7/25/2019 tm314

1/7

T H E T E A C H I N G O F M A T H E M A T I C S

2 0 0 0 , V o l . I I I , 1 , p p . 5 3 { 5 9

A M E T H O D F O R O B T A I N I N G A S Y M P T O T E S

O F S O M E C U R V E S

J o v a n D . K e c k i c

A b s t r a c t . W e d e s c r i b e a q u i c k a n d a s i m p l e m e t h o d f o r o b t a i n i n g t h e a s y m p t o t e s

o f t h e c u r v e F ( x y ) = 0 , w h e r e F ( x y ) i s a p o l y n o m i a l i n x a n d y , w i t h e m p h a s i s o n

s e c o n d o r d e r p o l y n o m i a l s . U s i n g t h i s m e t h o d w e o b t a i n a s i m p l e c l a s s i c a t i o n o f s e c o n d

o r d e r c u r v e s .

A M S S u b j e c t C l a s s i c a t i o n : 0 0 A 3 5

K e y w o r d s a n d p h r a s e s : A s y m p t o t e s , c u r v e s , s e c o n d o r d e r c u r v e s .

1 . T h e u s u a l t e x t - b o o k p r o c e d u r e f o r n d i n g c o m m o n p o i n t s o f t h e s t r a i g h t

l i n e

( 1 ) y = k x + n

a n d t h e h y p e r b o l a

( 2 ) b

2

x

2

; a

2

y

2

= a

2

b

2

( a > 0 b > 0 )

c o n s i s t s i n s o l v i n g t h e s y s t e m ( 1 ) , ( 2 ) . E l i m i n a t i n g y b e t w e e n ( 1 ) a n d ( 2 ) w e o b t a i n

t h e e q u a t i o n

( 3 ) ( b

2

; a

2

k

2

) x

2

; 2 a

2

k n x ; ( a

2

n

2

+ a

2

b

2

) = 0

a n d a n a l y s i n g t h i s q u a d r a t i c e q u a t i o n ( i t m a y h a v e t w o , o n e o r n o s o l u t i o n s i n R )

w e a r r i v e a t t h e w e l l - k n o w n c o n c l u s i o n s r e g a r d i n g t h e l i n e ( 1 ) a n d t h e c u r v e ( 2 ) .

H o w e v e r , i t i s o f t e n o v e r l o o k e d t h a t ( 3 ) i s a q u a d r a t i c e q u a t i o n o n l y i f b

2

; a

2

k

2

6= 0 .

I f b

2

; a

2

k

2

= 0 t h e e q u a t i o n ( 3 ) r e d u c e s t o

2 a b n x ; ( a

2

n

2

+ a

2

b

2

) = 0

t h a t i s t o s a y t o t w o l i n e a r e q u a t i o n s , e a c h h a v i n g e x a c t l y o n e s o l u t i o n , p r o v i d e d

t h a t n 6= 0 .

I f b

2

; a

2

k

2

= 0 , n = 0 , t h e e q u a t i o n ( 3 ) b e c o m e s a

2

b

2

= 0 , w h i c h c a n n o t

b e t r u e , s i g n i f y i n g t h a t i n t h i s c a s e ( 1 ) a n d ( 2 ) h a v e n o c o m m o n p o i n t s . B u t f o r

b

2

; a

2

k

2

= 0 , n = 0 , t h e e q u a t i o n ( 1 ) r e d u c e s t o y =

b

a

x , a n d t h o s e a r e , a s w e

k n o w , t h e a s y m p t o t e s o f t h e h y p e r b o l a ( 2 ) . I n o t h e r w o r d s , t h e a s y m p t o t e s o f ( 2 )

a r e o b t a i n e d w h e n t h e c o e c i e n t s o f x

2

a n d x i n ( 3 ) a r e e q u a t e d t o 0 , a n d t h e

c o n s t a n t t e r m i s n o t 0 .

T h e a b o v e r e m a r k s c o n c e r n i n g t h e h y p e r b o l a ( 2 ) s u g g e s t t h e f o l l o w i n g g e n e r a l

m e t h o d f o r n d i n g t h e a s y m p t o t e s o f t h e c u r v e

( 4 ) a

1

x

2

+ a

2

x y + a

3

y

2

+ b

1

x + b

2

y + c = 0 ( a

2

1

+ a

2

2

+ a

2

3

> 0 ) :

7/25/2019 tm314

2/7

5 4 J . D . K e c k i c

E l i m i n a t i n g y b e t w e e n ( 1 ) a n d ( 4 ) w e a r r i v e a t t h e e q u a t i o n

( a

1

+ a

2

k + a

3

k

2

) x

2

+ ( a

2

n + 2 a

3

k n + b

1

+ b

2

k ) x + ( a

3

n

2

+ b

2

n + c ) = 0

a n d b y a n a l o g y w i t h t h e h y p e r b o l a ( 2 ) , w e l o o k f o r t h e a s y m p t o t e s o f t h e f o r m ( 1 )

f r o m t h e c o n d i t i o n s

( 5 ) a

1

+ a

2

k + a

3

k

2

= 0 a

2

n + 2 a

3

k n + b

1

+ b

2

k = 0 a

3

n

2

+ b

2

n + c 6= 0 :

I f w e p u t

( 6 ) P ( t ) = a

1

+ a

2

t + a

3

t

2

Q ( t ) = b

1

+ b

2

t

t h e r s t t w o e q u a t i o n s f r o m ( 5 ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

( 7 ) P ( k ) = 0 P

0

( k ) n + Q ( k ) = 0

a n d s o t h e c o e c i e n t s k a n d n i n t h e e q u a t i o n o f t h e a s y m p t o t e ( 1 ) a r e d e t e r m i n e d

b y t h e s y s t e m ( 7 ) u n d e r t h e c o n d i t i o n

( 8 ) a

3

n

2

+ b

2

n + c 6= 0 :

2 . W e r s t e x a m i n e w h a t h a p p e n s i f t h e s y s t e m ( 7 ) h a s a s o l u t i o n a n d i f

t h e c o n d i t i o n ( 8 ) i s n o t f u l l l e d . I n o t h e r w o r d s , w e s u p p o s e t h a t t h e r e e x i s t r e a l

n u m b e r s p a n d q s u c h t h a t

( 9 ) P ( p ) = 0 P

0

( p ) q + Q ( p ) = 0 a

3

q

2

+ b

2

q + c = 0 :

D e n o t e t h e l e f t - h a n d s i d e o f ( 4 ) b y F ( x y ) . E q u a l i t i e s ( 9 ) i m p l y t h a t F ( x p x + q )

0 , a n d t h i s m e a n s t h a t t h e p o l y n o m i a l F ( x y ) i s d i v i s i b l e b y y ; p x ; q , a n d s i n c e

F ( x y ) i s o f s e c o n d d e g r e e , w e h a v e F ( x y ) = ( y ; p x ; q ) ( A x + B y + C ) , a n d s o

t h e e q u a t i o n F ( x y ) = 0 , i . e . t h e e q u a t i o n ( 4 ) , r e p r e s e n t s t w o s t r a i g h t l i n e s ( w h i c h

m a y c o i n c i d e ) .

I n f a c t , i t c a n b e s h o w n t h a t t h e e q u a l i t i e s ( 9 ) i m p l y t h a t

( 1 0 ) D = 0 w h e r e D =

2 a

1

a

2

b

1

a

2

2 a

3

b

2

b

1

b

2

2 c

:

B u t i t i s w e l l k n o w n t h a t ( 1 0 ) i s a n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n w h i c h e n s u r e s

t h a t t h e p o l y n o m i a l F ( x y ) c a n b e f a c t o r i s e d i n t o l i n e a r f a c t o r s n a m e l y

F ( x y ) = a

1

x

2

+ a

2

x y + a

3

y

2

+ b

1

x + b

2

y + c = ( A x + B y + C ) ( D x + E y + F ) :

T h e c o e c i e n t s A B C D E F m a y b e a l l r e a l , i n w h i c h c a s e ( 4 ) r e p r e s e n t s t w o

s t r a i g h t l i n e s ( w h i c h m a y c o i n c i d e ) , o r s o m e o f t h e m m a y b e c o m p l e x , i n w h i c h c a s e

( 4 ) r e p r e s e n t s t h e e m p t y s e t ( i n r e a l a n a l y t i c a l g e o m e t r y ) . H e n c e , i n b o t h c a s e s

t h e r e i s n o p o i n t i n l o o k i n g f o r t h e a s y m p t o t e s o f ( 4 ) .

3 . R e t u r n t o t h e c u r v e ( 4 ) , t h e p o l y n o m i a l s P a n d Q d e n e d b y ( 6 ) a n d t h e

d e t e r m i n a n t D d e n e d b y ( 1 0 ) .

7/25/2019 tm314

3/7

A m e t h o d f o r o b t a i n i n g a s y m p t o t e s o f s o m e c u r v e s 5 5

S u p p o s e t h a t t h e e q u a t i o n P ( t ) = 0 h a s t w o d i s t i n c t s o l u t i o n s i n t : a n d ,

w h i c h i s e q u i v a l e n t t o a

3

6= 0 , a

2

2

; 4 a

1

a

3

> 0 . T h e n P ( ) = P ( ) = 0 , P

0

( ) 6= 0 ,

P

0

( ) 6= 0 , a n d w e h a v e t w o c a s e s .

( i ) I f D 6= 0 , t h e c u r v e ( 4 ) h a s t w o a s y m p t o t e s

( 1 1 ) y = x ;

Q ( )

P

0

( )

y = x ;

Q ( )

P

0

( )

i n o t h e r w o r d s , i t i s a h y p e r b o l a .

( i i ) I f D = 0 , t h e e q u a t i o n ( 4 ) r e p r e s e n t s t w o s t r a i g h t l i n e s w h i c h i n t e r s e c t a n d

w h o s e e q u a t i o n s a r e ( 1 1 ) .

E x a m p l e 1 . F o r t h e c u r v e s

( 1 2 ) x

2

+ 2 x y ; 3 y

2

+ 2 x + y + 3 = 0

a n d

( 1 3 ) x

2

+ 2 x y ; 3 y

2

+ 2 x + y +

1 5

1 6

= 0

w e h a v e : P ( t ) = 1 + 2 t ; 3 t

2

, P

0

( t ) = 2 ; 6 t , Q ( t ) = 2 + t . T h e e q u a t i o n P ( t ) = 0

h a s t w o s o l u t i o n s : 1 a n d ; 1 = 3 .

F o r t h e e q u a t i o n ( 1 2 ) w e h a v e D = ; 6 6 , a n d s o i t r e p r e s e n t s a h y p e r b o l a

w h o s e a s y m p t o t e s a r e g i v e n b y

( 1 4 ) y = x +

3

4

a n d y = ;

1

3

x ;

5

1 2

:

F o r t h e e q u a t i o n ( 1 3 ) w e h a v e D = 0 , a n d s o i t r e p r e s e n t s t w o s t r a i g h t l i n e s w h o s e

e q u a t i o n s a r e ( 1 4 ) . 4

S o f a r , w e s e a r c h e d f o r t h e a s y m p t o t e s o f ( 4 ) o f t h e f o r m y = k x + n . B u t

t h e c u r v e ( 4 ) m a y a l s o h a v e a v e r t i c a l a s y m p t o t e w h o s e e q u a t i o n x = c a n n o t b e

o b t a i n e d f r o m y = k x + n . F r o m ( 4 ) a n d x = w e g e t

a

3

y

2

+ ( a

2

+ b

2

) y + ( a

1

2

+ b

1

+ c ) = 0

a n d a v e r t i c a l a s y m p t o t e m a y e x i s t o n l y i f a

3

= 0 . H o w e v e r , t h e s u p p o s i t i o n o f t h i s

s e c t i o n t h a t t h e e q u a t i o n P ( t ) = 0 h a s t w o d i s t i n c t s o l u t i o n s i m p l i e s a

3

6= 0 a n d

s o , i n t h i s c a s e , t h e c u r v e ( 4 ) h a s n o v e r t i c a l a s y m p t o t e s .

4 . S u p p o s e t h a t t h e e q u a t i o n P ( t ) = 0 h a s e x a c t l y o n e s o l u t i o n w h i c h i s

e q u i v a l e n t t o

a

3

6= 0 a

2

2

; 4 a

1

a

3

= 0 o r a

3

= 0 a

2

6= 0 :

T h o s e t w o c a s e s w i l l b e c o n s i d e r e d s e p a r a t e l y .

F i r s t , l e t a

3

6= 0 , a

2

2

; 4 a

1

a

3

= 0 . T h e n P ( ) = P

0

( ) = 0 . I f Q ( ) 6= 0 , t h e

c u r v e ( 4 ) h a s n o a s y m p t o t e s . L e t Q ( ) = 0 . F r o m t h e e q u a l i t i e s

a

2

+ 2 a

3

= 0 b

1

+ b

2

= 0 ( a

3

6= 0 )

7/25/2019 tm314

4/7

5 6 J . D . K e c k i c

w e g e t b

2

6= 0 , a n d a

2

b

2

= 2 a

3

b

1

. A l s o , f r o m a

2

2

; 4 a

1

a

3

= 0 , a

3

6= 0 f o l l o w s

a

1

= a

2

2

= 4 a

3

, a n d ( 4 ) c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o

( 1 5 ) a

2

2

x

2

+ 4 a

2

a

3

x y + 4 a

2

3

y

2

+ 2 a

2

b

2

x + 4 a

3

b

2

y + 4 a

3

c = 0

w h i c h c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m

( a

2

x + 2 a

3

y )

2

+ 2 b

2

( a

2

x + 2 a

3

y ) + 4 a

3

c = 0 :

H e n c e ( 1 5 ) r e p r e s e n t s t w o p a r a l l e l s t r a i g h t l i n e s , o n e s t r a i g h t l i n e o r t h e e m p t y s e t ,

d e p e n d i n g o n t h e v a l u e o f b

2

2

; 4 a

3

c .

A s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e c o n d i t i o n a

3

6= 0 i m p l i e s t h a t ( 1 5 ) h a s n o

v e r t i c a l a s y m p t o t e s .

C o n s i d e r n o w t h e s e c o n d c a s e w h e n P ( t ) = 0 h a s e x a c t l y o n e s o l u t i o n , t h a t i s

t o s a y t h e c a s e a

3

= 0 , a

2

6= 0 . T h e s y s t e m ( 7 ) h a s u n i q u e s o l u t i o n

k = ;

a

1

a

2

n =

a

1

b

2

; b

1

a

2

a

2

2

a n d t h e c u r v e ( 4 ) , u n d e r t h e c o n d i t i o n D 6= 0 , h a s t h e a s y m p t o t e

( 1 6 ) y = ;

a

1

a

2

x +

a

1

b

2

; b

1

a

2

a

2

2

:

B u t i n t h i s c a s e t h e c u r v e ( 4 ) a l s o h a s a v e r t i c a l a s y m p t o t e . I n d e e d , s i n c e a

3

= 0 ,

a

2

6= 0 , f r o m ( 4 ) a n d x = w e g e t

( a

2

+ b

2

) y + ( a

1

2

+ b

1

+ c ) = 0

a n d , u n d e r t h e c o n d i t i o n D 6= 0 , t h e r e i s a v e r t i c a l a s y m p t o t e w h o s e e q u a t i o n i s

( 1 7 ) x = ;

b

2

a

2

:

H e n c e , i f a

3

= 0 , a

2

6= 0 , D 6= 0 , t h e c u r v e ( 4 ) i s a h y p e r b o l a w i t h a s y m p t o t e s ( 1 6 )

a n d ( 1 7 ) .

A s b e f o r e , i f D = 0 , w e d o n o t l o o k f o r t h e a s y m p t o t e s o f ( 4 ) , b u t n o t e t h a t i n

t h i s c a s e ( 4 ) r e p r e s e n t s t h e s t r a i g h t l i n e s ( 1 6 ) a n d ( 1 7 ) .

E x a m p l e 2 . F o r c = 9 , t h e e q u a t i o n 3 x

2

; x y + 7 x ; 5 y + c = 0 r e p r e s e n t s a

h y p e r b o l a w i t h a s y m p t o t e s y = 3 x ; 8 a n d x = ; 5 f o r c = ; 4 0 i t r e p r e s e n t s t h e

s t r a i g h t l i n e s y = 3 x ; 8 a n d x = ; 5 . 4

R e m a r k 1 . I f a

3

= 0 , t h e e q u a t i o n ( 4 ) c a n b e w r i t t e n a s

y = f ( x ) w h e r e f ( x ) = ;

a

1

x

2

+ b

1

x + c

a

2

x + b

2

:

D e t e r m i n e , b y s t a n d a r d m e t h o d s , a l l t h e a s y m p t o t e s o f t h i s f u n c t i o n f , a n d c o m -

p a r e t h e o b t a i n e d r e s u l t s w i t h t h e a b o v e . C o n s i d e r , i n p a r t i c u l a r , t h e c a s e w h e n

D = 0 , i . e . c = ( a

2

b

1

b

2

; a

1

b

2

2

) = a

2

2

.

7/25/2019 tm314

5/7

A m e t h o d f o r o b t a i n i n g a s y m p t o t e s o f s o m e c u r v e s 5 7

5 . S u p p o s e t h a t t h e e q u a t i o n P ( t ) = 0 h a s n o s o l u t i o n s , w h i c h i s e q u i v a l e n t

t o : a

3

6= 0 , a

2

2

; 4 a

1

a

3

7/25/2019 tm314

6/7

5 8 J . D . K e c k i c

a n d e q u a t i n g t h e c o e c i e n t s o f x

3

a n d x

2

t o z e r o w e o b t a i n t h e s y s t e m

1 + k

3

= 0 3 k

2

n ; 3 k = 0

w i t h u n i q u e s o l u t i o n : k = ; 1 , n = ; 1 . S i n c e t h e c o e c i e n t o f x a n d t h e c o n s t a n t

t e r m o f ( 1 9 ) d o n o t b o t h v a n i s h f o r k = n = ; 1 , w e m a y c o n c l u d e t h a t y = ; x ; 1 i s

t h e a s y m p t o t e o f ( 1 8 ) . I t i s a l s o e a s i l y v e r i e d t h a t ( 1 8 ) h a s n o v e r t i c a l a s y m p t o t e s .

R e m a r k 2 . D e t e r m i n i n g t h e a s y m p t o t e s o f t h e c u r v e F ( x y ) = 0 , w h e r e

F ( x y ) i s a p o l y n o m i a l i n x a n d y , i s a t o p i c c o n s i d e r e d i n m a n y t e x t - b o o k s o n

a n a l y s i s w e m e n t i o n , f o r i n s t a n c e , 1 ] a n d 2 ] . H o w e v e r , t h e m e t h o d s u s e d i n t h o s e

b o o k s a r e m o r e c o m p l i c a t e d t h a n t h e m e t h o d s s u g g e s t e d h e r e . I n p a r t i c u l a r , t h e

r e a d e r m i g h t n d i t i n t e r e s t i n g t o c o m p a r e t h e m e t h o d a p p l i e d i n 1 ] t o t h e c u r v e

( 1 8 ) w i t h t h e m e t h o d o f t h e a b o v e E x a m p l e 3 .

8 . T h e s u g g e s t e d m e t h o d f o r n d i n g t h e a s y m p t o t e s i s e c i e n t , i n t h e s e n s e

t h a t i t e n a b l e s u s t o a r r i v e q u i c k l y a n d s i m p l y a t t h e c o r r e c t r e s u l t . H e n c e , t h e

m e t h o d \ w o r k s " , b u t t h e q u e s t i o n i s w h y ? E x c e p t i n g t h e a n a l o g y w i t h t h e h y p e r -

b o l a ( 2 ) a n d i t s a s y m p t o t e s , w e h a v e g i v e n n o o t h e r j u s t i c a t i o n f o r t h e d e s c r i b e d

p r o c e d u r e .

W e s h a l l n o w g i v e a n e x p l a n a t i o n w h i c h m i g h t b e s a i d t o j u s t i f y t h e m e t h o d .

T h e e x p l a n a t i o n w i l l b e i n t u i t i v e , r a t h e r t h a n f o r m a l , a n d w e s h a l l o n l y b e c o n -

c e r n e d w i t h a s y m p t o t e s o f t h e f o r m y = k x + n . T h e c a s e o f v e r t i c a l a s y m p t o t e s

c a n b e e x p l a i n e d a n a l o g o u s l y .

I f y = k x + n i s a n a s y m p t o t e o f t h e c u r v e F ( x y ) = 0 , t h i s m e a n s t h a t a s j x j

b e c o m e s g r e a t e r a n d g r e a t e r , t h e c u r v e F ( x y ) = 0 b e c o m e s n e a r e r a n d n e a r e r t o

t h e l i n e y = k x + n . F u r t h e r , t h i s m e a n s t h a t t h e e q u a t i o n F ( x k x + n ) = 0 m u s t

n o t b e c o m e s e n s e l e s s a s j x j i n c r e a s e s .

I n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h i s , c o n s i d e r a g a i n t h e F o l i u m o f D e s c a r t e s ( 1 8 ) . A s

b e f o r e , f r o m ( 1 ) a n d ( 1 8 ) w e g e t ( 1 9 ) , a n d a f t e r d i v i d i n g b y x

3

w e g e t

( 2 0 ) 1 + k

3

+ ( 3 k

2

n ; 3 k )

1

x

+ ( 3 k n

2

; 3 n )

1

x

2

+ n

3

1

x

3

= 0 :

A s j x j i n c r e a s e s , t h e v a l u e s o f t h e e x p r e s s i o n s 1 = x , 1 = x

2

, 1 = x

3

b e c o m e m o r e a n d

m o r e c l o s e t o 0 , a n d t h e e q u a t i o n ( 2 0 ) b e c o m e s v e r y c l o s e t o t h e e q u a t i o n 1 + k

3

= 0 ,

i . e . k = ; 1 . N o w , f o r k = ; 1 t h e e q u a t i o n ( 1 9 ) b e c o m e s ( 3 n + 3 ) x

2

+ ( ; 3 n

2

;

3 n ) x + n

3

= 0 , a n d a f t e r d i v i d i n g b y x

2

3 n + 3 ; ( 3 n

2

+ 3 n )

1

x

+ n

3

1

x

2

= 0

a n d t h e l a s t e q u a t i o n , a s j x j i n c r e a s e s , b e c o m e s v e r y c l o s e t o t h e e q u a t i o n 3 n + 3 = 0 ,

i . e . n = ; 1 .

W h y i s i t t h a t t h e c u r v e

( 2 1 ) x

2

; 2 x y + y

2

; x = 0

d o e s n o t h a v e a n a s y m p t o t e o f t h e f o r m y = k x + n ? F r o m ( 1 ) a n d ( 2 1 ) w e g e t

( 2 2 ) ( 1 ; 2 k + k

2

) x

2

+ ( 2 k n ; 2 n ; 1 ) x + n

2

= 0

7/25/2019 tm314

7/7

A m e t h o d f o r o b t a i n i n g a s y m p t o t e s o f s o m e c u r v e s 5 9

a n d a f t e r d i v i d i n g b y x

2

:

( 2 3 ) 1 ; 2 k + k

2

+ ( 2 k n ; 2 n ; 1 )

1

x

+ n

2

1

x

2

= 0

a n d a s j x j i n c r e a s e s , ( 2 3 ) b e c o m e s v e r y c l o s e t o t h e e q u a t i o n 1 ; 2 k + k

2

= 0 , i . e .

k = 1 . H o w e v e r , f o r k = 1 , ( 2 2 ) b e c o m e s ; x + n

2

= 0 , a n d a f t e r d i v i d i n g b y x :

; 1 + n

2

1

x

= 0 . W e s e e t h a t a s j x j i n c r e a s e s , t h e l a s t e q u a t i o n b e c o m e s v e r y c l o s e

t o t h e s e n s e l e s s e q u a t i o n ; 1 = 0 .

R e m a r k 3 . A s w e s a i d b e f o r e , t h i s w a s o n l y a n i n t u i t i v e e x p l a n a t i o n c e r t a i n l y

n o t a p r o o f , w h y t h e a s y m p t o t e s c a n b e d e t e r m i n e d b y t h e e x p o s e d m e t h o d . A

f o r m a l p r o o f , b a s e d u p o n a p p r o x i m a t i v e m e t h o d s , c a n b e c o n s t r u c t e d , b u t t h i s i s

n o t t h e s u b j e c t o f t h i s n o t e .

R E F E R E N C E S

1 F i h t e n g o l ~ c , G . M . , K u r s d i f f e r e n c i a l ~ n o g o i i n t e g r a l ~ n o g o i s q i s l e n i , t o m I ,

< N a u k a > , M o s k v a 1 9 6 9 .

2 . M a x w e l l , E . A . , A n A n a l y t i c a l C a l c u l u s , v o l . 3 , C a m b r i d g e 1 9 6 2 .

J o v a n D . K e c k i c ,

T i k v e s k a 2 , 1 1 0 0 0 B e o g r a d , Y u g o s l a v i a