I(f) =

T∫0

f(t, w)dW (t, w) (2.8)

donde f ∈ L2ad([0, T ]× Ω).

28 2.3. Integral Estocastica

Dividimos la discucion en tres etapas . En la primera etapa definimos la integral

estocastica para procesos estocasticos escalonados en L2ad([0, T ]× Ω).

En la segunda etapa probamos un lema de aproximacion importante y en la tercera

etapa definimos la integral estocastica para procesos estocasticos en general en el

espacio L2ad([0, T ]× Ω).

Definicion 2.1 Un proceso estocastico f(t, w), 0 ≤ t ≤ T, w ∈ Ω es un proceso

estocastico escalonado si existe una particion P = 0 = t0 < t1 < ... < tn = T del

intervalo [0, T ] y una sucesion de variables aleatorias definidas en Ω, ξ0, ξ1, ..., ξn−1

tal que

f(t, w) =n∑i=1

ξi−1(w)1[ti−1,ti〉(t) (2.9)

donde ξi−1 es Fti−1−medible y E(ξ2

i−1) <∞ para cada i = 1, ..., n.

Ası de acuerdo a la definicion anterior, denotamos por E al espacio de todos los

procesos estocasticos en L2ad([0, T ]× Ω) que son escalonados.

2.3.2. Definicion de la integral estocastica en E y sus propiedades

Definicion 2.2 Si f ∈ E , definimos su integral estocastica en el sentido de Ito,

como:

I(f) =n∑i=1

ξi−1(W (ti)−W (ti−1)) (2.10)

Obviamente I(af + bg) = aI(f) + bI(g), para cualquier a, b ∈ R y cualquier f, g ∈

E , ası la integral de Ito para procesos en E es lineal, y es una variable aleatoria

FT−medible. Ademas tenemos el siguiente lema.


Lema 2.1 Sea I(f) definida por la ecuacion (2.10), entonces I(f) es una variable

aleatoria en L2(Ω) con media E(I(f)) = 0 y varianza:

E(|I(f)|2) =

T∫0

E(|f(t)|2)dt (2.11)

Demostracion: Para cada 1 ≤ i ≤ n en ecuacion (2.10)

Eξi−1(W (ti)−W (ti−1)) = EE[ξi−1(W (ti)−W (ti−1)) | Fti−1

]

= Eξi−1E[W (ti)−W (ti−1) | Fti−1

]

= Eξi−1E(W (ti)−W (ti−1))

= 0.

Entonces: E(I(f)) = 0. Ademas, tenemos

|I(f)|2 =n∑

i,j=1

ξi−1ξj−1(W (ti)−W (ti−1))(W (tj)−W (tj−1))

Notar que para i 6= j, digamos i < j

Eξi−1ξj−1(W (ti)−W (ti−1))(W (tj)−W (tj−1)) = EE[ξi−1ξj−1(W (ti)−W (ti−1))(W (tj)−

W (tj−1)) | Fj−1]

= Eξi−1ξj−1(W (ti)−W (ti−1))E[W (tj)−W (tj−1) | Ftj−1

]

= Eξi−1ξj−1(W (ti)−W (ti−1))E[W (tj)−W (tj−1)]

= 0.

(2.12)

Por otro lado para i = j tenemos:

Eξ2i−1(W (ti)−W (ti−1))2

= EE[ξ2

i−1(W (ti)−W (ti−1))2 | Fti−1]

= Eξ2i−1E[(W (ti)−W (ti−1))2 | Fti−1

]

= Eξ2i−1E[(W (ti)−W (ti−1))2]

= E

ξ2i−1(ti − ti−1)

= (ti − ti−1)E(ξ2

i−1)

(2.13)

Entonces ecuacion (2.10) sigue de las ecuaciones (2.12) y (2.13).

E(|I(f)|2) =n∑i=1

E(ξ2i−1)(ti − ti−1) =

T∫0

E(|f(t)|2)dt.


2.3.3. El espacio E es denso en L2ad([0, T ]× Ω)

En esta seccion demostramos que el espacio E en denso en L2ad([0, T ]× Ω) en la

topologıa de L2ad([0, T ]×Ω), la prueba se dividira en tres pasos, primero supondremos

que el proceso estocastico f ∈ L2ad([0, T ]×Ω) es continuo y acotado con probabilidad

uno, en este caso construimos una sucesion de procesos escalonados (fn)n≥1 la cual

converge a f en la norma de L2ad([0, T ]× Ω).

Luego asumimos que f(t, w) es un proceso estocastico acotado con probabilidad

uno, y lo aproximamos mediante una sucesion de procesos estocasticos acotados y

continuos con probabilidad uno,para finalmente probar el caso general.

Lema 2.2 Sea f ∈ L2ad([0, T ]×Ω) un proceso estocastico continuo y acotado con

probabilidad uno, entonces existe una sucesion de procesos estocasticos escalonados

(fn)n≥1 en E tal que:

lımn→∞

T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2)dt = 0 (2.14)

Demostracion:

Sea P = tini=0 una particion del intervalo [0, T ], para todo n ≥ 1 definamos el

proceso estocastico

fn(t, w) = f(ti−1, w) , ti−1 ≤ t ≤ ti

Ası tenemos

fn(t, w) =n∑i=1

f(ti−1, w)1[ti−1,ti〉(t) , ∀ n ≥ 1.

donde f(ti−1, ·) es Fti−1−medible, pues el proceso f(t, w) es adaptado a la filtracion

F = Ft, y E(f(ti−1)2) <∞ ya que el proceso f(t, w) es acotado con probabilidad

uno. Entonces tenemos una sucesion de procesos escalonados de acuerdo a la defini-

cion 2.1.


Por otro lado:T∫

0

|fn(t)|2dt =n∑i=1

f(ti−1)2(ti − ti−1),

pero el proceso f(t, w) es acotado, es decir existe una constante C > 0 tal que

|f(t, w)| ≤ C, para todo w ∈ Ω y 0 ≤ t ≤ T , luego

E( T∫

0

|fn(t)|2dt)≤ C2T.

Por lo tanto fn ∈ E , ∀ n ≥ 1.

De la construccion de los fn, tenemos que

lımn→∞

fn(t) = f(t) , ∀ t ∈ [0, T ]

ademas puesto que f es un proceso acotado con probabilidad uno tenemos que:

|fn(t)− f(t)|2 ≤ 2(|fn(t)|2 + |f(t)|2) ≤ 4C2 (2.15)

entonces por el teorema de convergencia acotada, tenemos que

lımn→∞

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt =

T∫0

lımn→∞

|fn(t)− f(t)|2dt = 0 (2.16)

Por otro lado de (2.15), tenemos que:

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt ≤ 4C2T , ∀ n ≥ 1 (2.17)

Ası aplicando nuevamente el teorema de convergencia acotada, obtenemos:

lımn→∞

E( T∫

0

|fn(t)− f(t)|2dt)

= E(

lımn→∞

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt)

= 0 por (2.16)

Por lo tanto:

lımn→∞

T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2)dt = 0. (2.18)


Lema 2.3 Sea f ∈ L2ad([0, T ]×Ω) un proceso estocastico acotado con probabilidad

uno entonces existe una sucesion (gn)n≥1 en L2ad([0, T ]×Ω) de procesos estocasticos

continuos y acotados con probabilidad uno, tal que:

lımn→∞

T∫0

E(|gn(t)− f(t)|2)dt = 0. (2.19)

Demostracion:

Sea ρ : R→ R una funcion continua y de soporte compacto tal que ρ(t) ≥ 0 , ∀ t ∈ R

y

∞∫−∞

ρ(t)dt = 1.

Extendemos el proceso estocastico f a todo R:

f(t, w) =

0 si t < 0

f(t, w) si 0 ≤ t ≤ T

0 si t > T

.

Para todo n ≥ 1, sea la sucesion de suavizadores

ρn(t) = nρ(nt)

Se define el suavizador de f como: gn(t) = (ρn ∗ f)(t).

Ahora mostraremos que (gn)n≥1 es una sucesion de procesos estocasticos acotados y

continuos en L2ad([0, T ]× Ω).

|gn(t)| =∣∣∣∣∞∫

−∞

ρ(τ)f(t− τ)dτ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∞∫

−∞

nρ(nτ)f(t− τ)dτ

∣∣∣∣Haciendo el cambio de variable x = nτ , tenemos que:

|gn(t)| =∣∣∣∣∞∫

−∞

ρ(x)f(t− x

n)dx

∣∣∣∣ ≤ C

∞∫−∞

ρ(x)dx = C

Por lo tanto gn(t) es acotado para cada n ≥ 1.


Puesto que f es medible y acotado, entonces f es integrable con probabilidad uno,

es decir

P[w ∈ Ω :

∞∫−∞

|f(t, w)|dt <∞]

= 1

ademas ρ es uniformemente continua sobre [0, T ] es decir si n ∈ N fijo, ∀ ε > 0 ∃ δ > 0

tal que: si t1, t2 ∈ [0, T ] y |t1 − t2| < δ entonces: |ρ(nt1) − ρ(nt2)| < εnM

donde

M =

∞∫−∞

|f(t)|dt.

Ası

|gn(t1)− gn(t2)| =

∣∣∣∣n∞∫

−∞

ρ(n(t1 − s))f(s)ds− n∞∫

−∞

ρ(n(t2 − s))f(s)ds

∣∣∣∣=

∣∣∣∣n∞∫

−∞

[ρ(n(t1 − s))− ρ(n(t2 − s))

]f(s)ds

∣∣∣∣≤ n

∞∫−∞

∣∣ρ(n(t1 − s))− ρ(n(t2 − s))∣∣|f(s)|ds

< nε

nM

∞∫−∞

|f(s)|ds

= ε

Por lo tanto la sucesion(gn)n≥1 es uniformemente continua con probabilidad uno.

Ahora veamos que la sucesion (gn)n≥1 esta en L2ad([0, T ]× Ω), en efecto:

Puesto que:

|gn(t)|2 ≤ C2

entonces

T∫0

E|gn(t)|2dt ≤ C2T <∞.


Por la propiedad de los suavizadores tenemos que:

gn = ρn ∗ f converge a f en L2[0, T ]

y

lımn→∞

T∫0

|gn(t)− f(t)|2dt = 0 (2.20)

ademas:

|gn(t)− f(t)|2 ≤ 2(|gn(t)|2 + |f(t)|2

)≤ 4C2

integrando sobre [0, T ] obtenemos :

T∫0

|gn(t)− f(t)|2dt ≤ 4C2T

ahora aplicando el teorema de la convergencia acotada:

lımn→∞

E( T∫

0

|gn(t)− f(t)|2dt)

= E(

lımn→∞

T∫0

|gn(t)− f(t)|2dt)

= 0

(2.21)

finalmente obtenemos:

lımn→∞

T∫0

E(|gn(t)− f(t)|2)dt = 0. (2.22)

Lema 2.4 Si f ∈ L2ad([0, T ] × Ω) es un proceso estocastico acotado con probabi

lidad uno, entonces existe (fn)n≥1 en E tal que:

lımn→∞

T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2)dt = 0 (2.23)

Demostracion:


Por el Lema 2.3 , para cada n ≥ 1, existe una sucesion (gn(t))n≥1 en L2ad([0, T ]×Ω)

de procesos estocasticos continuos y acotados tal que:

lımn→∞

T∫0

E(|gn(t)− f(t)|2

)dt = 0 (2.24)

y como cada gn es un proceso estocastico acotado y continuo en L2ad([0, T ]×Ω), por

el Lema 2.2 existe un fn ∈ E tal que:

lımn→∞

T∫0

E(|fn(t)− gn(t)|2

)dt = 0 (2.25)

Ademas, tenemos que:

|fn(t)− f(t)|2 ≤ 2(|fn(t)− gn(t)|2 + |gn(t)− f(t)|

)2

E(|fn(t)− f(t)|2

)≤ 2(E(|fn(t)− gn(t)|2) + E(|gn(t)− f(t)|2)

)0 ≤

T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2

)dt ≤ 2

( T∫0

E(|fn(t)− gn(t)|2

)dt+

T∫0

E(|gn(t)− f(t)|2

)dt

)Usando (2.24) y (2.25), tenemos que:

lımn→∞

T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2

)dt = 0. (2.26)

Finalmente estamos en condiciones de probar el caso general.


Lema 2.5 Si f ∈ L2ad([0, T ] × Ω), entonces existe una sucesion de procesos es-

tocasticos (fn)n≥1 en E tal que:

lımn→∞

T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2

)dt = 0 (2.27)

Demostracion:

Sea f ∈ L2ad([0, T ]× Ω) arbitrario; para todo n ≥ 1, definamos la funcion

hn(x) =

1 si |x| ≤ n

0 si |x| > n

y el proceso estocastico truncado:

gn(t, w) := f(t, w)hn(f(t, w)) , n ≥ 1

gn(t, w) =

f(t, w) si |f(t, w)| ≤ n

0 si |f(t, w)| > n

De la definicion del proceso gn tenemos que este es medible y adaptado a la filtracion

F = Ft; 0 ≤ t ≤ T, para todo n ≥ 1. Ademas:

|gn(t, w)| = |f(t, w)hn(f(t, w))| = |f(t, w)||hn(f(t, w))| ≤ n

Por lo tanto el proceso estocastico gn es acotado, para cada n ≥ 1, luego

E( T∫

0

|gn(t)|2dt)≤ n2T

asi:

gn ∈ L2ad([0, T ]× Ω) , ∀ n ≥ 1

Por otro lado |gn(t, w)| ≤ |f(t, w)|, entonces:

|gn(t)− f(t)|2 ≤ 2(|gn(t)|2 + |f(t)|2

)≤ 4|f(t)|2 (2.28)

T∫0

|gn(t)− f(t)|2dt ≤ 4

T∫0

|f(t)|2dt (2.29)


aplicando el teorema de la convergencia acotada obtenemos

lımn→∞

T∫0

|gn(t)− f(t)|2dt =

T∫0

lımn→∞

|gn(t)− f(t)|2dt = 0 (2.30)

y de (2.29)

lımn→∞

E( T∫

0

|gn(t)− f(t)|2dt)

= E(

lımn→∞

T∫0

|gn(t)− f(t)|2dt)

= 0 (2.31)

Por lo tanto:

lımn→∞

T∫0

E(|gn(t)− f(t)|2

)dt = 0 (2.32)

Ahora como cada gn es un proceso estocastico acotado ∀ n ≥ 1, podemos aplicar el

Lema 2.2 y ası escoger para cada n un fn ∈ E tal que

lımn→∞

T∫0

E(|gn(t)− fn(t)|2

)dt = 0 (2.33)

Con lo cual de (2.32) (2.33) obtenemos

|fn(t)− f(t)|2 ≤ 2(|fn(t)− gn(t)|2 + |gn(t)− f(t)|2

)T∫

0

E(|fn(t)− f(t)|2

)dt ≤ 2

( T∫0

E(|fn(t)− gn(t)|2

)dt+

T∫0

E(|gn(t)− f(t)|2

)dt

)y por lo tanto:

lımn→∞

T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2

)dt = 0.


2.3.4. Definicion de la integral estocastica de Ito en el espa-

cio L2ad([0, T ]× Ω) y sus propieades

Mostrada ya la densidad del espacio E en L2ad([0, T ]×Ω) con la topologıa fuerte,

definimos ahora la integral de Ito para procesos estocasticos f(t, w) en L2ad([0, T ]×Ω).

Para esto usamos el Lema 2.5 para obtener la sucesion (fn)n≥1 ⊂ E tal que

lımn→∞

T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2

)dt = 0 (2.34)

Para cada n ≥ 1, I(fn) ya ha sido definida en la seccion 2.3.2, y usando el hecho de

que:

E(|I(fn)|2

)=

T∫0

E(|fn(t)|2

)dt.

tenemos:

E(|I(fn)− I(fm)|2

)=

T∫0

E(|fn(t)− fm(t)|2

)dt

pero:

T∫0

E(|fn(t)− fm(t)|2

)dt ≤ 2

( T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2

)dt+

T∫0

E(|f(t)− fm(t)|2

))

y por (2.34), obtenemos:

lımn,m→∞

T∫0

E(|fn(t)− fm(t)|2

)dt = 0

por lo tanto:

lımn,m→∞

E(|I(fn)− I(fm)|2

)= 0


Ası (I(fn))n≥1 es una sucesion de Cauchy en L2(Ω), entonces lımn→∞

I(fn) existe,

por lo tanto definimos la integral estocastica de Ito como:

I(f) := lımn→∞

I(fn) en L2(Ω) (2.35)

Ahora surge una pregunta ¿ Esta I(f) bien definida ?

Sea (gn)n≥1 otra sucesion de procesos en E tal que

lımn→∞

T∫0

E(|f(t)− gm(t)|2

)dt = 0 (2.36)

E(|I(fn)− I(gm)|2

)= E

(|I(fn − gm)|2

)=

T∫0

E(|fn(t)− gm(t)|2

)dt

≤

( T∫0

E(|fn(t)− f(t)|2

)dt+

T∫0

E(|f(t)− gm(t)|2

)dt

)

Y de (2.34) y (2.36) tenemos:

lımn,m→∞

E(|I(fn)− I(gm)|2

)= 0

por lo tanto:

lımn→∞

I(fn) = lımm→∞

I(gm) = I(f) en L2(Ω) (2.37)

y ası la integral de Ito de procesos f en L2ad([0, T ]× Ω) esta bien definida.

Definicion 2.3 El lımite I(f) definido en (2.35) es llamado la integral estocasti-

ca de Ito del proceso f ∈ L2ad([0, T ]× Ω) y es denotado por:

I(f) =

T∫0

f(t, w)dW (t, w)

Claramente si a, b ∈ R y f, g ∈ L2ad([0, T ]× Ω) se cumple que:

I(af + bg) = aI(f) + bI(g)

asi la aplicacion I : L2ad([0, T ]× Ω) −→ L2(Ω) es lineal


Teorema 2.1 Suponer que f ∈ L2ad([0, T ]×Ω) entonces la integral de Ito, I(f),

es una variable aleatoria en L2(Ω) con:

E(I(f)) = 0

E(|I(f)|2

)=

T∫0

E(|f(t)|2

)dt

Demostracion:

Por el Lema 2.5, existe una sucesion (fn)n≥1 en E tal que

lımn→∞

‖fn − f‖L2ad([0,T ]×Ω) = 0

y de (2.35) tenemos:

lımn→∞

‖I(fn)− I(f)‖L2(Ω) = 0

Usando la desigualdad:∣∣‖x‖ − ‖y‖∣∣ ≤ ‖x− y‖, obtenemos

lımn→∞

‖fn‖L2ad([0,T ]×Ω) = ‖f‖L2

ad([0,T ]×Ω) (2.38)

lımn→∞

‖I(fn)‖L2(Ω) = ‖I(f)‖L2(Ω) (2.39)

De (2.39) y del Lema 2.1, tenemos:

E(|I(f)|2

)= lım

n→∞E(|I(fn)|2

)= lım

n→∞‖fn‖L2

ad([0,T ]×Ω)

= ‖f‖L2ad([0,T ]×Ω) por (2,38)

=

T∫0

E(|f(t)|2

)dt

y por el Lema 2.1 tenemos:

E(I(f)) = lımn→∞

E(I(fn)) = 0.


Observacion : El teorema anterior nos dice que la integral de Ito es un operador

lineal acotado entre los espacios de Hilbert L2ad([0, T ]× Ω) y L2(Ω), ademas es una

isometrıa, es decir:

I : L2ad([0, T ]× Ω) −→ L2(Ω)

f 7−→ I(f)

y ‖I(f)‖2L2(Ω) = E

(|I(f)|2

)=

T∫0

E(|f(t, w)|2

)dt = ‖f‖2

L2ad([0,T ]×Ω)

por lo tanto:

‖I(f)‖L2(Ω) = ‖f‖L2ad([0,T ]×Ω)

Corolario 2.1 Si f, g ∈ L2ad([0, T ]× Ω), la siguiente igualdad es valida:

E

( T∫0

f(t)dW (t) ·T∫

0

g(t)dW (t)

)=

T∫0

E(f(t)g(t))dt

o equivalentemente:

< I(f), I(g) >L2(Ω)=< f, g >L2ad([0,T ]×Ω) (2.40)

Demostracion:

Si f, g ∈ L2ad([0, T ]× Ω) entonces f + g ∈ L2

ad([0, t]× Ω)

E((I(f) + I(g))2

)= E

((I(f + g)

)2)=

T∫0

E(|f(t) + g(t)|2

)dt

=

T∫0

E(|f(t)|2

)dt+ 2

T∫0

E(f(t)g(t)

)dt+

T∫0

E(|g(t)|2

)dt

pero


E((I(f) + I(g)

)2)= E

(|I(f)|2 + 2I(f)I(g) + |I(g)|2

)= E

(|I(f)|2 + 2E

(I(f) · I(g)

)+ E

(|I(g)|2

))=

T∫0

E(|f(t)|2

)dt+ 2E

(I(f) · I(g)

)+

T∫0

E(|g(t)|2

)dt

Por lo tanto:

E(I(f) · I(g)

)=

T∫0

E(f(t)g(t)

)dt.

Ejemplo:

T∫0

W (t)dW (t) =1

2(W (T )2 − T )

Notar que f(t, w) = W (t, w) pertenece al espacio L2ad([0, T ] × Ω) pues W (t, w) es

adaptado a la filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T especificada en la seccion 2.3. AdemasT∫

0

E(|W (t)|2

)dt =

T 2

2.

Sabemos que W (t, w) es un proceso estocastico continuo y acotado ası podemos

aplicar el Lema 2.2, es decir para un particion P = tini=0 del intervalo [0, T ],

definimos el proceso estocastico:

fn(t, w) := W (ti−1, w) ; ti−1 ≤ t < ti

entoncesT∫

0

W (t)dW (t) = lımn→∞

I(fn) en L2(Ω)

pero:

I(fn) =n∑i=1

W (ti−1)(W (ti)−W (ti−1)

)=

1

2

(W (T )2 −

n∑i=1

(W (ti)−W (ti−1)

)2

)= Ln


Por lo tantoT∫

0

W (t, w)dW (t, w) = lımn→∞

Ln =1

2

(W (T )2 − T

)

2.3.5. Procesos estocasticos definidos por integrales de Ito

Recordar que al inicio de la seccion 2.3, fijamos un movimiento Browniano

W (t, w) y una filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T que satisface las condiciones a) y

b) de esa seccion. Sea f ∈ L2ad([0, T ]× Ω), entonces para cualquier t ∈ [0, T ]

t∫0

E(|f(t)|2

)dt ≤

T∫0

E(|f(s)|2

)ds <∞

Luego f ∈ L2ad([0, T ]×Ω). Esto implica que para cada t ∈ [0, T ], la integral estocasti-

ca de Ito

t∫0

f(s)dW (t) esta definida. Considerar un proceso estocastico definido por:

X(t, w) =

t∫0

f(s, w)dW (t, w) ; 0 ≤ t ≤ T , w ∈ Ω

Notar que por el teorema 2.1 tenemos

E(|X(t)|2) =

t∫0

E(|f(s)|2

)ds <∞

y ası E(|X(t)|) ≤[E(|X(t)|2

)]1/2< ∞. Luego para cada t, la variable aleatoria

X(t, ·) es integrable y ası podemos tomar la esperanza condicional de X(t, ·) con

respecto a la σ−algebra Fs. En la seccion 2.1, mencionamos que la integral de ItoT∫

0

f(t, w)dW (t, w) es definida de tal forma que el proceso estocastico X(t, w) =

t∫0

f(s, w)dW (s, w) sea un martingala. El siguiente teorema muestra que esto es

cierto para procesos en L2ad([0, T ]× Ω).


Teorema 2.2 (Propiedad de Martingala) Suponer que f ∈ L2ad([0, T ] × Ω),

entonces el proceso estocastico:

X(t, w) =

t∫0

f(s, w)dW (s, w) ; 0 ≤ t ≤ T , w ∈ Ω

es un martingala con respecto a la filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T.

Demostracion: Ya vimos que E(|X(t)|) < ∞ en la discusion anterior ası que

primero consideremos el caso en que f ∈ E , debemos probar que para 0 ≤ s < t ≤

T , E(X(t) | Fs) = X(s), pero

X(t) = X(s) +

t∫s

f(τ)dW (τ)

entonces:

E(X(t) | Fs) = E(X(s) | Fs) + E

( t∫s

f(τ)dW (τ) | Fs

)

= X(s) + E

( t∫s

f(τ)dW (τ) | Fs

)

Ası debemos probar que:

E

( t∫s

f(τ)dW (τ) | Fs

)= 0

En efecto:

Si f ∈ E entonces:

f(τ, w) =n∑i=1

ξi−1(w)111[ti−1,ti〉(τ)

donde s = t0 < t1 < . . . < tn = t y ξi−1 es Fti−1−medible ∀ i = 1, 2, . . . , n con

E(ξ2i−1) <∞. Por la definicion de la integral de Ito de procesos en E , tenemos

t∫s

f(τ)dW (τ) =n∑i=1

ξi−1(w)(W (ti)−W (ti−1)

)


entonces:

E

( t∫s

f(τ)dW (τ) | Fs

)=

n∑i=1

(ξi−1(W (ti)−W (ti−1)) | Fs

)(2.41)

Ahora como Fs @ Fti−1, para todo i = 1, 2, . . . , n, tenemos:

E[ξi−1(W (ti)−W (ti−1)) | Fs

]= E

(E[ξi−1(W (ti)−W (ti−1)) | FTi−1

]| Fs

)= E

(ξi−1E(W (ti)−W (ti−1) | Fti−1

) | Fs)

= E(ξi−1E(W (ti)−W (ti−1)) | Fs

)= 0

(2.42)

Reemplazando (2.42) en (2.41) obtenemos lo que querıamos probar.

En el caso general cuando f ∈ L2ad([0, T ]× Ω), tomar (fn)n≥1 en E tal que:

lımn→∞

‖fn − f‖L2ad([0,T ]×Ω) = 0

Para cada n ≥ 1, definir el proceso estocastico:

Xn(t, w) =

t∫0

fn(τ, w)dW (τ, w)

por el primer caso Xn(t, w) es un martingala, para cada n.

Para s < t, escribir:

X(t)−X(s) =(X(t)−X(n)(t)

)+(X(n)(t)−X(n)(s)

)+(X(n)(s)−X(s)

)tomando esperanza condicional

E(X(t)−X(s) | Fs

)= E

(X(t)−X(n)(t) | Fs

)+ E

(X(n)(t)−X(n)(s) | Fs

)+ E

(X(n)(s)−X(s) | Fs

)y puesto que X(n)(t, w) es un martingala, el segundo termino del lado derecho de

la igualdad se elimina, quedando:

E(X(t)−X(s) | Fs

)= E

(X(t)−X(n)(t) | Fs

)+ E

(X(n)(s)−X(s) | Fs

)(2.43)


Apliquemos la desigualdad condicional de Jensen (Teorema 1.1) con φ(x) = |x|2

para obtener: ∣∣∣E(X(t)−X(n)(t) | Fs)∣∣∣2 = E

(|X(t)−X(n)(t)|2 | Fs

)0 ≤ E

(∣∣E(X(t)−X(n)(t) | Fs)∣∣2) ≤ E

(E(|X(t)−X(n)(t)|2 | Fs

))= E

(|X(t)−X(n)(t)|2

)= E

(∣∣∣∣∣t∫

0

(f(τ)− fn(τ)

)dW (τ)

∣∣∣∣∣2)

=

t∫0

E(|f(τ)− fn(τ)|2

)dτ

≤T∫

0

E(|f(τ)− fn(τ)|2

)dτ

Por lo tanto tenemos:

lımn→∞

E(∣∣E(X(t)−X(n)(t) | Fs

)∣∣2) = 0 (2.44)

lo que significa que la variable aleatoria E(X(t) − X(n)(t) | Fs

)tiende a cero en

L2(Ω), cuando n −→∞.

E(X(n)(s)−X(s) | Fs

)= X(n)(s)−X(s), por ser X(n)(s)−X(s), Fs −medibles

=

s∫0

fn(τ)dW (τ)−s∫

0

f(τ)dW (τ)

= I(fn)− I(f) −→ 0 en L2(Ω)

(2.45)

De (2.44) y (2.45) en (2.43), obtenemos:

E(X(t)−X(s) | Fs

)= lım

n→∞

(E(X(t)−X(s) | Fs

)+ E

(X(n)(s)−X(s) | Fs

))= 0 en L2(Ω)

Por lo tanto:

E(X(t) | Fs

)= X(s)

y ası el proceso estocastico X(t, w) es un martingala.


Acontinuacion estudiamos la propiedad de continuidad del proceso estocasticoX(t, w)

definido por:

X(t, w) =

t∫0

f(s, w)dW (s, w) ; 0 ≤ t ≤ T , w ∈ Ω

Notar que la integral estocastica no es definida para cada ω fijo como una integral de

Riemann, Riemann - Stieltjes o Lebesgue. Por lo tanto, la continuidad del proceso

estocastico X(t, w) no es un hecho trivial como en el analisis real elemental.

Teorema 2.3 (Propiedad de Continuidad) Suponer que f ∈ L2ad([0, T ]×Ω),

entonces el proceso estocastico

X(t, w) =

t∫0

f(s, w)dW (s, w) , 0 ≤ t ≤ T.

es continuo, es decir sus funciones muestrales son continuas con probabilidad uno

sobre el intervalo [0, T ].

Demostracion:

Primero consideremos el caso cuando f ∈ E , ası:

f(s, w) =n∑i=1

ξi−1(w)111[ti−1,ti〉(s)

para cada w fijo la funcion muestral de X(t, w) esta dada por:

X(t, w) =k−1∑i=1

ξi−1(w)(W (ti, w)−W (ti−1, w)

)+ ξk−1(w)

(W (t, w)−W (tk−1, w)

)donde tk−1 ≤ t ≤ tk.

Recordar que parar casi todos los w, la funcion muestral W (·, w) es una funcion

continua. Luego para casi todos los w, la funcion muestral X(·, w) tambien es una

funcion continua sobre [0, T ].

Ahora consideraremos el caso general. Sea (fn)n≥1 en E tal que:

lımn→∞

T∫0

E(|f(s)− fn(s)|2

)ds = 0


podemos asumir que:

T∫0

E(|f(s)− fn(s)|2

)ds ≤ 1

n6, ∀ n ≥ 1 (2.46)

Para cada n, definir el proceso estocastico:

X(n)(t, w) =

t∫0

fn(s, w)dW (s, w) , 0 ≤ t ≤ T

luego por el teorema anterior X(n)(t, w) es un martingala y por la primera parte de

la prueba X(n)(t, w) tiene casi todas sus funciones muestrales son continuas.

Aplicamos la desigualdad de Doob (Teorema 1.5) al martingala(X(t, w)−X(n)(t, w)

).

P[w ∈ Ω : sup

0≤t≤T

∣∣∣X(t, w)−X(n)(t, w)∣∣∣ ≥ 1

n

]≤ nE

(∣∣X(T )−X(n)(T )∣∣)

Por la desigualdad de Cauchy - Schwarz, teorema 2.1 y (2.46), obtenemos:

P[w ∈ Ω : sup

0≤t≤T

∣∣∣X(t, w)−X(n)(t, w)∣∣∣ ≥ 1

n

]≤ nE

(∣∣X(T )−X(n)(T )∣∣2)1/2

= n

( T∫0

E(∣∣f(s)− fn(s)

∣∣2)ds)1/2

≤ n

(1

n6

)1/2

=1

n2

(2.47)

Luego:∞∑n=1

P[w ∈ Ω : sup

0≤t≤T|X(t, w)−X(n)(t, w)| ≥ 1

n

]≤

∞∑n=1

1

n2

y puesto que∞∑n=1

1

n2<∞, por el Lema de Borel Cantelli, con:

An =w ∈ Ω : sup

0≤t≤T|X(t)−X(n)(t)| ≥ 1

n

tenemos:

P[An : para un numero infinito de ındices n

]= 0

tomando complemento obtenemos:

P[An : para un numero finito de ındices n

]= 1


Entonces existe Ω0 tal que P(Ω0) = 1 y para cada w ∈ Ω0, w ∈ An solamente para

un numero finito de ındices n, es decir existe N(w) ∈ N tal que:

sup0≤t≤T

|X(·, ω)−X(n)(·, ω)| < 1

npara todo n ≥ N(w)

Ası para cada w ∈ Ω0, la sucesion de funciones(X(n)(·, w)

)n≥1

converge uniforme-

mente a X(·, w), sobre [0, T ]. Pero para cada n, el proceso estocastico X(n)(t, w) es

continuo y ası existe un evento Ωn con P(Ωn) = 1,tal que para cualquier w ∈ Ωn, la

funcion X(n)(·, w) es continua.

Finalmente sea Ω =∞⋂n=0

Ωn. Luego tenemos P(Ω) = 1 y para cada w ∈ Ω, la sucesion:

X(n)(·, w) , n = 1, 2, 3, . . .

es una sucesion de funciones continuas que converge uniformemente a X(·, w) sobre

[0, T ]. Se sigue que X(·, w) es una funcion continua para cada w ∈ Ω. Luego casi to-

das las funciones muestrales del proceso estocastico X(t, w) son funciones continuas

sobre [0, T ].

Ası hemos mostrado que X(t, w) es un proceso estocastico continuo.

Teorema 2.4 Suponer que f ∈ L2ad([0, T ] × Ω) y asumir que f es un proceso

estocastico continuo y acotado con probabilidad uno. Entonces:

T∫0

f(t, w)dW (t, w) = lım‖P‖→0

n∑i=1

f(ti−1)(W (ti)−W (ti−1)) en L2(Ω)

donde P = 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T y ‖P‖ = max1≤i≤n

(ti − ti−1).2



Capıtulo 3

Extension de la Integral Estocastica y la

Formula de Ito

En el capıtulo anterior, la integral estocastica I(f) =

T∫0

f(t, w)dW (t, w) fue

definida para integrandos f(t, w) en el espacio L2ad([0, T ]× Ω), en este caso la vari-

able aleatoria I(f) pertenece a L2(Ω). Ademas, el proceso estocastico X(t, w) =t∫

0

f(s, w)dW (s, w) con 0 ≤ t ≤ T , es un martingala. En este capıtulo extendemos

la definicion de la integral estocastica I(f) a un espacio de integrandos mas amplio,

cuyos elementos satisfacen condiciones mas debiles que las requeridas en el capıtulo

anterior. Los lemas 3.2 y 3.3 son los principales resultados para cumplir con este

objetivo

3.1. Un espacio mas amplio de integrandos

Como en el inicio de la seccion 2.3, fijamos un movimiento Browniano W (t, w)

y una filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T tal que:

(a) Para cada t, W (t) es Ft−medible.

(b) Para cualquier s ≤ t, la variable aleatoria W (t)−W (s) es independiente de la

σ−algebra Fs.

51

52 3.1. Un espacio mas amplio de integrandos

En este capıtulo, definimos la integral estocastica

T∫0

f(t, w)dW (t, w) para procesos

estocasticos f(t, w) que satisfacen las siguientes condiciones:

(1) f(t, w) es adaptado a la filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T;

(2) P

[w ∈ Ω :

T∫0

|f(t, w)|2dt <∞

]= 1.

NOTACION: Usamos Lad(Ω, L2[0, T ]) para denotar al espacio de procesos es-

tocasticos f(t, w) que satisfacen las condiciones (1) y (2).

Recordar que en la seccion 2.3 usamos L2ad([0, T ]×Ω) para denotar el espacio de

todos los procesos estocasticos adaptados a la filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T tales

queT∫

0

E(|f(t)|2

)dt <∞

Por el teorema de Fubbini: ET∫

0

(|f(t)|2

)dt =

T∫0

E(|f(t)|2

)dt <∞

Y por lo tanto P

[w ∈ Ω :

T∫0

|f(t, w)|2dt < ∞

]= 1, esto demuestra la relacion de

inclusion:

L2ad([0, T ]× Ω) ⊂ Lad(Ω, L

2[0, T ])

Ası tenemos una clase mas amplia de integrandos f(t, w) para la cual definiremos la

integral estocastica de Ito. La diferencia crucial es la posible falta de integrabilidad

del integrando f(t, w) con respecto a la variable w.


Ejemplo 3.1: Considerar el proceso estocastico f(t, w) = e2W (t,w)2 , 0 ≤ t ≤ 1,

w ∈ Ω.

E(|f(t)|2

)= E

(e2W (t)2

)=

1√2πt

∞∫∞

e2x2 · e−x2/2tdx

=

1√

1−4tsi t ∈ [0, 1/4〉

∞ si t ∈ [1/4, 1]

Ası tenemos que

1∫0

E(|f(t, w)|2

)dt = ∞ entonces f /∈ L2

ad([0, T ] × Ω), notar sin

embargo que f(t, w) = eW (t,w)2 es continuo con probabilidad uno, ası para cada

w ∈ Ω fijo, f ∈ L2[0, 1], es decir:

P

[w ∈ Ω :

1∫0

|f(t, w)|2dt <∞

]= 1

Por lo tanto, f ∈ Lad(Ω, L2[0, 1]).

En general se requieren calculos un poco complicados para verificar si un proceso

estocastico pertenece a L2ad([0, T ]×Ω). Por otro lado es facil verificar si un proceso

estocastico f pertenece al espacio Lad(L2[0, T ]), pues solo se necesita que f(t, w) sea

adaptado a la filtracion F y que tenga funciones muestrales continuas sobre [0, T ]

con probabilida uno.

3.2. Lema de aproximacion

En esta seccion se demuestra un lema de aproximacion el cual sera necesario en la

seccion 3.3 para extender la definicion de la integral estocastica

T∫0

f(t, w)dW (t, w)

en el espacio Lad(Ω, L2[0, T ]) :

54 3.2. Lema de aproximacion

Lema 3.1 Sea f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]), entonces existe una sucesion (fn)n≥1 en

L2ad([0, T ]× Ω) tal que:

lımn→∞

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt = 0 con probabilidad uno.

Demostracion: Sea f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]) arbitrario, entonces si fijamos w ∈ Ω,

f(·, w) ∈ L2[0, T ], definamos I(t, w) =

t∫0

|f(s, w)|2ds y para cada n

fn(t, w) =

f(t, w) si I(t, w) ≤ n

0 caso contrario

(3.1)

Luego fn(t, w) es adaptado a la filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T.

Ahora definamos la variable aleatoria:

τn(w) = sup

t ;

t∫0

|f(s, w)|2ds ≤ n

.

entonces:

T∫0

|fn(t, w)|2dt =

τn(w)∫0

|f(t, w)|2dt con probabilidad uno.

por lo tanto tenemos:

T∫0

|fn(t, w)|2dt ≤ n con probabilidad uno.

lo cual implica que:

E

( T∫0

|fn(t)|2dt

)=

T∫0

(|fn(t)|2

)dt ≤ n

y ası fn ∈ Lad(Ω, L1[0, T ]) , ∀ n ≥ 1.

Sea w fijo, tan pronto como n sea tan grande que n ≥T∫

0

|f(t, w)|2dt, por ecuacion

(3.1), tenemos:

fn(t, w) = f(t, w) , ∀ t ∈ [0, T ]


lo cual implica que:

lımn→∞

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt = 0.

Puesto que

T∫0

|f(t)|2dt < ∞ con probabilidad uno, la convergencia es valida con

probabilidad uno.

Lema 3.2 Sea f ∈ E , entonces la desigualdad

P

[w ∈ Ω :

∣∣∣∣∣T∫

0

f(t, w)dW (t, w)

∣∣∣∣∣ > ε

]≤ C

ε2+ P

[w ∈ Ω :

T∫0

|f(t, w)|2dt > C

].

es valido para todas las constantes positivas ε y C.

Demostracion:

Para cada C > 0 definir el proceso estocastico

fC(t, w) =

f(t, w) si I(t, w) ≤ C

0 si I(t, w) > C

Observar que:[w ∈ Ω : |I(f)| > ε

]⊂[w ∈ Ω : |I(fC)| > ε

]∪[w ∈ Ω : I(f) 6= I(fC)

].

Entonces por la subaditividad de P, tenemos:

P[w : |I(f)| > ε

]≤ P

[w ∈ Ω : |I(fC)| > ε

]+ P

[w : I(f) 6= I(fC)

](3.2)

por otro lado, puesto que f es un proceso estocastico escalonado, tenemos

[w ∈ Ω : I(f) 6= I(fC)

]⊂

[w ∈ Ω :

T∫0

|f(t, w)|2dt > C

].

por lo tanto:

P[w ∈ Ω : I(f) 6= I(fC)

]≤ P

[w ∈ Ω :

T∫0

|f(t, w)|2dt > C

]. (3.3)

563.3. Definicion de la integral estocastica de Ito en el espacio

Lad(Ω, L2[0, T ])

Reeemplazando (3.3) en (3.2):

P[w ∈ Ω : |I(f)| > ε

]≤ P

[w ∈ Ω : |I(fC)| > ε

]+ P

[w ∈ Ω :

T∫0

|f(t, w)|2dt > C

].

ahora usaremos la Desigualdad de Chebyshev:

P[w ∈ Ω|I(fC)| > ε

]≤ 1

ε2E(|I(fC)|2

)=

1

ε2

T∫0

E(|fC(t)|2

)dt (3.4)

pero de la definicion de fC tenemos que:

T∫0

|fC(t, w)|2dt ≤ C con probabilidad uno

entonces:T∫

0

E(|fC(t)|2

)dt ≤ C. (3.5)

De (3.5) en (3.4), obtenemos

P[w ∈ Ω : |I(fC)| > ε

]≤ C

ε2. (3.6)

Ası finalmente tenemos que:

P[w ∈ Ω : |I(f)| > ε

]≤ C

ε2+ P

[w ∈ Ω :

T∫0

|f(t, w)|2dt > C

].

3.3. Definicion de la integral estocastica de Ito en

el espacio Lad(Ω, L2[0, T ])

Lema 3.3 Sea f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]), entonces existe una sucesion (fn)n≥1 en E

tal que:

lımn→∞

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt = 0 en probabilidad.


Demostracion:

Por el Lema 3.1, existe una sucesion (gn)n≥1 en L2ad([0, T ]× Ω) tal que

lımn→∞

T∫0

|gn(t)− f(t)|2dt = 0 en probabilidad. (3.7)

Por la densidad de E en L2ad([0, T ]× Ω), para cada gn existe un fn en E , tal que:

E

( T∫0

|fn(t)− gn(t)|2)<

1

n. (3.8)

Usando la desigualdad basica |a + b|2 ≤ (|a|2 + |b|2), podemos verificar la siguiente

relacion de inclusion:[w ∈ Ω :

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt > ε

]⊂

[w ∈ Ω :

T∫0

|fn(t)− gn(t)|2dt > ε

4

]

∪

[w :

T∫0

|gn(t)− f(t)|2dt > ε

4

].

Ası, por la subaditividad de P:

P

[w :

T∫0


]≤ P

[w :

T∫0


4

].

+ P

[w :

T∫0


4

].

(3.9)

Ahora, aplicamos la desigualdad de Chebyshev y (3.8) obtenemos

P

[w ∈ Ω :

T∫0


4

]≤ 4

εE

( T∫0

|fn(t)− gn(t)|2dt

).

<4

εn

(3.10)

Usando (3.7) y (3.10) en (3.9), tenemos finalmente que

P

[w ∈ Ω :

T∫0


]≤ 4

εn+ P

[w ∈ Ω :

T∫0


4

].

lımn→∞

P

[w ∈ Ω :

T∫0


]≤ lım

n→∞P

[w ∈ Ω :

T∫0


4

]

583.3. Definicion de la integral estocastica de Ito en el espacio

Lad(Ω, L2[0, T ])

∴ lımn→∞

P

[w ∈ Ω :

T∫0


]= 0.

Finalmente estamos listos para definir la integral estocastica en el sentido de Ito

T∫0

f(t, w)dW (t, w).

para procesos estocasticos f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]).

Para esto sigamos los siguientes pasos:

1) Apliquemos el Lema 3.3, para elegir una sucesion (fn)n≥1 en E tal que:

lımn→∞

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt = 0 , en probabilidad

2) Para cada n ≥ 1, la integral estocastica

I(fn) =

T∫0

fn(t, w)dW (t, w)

ya ha sido definida.

3) Sea (fn − fm) ∈ E , entonces podemos aplicar el Lema 3.2 a este proceso con

ε > 0 y C = ε3

2:

P

[w ∈ Ω :

∣∣∣∣∣T∫0

(fn(t)− fm(t)

)dW (t)

∣∣∣∣∣ > ε

]≤ε

2+ P

[w ∈ Ω :

T∫0

|fn(t)− fm(t)|2dt >ε3

2

]

4) Usar la desigualdad |a+ b|2 ≤ 2(|a|2 + |b|2), para verificar la siguiente relacion

de inclusion:[w ∈ Ω :

T∫0

|fn(t)− fm(t)|2dt > ε3

2

]⊂

[w ∈ Ω :

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt > ε3

8

].

∪

[w ∈ Ω :

T∫0

|fm(t)− f(t)|2dt > ε3

8

].


entonces:

P

[w ∈ Ω :

T∫0


2

]≤ P

[w ∈ Ω :

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt > ε3

8

].

+ P

[w ∈ Ω :

T∫0

|fm(t)− f(t)|2dt > ε3

8

].

pero por el paso 1, tenemos que:

lımn→∞

P

[w ∈ Ω :

T∫0

|fn(t)− f(t)|2dt > ε3

8

]= 0.

lımm→∞

P

[w ∈ Ω :

T∫0

|fm(t)− f(t)|2dt > ε3

8

]= 0.

5) Ası:

lımn,m→∞

P

[w ∈ Ω :

T∫0


2

]= 0.

esto significa que existe N ∈ N, tal que:

P

[w ∈ Ω :

T∫0

|fm(t)− f(t)|2dt > ε3

2

]<ε

2, ∀ n,m ≥ N.

Usando este resultado en el paso 3, obtenemos:

P

[w ∈ Ω :

∣∣∣∣∣T∫

0

(fn(t)− fm(t)

)dW (t)

∣∣∣∣∣ > ε

]≤ ε

2+ε

2= ε ,

P[w ∈ Ω : |I(fn)− I(fm)| > ε

]< ε

Esto demuestra que la sucesion de variables aleatorias (I(fn))n≥1 es de Cauchy, y

converge en probabilidad, ası podemos definir

I(f) =

T∫0

f(t, w)dW (t, w) := lımn→∞

I(f) en probabilidad.

ademas el lımite es independiente de la sucesion (fn)n≥1, ası la integral estocastica,

I(f), esta bien definida.

60 3.4. La formula de Ito

Teorema 3.1 Suponer que f es un proceso estocastico con funciones muestrales

continuas, adaptado a F = Ft; 0 ≤ t ≤ T, entonces f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]) y

T∫0

f(t, w)dW (t, w) = lım‖P‖→0

n∑i=1

f(ti−1)(W (ti)−W (ti−1)) en probabilidad.

donde P = tini=0 es una particion de [0, T ].1

Ejemplo 3.2:

Sea f(t, w) = eW (t,w)2 , vimos en la seccion 3.1 que f /∈ L2ad([0, T ] × Ω) pero como

para cada w fijo, f(·, w) es una funcion continua tenemos que f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]).

Ası la integral

1∫0

eW (t)2dW (t) esta definida, veremos en la siguiente seccion que usando

la formula de Ito, podemos calcular esta integral:

1∫0

eW (t)2dW (t) =

W (1)∫0

et2

dt−1∫

0

W (t)eW (t)2dt.

3.4. La formula de Ito

En esta seccion se demuestra uno de los principales resultados del calculo es-

tocastico de Ito (Teorema 3.3), conocido como la Formula de Ito o la regla de la

cadena estocastica.

La regla de la cadena en el calculo de Newton-Leibniz es la formula

(f g)′(t) = f ′(g(t))g′(t)

donde f y g son funciones diferenciales.

O escrito en su forma integral

f(g(t))− f(g(0)) =

t∫0

f ′(g(s))g′(s)ds



Por otro lado, la regla de la cadena en el calculo de Ito, para el caso mas simple,

establece que:

f(W (t))− f(W (0)) =

t∫0

f ′(W (s))dW (s) +1

2

t∫0

f ′′(W (s))ds (3.11)

donde W (t) es un movimiento Browniano y f ∈ C2, o en su forma simbolica :

df(W (t)) = f ′(W (t))dW (t) +1

2f ′′(W (t))dt (3.12)

Donde el ultimo termino del lado derecho de la integral, es llamado termino correc-

cion de Ito y es consecuencia de que [W,W ](t) = t.

La formula (3.11) fue demostrada por Kiyosi Ito en su paper “Stochastic Integral”

de 1944.

Ahora sea f(t, x) y coloquemos x = W (t), ası obtenemos un proceso estocastico:

f(t,W (t)), notar que t aparece en dos lugares:

i) Como una variable de f (Calculo de Newton).

ii) En el movimiento Browniano W (t), en lugar de x (Calculo de Ito).

Supongamos que f(t, x) es continua y tiene derivadas parciales continuas ∂f∂t

(t, x),∂f∂x

(t, x) y ∂2f∂x2

(t, x) sobre [0, T ]× R, entonces Ito demostro que:

f(t,W (t))− f(0,W (0)) =

t∫0

∂f

∂x(s,W (s))dW (s) +

t∫0

[∂f

∂t(s,W (s)) +

1

2

∂2f

∂x2(s,W (s))

]ds (3.13)

Observamos en estas dos primeras versiones:

1. f(W (t))− f(W (0)) =∫ t

0f ′(W (s))dW (s) + 1

2

∫ t0f ′′(W (s))ds, f ∈ C2(R).

2. f(t,W (t))−f(0,W (0)) =∫ t

0fx(s,W (s))dW (s)+

∫ t0

[ft(s,W (s))+1

2fxx(s,W (s))

]ds,

f ∈ C2([0, T ]× R).

que estas contienen dos tipos de Integrales: Riemann(o Lebesgue) e Ito.


Notacion: Usaremos Lad(Ω, L1[0, T ]) para denotar el espacio de todos los proce-

sos estocasticos f(t, w) adaptados a F = Ft; 0 ≤ t ≤ T tal que

t∫0

|f(t, w)|dt <∞,

casi seguro.

Definicion 3.1 Un proceso de Ito es un proceso estocastico de la forma

X(t) = X(0) +

t∫0

f(s)dW (s) +

t∫0

g(s)ds , 0 ≤ t ≤ T (3.14)

donde X(0) es F0-medible, f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]) y g ∈ Lad(Ω, L

1[0, T ]) o en su forma

simbolica:

dX(t) = f(t)dW (t) + g(t)dt (diferencial estocastica)

Nota: Casi todos los procesos estocasticos, excepto aquellos que tienen saltos son

procesos de Ito.

Denotemos con:

I(t) =

t∫0

f(s)dW (s) , f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ])

R(t) =

t∫0

g(s)ds , g ∈ Lad(Ω, L1[0, T ])

ambas funciones continuas en la variable t, por lo tanto X(t) tambien es continuo.

Lema 3.4 Sea f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]), P = 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T particion

de [0, T ], definamos las siguientes sucesiones de variables aleatorias

An =n∑k=1

( tk∫tk−1

f(t)dt

)2

, n ≥ 1

Bn =n∑k=1

( tk∫tk−1

f(t)dW (t)

)2

, n ≥ 1

entonces se cumple que Bnn≥1 es uniformemente acotada en probabilidad y An → 0

en probabilidad.


Demostracion:

Consideremos la sucesion fN(t) = f(t)gN(It),N ≥ 1, donde cada fN ∈ Lad(Ω, L2[0, T ])

y

gN(x) =

0 , |x| > N

1 , |x| ≤ N

, It =

t∫0

f 2(s)ds

Sea BNn =

n∑k=1

( tk∫tk−1

fN(t)dW (t)

)2

, c > 0 y N > 0 arbitrarios, entonces se cumple

que:

si w ∈ Ω es tal que

T∫0

f 2(s, w)ds ≤ N entonces Bn(w) = BNn (w), en consecuencia:

P[w ∈ Ω : |Bn| > c] = P[w ∈ Ω : Bn > c]

≤ P[w ∈ Ω : BNn > c] + P

[w ∈ Ω :

T∫0

f 2(s)ds > N

](3.15)

Aplicando la desigualdad de Chebyshev y la propiedad de isometrıa

P[w ∈ Ω : BNn > c] ≤ 1

cE(BN

n ) =1

c

n∑k=1

E

( tk∫tk−1

fN(t)dW (t)

)2

=1

c

n∑k=1

tk∫tk−1

E(f 2N(t))dt

=1

c

T∫0

E(f 2N(t))dt ≤ N

c

Por lo tanto de la desigualdad (3.15) se obtiene:

P[w ∈ Ω : |Bn| > c] ≤ N

c+ P

[w ∈ Ω :

T∫0

f 2(s)ds > N

]∀ N > 0, ∀ c > 0

Entonces para cada ε, podemos elegir Ny c de modo que

N

c+ P

[w :

T∫0

f 2(s)ds > N

]< ε , pues f ∈ Lad(Ω, L

2[0, T ])


ası concluimos que P[w ∈ Ω : |Bn| > c] < ε, ∀ n ≥ 1, ε > 0 arbitrario y todo c

suficientemente grande.

Por lo tanto la sucesion de v.a. (Bn)n≥1 es uniformemente acotada en probabilidad.

Ahora la desigualdad de Cauchy implica que:

tk∫tk−1

f(t)dt ≤

( tk∫tk−1

f 2(t)dt

)1/2( tk∫tk−1

1.dt

)1/2

=√

∆kt

( tk∫tk−1

f 2(t)dt

)1/2

entonces

An =n∑k=1

( tk∫tk−1

f(t)dt

)2

≤n∑k=1

∆kt

tk∫tk−1

f 2(t)dt ≤ ‖P‖T∫

0

f 2(t)dt , ∀ n ≥ 1

Como f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]), para cada ε > 0, siempre existe una particion ∆n tal

que:

0 ≤ P

[w ∈ Ω : ‖P‖

T∫0

f 2(t)dt > ε

]<

1

n

Si ‖P‖ → 0 cuando n→∞, entonces:

lım‖P‖→0

P[w ∈ Ω : |An| > ε] ≤ lımn→∞

P

[w ∈ Ω : ‖P‖

T∫0

f 2(t)dt > ε

]= 0

en consecuencia An → 0 en probabilidad.

Lema 3.5 Sea Y un proceso estocastico adaptado y continuo con probabilidad

uno y f, f 2 ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]). Para cada particion P = 0 = t0 < t1 < . . . < tn =

T de [0, T ], sean las v.a.:

Hn =n∑k=1

Y (tk−1)

( tk∫tk−1

f(t)dW (t)

)2

hn =n∑k=1

Y (tk−1)

tk∫tk−1

f 2(t)dt

entonces Hn − hn → 0 en probabilidad cuando ‖P‖ → 02.

2Ver demostracion en [6]


Teorema 3.2 Sea f ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]) y una sucesion (fn)n≥1 ⊂ Lad(Ω, L

2[0, T ])

tal que

a) fn −→ f(t) en probabilidad ∀ t ∈ [0, T ].

b) Existe ϕ ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]) tal que:

|fn(t)| ≤ |ϕ(t)| , ∀ n ≥ 1 y |f(t)| ≤ |ϕ(t)| , ∀ t ∈ [0, T ]

entonces:

lımn→∞

T∫0

fn(t)dW (t) =

T∫0

f(t)dW (t) en probabilidad

Ademas se cumple la desigualdad:

E

∣∣∣∣∣b∫

a

f(t)dW (t)

∣∣∣∣∣4

≤ 36(b− a)

b∫a

E|f(t)|4dt3

Teorema 3.3 (Formula de Ito) Sea X(t) un proceso de Ito dado por:

X(t) = X(0) +

t∫0

f(s)dW (s) +

t∫0

g(s)ds , 0 ≤ t ≤ T, es decir dX(t) = f(t)dW (t) + g(t)dt

Suponer que:

V : [0, T ]× R −→ R

(t, x) 7−→ V (t, x)

es una funcion continua tal que Vt, Vx, Vxx ∈ C([0, T ] × R) entonces el proceso

estocastico:

Y (t) = V (t,X(t)), tambien tiene una diferencial estocastica dada por:

dY (t) =[Vt(t,X(t))− Vx(t,X(t))g(t) +

1

2Vxx(t,X(t))f2(t)

]dt+ Vx(t,X(t))f(t)dW (t) (3.16)

Demostracion:

Debemos probar que para 0 ≤ t ≤ T

Y (t)− Y (0) =

t∫0

(Vt(s,X(s)) + Vx(s,X(s))g(s) +

1

2Vxx(s,X(s))f 2(s)

)dt

+

t∫0

Vx(s,X(s))f(s)dW (s)

3Ver la demostracion en [6]


Escojamos una particion ∆ntini=0 de [0, T ], podemos entonces escribir

Y (t)− Y (0) =

n∑k=1

(Y (tk)− Y (tk−1)

)=

n∑k=1

[V (tk, X(tk))− V (tk−1, X(tk−1))

]=

n∑k=1

[V (tk, X(tk))− V (tk−1, X(tk))

]+

n∑k=1

[V (tk−1, X(tk))− V (tk−1, X(tk−1))

]aplicando la formula de Taylor a los dos ultimos sumandos, obtenemos:

Y (t)− Y (0) =n∑k=1

Vt(tk−1 + ρk∆kt,X(tk))∆kt+n∑k=1

Vx(tk−1, X(tk−1))∆kX

+1

2

n∑k=1

Vxx(tk−1, X(tk−1) + λk∆kX)(∆kX)2

(3.17)

donde ρk, λk ∈ 〈0, 1〉, ∆kt = tk − tk−1, ∆kX = X(tk)−X(tk−1).

Como X y Vt son continuas, se cumple que:

lım‖P‖→0

n∑k=1

Vt(tk−1 + ρk∆kt,X(tk))∆kt =

t∫0

V (s,X(s))ds (a)

para el segundo sumando de (3.2), tenemos

n∑k=1

Vx(tk−1, X(tk−1))∆kX =n∑k=1

Vx(tk−1, X(tk−1))(X(tk)−X(tk−1))

=n∑k=1

Vx(tk−1, X(tk−1))

tk∫tk−1

f(t)dW (t)

+n∑k=1


tk∫tk−1

g(t)dt

Para el primer sumando, consideremos

fn(t) =n∑k=1

1[tk−1,tk〉Vx(tk−1, X(tk−1))f(t)

entoncest∫

0

fn(t)dW (t) =n∑k=1


tk∫tk−1

f(t)dW (t)


Como X y V son continuas en [0, T ]

supk|Vx(tk−1, X(tk−1))| ≤ sup

tsup

|x|≤sups |X(s)||Vx(t, x)| ≤M <∞

por consiguiente:

|fn(t)| ≤M |f(t)| , ∀ t ∈ [0, T ]

y

fn(t) −→ Vx(t,X(t))f(t) , ∀ t ∈ [0, T ]

por lo tanto aplicando el teorema 3.2, se cumple

lım‖P‖→0

n∑k=1


tk∫tk−1

f(t)dW (t) = lımn→∞

t∫0

fn(s)dW (s) =

t∫0

Vx(s,X(s))f(s)dW (s)

en probabilidad.

El segundo sumandon∑k=1


tk∫tk−1

g(t)dt, como Vx y X son funciones

continuas sobre [0, T ] y R(t) =

t∫0

g(s)ds es de variacion acotada ya que g ∈

Lad(Ω, L1[0, T ])

tk∫tk−1

g(t)dt = R(tk)−R(tk−1)

entonces

lım‖P‖→0

n∑k=1

Vx(tk−1, X(tk−1))(R(tk)−R(tk−1)) =

t∫0

Vx(s,X(s))dR(s)

=

t∫0

Vx(s,X(s))g(s)ds

En consecuencia:

lım‖P‖→0

n∑k=1

Vx(tk−1, X(tk−1))∆kX =

t∫0

Vx(s,X(s))g(s)ds+

t∫0

Vx(s,X(s))f(s)dW (s) (b)

en probabilidad.

Finalmente debemos probar que el tercer sumando en (3.17) converge a:

1

2

t∫0

Vxx(s,X(s))f 2(s)ds , entonces


∣∣∣∣∣n∑k=1

Vxx(tk−1, X(tk−1) + λk∆kX)(∆kX)2 −t∫

0

Vxx(s,X(s))f 2(s)ds

∣∣∣∣∣≤

n∑k=1

|Vxx(tk−1, X(tk−1+λk∆kX)|( tk∫tk−1

g(t)dt

)2

+

∣∣∣∣∣2n∑k=1

Vxx(tk−1, X(tk−1+λk∆kX)

tk∫tk−1

g(t)dt

tk∫tk−1

f(t)dW (t)

∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣n∑k=1

Vxx(tk−1, X(tk−1)λk∆kX)

( tk∫tk−1

f(t)dW (t)

)2

−t∫

0

Vxx(s,X(s))f 2(s)ds

∣∣∣∣∣pero X y Vxx son continuas sobre [0, T ]

supk|Vxx(tk−1, X(tk−1) + λk∆kX)| ≤ sup

tsup

|x|≤sups |X(s)||Vxx(t, x)| ≤ L <∞

entonces por el lema 3.4, obtenemos que:

n∑k=1

|Vxx(tk−1, X(tk−1) + λk∆kX)|

( tk∫tk−1

g(t)dt

)2

≤ Ln∑k=1

( tk∫tk−1

g(t)dt

)2

→ 0

en probabilidad.

Tambien por la desigualdad de Cauchy y el lema 3.4 obtenemos∣∣∣∣∣n∑k=1

Vxx(tk−1, X(tk−1) + λk∆kX)

tk∫tk−1

g(t)dt

tk∫tk−1

f(t)dW (t)

∣∣∣∣∣≤ L

n∑k=1

∣∣∣∣∣tk∫

tk−1

g(t)dt

tk∫tk−1

f(t)dW (t)

∣∣∣∣∣≤ L

[n∑k=1

( tk∫tk−1

g(t)dt

)2]1/2[ n∑k=1

( tk∫tk−1

f(t)dW (t)

)2]1/2

≤ L(Bn)1/2

[n∑k=1

( tk∫tk−1

g(t)dt

)2]1/2

, Bn es uniformemente acotada, ∃C > 0 tal que

≤ LC

[n∑k=1

( tk∫tk−1

g(t)dt

)2]1/2

−→ 0 en probabilidad.

Y por ultimo aplicando el lema 3.5 con Y (tk−1) = Vxx(tk−1, X(tk−1) + λk∆kX) se

obtienen∑k=1

Y (tk−1)

( tk∫tk−1

f(t)dW (t)

)2

−→t∫

0

Vxx(s,X(s))f 2(s)ds


en probabilidad cuando ‖P‖ → 0.

En consecuencia

n∑k=1

Vxx(tk−1, X(tk−1) + λk∆kX)(∆kX)2 −→t∫

0

Vxx(s,X(s))f 2(s)ds (c)

en probabilidad.

Por lo tanto (a), (b) y (c) implican que cuando ‖P‖ → 0 en (3.17) se cumple

Y (t)− Y (0) =

t∫0

[Vt(s,X(s)) + Vx(s,X(s))g(s) +

1

2Vxx(s,X(s))f 2(s)

]ds

+

t∫0

Vx(s,X(s))f(s)dW (s).


Capıtulo 4

Aplicaciones de la Integral Estocastica

Una de las herramientas mas utiles en las matematicas financieras modernas

es el calculo estocastico o tambien llamado calculo de Ito, sobre el cual descansa

toda la teorıa economica y el analisis financiero en tiempo continuo y en ambientes

estocasticos.

En este ultimo capıtulo se desarrollan varias aplicaciones de la Integral estocastica y

la Formula de Ito a fin de comprender la potencia de estos resultados en el desarrollo

de la teorıa economica y financiera.

4.1. Motivacion: Ecuaciones Diferenciales Estocasti-

cas

Muchos fenomenos naturales se pueden modelar por una ecuacion diferencial

ordinaria: x(t) = b(t, x(t)) , t ∈ I ⊂ R

x(0) = x0

(4.1)

Sin embargo cuando se considera un efecto perturbador aleatorio, como por ejemplo

el ruido blanco, el cual se define formalmente como la derivada generalizada del

movimiento Browniano con respecto al tiempo.

ξ(t) :=dW (t)

dt= W (t)

71

72 4.1. Motivacion: Ecuaciones Diferenciales Estocasticas

el modelo se puede representar del siguiente modo:

dX(t)

dt= b(t,X(t)) + σ(t,X(t))ξ(t)

donde σ(t, x) es “intensidad” del ruido en el punto x en el instante t.

En el calculo de Ito, W (t) y dt son combinados para formar la diferencial Brow-

niana dW (t). Ası la ecuacion diferencial estocastica:

“dX(t) = b(t,X(t))dt+ σ(t,X(t))dW (t)”

es justamente la expresion simbolica de este hecho.

La cual debe ser interpretada formalmente en su forma integral es decir:

X(t) = X(0) +

t∫0

b(s,X(s))ds+

t∫0

σ(s,X(s))dW (s) , 0 ≤ t ≤ T (4.2)

En terminos estrictos el objeto de estudio del calculo estocastico es la integral y no la

diferencial. Cuando se escribe una ecuacion diferencial estocastica realmente se esta

pensando en una integral estocastica, asi pues una ecuacion diferencial estocastica

es una notacion simplificada de una integral estocastica.

Ejemplo 4.1 (Modelo de Louis Bachelier) Louis Bachelier (1870-1946), de

nacionalidad francesa , por susu excepcionales contribuciones a la teorıa financiera

ha sido llamado el “Padre de las matematicas financieras modernas”. Su tesis doc-

toral titulada “Theorie de la Speculation”, presentada en 1900, cuando tenia 30

anos, en la Sorbonne de Parıs distingue a las finanzas como una ciencia sujeta

al rigor matematico. Louis Bachelier se adelanto a su tiempo con la introduccion

de conceptos tales como: Movimiento Browniano, proceso Markovniano, esperanza

condicional y martingala, lo sorprendente es que todos estos conceptos fueron redes-

cubiertos y popularizados por prominentes matematico, varios anos despues, tales

como Markov, Kolmogorov y Levy.

En su tesis, Louis Bachelier propone el siguiente modelo estocastico del compor-


tamiento aleatorio de los precios de las acciones de la Bolsa de Parıs:dX(t) = µdt+ σdW (t) , t ≥ 0, µ ∈ R y σ ∈ R+

X(0) = x0 > 0

(1)

donde X = (X(t))t≥0 es el proceso estocastico que representa el precio del activo

financiero, µ es el rendimiento medio esperado del activo y σ > 0 la volatilidad

instantanea del activo y W (t, w) un movimiento Browniano definido en un espacio

fijo de probabilidad (Ω,F ,P) equipado con una filtracion F = Ft; 0 ≤ t ≤ T .

Entonces la ecuacion (4.2) implica que su solucion con valor inicial x0 (precio

inicial) es:

X(t) = X(0) +

t∫0

µds+

t∫0

σdW (s) = x0 + µt+ σW (t)

Ası la solucion de (1) es un movimiento Browniano con valor inicial x0, tendencia

µ y volatilidad σ, ademas E[X(t)] = x0 + µt y V ar[X(t)] = σ2t.

Ejemplo 4.2 dX(t) = µdt+ σtdW (t) , 0 ≤ t ≤ T

X(0) = X0

(2)

Su solucion es dada por:

X(t) = X(0) +

t∫0

µds+

t∫0

σsdW (s)

X(t) = (X0 + µt) + σ

t∫0

sdW (s)

X(t) = X0 + µt+ σtW (t)− σt∫

0

W (s)ds

donde se ha utilizado el hecho de que f(s) = s es continua y de variacion acotada

para definir la integral

t∫0

f(s)dW (s) := f(s)W (s)∣∣t0−

t∫0

W (s)df(s)

74 4.2. Aplicaciones de la formula de Ito

este tipo de integral donde el integrando no es aleatorio es llamada integral de Wiener

y es un caso particular de integral de Ito.

Ası la solucion de (2) es un proceso Gaussiano mas no un movimiento Brow

niano, para cada t, X(t) es una variable aleatoria normal con media y varianza

dadas por:

E[X(t)] = X0 + µt

V ar[X(t)] =

[(X0 + µt)2 + σ2 t

3

3

]− (X0 + µt)2 ,

= σ2 t3

3.

4.2. Aplicaciones de la formula de Ito

Aun cuando una ecuacion diferencial estocastica es la notacion simplificada de

una integral estocastica, las reglas que se establecen con la notacion diferencial y los

resultados que a partir de ella se desprenden son consistentes con las propiedades

de la integral estocastica.

Asombrosamente, la diferencial estocastica permite, en muchos casos, obtener re-

sultados de una manera mas rapida y sencilla sobre la integral estocastica, como se

vera en el transcurso de la presente seccion.

Sea X(t); 0 ≤ t ≤ T la solucion de la ecuacion diferencial estocastica

dX(t) = b(X(t), t)dt+ σ(X(t), t)dW (t)

y f(x, t) una funcion determinıstica la cual es continuamente diferenciable en t y dos

veces continuamente diferenciable en x, entonces el proceso estocastico f(X(t), t); 0 ≤

t ≤ T es solucion de la siguiente ecuacion diferencial estocastica, (Teorema 3.3).

df(X, t) =

[∂f(X, t)

∂t+b(X, t)

∂f(X, t)

∂x+

1

2σ2(X, t)

∂2f(X, t)

∂x2

]dt+σ(X, t)

∂f(X, t)

∂xdW

O en forma alternativa:

df(X, t) =

[∂f

∂t(X, t) +

∂f

∂x(X, t)dX

]+

1

2σ2(X, t)

∂2f

∂x2(X, t)dt


Esta es la version uno−dimensional de la Formula de Ito, el el caso multidimen-

sional tenemos el siguiente resultado.

Sean W1(t),W2(t), . . . ,Wm(t) m−movimientos Brownianos independientes, conside-

rar n procesos de Ito X1(t), X2(t), . . . , X(m)(t) dados por:

X(i)(t) = X(i)(0) +m∑k=1

t∫0

σik(s)dWk(s) +

t∫0

bi(s)ds , 1 ≤ i ≤ n (4.3)

donde σij ∈ Lad(Ω, L2[0, T ]) y bi ∈ Lad(Ω, L

1[0, T ]) para todo 1 ≤ i ≤ n y

1 ≤ k ≤ m. Si introducimos la siguiente notacion matricial:

W (t) =

W1(t)

...

Wm(t)

, X(t) =

X(1)(t)

...

X(n)(t)

σ(t) =

σ11(t) · · · σ1m(t)

.... . .

...

σn1(t) · · · σnm(t)

, b(t) =

b1(t)

...

bn(t)

Entonces la ecuacion (4.3) puede escribirse como:

X(t) = X(0) +

t∫0

b(s)s+

t∫0

σ(s)dW (s)

Podemos extender la formula de Ito al caso multidimensional:

Teorema 4.1 Sea f(t, x1, x2, . . . , xn) una funcion continua sobre [0, T ] × Rn y

con derivadas parciales continuas∂f

∂t,∂f

∂xi,∂2f

∂xi∂xjpara 1 ≤ i, j ≤ n. Entonces la

diferencial estocastica de f(t,X(1)(t), . . . , X(n)(t)) es dada por:

df(t,X(1)(t), . . . , X(n)(t)) =∂f

∂t(t,X(1)(t), . . . , X(n)(t))dt

+

n∑i=1

∂f

∂xi(t,X(1)(t), . . . , X(n)(t))dX(i)(t)

+1

2

n∑i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(t,X(1)(t), . . . , X(n)(t))dX(i)(t)dX(j)(t) (4.4)

donde el producto dX(i)(t)dX(j)(t) debe ser calculado usando la siguiente tabla (lla-

mada tabla de Ito)1

1Para la demostracion ver [3]


X dWj(t) dt

dWi(t) δijdt 0

dt 0 0

Otro resultado importante es la formula de integracion por partes estocastica o

regla del producto estocastico, la cual es una consecuencia de la formula de Ito

multidimensional al considerar la funcion:

f : [0, T ]× R2 −→ R

(t, x, y) 7−→ f(t, x, y) = xy

∂f

∂t= 0 ,

∂f

∂x= y ,

∂f

∂y= x ,

∂f

∂y∂x=

∂f

∂x∂y= 1 ,

∂2f

∂x2=∂2f

∂y2= 0

reemplazando en la ecuacion (4.4) para dos procesos de Ito X(t) e Y (t) obtenemos:

d(X(t)Y (t)) = Y (t)dX(t) +X(t)dY (t) + dX(t)dY (t) (4.5)

Por lo tanto:

X(t)Y (t) = X(0)Y (0) +

t∫0

Y (s)dX(s) +

t∫0

X(s)dY (s) +

t∫0

dX(s)dY (s) (4.6)

Ecuacion (4.5) es llamada regla del producto estocastico y ecuacion (4.6) formula

de integracion por partes estocastica.

Ejemplo 4.3 (Modelo de Tasa Corta de Interes de Hull y White) . Jhon

Hull y Alan White, de la Universidad de Toronto, han acumulado una prominenete

produccion de mas de 20 artıculos elaborados de manera conjunta. Sus investiga-

ciones han abordado muchas y muy variadas areas de las matematicas financieras.

En 1990 publican el artıculo “Pricing Interest Rate Derivative Securities”, en el

“Review of Financial Studies”, donde proponen que el nivel de largo plazo de la tasa

corta depende del tiempo la cual se denotara por β(t) asi la dinamica de la tasa

corta es conducida por la siguiente ecuacion diferencial estocastica:

dr(t) = α(β(t)− r(t))dt+ σdW (t) (4.7)

donde α y σ son constantes positivas.


Consideremos primero el caso especial σ = 0 y β(t) = 0 ∀ t > 0.

En este caso la ecuacion se convierte en una EDO

dr

dt= αr

Esta EDO tiene la solucion Ce−αt con constante arbitraria C, ahora busquemos la

solucion de (4.10) en la forma:

r(t) = Y (t)e−αt , Y (t) = r(t)eαt

para algun proceso incognita Y = (Y (t))t≥0. Para obtener una EDE para Y = (Y (t))

aplicamos el Lema de Ito a la funcion f(t, r) = reαt :

∂f

∂t(t, r) = αf(t, r) ,

∂f

∂r(t, r) = eαt y

∂2f

∂r2(t, r) = 0

Ası:

dY = αY dt+ eαtdr = αY dt+ eαt(α(β(t)− r(t))dt+ σdW )

= αY dt+ αβ(t)eαtdt− eαtαr(t)dt+ σeαtdW

= αeαtβ(t)dt+ σeαtdW

Notar que el lado derecho de la ecuacion no depende de Y (t), entonces integrando

ambos lados directamente obtenemos

Y (t) = Y (0) + α

t∫0

e−αsβ(s)ds+ σ

t∫0

eαsdW (s)

La condicion adicional esta dada por:

Y (0) = r(0)e0 = r(0)

Por lo tanto:

r(t)eαt = r(0) + α

t∫0

eαsβ(s)ds+ σ

t∫0

eαsdW (s) ,

r(t) = r(0)e−αt + α

t∫0

eα(t−s)β(s)ds+ σ

t∫0

eα(s−t)dW (s)


Notar que el unico termino aleatorio es

σ

t∫0

eα(s−t)dW (s)

Se sigue del teorema 2.1 que este termino representa una variable aleatoria normal

con media cero y varianza dada por:

σ2

t∫0

e2α(s−t)ds

Entonces para cada t fijo, r(t) es una variable aleatoria normal con media y varianza

dados por:

E[r(t)] = r(0)e−αt + α

t∫0

eα(s−t)β(s)ds

V ar[r(t)] = σ2

t∫0

e2α(s−t)ds =σ2

2α[−1− e−2αt]

Por lo tanto el proceso r = (r(t))t≥0 es un proceso Gaussiano, mas no un movimiento

Browniano.

Un caso particular es cuando β(s) = β (Proceso de Tasa Corta del Modelo de

Vasicek), en este caso la solucion esta dada por:

r(t) = r(0)e−αt + β(1− e−αt) + σ

t∫0

eα(s−t)dW (s)

si r(0) = β entonces E[r(t)] = β ∀ t ≥ 0, asi el proceso presenta reversion a la

media.

y si r(0) 6= β, lımt→∞

E[r(t)] = β > 0 y

lımt→∞

V ar[r(t)] =σ2

2α> 0

Entonces r(t) ∼ N

(β,σ2

2α

)cuando t → ∞, en particular existe una probabilidad

positiva de que r(t) sea negativa, esta es una de las principales objeciones de este

modelo.


El profesor Oldrich Alfons Vasicek ha publicado mas de 30 artıculos en Journals

financieros y matematicos y ha recibido varios premios y reconocimientos por su

destacada labor academica. Su modelo de equilibrio para determinarla estructura

de plazos de la tasa de interes “An Equilibrium Characterization of the Term Struc-

ture”, publicada en 1977, es reconocida generalmente como pionero en la teorıa de

tasas de interes en tiempo continuo.

Ejemplo 4.4 (Modelo de Tasa Corta de Interes de Cox, Ingersoll y Ross) El

modelo propuesto por Cox, Ingersoll y Ross en su artıculo “A Theory of the Term

Structure of Interest Rate ”, publicado en 1985 en “Econometrica” se concentra en la

dinamica de la tasa corta conducida por la siguiente ecuacion diferencial estocastica:

dr(t) = α(β − r(t))dt+ σ√r(t)dW (t) (4.8)

α, β y σ constantes positivas. A diferencia del Modelo de Vasicek la ecuacion (4.8)

no tiene una solucion explıcita, la ventaja de (4.8) sobre el modelo anterior es que

la tasa de interes en el modelo de Cox, Ingersoll y Ross no toma valores negativos.

Si r(t) alcanza el valor cero, entonces el termino de difusion σ√r(t) se anula y el

termino de direccion α(β − r(t)) > 0, conduce el proceso a una region donde toma

nuevamente valores positivos1.

Aunque no podemos obtener una solucion explıcita de (4.8), podemos determinar

la distribucion de r(t) para cada t > 0.

para esto usamos la funcion f(t, x) = eαtx y la formua de Ito para calcular:

d(eαtr(t)) = df(t, r(t))

=∂f

∂t(t, r(t))dt+

∂f

∂x(t, r(t))dr(t) +

1

2

∂2f

∂x2(t, r(t))dt

= αeαtr(t)dt+ αeαt(β − r(t))dt+ eαtσ√r(t)dW (t)

= αβeαtdt+ σeαt√r(t)dW (t) (4.9)

1Ver [9]


Integrando ambos lados de (4.9)

eαtr(t) = r(0) + αβ

t∫0

eαsds+ σ

t∫0

eαs√r(s)dW (s)

= r(0) + β(eαt − 1) + σ

t∫0

eαs√r(s)dW (s)

recordando que la media de una integral de Ito es cero, obtenemos:

eαtE[r(t)] = r(0) + β(eαt − 1)

E[r(t)] = r(0)e−αt + β(1− e−αt)

la cual es la misma, como en el modelo de Vasicek.

Para calcular la varianza de r(t), sea X(t) = eαtr(t)

dX(t) = αβeαtdt+ σeαt√r(t)dW (t)

= αβeαtdt+ σeαt2

√X(t)dW (t)

y asi E[X(t)] = r(0)+β(eαt−1). Usando nuevamente la formula de Ito con f(x) = x2,

f ′(x) = 2x y f ′′(x) = 2

d(X2(t)) = 2X(t)dX(t) + dX(t)dX(t)

= 2αβeαtX(t)dt+ 2σeαt2 X

32 (t)dW (t) + σ2eαtX(t)dt

Integrando:

X2(t) = X2(0) + (2αβ + σ2)

t∫0

eαsX(s)ds+ 2σ

t∫0

eαs2 X

32 (s)dW (s)

Tomando esperanzas y usando la formula ya obtenida para E[X(t)], obtenemos

E[X2(t)] = X2(0) + (2αβ + σ2)

t∫0

eαsE[X(s)]ds

= r2(0) + (2αβ + σ2)

t∫0

eαs (r(0) + β(eαs − 1)) ds

= r2(0) +

(2αβ + σ2

α

)(r(0)− β) (eαt − 1) +

2αβ + σ2

2αβ(e2αt − 1)


Por lo tanto:

E[r2(t)] = e−2αtE[X2(t)]

E[r2(t)] = e−2αtr2(0)+

(2αβ + σ2

α

)(r(0)− β) (e−αt−e−2αt)+

β(2αβ + σ2)

2α(1−e−2αt)

Finalmente

V ar[r(t)] = E[r2(t)]− [E(r(t))]2

=σ2

αr(0)(e−αt − e−2αt) +

βσ2

2α(1− 2e−αt + e−2αt)

En particular cuando t→∞ la distribucion de r(t) converge a una variable aleatoria

con la siguiente distribucion:

lımt→∞

E[r(t)] = β

lımt→∞

V ar[r(t)] =βσ2

2α

Ejemplo 4.5 (Modelo de Paul Samuelson) En 1965,Paul Samuelson publi-

ca su artıculo “Rational Theory of Warrant Price”, en donde se introduce el con-

cepto de Movimiento economico Browniano, lo que en la actualidad se conoce co-

mo Movimiento Geometrico Browniano. Cuando Samuelson resuelve el problema de

Bachelier, eliminando la posibilidad de que un activo financiero tenga precios nega-

tivos, se crean nuevos inconvenientes con la aparicion de parametros desconocidos,

el primer parametro es el rendimiento medio esperado del activo, y el segundo la

volatilidad instantanea del mismo.

Samuelson supone que la dinamica estocastica del precio del activo es conducido por

un proceso de la forma:dS(t) = µS(t) + σS(t)dW (t) 0 ≤ t ≤ T

S(0) = S0

(4.10)

donde µ > 0 es el rendimiento medio esperado del activo, σ 6= 0 la volatilidad instan-

tane por unidad de tiempo y S = (S(t))t≥0 es el proceso estocastico que representa

el precio del activo financiero.


El precio inicial S(0) = S0 es conocido y no aleatorio.

Puesto que (4.10) no puede ser resuelta directamente, buscamos un cambio de va-

riable adecuado que nos permita resolver la ecuacion.

Asumir que σ = 0, tenemos:

dS = µSdt o d(lnS) = µdt

Esto nos sugiere que la transformcion adecuada debe de ser f(t, S) = lnS, aplicando

la formula de Ito obtenemos el proceso estocastico seguido por f(t, S):

d(lnS) =

(µ− σ2

2

)dt+ σdW (4.11)

y ası podemos integrar directamente

lnS(t) = lnS(0) +

t∫0

(µ− σ2

2

)ds+

t∫0

σdW (s)

= lnS0 +

(µ− σ2

2

)t+ σW (t)

Por lo tanto la solucion de la ecuacion (4.10) es:

S(t) = S0 exp

(µ− σ2

2

)t+ σW (t)

(4.12)

Notar que S(t) > 0 ∀ t ∈ [0, T ]. El proceso S(t) es llamado movimiento Geometrico

Browniano.

Para calcular la media y la varianza del proceso S(t), utilizamos la funcion generante

de momentos de una variable aleatoria normal Z ∼ N(0, 1) la cual es dada por

E[exp (sZ)] = exp

(1

2s2

)y puesto que Z =

W (t)√t∼ N(0, 1), obtenemos

E[S(t)] = E[S0 exp

[(µ− σ2

2

)t

]· exp (σW (t))

]= S0 exp

[(µ− σ2

2

)t

]· E[exp (σW (t))]

= S0 exp

[(µ− σ2

2

)t

]· exp

[σ2

2t

]= S0e

µt


E[S2(t)] = E[S2

0 exp

(2

(µ− σ2

2

)t+ 2σW (t)

)]= S2

0 exp

(2

(µ− σ2

2

)t

)E [exp (2σW (t))]

= S20 exp

(2

(µ− σ2

2

)t

)exp (2σ2t)

Y ası:

V ar[S(t)] = S20 exp (2µt)[exp (σ2t)− 1]

En la siguiente seccion bosquejamos una de las mas importantes aplicaciones a

la matematica financiera.

4.3. La ecuacion diferencial parcial de Black, Mer-

ton y Scholes

En 1973, Fisher Black y Myron Scholes publicaron su artıculo “The Pricing Op-

tions and Corporate Liabilities”, en el “Journal of Political Economy”, en este Black

y Scholes obtienen una ecuacion diferencial parcial de segundo orden parabolica y

lineal, cuya solucion es el precio de una opcion europea de compra.1. Sin duda, es

tambien inportante destacar el articulo de Robert Merton, “Theory of Rational Op-

tion Pricing”, publicado en 1973 en el “Bell Journal and Management Science”,en

donde se obtuvieron resultados similares a los de Black y Scholes y varias exten-

siones.

Suponer que el precio del activo subyacente al tiempo t , S(t) ( por ejemplo ac-

ciones de una companıa financiera), es conducido por el Movimiento Geometrico

Browniano, propuesto por Samuelson

dS(t) = µS(t) + σS(t)dW (t) 0 ≤ t ≤ T

1Una opcion (financiera)europea de compra, es un acuerdo entre dos partes que obliga (legal-

mente) a una de las partes a vender un activo financiero, S, mientras que la contraparte le otorga

el derecho mas no la obligacion de comprar dicho activo a un precio preestablecido, P, en una fecha

futura, T.

84 4.3. La ecuacion diferencial parcial de Black, Merton y Scholes

La pregunta basica es la siguiente:

¿Cual es el “precio justo” en el instante t = 0, de esta opcion?

En otras palabras, si tu eres un corredor de bolsa y deseas vender a tus clientes esta

opcion de compra, ¿cuanto deberıas cobrar?.

Sea s ≥ 0 y 0 ≤ t ≤ T , u(s, t) denotara el “precio justo” de la opcion en el instante

t, dado S(t) = s, entonces u(S0, 0) es el precio justo que estamos buscando.

Necesitamos calcular u, para esto, notar que en la fecha de vencimiento t = T ,

tenemos

u(s, T ) = (s− P )+ (s ≥ 0)

Ademas, si s = 0, entonces S(t) = 0 para todo 0 ≤ t ≤ T y ası

u(0, t) = 0 (0 ≤ t ≤ T )

Definimos el proceso estocastico:

C(t) := u(S(t), t) (0 ≤ t ≤ T )

Ası C(t) es el valor de la opcion de compra en el instante t y es aleatorio puesto que

el precio del activo S(t) es aleatorio. Usando la formula de Ito y ecuacion (4.10),

obtenemos:

dC(t) =∂u

∂t(S(t), t)dt+

∂u

∂s(S(t), t)dS(t) +

σ2

2S2(t)

∂2u

∂s2(S(t), t)dt

=

[∂u

∂t(S(t), t) +

∂u

∂s(S(t), t)µS(t) +

σ2

2S2(t)

∂2u

∂s2(s(t), t)

]dt

+σS(t)∂u

∂s(S(t), t)dW (t) (4.13)

Se supone que existe un mercado de credito libre de riesgo de incumplimiento, es

decir un sistema bancario en la que los agentes pueden prestar o pedir prestado a

una tasa constante r, a todos los plazos y en consecuencia libre de riesgo de mercado,

la cual se aplica en forma continuamente capitalizable.


Por ejemplo, si un agente deposita B(0) unidades monetarias, entonces el saldo en

su cuenta bancaria, al tiempo t, esta dada por la solucion de la ecuacion diferencial

ordinaria: dB(t) = rB(t)dt

B(0) = 1

(4.14)

Ası B(t) = ert, la idea clave (de R.Merton) es encontrar dos procesos estocasticos φ

y ψ tales que

C = φS + ψB (0 ≤ t ≤ T ) (4.15)

el punto es que si podemos construir φ y ψ tal que (4.15) sea valido y ademas que

el cambio de C solo dependa del correspndiente en S y B, esto es:

dC = φdS + ψdB (4.16)

entonces podemos eliminar el riesgo (o aleatoriedad).

Combinando las ecuaciones (4.13), (4.14) y (4.16), obtenemos

φ[µSdt+ σSdW ] + ψrBdt =

(∂u

∂t+∂u

∂sµS +

σ2

2S2∂

2u

∂s2

)dt+ σS

∂u

∂sdW (4.17)

Ası si (4.15) es valido, (4.17) tambien lo debe ser, e intentaremos seleccionar φ y ψ

tal que esto sea ası:

σφSdW = σS∂u

∂sdW

entonces

φ(t) :=∂u

∂s(S(t), t) 0 ≤ t ≤ T

Ası (4.17) se simplifica: (∂u

∂t+σ2

2S2∂

2u

∂s2

)dt = rψBdt

pero ψB = C − φS = u− ∂u

∂sS, en consecuencia

(∂u

∂t+σ2

2S2∂

2u

∂s2

)dt = r

(u− ∂u

∂sS

)dt(

∂u

∂t+ rS

∂u

∂s+σ2

2S2∂

2u

∂s2− ru

)dt = 0


Finalmente para evaluar nuestra opcion de compra, debemos resolver el problema

de valor de frontera1.∂u∂t

+ rs∂u∂s

+ σ2

2s2 ∂2u

∂s2− ru = 0 (s > 0, 0 ≤ t ≤ T )

u = (s− P )+ (s > 0, t = T )

u = 0 (s = 0, 0 ≤ t ≤ T )

(4.18)

1Detalles sobre la solucion explıcita de este problema se encuentran en [10]

Conclusiones

Al realizar el presente trabajo, se ha llegado a las siguientes conclusiones:

1. Se ha definido la integral estocastica en el sentido de Ito, la cual es una integral

del tipo Riemann-Stieltjes de una funcion medible con respecto a otra funcion

llamada Movimiento Browniano, ambas de variacion no acotada.

2. Se ha definido la integral estocastica de manera progresiva sobre la cadena de

espacios de procesos estocasticos:

E ⊂ L2ad([0, T ]× Ω) ⊂ Lad(Ω, L

2[0, T ])

usando la densidad de cada uno en el siguiente.

3. Se deduce la formula de Ito, la cual es la version estocastica de la regla de la

cadena del calculo determinıstico.

4. Se aplica la formula de Ito para deducir modelos matematicos en las finan-

zas, tales como el modelo de Louis Bachelier, Paul Samuelson, Fischer Black y

Myron Scholes entre otros. Asimismo, se discutieron las relaciones y la evolu-

cion de las ideas y formulaciones de dichos modelos, destacando el contexto

historico y social en los que se desarrollaron.

87


Bibliografıa

[1] Black F.; Scholes M. The pricing of option and corporate liabilities, Journal

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[2] Hui Hsiung Kuo. Introduction to Stochastic Integration, Springer 2005.

[3] Kiyosi Ito. Stochastic Integral, Proceedings of the Imperial Academy of

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[4] Lawrence, Evans. Introduction to Stochastic Differential Equations, UC

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[5] Marek Capinsky. Measure Integral and Probability, Springer, 2007

[6] Rubio M, Obidio E. Ecuaciones Diferenciales Estocasticas, Tesis. 1990.

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[8] Wilmott Paul, Howison Sam, Dewynne Jeff. The Mathematics of Fi-

nancial Derivatives. Cambridge, University Press, 1995

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Date post:	14-Jun-2015
Category:	Science
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