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8/9/2019 Time-domain analysis of wave exciting forces on floating bodies at zero forward speed
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T i m e - d o m a i n a n a l y s is o f w a v e e x c i t i n g f o r c e s
o n f lo a t in g b o d i e s a t z e r o fo r w a r d s p e e d
R O B E R T F . B E C K a nd B R A D L E Y K I N G *
University of Michigan, Department o f Naval Architecture and Marine Engineering,
Ann Arbor, Michigan 48109, USA
*Presently at Bassin D'Essais des Carenes de Paris, Paris, France
1. I N T R O D U C T I O N
T h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g t h e e x c it i ng f o r c e s a c ti n g
o n a r i g i d f l o a t i n g b o d y d u e t o u n i - d i r e c t i o n a l w a v e s h a s
b e e n e x t e n s iv e l y st u d i e d . T h e p r o b l e m i s u s u a l l y f o r -
m u l a t e d i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n b y a s s u m i n g t h a t t h e
i n c i d e n t w a v e s a r e s i n u s o i d a l o f f ix e d f r e q u e n c y . R e s u l t s
f o r m o r e g e n e r a l w a v e s y s t e m s m a y t h e n b e f o u n d u s i n g
s u p e r p o s i t i o n a n d F o u r i e r a n a l y s i s . I n th i s p a p e r , t h e
p r o b l e m w i ll b e f o r m u l a t e d d i r e c t l y in t h e t im e d o m a i n .
N u m e r i c a l t e c h n i q u e s a r e d e v e l o p e d f o r b o d i e s o f a r b -
i t r a r y sh a p e . T h e s o l u t io n s i n t h e ti m e d o m a i n a n d f r e -
q u e n c y d o m a i n a r e r e l a t ed t h r o u g h t h e u s e o f F o u r i e r
t r a n s f o r m s .
T i m e - d o m a i n a n a l y s i s h a s b e e n u s e d b y s e v e r a l
a u t h o r s t o s o lv e t h e r a d i a t io n p r o b l e m . F o r a x i s y m -
m e t r i c b o d i e s , N e w m a n I d e t e r m i n e d t h e i m p u l s e
r e s p o n s e f u n c t i o n s f o r r i g h t c i r c u l a r c y li n d e r s o f v a r i o u s
r a d i u s t o d r a f t r a t i o s . B e c k a n d L i a p i s z a n d L i a p i s a n d
B e c k 3 u se t h e te c h n i q u e t o s o l v e t h e r a d i a t i o n p r o b l e m
f o r a r b i t r a r y t h r e e - d i m e n s i o n a l b o d i e s a t z e r o s p e e d a n d
w i t h f o r w a r d s p e e d r e s p e c t i v e l y .
T h e u s e o f t i m e - d o m a i n a n a l y s is t o s o l v e th e e x c i ti n g
f o r c e p r o b l e m h a s n o t b e e n w i d e l y i n v e s t i g a t e d .
W e h a u s e n 4 d e v e l o p e d t h e a n a l o g u e t o t h e H a s k i n d r e l a-
t i o n s f o r z e ro f o r w a r d s p e e d i n t h e t im e d o m a i n . U s i n g
t h e s e r e l a t i o n s , t h e e x c i t i n g f o r c e i s d e t e r m i n e d a s a n
i n t e g ra l o v e r th e b o d y s u r f a c e o f c o m b i n a t i o n s o f t h e i n -
c i d e n t w a v e p o t e n t i a l a n d t h e r a d i a t e d w a v e p o t e n t i a l s .
T h e s o l u t i o n o f t h e d i f fr a c t i o n p r o b l e m r e m a i n s o f
i n t e r e s t b e c a u s e t h e H a s k i n d i n t e g r a l r e l a t i o n s c a n n o t
b e u s e d t o c a l c u l a t e l o c a l p h e n o m e n a s u c h a s w a v e
e l e v a t i o n s o r h y d r o d y n a m i c p r e s s u r e s .
D i r e c t s o l u ti o n o f t he d i f f r a c t e d w a v e p r o b l e m i n t h e
t i m e d o m a i n i s i n t e r e s t i n g f o r s e v e r a l r e a s o n s . P o s s i b l y ,
t h e m o s t i m p o r t a n t r e a s o n i s t h a t t h e m e t h o d u s e d h e r e
m a y b e e x t e n d e d t o t h e c as e s o f s t e a d y f o r w a r d s p e e d
a n d / o r a r b i t r a ry m a n e u v e r s o f th e b o d y w i t h o u t a n y
s e r i o u s m o d i f i c a t i o n s t o t h e a p p r o a c h . T o t h e c o n t r a r y ,
f r e q u e n c y d o m a i n m e t h o d s i n v o l v e v e r y d i ff ic u lt G r e e n
f u n c t i o n e v a l u a t i o n s a t s t e a d y f o r w a r d s p e e d a n d a r e
n o t m e a n i n g f u l f o r g e n e ra l t r a n s i e n t m a n e u v e r s . T h e
t i m e d o m a i n a p p r o a c h i s a l s o v e ry u s e fu l i n v e r i f y i n g
a n d c l a r i f y i n g t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n f r e q u e n c y d o -
m a i n r e s u l ts a n d t i m e d o m a i n r e s u l ts . F r e q u e n c y d o -
m a i n s o l u t io n s a r e o f t e n u s e d t o d e v e l o p t i m e d o m a i n
Accepted M arch 1988. Discussion closes July 1989.
s i m u l a t i o n s f o r b o d y m o t i o n s w i t h o u t g r e a t c a r e r e g a r d -
i n g th e r e s t r ic t i o n s a n d a s s u m p t i o n s o f s u c h a s te p . T h e
t i m e - d o m a i n a p p r o a c h a l l o w s t h e d i r e c t c a l c u l a t i o n o f
t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n s .
I n t h i s p a p e r t h e m e t h o d s d e v e l o p e d i n B e c k a n d
L i a p i s 2 a n d L i a p i s a n d B e c k 3 w i l l b e e x t e n d e d t o s o l v e
t h e e x c i t i n g f o r c e p r o b l e m . T h e a n a l y t i c b a s i s f o r t h e
p r o b l e m i s p r e s e n t e d i n S e c t i o n 2 f o l l o w e d b y a d i sc u s -
s i o n o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e d i f f r a c ti o n
p r o b l e m i n S e c ti o n 3 . N u m e r i c a l m e t h o d s a n d r e su l ts
a r e t h e n p r e s e n t e d i n S e c t i o n s 4 a n d 5 , r e s p e c t i v e l y .
2 . M A T H E M A T I C A L F O R M U L A T I O N
C o n s i d e r a n a r b i t r a r y t h r e e - d i m e n s i o n a l b o d y f l o a t in g
o n t h e f r e e s u r f a c e o f a n i n c o m p r e s s i b l e i d e a l f l u id . L e t
Oxyz
b e a r i g h t - h a n d e d c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h th e
x-y
p l a n e c o i n c i d e n t w i t h t h e c a l m w a t e r l e v e l . F o r s h i p
s h a p e s t h e x - a x i s p o i n t s t o w a r d t h e b o w , t h e z - a x i s i s
p o s i t iv e u p w a r d s , a n d t h e o r i g in i s p l a c e d a t m i d s h i p .
P l a n e , s i n u s o i d a l w a v e s a r e i n c i d e n t t o t h e v e s s e l . T h e
w a v e s a r e t r a v e l l i n g i n a d i r e c t i o n w h i c h m a k e s a n a n g l e
13 to the x -a x i s .
T h e i n c i d e n t w a v e a m p l i t u d e a t t h e o r i g i n a s a f u n c -
t i o n o f t i m e i s g i v e n b y ~ ' o (t ). T h e a m p l i t u d e i s a s s u m e d
s m a l l s o t h a t a l i n e a r t h e o r y m a y b e d e v e l o p e d . T h e f lo w
i s c o n s i d e r e d i r r o t a t i o n a l s o t h e r e e x i s ts a v e l o c i t y
p o t e n t i a l s u c h t h a t i n t h e f l ui d d o m a i n
v E a v = 0
a n d
,I, = CI, (P , t) + dp7 (P, t) (1)
w h e r e CI, = i n c i d e n t w a v e p o t e n t i a l
,I ,7 = d i f f r a c t e d w a v e p o t e n t i a l
P =(x ,y , z )
F o r c o n v e n i e n c e t h e s u b s c r i p t s 0 a n d 7 a r e u s e d t o
d e n o t e t h e i n c i d e n t a n d d i f f r a c t e d w a v e s r e s p e c t i v e l y .
T h e s u b s c r i p t s 1 , 2 . . . . . 6 a r e r e s e r v e d f o r t h e r a d i a t i o n
p o t e n t i a l s i n t h e 6 d e g r e e s o f f r e e d o m . T h i s l e a d s t o a n
e f fi c ie n t n o t a t i o n f o r n u m e r i c a l t e c h n i q u e s w h e n b o t h
t h e r a d i a t i o n a n d e x c i t i n g f o r c e p r o b l e m s a r e s o l v e d
s i m u l t a n e o u s l y .
T h e i n c i d e n t w a v e a m p l i t u d e a t t h e o r i g i n , ~ ' o ( t ) , i s
r e l a te d t o t h e i n c i d e n t w a v e p o t e n t i a l b y
1 0
~'0 ( t ) - ~o (0, t ) (2)
g a t
re3 1989 Com putational Me chanics Publications Applied Ocean Research, 1989, Vol. 11, No. 1 19
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W a v e e x c it in g f o r c e s o n f l o a ti n g b o d i e s a t z e r o f o r w a r d s p e e d : R . F . B e c k a n d B . K i n g
w h e r e g = a c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y . O n t h e f r e e s u r f a c e ,
b o t h 4 0 a n d 4 7 m u s t s a t is f y t h e f r ee s u r f a c e b o u n d a r y
c o n d i t i o n
0 2 4 0 4
Ot 2
+ g ~ = 0 on Z = 0 (3 )
T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e b o d y s u r f a c e , S o , i s
0 4
- - = 0
O n
s o t h a t
0 t ~ 0 0 ( I ) 7
- - o n S o ( 4 )
a n a n
w h e r e n = u n i t n o r m a l o n t h e b o d y s u r f a c e o u t o f t h e
f lu i d d o m a i n . T h e i n c i d e n t w a v e p o t e n t i a l i s a s s u m e d t o
b e z e r o a t t = - o o . T h i s i m p l i e s t h a t t h e i n i t ia l c o n d i -
t io ns on 41,7 are
4 7 - ' 0 t ~ - o o
a (5)
Ot
(I)7 ---) 0 t ----~ -o o
I n a d d i t io n , t h e r a d i a t i o n c o n d i t i o n r e q u i r e s
V ( I ) 7 ~ 0 a s
r ~ oo
A n i n t e g r a l e q u a t i o n w h i c h m u s t b e s o l v e d t o d e t e r -
m i n e t h e d i f f r a c t i o n p o t e n t i a l c a n b e d e r i v e d u s i p g t h e
G r e e n t h e o r e m a n d a G r e e n f u n c t i o n f o r a n i m p u l s i v e
s o u r c e b e l o w t h e f r e e s u r f a c e . B e c k a n d L i a p i s z g i v e t h e
G r e e n f u n c t i o n , w h i c h w a s f i rs t d e r i v e d b y F i n k e l s t e in , 5
a s
( r 1 )
( P , Q , t - r ) = - 7 - ~ ( t - r )
+ H ( t - r ) G ( P , Q , t - z )
w h e r e ( 6 )
G ( P , Q , t - r ) = 2 d k , , , ' - g k
i n ( , , g k ( t - r ) )
o
X e k (: + : c ) J o ( k R )
P = ( x , y , z )
Q = (~ , '0 , ~ ' )
r 2 = ( x - ~ ) 2 + ( y - ' 0 ) 2 + ( z - ~ )2
r ' 2 = (X - - ~)2 + (y - - ,0 )2 + (Z + ~-)2
R 2 = ( X - ~ ) 2 + ( y - ' 0 ) 2
6 ( 0
= d e l t a f u n c t i o n
H ( t )
= u n i t s t e p f u n c t i o n
T h e G r e e n f u n c t i o n g i v e s t h e p o t e n t i a l a t a p o i n t P
a n d t i m e t d u e t o a n i m p u l s i v e s o u r c e a t Q c r e a t e d a t
t i m e r . T h e ( 1 / r - 1 / r ') 6 ( t - r ) t e r m r e p r e s e n t s t h e i m -
p u l s i v e s o u r c e p l u s i t s n e g a t i v e i m a g e . T o g e t h e r t h e y
s a t i s f y a 4 = 0 b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e f r e e s u r f a c e .
T h e i m p u l s i v e s o u r c e g e n e r a t e s a C a u c h y - P o i s s o n t y p e
w a v e s y s t e m w h i c h is r e p r e s e n t e d b y ( ~ ( P , Q , t - r ) . T h e
G r e e n f u n c t i o n s a t i sf i e s t h e f o l l o w i n g p r o b l e m :
V Z G =
- 4 7 r
5 ( P - Q ) 6 ( t - r )
0 2 0
Ot G + g Ozz G = O on z = O
(7)
O G
G a n d - ~ - = 0 f or t - 7 . < 0
A n i n t e g r a l e q u a t i o n w h i c h m u s t b e s o l v e d t o d e t e r -
m i n e (I)7 o n t h e b o d y s u r f a c e i s o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h e
G r e e n t h e o r e m t o th e v o l u m e o f fl ui d b o u n d e d b y th e
b o d y s u r f a c e , t h e f re e su r f a c e , a n d t h e s u r r o u n d i n g s u r -
f a c e a t i n f i n it y a n d t h e n i n t e g r a t i n g b o t h s i d e s w i t h
r e s p e c t t o r f r o m - o o t o t * . T h e i n t e g r a l s o v e r th e f r e e
s u r f a c e a n d t h e s u r f a c e s a t i n f i n it y v a n i s h b e c a u s e o f t h e
b o u n d a r y c o n d i t io n s . U s i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n
t h e b o d y ( 4 ) g i v e s t h e f i n a l r e s u l t :
I t
7 ( P ,
t ) + - ~ d r
dSQ47(Q,
7")
- o o
So
0
x - - G ( P , Q , t - r ) (8)
OnQ
S
7r d r d S o G ( P , Q , t - r )
So
0
x ~ n Q 4 o ( Q , 7 .) P e S o
T h e h y d r o d y n a m i c f o r c e s a c t i n g o n t h e b o d y a r e f o u n d
b y u s in g t h e li n e a r i z e d B e r n o u l l i ' s e q u a t i o n , a n d i n t e -
g r a t i n g t h e p r e s s u r e o v e r t h e b o d y s u r f a c e a s f o ll o w s
F j ( t ) = F j o ( t ) + F i r ( t )
f l 0 4 0 f l 0 4 7 ( 9 )
= - 0 ds nj ~ - - P ds ni 0--7-
w h e r e
F jo = F r o u d e - K r y l o v e x c i t in g f o r c e i n t h e j t h
d i r e c t i o n
F i T = D i f f r a c t i o n e x c i t i n g f o r c e i n t h e j t h
d i r e c t i o n
j - - ( 1 , 2 , 3 ) f o rc e s a l o n g t h e x , y , z a x is
r e s p e c t i v e l y
j = ( 4 , 5 , 6 ) m o m e n t s a b o u t t he x , y , z a x i s
r e s p e c t i v e l y
n j = g e n e r a l i z e d u n i t n o r m a l
( h i , n 2 , n 3 ) = n
(m , ns , n6) = r × n
r = ( x , y , z )
3 . L I N E A R S Y S T E M T H E O R Y A N D T H E
D I F F R A C T I O N B O D Y B O U N D A R Y C O N D I T I O N
B e c a u s e t h e h y d r o d y n a m i c p r o b l e m i s l i n e a r , l i n e a r
s y s t em t h e o r y m a y b e u s e d t o p u t t h e e x p r e s s io n f o r t h e
F r o u d e - K r y l o v f o r c e a n d t h e d i f f r a c t i o n e x c i t i n g f o r c e
i n t h e f o r m o f a c o n v o l u t i o n o f t h e a r b i t r a r y i n c i d en t
w a v e a m p l i t u d e w i t h a k e r n e l f u n c t i o n w h i c h i s i n d e p e n -
d e n t o f t h e i n c id e n t w a v e a m p l i t u d e .
F o r t h e F r o u d e - K r y l o v e x c i t i n g f o r c e w e s e e k a
f u n c t i o n ,
K j o ( P , t )
s u c h t h a t t h e f o r c e o n t h e b o d y a s a
f u n c t i o n o f t i m e c a n b e w r i tt e n i n t h e f o r m :
S S S
~o( t ) = d r ~ ' o ( t - r ) d s ~ O ( Q , r ) n j
-co
s , ,
( l O )
f ~ ) K j
d r ~'o t - r o r )
- o o
T h e f u n c t i o n / ~ ( P , t ) is e f f e c t iv e l y t h e t i m e h i s t o r y o f t h e
p r e s s u r e a t a p o i n t P c a u s e d b y a n i n c i d e n t w a v e w h o s e
e l e v a t i o n i s a n i m p u l s e a t t h e o r i g i n a t t i m e t = 0. T h e
w a v e i s s i m i la r t o t h e w a v e s y s t e m p r o d u c e d i n th e
C a u c h y P o i s s o n p r o b l e m o f L a m b 6 e x c e p t t h a t t h e
2 0 A p p l i e d O c e a n R e s e a r c h , 1 9 8 9 , V o l . 11 , N o . 1
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W a v e e x c it i n g f o r c e s o n f l o a t i n g b o d i e s a t ze r o f o r w a r d s p e e d: R . F . B e c k a n d B . K i n g
w a v e s a r e t r a v e l l i n g a s o p p o s e d t o t h e w a v e s r e s u l t i n g
f r o m a n i n i t i a l d i s t u r b a n c e . T h e e l e v a t i o n a t t h e o r i g i n
h a s t h e u n i q u e p r o p e r t y o f b e i n g z e r o f o r a l l t i m e e x c e p t
t = 0 whe re i t i s in f in i t e .
T h e f u n c t i o n / ~ i s r e a l a n d s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n t h a t
/ ~ ( P , t ) - - ' 0 a s t - - , - o o . I t d o e s n o t s a t i s f y t h e u s u a l
c a u s a l i t y c o n d i t i o n o f b e i n g e q u a l t o z e r o f o r t l e s s t h a n
0 . T h i s d o e s n o t i m p l y t h a t t h e s y s t e m is a n t i c i p a t o r y i n
n a t u r e . T h e c o n d i t i o n r e s u l t s f r o m t h e f a c t t h a t w h e n a
w a v e a r r i v e s a t t h e o r i g i n i t h a s a l r e a d y c o n t a c t e d t h e
b o d y ( a n d e x e r t e d a p r e s s u r e ) a t s o m e e a r l ie r t i m e . T h e
t i m e d e l a y i n c r e a s e s a s t h e w a v e l e n g t h d e c r e a s e s a n d
h e n c e t h e r e i s n o a b s o l u t e l i m i t e x c e p t t = - o o .
T o d e t e r m i n e t h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n f o r th e
F r o u d e - K r y l o v e x c i t i n g f o r c e , ~ 'o ( t) i s a s s u m e d t o b e a
u n i t a m p l i t u d e s i n u s o i d a l w a v e o f t he f o r m
~ ' o ( t ) = e i~t ( 1 1 )
F o r s i n u s o i d a l w a v e s w i t h a n a m p l i t u d e g i v e n b y ( 1 1 ) ,
t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l i s
Cbo = i g ek z e_ ik ~ ei~t (12)
t.d
w h e r e w = w a v e f r e q u e n c y
k = 2[g
= x cos /3 + y s in 13
13 = w a v e h e a d i n g a n g l e
A n e x p li c it e x p r e s s io n f o r / ~ ( P , t ) is f o u n d b y e q u a t i n g
t h e f o r m s o f t h e F r o u d e - K r y l o v e x c i t i n g f o r c e g i v e n b y
( 9 ) a n d ( 1 0 ) a n d s u b s t i t u t i n g e q u a t i o n s ( 1 1) a n d ( 1 2 ). A n
i n v e rs e F o u r i e r t r a n s f o r m i s t h e n t a k e n t o o b t a i n / ~ ( P , t )
a s a f u n c t i o n o f t i m e . T h e i n v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m i s
d e f in e d b y t he t r a n s f o r m p a i r :
F(~o) = d t f ( t ) e - i ° 't
(13)
1
f ( t ) = ~ -~ f ~ d w F ( ~ 0 ) e "~ '
I n o r d e r t o t a k e t h e in v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m , n e g a t i v e
v a l u es o f t h e f r e q u e n c y r a n g e m u s t b e c o n s i d e r e d . S i nc e
/ ~ ( P , t ) i s r e a l , th e c o n t i n u a t i o n o f ( 1 2) m u s t b e c o m p l e x
c o n j u g a t e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o w . T h e f i n a l r e s u l t
is:
1 5 ( P , t ) = p g R e d~o e kz e i( '°t -k~ ) (14)
71" 0
T o s o l v e f o r t h e d i f f r a c t i o n p o t e n t i a l , l i n e a r s y s t e m
t h e o r y i s a g a i n u s e d . F i r s t t h e n o r m a l v e l o c i t y i n d u c e d
o n t h e b o d y s u r f a c e b y t h e i n c i d e n t w a v e i s p u t i n t h e
f o r m
_0
C bo tP , t ) = n . I ~ d r K ( P , t - r ) ~ ' o ( r ) (15)
On - ~ --
w h e r e
n_ = u n i t n o r m a l t o b o d y s u r f a c e
= (n l , n2 , n 3 )
~ 'o ( r ) = a r b i t r a r y i n c i d e n t w a v e a m p l i t u d e a t t h e
o r i g i n
T h e v e c t o r f u n c t i o n , K ( P , t ) , i s e f f ec t i ve l y t h e i m p u l s e
r e s p o n s e f u n c t i o n f o r t h e in c i d e n t w a v e v e l o c it y . W h e n
i t i s c o n v o l v e d w i t h t h e a r b i t r a r y i n c i d e n t w a v e
a m p l i t u d e , i t g i v es th e i n d u c e d v e l o c i ty o n t h e b o d y s u r -
f a c e . K is a r e a l f u n c t i o n w h i c h g o e s t o z e r o a s t - -, - ~ .
U n l i k e a n o r m a l i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n i t i s n o t z e r o
f o r t < 0 . A s w i t h t h e i n c i d e n t w a v e k e r n e l , t h i s o c c u r s
b e c a u s e t h e r e i s a n i n d u c e d v e l o c i ty o n t h e b o d y s u r f a c e
b e f o r e t h e i m p u l s i v e w a v e f o r m s a t t h e o r i g i n .
T h e d i f f r a c t e d w a v e p o t e n t i a l m a y a l s o b e d e f i n e d i n
t e r m s o f a n i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n
S
b 7 ( P, t ) = d r ~ 7 ( P , t - r ) f o ( r ) (16)
- - o o
w h e r e 4 ; 7 (P , t ) i s t h e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n f o r t h e
d i f f r a c t i o n p o t e n t i a l . @ ( P , t ) i s f o u n d b y s u b s t i t u t i n g
( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) i n t o ( 8 ) . A f t e r i n t e r c h a n g i n g t h e o r d e r s o f
i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t to t i m e , a n d s e v e r a l c h a n g e s o f
v a r i a b l e s t h e f i n a l r e s u l t i s
S I f
7 ( P , t ) + 1 d r d s o ~ v ( Q , r )
2 " f f - - ~
So
0
× a n O G ( P , Q , t -
r ) ( 1 7 )
= 1 , d r I f d S e G ( P ' Q ' t - r )
So
X ( n " K ( Q , r ) )
E q u a t i o n ( 1 7 ) c o u l d b e d e r i v e d i n a n a l t e r n a t e m a n n e r
b y a s s u m i n g ~ 'o ( t) i s a n i m p u l s i v e w a v e s u c h t h a t
.~o (t ) = 6 ( t ) .
E q u a t i o n ( 1 5 ) i s t h e n r e d u c e d t o
a,I,o
= n . K ( P , t )
(18)
On
S u b s t i t u t i n g ( 1 8 ) i n t o ( 8 ) t h e n r e s u l t s i n ( 1 7 ) . I n t h i s
f o r m , i t is c l e a r t h a t q ~ 7 (P , t ) i s t h e d i f f r a c t e d p o t e n t i a l
d u e t o a n i m p u l s i v e w a v e .
T o d e t e r m i n e K ( P , t ) t h e k n o w n r es u lt f o r a
s i n u s o i d a l w a v e i s u s e d .
A s s u m i n g ~ ' o ( t ) = e i '° t - oo < t < oo , the n
0 % f ~
n - n _. d z K ( P , t - r ) e i ~ ( 1 9 )
- - c o
OCI, /cgn m a y a l s o b e f o u n d b y t a k i n g t h e d i r ec t i o n a l
d e r i v a t i v e o f t h e i n c i d e n t w a v e p o t e n t i a l :
0 ~ o
= n- [ (i cosl3 + j sin 13 + _ki)o~ e kz
e -ig= e i° 't
(20)
On
E q u a t i n g ( 1 9 ) a n d ( 2 0 ) a n d t a k i n g t h e i n v e r s e F o u r i e r
t r a n s f o r m d e f i n e d b y ( 1 3 ) r e s u l t s i n
K(P, t) = Re~/) ' sin 1 dc0~o e kz e -ik ~ e i°' (21 )
(Lk
i a o
A S w i t h t h e F r o u d e - K r y l o v e x c i t i n g f o r c e , i n t a k i n g t h e
i n v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m t h e f u n c t i o n o f f r e q u e n c y i s
m a d e c o m p l e x c o n j u g a t e s y m m e t r i c i n o r d e r t o i n s u re
t h a t K ( P , t ) i s r e a l.
F o r s m a l l v a l u e s o f z , e q u a t i o n ( 2 1) m a y b e d i f f ic u l t t o
e v a l u a t e n u m e r i c a l l y b e c a u s e o f t h e o s c i ll a t o r y n a t u r e o f
t h e in t e g r a n d . T h e p r o b l e m m a y b e a v o i d e d b y u s i n g a
n o n - i m p u l s i v e i n p u t w a v e .
A s s u m e t h e i n p u t w a v e h a s t h e f o r m
u ~
~ ' o( t) = a /~ g e - at2 - oo < t < ~ (22)
w h e r e L i s s o m e c h a r a c t e r i s ti c l e n g t h . T h i s f o r m o f t h e
i n p u t w a v e i s v e r y c o n v e n i e n t b e c a u s e a l l d e r i v a t i v e s o f
A p p l i e d O c e a n R e s e a r c h , 1 9 8 9 , V o l. 1 1, N o . 1
21
8/9/2019 Time-domain analysis of wave exciting forces on floating bodies at zero forward speed
4/7
Wave exc i ting forces on f loa t ing bod ies a t zero forw ard speed: R . F . B eck and B . King
~ '0 (t) a r e f i n it e a n d c o n t i n u o u s . I n c r e a s i n g t h e s i z e o f t h e
c o n s t a n t a w i ll a d j u s t t h e i n p u t t o a s c l o se t o a n
i m p u l s i v e w a v e a s d e s i r e d .
I n a d d i t i o n , t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f ( 2 2 ) h a s t h e
s i m p l e f o r m
F(£o (t )) = , . / - [L ] g ] e -
' °Z l 4 a (23)
w h e r e F ( . . . ) d e n o t e s th e F o u r i e r t r a n s f o r m d e f in e d b y
(13).
T h e v e l o c i ty p o t e n t i a l f o r t h i s in p u t is f o u n d b y
s o l v in g ( 8 ) d i r e c t ly . T h e i n p u t n o r m a l v e l o c i ty , 8~o/On,
i s d e t e r m i n e d f r o m ( 1 5 ) a s f o l l o w s :
O ¢ ' ° = n ' f : 0 n ~ d r K ( P ' t - r ) ~ g
(24)
= n • Vffo
w h e r e K(P , t - r ) i s g i v e n i n ( 2 1 ) . E q u a t i o n ( 2 4 ) m a y b e
e v a l u a t e d u s i n g ( 2 1 ) , ( 2 0 ) a n d t h e f a c t t h a t t h e F o u r i e r
t r a n s f o r m o f a c o n v o l u t i o n i s t h e p r o d u c t o f t h e i n -
d i v i d u a l F o u r i e r t r a n s f o r m s . T h e r e a l p a r t o f t h e i n v e r se
F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e p r o d u c t is t h e n t a k e n t o gi v e :
V * o ( P , t ) 1 ~ Z ( [ i cos 131
- - ~ gRe ~|)sinB|
L L _ J
o dcoco e kz e - ' : ' / 4" e ik,~ eio:l (25)
N o t e t h a t a s o p p o s e d t o ( 2 1 ) t h e i n t e g r a n d i n ( 2 5 ) c o n -
t a i n s t h e f a c t o r e -'~214a. T h i s e x p o n e n t i a l d e c a y m a k e s
t h e i n t e g r a l e a sy t o e v a l u a t e e v e n w h e n z i s sm a l l .
P h y s i c a l l y , t h i s c h o i c e o f ~ ' o ( t ) c o r r e sp o n d s t o a w a v e
s y s t e m w i t h e x p o n e n t i a l l y s m a l l s h o r t w a v e c o n t e n t .
U s i n g ( 2 5 ) , t h e so l u t i o n t o i n t e g r a l e q u a t i o n ( 8 ) i s t h e
d i f f r a c t i o n p o t e n t i a l f o r a n in c i d e n t w a v e a m p l i t u d e o f
t h e f o r m
~'0(t) = aa_~L
e - a t ' - .
T o f in d ~ 7 ( P , t ) , th e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n f o r t h e
d i f f r a c t e d w a v e p o t e n t i a l , r e c a l l t h a t f o r a l i n e a r sy s t e m
t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e o u t p u t i s e q u a l t o th e
F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e i n p u t t im e s t h e F o u r i e r
t r a n s f o r m o f th e i m p u l s e re s p o n s e f u n c t i o n . T h u s , i t
c a n b e d e t e r m i n e d t h a t
~ p ~ ( p , t ) = F - l ( F ( O ( P ' t - ) ) ~
\ F(~o(t)) ]
(26)
= F - ( . . . F ( 4 ~ ( P , t ) ) ~
[ L / / g ] e - '~ ]4a/
w h e r e F - ~ . . . ) = I n v e rs e F o u r i e r t r a n s f o r m
~ b( P, t ) = so l u t i o n o f ( 8 ) u s i n g ( 2 5 ) t o d e t e r m i n e
t h e i n d u c e d n o r m a l v e l o c i t i e s .
T h e e x c i t i n g f o r c e d u e t o t h e d i f f r a c t e d w a v e s i s
f o u n d b y su b s t i t u t i n g ( 1 6 ) i n t o ( 9 ) w h i c h r e su l t s i n
O
d r q 5 7 ( P , t -
r ) f o ( r )
F: ( t ) = -O dsn j ~ -oo
S o
(27a )
= f 7 ~o d r Kj 7 ( r ) ~o ( t - r )
w h e r e K j 7 ( t ) = - p dsnj ~ q ~ 7 ( P , t )
So
( 2 7 b )
T h e v a l u e o f g j 7 ( t ) m a y b e e a s i l y f o u n d b y i n t e r c h a n g -
i n g t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n o v e r t h e b o d y s u r f a c e w i t h
t h e t i m e d i f f e r e n t i a t i o n a n d r e c a ll in g t h a t d i f f e r e n t i a t i o n
w i t h r e sp e c t t o t i m e i s e q u i v a l e n t t o m u l t i p l y i n g t h e
F o u r i e r t r a n s f o r m b y ic o. I f t h e d i f f r a c t e d w a v e e x c i ti n g
f o r c e d u e t o a w a v e a m p l i t u d e g i v e n b y
a~gge _ a t , -
is d e f i n e d a s t h e t i m e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n
gj ( t ) = - p I t dsn jO(P, t ) (28)
St)
i t c a n t h e n b e sh o w n u s i n g ( 2 7 b ) a n d ( 2 6 ) t h a t :
KiT(t) = F - ' ( icoF(gj(t ) ~ (29)
,/[ L / g ] e ~ / 4 a ]
I n n u m e r i c a l l y e v a l u a t i n g ( 2 9 ) c a r e m u s t b e t a k e n
b e c a u s e a t l a r g e co t h e q u o t i e n t a p p r o a c h e s 0 o v e r 0 . T o
d e t e r m i n e t h e p r o p e r l i m i t , i t i s n o t e d t h a t t h e
n u m e r a t o r s i m p l y r e p r e s e n t s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f
t h e e x c i t i n g f o r c e d u e t o t h e i n c i d e n t w a v e g i v e n b y ( 2 2 ).
T h u s , ( 2 9 ) m a y b e r e w r i t t e n a s
,
{ xj
c o ) , , i i g ] e
z ] ~
3 0 )
Kj7(t) = F - \ , /~L/g]e_~:14" j
w h e r e X;(co) r e p r e s e n t s t h e t r a d i t i o n a l c o m p l e x
f r e q u e n c y - d o m a i n d i f f r a c t i o n f o r c e r e s p o n s e a t f r e -
q u e n c y co. W h i l e n o t p r o v e n h e r e , i t i s r e a s o n a b l e t o
e x p e c t X j (c o ) t o b e a b so l u t e l y i n t e g r a b l e a n d t h e i n v e r se
F o u r i e r t r a n s f o r m t o b e w e l l d e f i n e d . N u m e r i c a l l y , f o r
l a r g e v a l u e s o f co , t h e t e r m icoF(gj(t)) i n ( 2 9 ) c a n n o t b e
e x p e c t e d t o h a v e e x a c t l y t h e s a m e e x p o n e n t i a l d e c a y
a s t h e d e n o m i n a t o r . T o o b t a i n r e a s o n a b l e n u m e r i c a l
r e s u lt s , a c u t - o f f f r e q u e n c y i s u s e d a n d t h e v a l u e o f t h e
a r b i t r a r y c o n s t a n t a m u s t b e c h o s e n s u f f ic i e n tl y l a rg e
t h a t t h e n u m e r a t o r (io~F(gj(t))) b e c o m e s s m a l l b e f o r e
t h e e x p o n e n t i a l i n t h e d e n o m i n a t o r . I t h a s b e e n f o u n d
t h a t f o r r e a s o n a b l e v a lu e s th e p a r a m e t e r a h a s n o e f fe c t
o n t h e r e su l t s . S p e c i f i c a l l y , a v a l u e f o r a w a s c h o se n
su c h t h a t t h e e x p r e s s i o n e ~ / 4 o w a s n o sm a l l e r t h a n 0 .1
f o r v a l u e s o f co w i t h i n t h e r a n g e o f i n t e r e s t . T y p i c a l
v a l u e s o f a L / g w e r e a r o u n d 1 .0 .
T o s u m m a r i z e , t h e t o t a l e x c i ti n g f o r c e in t h e j t h
d i r e c t i o n a c t i n g o n t h e v e s s e l a t z e r o f o r w a r d s p e e d f o r
a r b i t r a r y l o n g c r e s t e d s e a s i s g i v e n b y
F , ( t ) = f ~ d r ~ o ( t - r ) K j o ( r )
(31)
+ I ~ d T ~ o ( t - ~ ) K j 7 ( r )
K j o ( r ) is f o u n d b y d i r e c t i n t e g r a t i o n o f t h e f u n c t i o n
/ ~ ( P , t ) ( e q n . ( 1 4 )) o v e r t h e b o d y su r f a c e a s g i v e n i n ( 1 0 ) .
Kj7(r) i s d e t e r m i n e d b y e v a l u a t i n g t h e F o u r i e r
t r a n s f o r m g i v e n in ( 2 9 ). T h e t i m e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c -
t i o n
gj(t )
i s t h e n o n - i m p u l s i v e e x c i ti n g f o r c e i n t h e j t h
d i r e c t i o n d u e to a n i n c i d e n t w a v e a m p l i t u d e o f th e f o r m
a ~ g e _ a t 2
22 Ap plie d Ocean Research, 1989, Vol . 11, No. 1
8/9/2019 Time-domain analysis of wave exciting forces on floating bodies at zero forward speed
5/7
Wave exciting forces on floating bodies at zero forward speed: R. F. Beck and B. King
f r o m d i r e c t i o n ¢3. T h i s f o r c e i s f o u n d b y e v a l u a t i n g ( 2 8)
w h e r e q ~ (P , t ) i s t h e s o l u t i o n t o t h e i n t e g r a l e q u a t i o n ( 8 )
w i t h t h e in d u c e d v e l o c i t y o n t h e b o d y s u r f a c e g i v e n b y
(25).
4 . N U M E R I C A L M E T H O D S
I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e d i f f r a c t e d w a v e p o t e n t i a l a n d
r e s u l t i n g f o r c e s d u e t o a n a r b i t r a r y i n c i d e n t w a v e o n a n
a r b i t r a r y b o d y m a y b e f o u n d u s i n g r e l a t i o n s ( 1 6 ) , ( 2 6 )
a n d ( 2 7 ) . T h e s e r e l a t i o n s r e q u i r e t h a t t h e p o t e n t i a l
q ~( P, t ) d u e t o a n i n c i d e n t w a v e o f t h e f o r m
f ~
~'o(t) = ~jra-~Lge - a t Z
b e f o u n d . T h i s p o t e n t i a l m a y b e c o m p u t e d u s i n g a
n u m e r i c a l d i s c r e t i z a ti o n o f e q u a t i o n ( 8 ). T h e s u r f a c e i n -
t e g r a l s a r e p e r f o r m e d b y d i v i d i n g t h e b o d y s u r f a c e i n t o
M p l a n e p a n e l s w h i c h h a v e c o n s t a n t p o t e n t i a l s tr e n g t h s .
T h e c o n v o l u t i o n i n t e g r a l s i n t i m e a r e p e r f o r m e d b y a
t r a p e z o i d a l r u l e f r o m to t o
tN.
T h e d i s c r e t i z e d i n t e g r a l
e q u a t i o n t a k e s t h e f o r m o f a s y s t e m o f a lg e b r a i c e q u a -
t i o n s g i v e n a s
~ (P m 'tN ) ] -1271
= 1
~ )(Q i , N ) f f O S Q ~Q O ( 1 _ 1 )
S~
I x ( ' r l )
1 dSQ - ~ - n . V ~ o ( Q , t u )
2 r i = 1 i
(32)
+ At ~ dSQG( Pm,Q, tN-n)n
n = l i
• WI,o ( Q , t . ) - ~ b (Q ~ , t . )
1t
dSo
Si
0 G(Pm, Q, tN-n)]l m= 1,2, . . . ,M
w h e r e n • V O o is g i v e n b y ( 2 4 ) . T h e e n d p o i n t s o f t h e
t r ap e z o -[ d a l r u l e s u m m a t i o n d o n o t a p p e a r b e c a u s e o f
t h e c h o i c e o f i n i t i a l t im e a t w h i c h q ~ (Q , t o ) = 0 a n d t h e
c o n d i t i o n t h a t G(P, Q , t ) = 0 f o r t < 0 . T h e R a n k i n e
s o u r c e t e r m s a r e c a l c u l a t e d u s i n g a n a l y t i c e x p r e s s i o n s
f o l l o w i n g H e s s a n d S m i t h . T h e i n t e g r a ls i n v o l v i n g t h e
w a v e te r m s o f th e G r e e n f u n c t i o n a r e p e r f o r m e d u s i n g
2 x 2 G a u s s i a n q u a d r a t u r e . T h e n u m e r i c a l m e t h o d s
u s e d t o e v a l u a t e
G(P, Q, t)
a r e d i s c u s se d i n d e t a i l i n
B e c k a n d L i a p i s 2 a n d K i n g 7 .
5 . R E S U L T S
T h e t e c h n i q u e w a s t e s t e d o n a f l o a t in g h e m i s p h e r e s i n c e
a c c u r a t e r e s u l t s a r e a v a i l a b l e f r o m o t h e r m e t h o d s f o r
c o m p a r i s o n . T a k i n g a d v a n t a g e o f th e b o d y s y m m e t r y ,
t h e i n t e g r a l e q u a t i o n ( 3 2) w a s s o l v e d w i t h p a n e l s o n 1 / 4
o f t h e s u b m e r g e d h e m i s p h e r e ' s s u r f a c e .
F i g u r e s 1 a n d 2 s h o w t h e F r o u d e - K r y l o v a n d d i f f r a c -
t i o n f o r c e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n s f o r a s p h e r e o f
r a d i u s R , r e s p e c t i v e l y . T h e t w o m o d e s o f m o t i o n o f
h e a v e a n d s w a y a r e s h o w n . I n F i g u r e 1 , t h e F r o u d e -
K r y l o v e x c i t in g f o r c e i s e v e n a b o u t t = 0 f o r h e a v e a n d
i t i s o d d f o r sw a y . T h i s i s t h e r e su l t o f t h e i m p u l s i v e
w a v e p r e s s u r e w h i c h i s a n e v e n f u n c t i o n i n t i m e a b o u t
t = 0 . S i n c e n 3 is a l w a y s p o s i t i v e , t h e h e a v e F r o u d e -
' - I S w o Y . . . . . . . [
- '-*J ** -s ** -J .. -, . -~ ~o .~* 3,~* , ~0 J~* ,.~, ,* ~
q-ff
Figure 1. The Froude-Krylov impulse response func-
tion for a sphere in heave and sway
• •
,.g* ,.~* *3** i.l,, ,. u
Figure 2. The diffraction impulse response function for
a sphere in heave and sway
K r y l o v f o r c e e x h i b i t s a v e r y l a r g e h u m p a n d i s e v e n
a b o u t t = 0 . T h e f u n c t i o n n 2 i s o d d i n s p a c e s o t h a t t h e
s w a y i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n i s a l s o o d d a n d d i s p l a y s
m a n y h u m p s . T h e a r e a u n d e r t h e K jo c u r v e is p r o p o r -
t i o n a l t o t h e z e r o f r e q u e n c y F r o u d e - K r y l o v e x c it i n g
f o r c e . F o r t h i s r e a s o n , t h e i n t e g r a l o f K 2 o ( t ) w i t h r e s p e c t
t o t i m e i s z e r o a n d t h e h e a v e c u r v e i n t e g r a t e s t o 1
b e c a u s e o f t h e n o n d i m e n s i o n a l i z a t i o n .
T h e d i f f r a c t i o n e x c i t i n g f o r c e i m p u l s e r e s p o n s e f u n c -
t i o n s s h o w n i n F i g u r e 2 d o n o t d i s p l a y t h e s a m e n i c e
s y m m e t r y p r o p e r t i e s a s t h e F r o u d e - K r y l o v f o r c e s.
B e c a u s e o f t h e m e m o r y e f f e c t s o f t h e d i f f r a c t e d w a v e
s y s t e m , t h e r e s u l ts a r e n e i t h e r o d d o r e v e n . I n a d d i t i o n ,
t h e c u r v e s a r e m o r e o s c i l l a t o r y d u e t o i n t e r f e r e n c e
e f f e c t s .
F i g u r e s 3 a n d 4 p r e s e n t t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e o f
t h e t o t a l e x c i ti n g f o r c e v e r s u s kR f o r t h e s p h e r e i n s w a y
a n d h e a v e r e s p e c t i v e l y . T h r e e s e t s o f r e s u l t s a r e s h o w n
i n t h e f i g u r e s . T h e s o l i d l i n e s a r e f r e q u e n c y - d o m a i n
r e s u lt s o b t a i n e d f r o m t h e t i m e - d o m a i n r e s u l ts b y t a k i n g
t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f e q u a t i o n ( 3 0 ). T h e p l u s si g ns
a r e t h e r e s u l t s o f C o h e n S u s i n g a m u l t i p o l e e x p a n s i o n .
T h e c i rc l es w e r e c o m p u t e d b y B r e i t 9 u s in g a h i g h e r
o r d e r p a n e l m e t h o d . A s c a n b e s e e n t h e r e s u l t s a g r e e
v e r y c l o se l y .
T h e r e s u l t s o f F i g u r e s 3 a n d 4 a r e s o m e w h a t m i s l e a d -
i n g b e c a u s e a l l t h r e e m e t h o d s p r e d i c t t h e F r o u d e - K r y l o v
p a r t o f t h e e x c i t i n g f o r c e w i t h e q u i v a l e n t a c c u r a c y .
S i nc e t h is c o m p o n e n t o f t h e f o r c e d o m i n a t e s f o r a b o u t
h a l f t h e kR r a n g e s h o w n , t h e r e s u l t s c o m p a r e e x t r e m e l y
w e l l. F i g u r e s 5 a n d 6 s h o w o n l y t h e d i f f r a c t i o n e x c it i n g
f o r c e c o m p o n e n t . I n t h e s e f i g ur e s B r e i t 's r e s u l ts a r e n o t
Applied Ocean Research, 1989, VoL 11, No. 1 2 3
8/9/2019 Time-domain analysis of wave exciting forces on floating bodies at zero forward speed
6/7
Wave exciting forces on floating bodies at zero forward speed: R. F. Beck and B. King
* e - - I
' ° - ~ T i m e D o m o i n - -
C o h e n +
° ° ~ ° , = = . ~ o , . ~ °
k R
I . . . . . . . . . ]
O h e n +
a , e l l
o o
k R
Figure 3. The amplitude and phase o f the total sway ex-
citing force acting on a sphere versus nondimensional
wave frequency (kR). The solid line was obtained by
Fourier transform of the impulse response function.
Cohen's results were calculated using multipole
expansions. Breit's results were computed using a
higher-order panel metho d in the frequency domain
i i i
o h l n
H o l k i n d
0
Figure 5. The amplitude and phase o f the diffraction
sway exciting force acting on a sphere versus nondimen-
sional wave frequency (kR). The solid line was obtained
by Fourier transform of the impulse response function
shown in Figure 2. Cohen s results were calculated using
multipole expansions. The circles were comput ed using
the Haskind relations in the time domain
i m e
o m o i n
C o h e n +
B r e i t 0
kR
C o h ~ +
kR
Figure 4. The amplitude and phase o f the total heave
exciting force acting on a sphere versus nondimensional
wave frequency (RR). The solid line was obta ined by
Fourier transform of the impulse response function.
Cohen s results were calculated using multipole
expansions. Breit's results were computed using a
higher-order panel method in the frequency domain
s h o w n s i n c e h e o n l y c o m p u t e d t h e t o t a l e x c i t i n g f o r c e .
T h e y a r e r e p l a c e d b y r e s u lt s u s in g t h e H a s k i n d r e l a t i o n s
d e v e l o p e d b y W e h a u s e n . 4 T h e H a s k i n d r e l a ti o n s d e t e r -
m i n e t h e d i f f r a c t i o n e x c i t i n g f o r c e i n t e r m s o f t h e i n c i -
d e n t w a v e p o t e n t i a l a n d t h e s o l u t i o n t o t h e f o r c e d
o s c i l l a t i o n p r o b l e m . T h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n F i g u r e s 5
a n d 6 w e r e c o m p u t e d b y L i a p i s u s i n g t h e s o l u t i o n t o
f o r c e d h e a v e o r s w a y g i v e n i n B e c k a n d L i a p i s 2 ( 1 9 87 ) .
T h e a g r e e m e n t is a g a i n g o o d . A t h i g h f r e q u e n c i e s
d i f f e r e n c e s b e g i n t o a p p e a r i n t h e s w a y a m p l i t u d e .
.,,M
J i I
. .
kR
~o
2:;'7.,
Figure 6. The amplitude and phase o f the diffraction
heave exciting force acting on a sphere versus non-
dimensional wave frequency (kR). The solid line was
obtained by Fourier transform of the impulse response
function shown in Figure 2. Cohen's results were
calculated using mult ipole expansions. The circles were
computed using the Haskind relations in the time
domain
F u r t h e r m o r e , t h e r e is a s li g h t h u m p i n th e h e a v e t i m e -
d o m a i n c u r v e a r o u n d kR = 2 . 2 . T h e r e a s o n f o r t h i s
h u m p i s n o t k n o w n .
T o i n v e s t i g a t e t h e a c c u r a c y o f t h e c o n v o l u t i o n i n -
t e g r a l f o r t h e e x c i t in g f o r c e s ( e q u a t i o n ( 3 1) ) , th e e x c i t i n g
f o r c e i n a r a n d o m s e a w a s c o m p u t e d u s in g e q u a t i o n ( 31 )
a n d a f r e q u e n c y - d o m a i n a d d it i on . T h e p s e u d o - r a n d o m
s e a s h o w n i n F ig u r e 7 w a s p r o d u c e d b y s u m m i n g s ix
u n i t s i n e c u r v e s o f t h e w a v e l e n g t h s s h o w n o n t h e f i g u r e .
2 4 Applied Ocean Research, 1989, Vol. 11, No. 1
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7/7
W a v e e x c i ti n g f o r c e s o n f l o a t i n g b o d i e s a t ze r o f o r w a r d s p e e d: R . F . B e c k a n d B . K i n g
T h e i n c i d e n t e l e v a t i o n i s g i v e n a s
6
g ' o ( t ) = ~ s i n ( [ ~ ] t ) ,
i = 1
w h e r e k ~ is t h e w a v e n u m b e r o f t h e j t h c o m p o n e n t .
T h e h e a v e e x c i t i n g fo r c e a s a f u n c t i o n o f t i m e a c t i n g
o n t h e s p h e r e d u e t o th e p s e u d o - r a n d o m e x c i t a ti o n o f
F i g u r e 7 i s s h o w n i n F i g u r e 8. T h e d a t a l a b e l e d a s f r e -
q u e n c y d o m a i n w e r e c o m p u t e d b y s u m m i n g ( w i th
p r o p e r a m p l i t u d e a n d p h a s e ) t h e e x c i t i n g f o r c e s d u e t o
e a c h o f t h e 6 i n d i v i d u a l s i n e w a v e c o m p o n e n t s . T h e t i m e
d o m a i n l in e w a s o b t a i n e d u s i n g ( 3 1) a n d t h e i m p u l s e
r e s p o n s e f u n c t i o n s f o r h e a v e p r e s e n t e d i n F i g u r e s 1 a n d
2 . T h e t w o s e t s o f r e s u l t s a g r e e e x c e p t n e a r t = 0 , w h e r e
t h e r e i s a s t a r t in g t r a n s i e n t i n t h e t i m e d o m a i n . I t s h o u l d
b e n o t e d t h a t b y t h e a s s u m p t i o n s u s e d t o c o m p u t e t h e
f r e q u e n c y d o m a i n r e s u l ts , t h e e x c i t a t i o n c o n t i n u e s
i n d e f i n i t e ly f r o m t - - - Q o t o t =
oo .
T h e t i m e d o m a i n
a p p r o a c h c o r r e c t l y p r e d i c t s t h e s t a r t i n g t r a n s i e n t . I t
m a y b e n o t e d t h a t f o r t h e e x a m p l e s s h o w n , t h e s p h e r e
h a d 6 5 p a n e l s o n 1 /4 o f th e s u b m e r g e d s u r f a c e . W i t h
r e g a r d t o c o n v e r g e n c e o f t h e n u m e r i c a l s c h e m e i t w a s
f o u n d t h a t t h e r e s u l t s f o l l o w e d c l o s e l y t h e f i n d i n g s o f
B e c k a n d L i a p i s 2 f o r t h e p r o b l e m o f w a v e r a d i a t i o n b y
t h e s a m e b o d y .
C O N C L U S I O N S
S o l v i n g t h e e x c i t in g f o r c e p r o b l e m d i r e c t l y i n t h e t i m e
d o m a i n i s a v i a b le a l te r n a t i v e t o t h e m o r e c o n v e n t i o n a l
f r e q u e n c y - d o m a i n a p p r o a c h . A t z e r o f o r w a r d s p e e d t h e
f r e q u e n c y - d o m a i n a p p r o a c h i s p r o b a b l y c o m p u t a t i o n -
a l l y f a s t e r b e c a u s e o f t h e c o n v o l u t i o n i n t e g r a l s a n d t i m e
s t e p p i n g w h i c h i s r e q u i r e d i n t h e t i m e d o m a i n . T h e n e x t
s t e p is t o e x t e n d t h e t h e o r y t o i n c l u d e f o r w a r d s p e e d .
v v v v
- ° s l e 9 1 h |
- . . 1 o , , : : ' 2 ; : i : . . . . . . . , . . . . , . . . . . , . . . . , . . . . . .
F i g u r e 7 . I r r e g u l a r w a v e a m p l i t u d e v e r s u s n o n d i m e n -
s i o n a l t im e . T h e w a v e a m p l i t u d e i s f o r m e d b y s u m m i n g
s i x s i n e w a v e s o f t h e f r e q u e n c i e s s h o w n . T h e s t a r t in g
p h a s e s w e r e a ll s e t e q u a l t o z e r o
...*-4
A m 0m on A
: : , °q 0 . . . . •
A A
i v V t v
, v ~
. * , .~.o ,o?x s.~. l . .~°° .°~. . .?~ ,o . .0 0 . .~°° ,° . ,~ , , . ' . ° ,~¢.** ,~. '**
F i g u r e 8 . I r r e g u la r e x c i t in g f o r c e a c t in g o n t h e s p h e r e
d u e t o t h e w a v e a m p l i t u d e s h o w n i n F i g u r e 7 . T h e s o l i d
l in e is o b t a i n e d b y c o n v o l u t i o n i n t eg r a l in t h e t i m e d o -
m a i n . T h e d o t s a r e o b t a i n e d b y s u m m i n g t h e e x c it in g
f o r c e s d u e t o t h e s i x s i ne w a v e s in t h e f r e q u e n c y d o m a i n
A C K N O W L E D G E M E N T S
T h i s r e s ea r c h w a s s p o n s o r e d b y a n A c c e l e r a t e d
R e s e a r c h I n i t i a t i v e o f th e O f f ic e o f N a v a l R e s e a r c h ,
C o n t r a c t N o . N I 4 -8 5 - K -0 1 1 8 . C o m p u t a t i o n s w e re m a d e
i n p a r t u s i n g a C r a y G r a n t , U n i v e r s i t y R e s e a r c h a n d
D e v e l o p m e n t P r o g r a m a t th e S a n D i e g o S u p e r c o m p u t e r
C e n t e r .
R E F E R E N C E S
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