Trabajo de Metodos Numericos

7/16/2019 Trabajo de Metodos Numericos

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Repblica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza Armada

Ncleo Maracay

Departamento de Ingeniera en Telecomunicaciones

Facilitador: Alumnas:

Ing. Jhonny Molleja. Herrera H. Gisel C.

C.I . 18.804.484.

Leal B. Carla C.

C.I. 18.884.659.

Seccin ITD 702.

Maracay, 29 de mayo de 2012.


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TABLA DE CONTENIDO

Pgs.

1.Introduccin...............................................................................................................4

2. Mtodos del tipo Runge-Kutta..................................................................................7

2.1 Mtodo de Euler (Runge-Kutta de 1er orden).............................................7

2.2 Mtodo de Euler modificado (Runge-Kutta de 2o orden)...........................9

2.3 Mtodo de Euler-Cauchy modificado (Runge-Kutta de 2o orden)............10

2.4 Mtodo de la regla de Simpson (Runge-Kutta de 3er orden)....................10

2.5 Mtodo de Heun (Runge-Kutta de 3er orden)...........................................11

2.6 Runge-Kutta de 4o orden (clsico).........................................................11

2.7 Runge-Kutta-Simpson de 4o orden............................................................12

2.8 Mtodos RungeKutta de paso variable....................................................12

2.8.1 Runge-Kutta-Fehlberg de 2o orden.12

2.8.2 Runge-Kutta-Fehlberg de 4o orden.13

2.9 Error por truncamiento y error por redondeo............................................ 14

2.10 Sistemas rgidos.......................................................................................15

2.11 Efecto del paso de integracin sobre la exactitud de la solucin.............15

3. Mtodos de integracin numrica............................................................................17

3.1 Frmulas directas, Mtodos de Adams-Bashforth.....................................18

3.1.1 Mtodo de segundo orden...18

3.1.2 Mtodo de cuarto orden..19

3.2 Frmulas implcitas, Mtodos de Adams-Moulton...................................19

3.2.1 Mtodo de segundo orden...19

3.2.2 Mtodo de cuarto orden..19

3.3 Mtodos predictor - corrector....................................................................19

3.3.1 Mtodo trapezoidal modificado (2o orden)20

3.3.2 Mtodo de Adams-Bashforth-Moulton de 4o orden...20

3.3.3 Mtodo de Milne de 4o orden.....21

3.3.4 Mtodo de Milne de 6o orden.....21


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3.4 Algoritmo de solucin................................................................................22

4. Ejemplos del uso de algunos mtodos.....................................................................23

4.1 Mtodo de la regla de Simpson en MATLAB...........................................23

4.2 Mtodo de Adams-Bashforth de 2o orden en Scilab.................................24

4.3 Solucin de una ecuacin diferencial de segundo orden...........................26

4.4 ODE Solvers en MATLAB y Simulink.................................................29

4.4.1 Mtodos de paso variable....29

4.4.2 Mtodos depaso fijo (solo en Simulink)30

4.4.3 Ejemplo...30

4.5 ODE Solvers en Scilab...........................................................................32

4.6 Mtodos de integracin en VisSim............................................................34

5. Comparacin de los mtodos de solucin de EDO.................................................34

6. Conclusin...............................................................................................................37

7. Referencias Bibliogrficas. ..38


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Introduccin

El estudio de los procesos dinmicos y sus sistemas de control, debe iniciarse

con la obtencin de una representacin matemtica de las relaciones existentes entre

las diferentes variables involucradas en el proceso a controlar, a la que usualmente se

denomina modelo del sistema.

El proceso de modelado de un sistema dinmico, puede llevar a la obtencin

de una representacin para el mismo por medio de una ecuacin diferencial de orden

alto, o por un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales, cuya

solucin se debe obtener para conocer la respuesta temporal del sistema, a partir un

conjunto de condiciones iniciales y una entrada dada.

La solucin analtica de una ecuacin diferencial lineal puede ser fcil, de

varias ya presenta dificultades y de muchas es prcticamente imposible. Si las

ecuaciones diferenciales son no lineales, el resolver una sola es muy difcil y varias o

muchas es imposible por medios analticos.

Como es normal que el modelo obtenido para el sistema que se desea analizar,

est constituido por varias ecuaciones diferenciales no lineales, este solamente puede

resolverse con la ayuda de un programa de simulacin digital.

Para el desarrollo de un programa de simulacin de sistemas dinmicos, es

necesario entonces contar con un mtodo de solucin de ecuaciones diferenciales.

Se presentarn adelante en forma breve, algunos de los mtodos numricos de

solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), ms empleados en la

simulacin digital de los sistemas dinmicos.

Para solucionar la ecuacin diferencial de primer orden tenemos:

Ecuacin #1

Para encontrar y en una secuencia de valores de la variable independiente t

{ti} dentro de un intervalo de solucin [t0, tf], donde f (y, t) es una funcin no lineal

cualquiera. La obtencin de la solucin de (1) es conocida como el problema del


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valor inicial en la solucin de ecuaciones diferenciales y para esto, se dispone de dos

tipos de mtodos de solucin:

1. Mtodos en los cuales f (y , t) ser evaluada solamente en los puntos(yi, ti), donde yi es el valor de y en t = ti y que se denominan Mtodos de integracin

numrica

2. Mtodos en los cuales f (y , t) ser evaluada adems, en puntosdistintos de (yi, ti) y que se denominarn Mtodos del tipo Runge-Kutta.

Si se define a Y(t) como la solucin exacta de (1) y a y(t) como la solucin

calculada, entonces :

Ecuacin #2

Ecuacin #3

Ecuacin #4

Como Yes la solucin verdadera, f (Yn, tn) es igual a dY/dt|t=tn, sin embargo

y(t) solamente existe en los instantes n = 1, 2, 3, ...

El intervalo de tiempo entre dos instantes consecutivos de la solucin,

denominado usualmente paso de integracin t , puede permanecer constante sobreun determinado nmero de intervalos de la solucin, o variarse cuando

consideraciones de error lo hagan deseable.

En la obtencin de los mtodos numricos para la solucin de las ecuaciones es

importante considerar entonces:

Cuanto error se comete en cada paso del clculo y como afecta este lospasos siguientes, esto es, cmo se propaga el error

La habilidad del mtodo para estimar el error en una etapa de clculo,en funcin de los resultados obtenidos

La iniciacin del mtodo (se conoce la condicin inicialy0pero comose ver, algunos mtodos numricos requieren conocer adems, los valores de y en


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ms de un punto anterior para calcular el siguiente) y la velocidad del mtodo.

En la presentacin siguiente de los diferentes mtodos de solucin de

ecuaciones diferenciales, se considerar la solucin de una sola ecuacin diferencial

no lineal de primer orden, sin embargo todos ellos son fcilmente extensibles al caso

de un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales simultneas,

considerando a todas las variables y ecuaciones como vectores. Si el modelo est

representado por una ecuacin diferencial de orden alto, es necesario convertirla

primero en un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden simultneas para

su solucin.


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7

2. Mtodos del tipo Runge-Kutta

La base de todos los mtodos del tipo Runge-Kutta es expresar la diferencia

entre los valores de y en tn+1 y tn como:

Yn+1Yn = kiEcuacin #5

Donde los son constantes y los:

Ecuacin #6

Con . Dadas las constantes , y , la solucin es directa. Los mtodos del tipoRunge-Kutta se caracterizan por: Ser auto-iniciables. Requerir solamente informacin del punto n para calcular la solucin en el punto

n+1.

Evaluar en cada iteracin la funcin (derivada) tantas veces como el orden delmtodo, y

Por no poseer forma de estimar en error cometido, a menos que se utilicensimultneamente dos mtodos de distinto orden.

En los mtodos del tipo Runge-Kutta el nmero de veces que es necesario

evaluar la ecuacin diferencial es igual al orden del mtodo, lo cual repercute

directamente sobre su velocidad. Sin embargo a medida que aumenta el orden del

mtodo, este tiene una mayor exactitud para un paso de integracin dado, por lo que

ser posible utilizar un paso de integracin mayor para un grado de exactitud

deseado.

2.1 Mtodo de Euler (Runge-Kutta de 1er orden) Integracin

rectangular

Se puede calcular el valor de la integral de y en el instante tn+1=tn+ ,mediante la expansin de la siguiente ecuacin en una serie de Taylor:


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8

Ecuacion#7

Sustituyendo la ecuacin #1 en la ecuacin #7 se obtiene que:

Ecuacin #8

Si se reduce sustancialmente el valor del paso de integracin t, se puedendespreciar los trminos con t2y superiores con lo que se obtiene que:

Ecuacin #9

El cual es el conocido mtodo de integracin rectangular o mtodo de Euler.

La ecuacin #9 se puede reescribir para expresarla en la forma general de los

mtodos del tipo Runge-Kutta dada por la ecuacin #5 y #6 quedando esta entonces

como:

Ecuacin #10

Este mtodo se dir que es de primer orden por haberse truncado los trminos

que contenan ms all de la primera potencia de t. La omisin de estos trminosdar el error por truncamiento inherente del mtodo, el cual se dir en este caso que

es O(t2)o del orden de t2.El mtodo de Euler estima el valor de la solucin en el instante n + 1 a partir

de la extrapolacin del valor de la ecuacin diferencial en el instante n, tangente de la

solucin, por un paso de integracin tcomo se muestra en la Figura 1.


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Figura 1. Integracin rectangular

Fuente http://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdf

2.2 Mtodo de Euler modificado (Runge-Kutta de 2o orden)

El mtodo de Euler es un mtodo de un paso y el ms simple de los mtodos

del tipo Runge-Kutta. Un mtodo de segundo orden o de dos pasos, est dado por las

siguientes ecuaciones:

Ecuacin #11

Este mtodo coincide con la serie de Taylor (8) hasta el trmino t2por lo quesu error por truncamiento ser O (t3).

El mtodo de Euler modificado utiliza el valor de la ecuacin diferencial al

centro del paso de integracin, extendindolo a todo su ancho segn se aprecia en la

Figura 2.

Figura 2. Mtodo de euler modificado.

Fuentehttp://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdf
http://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdfhttp://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdfhttp://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdfhttp://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdf


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2.3 Mtodo de Euler-Cauchy modificado (Runge-Kutta de 2o orden)

Integracin trapezoidal

Este es otro mtodo de segundo orden y sus ecuaciones son:

Ecuacin #12

El mtodo de integracin trapezoidal utiliza un promedio del valor de la

ecuacin diferencial al inicio (n) y final (n+1) del paso de integracin, como se indica

en la Figura 3.

Figura 3. Integracin trapezoidal.


2.4 Mtodo de la regla de Simpson (Runge-Kutta de 3er orden)

Este es un mtodo de tres pasos dado por:

Ecuacin #13

Por un error de truncamiento O(t4).


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2.5 Mtodo de Heun (Runge-Kutta de 3er orden)

Este es otro mtodo de tres pasos y est dado por:

( )

( )

Ecuacin #14

Con un error de truncamiento O(t4).

2.6 Runge-Kutta de 4o orden (clsico)El mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden, es el utilizado con ms frecuencia

en la simulacin de los sistemas dinmicos y sus ecuaciones son:

(

)

( )

Ecuacin #15

El error por truncamiento de este mtodo es O (t5), siendo adems muchoms estable que los anteriores. Existen varios mtodos Runge-Kutta de 4o orden.

Adems del anterior, cuyos coeficientes se atribuyen a Kutta, existe el Runge-Kutta-

Gill en que se minimiza la memoria utilizada, el Runge-Kutta-Ralston en el que se

minimiza el error por truncamiento, el Runge-Kutta-Merson que es una extensin

para hacerlo de paso variable, esto a costa de una evaluacin adicional de las

ecuaciones del sistema para poder estimar el error y tomar decisiones sobre el tamao

del paso y otros ms.


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2.7 Runge-Kutta-Simpson de 4o orden

Este es otro mtodo de cuarto orden con un error por truncamiento O (t5)son:

(

)

( )

Ecuacin #16

2.8 Mtodos RungeKutta de paso variable

Los mtodos del tipo Runge-Kutta no tienen forma de evaluar el error

cometido en cada iteracin, sin embargo es posible combinar dos mtodos orden

diferente o utilizar un mtodo con dos pasos de integracin diferentes, para estimar el

error y en base a este, decidir si es necesario o no cambiar el tamao del paso de

integracin (reducirlo o incrementarlo), tenindose entonces un mtodo de paso

variable. Por ejemplo, los mtodos Runge-Kutta-Fehlberg son mtodos del tipo

Runge-Kutta en los cuales se combinan dos mtodos de diferente orden, para poder

estimar el error cometido en cada iteracin de la solucin.

2.8.1 Runge-Kutta-Fehlberg de 2o orden

Este mtodo est dado por las siguientes ecuaciones:

(

)

( )

Ecuacin #17

Donde es el paso de integracin variable, el cual debe dividirse a la mitad si el


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Error >ErrAbs +ErrRel||Ecuacin #18

Y puede duplicarse si el donde

Error < (ErrAbs+ErrRel||)/100Ecuacin #19

Donde

Error = Ecuacin #20

Es el error por truncamiento estimado yErrAbs yErrRelson el error absoluto

y relativo utilizados para controlar el paso de integracin.

2.8.2 Runge-Kutta-Fehlberg de 4o orden

En este mtodo se utiliza un mtodo de quinto orden para estimar el error

cometido por un mtodo de cuarto orden y tomar decisiones sobre el tamao del paso

de integracin y est dado por las siguientes ecuaciones:

(

)

( ) (

)

(

)

(

)

Ecuacin #21

Donde es el paso de integracin variable.Se calculaR =

Ecuacin #22


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Siendo este

Ecuacin #23

| Ecuacin #24

Si RTolE, donde TolE es la tolerancia o error permitido en la solucin, se

calcula el nuevo punto de la solucin:

Ecuacin #25

Y el nuevo paso de integracin como t' = t' si 4 el paso solo secuadruplica (t' = t'), y se continua con la solucin a partir del punto n+1.

Si R>TolE, se calcula el nuevo paso de integracin como t' = t', si 0.1el paso se reduce solo a su dcima parte (t' = t'), y se parte del punto n anterior.

2.9 Error por truncamiento y error por redondeo

Se indic anteriormente que el error producido cuando el paso de integracin

t no es suficientemente pequeo para representar la solucin de la ecuacindiferencial en forma exacta, se denomina error por truncamiento, al haber truncado la

serie de Taylor y no incluir trminos ms all de un cierto tk. Sin embargo, por otraparte consideraciones numricas as como el tiempo total de solucin, requieren que

el tno se haga demasiado pequeo. La razn para esto es que el error por redondeoes mayor para pasos de integracin pequeos debido al gran nmero de iteraciones

requeridas para obtener la solucin. El error por redondeo es el error resultante de la

imposibilidad del computador digital de representar un nmero con ms de unnmero de cifras significativas y esto depender del largo de palabra utilizado para

la representacin numrica.

Cuando el paso de integracin es grande el error dominante es el error por

truncamiento, mientras que para pasos pequeos, es ms importante el error por


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redondeo.

2.10 Sistemas rgidos

Se dice que un sistema es rgido cuando presenta caractersticas dinmicas

lentas y rpidas en forma simultnea, esto es que contiene unos elementos dinmicos

con constantes de tiempo pequeas y otros con constantes de tiempo grandes, como

podra ser el caso de un sistema electro- mecnico en donde las constantes de tiempo

de los componentes elctricos, pueden ser muy pequeas en comparacin con las

constantes de tiempo de los componentes mecnicos.

La presencia de dinmicas lentas y rpidas dentro del mismo sistema de

ecuaciones diferenciales, introduce dificultades al momento de obtener su solucin

numrica.

Para garantizar la estabilidad y exactitud de la solucin de las ecuaciones de la

parte dinmica rpida, se puede requerir un paso de integracin pequeo, el cual

puede ser demasiado pequeo para la solucin de la parte dinmica lenta, extendiendo

innecesariamente la obtencin de la solucin en todo el intervalo de solucin deseado,

si el paso se mantiene constante.

Una posible solucin al problema planteado por la presencia de constantes de

tiempo muy diferentes, puede ser la utilizacin de mtodos de paso variable, los

cuales pueden ajustar el paso de integracin de acuerdo a los requerimientos del

sistema, utilizando pasos pequeos inicialmente y luego que la parte de dinmica

rpida haya desaparecido, utilizando entonces paso de integracin mayor, sin

embargo esto tiene un costo extra por la necesidad de efectuar evaluaciones adiciona-

les de las ecuaciones diferenciales y comparaciones para determinar el ajuste del

paso.

Para la solucin de los sistema rgidos son usualmente preferidos los mtodos

numricos de solucin de ecuaciones diferenciales basados en las frmulas de

diferencias retrgradas implcitas.

2.11 Efecto del paso de integracin sobre la exactitud de la solucin

El tamao del paso de integracin utilizado para la solucin de la ecuacin

diferencial, afecta directamente la exactitud de la misma. Normalmente se desea


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emplear el paso de integracin mayor posible para obtener una solucin rpida, pero

no tan grande que introduzca errores apreciables en esta. Al utilizar los mtodos de

integracin de paso fijo, es responsabilidad del usuario la seleccin del paso de

integracin adecuado. En la Figura 4 se muestra la solucin de la ecuacin diferencial

, utilizando el mtodo de Euler (Runge-Kutta de primer orden),con cuatro pasos de integracin diferentes, uno lo suficientemente pequeo para

considerar la solucin como exacta. Se puede apreciar fcilmente como se deteriora

la solucin a medida que se aumenta el paso de integracin y la necesidad de utilizar

pasos suficientemente pequeos para tener una solucin con un error mnimo.

Figura 4. Efecto del paso de integracinmtodo de Euler


En la Figura 5 se muestra la solucin de la misma ecuacin diferencial

anterior pero utilizando ahora el mtodo de Simpson (Runge-Kutta de tercer orden) y

los mismos pasos de integracin empleados anteriormente. En este caso se puede

apreciar que para un mismo tamao de paso, la solucin con el mtodo de Simpson es

mucho ms exacta que la obtenida con el mtodo de Euler.

Aunque el mtodo de Simpson requiere realizar tres veces ms evaluaciones

de la ecuacin diferencial en cada paso de integracin que el mtodo de Euler,

normalmente permite emplear pasos de integracin bastante mayores, reducindose

incluso el tiempo total requerido para la solucin.

El tamao del paso de integracin necesario para obtener una solucin

satisfactoria depende entonces de la exactitud del mtodo de integracin y de la


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ecuacin diferencial a resolver. Entre ms preciso, mayor orden, sea el mtodo de

integracin utilizado, se pueden emplear paso mayores, sin embargo debe tenerse

tambin en cuenta que, en los casos en que se desea mostrar la solucin de la

ecuacin diferencial en forma grfica, el tamao mximo del paso estar determinado

usualmente por la resolucin deseado de este grfico.

Figura 5. Efecto del paso de integracinmtodo de Simpson


3. Mtodos de Integracin Numrica

La expresin general de los mtodos de integracin numrica est dada por:

Ecuacin #26

En donde el ltimo valor de ten que se calculy es tny el nmero de valores

pasados usados para calcularyn+1 es p+1.Se considerar que en la Ecuacin #26

algunos de los aiy bipueden ser cero, pero se supondr que apo bpno son cero.

Si en la Ecuacin #26 b1=0 , yn+1 est expresado como una combinacin

lineal de los valores conocidos de y y y es fcil de calcular. Las frmulas conb1=0 se denominanfrmulas de integracin directa o abiertas

Si b1 , la ecuacin #26 es una funcin implcita de yn+1 porquen+1=f(yn+1, tn+1)y se puede resolver solamente por procedimientos iterativos. Lasfrmulas con b1 se denominanfrmulas de integracin implcitas o cerradas.

Como regla general, para frmulas del mismo orden, las frmulas implcitas


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son sustancialmente ms exactas que las frmulas directas.

En comparacin con los mtodos de integracin del tipo Runge-Kutta, los

mtodos de integracin numrica se caracterizan entonces por:

No ser autoiniciables. Requerir aparte de la informacin del punto n, informacin de uno o

ms puntos anteriores para calcular la solucin en el punto n+1.

Evaluar la funcin (derivada) una sola vez por cada aplicacin de lafrmula (el nmero de evaluaciones de la derivada en el caso de los mtodos

predictor - corrector depender del nmero de veces que sea necesario aplicar la

frmula correctora) y

Porque el uso combinado de frmulas explcitas e implcitas permiteestimar y corregir los errores por truncamiento locales. Esta estimacin del error se

puede utilizar para variar el tamao del paso de integracin.

3.1 Frmulas directas, Mtodos de Adams-Bashforth

Las frmulas directas (abiertas) pueden utilizarse solas. Al uso de las frmulas

directas de Ada- ms solas, se les llama mtodos o predictores de AdamsBashforth.

Los mtodos de Adams-Bashforth ms utilizados son los de segundo y cuarto

orden. Como se podr apreciar en sus ecuaciones, estas requieren del conocimiento

de la derivada evaluada en uno o hasta tres instantes anteriores respectivamente, por

lo que la solucin de la ecuacin diferencial debe iniciarse con un procedimiento del

tipo Runge-Kutta del mismo orden para obtener la informacin inicial requerida por

el mtodo de Adams.

3.1.1 Mtodo de segundo orden

Este mtodo est dado por la ecuacin:

Ecuacin #27

Cuyo error por truncamiento es O(t3).


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3.1.2 Mtodo de cuarto orden

Esta frmula directa est dada por la ecuacin:

[ ]

Ecuacin #28

Con un error por truncamiento O(t5).3.2 Frmulas implcitas, Mtodos de Adams-Moulton

Las frmulas implcitas (cerradas) no pueden utilizarse solas y se les llamar

mtodos o correctores de Adams-Moulton.

3.2.1 Mtodo de segundo orden

Este mtodo est dado por la ecuacin:

[ ]Ecuacin #29

El cual es comnmente llamado mtodo trapezoidal cerrado.

3.2.2 Mtodo de cuarto orden

Esta frmula est dada por la ecuacin:

[ ]Ecuacin #30

3.3 Mtodos predictor - corrector

Si bien las frmulas directas se pueden utilizar solas, proveyndoles la

informacin de arranque necesaria, las frmulas implcitas no pueden emplearse

solas.

Para poder hacer uso de las frmulas de integracin numrica para el clculo

de yn+1 cuando b10 , se debe obtener primero una estimacin del valor de yn+1denominado , calcular luego f ( , tn+1) y utilizar la ecuacin #26 paracalcular .

Se debe entoncespredecirprimero el valor deyn+1 utilizando una frmula de

integracin directa y luego corregirel valor predicho con una frmula de integracin


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implcita, crendose as los mtodos del tipo predictor corrector, los cuales

emplean una frmula directa como predictor y una frmula implcita como corrector,

ambas con errores por truncamiento del mismo orden.

3.3.1 Mtodo trapezoidal modificado (2o orden)

Uno de los mtodos ms sencillos del tipo predictor - corrector se obtiene

utilizando los mtodos de Adams de 2o orden (el de Adams-Bashforth como

predictor y el de AdamsMoulton, integracin trapezoidal cerrada, como corrector).

En su versin ms simple el corrector se utilizara una sola vez en cada

iteracin, haciendo del mismo un mtodo de paso fijo cuyas ecuaciones estn dadas

por:

Predictor

[ ]

Ecuacin #31(a)

Corrector

Ecuacin #31(b)

3.3.2 Mtodo de Adams-Bashforth-Moulton de 4o orden

Al uso de una frmula de Adams abierta (predictor) junto con una frmula de

Adams cerrada (corrector) se le conoce como mtodo de Adams-BashforthMoulton,

siendo el de 4o orden.

Predictor [ ]

Ecuacin #32(a)


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Corrector

Ecuacin #32(b)

3.3.3 Mtodo de Milne de 4o orden

Este es otro mtodo predictor corrector con un error O ( t5) cuyasecuaciones son:

Predictor

[ ]

Ecuacin #33(a)

Corrector

Ecuacin #33(b)

3.3.4 Mtodo de Milne de 6o orden

Este es un mtodo predictorcorrector con un errorO (t7) cuyas ecuacionesson:

Predictor

[ ]

Ecuacin #34(a)


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Corrector

Ecuacin #34(b)

3.4 Algoritmo de solucin

La utilizacin combinada de los mtodos de integracin del tipo Runge-Kutta

con los mtodos numricos predictorcorrector, permite desarrollar un algoritmo de

solucin de ecuaciones diferenciales de paso variable el cual en trminos generales

comprendera:

1. Utilizar un algoritmo RungeKutta para iniciar la solucin y obtener la

informacin requerida por el mtodo predictorcorrector.

2. En cada iteracin:

Predecir el valor de Corregir para obtener 3. Si la diferencia porcentual ente el valor predicho y el corregido es

menor que un valor arbitrariamente pequeo, pero mayor que un valor dado,entonces continuar.

4. Si la diferencia anterior no es menor que , utilizar entoncesnuevamente el corrector obteniendo . Si en dos iteraciones del corrector no selogra la precisin deseada, entoncesel paso de integracin debe dividirse a la mitad y

volver a utilizar el mtodo de RungeKutta a partir del punto n para continuar la

solucin, cambiando nuevamente al mtodo predictorcorrector cuando se tenga la

informacin requerida por este.

5. Si la diferencia ente el valor predicho y el corregido es menor que ,entonces el error cometido es muy pequeo y se puede acelerar la solucin

aumentando el paso de integracin al doble, continuar con el mtodo RungeKutta y

luego el predictorcorrector nuevamente.

6. El mtodo continuar doblando o dividiendo por dos el paso deintegracin de manera de mantener el error por truncamiento local dentro de los


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lmites establecidos y tratando en todo caso de usar el paso de integracin mayor

posible para obtener una solucin rpida.

4. Ejemplos del uso de algunos mtodos

Los programas de diseo de sistemas de control asistido por computadora

(CACSD) MATLAB y Scilab, as como los de simulacin digital de sistemas

dinmicos Simulink y VisSimTM, incorporan varias rutinas para la solucin de

ecuaciones diferenciales ordinarias, o ODE Solverspor sus siglas en ingls, por lo

que al utilizarlos usualmente no es necesario su programacin a menos que se desee

emplear un mtodo diferente o realizar comparaciones entre algunos mtodos no

incluidos en ellos.

4.1 Mtodo de la regla de Simpson en MATLAB

El siguiente es el grfico de la solucin de la ecuacin diferencial

empleando el mtodo de Simpson, un Runge-Kutta de 3er orden, y elcorrespondiente listado de las instrucciones enMATLAB.

Figura 6. Grafico empleando el mtodo de Simpson


%Ejemplo 4.1

%Solucin de una ecuacin diferencial utilizando

%el mtodo de Simpson (Runge-Kuta de 3er orden)

%Ecuacin de ejemplo: p y = f(y,t) = -y + 1


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24

%

clear

%definir la ecuacin diferencial a resolver

f=inline('-y+1','y','t');

%

%condicin inicial y tiempos

yo=0.;to=0;dt=0.25;tu=5;

y(1)=yo;t(1)=to;

n=0;

%

%solucin numrica

while t(n+1) < tu

n=n+1;

k1=dt*f(y(n),t(n));

k2=dt*f(y(n)+k1/2,t(n)+dt/2);

k3=dt*f(y(n)-k1+2*k2,t(n)+dt);

y(n+1)=y(n)+(k1+4*k2+k3)/6;

t(n+1)=t(n)+dt;

end

%

%graficar la solucin

plot(t,y,'+b')

grid on

title('Solucin de p y= -y + 1 por el Mtodo de Simpson')

xlabel('tiempo'),ylabel('y(t)')

4.2 Mtodo de Adams-Bashforth de 2o orden en Scilab

El siguiente es el listado de instrucciones en Scilab y el grfico de la solucin

de la ecuacin diferencial empleando el mtodo de Adams-

Bashforth de 2do

orden.


25/38

25

//Ejemplo 4.2

//Solucin de una ecuacin diferencial utilizando

//el mtodo de Adams-Bashforth de 2o orden

//Ecuacin de ejemplo: p y = f(y,t) = -0.025 y + t

//

clear,xset('default'),xbasc()

//definir la ecuacin diferencial a resolver

function py=f(y,t)

py=-0.025*y+t;

endfunction

//

//condicin inicial y tiempos

yo=0.;to=0;dt=0.25;tu=10;

y(1)=yo;t(1)=to;

n=0;

//solucin numrica

//arranque con integracin trapezoidal

n=n+1;

k1=dt*f(y(n),t(n));

k2=dt*f(y(n)+k1,t(n)+dt);

y(n+1)=y(n)+(k1+k2)/2;

t(n+1)=t(n)+dt;

//cambio al mtodo de Adams-Bashforth

while t(n+1) < tu

n=n+1;

y(n+1)=y(n)+dt*(3*f(y(n),t(n))-f(y(n-1),t(n-1)))/2;

t(n+1)=t(n)+dt;

end

//

//graficar la solucin


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26

xname ('Solucin numrica de una ecuacin diferencial')

xset('color',2),xset('mark size',1,18)

plot2d(t,y,style=-1)

xgrid(4)

xset('color',1),xset('font',2,3)

xtitle('Solucin de p y= -0.025 y + t por el mtodo de Adams-Bash-

forth de 2do

orden' ,'y(t) ')

Figura 7. Solucin de la ecuacin diferencial

empleando el mtodo de Adams-Bashforth de 2do orden.


4.3 Solucin de una ecuacin diferencial de segundo orden

Para obtener la solucin de una ecuacin diferencial de orden n, esta debe

convertirse en un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer orden.

Por ejemplo, la ecuacin diferencial lineal de segundo orden:

Ecuacin #35

Puede convertirse en dos ecuaciones diferenciales de primer orden definiendo:

x1(t)=y(t), x2(t)=dy/dt

Ecuacion#36


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27

Para obtener:

Ecuacin #37

Para el caso de una ecuacin diferencial lineal de orden alto (n) dada por:

Ecuacin #38

Definiendo:

x1(t)=y(t), x2(t)=dy/dt, , xn=

Ecuacin #39

Se puede convertir en un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer orden

dado por:

.

.

.

Ecuacin #40

En el caso general de un conjunto de n ecuaciones diferenciales de primer

orden no lineales se tendra:

f1 (x1,x2, , xn ; u : t) f2 (x1,x2, , xn ; u : t)

.

.

. fn (x1,x2, , xn ; u : t)Ecuacin #41

Las cuales deben ser resueltas en forma simultnea.


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28

El siguiente es el grfico de la solucin de la ecuacin diferencial de segundo

orden empleando el mtodo de Euler, y el correspondiente listado de las instrucciones

enMATLAB.

Aunque la respuesta dey(t) se muestra en el grfico como una lnea continua,

debe recordarse que la solucin de la ecuacin diferencial solo existe en los instantes

{ti} en los cuales se calcul.

%Ejemplo 4.3

%Solucin de una ecuacin diferencial de segundo orden

%utilizando el mtodo de Euler (Runge-Kutta de 1er orden)

%Ecuacin de ejemplo: (p^2+1.5*p+3) y(t) = 3

%

clear

%definir la ecuacin diferencial

%como dos ecuaciones diferenciales de 1er orden)

f1=inline('x2','x1','x2','t');

f2=inline('-1.5*x2-3*x1+3','x1','x2','t');

%

%condiciones iniciales y tiempos

x1o=0.;x2o=0;to=0;dt=0.0625;tu=8.0;

x1(1)=x1o;x2(1)=x2o;t(1)=to;

n=0;

%

%solucin numrica

while t(n+1) < tu

n=n+1;

k11=dt*f1(x1(n),x2(n),t(n));

k12=dt*f2(x1(n),x2(n),t(n));

x1(n+1)=x1(n)+k11;

x2(n+1)=x2(n)+k12;

t(n+1)=t(n)+dt;


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29

end

%


plot(t,x1,'b')

grid on title('Solucin de (p^2 + 1.5 * p + 3) y(t) = 3 por el mtodo de Euler')

xlabel('tiempo'),ylabel('y(t)')

Figura 8. Solucin de la ecuacin diferencial de segundo orden empleando el mtodo de Euler


4.4 ODESolvers

en MATLAB y SimulinkMATLAB y Simulinkcomparten el mismo conjunto de rutinas para la solucin

de ecuaciones diferenciales ordinarias el cual incluye los siguientes mtodos:

4.4.1 Mtodos de paso variable

Sistemas no rgidos Ode45 - frmula Runge-Kutta (4,5) explcita, Dormand-Prince, exactitud

media (mtodo utilizado por omisin).

Ode23 - frmula Runge-Kutta (2,3) explcita, Bogacki-Shampine, exactitudbaja.

Ode113 - frmula de Adams-Bashforth-Moulton (1,13), exactitud baja aalta.


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30

Sistemas rgidos Ode15s -frmula de diferencias retrgradas, Klopfenstein-Shampine

(1,5), exactitud baja a alta. Ode23s - frmula de modificada de Rosenbrock (2,3), exactitud baja. Ode23t - integracin trapezoidal, sistema moderadamente rgidos,

exactitud baja.

Ode23tb - mtodo hbrido, trapezoidal diferencias retrgradas,exactitud baja.

4.4.2 Mtodos de paso fijo (solo en Simulink)

Ode1 - frmula de Euler.

Ode2 - frmula de Euler modificada.

Ode3 - versin de paso fijo del ode23.

Ode4 - frmula Runge-Kutta de 4o orden.

Ode5 - versin de paso fijo del ode45.

4.4.3 Ejemplo

El llamado general a las rutinas de solucin de ecuaciones diferenciales en

MATLAB es:

[t,y] = odesolver('f',intervalo,yo)

En donde odesolveres el nombre del mtodo a utilizar, seleccionado de entre

los listados en 4.4.1 o 4.4.2.

El siguiente es el listado de instrucciones y el grfico correspondiente para la

solucin de un sistema de control proporcional de una planta de segundo orden

utilizando el ode45 deMatlab.

%Ejemplo 4.4

%Utilizacin de la rutina ode45 (Runge-Kutta 4/5)

%las ecuaciones diferenciales (modelo) estn contenidas

%en el archivo modelo_44.m

%

clear


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31

%

%Intervalo de solucin

to=0;tu=20;

%

%llamado al "ode solver"

[t,y]=ode45('modelo_44',[to tu],[0 0]);

%


plot(t,y(:,1))

grid on

title('Ejemplo del uso de la rutina ODE45')

xlabel('tiempo, seg'),ylabel('y(t)')

El modelo a resolver debe proporcionarse en un archivo separado.

function px=modelo(t,x)

%Ejemplo 4.4

%Archivo modelo_44.m con definicin del modelo

%(conjunto de ecuaciones diferenciales)

%la funcin debe devolver un vector columna

%

%Modelo de ejemplo - control P de una planta de segundo orden

r=1;Kc=1.5;

%realimentacin

e=r-x(1);

%controlador P

u=Kc*e;

%planta

px1=x(2);

px2=-x(1)-0.5*x(2)+u;

px=[px1; px2];


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32

Figura 9. Ejemplo de uso de rutina de ODE45


4.5 ODESolversen Scilab

Al igual que MATLAB el programa Scilab provee varias rutinas para la

solucin de un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. El llamado

general al mtodo de solucin es:

y = ode([tipo],yo,to,t,f)

En donde el tipo define la rutina a utilizar tenindose disponibles las

siguientes:

adams - mtodo predictor -corrector de Adams, sistemas no rgidos. stiff - mtodo de diferencias retrgradas, sistemas rgidos. rk - Runge-Kutta de 4 orden, paso variable. rkf - Runge.Kutta-Felhberg (4,5), Shampine-Watts, sistemas no

rgidos o de rigidez moderada.

fix igual a rkf, menos argumentos en la llamada. root rutina de solucin con capacidad de encontrar races. discrete- simulacin en tiempo discreto. omisin - selecciona automticamente entre adams y stiff.


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33

El siguiente es el listado de instrucciones en Scilab y el grfico

correspondiente, para la obtencin del movimiento en el plano de fase de los estados

de un sistema de segundo orden libre y con condiciones iniciales diferentes de cero,

utilizando la instruccin ode.

Figura 9. Grfico de instrucciones en Scilab


//Ejemplo 4.5

//Utilizacin de la instruccin ode de Scilab

//Dibujo del movimiento en el plano de fase

//de los estados de un sistema de segundo orden

//Funcin de ejemplo: (p^2+0.5*p+3) x(t) = 0

//

clear

t=0:0.05:20;

//definir el sistema como una funcin

//dos ecuaciones diferenciales de primer orden

function px=modelo(t,x)

px(1)=x(2)

px(2)=-3*x(1)-0.5*x(2)

endfunction

//

//llamado al "ode solver" con el mtodo Runge-Kutta de 4 orden

x=ode('rk',[4;6],0,t,modelo);


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34

//

//dibujar el plano de fase

plot2d(x(1,:),x(2,:),style=5)

xgrid(4),xtitle('','x1','x2')

//

//el cambio de la posicin de los ejes coordenados

//y del tamao y color de las escalas y leyendas,

//se realiz con las facilidades de Scilab

//para la edicin de las propiedades de las figuras

4.6 Mtodos de integracin en VisSim

Este programa de simulacin digital permite seleccionar entre los siguientes

mtodos de solucin del sistema dinmico:

Euler . Trapezoidal . Runge-Kutta 2o orden (Euler modificado) . Runge-Kutta de 4o orden . Runge-Kutta de 5o orden (paso variable). Bulirsh-Stoer (polinomios racionales) . Euler (diferencias retrgradas), para sistemas rgidos.5. Comparacin de los mtodos de solucin de EDO

Como se ha indicado anteriormente, la exactitud de un mtodo numrico de

solucin de ecuaciones diferenciales depende de su tipo y orden, y del pasado de

integracin utilizado. Es de utilidad contar entonces con una programa o herramienta

que permita comparar las caractersticas de la solucin de una ecuacin diferencial,

utilizando diferentes mtodos de solucin y diferentes pasos de integracin.

El programa SysQuake (Calerga, Suiza), es un programa CACSD similar en

cierta forma al Matlab, pero que incorpora facilidades extra para al interaccin entre

el usuario y los programas desarrollados en este. A continuacin se presenta la

solucin de la ecuacin diferencial obtenida utilizando el mtodo de


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Euler y el Runge-Kutta de cuarto orden con un paso de integracin =0.80 y elprograma ucr.ie431.solucin_edo.sq1 Versin 1.22 desarrollado en SysQuake LE.

Este programa permite seleccionar entre los siguientes mtodos de solucin de

ecuaciones diferenciales:

Euler . Euler modificado . Integracin trapezoidal . Regla de Simpson . Heun . Runge-Kuta de 4o orden . Runge-Kutta-Simpson .Se puede variar el paso de integracin para ver su efecto en la solucin

diferencial y tambin cambiar la ecuacin diferencial que se desea resolver.

Figura 10. Solucin de la EDO por el mtodo Euler



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Figura 11. Solucin de la EDO por el mtodo Runge-Kutta 4to Orden



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Conclusin

Los mtodos numricos han permitido crear nuevas y mejores tcnicas e

instrumentos, facilitando el descubrimiento de materiales radiactivos de alto nivel

productivo. Los mtodos ms utilizados en la actualidad son los mtodos integrales

debido a que poseen mayor estabilidad numrica en cuanto a problemas que necesitan

anlisis minuciosos en cuanto a ecuaciones electromagnticas se refiere.

Los mtodos numricos pueden atacar gran cantidad de problemas que estn

presentes hoy en da en las diferentes reas de lo que a ciencia se refiere, por ejemplo,

matemticas, la qumica, la fsica, la ingeniera entre otras por medio de clculos. Es

por ello que se le otorga gran seguridad siempre y cuando los clculos se realicen

correctamente por medio de sus procedimientos.

Lo que se llaman mtodos numricos han permitido que hoy en da el ser

humano pueda ampliar sus conocimientos y hacer posible gran cantidad de ideas

mediante el anlisis y la interaccin con las operaciones numricas, obteniendo as

grandes resultados que los han llevado a un presente y a un futuro mejor.

En este caso se har nfasis a los diferentes tipos de mtodos numricos con el

cual pueden trabajar las antenas entre otros.


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Referencias Bibliogrficas

Libros

BALANIS, C.A. (1982). Antenna Theory: Analysis and Desig.

CARDAMA AZNARAntenas

KRAUS, J.D. (1990). Antennas. McGraw-Hill, New York

Referencias Web

Vctor M. Alfaro, Universidad de Costa Rica

http://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdf,

Febrero de 2002 Rev. Diciembre de 2005.

Gonzalo Casaravilla

www.fing.edu.uy/inco/cursos/numerico/ed/final/magnetoestatica.pdf,

Noviembre 2002.

eisc.univalle.edu.co/cursos/web/.../MN_DiferenciacionIntegracion.pdf
http://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdfhttp://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdfhttp://www.fing.edu.uy/inco/cursos/numerico/ed/final/magnetoestatica.pdfhttp://www.fing.edu.uy/inco/cursos/numerico/ed/final/magnetoestatica.pdfhttp://www.fing.edu.uy/inco/cursos/numerico/ed/final/magnetoestatica.pdfhttp://www.fing.edu.uy/inco/cursos/numerico/ed/final/magnetoestatica.pdfhttp://www.fing.edu.uy/inco/cursos/numerico/ed/final/magnetoestatica.pdfhttp://www2.eie.ucr.ac.cr/~valfaro/docs/Vma.ucr.metodos_numericos.pdf

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Trabajo de Metodos Numericos

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