Tippens Fisica 7e Diapositivas 14 - Movimiento Armonico Simple

8/13/2019 Tippens Fisica 7e Diapositivas 14 - Movimiento Armonico Simple

1/41

Captulo 14Movimientoarmnico simple

Presentacin PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de Fsica

Southern Polytechnic State University

2007


2/41

Fotografa de Mark Tippens

UN TRAMPOLN ejerce una fuerza restauradora sobre elsaltador que es directamente proporcional a la fuerza promediorequerida para desplazar la colchoneta. Tales fuerzasrestauradoras proporcionan las fuerzas necesarias para que losobjetos oscilen con movimiento armnico simple.


3/41

Objetivos: Despus de terminaresta unidad, deber:

Escribir y aplicar la ley de Hookepara objetosque se mueven con movimiento armnicosimple.

Describir el movimiento de pndulosy calcular la longitud requerida paraproducir una frecuenciadada.

Escribir y aplicar frmulas paraencontrar frecuencia f, periodo T,velocidad vo aceleracinaen trminosde desplazamientoxo tiempo t.


4/41

Movimiento peridicoEl movimiento peridico simplees aquel movimiento en

el que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobre unatrayectoria fija y regresa a cada posicin y velocidaddespus de un intervalo de tiempo definido.

AmplitudA

El periodo, T, es el tiempopara una oscilacin

completa. (segundos,s)

La frecuencia, f, es el

nmero de oscilaciones (

revoluciones ) completas

por cada segundo. Hertz (s-1)

1f

T


5/41

Ejemplo 1: La masa suspendida realiza 30oscilaciones completas en 15 s. Cules son

el periodo y la frecuencia del movimiento?

x FPeriodo: T = 0.500 s

1 1

0.500 sf

T Frecuencia: f= 2.00 Hz

s0.50ciclos30

s15T


6/41

Movimiento armnico simple, MAS

El movimiento armnico simplees movimiento

peridico en ausencia de friccin y producido por una

fuerza restauradora que es directamente proporcional

al desplazamiento y de direccin opuesta.

Una fuerza restauradora, F,

acta en la direccin

opuesta al desplazamientodel cuerpo en oscilacin.

F= -kxx F


7/41

Ley de Hooke

Cuando un resorte se estira, hay una fuerzarestauradoraque es proporcional al

desplazamiento.

F = -kx

La constante de resorte k es unapropiedad del resorte dada por:

k =DF

Dx

F

x

m


8/41

Trabajo realizado para estirar un resort

F

x

m

El trabajo realizado SOBREel resortees positivo; el trabajo DELresorte es

negativo.

De la ley de Hooke la fuerza F es:

F (x) = kx

x1

x2

FPara estirar el resorte de

x1a x2, el trabajo es:

(Review module on work)

2

1212

221 kxkxTrabajo


9/41

Ejemplo 2: Una masa de 4 kg, suspendida deun resorte, produce un desplazamiento de 20cm. Cul es la constante de resorte?

F20 cm

m

La fuerza que estira es el peso(W = mg) de la masa de 4 kg:

F = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 N

Ahora, de la ley de Hooke, la

constante de fuerza k del resorte es:

k = =DF

D

x

39.2 N

0.2 m

k = 196 N/m


10/41

Ejemplo 2 (cont.): La masa m ahora se estirauna distancia de 8 cm y se sostiene. Cul es la

energa potencial? (k = 196 N/m)

F8 cmm

U = 0.627 J

La energa potencial es igual altrabajo realizado para estirar el

resorte: 0

2 2 (196 N/m)(0.08 m)U kx

2

12

12

22

1 kxkxTrabajo


11/41

Desplazamiento en MAS

m

x = 0 x = +Ax = -A

x

El desplazamiento espositivo cuando laposicin est a la derechade la posicin deequilibrio (x = 0) y negativocuando se ubica ala izquierda.

Al desplazamiento mximose le llama laamplitud A.


12/41

Velocidad en MAS

m

x = 0 x = +Ax = -A

v (+)

La velocidad es positiva cuando se mueve ala derechay negativacuando se mueve a la

izquierda. Es ceroen los puntos finales y un mximoen

el punto medio en cualquier direccin (+ o -).

v (-)


13/41

Aceleracin en MAS

m

x = 0 x = +Ax = -A

La aceleracin est en la direccin de la fuerzarestauradora. (aespositivacuando xesnegativa, y negativacuando x es positiva.)

La aceleracin es un mximoen los puntosfinales y es cero en el centro de oscilacin.

+x

-a

-x

+a

F ma kx


14/41

Aceleracin contra desplazamient

m

x = 0 x = +Ax = -A

x v

a

Dados la constante de resorte, el desplazamientoy la masa, la aceleracinse puede encontrar de:

o

Nota: La aceleracin siempre es opuesta al

desplazamiento.

F ma kx kxam


15/41

Ejemplo 3:Una masa de 2 kgcuelga en elextremo de un resorte cuya constante es k = 400N/m. La masa se desplaza una distancia de 12 cm

y se libera. Cul es la aceleracin en el instantecuando el desplazamiento es x = +7 cm?

m

+x

(400 N/m)(+0.07 m)

2 kga

a= -14.0 m/s2 a

Nota: Cuando el desplazamiento es +7 cm(hacia abajo),la aceleracin es -14.0 m/s2(hacia arriba)

independiente de la direccin de movimiento.

kx

a m


16/41

Ejemplo 4: Cul es la aceleracin mximapara la masa de 2 kgdel problema anterior?(A = 12 cm, k = 400 N/m)

m

+x

La aceleracin mxima ocurre cuandola fuerza restauradora es un mximo;es decir: cuando el alargamiento o

compresin del resorte es mayor.F = ma = -kx x

max= A

400 N( 0.12 m)

2 kg

kA

a m

amax= 24.0 m/s2

Mximaaceleracin:


17/41

Conservacin de energaLa energa mecnica total (U + K)de unsistema en vibracin es constante; es decir: esla misma en cualquier punto en la trayectoria deoscilacin.

m

x = 0 x = +Ax = -A

x v

a

Para cualesquier dos puntos A y B, se puede escribir:

mvA2+ kxA

2= mvB2+ kxB

2


18/41

Energa de sistema en vibracin:

m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

En cualquier otro punto: U + K = mv2+ kx2

U + K = kA2 x = A y v = 0.

En los puntos Ay B, la velocidad es cero y laaceleracin es un mximo. La energa total es:

A B


19/41

Velocidad como funcin de la posicin.m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

kv A

m

vmax

cuandox = 0:

2 2kv A xm

2 2 21 1 12 2 2

mv kx kA


20/41

Ejemplo 5:Una masa de 2 kgcuelga en el extremo dun resorte cuya constante es k = 800 N/m. La masa sdesplaza una distancia de 10 cmy se libera. Cul es lvelocidad en el instante cuando el desplazamiento es= +6 cm?

m+x

mv2+ kx 2= kA2

2 2kv A xm

2 2800 N/m

(0.1 m) (0.06 m)2 kgv

v = 1.60 m/s


21/41

Ejemplo 5 (Cont.):Cul es la velocidadmxima para el problema anterior? (A = 10

cm, k = 800 N/m, m = 2 kg.)

m+x

mv2+ kx 2= kA2

800 N/m(0.1 m)

2 kg

kv A

m

v = 2.00 m/s

0La velocidad es mxima cuando x = 0:


22/41

El crculo de referenciacompara

el movimiento circular de unobjeto con su proyeccin

horizontal.

w 2f

El crculo de referencia

cos(2 )x A ft

cosx A

t w

x = Desplazamiento horizontal.A = Amplitud (xmax).

= ngulo de referencia.


23/41

Velocidad en MASLa velocidad(v) de un

cuerpo en oscilacin encualquier instante es elcomponente horizontal desu velocidad tangencial

(vT).vT= wR = wA; w 2f

v = -vTsen; = wt

v = -wA sen w t

v = -2f A sen 2ft


24/41

La aceleracin(a)de un cuerpo

en oscilacin en cualquierinstante es el componentehorizontal de su aceleracincentrpeta (ac).

Aceleracin y crculo de referencia

a = -accos = -accos(wt)2 2 2

2;c cv R

a a RR R

ww

R = A

a = -w2

A cos(wt)2 24 cos(2 )a f A ft

2 2

4a f x


25/41

El periodo y la frecuencia comofuncin de ay x.

Para cualquier cuerpo que experimentemovimiento armnico simple:Dado que a = -42f2x y T = 1/f

1

2

af

x

2

xT

a

La frecuenciay el periodose pueden encontrar sise conocen el desplazamientoy la aceleracin.Note que los signos de ay x siempre sernopuestos.


26/41

Periodo y frecuencia como funcin dmasa y la constante de resorte.

Para un cuerpo en vibracin con una fuerzarestauradora elstica:

Recuerde que F = ma = -kx:

1

2

kf

m 2

mT

k

La frecuenciaf y el periodoTse puedenencontrar si se conocen la constante de resorte ky la masa mdel cuerpo en vibracin. Use

unidades SI consistentets.


27/41

Ejemplo 6: El sistema sin friccin que se muestraabajo tiene una masa de 2 kgunida a un resorte(k = 400 N/m). La masa se desplaza una distanciade 20 cmhacia la derecha y se libera. Cul es lafrecuencia del movimiento?

m

x = 0 x = +0.2m

x va

x = -0.2m

1 1 400 N/m2 2 2 kg

kfm

f = 2.25 Hz


28/41

Ejemplo 6 (Cont.): Suponga que la masa de2 kgdel problema anterior se desplaza 20

cmy se libera (k = 400 N/m). Cul es laaceleracin mxima? (f = 2.25 Hz)

mx = 0 x = +0.2m

x va

x = -0.2m

2 2 2 24 4 (2.25 Hz) ( 0.2 m)a f x

La aceleracin es un mximo cuando x = A

a= 40 m/s2


29/41

Ejemplo 6: La masa de 2 kgdel problemaanterior se desplaza inicialmente a x = 20cmy se libera. Cul es la velocidad 2.69 s

despus de liberada? (Recuerde que f= 2.25Hz.)

m

x = 0 x = +0.2m

x va

x = -0.2m

v = -0.916 m/s

v = -2f A sen 2ft

(Nota: en rads) 2 (2.25 Hz)(0.2 m)(0.324)v

El signo menos significaque se mueve hacia la

izquierda.

s2.69Hz2.252m0.2Hz2.252 senv


30/41

Ejemplo 7: En qu tiempo la masa de 2 kgse ubicar 12 cm a la izquierda de x = 0?(A = 20 cm, f = 2.25 Hz)

m

x = 0 x = +0.2m

x va

x = -0.2m

t = 0.157 s

cos(2 )x A ft

-0.12 m

10.12 mcos(2 ) ; (2 ) cos ( 0.60)0.20 m

xft ft

A

2.214 rad2 2.214 rad;2 (2.25 Hz)

ft t


31/41

El pndulo simple

El periodo de un pndulo

simpleest dado por:

mg

L

2 L

T

g

Para ngulos pequeos .

1

2

gfL


32/41

Ejemplo 8. Cul debe ser la longitud de unpndulo simple para un reloj que tiene unperiodo de dos segundos (tic-toc)?

2 L

Tg

L

22 2

24 ; L =

4

L T gT

g

2 2

2

(2 s) (9.8 m/s )

4L

L = 0.993 m


33/41

El pndulo de torsin

El periodo Tde unpndulo de torsinestdado por:

Donde k es una constante de torsin quedepende del material del que est hecho labarra; Ies la inercia rotacional del sistema envibracin.

2'

IT

k


34/41

Ejemplo 9: Un disco slido de 160 gse uneal extremo de un alambre, luego gira 0.8 rady se libera. La constante de torsin k es

0.025 N m/rad. Encuentre el periodo.(Desprecie la torsin en el alambre)

Para disco: I = mR2

I = (0.16 kg)(0.12 m)2

= 0.00115 kg m2

20.00115 kg m2 2

' 0.025 N m/rad

IT

k T = 1.35 s

Nota: El periodo es independiente del

desplazamiento angular.


35/41

ResumenEl movimiento armnico simple (MAS)es aquel movimientoen el que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobre unatrayectoria fija, y regresa a cada posicin y velocidaddespus de un intervalo de tiempo definido.

1f

T

F

x

m

La frecuencia (rev/s) es elrecproco del periodo (tiempo

para una revolucin).


36/41

Resumen (Cont.)

F

x

m

Ley de Hooke :En un resorte, hay una fuerzarestauradoraque es proporcional aldesplazamiento.

La constante de resorte k se define como:

Fk

x

D

D

F kx


37/41

Resumen (MAS)

F ma kx kx

am

m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

mvA2+ kxA

2= mvB2+ kxB

2

Conservacin de energa:


38/41

Resumen (MAS)

2 2k

v A xm

2 2 21 1 12 2 2

mv kx kA

0

k

v Am

cos(2 )x A ft 2 24a f x

ftfAv 2sen2


39/41

Resumen: Periodo y frecuenciapara resorte en vibracin.

m

x = 0 x = +Ax = -A

x va

1

2

af

x

2

xT

a

2 m

Tk

1

2

kf

m


40/41

Resumen: Pndulo simple y

pndulo de torsin2

LT

g

1

2

gf

L

L

2'

IT

k


41/41

CONCLUSIN: Captulo 14

Movimiento armnico simple

Date post:	04-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	dominnique-saba
View:	267 times
Download:	8 times

Tippens Fisica 7e Diapositivas 14 - Movimiento Armonico Simple

Documents