Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Civil...

Equation Chapter 1 Section 1

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería Civil

Programación en Matlab del Método de los

Elementos de Contorno aplicado a problemas

acústicos

Autor: Pedro Palomo Cantador

Tutor: Luis Rodríguez de Tembleque Solano

Departamento de Mecánica de los Medios

Continuos y Teoría de Estructuras

Sevilla, Junio de 2015

Universidad de Sevilla

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

ii

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería Civil

Programación en Matlab del Método de los

Elementos de Contorno aplicado a problemas

acústicos



Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y

Teoría de Estructuras

Universidad de Sevilla

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Sevilla, Junio de 2015

Trabajo Fin de Grado: Programación en Matlab del Método de los Elementos de Contorno aplicado a

problemas acústicos.



El tribunal nombrado para juzgar el Trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2015

El Secretario del Tribunal

Agradecimientos

Quisiera dedicar esta seccion a agradecer a mi tutor Luis Rodrıguez de Tembleque

Solano, por darme la oportunidad de realizar este trabajo y por guiarme, dandome ademas

un gran apoyo durante toda la realizacion del mismo. Te considero un referente tanto a

nivel academico como humano.

Me gustarıa dedicarle este trabajo tambien a mis padres, por su apoyo incondicional y

su entrega durante toda la carrera, para facilitarmelo todo y que solo tuviera que centrarme

en los estudios. Nunca me falto vuestro consuelo en los momentos de debilidad y tristeza,

gracias.

Al resto de mis familiares: mi hermano, mis tıos, mis abuelos . . . por colaborar en la

medida de lo posible a que nada me faltara y me fuera todo mas facil, os lo agradezco

tambien profundamente.

Agradecer a mis companeros de carrera su ayuda e interes por mi persona, no solo en

lo relativo a la universidad, sino tambien en la vida que hay fuera de ella, me ayudasteis

no solo a mejorar como alumno y companero, sino tambien como persona. Tambien a los

que comenzaron y no pudieron terminar, todavıa hoy los recuerdo y les deseo lo mejor en

sus nuevos desafıos y oportunidades.

Tampoco quisiera olvidarme de darle las gracias a los profesores que he tenido durante

estos anos, por ayudarme a crecer en el plano intelectual, pero sobre todo en el de la cultura

del esfuerzo, el sacrificio y la superacion diaria. Estos valores son imprescindibles en la

vida y sin vosotros no los habra alcanzado del mismo modo.

Por ultimo, quisiera condensar toda mi etapa en la universidad en una frase celebre que

me marco y me ayudo a querer dar siempre el maximo: El exito tiene una simple formula:

da lo mejor de ti y puede que a la gente le guste-Sam Ewing.

2

3

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A mis padres,

Antonio y Candida.

Indice general

Agradecimientos 2

Indice general 4

Indice de figuras 7

Indice de cuadros 11

1. Introduccion 12

1.1. Estudio y motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Estructuracion del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Conceptos fundamentales de acustica 14

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Ecuaciones basicas del problema acustico . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1. La ecuacion de onda linealizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2. Ondas armonicas planas: la ecuacion de Helmholtz . . . . . . . . 15

2.2.3. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Magnitudes para medir el sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1. Intensidad acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2. Impedancia acustica especıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.3. Nivel de presion sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.4. Coeficiente de perdida por insercion . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Representacion integral para problemas escalares 19

3.1. Relacion de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4

Indice general 5

3.2. Solucion fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Igualdad integral en el contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4. Condicion de radiacion en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5. Igualdad para el problema exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.6. Problemas de scatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7. No unicidad de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.8. Uso del Metodo de los Chief Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.9. Solucion fundamental para el semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Formulacion e implementacion del MEC en problemas acusticos 2D 35

4.1. Introduccion y descripcion general de la metodologıa . . . . . . . . . . . 35

4.2. Ecuacion integral de Helmholtz para problemas bidimensionales . . . . . 35

4.3. Discretizacion del contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1. Elementos constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.2. Elementos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.3. Elementos cuadraticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.4. Desarrollo del plantemiento numerico de la identidad integral . . 39

4.4. Utilizacion del Metodo de los Chief Points y solucion por mınimos cuadrados 41

4.5. Aplicacion al estudio de pantallas de atenuacion acustica . . . . . . . . . 41

4.6. Funciones implementadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. Formulacion e implementacion del MEC en problemas acusticos 3D 53

5.1. Introduccion y descripcion general de la metdologıa . . . . . . . . . . . . 53

5.2. Ecuacion integral de Helmholtz para problemas tridimensionales . . . . . 54

5.3. Discretizacion del contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.1. Elementos constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3.2. Elementos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3.3. Desarrollo del plantemiento numerico de la identidad integral . . 57

5.4. Utilizacion del Metodo de los Chief Points y solucion por mınimos cuadrados 60

5.5. Funciones implementadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6. Ejemplos numericos 67

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2. Ejemplos de validacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2.1. Problema 1 interior 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Indice general 6

6.2.2. Problema 2 interior 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.3. Problema exterior 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2.4. Problema de scatter 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.5. Problema interior 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2.6. Problema exterior 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3. Aplicacion al calculo de pantallas de atenuacion acustica . . . . . . . . . 94

6.3.1. Pantalla con contorno reflejante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.3.2. Pantalla con contorno absorbente . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.4. Analisis de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7. Resumen y conclusiones 100

7.1. Resumen de los contenidos desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.2. Conclusiones del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Anexos 104

A. Interaccion LaTeX-Matlab para la incorporacion de codigos a documentos 105

B. Codigo acustico interior 2D 108

C. Codigo acustico exterior 2D 128

D. Codigo para problemas de scatter 2D 134

E. Codigo para pantallas acusticas 2D 144

F. Codigo acustico interior 3D 166

G. Codigo acustico exterior 3D 209

H. Aplicacion del MEC a problemas de potencial 211

I. Codigo para problemas de potencial 2D 215

Bibliografıa 240

Indice de figuras

3.1. Ecuacion Integral y Solucion Fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Igualdad integral en el contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3. Termino libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. (a)Problema interior.(b)Problema Exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Formulacion integral del problema exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6. Problema de scatter con una onda incidente Pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.7. Semiespacio 2D con la pantalla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.8. Representacion de fuente e imagen para la solucion fundamental. . . . . . . . . . . 33

4.1. Tipologıas de elementos empleadas para discretizar. . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Funcion de forma constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3. Funciones de forma lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4. Funcion de forma cuadraticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5. Diagrama de flujo del problema interior para elementos constantes. . . . . . . . . . . 50

4.6. Diagrama de flujo del problema exterior para elementos constantes. . . . . . . . . . 50

4.7. Diagrama de flujo del problema de pantallas para elementos cuadraticos. . . . . . . . 51

4.8. Desglose de la funcion GHMATPQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.9. Desglose de la funcion INTERPQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1. Angulo interno en problemas 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2. Funcion de forma constante del problema 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3. Ejemplo de funcion de forma lineal 3D(φ3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4. Elemento j que actua sobre nodo i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5. Elemento j que actua sobre nodo i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6. Diagrama de flujo para problema interior 3D con elementos lineales. . . . . . . . . . 65

5.7. Diagrama de flujo para problema exterior 3D con elementos lineales. . . . . . . . . . 66

7

Indice de figuras 8

6.1. Geometrıa de la cavidad 2D(condiciones de contorno del problema 1). . . . . . . . . 68

6.2. Solucion en los nodos del contorno con elementos constantes. . . . . . . . . . . . . 69

6.3. Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos constantes. . . . . . . . . 69

6.4. Solucion en los nodos del contorno con elementos lineales. . . . . . . . . . . . . . 70

6.5. Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos lineales. . . . . . . . . . 70

6.6. Solucion en los nodos del contorno con elementos cuadraticos. . . . . . . . . . . . . 71

6.7. Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos cuadraticos. . . . . . . . 71

6.8. Solucion en los nodos del contorno con elementos constantes. . . . . . . . . . . . . 72

6.9. Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos constantes. . . . . . . . . 73

6.10. Solucion en los nodos del contorno con elementos lineales. . . . . . . . . . . . . . 73

6.11. Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos lineales. . . . . . . . . . 74

6.12. Solucion en los nodos del contorno con elementos cuadraticos. . . . . . . . . . . . . 74

6.13. Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos cuadraticos. . . . . . . . 75

6.14. Solucion en los nodos del contorno, para la primera frecuencia con elementos lineales. . 76

6.15. Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la primera frecuencia con

elementos lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.16. Solucion sin usar chief points (desestabilizada) en los nodos del contorno, para la segunda

frecuencia con elementos lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.17. Solucion sin usar chief points (desestabilizada) a lo largo de una recta del dominio infi-

nito, para la segunda frecuencia con elementos lineales. . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.18. Solucion estabilizada en el contorno, (empleo del Metodo de los Chief Points ) para la

segunda frecuencia con elementos lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.19. Solucion estabilizada en el dominio, (empleo del Metodo de los Chief Points) para la

segunda frecuencia con elementos lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.20. Solucion en el contorno cuando hay una onda plana incidente. . . . . . . . . . . . . 79

6.21. Solucion en el dominio considerando solo la difraccion, cuando hay una onda plana in-

cidente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.22. Solucion en el dominio considerando reflexion y difraccion, cuando hay una onda plana

incidente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.23. Solucion en el contorno cuando hay una onda esferica incidente. . . . . . . . . . . . 81

6.24. Solucion en el dominio considerando solo la difraccion, cuando hay una onda esferica

incidente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.25. Solucion en el dominio considerando reflexion y difraccion, cuando hay una onda esferi-

ca incidente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Indice de figuras 9

6.26. Geometrıa de la cavidad 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.27. Solucion en los nodos del contorno del prisma rectangular con elementos lineales. . . . 84

6.28. Solucion a lo largo de una recta del dominio, paralelela al eje y con elementos lineales. . 84

6.29. Vista 3D de la solucion a lo largo de rectas del dominio, paralelelas al eje y con elementos

lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.30. Solucion en los nodos del contorno del prisma rectangular con elementos lineales. . . . 85

6.31. Solucion a lo largo de una recta del dominio, paralelela al eje y con elementos lineales. . 86

6.32. Vista 3D de la solucion a lo largo de rectas del dominio, paralelelas al eje y con elementos

lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.33. Solucion en los nodos del contorno de la circunferencia, para la primera frecuencia. . . 87

6.34. Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la primera frecuencia. . . . . 88

6.35. Vista 3D de la solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la primera

frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.36. Solucion en el contorno, para la segunda frecuencia sin emplear chief points. . . . . . 89

6.37. Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda frecuencia sin

emplear chief points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.38. Vista 3D de la solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda

frecuencia sin emplear chief points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.39. Solucion en el contorno, para la segunda frecuencia empleando 1 chief point. . . . . . 90

6.40. Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda frecuencia emplean-

do 1 chief point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.41. Vista 3D de la solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda

frecuencia empleando 1 chief point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.42. Solucion en el contorno, para la segunda frecuencia empleando 10 chief points. . . . . 92

6.43. Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda frecuencia emplean-

do 10 chief points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92



6.46. Geometrıa de la primera pantalla(reflejante). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.47. Espectro de perdida por insercion de la primera pantalla, obtenido mediante los codigos

adjuntados en los anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.48. Espectro de perdida por insercion de la primera pantalla, sacado del libro de Maeso y

Aznarez [4] (2004). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.49. Geometrıa de la segunda pantalla(absorbente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Indice de figuras 10

6.50. Espectro de perdida por insercion de la segunda pantalla, obtenido mediante los codigos

adjuntados en los anexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.51. Espectro de perdida por insercion de la segunda pantalla, sacado del libro de Maeso y

Aznarez [4] (2004). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

H.1. Geometrıa del problema de potencial estudiado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Indice de cuadros

H.1. Resultados en el dominio con elementos constantes. . . . . . . . . . . . . 213

H.2. Resultados en el dominio con elementos lineales. . . . . . . . . . . . . . 213

H.3. Resultados en el dominio con elementos cuadraticos. . . . . . . . . . . . 213

H.4. Solucion analıtica de los resultados en el dominio. . . . . . . . . . . . . . 214

11

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Estudio y motivacion

Este trabajo se inicio con el objetivo de profundizar en los conocimientos de los meto-

dos matematicos avanzados y la programacion para la compresion de una de las principales

herramientas empleadas para la modelizacion en ingenierıa como es el Metodo de los Ele-

mentos de Contorno y para la posterior implementacion en Matlab de los planteamientos

teoricos estudiados. Se enmarca por tanto este trabajo, dentro del contexto de un proyecto

mas amplio en el que el MEC no es la unica herramienta empleada para la modelizacion,

sino que tambien se incluyen otras como puede ser el MEF. En cualquier caso, este docu-

mento esta exlusivamente orientado a la formulacion e implementacion del MEC, con el

objetivo de abarcar la mayor cantidad posible de aplicaciones que ofrece dicho metodo.

1.2. Antecedentes

Este trabajo tiene como referencia fundamental cinco libros, incluidos en la biblio-

grafıa, en los que se recogen los principios fundamentales para la implementacion de los

problemas acustico y de potencial mediante el MEC. En algunos de dichos libros se reco-

gen ademas codigos en lenguage Fortran, que se adaptaron para poderse traducir a lenguaje

de Matlab. A partir de esos codigos ya en el nuevo lenguaje, se elaboraron otros codigos

mas complejos que permitıan un funcionamiento mas general de los programas, ası co-

mo integraban de una forma mas compacta y vinculada las distintas subrutinas, evitando

la necesidad de que el usuario del programa debiera realizar varias interacciones con el

12

Capıtulo 1. Introduccion 13

mismo, siendo tan solo necesaria la introduccion de un fichero inicial con los datos de los

parametros a emplear en la correspondiente ejecucion del programa.

Dentro de los libros que este trabajo tiene como referencia, me gustarıa remarcar la

importancia que ha tenido para el desarrollo de este documento, el libro de Dominguez

[2] (1993) en el que se aplica el Metodo de los Elementos de Contorno a problemas de

potencial, pues fueron sus planteamientos teoricos junto con el codigo adjuntado en len-

guaje Fortran nuestro punto de partida, para poder luego desarrollar la implementacion

del problema acustico. Se han incluido dos anexos al final de este documento en los que

se ha hecho un resumen de las ideas para la formulacion del MEC para los problemas de

potencial y se ha adaptado y traducido el codigo en lenguaje Fortran a lenguaje de Matlab.

1.3. Estructuracion del trabajo

El trabajo se ha estructurado de la siguiente forma: tras este primer capıtulo introduc-

torio, los dos siguientes capıtulos se han dedicado a explicar los conceptos basicos y la

representacion integral del problema acustico de una forma general, comun a los espacios

bidimensional y tridimensional; los dos siguientes, es decir los capıtulos 4 y 5, se han

dedicado a desarrollar la formulacion e implementacion del MEC para el problema 2D y

para el 3D respectivamente; el capıtulo 6 recoge todos los ejemplos numericos de aplica-

cion de los codigos descritos en los dos anteriores capıtulos, incluyendo tanto ejemplos

de validacion como ejemplos de aplicacion practica en la realidad; el capıtulo 7 incluye

un resumen de los contenidos desarrollados a lo largo del trabajo, ası como las principales

conclusiones obtenidas en el mismo y una breve seccion destinada a ubicar este documen-

to dentro de un marco de trabajos futuros. Por ultimo se adjuntan una serie de anexos, en

los que se recogen los codigos explicados anteriormente ası como los de otra aplicacion

del MEC como son los problemas de potencial, que como se ha senalado fue el punto de

partida de este trabajo.

Capıtulo 2

Conceptos fundamentales de acustica

2.1. Introduccion

En este capıtulo se introduciran los fundamentos de la acustica, aplicables a problemas

con pequenas perturbaciones de amplitud en fluidos homogeneos, no viscosos y en reposo.

Sobre estas hipotesis de acustica lineal, seran sobre las que se apoyara el desarrollo de todo

este trabajo. Por contra, los problemas con perturbaciones de amplitud finita, se incluyen

dentro de la acustica no lineal y quedan fuera del alcance de este documento.

2.2. Ecuaciones basicas del problema acustico

2.2.1. La ecuacion de onda linealizada

Para el tratamiento de pequenas perturbaciones de amplitud en problemas aplicados a

medios homogeneos, no viscosos y en reposo, las ecuaciones de la acustica lineal son las

siguientes:

∂P

∂ t+ρOc2∇ ·V = 0

ρ0∂V

∂ t=−∇P

∂P

∂ t+V ·∇Po = c2

(

∂P

∂ t+V ·∇Po

)

(2.1)

14

Capıtulo 2. Conceptos fundamentales de acustica 15

La primera es la ecuacion de conservacion de la masa, la segunda es la ecuacion de

Euler(ecuacion de momento linealizado) y la tercer se obtiene de asumir que el proceso

es adiabatico. Estas tres ecuaciones se combinan para dar lugar a la ecuacion de onda

linealizada:

ρ0∇ ·(

1

ρ0∇P

)

− 1

c2

∂ 2P

∂ t2= 0 (2.2)

Para medios homogeneos, la ecuacion (2.2) se simplifica en:

∇2P− 1

c2

∂ 2P

∂ t2= 0 (2.3)

2.2.2. Ondas armonicas planas: la ecuacion de Helmholtz

Si la variacion espacial de todas las variables acusticas del problema depende de una

sola coordenada, nos encontramos ante un caso de ondas planas. Si ademas las condicio-

nes de contorno y las fuentes internas de presion(en el caso de haberlas) presentan una

variacion temporal de tipo de armonico con pulso ω , todas las variables acusticas seran

tambien armonicas con el mismo pulso. Bajo estas condiciones, se obtiene la ecuacion de

onda en el dominio de la frecuencia:

d2 p

dx2+ k2 p+

1

c2b = 0 (2.4)

donde p = p(x,ω) es la funcion de respuesta compleja, x es una coordenada generica

y k es el numero de onda k =ω

c. En ausencia de fuentes internas, la ecuacion homogenea

que se obtiene es la conocida como ecuacion de Helmholtz:

d2p

dx2+ k2 p = 0 (2.5)

2.2.3. Condiciones de contorno

Los problemas acusticos en el dominio de la frecuencia deben cumplir con las condi-

ciones impuestas en los contornos, que pueden ser de tres tipos:


p = p : presion conocida(condicion tipo Dirichlet)

∂ p

∂n= q : flujo conocido(condicion tipo Neumann)

∂ p

∂n= −ikβ p : condicion mixta(condicion tipo Robin)

En la ultima condicion de contorno, β representa la admitancia del contorno, de forma

que si β = 0, el contorno es acusticamente rıgido y si β = 1, toda la energıa que incide

en el contorno, sale del dominio, por tanto implica que ambos medios tienen identicas

propiedades.

2.3. Magnitudes para medir el sonido

2.3.1. Intensidad acustica

La intensidad acustica I de una onda, se define como el promedio de la potencia acusti-

ca transmitida a lo largo del tiempo a traves de un area unitaria normal a la direccion

de propagacion, en una posicion fija del espacio. En el sistema internacional se mide en

(W/m2). Para nuestro caso particular de ondas planas en regimen armonico, tiene la si-

guiente expresion:

I =1

ρ0c

1

T

∫ T

0p2dt (2.6)

2.3.2. Impedancia acustica especıfica

La impedancia acustica especıfica se define como el cociente entre la presion acustica

en un medio y la velocidad de partıcula asociada. Para ondas planas, este cociente es un

valor real, cuyo signo depende del sentido de la propagacion:

z =±ρ0c (2.7)

2.3.3. Nivel de presion sonora

El oıdo humano responde de manera lineal a la energıa que le llega, la cual es propor-

cional al cuadrado de la presion acustica.


El rango de presion detectable por el oıdo humano es bastante amplio,(entre 20µPa y

60 Pa)por lo que se debe usar una escala comprimida. Se utiliza la escala logarıtmica con

un factor de 10, definiendose de esta forma el decibelio(dB).

El nivel de presion sonora p se dice que es Lp decibelios(dB) mayor o menor que una

determinada presion de referencia pre f segun la siguiente expresion:

Lp = 10 · log10< p2 >

< p2re f >

(dB) (2.8)

donde 〈p2〉 se refiere a la media cuadratica temporal.

2.3.4. Coeficiente de perdida por insercion

En este documento se tratara el uso de pantallas acusticas para la atenuacion de sonido.

El medir en decibelios la reduccion obtenida por interponer una de dichas pantallas, es una

buena forma de evaluar la eficacia de dicha estrategia. Se denomina perdida por insercion

de la pantalla IL a la diferencia de presion sonora entre antes y despues de introducir la

medida correctora:

IL = SPLdespues −SPLantes

IL = 10 · log10

< p2despues >

< p2re f >

−10 · log10< p2

antes >

< p2re f >

IL = 10 · log10

< p2despues >

< p2antes >

(dB)

(2.9)

Si se pretende calcular el coeficiente de insercion global, conocidos los coeficientes

de insercion para cada frecuencia y el espectro en frecuencia de una fuente generica, el

coeficiente de insercion para un tono puro, puede expresarse de la siguiente forma:

IL = 10 · log10|Pi|2|P∗

i |2

(2.10)

Introducimos ahora el coeficinete αi como el porcentaje de presion sonora aportado en

la fuente por la frecuencia i a la presion sonora total:


αi =|Pi|2|P|2 =

10ILi10

∑i 10ILi10

(2.11)

Sustituımos lo anterior en la definicion de IL total y operando llegamos a:

IL = 10 · log10

(

∑i

αi ·10ILi10

)

(dB) (2.12)

Esta expresion permite obtener el coeficiente IL medio espectral a partir de los ILi de

cada componente del espectro.

Capıtulo 3

Representacion integral para problemas

escalares

3.1. Relacion de reciprocidad

Partimos de la ecuacion de Helmholtz, que gobierna la propagacion de ondas de pre-

sion en un medio homogeneo, no viscoso y lineal en el deominio de la frecuencia:

∇2 p+ k2 p+1

c2b = 0 (3.1)

Ahora buscamos una solucion del problema que anule la integral de volumen del resi-

duo ponderado por un campo virtual de presiones p∗, a la que por el momento solo se le

exige que pueda ser derivada.Obtenemos:

∫

Ω

(

∇2 p+ k2 p+1

c2b

)

p∗dΩ = 0 (3.2)

Integramos por partes dos veces y obtenemos lo siguiente:

∫

Ωp∗∇2 p dΩ =

∫

Ω(p

∗p,i − p

∗,i p),idΩ+

∫

Ωp∇2 p

∗dΩ (3.3)

Ahora aplicamos el teorema de la divergencia sobre la primera integral de dominio del

segundo miembro:

∫

Ωp∗∇2 p dΩ =

∫

Γ(p

∗p,i − p

∗,i p)nidΓ+

∫

Ωp∇2 p

∗dΩ (3.4)

donde Γ representa el contorno del dominio bajo estudio y ni las componentes del

19

Capıtulo 3. Representacion integral para problemas escalares 20

vector normal unitario en puntos del mismo. Teniendo en cuenta ademas que:

∂ p

∂n= p,ini y

∂ p∗

∂n= p,ini (3.5)

podemos escribir (3.4) del siguiente modo:

∫

Ωp∗∇2 p dΩ =

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ−

∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ+

∫

Ωp∇2 p

∗dΩ (3.6)

Sustituyendo esta expresion en el planteamiento residual de 3.2:

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ−

∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ+

∫

Ω

(

∇2p∗+ k2p

∗)

pdΩ+∫

Ω

1

c2bp

∗dΩ = 0 (3.7)

Ahora introducimos una segunda exigencia a la funcion p∗: debera verificar la ecuacion

de gobierno del problema real en su formulacion generica. De esta forma:

∇2 p∗+ k2 p

∗=− 1

c2b∗

(3.8)

Introducimos la ecuacion anterior en 3.7 y tras reordenar, obtenemos finalmente:

∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ+

∫

Ω

1

c2b∗pdΩ =

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ+

∫

Ω

1

c2bp

∗dΩ (3.9)

Esta ecuacion es la relacion de reciprocidad buscada y constituye el punto de partida

para la aplicacion del MEC.

3.2. Solucion fundamental

En esta seccion el objetivo es convertir la relacion de reciprocidad 3.9 en una igual-

dad integral que afecte solo a los contornos del dominio en estudio. Para ello, la funcion

de ponderacion elegida debera verificar (3.8). A dicha funcion de ponderacion la deno-

minaremos solucion fundamental. Partiremos por tanto de la ecuacin 3.9, para el caso

simplificado en que no existen fuentes internas:

∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ+

∫

Ω

1

c2b∗pdΩ =

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ (3.10)

Consideramos la funcion de ponderacion p∗

como el campo de presiones generado por


una funcion delta de Dirac aplicada en una region virtual de iguales propiedades que la

analizada en el problema real, en la que no se tienen en cuenta las condiciones de contorno

de esta. En consecuencia, segun (3.8) p∗

solo tendra que verificar la ecuacion de gobierno

del problema:

∇2p∗+ k2 p

∗+δ (x− xi) = 0 (3.11)

La funcion delta de Dirac es singular en x = xi y vale 0 en el resto de puntos del

dominio. Su integral de volumen extendida a todo el dominio es igual a la unidad. Ma-

tematicamente, puede interpretarse como el lımite de una funcion impulso rectangular

cuando la dimension de su base tiende a cero. Fısicamente, representa una fuente puntual

armonica que pulsa a la misma frecuencia que el problema real, aplicada en un punto de

coordenadas xi, que en un principio consideramos que es interior al dominio de estudio.

Teniendo en cuenta estas propiedades, la integral de volumen de 3.10 puede escribirse as:

∫

Ω

1

c2b∗pdΩ =

∫

Ωδ (x− xi)pdΩ = pi (3.12)

Con lo que la relacion de reciprocidad queda de la siguiente forma:

pi +

∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ =

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ (3.13)

De esta forma, (3.13) permite obtener, mediante la solucion fundamental, el valor de

la presion en cualquier punto interno del dominio, conocido su valor y el de su derivada

en el contorno del mismo.

i’

Ω

Γ

i

r r’

∞∞

∞

∞Figura 3.1: Ecuacion Integral y Solucion Fundamental.


La solucion fundamental (correspondiente a la solucion de 3.11) para problemas armoni-

cos escalares bi y tridimensionales, se muestra a continuacion:

p∗(k,r) =

1

2πK0(ikr) problemas 2D

p∗(k,r) =

1

4πre−ikr problemas 3D

(3.14)

donde r es la distancia entre el punto i de aplicacion de la fuente puntual(punto de

colocacion) y el punto donde se quiere calcular el valor de la variable p∗

(punto de obser-

vacion). En el problema bidimensional, K0 representa la funcion modificada de Bessel de

segunda especie y orden cero, cuyo argumento es ikr.

Tambien podemos colocar la fuente de presion en un punto exterior al dominio en es-

tudio. En este caso se anula la integral de volumen correspondiente de (3.10) y la relacion

de reciprocidad queda ası:

∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ =

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ (3.15)

Teniendo en cuenta todo lo anterior e incluyendo ademas la posibilidad de una fuente

de presion interna (delta de Dirac) en un punto x0, la relacion de reciprocidad queda de la

siguiente forma:

pi +∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ = p

∗0 +

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ (3.16)

Esta sera la expresion que emplearemos como punto de partida en la formulacion del

MEC.

3.3. Igualdad integral en el contorno

En esta seccion se pretende obtener ahora una igualdad integral que afecte solo a pun-

tos del contornos, lo cual requiere de la aplicacion de la fuente en puntos del mismo. La

dificultad se encuentra en las singularidades que aparecen en los integrandos de (3.16)

cuando situamos el punto xi sobre el contorno Γ del problema.


iΩ

Γε

ε

n

Γ−Γε

Figura 3.2: Igualdad integral en el contorno.

La estrategia que permite esquivar la singularidad a la hora de evaluar las integrales en

el contorno, consiste en recrecer infinitisimalmente el dominio en el contorno del punto

de colocacion mediante un contorno circular de radio ε . Con ello, el punto de colocacion

es interno al dominio y por tanto se puede aplicar (3.16). Se presentan a continuacion las

integrales de contorno como la suma de otras dos extendidas a los contornos Γ−Γε y Γε

respectivamente.

pi +

∫

Γ−Γε

p∂ p

∗

∂ndΓ+

∫

Γε

p∂ p

∗

∂ndΓ = p

∗0 +

∫

Γ−Γε

∂ p

∂np∗dΓ+

∫

Γε

∂ p

∂np∗dΓ (3.17)

Ahora hay que conseguir que esta igualdad integral implique solo variables del con-

torno. Para ello sera necesario estudiar el comportamiento de estas integrales cuando ε

tiende a cero. Las primeras integrales no presentan problemas ya que el contorno sobre el

que se extienden no incluye singularidad. Por otra parte, las extendidas al contorno infini-

tesimal Γε estan perfectamente acotadas en el lımite.

Teniendo en cuenta lo anterior, para las integrales extendidas al contorno diferencial,

distinguiremos entre aquella que incorpora en su integrando la solucion fundamental en

presiones p∗

y aquella que tiene que ver con su derivada respecto de la normal.

lımε→0

∫

Γε

∂ p

∂np∗dΓ = lım

ε→0

∫ α

0

∂ p

∂n

1

2πK0(ikε)εdα (3.18)


θ

i

Ω

n

ε dα

εdα

Figura 3.3: Termino libre.

Teniendo en cuenta que ε es constante, y que en el lımite la variable de campo es

constante y con el valor que adopta en el punto de colocacion, podemos reescribir 3.18

como sigue:

lımε→0

∫

Γε

∂ p

∂np∗dΓ = (

∂ p

∂n)i

α

2πlımε→0

[K0(ikε)ε] (3.19)

donde α es el angulo exterior de la esquina en radianes. Teniendo ademas en cuenta la

expresion de K0 en el lımite, podemos concluir.

lımε→0

∫

Γε

∂ p

∂np∗dΓ =

(

∂ p

∂n

)

i

α

2πlımε→0

[

Ln(1

ε)ε

]

= 0 (3.20)

Por otro lado, la integral que incorpora la derivada de la solucion fundamental tiene un

comportamiento diferente. Realizando un proceso analogo podemos escribir:

lımε→0

∫

Γε

p∂ p

∗

∂ndΓ = lım

ε→0

∫ α

0p(−ik)

2πK1(ikε)

∂ r

∂nεdα (3.21)

Para el contorno cirular Γε se cumple ademas:

∂ r

∂n= r,ini = 1 (3.22)

Teniendo en cuenta la expresion de K1(ikε) junto con lo anterior, podemos desarrollar

(3.21) del siguiente modo:


lımε→0

∫

Γε

p∂ p

∗

∂ndΓ = pi(−ik)

α

2πlımε→0

(

1

ikεε

)

=− α

2πpi (3.23)

Para terminar, sustituımos (3.20) y (3.23) en (3.17) y obtenemos:

ci pi +∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ = p

∗0 +

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ (3.24)

donde:

ci = 1− α

2π=

θ

2π(3.25)

En la expresion anterior θ representa el angulo interno de la esquina en radianes. El

termino adicional (ci) a considerar en la fomulacion integral en el contorno, recibe el

nombre de termino libre. Depende exclusivamente de la geometrıa del contorno y para

contornos suaves su valor es ci = 0,5.

3.4. Condicion de radiacion en el infinito

Para el problema exterior, la solucion tiene que cumplir las condiciones de radiacion

en el infinito, condicion de radiacion de Sommerfeld, que para problemas n-dimensionales

se expresa matematicamente como sigue:

lımr→∞

rn−1

2

(

∂ p

∂ r+ ikp

)

= 0 (3.26)

Particularizando la expresion anterior para el problema 3-D en un dominio infinito y

con una fuente puntual, obtenemos:

lımr→∞

r

(

∂ p∗

∂ r+ ikp

∗)

= lımr→∞

(p∗) = 0 (3.27)

Estas condiciones suelen expresarse como dos ecuaciones por separado, de forma que

se obtiene:

lımr→∞

r

(

∂ p∗

∂ r+ ikp

∗)

= 0

lımr→∞

(p∗) = 0

(3.28)


donde la primera subecuacion representa la condicion de radiacion y la segunda es

la denominada ecuacion de regularidad. Esta ultima esta vinculada al amortiguamiento

por radiacion propio de ondas bi y tridimensionales. Se puede obeservar por tanto que la

solucion fundamental propuesta del problema cumple las condiciones de radiacion y re-

gularidad en el infinito.

Concluiremos este capıtulo reiterando la importancia de la consideracion de las con-

diciones de radiacion para la obtencion de la unica solucion posible en problemas con

dominio infinito.

3.5. Igualdad para el problema exterior

El problema exterior es muy habitual en acustica. En el, la region estudiada es in-

finita y los contornos son interiores a la misma: son huecos en el interior del dominio

con condiciones de contorno conocidas. En la formulacion integral del problema exterior,

las integrales de superficies se extienden a los contornos interiores del modelo. Para su

tratamiento, consideraremos el problema exterior como un caso particular del problema

interior y aplicaremos la igualdad integral (3.24). Cerraremos artificialmente el dominio

con una circunferencia para los problemas 2-D y con una esfera para los problemas 3-D,

de radio r → ∞ y centrada en el punto de colocacion donde se quiere aplicar la igualdad

integral.

a b

ΩΓ

n

ΩΓ

n

Figura 3.4: (a)Problema interior.(b)Problema Exterior.


Ω

n

Γ i

r

*x0

Γ∞

Figura 3.5: Formulacion integral del problema exterior.

La igualdad integral en el dominio encerrado por el contorno Γ∞ podemos escribirla

ası:

ci pi +∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ+

∫

Γ∞

p∂ p

∗

∂ rdΓ = p

∗0 +

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ+

∫

Γ∞

∂ p

∂ rp∗dΓ (3.29)

donde se reemplaza ∂/∂n por ∂/∂ r en el contorno Γ∞. La solucion buscada para el

problema tendra que cumplir las condiciones de radiacion en puntos de este contorno,

por lo que dicha solucion se aproxima a una onda cilındrica(2-D) o esferica (3-D) que se

propaga en la direccion de los r crecientes. Por tanto en puntos de Γ, se puede escribir:

∂ p

∂ r=−ikp (3.30)

Sustituyendo esta ultima expresion en (3.29), se puede escribir:

ci pi +∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ+

∫

Γ∞

p

(

∂ p∗

∂ r+ ikp

)

dΓ = p∗0 +

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ (3.31)

Concluiremos remarcando el interes en que la solucion fundamental del problema ex-

terior verifique las condiciones de radiacion en el infinito, ya que la integral de contorno

extendida a Γ∞ se anula y la formulacion integral se extiende tan solo a un contorno Γ

interior. En cambion en el problema interior, no se necesita este requerimiento. Puede ob-

servarse por tanto la importante ventaja que supone la aplicacion del MEC frente a los


metodos del dominio como el MEF, ya que al tratar con dominios de naturaleza infinita,

los metodos del dominio presentan el gran inconveniente de que no se puede extender la

discretizacion del medio hasta el infinito.

3.6. Problemas de scatter

Los problemas de scatter, tambien conocidos como scattering problems o problemas

con obstaculos constituyen un problema tıpico en el que una onda incidente pI impacta

con un obstaculo V ′ que constituye el hueco que queda fuera del dominio de un problema

exterior. La onda dispersada la denotaremos por pS, de forma que la onda de presion total

sera la suma de ambas ondas:

p = pI + pS (3.32)

n

V’

VPi

Ps

Γ

Figura 3.6: Problema de scatter con una onda incidente Pi.

En cuanto a pI , puede interpretarse tambien como la presion en ausencia del obstaculo

V ′. Si la onda incidente es una onda plana:

pI = Ae−ik(αx+βy+γz) (3.33)

donde A es la amplitud de la onda plana incidente y α , β y γ son los cosenos directores


de la direccion de incidencia. Si la onda incidente es una onda esferica:

pI = Be−ikR

R(3.34)

donde la constante B esta relacionada con la fuerza de la fuente puntual y R es la dis-

tancia desde la fuente hasta el punto considerado. Cabe destacar que tanto pI como pS

deben satisfacer la ecuacion de Helmholtz, pero solo pS tiene que satisfacer la condicion

de radiacion de Sommerfeld.

Partimos de la ecuacion integral de Helmholtz para el problema exterior, sin incluir

el termino asociado a las fuentes internas de presion, por simplicidad de las expresiones,

aunque de considerarlas, el planteamiento serıa el mismo incluyendo dicho termino. Apli-

camos la ecuacion a la onda pS:

ci pSi +

∫

ΓpS ∂ p

∗

∂ndΓ =+

∫

Γ

∂ pS

∂np∗dΓ (3.35)

A continuacion, aplicamos la ecuacion integral de Helmholtz para el problema interior,

a la onda incidente pI , en el dominio interior V ′, donde no es necesario cumplir la ecuacion

de radiacion de Sommerfeld. Si mantenemos el mismo sentido de la normal que en (3.35),

obtenemos:

c0i pI

i +∫

ΓpI ∂ p

∗

∂ndΓ =−

∫

Γ

∂ pI

∂np∗dΓ (3.36)

Si restamos (3.39) a (3.38), hacemos uso de (3.31) y tenemos en cuenta que ci+c0i = 1,

llegamos a:

ci pi +∫

Γ

∂ p∗

∂ndΓ =+

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ+ pI

i (3.37)

Esta es la ecuacion integral para problemas con obstaculos. Puede observarse que la

unica diferencia con respecto a la ecuacion integral original es la incorporacion del termino

libre asociado a la onda incidente.


3.7. No unicidad de la solucion

A pesar de las ventajas senaladas en los apartados anteriores, que presenta el MEC

para problemas exteriores, la aplicacion directa del metodo presenta tambien algun incon-

veniente que requiere ser tratado para poder subsanarse.

El principal incoveniente es que la ecuacion integral de Helmholtz no tiene solucion

unica para determinadas frecuencias asociadas con el correspondiente problema interior.

Explicaremos este fenomeno partiendo de dicha ecuacion integral de Helmholtz y teniendo

como referencia el libro de Wu [5] (2000). Por simplicidad en la formulacion asumiremos

que el contorno es suave, que no hay fuentes de presion internas y que no hay una onda

incidente, aunque lo que se va a desarrollar a continuacion es perfectamente extrapolable

a problemas con cualquier tipo de contorno, con fuentes internas y con obstaculos.

La ecuacion integral de Helmholtz para problemas exteriores (3.31), se simplica de

la siguiente forma de acuerdo a las consideraciones hechas y despues de reordenar los

terminos:

−∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ =−1

2pi −

∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ (3.38)

Si consideramos ademas un problema auxiliar interior definido en el hueco que ocupa

la parte que esta fuera del dominio del problema exterior y mantenemos el mismo sentido

de la normal que en dicho problema exterior, la ecuacion integral para el problema auxiliar

es la siguiente:

−∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ =

1

2pi −

∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ (3.39)

Observando (3.38) y (3.39), nos damos cuenta de que ambas ecuaciones tienen el mis-

mo miembro de la izquierda. Debido a que (3.39) es para un problema exterior, se pro-

ducira un fen’meno de resonancia para un conjunto de frecuencias (frecuencias naturales

del problema en estudio), es decir, las matrices de (3.38) se volveran singulares, lo cual

afectara a las matrices de (3.39), que tambien experimentaran singularidades.


3.8. Uso del Metodo de los Chief Points

Para solventar el problema planteado en el apartado anterior, sobre la no unicidad de

la solucion para determinadas frecuencias, se propone un metodo conocido con el nombre

de Metodo de los Chief Points, cuyo objetivo es precisamente el de estabilizar la solucion

para todas las frecuencias.

Para ello, este metodo utiliza la ecuacion integral de Helmholtz en algunos puntos del

hueco interior que queda fuera del dominio del problema exterior en cuestion, ademas de

para su uso habitual en el contorno. Estos puntos son los que se conocen como chief points.

Lo que se pretende es generar ecuaciones adicionales de restriccion. Estas ecuaciones,

conocidas como chief equations tienen la mision de hacer cumplir el valor nulo de la

presion en los chief points, lo que supone dichas restricciones adicionales,(a las ecuaciones

asociadas a las integrales en el contorno) que ayudan a estabilizar la solucion. Como ci vale

cero fuera del dominio en estudio, las chief equations, adoptan la siguiente forma:

∫

Γp

∂ p∗

∂ndΓ−

∫

Γ

∂ p

∂np∗dΓ = 0 (3.40)

Al incluir estas ecuaciones adicionales, se forma un sistema de ecuaciones sobredeter-

minado, que se resuelve por mınimos cuadrados.

3.9. Solucion fundamental para el semiespacio

En este apartado presentaremos una nueva modificaicon de la solucion fundamental

de forma que tambien cumpla alguna de las condiciones de contorno del problema real,

con el objetivo de no considerar las integrales extendidas al contorno cuya condicion es

satisfecha por la solucion fundamental.

Esta necesidad esta vinculada a una nueva forma de discretizar el contorno que se

utilizara en el apartado dedicado al calculo de panatallas acusticas. Esta nueva forma de

discretizar tiene como objetivo el realizar dicha discretizacion tan solo en el contorno que

delimita la pantalla.


En un principio, la aplicacion de la igualdad integral en los terminos conocidos, im-

plica integrales a los tres contornos del problema (Γ∞ , Γs y Γp). Aunque sabemos que las

integrales extendidas a Γ∞ desaparecen si la solucion fundamental cumple las condiciones

de radiacion en el infinito. Teniendo esto en cuenta, podemos escribir (3.16) en terminos de

cada uno de los contornos que definen el problema, para un punto de colocacion generico

i interior al dominio, de la siguiente forma:

pi +∫

Γs

p∂ p

∗

∂ndΓ+

∫

Γp

p∂ p

∗

∂ndΓ = p

∗+∫

Γs

∂ p

∂np∗dΓ+

∫

Γp

∂ p

∂np∗dΓ (3.41)

ΩΓ

p(β

p)

Γs(β

s)

*fuente(x

0)

Figura 3.7: Semiespacio 2D con la pantalla.

Elegiremos una funcion p∗

que verifique la condicion de contorno Γs

∂ p

∂n=−ikβs p y

∂ p∗

∂n=−ikβs p

∗en Γs (3.42)

El incluir la condicion anterior, permite la cancelacion mutua de las integrales exten-

didas al contorno del semiespacio Γs. Se obtiene:

pi +∫

Γp

p∂ p

∗

∂ndΓ = p

∗+∫

Γp

∂ p

∂np∗dΓ (3.43)

De esta forma la identidad integral se extiende unicamente a los contornos del obstacu-

lo(pantalla) en cuestion, con lo que se ha conseguido el objetivo que se pretendıa de reali-

zar la discretizacion tan solo en el contorno que delimita la pantalla.


Para un punto de colocacion sobre el contorno del obstaculo, la identidad integral es la

siguiente:

ci pi = p∗0 −

∫

Γp

(

∂ p∗

∂n+ ikβpp

∗)

pdΓ (3.44)

Mostraremos a continuacion la expresion matematica de la solucion fundamental a la

que nos hemos estado refiriendo. El caso mas sencillo es aquel en el que el contorno del

semiespacio es completamente reflejante (βs = 0). Esta condicion se consigue consideran-

do ademas de la fuente aplicada en el punto de colocacion donde se escribe la identidad

integral, otra fuente simetrica respecto del contorno del semiespacio, pulsando a la misma

frecuencia. Considerando esto, llegamos a:

p∗(k,r) =

1

2πK0(ikr)+

1

2πK0(ikr) problemas 2D

p∗(k,r) =

1

4π

[

1

re−ikr +

1

re−ikr

]

problemas 3D(3.45)

donde r y r representan la distancias de la fuente y la imagen al punto de observacion

respectivamente.

(xi,y

i)

(xi,−y

i)

xy

n

Γs(β

s)

punto decolocación

imagen

punto deobservación

r

r

(x,y)

Figura 3.8: Representacion de fuente e imagen para la solucion fundamental.

Para el caso en que βs 6= 0 la expresion de la solucion fundamental se complica mas.

Mostraremos la forma de abordarla para el caso bidimensional, que es el que se utili-


zara despues en las aplicaciones. Se basa para dicho caso en la ecuacion de propagacion

en campo lejano y se expresa de la siguiente manera:

p∗(k,r) =

1

2π[K0(ikr)+K0(ikr)+Φ(ikr)] (3.46)

El termino adicional anadido respecto a (3.37), es el siguiente:

Φ(ikr) = π

√

a

2ω(i

√ikra)[V (γ)−1]e−ikr (3.47)

donde

a = 1+ γβs−√

(1−β 2s )(1− γ2) ; γ = cosθ =

y+ yi

r

V (γ) =γ −βs

γ +βs

; ω(i√

ikra) = eikraer f c(√

ikra)

(3.48)

donde a su vez er f c(z) es la funcion complementaria de error con argumento comple-

joy V (γ) es un termino que representa el coeficiente de reflecion para ondas planas que

inciden con angulo θ sobre el contorno en estudio.

El primero termino de (3.46) representa la componente directa de la propagacion desde

el emisor y el segundo y el tercer termino engloban la componente debida a las reflexiones

en el contorno del semiespacio.

Capıtulo 4

Formulacion e implementacion del

MEC en problemas acusticos 2D

4.1. Introduccion y descripcion general de la metodologıa

En este apartado se desarrollaran los procedimientos necesarios para realizar el plan-

teamiento numerico de la identidad integral (3.44) en problemas bidimensionales. Se

usaran estrategias analogas a las que se utilizan en la fomulacion del Metodo de los Ele-

mentos Finitos y se aproximara el comportamiento de las variables de forma localizada

en una serie de elementos en que se divide el contorno del problema. Dentro de cada ele-

mento la variable se interpolara en funcion del valor que adopta en los nodos del mismo.

Se emplearan elementos constantes, lineales y cuadraticos, cuyas caracterısticas se ex-

pondran mas adelante. Una de las diferencias fundamentales en la discretizacion del MEC

frente a la del MEF es la de ser necesario aproximar tanto la variable fundamental como

su derivada, ya que ambas se encuentran en la formulacion integral inicial (3.44).

4.2. Ecuacion integral de Helmholtz para problemas bi-

dimensionales

Tal como se ha citado en la seccion anterior, el punto de partida para desarrollar el

planteamiento numerico es la identidad integral (3.44). Aunque es cierto que dicha ecua-

cion hace referencia al caso particular que se aplicara al calculo de pantallas, donde el

contorno a discretizar se reduce a Γp. Por ello, a continuacion expondremos un caso mas

35

Capıtulo 4. Formulacion e implementacion del MEC en problemas acusticos 2D 36

general(partiendo del problema interior y pasando luego al exterior) en el que partiremos

de todo el contorno Γ.

Para el problema interior definido en un dominio finito 2D, Ω la ecuacion integral en

el contorno es la siguiente:

c0i pi = p

∗0 −

∫

Γ

(

∂ p∗

∂n+ ikβpp

∗)

pdΓ (4.1)

En esta expresion, la normal esta apuntando hacia fuera del dominio interior y el coe-

ficiente c0i vale 1 en el interior del dominio, 1/2 en los puntos i que se encuentren en

contornos suaves y 0, fuera del dominio. Para cualquier otro caso, habra que emplear la

expresion (3.25).

Para el problema exterior definido en un dominio Ω infinito 2D la ecuacion integral en

el contorno es la siguiente:

ci pi = p∗0 −

∫

Γ

(

∂ p∗

∂n+ ikβpp

∗)

p+ pIdΓ (4.2)

En esta expresion pI representa una onda incidente en el caso de haberla, y la normal

apunta en sentido contrario al caso anterior, es decir, hacia fuera del dominio exterior. El

valor del coeficiente ci es el complementario sobre 1 del de c0i , de forma que:

ci = 1− c0i (4.3)

4.3. Discretizacion del contorno

Para resolver la ecuacion integral de Helmholtz, en primer lugar habra que discretizar

el contorno en un numero determinado de elementos curvilıneos. Dependiendo del tipo de

elemento, este tendra un numero dado de nodos. En cualquier caso la geometrıa de cada

elemento se representa interpolando entre los nodos, es decir:


x =n

∑i=1

xiNi(ξ )

y =n

∑i=1

yiNi(ξ )(4.4)

donde xi e yi son las coordenadas de los nodos, Ni(ξ ) son las funciones de forma

definidas en un elemento con coordenadas locales −1 ≤ ξ ≤ 1 y n es el numero de nodos

del elemento.

elemento elemento elemento

nodo nodos nodos

elementosconstantes

elementoslineales

elementoscuadráticos

Figura 4.1: Tipologıas de elementos empleadas para discretizar.

4.3.1. Elementos constantes

Para el caso de elementos constantes, se emplea un unico nodo, situado en el centro

del elemento. Hay por tanto una unica funcion de forma que sera constante a lo largo de

todo el elemento:

φ1 = 1 (4.5)


ξ=−1 ξ=0 ξ=+1

1

φ1=1

nodo

Figura 4.2: Funcion de forma constante.

4.3.2. Elementos lineales

Para el caso de elementos lineales, se emplean dos nodos, uno situado en cada ex-

tremo del elemento. Hay por tanto dos funciones de forma, que adoptan las siguientes

expresiones:φ1 =

12(1−ξ )

φ2 =12(1+ξ )

(4.6)

ξ=−1 ξ=0 ξ=+1

1

φ1=0.5(1−ξ)

ξ=−1 ξ=0 ξ=+1

1

φ2=0.5(1+ξ)

nodos

Figura 4.3: Funciones de forma lineales.


4.3.3. Elementos cuadraticos

Para el caso de elementos cuadraticos, se emplean tres nodos, uno en cada extremo

del elemento y otro en el centro del mismo. Hay en consecuencia tres funciones de forma,

segun las siguientes expresiones:

N1 =12ξ (ξ −1)

N2 =12(1+ξ )(1−ξ )

N3 =12ξ (ξ +1)

(4.7)

ξ=−1 ξ=0 ξ=+1

1

φ1=0.5ξ(ξ−1)

ξ=−1 ξ=0 ξ=+1

1

φ2=(1+ξ)(1−ξ)

ξ=0 ξ=+1

1

φ3=0.5ξ(ξ+1)

Figura 4.4: Funciones de forma cuadraticas.

4.3.4. Desarrollo del plantemiento numerico de la identidad integral

Independientemente del tipo de elementos seleccionado para discretizar, (y en conse-

cuencia del numero de nodos de los mismos) la aplicacion de la expresion de la identidad

integral en un nodo i generico de la discretizacion se realiza de la misma forma, de mo-

do que se introduce la aproximacion de la variable de acuerdo con el tipo de elementos

elegido. Se puede escribir por tanto:

ci pi = p∗0 −

NE

∑j=1

N

∑k=1

(hi jk + ikβ jg

i jk )p

jk (4.8)


donde NE representa el numero de elementos en que se ha dividido el contorno y β j

la admitancia del contorno en cada elemento, siendo a su vez:

hi jk =

∫

Γ j

∂ p∗

∂nφkdΓ j ; g

i jk =

∫

Γ j

p∗φkdΓ j (4.9)

los denominados nucleos de integracion de la solucion fundamental y cuya evaluacion

se realiza mediante procesos de cuadratura numerica estandar. Con este preceso hemos

transformado la igualdad integral en una ecuacion algebraica donde las incognitas son los

valores de presion en los nodos. Si aplicamos esta discretizacion utilizando como puntos

de colocacion todos los nodos del contorno, se plantea un sistema de ecuaciones del tipo:

(H + ikβG)P = P∗0 (4.10)

donde H y G son matrices cudradas(NxN) siendo N el numero de nodos de la dis-

cretizacion, al igual que en la expresion (5.8). Ademas, P es un vector que contiene los

valores de la presion en los nodos(incognitas) y P∗0 es otro vector donde se almacena el va-

lor obtenido de la solucion fundamental en la fuente interna real de presion (x0) utilizando

como punto de colocacion cada nodo del contorno. La resolucion de este sistema permite

obtener por tanto los valores de presion y flujo en todos los nodos del contorno.

Una vez conocidos los valores en el contorno, se pueden obtener los correspondientes

valores en puntos interiores del dominio, aplicando la siguiente ecuacion algebraica:

pi = p∗0 −

NE

∑j=1

N

∑k=1

(hi jk + ikβ jg

i jk )p

jk (4.11)

donde ahora i pasa a ser un punto generico del dominio donde se quiere calcular la

presion y pjk la presion en los nodos del contorno, obtenida tras aplicar (4.10).

Cabe destacar por ultimo que los terminos de la matriz de coeficientes del sistema de

ecuaciones (4.10), son todos distintos de cero, es decir, la matriz es llena, y ademas es una

matriz no simetrica. Esto es un incoveniente que presenta el MEC frente al MEF, donde la

matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones es una matriz en banda y simetrica, con

lo que se ahorran tanto recursos de memoria como tiempo de computacion.


4.4. Utilizacion del Metodo de los Chief Points y solucion

por mınimos cuadrados

Tal como se dijo en el capıtulo dedicado a la representacion integral del problema

acustico, se utilizara el Metodo de los Chief Points para generar una serie de ecuaciones

que impongan restricciones adicionales sobre el valor de la presion.

Aunque para que este metodo resulte eficaz, hay que seleccionar adecuadamente los

chief points, ya que si se colocan estos en puntos que caen en el interior del problema

interior asociado, carecen de utilidad, puesto que la presion en esa zona ya es nula de por

sı y no proporcionan por tanto un efecto restrictivo adicional.

Para nuestro problema exterior 2D, sera necesario con la colocacion de un solo chief

point en el interior del hueco que queda fuera del dominio, para poder estabilizar la solu-

cion. Este resultado se mostrara en el capıtulo 6, donde se comparara la solucion obtenida

al utilizar chief points con la obtenida al no utilizarlos.

4.5. Aplicacion al estudio de pantallas de atenuacion acusti-

ca

Un ejemplo de aplicacion del MEC en Ingenierıa Civil es el diseno de pantallas de

atenuacion acustica para su implantacion en carreteras. En este documento se incluira un

codigo en Matlab traducido de Fortran del libro de (Maeso y Aznarez) [4] (2004) y adap-

tado a la estructura de codigo que se venıa desarrollando anteriormente. Para ello, se par-

tira del codigo exterior 2D programado anteriormente y se anadiran las modificaciones

necesarias para conseguir el resultado final obtenido en el libro citado.

Las modificaciones fundamentales son: la adicion ya explicada de nuevos terminos a

la solucion fundamental, para conseguir una discretizacion mas reducida del contorno; la

implementacion de una nueva funcion que realice de forma independiente la integracion

de los nodos de colocacion coincidentes con los nodos del elemento integrado, de forma

que se aborde de una forma especıfica la singularidad y por ultimo la incorporacion de una

serie funciones relaciones con un modelo para estudiar la capacidad de absorcion de las


pantallas y del semiespacio conocido como Modelo de Delany y Bazley. Todo esto se es-

tudiara con mas detalle al explicar las distintas funciones implementadas. A continuacion

explicaremos las ideas basicas en que se fundamenta el modelo de Delany y Bazley.

El Modelo de Delany y Bazley propone una relacion empırica para determinar la ad-

mitancia β de un contorno en el caso de materiales porosos, que son los que se utilizan

habitualmente como materiales absorbentes. Dicha relacion es:

1

β= 1+9,08 ·

(

103 f

σ

)−0,75

− i ·11,9

(

103 f

σ

)−0,73

(4.12)

donde f representa la frecuencia de excitacion (Hz) y σ la resistividad al flujo de aire

del material.

Aunque en muchas aplicaciones, se utilizan como recubrimiento de superficies refle-

jantes, materiales absorbentes de espesor relativamente pequeno. En este caso:

βe = β tanh(γe) (4.13)

donde β es la admitancia obtenida mediante (4.12), e el espesor del recubrimiento (m)

y γ el numero de onda asociado a la propagacion en el medio absorbente. Existen tambien

en la bibliografıa distintas fuentes que proporcionan relaciones empıricas para obtener es-

te ultimo valor.

Para tener en cuenta que la energıa puede incidir en el contorno en todas las direccio-

nes y no solo en la normal, se utiliza un coeficiente de absorcion estadıstico, propuesto

por Morse y Bolt(1944), que caracteriza el comportamiento absorbente de los materiales

utilizados como recubrimiento.La expresion de dicho coeficiente de absorcion estadıstico

es la siguiente:

αst =8cosθ

ξ

1− cosθ

ξln(1+2ξ cosθ +ξ 2)+

cos2θ

ξ senθtan−1 ξ senθ

1+ξ cosθ

(4.14)

donde Z/(ρ + c) = R+ iX , ξ 2 = R2 +X2yθ = tan−1(X/R)

Una vez obtenido el coeficiente estadıstico de absorcion de energıa, se puede calcular

el valor de la admitancia a traves de la siguiente expresion:


β =1−

√1−αst

1+√

1−αst(4.15)

El valor obtenido mediante la expresion(4.15) se caracteriza por ser un valor real,

frente al obtenido mediante las expresiones (4.12) y (4.13) que en general sera un valor

complejo.

4.6. Funciones implementadas

Para el problema acustico 2D, se han desarrollado una serie de programas que permi-

ten calcular los valores de presion y el flujo tanto en el contorno como en el dominio, de

acuerdo con las ecuaciones recogidas en las secciones anteriores de este capıtulo. Se han

implementado 4 tipos de programas para el caso 2D: problema interior, problema exte-

rior, problema de scatter y problema de aplicacion al calculo de pantallas de atenuacion

acustica. Todos ellos se han programado a su vez mediante elementos constantes, lineales

y cuadraticos.

Cada uno de los programas se compone a su vez de una serie de funciones y aunque

cada una de ellas tiene una serie de particularidades segun el programa al que pertenece,

todos los programas se estructuran en una serie de funciones basicas que permiten reali-

zar las operaciones necesarias para obtener los resultados tanto en el contorno como en el

dominio. Dependiendo del programa,(de cada uno de los 4 tipos senalados en el parrafo

anterior) este podra contener ademas otra serie de funciones complementarias que ayuden

a realizar calculos auxiliares. La estructura basica de todos los programas es la siguiente:

fichero de entrada de datos, programa principal que gestiona al resto de funciones y las

llama en el orden adecuado para que realicen las operaciones correspondientes; funcion de

lectura de los datos del fichero de entrada(INPUT); funcion que realiza las integraciones

para los nodos del contorno y calcula los valores de presion y flujo en el mismo(GHMAT)

y por ultimo una funcion que realiza las integraciones para puntos interiores al dominio,

calculando tambien los valores de presion y flujo(INTER).

A continuacion empezaremos describiendo mas en detalle esas funciones para el pro-


grama correspondiente al problema interior(son las unicas que forman dicho programa) y

luego pasaremos al resto de programas, describiendo las nuevas funciones que aparezcan

en cada uno de ellos, y comentando las diferencias que presentan las funciones basicas

con respecto a los programas anteriores.

Problema interior 2D

Fichero de entrada de datos

En el se introducen los valores de los parametros que se utilizaran para la ejecucion del

problema. Los datos son: numero de nodos que se emplearan para la discretizacion, nume-

ro de puntos del dominio para el que se calcularan sus valores de presion y flujo, coorde-

nadas (x,y) de los nodos, una pareja de valores para cada nodo, de forma que el primer

valor sera un 0 si la condicion de contorno que se conoce del nodo es una presion y un

1, si la condicion de contorno conocida es un flujo y el segundo valor de la pareja sera el

valor para dicha condicion de contorno y por ultimo se incluyen tambien las coordenadas

(x,y) de los puntos del dominio.Cabe destacar que para el problema interior, el orden de

introduccion de los nodos debe ser en sentido antihorario, de forma que la normal apunte

siempre hacia el exterior del dominio.

Funcion principal

Su mision es la de coordinar las distintas funciones; las va llamando en orden de forma que

cada una realice sus calculos en el momento adecuado. En primer lugar llama a la funcion

de lectura de los datos del fichero de entrada, luego a la que realiza las integraciones en el

contorno y tras realizar una reordenacion de las matrices G y H obtenidas, resuelve el sis-

tema de ecuaciones y dibuja los resultados obtenidos en el contorno. Posteriormente llama

a la funcion que realiza la integracion para los puntos del dominio y dibuja tambien los

resultados obtenidos en el dominio. Esta funcion sera muy parecida para los distintos tipos

de elementos(constantes, en los que la funcion se ha denominado ACCONBE; lineales, en

los que se ha denominado ACLINBE y cuadraticos, a la que se ha llamado ACQUABE.

La mayor precaucion habra que tenerla a la hora de introducir los nodos de los elementos,

pues como ya se ha explicado, a cada tipo de elemento le corresponde un numero diferente

de nodos.


Funcion de lectura de datos del fichero de entrada

Esta funcion es la primera en ser llamada por el programa principal. La primera operacion

que realiza es volcar todos los datos del fichero de entrada a un vector. Posteriormente

ira asignando el valor adecuado a cada una de las variables para despues proporcionarse-

las al programa principal. Es por ello imprescindible introducir los valores en el orden

establecido en el fichero de entrada, para que la posterior asignacion de esos valores a las

variables, sea correcta. Esta funcion tambien sera muy parecida para los tres tipos de ele-

mentos. Los nombres de las funciones, siguiendo la misma nomenclatura que antes, seran:

INPTPC para elementos constantes, INPUTPL para elementes lineales INPUTQ para ele-

mentos cuadraticos.

Funcion de integracion en el contorno

Esta funcion realizara la integracion para todos los nodos del contorno, empleando una

cuadratura de Gauss de 6 puntos para los elementos constantes y lineales y de 10 puntos

para los elementos cuadraticos. En este programa se realizara de manera conjunta la in-

tegracion para los nodos en que el punto de colocacion coincide con el elemento. Esto es

debido a que la singularidad que se produce para el problema acustico en estos casos, no

es tan pronunciada como ocurre en otros problemas, como los de potencial. De esta forma

es posible utilizar el mismo tipo de integracion para todos los nodos, sin que esto apenas

afecte al tiempo de computacion(siempre que las mallas generadas no sean excesivamente

densas). Las funciones asociadas a los elementos constantes y lineales(GHMATPC y GH-

MATPL respectivamente), son muy parecidas entre sı y sin embargo difieren notablemente

de la asociada a elementos cuadraticos(GHMATPQ). Esta ultima tiene una mayor comple-

jidad tal como puede verse en los codigos adjuntados en los anexos, aunque es cierto que

los resultados que ofrece son tambien mas precisos.

Funcion de integracion en el dominio

Esta funcion es analoga a la anterior, de forma que pueden aplicarse las mismas ideas:

tambien se realiza la integracion mediante 6 puntos de Gauss para elementos constantes

y lineales (funciones INTERPC e INTERPL respectivamente), y mediante 10 puntos de

Gauss (funcion INTERPQ). Se hara ademas de una forma conjunta para todos los nodos y

la complejidad para los distintos tipos de elementos es la misma que en el caso anterior.

La diferencia esta en que para este caso no hay que calcular una matriz C, puesto que los


puntos del dominio tienen todos valor unidad para su termino libre. Ademas, una vez ob-

tenidas las matrices G y H, en lugar de resolver un sistema de ecuaciones, lo que hay que

hacer es multiplicar las anteriores matrices por los valores de presion y flujo calculados en

el contorno.

Problema exterior 2D

En el problema exterior se emplean todas las funciones anteriores y ademas se anade

una nueva funcion para la integracion en los chief points, que permite incluir ecuaciones

adicionales que estabilicen la solucion a determinadas frecuencias. La otra gran diferencia

con respecto al problema interior, es que a la hora de introducir las coordenadas de los no-

dos en el fichero de entrada, estos se incluyen en sentido horario, de forma que la normal

tambien apunte hacia el exterior del dominio.

Funcion de integracion de los chiefpoints

El objetivo de esta funcion(llamada CHIEFPOINTS) es realizar la integracion en los ya

explicados chief points de forma que se generan ecuaciones adicionales que estabilicen la

solucion. Estas ecuaciones se anaden apropiadamente a las matrices G y H .Dichas ecua-

ciones adicionales, no aportan terminos distintos de 0 a la matriz C. Una forma de resolver

esto es anadir los terminos distintos de cero a la matriz H despues de haberle sumado C.

Tambien se pueden anadir previamente los terminos distintos de cero a H, las filas de ceros

correspondientes a C y posteriormente sumar ambas matrices. Esta ultima es la solucion

por la que se ha optado.

Es importante hacer notar que el uso de esta funcion en el problema exterior es opcio-

nal. Esto esta controlado por una pareja de valores k y nchi f que se dan al final del fichero

de entrada. Cuando k = 0, no se hace la llamada a la funcion CHIEFPOINTS, mientras

que en el caso k = 1 sı se hace. El numero de puntos que se utilizaran entonces, sera el que

indique la variable nchi f .

Problema de scatter

En este caso las funciones son analogas a las del problema exterior. Las variaciones se

encuentran en que tal como se explicaba en la seccion dedicada a problemas con obstacu-


los, en este caso se incluira la presencia de ondas incidentes, lo que implica un termino

adicional en la identidad integral. Este termino adopta una forma distinta segun la onda

sea plana o esferica.

Se han considerado 4 argumentos de entrada en el programa principal(tambien puede

hacerse a traves del fichero de entrada, pero se ha hecho en el programa principal para ex-

plicar dentro del mismo mediante comentarios la utilizacion de los argumentos de entrada)

que adquieren durante la ejecucion del programa significados diferentes segun la onda sea

plana o esferica. Para que la onda sea considerada como plana, se indica con un 1 en el

primer argumento de entrada. Esto implica que el segundo argumento sera el angulo que

forma el frente de avance de la onda con respecto al eje X, el tercero sera el angulo que

forma con respecto al eje Y(el incluir ambos permite controlar con mas comodidad los

sentidos de propagacion de la onda) y el cuarto sera la amplitud de la onda. En cambio,

si se quiere que la onda sea esferica, se debe indicar con un 2 en el primer argumento de

entrada, lo que implica que el segundo sea considerado como la coordenada X de la fuente

de emision, el tercero como su coordenada Y y el cuarto esta asociado al parametro B que

depende de la potencia de la fuente.

Por ultimo, tras realizar la integracion para los puntos del dominio (con la respectiva

funcion INTERP), se han considerado dos tipos de soluciones. Por un lado se ha consi-

derado una solucion en la que solo se tiene en cuenta el efecto de la difraccion debida al

obstaculo y por otro se ha considerado otra solucion en la que se tienen en cuenta tanto

la difraccion como la reflexion. Para ello, en el primero de los casos no se ha incluido el

termino asociado a la onda incidente, (solo para la integracion de los puntos en el dominio,

sı se ha incluido para la integracion en el contorno) mientras que en el segundo sı se ha

incluido.

Aplicacion al calculo de pantallas acusticas

Este es el ultimo en desarrollarse de los programas para la implementacion del proble-

ma acustico 2D, es por ello tambien el mas complejo. Aunque como se indico al inicio

de esta seccion, la estructura basica de funcionamiento que sigue, es la misma que la de

los programas anteriores, solo que incluye otra serie de funciones para realizar algunos

calculos adicionales que son necesarios para esta aplicacion. Se indican a continuacion


cuales son esas nuevas funciones y que modificaciones han sufrido las que ya estaban.

Funciones MORSE y DELANYBAZLEY

Estas funciones estan directamente relacionadas entre sı, pues dentro de la primera se lla-

ma a la segunda. El objetivo conjunto es el de calcular el valor de la admitancia(asociada a

la variable BETA del programa) en el contorno. Esta admitancia es un valor real obtenido a

partir del coeficiente de absorcion estadıstico, para el calculo del cual se utiliza la funcion

MORSE. Este cofieciente se obtiene a su vez a partir de la admitancia compleja del modelo

empırico de Delany y Bazley (asociado a la correspondiente funcion DELANYBAZLEY).

Basicamente lo que se ha hecho es programar las formulas (4.12) a (4.15) desarrolladas

en el apartado anterior de este mismo capıtulo.

Funciones LOCIN y EXTIN

El uso de estas funciones parte de la idea de separar la integracion de los nodos de colo-

cacion coincidentes con los nodos de los elementos, de la integracion del resto de nodos

de colocacion, para esquivar la singularidad que se produce en el primero de los casos(que

para problemas acusticos es menos pronunciada que para otros tipos de problema como

los de potencial). Por ello, la funcion GHMAT en la que aparecen ambos tipos de integra-

cion, (en la INTERP no aparece el tipo senalado como particular, ya que todos los puntos

que se integran son interiores al dominio) llama a su vez a dos funciones: LOCIN, que es

la que realiza una integracion para el caso particular de nodos de colocacion coincidentes

con nodos de los elementos y EXTIN, que es la que realiza la integracion general para

el resto de casos. En los programas anteriores desarrollados para el problema interior, ex-

terior y de scatter, todas las integraciones se realizan mediante el procedimiento general

que se utiliza en EXTIN, por lo que la funcion GHMAT incorpora directamente este tipo

de integracion y no llama a ninguna funcion. Tal como se ha indicado antes, la funcion

INTERP no realiza el caso particular de integracion, por lo que en este programa llama

solo a la funcion EXTIN y en el resto, incopora directamente el procedimiento general al

igual que lo hace GHMAT.


Funciones PREKAW y FLUKAW

La ultima diferencia que presenta este programa con respecto a los anteriores es la modi-

ficacion de la solucion fundamental. Esta presenta dos variaciones: por un lado incorpora

un termino asociado a la integracion en los puntos de la imagen(ademas de en los de la

fuente) y por otro presenta otro termino adicional mas (φ ) para los casos en que βs 6= 0.

Para el calculo de este ultimo termino es para lo que se emplean las funciones PREKAW

y FLUKAW. La primera funcion calcula el valor de φ , que se incluye dentro de la matriz

de coeficientes G, mientras que la segunda, calcula el valor de su derivada respecto de la

normal, que se incluye dentro de la matriz H.

El resto de funciones de este programa, son analogas a las desarrolladas en los an-

teriores(salvo adaptaciones al propio contexto). Tan solo en el programa principal se ha

incluido un bucle tras la llamada a la funcion de lectura de datos del fichero de entrada,

para poder hacer un barrido de frecuencias, recogiendo los resultados para cada una de

ellas.

Por ultimo, se recogen una serie de diagramas de flujo con los que se pretende resumir

y clarificar las ideas expuestas en esta seccion. Se ha decidido incorporarlos todos juntos,

empezando por el mas sencillo, para que pueden apreciarse de un simple vistazo las mo-

dificaciones que sufren los programas al ir aumentando la complejidad de los problemas

estudiados. Se ha decidido ademas incluir los diagramas de los problemas interior y exte-

rior, para elementos constantes, mientras que para el programa de pantallas acusticas, se

ha incluido el de elementos cuadraticos. Con ello puede observarse que todos ellos inclu-

yen las funciones basicas, diferenciandose estas tan solo en la nomenclatura utilizada para

distinguir los distintos tipos de elementos.


Figura 4.5: Diagrama de flujo del problema interior para elementos constantes.

Figura 4.6: Diagrama de flujo del problema exterior para elementos constantes.


Figura 4.7: Diagrama de flujo del problema de pantallas para elementos cuadraticos.

Figura 4.8: Desglose de la funcion GHMATPQ.


Figura 4.9: Desglose de la funcion INTERPQ.

Capıtulo 5

Formulacion e implementacion del

MEC en problemas acusticos 3D

5.1. Introduccion y descripcion general de la metdologıa

En este apartado se desarrollaran los procedimientos necesarios para realizar el plan-

teamiento numerico de la identidad integral (3.44) en problemas tridimensionales. Tendre-

mos como referencia para este capıtulo las tesis de Davidsson [1] (2004) y Holmstrom [3]

(2001).

Las estrategias utilizadas para el problema 3D son completamente analogas a las utili-

zadas en el 2D, por lo que se omitiran algunos de los desarrollos. Al igual que ya se hizo

para dicho caso 2D, ahora tambien se aproximara el comportamiento de las variables, de

forma localizada en una serie de elementos en que se divide el contorno del problema.

Aunque para el problema 3D, nos centraremos en el uso de elementos constantes y linea-

les, no empleando por tanto elementos cuadraticos. Tal y como se ha indicado, la identidad

integral es la misma que para el caso 2D, tan solo cambia la solucion fundamental, que

para el caso 3D sera la segunda expresion de (3.14).

53


5.2. Ecuacion integral de Helmholtz para problemas tri-

dimensionales

Para el planteamiento numerico partiremos de la identidad integral (3.44). Aunque co-

mo ya se dijo, dicha ecuacion hace referencia al caso particular que se aplicara al calculo

de pantallas, donde el contorno a discretizar se reduce a Γp. Mostraremos ahora el caso

general en el que partamos de todo el contorno Γ, ya que como se ha dicho ademas, no

aplicaremos los codigos 3D al calculo de pantallas.

Para los problemas interior y exterior, las consideraciones son las mismas que para el

caso 2D. Por lo tanto, podemos decir que para un problema definido en un dominio finito

3D, Ω la ecuacion integral en el contorno es la siguiente:

c0i pi = p

∗0 −

∫

Γ

(

∂ p∗

∂n+ ikβpp

∗)

pdΓ (5.1)

En esta expresion, la normal esta apuntando hacia fuera del dominio interior y el coe-

ficiente c0i vale 1 en el interior del dominio, 1/2 en los puntos i que se encuentren en

contornos suaves y 0, fuera del dominio. La principal diferencia con el problema 2D se

encuentra en que para el resto de casos(para un caso general), en lugar de utilizar la ex-

presion (3.25), se utiliza la siguiente:

ci =θ

4π(5.2)

siendo θ el angulo interno de la esquina en radianes.


Ω

x

y

z

Figura 5.1: Angulo interno en problemas 3D.

Para el problema exterior, es todo analogo al caso 2D, es decir, para un problema

exterior definido en un dominio (Ω) infinito 3D la ecuacion integral en el contorno es la

siguiente:

ci pi = p∗0 −

∫

Γ

(

∂ p∗

∂n+ ikβpp

∗)

p+ pIdΓ (5.3)

donde pI representa una onda incidente en el caso de haberla, y la normal apunta en

sentido contrario al caso anterior, es decir, hacia fuera del dominio exterior. El valor del

coeficiente ci es el complementario sobre 1 del de c0i , de forma que:

ci = 1− c0i (5.4)

5.3. Discretizacion del contorno

Para resolver la ecuacion integral de Helmholtz, en primer lugar habra que discretizar

el contorno en un numero determinado de elementos curvilıneos. Para el problema 3D

emplearemos elementos constantes y lineales. Para ambos casos la geometrıa de cada

elemento se representa interpolando entre los nodos, es decir:


x =n

∑i=1

xiNi(ξ ,η)

y =n

∑i=1

yiNi(ξ ,η)

z =n

∑i=1

ziNi(ξ ,η)

(5.5)

donde xi, yi y z son las coordenadas de los nodos, Ni(ξ ,η) son las funciones de forma

definidas en un elemento con coordenadas locales −1 ≤ ξ ≤ 1; −1 ≤ η ≤ 1 y n es el

numero de nodos del elemento.

5.3.1. Elementos constantes

Para el caso de elementos constantes, se necesita un unico nodo para describir las

variables fısicas en el elemento. Dicho elemento puede tener una forma cuadrangular ar-

bitraria y el nodo se situa en el centro del elemento. Se usa una unica funcion de forma

que sera constante en todo el elemento:

φ1 = 1 (5.6)

1

φ1=1

nodo

Figura 5.2: Funcion de forma constante del problema 3D.


5.3.2. Elementos lineales

Para el caso de elementos lineales, se emplearan elementos cuadrangulares de 4 nodos

y la presion y el flujo en dichos elementos se obtendran por interpolacion, utilizando las

siguientes funciones de forma:

φ1 =14(ξ −1)(η −1)

φ2 =−14(ξ +1)(η −1)

φ3 =14(ξ +1)(η +1)

φ4 =−14(ξ −1)(η +1)

(5.7)

en el sistema de coordenadas (ξ , η).

1

3:(1,1)

2:(1,−1)

ξ

η

4:(−1,1)

1:(−1,−1)

Figura 5.3: Ejemplo de funcion de forma lineal 3D(φ3).

5.3.3. Desarrollo del plantemiento numerico de la identidad integral

Al igual que en el caso 2D, independientemente del tipo de elementos seleccionado

para discretizar, (y en consecuencia del numero de nodos de los mismos) la aplicacion de

la expresion de la identidad integral en un nodo i generico de la discretizacion se realiza

de la misma forma, de modo que se introduce la aproximacion de la variable de acuerdo

con el tipo de elementos elegido. Se puede escribir por tanto:


ci pi = p∗0 −

NE

∑j=1

N

∑k=1

(hi jk+ ikβ jg

i jk)p

jk

(5.8)

donde NE representa el numero de elementos en que se ha dividido el contorno y β j

la admitancia del contorno en cada elemento.

Para el caso de emplear elementos constantes, la ecuacion anterior puede reescribirse

de la siguiente forma, teniendo en cuenta que los contornos seran siempre suaves (ci =

1/2), usando n como el producto de NxNE y dejando de utilizar el termino asociado a la

fuente de presion interna para simplicar las expresiones siguientes:

1

2pi −

n

∑j=1

Hi j p j = iρ0ωn

∑j=1

Gi jq j (5.9)

Introduciendo:

Hi j =1

2δi j − Hi j (5.10)

donde δi j es la delta de Kronecker. Introduciendo ahora (5.10) en (5.9), obtenemos:

n

∑j=1

Hi j p j = iρ0ωn

∑j=1

Gi jq j (5.11)

donde G y H son 2 matrices nxn. Desarrollaremos a continuacion Gi j y Hi j. En un

sistema de coordenadas cartesiano, se obtiene:

Gi j =

∫

Γ j

e−ik√

(x j−xi)2+(y j−yi)2+(z j−zi)2

4π√

(x j − xi)2 +(y j − yi)2 +(z j − zi)2dΓ (5.12)

Hi j =∫

Γ j

(∇g)T ndΓ (5.13)

siendo:

n =

nx

ny

nz

(5.14)

y


∇g =

− xe−ik√

x2+y2+z2

4π(x2 + y2 + z2)

(

ik+1

√

x2 + y2 + z2

)

− ye−ik√

x2+y2+z2

4π(x2 + y2 + z2)

(

ik+1

√

x2 + y2 + z2

)

− ye−ik√

x2+y2+z2

4π(x2 + y2 + z2)

(

ik+1

√

x2 + y2 + z2

)

(5.15)

Hi j es igual a Hi j cuando i 6= j. Cuando i = j los terminos de Hii son cero, ya que la

normal n y el elemento son perpendiculares entre sı.

Por tanto Hii = 0 → Hii =12.

Una vez conocidas la presion y el flujo en los nodos del contorno, se pueden obtener los

correspondientes valores en puntos interiores del dominio, aplicando la siguiente ecuacion

algebraica:

pi =n

∑j=1

Hi j p j + iρ0ωn

∑j=1

Gi jq j (5.16)

donde i vuelve a ser un punto generico del dominio, en el que se quiere calcular la

presion.

Para el caso de emplear elementos lineales, el planteamiento es completamente analo-

go, pero haciendo uso en este caso de las funciones de forma(ahora no se empleara una

unica funcion de forma con valor unidad, que se simplifica en los calculos) para efectuar

la interpolacion. No se incluye el desarrollo matematico en este documento, ya que no

aporta nada conceptual aparte de lo ya citado y en cambio las expresiones se complican

enormemente. En cualquier caso, como se ha dicho, el objetivo sigue siendo el mismo, es

decir, crear un sistema de ecuaciones de la forma:

H p = iρωGq (5.17)

Una vez obtenidos los valores de la presion en el contorno, puede calcularse en puntos

interiores del dominio, usando la expresion (5.16).


5.4. Utilizacion del Metodo de los Chief Points y solucion

por mınimos cuadrados

De igual forma a como se empleo en el problema 2D, utilizaremos el Metodo de los

Chief points para estabilizar la solucion del problema exterior 3D. En este caso tambien

colocaremos chief points en puntos del interior del hueco que queda fuera del dominio.

Compararemos las soluciones obtenidas al emplear dicho metodo y al no emplearlo.

5.5. Funciones implementadas

Al igual que ocurrıa para los programas del problema 2D, se han implementado distin-

tos tipos. En este caso, nos hemos centrado en 2 distintos: problema interior y problema

exterior. Ambos se han programado mediante elementos constantes y lineales.

Tambien se utiliza la misma idea de que cada programa se compone a su vez de una

serie de funciones que comparten una estructura comun basada en una serie de funciones

basicas que permiten realizar las operaciones necesarias para obtener los resultados tanto

en el contorno como en el dominio. Aunque el problema exterior incorpora algunas modi-

ficaciones respecto al interior. La estructura basica de todos los programas es la siguiente:

fichero de entrada de datos, programa principal que gestiona al resto de funciones; fun-

cion de lectura de los datos del fichero de entrada; funcion que gestiona la generacion de

las matrices H, G y C para la formacion del sistema de ecuaciones con los valores del

contorno; funcion que realiza las integraciones necesarias, a partir de los puntos que se

le suministren, calculando los terminos de las matrices H y G(usada tanto para los nodos

del contorno como para los puntos del dominio), funcion que calcula la matriz C a partir

de la geometrıa de la discretizacion, funcion que reordena las matrices H y G en funcion

de las condiciones de contorno y resuelve el sistema de ecuaciones que proporciona los

resultados en el contorno y por ultimo una funcion que gestiona la generacion las matrices

H y G para los puntos del dominio y calcula posteriormente los valores de presion y flujo

en el mismo.

Puede observarse que la estructura es muy parecida a la que habıa en el problema 2D,

salvo que la complejidad de anadir una dimension mas obliga a organizar los datos de una

forma mas elaborada. Por ello, para el problema 3D lo que se hara sera explicar algunos


detalles de cada una de las funciones que aparecen nuevas con respecto al 2D. Comenza-

remos con el problema interior:

Problema interior 3D

Fichero de entrada de datos

La idea es la misma que para el caso 2D, salvo que la complejidad y dimension del fi-

chero para el caso 3D es mucho mayor. Por ello se ha incluido una funcion adicional que

permite la generacion automatica del fichero de entrada segun una serie de parametros

que estan adaptados a los problemas que vamos a resolver en los que la geometrıa es un

prisma rectangular de dimensiones 6x1x1. La funcion auxiliar Generacion fichero, tiene 6

argumentos de entrada: el primero esta asociado a la densidad de la malla, concretamente

al numero de nodos por unidad de longitud que se desea que tenga la misma; el segundo

esta asociado a la generacion de las condiciones de contorno, de manera que un valor 1

generara las correspondientes al problema interior 1 que se explicara en el capıtulo 6 y un

valor 2 hara lo mismo con el problema interior 2; el tercero es el numero de puntos inter-

nos que se quieren calcular; el cuarto es el que decide si utilizar chief points(valor 1) o no

hacerlo(valor 0), el quinto es el numero de ellos en caso de emplearlos y el ultimo permite

introducir la geometrıa aprovechando la simetrıa con respecto a alguno de los ejes(X,Y o

Z).

En cuanto a la introduccion de los nodos, estos tambien se incluiran para cada elemen-

to en sentido antihorario para el problema interior, de forma que la normal apunte siempre

hacia el exterior del dominio.

Funcion principal

Esta funcion tambien llama al resto de funciones en el orden adecuado y dibuja los resul-

tados en el contorno y en el dominio. Salvo por el hecho de llamar a una funcion adicional

que ensambla los valores en el contorno, no anade nada nuevo respecto al caso 2D. Los

nombres de las funciones son ACCONBE3D para elementos constantes y ACLINBE3D

para elementos lineales.

Funcion que genera H, G y C para el contorno

Esta funcion lo que hace es gestionar la formacion de las matrices G, H y C. Ahora es nece-


sario calcular esta ultima por separado debido a la mayor complejidad que puede presentar

la geometrıa en problemas tridimensionales. El mayor interes de esta funcion (nos referi-

mos tanto a GHMATPC3D como a GHMATPL3D) es el de ensamblar adecuadamente los

valores obtenidos de la integracion para cada nodo de colocacion en las matrices globales

H y G y sobre todo el de ensamblar el valor de c asociado a cada nodo, en la matriz global

C, de forma que no haya que interactuar con el programa durante la ejecucion del mismo

para decirle como es la discretizacion de la geometrıa de nuestro problema.

Funcion de integracion

Esta funcion es claramente distinta para elementos constantes y para elementos lineales,

por lo que trataremos ambas por separado:

EXTINPC3D es la funcion para elementos constantes, utiliza elementos cuadrangu-

lares de un unico nodo i que se ve influenciado por un elemento j(a traves de su tambien

unico nodo), como puede verse en la figura (5.4)

(xi1

,yi1

,zi1

)

(xi2

,yi2

,zi2

)

(xi3

,yi3

,zi3

)

(xi4

,yi4

,zi4

)

(xj2

,yj2

,zj2

)

(xj3

,yj3

,zj3

)

(xj4

,yj4

,zj4

)

i

j(x

j1,y

j1,z

j1)

(xj2

,yj2

,zj2

)

(xj3

,yj3

,zj3

)(x

j4,y

j4,z

j4)

x

y

z

Figura 5.4: Elemento j que actua sobre nodo i.

Por tanto las variables de entrada para esta funcion son las coordenadas de los nodos

del elemento j y las del elemento i que contienen al nodo i(ademas de las propiedades del

medio y el valor de n asociado a la normal, que valdra 1 en caso de introducir los nodos

del elemento en el sentido recomendado, que es el antihorario para el problema interior, y

-1 en caso contrario).

EXTINPL3D es la funcion para elementos lineales, utiliza elementos cuadrangulares


de cuatro nodos. Cada uno de estos nodos de un elemento generico j influencia a su vez

a todos los nodos,(incluido el mismo) representados por un nodo generico i, como puede

verse en la figura (5.5).

(xi,y

i,z

i)

(xj1

,yj1

,zj1

)

(xj2

,yj2

,zj2

)

(xj3

,yj3

,zj3

)(x

j4,y

j4,z

j4)

x

y

z

Figura 5.5: Elemento j que actua sobre nodo i.

Las variables de entrada para esta funcion son las coordenadas de los nodos del ele-

mento j y las del nodo i sobre el que actua el elemento anterior(ademas de las propiedades

del medio y el valor de n asociado a la normal).

Funcion para el calculo de la matriz C

Para el problema 3D esta matriz no es tan facil de generar pues pueden aparecer tanto

puntos concavos y convexos como puntos de silla y es necesario crear una funcion solo

para su obtencion. Dicha funcion recibe como argumentos de entrada, las coordenadas del

nodo para el que se va a calcular el termino libre y las coordenadas de los nodos de los

elementos a los que pertenece dicho nodo. La mision de la funcion GHMAT3D, dentro de

la que se ubica CMAT3D, sera la de proporcionarle a esta ultima las coordenadas de los

otros nodos que sean necesarias para calcular el termino libre en cada uno de los nodos de

la discretizacion.

Funcion de ensamblaje y resolucion del sistema de ecuaciones

Esta funcion recibe las matrices H y G generadas mediante GHMAT3D, ası como 3 ma-

trices que contienen los 3 tipos de condiciones de contorno posibles (presion conocida,

flujo conocido e impedancia conocida). Cada una de estas 3 matrices(de dimensiones nx2)


contiene el numero de los nodos(segun el orden de introduccion de los mismos) a los que

se va a aplicar la respectiva condicion de contorno, en una columna, y el valor de dicha

condicion de contorno asociado a cada nodo, en otra columna. Teniendo en cuenta las

condiciones de contorno de los nodos se reordenan las matrices H y G, obteniendose el

sistema de ecuaciones definitivo que tras resolverse proporciona los resultados de presion

y flujo en cada nodo del contorno.

Funcion que genera H y G para el dominio

La mision de esta funcion es analoga a la que realiza GHMAT3D, pero para el dominio

en lugar de para el contorno. Concretamente lo que se hace es gestionar la formacion de

las matrices G y H (no es necesario generar C para el dominio ya que todos sus terminos

valen 1). Para ello se ensamblan adecuadamente los valores obtenidos de la integracion

para cada punto de colocacion del interior del dominio en las matrices globales H y G.

Los nombres de las funciones son INTERPC para elementos constantes e INTERPL para

elementos lineales.

Problema exterior 3D

Las dos principales diferencias que presenta el programa del problema exterior respec-

to al del interior, son las mismas que en el caso 2D:

La primera es que al introducir los nodos de cada elemento, se hara recorriendo el

mismo en sentido horario, para que la normal apunte hacia el exterior del dominio.

La segunda sera la utilizacion de una funcion con la que se implementa el metodo de

los chief points. Dicha funcion lleva el mismo nombre CHIEFPOINTS y se empleara para

la estabilizacion de las soluciones. Se podra comprobar en el capıtulo dedicado a los ejem-

plos numericos, que la estabilizacion para el caso 3D es mas compleja que para el 2D, si

bien la filosofıa de la funcion es exactamente la misma en ambos casos, por lo que no se

realizara ningun comentario adicional.

Se incluira tambien por ultimo en esta seccion un diagrama de flujo para el problema

interior y otro para el exterior, empleando elementos lineales en ambos programas:


Figura 5.6: Diagrama de flujo para problema interior 3D con elementos lineales.


Figura 5.7: Diagrama de flujo para problema exterior 3D con elementos lineales.

Capıtulo 6

Ejemplos numericos

6.1. Introduccion

En este capıtulo se expondran los resultados obtenidos de aplicar los distintos codigos

que se han explicado anteriormente. Lo hemos dividido en tres partes. La primera, esta de-

dicada a los ejemplos de validacion de los distintos codigos programados, que sera la mas

extensa, puesto que este trabajo esta orientado a abarcar una gran cantidad de formula-

ciones del problema acustico, todas ellas con sus respectivos codigos los cuales se debe

comprobar que funcionan adecuadamente. La segunda esta dedicada a una aplicacion con-

creta del problema acustico 2D y de uso frecuente en ingenierıa civil, como es el calculo

de pantallas de atenuacion acustica. Finalmente se dedicara la ultima parte a comparar y

analizar los resultados obtenidos.

En todos los casos se ha seleccionado el aire como el fluido a traves del cual se produce

la propagacion de las ondas. Se han incluido por tanto en los codigos las prociedades

fısicas de este fluido: ρ = 1,21g/l y c = 343m/s

6.2. Ejemplos de validacion

6.2.1. Problema 1 interior 2D

En esta subseccion se incluiran los resultados del problema correspondiente a una

cavidad rectangular de dimensiones 6x1, en la que la pared de la izquierda tiene como

condicion de contorno conocida, la presion(valor 1) y en el resto de paredes es conocido

67

Capıtulo 6. Ejemplos numericos 68

el flujo(valor 0).

Para este problema se han incluido los resultados de aplicar elementos constantes,

lineales y cuadraticos para la integracion numerica, ya que todos ellos proporcionan re-

sultados algo diferentes, aunque como se vera, no tanto como en el caso del siguiente

problema. Para todos ellos se presentara el valor de la presion en los nodos del contorno,

ası como el valor de la presion a lo largo de una recta del interior del dominio, paralela a

las paredes exteriores. El resultado es el mismo para cualquiera de dichas lıneas paralelas,

independientemente de a que distancia se encuentre de los paredes, ya que el valor de la

presion solo depende de la coordenada x(paralela a las anteriores) y es independiente de

la coordenada y(perpendicular a la anterior).

−2 0 2 4 6 8−2

−1

0

1

2

3

q=0p=1

q=0

q=0

x[m]

y[m

]

Figura 6.1: Geometrıa de la cavidad 2D(condiciones de contorno del problema 1).

En primer lugar se presentan los resultados obtenidos mediante elementos constantes.

Como puede observarse, los elementos constantes proporcionan una muy buena aproxima-

cion. La amplitud de la onda que proporcionan es ligeramente superior a la de la solucion

exacta, pero una cantidad casi imperceptible.


10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nodos

C(p

)

Término libre C(p) y presión en el contorno ps

MECSolución analítica analítica

0 10 20 30 40 50 60 70−2

−1

0

1

2

Nodos

Pre

sión

(P

a)

MECSolución analítica

Figura 6.2: Solucion en los nodos del contorno con elementos constantes.

0 1 2 3 4 5 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x [m]

Pre

sión

[Pa]

Presión en el dominio de la cavidad rectangular

Solución analíticaMEC

Figura 6.3: Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos constantes.


A continuacion se presentan los resultados obtenidos mediante elementos lineales. Al

contrario de lo que cabrıa esperar, los elementos lineales proporcionan una solucion mas

inexacta que los constantes. Aunque como se puede observar, la aproximacion no deja de

ser buena.

10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nodos

C(p

)



0 10 20 30 40 50 60 70 80−2

−1

0

1

2

Nodos

Pre

sión

(P

a)


Figura 6.4: Solucion en los nodos del contorno con elementos lineales.

0 1 2 3 4 5 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x [m]

Pre

sión

[Pa]



Figura 6.5: Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos lineales.


Por ultimo se presentan los resultados obtenidos mediante elementos cuadraticos, que

tal como se puede apreciar, proporcionan la solucion mas parecida a la exacta, siendo casi

imperceptible la diferencia con respecto a la misma(mas aun que con los elementos cons-

tantes que ya vimos que era muy buena).

10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nodos

C(p

)



0 10 20 30 40 50 60 70 80−2

−1

0

1

2

Nodos

Pre

sión

(P

a)


Figura 6.6: Solucion en los nodos del contorno con elementos cuadraticos.

0 1 2 3 4 5 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x [m]

Pre

sión

[Pa]



Figura 6.7: Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos cuadraticos.


6.2.2. Problema 2 interior 2D

En esta subseccion se incluiran los resultados del problema correspondiente a la cavi-

dad rectangular anterior, en la que ahora la pared de la izquierda y la de la derecha tienen

como condicion de contorno conocida, la presion(valor 1) y en la pared de arriba y en la

de abajo es conocido el flujo(valor 0).

Para este problema tambien se han incluido los resultados de aplicar elementos cons-

tantes, lineales y cuadraticos para la integracion numerica, ya que todos ellos proporcionan

resultados considerablemente diferentes.

En primer lugar se presentan los resultados obtenidos mediante elementos constantes.

Como puede observarse, los elementos constantes proporcionan una buena aproximacion,

aunque la amplitud de la onda es algo menor a la de la solucion exacta.

10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nodos

C(p

)



0 10 20 30 40 50 60 70−4

−2

0

2

4

Nodos

Pre

sión

(P

a)


Figura 6.8: Solucion en los nodos del contorno con elementos constantes.


0 1 2 3 4 5 6−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x [m]

Pre

sión

[Pa]



Figura 6.9: Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos constantes.

A continuacion se presentan los resultados obtenidos mediante elementos lineales. Es-

tos vuelven a proporcionar una solucion menos exacta que los elementos constantes. Aun-

que al contrario que ocurre con estos ultimos, la amplitud de onda proporcionada por los

elementos lineales es mayor que la de la solucion exacta.

10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nodos

C(p

)



0 10 20 30 40 50 60 70 80−4

−2

0

2

4

Nodos

Pre

sión

(P

a)


Figura 6.10: Solucion en los nodos del contorno con elementos lineales.


0 1 2 3 4 5 6−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x [m]

Pre

sión

[Pa]



Figura 6.11: Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos lineales.

Por ultimo se presentan los resultados obtenidos mediante elementos cuadraticos, que

como era de esperar, siguen proporcionando la solucion mas parecida a la exacta.

10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nodos

C(p

)



0 10 20 30 40 50 60 70 80−4

−2

0

2

4

Nodos

Pre

sión

(P

a)


Figura 6.12: Solucion en los nodos del contorno con elementos cuadraticos.


0 1 2 3 4 5 6−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x [m]

Pre

sión

[Pa]



Figura 6.13: Solucion a lo largo de una recta del dominio con elementos cuadraticos.

6.2.3. Problema exterior 2D

En esta subseccion se incluiran los resultados del problema correspondiente a una cir-

cunferencia pulsante de radio unidad, en la que el flujo es conocido en todo el contorno de

la misma, siendo igual a uno.

Para este problema se ha incluıdo una unica grafica de los valores de presion calcu-

lados en el contorno y otra unica grafica para los valores calculados en el dominio, para

cada una de las dos frecuencias estudiadas. Esto es debido a que para este problema, no

solo los elementos cuadraticos, sino tambien los constantes y los lineales proporcionan un

resultado practicamente exacto en todos los casos. Mostraremos los resultados empleando

por ejemplo elementos lineales. Como se ha dicho, se han estudiado dos frecuencias dis-

tintas, una que no produce resonancia y otra que sı la produce, para poder comprobar como

en el primero de los casos la solucion no necesita ser estabilizada, mientras que en el se-

gundo caso, es necesario recurrir al metodo de los chief points para lograr la estabilizacion.

En primer lugar se presentan los resultados obtenidos cuando la frecuencia de pulsa-

cion es f rec = c/(2π) siendo c la velocidad de propagacin en el aire(Esta frecuencia se ha

obtenido de igualar a 1 el numero de onda k).

Para este caso, no se produce resonancia, por lo tanto la solucion es estable y el resul-


tado obtenido es el mismo tanto si se aplica como si no, el metodo de los chief points. Se

presenta a continuacion dicho resultado:

5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

Nodos

C(p

)

Término libre C(p) y presión en el contorno


5 10 15 20 25 30 35 400

200

Nodos

Pre

sión

(p.

rea

l)


5 10 15 20 25 30 35 400

100

NodosPre

sión

(p. i

mag

inar

ia)


Figura 6.14: Solucion en los nodos del contorno, para la primera frecuencia con elementos lineales.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−300

−200

−100

0

100

200

300

Distancia a la superficie (m)

Par

te r

eal e

imag

inar

ia d

e la

pre

sión

(P

a)

Presión en el dominio

Sol. analítica(parte real)MEC(parte real)Sol. analítica(parte imaginaria)MEC(parte imaginaria)

Figura 6.15: Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la primera frecuencia con elementos

lineales.


A continuacion se muestran los resultados para una frecuencia de pulsacion f rec =

131Hz que sı produce resonancia. Se mostraran por tanto los resultados para la solucion

desestabilizada y para la estabilizada.

En primer lugar se muestran los resultados de la solucion desestabilizada ante el

fenomeno de resonancia:

5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

Nodos

C(p

)



5 10 15 20 25 30 35 400

500

Nodos

Pre

sión

(p.

rea

l)


5 10 15 20 25 30 35 400

50

100

NodosPre

sión

(p. i

mag

inar

ia)


Figura 6.16: Solucion sin usar chief points (desestabilizada) en los nodos del contorno, para la segunda

frecuencia con elementos lineales.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400


Par

te r

eal e

imag

inar

ia d

e la

pre

sión

(P

a)



Figura 6.17: Solucion sin usar chief points (desestabilizada) a lo largo de una recta del dominio infinito,

para la segunda frecuencia con elementos lineales.


Ahora se mostrara la solucion estabilizada mediante el metodo de los chief points. Para

conseguirlo, se ha colocado un unico punto en el interior del hueco de la circunferencia,

que queda fuera del dominio.

5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

Nodos

C(p

)



5 10 15 20 25 30 35 400

200

400

Nodos

Pre

sión

(p.

rea

l)


5 10 15 20 25 30 35 400

50

NodosPre

sión

(p. i

mag

inar

ia)


Figura 6.18: Solucion estabilizada en el contorno, (empleo del Metodo de los Chief Points ) para la

segunda frecuencia con elementos lineales.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

400


Par

te r

eal e

imag

inar

ia d

e la

pre

sión

(P

a)



Figura 6.19: Solucion estabilizada en el dominio, (empleo del Metodo de los Chief Points) para la segunda

frecuencia con elementos lineales.


6.2.4. Problema de scatter 2D

En esta subseccion se incluiran los resultados de un problema exterior, en el que la cir-

cunferencia de radio unidad, en lugar de ser pulsante, va a ser tratada como un obstaculo

ante la llegada de los distintos frentes de onda. Se recogeran los resultados de dos frentes

distintos: uno correspondiente a una onda plana incidente y el otro correspondiente a una

onda esferica.

Los distintos tipos de elementos, al igual que ocurre con los diferentes problemas ex-

teriores, proporcionan resultados casi identicos, por lo que se presentaran tan solo los

resultados utilizando uno de los tipos(por ejemplo elementos cuadraticos, que daran resul-

tados ligeramente mas exactos).

En primer lugar se muestran las graficas correspondientes a una onda plana que sigue

una trayectoria horizontal, con sentido de izquierda a derecha. Se le ha asignado amplitud

unidad a la onda.

50 100 150 200 250 300 350 4000

0.5

Nodos

C(p

)

Término libre y presión en el contorno

MECSol. analítica

0 50 100 150 200 250 300 350 400−2

0

2

Nodos

Pre

sión

(p.r

eal)

MEC

0 50 100 150 200 250 300 350 400−2

0

2

NodosPre

sión

(p.im

agin

aria

)

MEC

Figura 6.20: Solucion en el contorno cuando hay una onda plana incidente.


Se muestran ademas los resultados en el dominio teniendo en cuenta solo el fenomeno

de difraccion de la onda y teniendo en cuenta tanto la difraccion como la reflexion.

x[m]

y[m

]

Solución considerando solo difracción

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−1

−0.5

0

0.5

1

Figura 6.21: Solucion en el dominio considerando solo la difraccion, cuando hay una onda plana incidente.

x[m]

y[m

]

Solución considerando reflexión y difracción

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 6.22: Solucion en el dominio considerando reflexion y difraccion, cuando hay una onda plana

incidente.


A continuacion se muestran los resultados correspondientes a una onda esferica cuya

fuente de emision se ha situado en el punto de coordenadas (-4,0) y a la que se le ha

asignado un valor unidad a su parametro de potencia de la fuente.

50 100 150 200 250 300 350 4000

0.5

Nodos

C(p

)

Término libre y presión en el contorno

MECSol. analítica

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1

0

1

Nodos

Pre

sión

(p.r

eal)

MEC

0 50 100 150 200 250 300 350 400−1

0

1

NodosPre

sión

(p.im

agin

aria

)

MEC

Figura 6.23: Solucion en el contorno cuando hay una onda esferica incidente.

Se muestran tambien los resultados en el dominio teniendo en cuenta solo el fenomeno

de difraccion de la onda y teniendo en cuenta tanto la difraccion como la reflexion.

x[m]

y[m

]

Solución considerando solo difracción

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Figura 6.24: Solucion en el dominio considerando solo la difraccion, cuando hay una onda esferica inci-

dente.


x[m]

y[m

]

Solución considerando reflexión y difracción

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 6.25: Solucion en el dominio considerando reflexion y difraccion, cuando hay una onda esferica

incidente.

6.2.5. Problema interior 3D

En esta subseccion se incluyen los resultados de los problemas de dos cavidades con

forma de prisma rectangular de dimensiones 6x1x1. Se han recogido ambos en una unica

seccion, ya que tanto las ideas como los resultados son los mismos que para el caso 2D.

Esto quiere decir que las condiciones de contorno son las mismas para cada uno de los

problemas, salvo que ahora en lugar de imponerse en lados de un rectangulo, se imponen

en caras de un prisma rectangular. Ademas la presion sigue variando a lo largo de una

unica coordenada y,(esta es la misma que definimos como x para el problema 2D) que

para el caso 3D es la que une la cara con condicion de contorno impuesta en presion con

la cara enfrentada, para el problema 1 y ambas caras con condicion de contorno impuesta

en presion para el problema 2.

Mostramos a continuacion un esquema de la geometrıa de la cavidad para el problema

3D:


0 0.5 1 0

1

2

3

4

5

6

0

0.5

1

y[m]

x[m]

z[m

]

Figura 6.26: Geometrıa de la cavidad 3D.

En este caso se emplean elementos constantes y lineales para el calculo de los campos

de presiones. Dichos campos a lo largo de cualquier recta que recorra la definida como

coordenada y para cualquier pareja de valores x,z constantes(recta paralela al eje y) son

los mismos que los mostrados para los dos problemas interiores 2D, en las figuras respec-

tivas de las subsecciones 1 y 2 de este apartado.

Se ha representado para ambos problemas el perfil de presiones en el dominio para 9

rectas que recorren la coordenada y, asociadas a 9 parejas de valores de las coordenadas

x,z, constantes.

Se muestra en primer lugar una grafica con el valor del termino libre calculado en cada

nodo. Puede observarse que pasa de haber dos grupos de valores distintos como habıa en

el caso 2D(asociados a nodos del interior de tramos rectos y a nodos de esquinas) a haber

3 grupos de valores, asociados a nodos del interior de las caras, nodos de las aristas y

nodos de las esquinas. En dicha grafica aparece tambien el valor calculado de la presion

en los nodos del contorno para el primer problema interior. Solo se representa la solucion

obtenida mediante el MEC y no la solucion analıtica, ya que la ordenacion de los nodos no

siguen en todos los casos la direccion de la coordenada y. En cualquier caso, dichos valores

de presion en el contorno son correctos, ya que los valores en el dominio lo son, tal como

se vera despues. Se han recogido los resultados empleando solo elementos lineales para

no incluir graficas repetidas, ya que tal como se ha comentado, los resultados obtenidos


para cada recta paralela al eje y son los mismos que para el caso 2D.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nodos

C(p

)


MEC

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−2

−1

0

1

Nodos

Pre

sión

(P

a)

MEC

Figura 6.27: Solucion en los nodos del contorno del prisma rectangular con elementos lineales.

Pueden observarse en la grafica anterior los 3 valores distintos que toma el termino

libre en funcion de la situacion de cada nodo en la cavidad: caras, aristas y vertices. Se

pueden distinguir facilmente los 8 valores menores(0.125), asociados a los 8 vertices de

la cavidad. En segundo lugar se muestran para el primer problema interior, los perfiles

de presion calculados a lo largo de 9 rectas del dominio paralelas al eje y. Presentaremos

tanto una vista 2D, correspondiente a una sola de las rectas, como una vista 3D incluyendo

todas las rectas.

0 1 2 3 4 5 6

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

y [m]

Pre

sión

[Pa]

Presión en el dominio de la cavidad


Figura 6.28: Solucion a lo largo de una recta del dominio, paralelela al eje y con elementos lineales.


0.51

2

3

4

5

−1

−0.5

0

0.5

x [m]

y [m]

Vista 3D de la presión en el dominio de la cavidad

Pre

sión

[Pa]

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

MECSolución analíticaCavidad rectangular

Figura 6.29: Vista 3D de la solucion a lo largo de rectas del dominio, paralelelas al eje y con elementos

lineales.

A continuacion se muestran los resultados analogos a los anteriores, pero para el segun-

do problema interior. Puede observarse que los valores del termino libre son los mismos

para todos los nodos, puesto que la geometrıa del prisma es la misma. Se presenta tambien

el valor de la presion en los nodos del contorno de este segundo problema.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nodos

C(p

)


MEC

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−4

−2

0

2

4

Nodos

Pre

sión

(P

a)

MEC

Figura 6.30: Solucion en los nodos del contorno del prisma rectangular con elementos lineales.


Como ultimas graficas de esta subseccion, se incluyen las correspondientes a los per-

files de presion a lo largo de las 9 rectas del dominio, paralelas al eje y, para el segundo

problema interior, (vista 3D) ası como una vista 2D asociada a una sola de las rectas.

0 1 2 3 4 5 6−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x [m]

Pre

sión

[Pa]



Figura 6.31: Solucion a lo largo de una recta del dominio, paralelela al eje y con elementos lineales.

00.51

02

46

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x [m]

y [m]

Vista 3D de la presión en el dominio de la cavidad

Pre

sión

[Pa]

−3

−2

−1

0

1

2

3

MECSolución analíticaCavidad rectangular

Figura 6.32: Vista 3D de la solucion a lo largo de rectas del dominio, paralelelas al eje y con elementos

lineales.


6.2.6. Problema exterior 3D

En esta subseccion se incluiran los resultados del problema correspondiente a una es-

fera pulsante de radio uno, en la que el flujo es conocido en todo el contorno con valor

unidad para todo el mismo.

Para este problema, debido a que los elementos constantes y los lineales producen re-

sultados casi identicos, se ha decidido incluir las graficas para uno solo de los tipos(se ha

escogido los elementos lineales, aunque practicamente no se distinguen los resultados con

respecto a los que proporcionan los elementos constantes).

Al igual que en el problema exterior 2D, se han estudiado dos frecuencias distintas,

una que no produce resonancia y otra que sı la produce, para poder comprobar tambien la

eficacia del Metodo de los Chief Points para estabilizar la solucion.

En primer lugar se presentan los resultados obtenidos cuando la frecuencia de pulsa-

cion es f rec = c/(2π)Hz siendo c la velocidad de propagacion en el aire.

Para este caso, no se produce resonancia, por lo tanto la solucion es estable y el resul-

tado obtenido es el mismo tanto si se aplica como si no, el Metodo de los Chief Points. Se

presenta a continuacion dicho resultado:

0 5 10 15 200.4

0.5

Nodos

C(p

)



0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.r

eal)


0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.im

ag.)


Figura 6.33: Solucion en los nodos del contorno de la circunferencia, para la primera frecuencia.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Presión en el dominio

x[m]

P. r

eal e

imag

. de

la p

resi

ón


Figura 6.34: Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la primera frecuencia.

Se muestra tambien una representacion 3D de la misma solucion anterior, en la que se

puede ver la esfera pulsante junto al campo de presiones que genera en el dominio, hasta

una distancia 10 veces mayor que su radio(la esfera tiene radio unidad):

02

46

810

−0.50

0.5

−1

0

1

Vista 3D de la presión presión en el dominio

x[m]

y[m]

P. r

eal e

imag

. de

la p

resi

ón


Figura 6.35: Vista 3D de la solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la primera frecuencia.

A continuacion se muestran los resultados para una frecuencia de pulsacion f rec =

6c/(2π)Hz que sı produce resonancia. Se mostraran por tanto los resultados para la solu-

cion desestabilizada y para la estabilizada. Para esta frecuencia, colocaremos chief points,

pero la solucion no es independiente del numero de los mismos que utilicemos. Veremos

como por el hecho de utilizar alguno(que sea valido y produzca restriccion) la solucion se


estabiliza mucho. Pero al aumentar el numero, la solucion en el dominio(luego veremos

por que nos referimos especıficamente al mismo) se estabiliza cada vez mas, hasta llegar

al numero optimo de chief points. A partir de dicho numero, la solucion comenzara de

nuevo a desestabilizarse hasta llegar a ser incluso menos exacta que la que obtenida sin

emplear el metodo.

En primer lugar se muestran los resultados de la solucion desestabilizada ante el

fenomeno de resonancia:

0 5 10 15 200.4

0.5

Nodos

C(p

)



0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.r

eal)


0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.im

ag.)


Figura 6.36: Solucion en el contorno, para la segunda frecuencia sin emplear chief points.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1Presión en el dominio

x[m]

P. r

eal e

imag

. de

la p

resi

ón


Figura 6.37: Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda frecuencia sin emplear

chief points.


Mostramos tambien la representacion 3D de la solucion anterior.

0

2

4

6

8

10

−0.50

0.5

−1

0

1


x[m]

y[m]

P. r

eal e

imag

. de

la p

resi

ón


Figura 6.38: Vista 3D de la solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda frecuencia

sin emplear chief points.

Ahora mostramos la solucion obtenida al colocar un chief point, que como se anti-

cipo estabiliza mucho la solucion tanto en el dominio como en el contorno:

0 5 10 15 200.4

0.5

Nodos

C(p

)



0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.r

eal)


0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.im

ag.)


Figura 6.39: Solucion en el contorno, para la segunda frecuencia empleando 1 chief point.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


x[m]

P. r

eal e

imag

. de

la p

resi

ón


Figura 6.40: Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda frecuencia empleando

1 chief point.

Se presenta tambien la representacion 3D:

0

2

4

6

8

10

−0.50

0.5

−1

0

1


x[m]

y[m]

P. r

eal e

imag

. de

la p

resi

ón


Figura 6.41: Vista 3D de la solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda frecuencia

empleando 1 chief point.

Tras esto, mostramos la solucion obtenida al colocar 10 chief points, que es el numero

optimo de los mismos para estabilizar la solucion en el dominio. Aunque cabe destacar que

la solucion en el contorno es menos exacta que en el caso de emplear un solo chief point.

Esto es debido a que al aumentar el numero de restricciones, la solucion por mınimos

cuadrado del sistema de ecuaciones se ve alterada. En cualquier caso, la estabilizacion de

la solucion es mayor que la alteracion que sufre debido a este efecto. Puede apreciarse en


las siguientes graficas:

0 5 10 15 200.4

0.5

NodosC

(p)



0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.r

eal)


0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.im

ag.)


Figura 6.42: Solucion en el contorno, para la segunda frecuencia empleando 10 chief points.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


x[m]

P. r

eal e

imag

. de

la p

resi

ón


Figura 6.43: Solucion a lo largo de una recta del dominio infinito, para la segunda frecuencia empleando

10 chief points.

No incluimos la representacion 3D para este caso, ya que es muy parecida a la que se

mostro anteriormente para el caso de colocar un solo chief point (6.41).

Por ultimo, mostramos la solucion obtenida al colocar 20 chief points; un numero

considerablemente mayor que el optimo, que era 10. Puede apreciarse que tanto la solucion

en el contorno como en el dominio, vuelven a estar desestabilizadas, siendo el resultado


proporcionado mas inexacto que el que tenıamos antes de aplicar el metodo de los chief

points. Esto se explica teniendo en cuenta que el numero de ecuaciones de restriccion

es tan alto, que altera enormemente la solucion por mınimos cuadrados del sistema de

ecuaciones. En este caso, dicho efecto es mucho mayor que el efecto estabilizador, por

ello es por lo que podemos apreciar en las siguientes graficas como se desestabiliza la

solucion tanto en el contorno como en el dominio:

0 5 10 15 200.4

0.5

Nodos

C(p

)



0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.r

eal)


0 5 10 15 20−0.5

00.5

11.5

Nodos

Pre

sión

(p.im

ag.)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


x[m]

P. r

eal e

imag

. de

la p

resi

ón




Tampoco incluimos la representacion 3D para este caso, ya que se distingue muy poco

de la proporcionada para el caso en que no se colocaban chief points (6.38).

6.3. Aplicacion al calculo de pantallas de atenuacion acusti-

ca

A continuacion aplicaremos el codigo 2D desarrollado al calculo de pantallas de ate-

nuacion acustica y mostraremos los resultados obtenidos para los distintos casos estudia-

dos.

6.3.1. Pantalla con contorno reflejante

En el primer caso se ha colocado una pantalla de dimensiones 5m x 5m en un semi-

espacio reflejante. Las superficies de la pantalla son tambien reflejantes. Ademas hay una

fuente puntual situada 2.5m por encima del contorno del semiespacio y a 5m en horizontal

del contorno de la pantalla. El objetivo es calcular los resultados para 3 receptores situados

5m a la derecha(en horizontal) de la pantalla y a unas alturas sobre el semiespacio de 0,2.5

y 5m respectivamente. De esta forma mostraremos el efecto de atenuacion que realiza la

pantalla a traves del coeficiente de perdida por insercion (IL).

0 5 10 15

0

2

4

6

fuente

β=0

βs=0

3

2

1

Receptores

Figura 6.46: Geometrıa de la primera pantalla(reflejante).


Se muestran a continuacion los resultados obtenidos para las distintas frecuencias y

para cada uno de los receptores:

101

102

103

104

−40

−30

−20

−10

0

10Espectro de pérdida por inserción

frecuencia(Hz)

pérd

ida

por

inse

rció

n (I

L)(d

B)

Receptor 1Receptor 2Receptor 3

Figura 6.47: Espectro de perdida por insercion de la primera pantalla, obtenido mediante los codigos

adjuntados en los anexos.

Este resultado, puede tambien validarse al compararlo con el obtenido en el libro de

Maeso y Aznarez [4] (2004) para el mismo problema. Los valores son practicamente

identicos.

Figura 6.48: Espectro de perdida por insercion de la primera pantalla, sacado del libro de Maeso y Aznarez

[4] (2004).


En ambas graficas, puede observarse a pesar de las oscilaciones asociadas a las posicio-

nes de la fuente y los receptores que la perdida por insercion es creciente lıneas generales

al disminuir la cota del receptor.

6.3.2. Pantalla con contorno absorbente

El segundo caso consiste en colocar una pantalla triangular con propiedades absorben-

tes. El semiespacio sigue siendo reflejante, pero la pantalla en cambio se va a estudiar

para 3 recubrimientos absorbentes diferentes: σ1=300000 Nsm−4, σ2=100000 Nsm−4 y

σ1=10000 Nsm−4. En los tres casos el espesor del tratamiento sera de 0.2m. La forma de

la pantalla sera la de un triangulo is’sceles de 5m de base y 3m de altura. La fuente se co-

locara a la altura del semiespacio y 5m a la izquierda de la pantalla y el receptor, tambien

esta a la altura del semiespacio, pero 5m a la derecha de la pantalla. Al igual que en el

caso anterior, el objetivo es comprobar la eficacia de la pantalla a traves del coeficiente de

perdida por insercion.

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0

2

4

fuenteβ ¹ 0 β

s=0 receptor

Figura 6.49: Geometrıa de la segunda pantalla(absorbente).


Presentamos a continuacion los resultados obtenidos para los tres tratamientos y para

las distintas frecuencias, incluyendo ademas el caso en que la pantalla sea completamente

reflejante.

101

102

103

104

−40

−30

−20

−10

0

10Espectro de pérdida por inserción

frecuencia(Hz)

pérd

ida

por

inse

rció

n (I

L)(d

B)

σ1=300000 Nsm−4

σ2=100000 Nsm−4

σ1=10000 Nsm−4

reflejante

Figura 6.50: Espectro de perdida por insercion de la segunda pantalla, obtenido mediante los codigos

adjuntados en los anexos.

Al comparar con los resultados sacados del libro de Maeso y Aznarez [4] (2004), se

aprecia tambien que los resultados son practicamente identicos. Presentamos por ultimo

la grafica sacada de dicho libro.

Figura 6.51: Espectro de perdida por insercion de la segunda pantalla, sacado del libro de Maeso y Aznarez

[4] (2004).


Puede observarse que para cada frecuencia, al reducir el valor de σ , aumenta la perdida

por insercion (IL). Ello se justifica teniendo en cuenta que disminuir σ implica aumentar

el coeficiente de absorcion del contorno.

Otra conclusion un poco mas profunda es que al aumentar la frecuencia, se reduce el

efecto de la difraccion y debido a ello, el efecto de la reflexion supera al de la absorcion.

Ası se explica que tan solo para el tratamiento σ3 se consiga un aumento significativo de la

eficacia de la pantalla(con respecto a la situacion totalmente reflejante) para las frecuencias

medias.

6.4. Analisis de resultados

En este apartado, haremos un breve resumen de los resultados obtenidos a lo largo

del capıtulo, no basandonos en los valores numericos, ya que la mayorıa de los ejemplos

son de validacion, sino en las ideas utilizadas, que son extrapolables a cualquier problema

estudiado mediante el MEC.

En primer lugar cabe destacar la eficacia de los distintos tipos de elementos utilizados,

pues aunque solo los elementos cuadraticos proporcionan un resultado casi exacto, los

constantes y los lineales proporcionan tambien un muy buen resultado en general. Tan so-

lo para el segundo problema interior, (tanto para el problema 2D como para el 3D) son los

elementos cuadraticos los unicos que dan un muy buen resultado. En cambio para todos

los problemas exteriores, los resultados proporcionados por los tres metodos son practica-

mente identicos.

Se ha comprobado tambien la eficacia del metodo de los chief points para estabilizar

las soluciones de los problemas exteriores para aquellas frecuencias de pulsacion que pro-

ducen resonancia. Tambien ha quedado de manifiesto la diferente complejidad que hay

entre utilizar este metodo para problemas 2D y utilizarlo para problemas 3D. Para geo-

metrıas analogas entre ambos espacios dimensionales , como son una circunferencia en el

caso 2D y una esfera en el caso 3D, en el primero de los casos, basta con colocar un unico

chief point en el interior de la circunferencia, para estabilizar la solucion. En cambio para

el caso 3D, se producen distintos grados de estabilizacion, alcanzandose el resultado mas

parecido a la solucion exacta, para un numero optimo de chief points a partir del cual la


solucion vuelve a desestabilizarse llegando a obtenerse peores resultados que en el caso

de no emplear dicho metodo de estabilizacion.

Capıtulo 7

Resumen y conclusiones

7.1. Resumen de los contenidos desarrollados

A lo largo de este trabajo se han recogido los principales planteamientos teoricos del

problema acustico aplicado al MEC, tanto para el caso 2D como para el 3D. Dichos plan-

teamientos se han programado a su vez mediante codigos en lenguage de Matlab y se han

acompanado en todos los casos de ejemplos numericos de validacion para comprobar que

los codigos funcionan correctamente. Ademas para el caso 2D se ha anadido un ejemplo

de aplicacion practica en el mundo de la Ingenierıa Civil, como es el calculo de pantallas

acusticas.

7.2. Conclusiones del trabajo

El Metodo de los Elementos de Contorno, es una herramienta muy util cuando se trata

de modelizar problemas donde hay una razon superficie/volumen baja, ya que se consu-

men menos recursos computacionales que en otros metodo como por ejemplo los metodos

de discretizacion de volumen(Metodo de los Elementos Finitos, Metodo de Diferencias Fi-

nitas, Metodo de Volumenes Finitos). Tambien lo es para problemas en los que el dominio

es infinito, ya que si la solucion fundamental cumple la condicion de radiacion de Som-

merfeld, es posible discretizar todo el dominio, lo cual no es posible en dichos metodos

de discretizacion de volumen. En tales condiciones se ha utilizado el MEC en este trabajo

para modelizar problemas de potencial y acusticos, pero tambien es ampliamente utili-

zado en disciplinas como el electromagnetismo,la mecanica de fluidos y la mecanica de

100

Capıtulo 7. Resumen y conclusiones 101

la fractura. Concretamente, este trabajo esta fundamentalmente enfocado hacia problemas

acusticos, en los cuales el MEC es muy superior al MEF en todos los aspectos comentados.

Aunque en cualquier caso, generalmente el principal incoveniente de este tipo de for-

mulaciones es que dan como resultado matrices llenas, lo que implica que los recursos de

almacenamiento y tiempo computacional tienden a crecer proporcionalmente al cuadrado

del tamano del problema. Esto se pudo comprobar al ejecutar el codigo correspondiente

a los problemas interiores 3D, que involucran una mayor cantidad de nodos y el tiempo

de computacion asociado no es despreciable. Para una densidad de la malla de 3 nodos

por unidad de longitud, el tiempo de ejecucion en el ordenador utilizado era de unos 30

segundos. Al aumentar a 4 nodos por unidad de longitud, el tiempo se elevaba a 2 minutos

y para una densidad de la malla de 6 nodos por unidad de longitud, el tiempo de compu-

tacion alcanzaba los 5 minutos.

En cambio, las matrices de elementos finitos son tıpicamente bandeadas (los elemen-

tos son solo localmente conexos) y las necesidades de almacenamiento para este tipo de

matrices crece tıpicamente linealmente con el tamano del problema. Para aliviar este in-

coveniente se pueden usar tecnicas de compresion (como expansiones multipolares o al-

macenamiento jerarquico de matrices), aunque el costo es la complejidad que se anade y

la utilidad esta muy ligada al tipo de problemas que se resuelve y a su geometrıa. En los

codigos desarrollados se propusieron funciones adicionales para realizar una integracion

independiente en aquellos puntos de colocacion que coincidieran con nodos dentro del

elemento integrado, de forma que se esquivara la singularidad. En cualquier caso tal como

recoge la bibliografıa y se ha podido comprobar, dicha singularidad es menos pronunciada

para el problema acustico que para el de potencial y es posible para el primero de ellos

realizar una integracion conjunta para todos los puntos de colocacion sin que esto practica-

mente afecte al tiempo de computacion para mallas no demasiado densas. De hecho, entre

los codigos de este documento para el problema acustico 2D, se incluye un programa en

el que se realiza la integracion conjunta para todos los puntos de colocacion(Anexos A

y B, para la validacion de los ejemplos numericos del problema interior y exterior res-

pectivamente) y otro en el que se realiza por separado la integracion de los puntos con la

singularidad(Anexo E, para el calculo de pantallas acusticas).

Tambien es importante destacar que para la mayorıa de los problemas, no solo los ele-


mentos cuadraticos, sino tambien los constantes y los lineales, producen resultados muy

precisos, distinguiendose muy poco entre ellos y con respecto a la solucion exacta(analıti-

ca, para los problemas de validacion). Si bien es cierto que para algunos problemas, como

el segundo problema interior estudiado en este documento, tan solo los elementos cuadrati-

cos proporcionan resultados muy similares a la solucion analıtica conocida. Aunque la

mayor eficacia que ofrecen este tipo de elementos, implica tambien un salto cualitativo en

la complejidad que implica su programacion e implementacion.

7.3. Trabajo futuro

Si bien este trabajo recoge una gran cantidad de codigos de aplicacion del MEC, to-

davıa quedan muchos otros que se pueden implementar para lograr una biblioteca mas

completa. Ası, podrıa por ejemplo considerarse la posibilidad de usar elementos cuadrati-

cos de 8 nodos para el problema 3D. Tal como se ha indicado en la seccion anterior, la

implementacion de estos elementos implica una mayor complejidad, pero tambien propor-

ciona unos resultados notablemente mejores en algunos casos. Es por ello por lo que se

considera de interes incorporarlos. Dando un paso mas, podrıa plantearse la posibilidad de

desarrollar los siguientes planteamientos del MEC:

Extension a Elementos de Contorno isogeometricos.

Aplicacion de tecnicas de resolucion jerarquicas.

Elementos de Contorno espectrales.

Ademas, el campo de la modelizacion mediante el uso de metodos matematicos avan-

zados, tal como se indico en el capıtulo introductorio, ha desarrollado otras herramientas

ademas del MEC para el estudio de problemas, como es por ejemplo el MEF. Podrıa con-

siderarse su estudio e implementacion e incluso hacerlo para la interaccion entre ambos

metodos, conocida mayoritariamente como BEM/FEM, debido a que estas son las siglas

de ambos metodos en ingles.

Por ultimo, como trabajo futuro, se pretende recoger los principales codigos y resul-

tados de este trabajo, ası como los que se pretenden realizar, citados en los parrafos an-

teriores de este apartado y junto con otros que vayan surgiendo durante la realizacion de


dicho trabajo, en un documento escrito en ingles, con el objetivo de conseguir una mayor

difusion de los conocimientos incorporados.

Date post:	22-Jan-2020
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