MECHANICS OF
MATERIALS
Third Edition
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
CHAPTER
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3Burulma
Fatih Alibeyoğlu
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• Döndürme momenti etkisi altında dairesel kesitli
parçalar burulmaya zorlanır.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• Uygulamada birçok makine elemanı parçası
burulmaya zorlanır.
Buhar türbininden elektrik jeneratörüne
Elektrik motorundan takım tezgahına
Otomobil motorundan tekerlek aksına
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• A buhar türbini ve B elektrik
şaftından oluşan sistemde;
• T burulma momenti üreten
elektrik motoruna şaft
tarafından T’ eşit ve ters
yönlü bir etki oluşturacaktır.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• A ve B de eşit ve zıt yönlü T ve T ’
torklarına maruz kalan AB
şaftından, eksene dik geçen keyfi
bir C kesiti aldığımızda;
AC parçası BC üzerine şaftın
yarıçapına dik dF kesme
kuvvetleriyle etki eder.
dF kuvvetinin şaft eksenine dikuzaklığı ρ ile gösterilecek olursa;
dF = τ .dA
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• Uygulanan bir tork şaft eksenine dik
yüzeylerde kayma gerilmeleri meydana
getirir.
• Dairesel bir milin üzerine eksene paralel
şerit levhalar yerleştirilip burulma
momentine maruz bırakılırsa; levhaların
birbirlerine göre yaptığı kayma
görülebilir.
Şaft Ekseni
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• Dairesel kesitli şaftlar ile
dairesel olmayan kesitli
şaftları kıyaslayacak olursak;
• Dairesel kesitli şaftın enineve düzlemsel kesitinin
bozulmadığını görürüz.
• Karesel kesitli şaft ise
burkulur. Düzlemleri bozulur.
• Bundan dolayı hareket
ileten mekanizmalarda
dairesel kesitli şaftlar
kullanılır.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• Bir ucu ankastre mesnetli T torkuuygulanan dairesel kesitli şaftı
inceleyecek olursak;
• Serbest ucun φ(phi) açısı kadar
döndüğünü gözlemleyebiliriz.
• Kuvveti artırırsak açı artar. Demek kiT- φ arasında orantı vardır.
• Eğer L uzunluğunu artırırsak açının
da artacağını gözlemleyebilir.
Demek ki L- φ arasında orantıvardır.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• Çok küçük açılar için AA’ yayının uzunluğu
• AA’= Lγ ya da AA’= ρφ
• Demek ki dairesel şaftta kayma şekil
değiştirmesi şaft eksenine olan mesafeyle
doğrusal olarak değişir.
• Eğer c=ρ olursa şaft yüzeyinde maksimum
kayma şekil değiştirmesi gözlemlenir.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
Maksimumum tork
Minimum kayma gerilmesi
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
Sünek malzemelerin hasarında kayma gerilmeleri, gevrek malzemelerin
hasarında ise çekideki normal gerilmeler daha etkilidir.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
BC şaftı iç ve dış çapları sırasıyla 90 ve 120
mm olan boşluklu bir şafttır. AB ve CD d
çaplı içi dolu şaftlardır. Yükleme şartı için;
a) BC şaftındaki maksimum ve minimum
kayma gerilmelerini,
b) AB ve CD şaftlarının kayma gerilmesi 65
MPa olduğuna göre bu şaftların çapını
belirleyiniz?
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• AB şaftı için
• BC şaftı için
• Max kayma gerilmesi
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma
• Minumum Kayma gerilmesi
• Bu şaftların ikisi de
• T=6kN.m τ𝑒𝑚=65 Mpa
• Şaftların yarıçapını c ile
gösterirsek
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Elastik Bölgede Burulma Açısı
• Maksimum kayma şekil değiştirmesi ile
kayma gerilmesi arasındaki ifadeyi
hatırlarsak ;
• Elastik bölgeyi incelediğimiz için
• φ (rad ) cinsinden bulunur.
• Tork veya mil kesiti değişirse toplam
dönme açısı her bir kısmın dönme
açısının toplamına eşit olur.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Elastik Bölgede Burulma Açısı
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• 2 ͦ lik burulma açısı oluşması
için şaftın uç kısmına
uygulanması gereken tork ne
olmalıdır?
• G=77x 109Pa
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• AD yatay şaftı D noktasından
ankastre mesnete bağlanmıştır
ve şekilde gösterildiği gibi
torklara maruz kalmıştır. CD
kısmına 0.6 m uzunluğunda 44
mm çapında delik açılmıştır. Bu
durumda A noktasındaki
burulma açısı ne olur?
(G=77 GPa)
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Çözüm• AB kesitini alalım çünkü B noktasından sonra
Tork ve kesit kalınlığı değişmektedir.
• BC kesitini ayıralım çünkü C noktasından
sonra kesit değişmektedir(C’den sonra içi boş
mil vardır ) fakat tork(2000+250 Nm) sabittir.
• Polar atalet momentlerini bulacak olursak
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• A noktasındaki burulma açısı
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
• Bir ucu sabit millerde
dönme açısı sabit ucun
dönmesine eşit
olduğunu gördük eğer
bir milin iki ucu da
dönüyorsa burulma açısı
bir ucun diğer uca göre
dönmesine(farkına ) eşit
olacaktır.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Örnek
• Şekilde verilen sistemde 𝑟𝐴 = 2 𝑟𝐵olduğuna göre ve E noktasından T
torku uygulanırsa BE şaftının E
ucundaki dönme açısını bulunuz.
ÇÖZÜM
• Öncelikle dişliler birbirine eşit ve zıt
yönlü kuvvet uygulayacaktır. AD
şaftında F kuvveti BE şaftında F’
kuvvetleri oluşacaktır. Bu durumda
𝑟𝐴 = 2 𝑟𝐵 olduğundan
𝑇𝐴𝐷=2T(Kuvvetler eşit, AD nin çapı
diğerinin iki katı, Moment=Kuvvet x
Dik uzaklık)
• A şaftının dönme açısı A dişlisinin
dönme açısı şaftın burulma açısına
eşit olacaktır çünkü D ucu sabittir.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Çözüm
• A dişlisindeki dönme açısı:
• CC’ ve CC’’ yaylarının eşit olması
gerektiğinden
BE şaftının dönme açısını bulacak olursak;
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• İçi dolu iki çelik şaft dişlilere
bağlanmıştır. Her bir şaft için G= 77
GPa ve emniyetli kayma gerilmesi
55 MPa olduğuna göre AB şaftının
a) A ucuna uygulanabilecek en
büyük 𝑇0 torkunu;
b) AB şaftının A ucunun dönmesiyle
oluşan açıyı belirleyiniz.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Çözüm
• Statik Denge Şartlarından :
B dişlisi için Σ𝑀𝐵=0; F(22 mm)- 𝑇0 =0
C dişlisi için Σ𝑀𝐶=0; F(60 mm)- 𝑇𝐶𝐷 =0
𝑇𝐶𝐷= 2.73 𝑇0Dişlilerin çevresel hareketi eşit olduğundan
𝑟𝐵𝜙𝐵 = 𝑟𝐶𝜙𝐶 𝜙𝐵 = 𝜙𝐶𝑟𝐶
𝑟𝐵=2.73𝜙𝐶
𝑻𝟎 Torku , AB Şaftı için
𝑇0=𝑇𝐴𝐵 ve c=9.5 mm
τ =𝑇𝐴𝐵 𝑐
𝐽=
𝑇0(9.5 𝑥 10−3 𝑚)
12𝜋(9.5 𝑥 10
−3𝑚 )4= 55 𝑀𝑃𝑎
𝑇0=74.1 N.m
CD şaftı için
𝑇𝐶𝐷=2.73𝑇𝐴𝐵 ve c=9.5 mm 𝜏𝑒𝑚 = 55 𝑀𝑃𝑎
τ =𝑇𝐶𝐷 𝑐
𝐽=2.73𝑇0(12.5 𝑥 10
−3 𝑚)
12𝜋(12.5 𝑥 10
−3𝑚 )4= 55𝑀𝑃𝑎
𝑇0=61.8 N.m𝑇0=61.8 N.m değeri seçilir
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Çözüm
• Dönme Açıları
AB Şaftı
CD şaftının D ucu sabit olduğu için φ𝐶/𝐷 = φ𝐶
φ𝐴/𝐵 =𝑇𝐴𝐵 𝐿
𝐽𝐺=
(61.8 𝑁.𝑚 )(0.6 𝑚)
12𝜋(9.5 𝑥 10
−3𝑚 )4(77𝑥 109𝑃𝑎)
= 0.0376 𝑟𝑎𝑑 = 2.16 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒CD Şaftı
φ𝐶/𝐷 =𝑇𝐶𝐷 𝐿
𝐽𝐺=
(168.7 𝑁.𝑚 )(0.9 𝑚)
12𝜋(12.5 𝑥 10
−3𝑚 )4(77𝑥 109𝑃𝑎)
= 0.0514 𝑟𝑎𝑑 = 2.95 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒
𝜙𝐵 =2.73𝜙𝐶 = 2.73 2.95 = 8.04 ͦ
𝜙𝐴 = 𝜙𝐵+ 𝜙𝐴/𝐵 = 8.04 ͦ + 2.16 ͦ
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Burulma ile Eksenel Yükleme durumunun kıyaslaması
Eksenel Kuvvet (P)
Deformasyon(Uzama- Kısalma)(δ)
Normal Gerilme(σ)
Eksenel Birim Şekil Değiştirmesi(ε)
Elastisite Modülü(E)
Burulma Momenti (Tork) (T)
Dönme Açısı(φ)
Kayma Gerilmesi(τ)
Kayma Birim Şekil Değiştirmesi(γ)
Kayma Modülü(G)
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Statikçe Belirsiz Şaftlar
• Bir şaftın mesnetlerindeki tepkiler veya iç torklar sadece statikten
bulunamıyorsa şaft statikçe belirsiz demektir.
• AB dairesel şaftı B ucundan
itibaren 125 mm boyunda 16
mm çapında delik açılmıştır.
Şaftın tüm kesit boyunca dış
çapı 22 mm dir. Bu durumda
her bir mesnetin şafta
uyguladığı torku bulunuz.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 120 𝑁.𝑚
• Bu denklemden torkları bulamayacağımız için bu
problem için statikçe belirsiz denilebilir. Bu şaftın her
iki ucu sabit olduğu için dönme açıları 0’a eşit
olacaktır.
• 𝐽1 = (1
2𝜋0.011 𝑚 )4 = 230𝑥 10−6 𝑚4)
• 𝐽1 =1
2𝜋[(0.011 𝑚 )4 − (0.008𝑚)4] = 165.6𝑥 10−6 𝑚4)
• 0.72 𝑇𝐴 = 𝑇𝐵• 1.72 𝑇𝐴=120 N.m
• 𝑇𝐴 = 69.8 𝑁.𝑚 𝑇𝐵 = 50.2 𝑁.𝑚
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• Bir çelik şaft ve bir alüminyum tüp bir
ucundan sabit bir mesnete diğer
ucundan rijit bir plakaya
bağlanmıştır. Emniyet gerilmeleri
çelik şaftta 120 Mpa ve alüminyum
tüpte 70 Mpa olduğuna göre diske
uygulanabilcek 𝑇0 maksimum
torkunu belirleyiniz. Çelik için G=77
GPa alüminyum tüp için G=27 Gpa
dır.
ÇÖZÜM:
• Tüp ve şaft rijit diske bağlandığı için ikisinin deformasyon açıları eşit
olacaktır.
• Tüp ve şaft rijit plakaya bir tork uygulayacaktır. Bunların toplamı da
toplam torka eşit olacaktır.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Çözüm• Rijit plaka için
• Deformasyonlar: tüpün deformasyonu şaftın
deformasyonuna eşit olur.
Kayma Gerilmeleri
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Aktarma Şaftlarının Tasarımı
• Bir şaftın yerine getirmesi gereken temel koşullar:
İletilecek güç
Şaftın dönme hızını kapsar
𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑡𝑖𝑟. 𝐵𝑖𝑟𝑖𝑚: 𝑟𝑎𝑑𝑦𝑎𝑛/𝑠𝑎𝑛𝑖𝑦𝑒
𝑓 = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑠 𝑏𝑖𝑟 𝑠𝑎𝑛𝑖𝑦𝑒𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑟 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 𝑠−1 𝐻𝑧
𝑃 = 𝐺üç(𝑊𝑎𝑡𝑡)(𝑁.𝑚/𝑠)
1𝑑𝑒𝑣𝑖𝑟
𝑑𝑎𝑘𝑖𝑘𝑎=
1
60𝑠−1 =
1
60𝐻𝑧
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• 3.7 kW’lık bir motorun 3600 dev/dak ile çalışan rotorun şaftındaki
kayma gerilmesinin 60 Mpa’yı aşmaması istendiğine göre hangi
boyutta şaft kullanılmalıdır.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• 50 mm’lik dış çaplı çelik tüpten oluşan bir şaft , 20Hz’lik bir
frekansla dönerken 100 kW’lık güç iletmektedir. Kayma
gerilmesinin 60 Mpa’ı aşmaması gerektiğine göre kullanılması
gereken tüp kalınlığını belirleyiniz.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• AB, BC ve CD şaftlarının her biri içi
dolu şaftlardır.
a) Maksimum kayma gerilmesinin
oluştuğu şaftı
b) Bu gerilmenin büyüklüğünü
bulunuz
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
• AB alüminyum çubuğu(G=27 GPa )
BD pirinç (G= 39 GPa )çubuğuna
tutturulmuştur. CD parçası boşlukludur
ve iç çapı 40 mm olduğuna göre
A’daki burulma açısını belirleyiniz.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Soru
G= 77 GPa olan AB ve CD şaftlarının tasarımları yapılacaktır.
𝜏𝑚𝑎𝑘𝑠 ≤ 60 𝑀𝑃𝑎 ve CD şaftının D ucunun dönmesiyle oluşacak olan
dönme açısının (𝜑𝐷) 1.5 ͦ ‘ yi geçmemesi istenmektedir. Bu durumda
şaftların çaplarını belirleyiniz.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
MECHANICS OF MATERIALS
Th
irdE
ditio
n
Beer • Johnston • DeWolf
Ödev
• Cisimlerin Mukavemeti kitabından problem
• 3.13
• 3.37
• 3.57
• 3.74
• Ödevler 25.11.2014 tarihine kadar teslim
edilecektir.