S

S

S

S

 

 

 

Single‐Degre

Free undam

Spring‐mass

Static deflec

Force balanc

Circular freq

Solution to t

Constants A

ee‐Of‐Freed

mped vibratio

s system:   M

ction: 

ce: Apply Ne

quency n in

 

the 2nd orde

A and B are e

dom (SDOF) 

on 

Mass m; stiffn

 

ewton’s seco

 

n radians/sec

r linear diffe

evaluated fro

system 

ness k 

ond law 

cond: 

erential equa

 

om initial con

; 

ation (of mo

nditions  0

 

otion) 

0  and  0 .

 

. The resultin

: 

ng response 

1 

 is: 

 

S

t

S

w

 

 

 

 

 

 

 

 

Since natura

the natural 

Natural freq

Since  

we get 

al period of v

 

period of vib

quency fn in c

 

vibration  is

bration in s

 

cycles/secon

 

s related to c

seconds/cyc

nd, is given b

 

circular freq

cle, is given b

by 

quency throu

by 

ugh 

2 

 

S

V

 

A

 

S

 

Free dampe

Spring‐mass

Viscous dam

 

Apply Newto

For free vibr

Solution: 

Upon substi

Characterist

Roots of the

ed vibration:

s‐damper sys

mping force: 

   

on’s second 

ration, F(t) =

 

tution into t

tic equation:

e characteris

: 

stem:   

 

law of moti

= 0. 

 

the different

: 

stic equation

Mass m; st

 

on, for force

 

tial equation

 

 

n: 

tiffness k; da

e balance: 

n,  

amping cons

 

stant c 

3 

 

T

 

w

T

The general 

Constants A

Critically‐da

If (c/2m)2 is 

become equ

with A and B

Typical resp

solution usi

A and B are e

mped system

equal to k/m

ual to each o

B given by in

onse: 

ing superpos

 

evaluated fro

m: 

m, the roots 

other (doubl

 

nitial conditio

sition: 

om initial con

e root); s1 = 

ons. 

nditions  0

s2 = ‐n. The

0  and  0 .

e general so

 

 

. The resultin

 

olution is 

ng response 

 

4 

 is: 

 

 

 

From  (c/2m

Critical Dam

Damping Ra

For critically

Under‐damp

For this case

become com

Letting 

m)2 is equal t

mping Ratio c

atio ζ  is defin

y‐damped sy

ped system: 

e, ζ < 1; that 

mplex numb

o k/m, we g

cc. 

ned as 

ystem, ζ = 1. 

is, (c/2m)2 i

ers. Since 

et  

      

s less than k

 

 

    

k/m. The rooots 

 

 

 

5 

 

 

 

T

w

T

The general 

Re‐writing t

with initial c

Frequency o

Typical resp

solution to 

he response

conditions us

of damped v

onse: 

response is:

 

e equation as

sed to deter

ibration: 

: 

s 

rmine C1 andd C2. 

 

 

6 

 

 

 

T

Overdampe

For this case

become rea

The motion 

d system: 

e, ζ > 1; that 

l and distinc

is aperiodic 

is, (c/2m)2 i

ct. The gener

and non‐os

s more than

ral solution i

cillatory. Typ

n k/m. The ro

 

is given by 

pical respon

oots 

 

 

se is shown 

 

below. 

7 

 

V

Measureme

Ratio of two

Variation of 

ent of dampi

o successive 

 

 as a funct

ng in a syste

vibration am

 

tion of damp

em: 

mplitudes is 

ping: 

 

called Logar

 

rithmic decre

 

ement, . 

 

 

8 

 

 

SShown below

Calculate 

w is that   

, 

 

,

9 

 

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10