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UNIVERSIDAD DE JAÉN Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación
Trabajo Fin de Grado
Resolución de problemas aritméticos elementales y
su relación con el curriculum de Educación
Primaria
Alumno: Pilar Gámez Fernández
Tutor: Prof. D. Antonio Estepa Castro Dpto: Didáctica de la numeración
Junio, 2014
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Indice
RESUMEN ......................................................................................................................................... 3
ABSTRACT: Solving arithmetical elementary problems and his relation with the Primary
Education Curriculum ......................................................................................................................... 3
1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 3
2. FUNDAMENTACIÓN .................................................................................................................. 5
3. OBJETIVOS .................................................................................................................................. 6
4. CONTENIDOS .............................................................................................................................. 7
5. NIVELES ....................................................................................................................................... 8
6. ERRORES ...................................................................................................................................... 9
7. VARIABLES .................................................................................................................................. 9
8. TIPOS DE PROBLEMAS .......................................................................................................... 10
9. METODOLOGÍA ....................................................................................................................... 14
10. FASE EXPERIMENTAL ......................................................................................................... 16
10.1. FASE INICIAL ................................................................................................................... 16
10.1.1. Relación con otras áreas del curriculum ...................................................................... 17
10.1.2. Problemas planteados ................................................................................................... 17
10.1.3. Resultados de la fase inicial .......................................................................................... 18
10.2. FASE INTERMEDIA ........................................................................................................ 21
10.2.1. Relación con otras áreas del curriculum ...................................................................... 21
10.2.2. Problemas planteados ................................................................................................... 22
10.2.3. Resultados de la fase intermedia ................................................................................... 23
10.3. FASE FINAL ...................................................................................................................... 26
10.3.1. Relación con otras áreas del curriculum ...................................................................... 26
10.3.2. Problemas planteados ................................................................................................... 27
10.3.3. Resultados de la fase final ............................................................................................. 29
11. DISCUSIÓN ............................................................................................................................... 32
12. CONCLUSIÓN .......................................................................................................................... 37
13. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 37
ANEXO VII: VISTO BUENO DEL TUTOR ANEXO VIII: AUTORIZACIÓN DE PUBLICACIÓN EN ABIERTO EN EL REPOSITORIO TAUJA
3
RESUMEN
La problemática existente, en referencia a la resolución de problemas en el área de matemáticas
de la Educación Primaria, ha motivado centrar este estudio en los problemas aritméticos
elementales con la finalidad de demostrar que la inclusión de este tipo de aprendizaje en las
primeras etapas de la Educación Primaria resulta esencial para la futura comprensión
estableciendo una base en el pensamiento lógico del alumnado evitando tratar los problemas
matemáticos como entes aislados.
Palabras clave: Aprendizaje, matemáticas, resolución de problemas, Educación Primaria,
pensamiento lógico, niveles, errores, variables.
ABSTRACT: Solving arithmetical elementary problems and his relation with the Primary
Education Curriculum
The difficulties existing in reference to solving problems in the area of mathematics of Primary
Education has motivated me to centre this study on the arithmetical elementary problems. The
purpose of this project is to demonstrate that the incorporation of this type of learning in the
first stages of Primary Education turns out to be essential for the future comprehension, in turn
establishing a base in logical thought of each student and avoiding the treatment of the
mathematical problems as isolated entities.
Key words: Learning, mathematics, solving problems, Primary Education, logical thought,
levels, errors, variables.
1. INTRODUCCIÓN
Este estudio viene motivado principalmente por la problemática que nos encontramos en todas
las clases, no solo de primaria, sino también de secundaria e incluso de etapas más avanzadas,
en las que el alumnado poco a poco es capaz de realizar diferentes algoritmos de diversa
dificultad, pero que a la hora de leer un problema se les dificulta la tarea por no entender
realmente lo que el problema plantea, tratándolo como simples hechos aislados y marcando una
clara línea divisoria entre ejercicios de “cuentas” y problemas.
La razón de la elección de este estudio y trabajo no viene tan solo motivado por la curiosidad e
interés, sino que además en consonancia con ello la orden del 10 de agosto de 2007 por la que
se desarrolla el curriculum correspondiente a Educación Primaria en Andalucía (BOJA num.
171) le dedica un espacio al área de las matemáticas, concretamente a la resolución de
problemas, como área transversal con gran sentido educativo. Este señala que las matemáticas
deben concebirse como un conjunto de ideas y formas de actuar que no sólo conllevan el uso
4
de cantidades y formas, sino mucho más que eso, se asocian a hacerse preguntas, identificar
estructuras, analizar fenómenos, establecer modelos, etc.
Siendo requisito indispensable desarrollarlo mediante un triple enfoque en el aprendizaje de las
matemáticas: aprender matemáticas porque son útiles e imprescindibles para el día a día; porque
nos ayudan a comprender la realidad que nos rodea; y porque su aprendizaje contribuye a la
formación intelectual general potenciando las capacidades cognitivas de niños y niñas. Para
estos fines, es fundamental la incorporación de la resolución de problemas en los contenidos
del área de las matemáticas para el desarrollo de las capacidades y competencias básicas.
La resolución de problemas, junto al uso de medios tecnológicos y la dimensión social y cultural
de las matemáticas deben entenderse, como ejes transversales que han de estar siempre
presentes en la construcción del conocimiento matemático durante esta etapa, y no considerarlo
un compartimento estanco, sino que debe abordarse la enseñanza y aprendizaje de los
contenidos de forma cíclica y gradual y con atención a todos los bloques.
Según esta orden “La resolución de problemas debe entenderse como la esencia fundamental
del pensamiento y el saber matemático, y en ese sentido ha de impregnar e inspirar todos los
conocimientos que se vayan construyendo en esta etapa educativa, considerándose como eje
vertebrador de todo el aprendizaje matemático y orientándose hacia la reflexión, el análisis,
la concienciación y la actitud crítica ante la realidad que nos rodea en la vida cotidiana.
El estudio a través de la resolución de problemas fomenta la autonomía e iniciativa personal,
promueve la perseverancia en la búsqueda de alternativas de trabajo y contribuye a la
flexibilidad para modificar puntos de vista, además de fomentar la lectura comprensiva, la
organización de la información, el diseño de un plan de trabajo y su puesta en práctica, así
como la interpretación y análisis de resultados en el contexto en el que se ha planteado y la
habilidad para comunicar con eficacia los procesos y resultados seguidos” (Orden del 10 de
agosto de 2007, p. 19).
Esta norma nos sugiere tratarlo en ciclos más elevados, pero he decidido centrarme en el primer
curso por la sencilla razón de que los problemas hay que tratarlos desde el principio, no una vez
ya el alumnado tiene una concepción de los problemas diferente y aislada. Ello provoca que en
el primer ciclo, los estudiantes se encontraran en situaciones problemáticas sencillas
relacionadas con su entorno inmediato, que pasaran a ser más complejas y abstractas en el tercer
ciclo. Dependiendo de la etapa, los problemas aritméticos se tendrán que graduar en función de
su dificultad, incluyendo en estos las diferentes categorías semánticas.
5
2. FUNDAMENTACIÓN
Puig y Cerdán (1988) definen el proceso de resolución de un problema como “la actividad
mental desplegada por el resolutor desde el momento en que, siéndole presentado un problema,
asume que lo que tiene delante es un problema y quiere resolverlo, hasta que da por acabada
la tarea” (Puig y Cerdán, 1988, p. 21)
Lester y Zawojewski (2007) también aportan su definición de resolución de problema (problem
solving): “la tarea, o la actividad dirigida, se vuelve un problema cuando " el resoluctor del
problema" tiene que desarrollar un modo de pensar más productivo sobre la situación dada”
(Lester y Zawojewski, 2007, p. 782) e introduciéndose en este tema también añade como dato
relevante que “existe una clara evidencia de que la investigación y desarrollo de la resolución
de problemas ha disminuido considerablemente” (Lester y Zawojewski, 2007, p. 764)
En este artículo de Lester y Zawojewski marcan la preocupación de que en la década de los 80
encuentra 31 artículos, en la década de los 90 disminuye a 22 artículos, y entre en 2003 y 2003
tan solo aparecen 4.
Esto nos debe hacer reflexionar sobre la necesidad de búsqueda de información para el
desarrollo de un campo tan importante como es la resolución de problemas.
Nathan (2001) y Tan (2002) promueven expectativas en Singapore enfatizando la creatividad e
innovación y desarrollando un ambiente escolar que apoye estas iniciativas, promoviendo así
un mejor desarrollo de sus habilidades y ofreciendo a todos los estudiantes el acceso a una
educación que tenga como meta la creatividad, la innovación y la resolución de problemas.
Nosotros nos centraremos en los problemas aritméticos escolares de una sola etapa en el curso
primero de Educación Primaria.
Un dato a recalcar mencionado por Gil Ignacio (2006) en la Revista de Educación es que en
muchas ocasiones las matemáticas generan sentimientos de intranquilidad, inseguridad,
incertidumbre… que los estudiantes manifiestan con “odio las matemáticas” o “me divierto con
las matemáticas”, y muchas veces esta aversión y rechazo hacia las matemáticas viene dado por
su naturaleza precisa y exacta, pero quizás influya más su carácter abstracto e impersonal, por
lo que para ellos hemos intentado plantearlo de tal manera que estos problemas estén
contextualizados en su entorno más cercano para intentar evitar experiencias amargas y
sentimientos de fracaso en relación a esta disciplina, ya que los propios sentimientos pueden
ser un motor que impulse a buscar una solución o un motivo de bloqueo.
Habría también que recalcar que, al igual que en el Segundo Simposio Nacional de la SEIEM
de Pamplona haciendo referencia al libro de Luis Puig “Elementos de resolución de problemas”
se cita: “ lo que puede decirse de la resolución de problemas independientemente del contenido
6
concreto es el objeto de estudio de la heurística, en el sentido de que este toma en la obra de
Polya (…) de modo que nuestro trabajo puede considerarse también como un estudio sobra la
heurística matemática” (Callejón, 1998, p. 106), nuestro trabajo también tiene la característica
de la heurística.
3. OBJETIVOS
Según Luceño Campos (1999), los objetivos que persigue una enseñanza/ aprendizaje centrada
en los problemas se sintetizarían en:
a) Promover y potenciar a los alumnos la capacidad de razonamiento lógico y enseñarle a
pensar de una forma estructurada, sistemática y flexible.
b) Facilitar a los alumnos experiencias suficientes para la resolución de problemas reales
con las que pueda encontrarse a lo largo de su vida, es decir, plantearle distintos
contextos que le resulten familiares y/o le ayuden a familiarizarse con su entorno
Esto mismo se encuentra en el Boletín Oficial del Estado (Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo,
de Educación) en el que se plantean objetivos relacionados con el tema a tratar.
En los objetivos generales que el BOE plantea, nuestro tema se centra en los objetivos “e” y
“g”:
“e) Conocer y utilizar de manera apropiada la lengua castellana y desarrollar hábitos de
lectura”, ya que tratándose de estudiantes de primer curso de Educación Primaria, considero
relevante realizar a su vez hincapié en el aspecto de la lectura, ya que esta le permitirá entender
los enunciados de los problemas.
“g) Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de
problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos
geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida
cotidiana”.
Y del mismo modo se plantean algunos objetivos más específicos dentro del área de las
matemáticas, resaltando el “1” y “2”:
“1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones
y mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental
para otros campos de conocimiento”.
“2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se
requieran operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de
expresión matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el
sentido de los resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos”.
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4. CONTENIDOS
A la hora de trabajar los contenidos nos hemos centrado en los propios del área de las
Matemáticas de la orden ECI/2211/2007, de 12 de julio, por la que se establece el currículo y
se regula la ordenación de la Educación primaria (Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de
Educación), y centrándonos en el Primer Ciclo de Educación Primara, más concretamente en el
“Bloque 1: Números y operaciones” que trabaja los contenidos que se llevarán a cabo en este
trabajo.
En cuanto a las operaciones se refiere, los contenidos a tratar serían:
- “Utilización en situaciones familiares de la suma para unir o añadir; de la resta para
separar o quitar; y de la multiplicación para calcular número de veces”. Aunque bien
es cierto que este contenido habría que puntualizar que solo nos centraremos en las
situaciones de suma y resta, es decir, en la estructura aditiva, puesto que es una
introducción y la multiplicación se haya lejana a estos.
- “Disposición para utilizar los números, sus relaciones y operaciones para obtener y
expresar información, para la interpretación de mensajes y para resolver problemas
sencillos, eligiendo la operación y utilizando el algoritmo adecuados”.
En cuanto a las estrategias de cálculo nos centraremos en:
- “Cálculo del resultado de sumas o restas en contexto de resolución de problemas,
utilizando el algoritmo estándar de la suma o de la resta (sin llevar) con números hasta
1000”.
Un aspecto importante a la hora de redactar problemas es, según Maza Gómez (1991) el carácter
abstracto del lenguaje conjuntístico. Hoy en día aparece subsanado variando el hecho de hablar
de un conjunto de dos al que se le añade uno de cinco, y concretándolo al hablar de dos
manzanas y cinco manzanas que se añaden. De esta manera los elementos no son abstractos,
sino concretos. Por lo que aprovechando esta necesidad de concreción a la hora de redactar los
diferentes problemas y su posterior realización por parte del alumnado, se consideró oportuno
introducir vocabulario procedente de otras materias, ya fuese como repaso o bien como nuevo
vocabulario, como puede resultar el hecho de hablar de que las flores se “marchitaron”.
Y es que, tal como cita González Marí “el pensamiento matemático individual y colectivo, su
evolución, su relaciones con otros tipos de pensamiento y su educación, no solo con miras a la
simple transmisión del conocimiento matemático sino, lo que es más importante, para que sea
posible el perfeccionamiento del conocimiento existente y sobre todo, la creación de nuevos
conocimientos” (González Marí, 1997, p.81)
8
5. NIVELES
Para poder realizar un análisis adecuado podemos situarnos en dos distintos niveles:
microscópico o macroscópico (Puig y Cerdán, 1988).
- El nivel microscópico observa conductas puntuales tales como buscar información en
el texto, tratar de recordar un problema parecido, decidir que alternativa utilizar… o
atascado.
- El nivel macroscópico es la totalidad del proceso, para atribuir a cada conducta puntual
no un significado aislado, sino un sentido conjunto respecto al producto final.
En el nivel macroscópico podemos observar sus fases en mano de diferentes autores:
Dewey (1988) nos propone una lista de fases no solo para la solución de problemas
matemáticos, sino para cualquier “problema” de la vida cotidiana
1. Identificación de la situación problemática
2. Definición precisa del problema
3. Análisis medios-fines. Plan de solución
4. Ejecución del plan
5. Asunción de consecuencias
6. Evaluación de la solución
Polya (1989) en cambio hace su división desde el punto de vista de un resolutor ideal,
concretando en el campo de las matemáticas:
1. Comprender el problema
2. Concebir un plan
3. Ejecutar el plan
4. Examinar la solución obtenida
Y en último lugar a tratar, nos centraremos en el proceso de resolución problemas aritméticos
elementales (PAE), que distingue el proceso en las siguientes fases:
1. Lectura
2. Comprensión
3. Traducción
4. Cálculo
5. Solución
6. Revisión. Comprobación
En esta última categorización, realizaremos una descripción de las fases, comparándolas a su
vez con las anteriores:
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Las fases de lectura y comprensión de un Problema Aritmético Elemental (PAE) corresponden
a la fase de comprensión de Polya. Hay que tener en cuenta que los niños están aprendiendo a
leer, por lo que la complejidad sintáctica y las palabras empleadas deben elegirse con sumo
cuidado puesto que una mala elección puede dificultar e incluso imposibilitar la ejecución del
problema. Aunque lectura y comprensión son dos fases diferentes, estas no se pueden dar
aisladas, puesto que son aspectos de una misma operación.
La fase de traducción corresponde a la de elaboración de un plan de Polya, que consiste en el
paso del enunciado verbal a la expresión aritmética correspondiente. En los problemas que
requieren más de una operación, la traducción se convierte en un proceso más complejo en el
que hay que tener presente tres componentes: qué operaciones realizar, entre qué datos y en qué
orden.
La fase de cálculo corresponde a la fase de ejecución del plan de Polya, que ha recibido su
nombre por la naturaleza de la tarea. Aquí hay que tener presente que no intervienen las
destrezas traductoras de los alumnos, sino sus destrezas algorítmicas, y ambas destrezas suelen
ser independientes entre sí. Esta distinción es importante para saber en qué hay que poner más
hincapié según el alumno.
6. ERRORES
Maza Gómez (1989) plantea dos tipos de errores a la hora de solucionar un problema aritmético,
tras incidir que la resolución de estos aparece después de la enseñanza de los hechos numéricos.
- Error 1: No elegir la operación adecuada a la hora de resolver el problema.
- Error 2: Surgen equivocaciones en la aplicación del algoritmo.
Estos errores propiciaron las investigaciones dedicadas a examinar la relación entre las
diferentes variables presentes en los problemas aritméticos.
7. VARIABLES
Según Puig y Cerdan (1988) una variable de tarea se define como cualquier característica del
problema que asume un valor particular dentro de un posible conjunto de valores.
Según Goldin y McClintock (1979/1984) existen 4 tipos de variables que contribuyen a la
dificultad del problema:
1. Variable de contenido y contexto: engloba todos los aspectos semánticos, tanto
matemáticos como no matemáticos
2. Variable de estructura: describen las características de representación formal del
problema y los procedimientos algebraicos
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3. Variable sintáctica: describen la estructura gramatical y la complejidad del
enunciado del problema.
4. Variable de conducta heurística: incluyen los procesos heurísticos que son
aplicables al problema y las consecuencias de aplicarlos.
Puig y Cerdan (1988) restringen las variables a los que son puramente de interés para la
resolución de problemas aritméticos:
1. Variables sintácticas: cualquier característica del problema que tiene que ver con el
orden y las relaciones de las palabras y símbolos que contiene el enunciado del
problema, por los que los siguientes aspectos tenían efectos en la facilidad de
solución:
a) Longitud del problema
b) Complejidad gramatical del enunciado
c) Orden del enunciado
Para los apartados a y b, es de vital importancia hace hincapié en la necesidad del
desarrollo de la lecto-escritura, que en el curso que estamos trabajando, aún está en
proceso.
2. Variables de contexto y contenido
Las variables de contenido se refieren al significado matemático, mientras que las
variables de contexto lo hacen a los significados no matemáticos. En nuestro trabajo,
habrá que ser consciente que el contenido estará completamente relacionado con el
área de la algebra elemental dentro de las matemáticas, mientras que el contexto irá
variando.
8. TIPOS DE PROBLEMAS
Los principales tipos de problemas según Maza Gómez (1991) son tres: de cambio,
combinación y comparación.
En problemas de adición nos encontramos con: combinación (combinación 1), que consiste en
disponer dos cantidades iniciales que no tienen elementos en común y reunir o combinar los
elementos de ambos conjuntos. En el cambio aumentando (cambio 1), una cantidad inicial
cambia debido al aumento registrado de otra cantidad con el fin de averiguar la cantidad final.
Y en el cambio disminuyendo (cambio 6), en el que el cambio experimentado por la cantidad
inicial desconocida implica su disminución hasta llegar a la cantidad final conocida.
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En los problemas de sustracción tenemos también el cambio aumentando (en esta ocasión
cambio 3 y 5), una cantidad inicial cambia debido al aumento registrado de otra cantidad dando
lugar a la cantidad conocida, por lo que dependiendo del tipo de cambio, se tiene que averiguar
bien la cantidad final, bien el aumento registrado; a su vez los problemas de sustracción se
encuentran en el cambio disminuyendo (cambio 2 y 4), en el que el cambio experimentado por
la cantidad inicial conocida implica su disminución hasta llegar a la cantidad final, en la que
bien se desconoce la cantidad final o la disminución que ha tenido lugar.
Finalmente se encuentra un tipo de problemas más difícil de resolver que los anteriores, los
problemas de comparación, que según Carpenter, Hiebert y Moser (1981) en C. Maza Gómez
(1989), han de ir desarrollándose progresivamente en el niño, dejando la estructura comparativa
para ciclos superiores, añadiendo a su vez la razón de que los problemas de cambio y
combinación son de operación unitaria y los de comparación son de operación binaria. Por esa
razón, en el momento en que se alcance el nivel de dificultad 3 en el que aparecen problemas
de comparación, estos no se llevaran a cabo en nuestra fase experimental.
Cada tipo de problema, a su vez tiene distintos subtipos refiriéndose a los distintos elementos
que componen la operación.
En los problemas de combinación:
Combinación 1: Tengo 3 canicas en el bolsillo y 4 en casa. ¿Cuántas canicas tengo?
Combinación 2: Tengo 3 canicas en el bolsillo y algunas en casa. Si en total tengo 7 canicas.
¿Cuántas canicas tengo en casa?
En los problemas de cambio aumentando:
Cambio 1: Tienes 7 cerezas y tu madre te dio 2 más. ¿Cuántas cerezas tienes?
Cambio 3: Tienes 7 cerezas y tu madre te ha dado algunas más. Al final tengo 9 cerezas.
¿Cuántas cerezas me ha dado tu madre?
¿?
3 4
7
3 ¿?
7
+ 2
¿?
12
Cambio 5: Tienes algunas cerezas y tu madre te dio 2 cerezas más. ¿Cuántas cerezas tenía al
principio?
En los problemas de cambio disminuyendo:
Cambio 2: Tengo 7 cerezas y me he comido 3. ¿Cuántas cerezas me quedan?
Cambio 4: Tengo 7 cerezas y me he comido algunas. Si me quedan 4 cerezas, ¿cuántas cerezas
me comí?
Cambio 6: Tengo algunas cerezas y me he comido 3. Si me quedan 4 cerezas, ¿Cuántas cerezas
tenía al principio?
Por lo tanto, una vez vistos los tipos de problemas, L. Puig y F. Cerdan (1988) establece los
niveles de dificultad en los que la diversa tipología de problemas se agrupa:
Tipo de problema Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4
Combinación 1 X
Combinación 2 X
Cambio 1 X
Cambio 2 X
7
+ ¿?
9
¿? 9
7
-3
+ 2
¿?
¿?
-3
7 4
¿? 4
13
Tipo de problema Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4
Cambio 3 X
Cambio 4 X
Cambio 5 X
Cambio 6 X
Comparación 1 X
Comparación 2 X
Comparación 3 X
Comparación 4 X
Comparación 5 X
Comparación 6 X
Hay que considerar los elementos que componen el referente de las cantidades del problema y
sus relaciones:
1. Las cantidades presentes en el problema (habitualmente tres, sobre todo en las primeras
etapas)
2. Las acciones ejercidas sobre estas cantidades expresadas comúnmente con distintos
verbos (añadir, sumar, quitar, separar, restar…) o con los símbolos “+” y “-”.
3. El resultado de las acciones anteriores y la equivalencia que supone la acción ejercida y
el resultado obtenido, cerrado con el simbolismo de “=”.
La capacidad para hacer evidente en mayor o menor grado los elementos del referente se
denomina “transparencia de la representación”. Una representación transparente será más fácil
de utilizar inicialmente, por lo que los primeros cursos, como es este caso, precisa de este
criterio a la hora de proponerse en el aula.
Para ello se ha demostrado que la capacidad de representación se ve influenciado por el tipo de
lenguaje que se emplea.
Lenguaje informal: Hay siete niños y cuatro pasteles. Si cada niño se come un pastel, ¿cuántos
pasteles quedan?
Lenguaje formal: Hay siete niños y cuatro pasteles. ¿Cuántos niños más que pasteles hay?
En el lenguaje informal podríamos entender a los niños y pasteles como fichas de diferente
tamaño y agruparlos de manera que cada niño vaya con un pastel. Esto se podría realizar de
manera manipulativa o con representaciones gráficas, es decir representaciones de carácter
icónico.
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En el lenguaje formal habría que decir que “siete menos cuatro es igual a tres”, como
representación de carácter simbólico que se vería reflejado por representaciones numéricas o
verbales.
9. METODOLOGÍA
Para empezar a decantarnos por la metodología, seguiremos a Maza Gómez (1989) que nos
ofrece cuatro formas diferentes de resolución de un problema aritmético elemental:
En primer lugar se plantea con objetos concretos y manipulables, de esta forma el niño unirá o
separará dos conjuntos presentes.
En segundo lugar, los miembros de la operación serán representados por sus dedos. En este
caso los elementos que antes eran objetos, ahora son representaciones de los mismos o actos
motores. Este nivel ofrece distintas variantes que comentaremos más adelante.
A continuación, el niño utiliza técnicas de conteo similares a las anteriores que prescinde de
ayuda externa y se basa en cálculo mental. Los elementos son ítems verbales o abstractos.
En último lugar, el niño utiliza para la resolución del algoritmo hechos numéricos almacenados
en la memoria a largo plazo.
Representación por
objetos concretos
Representación
simbólica (dedos)
Representación
mental
Recuperación hechos
numéricos
Con ayudas eternas a la memoria Sin ayudas eternas a la memoria
Al estar haciendo siempre referencia el primer curso de primaria (concretamente en la segunda
mitad del curso), nos ubicamos en la segunda forma de resolución anteriormente visto. Pero
este requiere diversas variantes en las que progresivamente se van prescindiendo de ayudas
eternas.
Para esto, existen varias estrategias, aunque nosotros nos centraremos en las tres más comunes
para realizar el algoritmo de la suma y omitiremos las que tienen escasa presencia. Más adelante
nos centraremos en el algoritmo de la resta.
Godino y Batanero (2003) definen le suma como “el seguir contando” y la resta como “contar
hacia atrás”, ya que es la mejor manera de plantearlo de modo que corresponda con la noción
de adicción y sustracción de los niños. (Godino y Batanero, 2003, p. 235)
Para comenzar, la estrategia inicial es el “recuento de todos los modelos” (RT), que se presenta
en las etapas de educación infantil y en ocasiones al inicio del primer curso de primaria.
A esta estrategia le sigue otra en la que se prescinde del recuento del primer sumando. Es el
llamado “recuento-sobre a partir del primer sumando” que consiste en empezar a emplear la
15
memoria, y si tenemos la operación de 3+5, se memorizaría en dígito 3 y las ayudas de los
dedos serían para empezar a contar a partir de este, es decir: “Tres (primer sumando), cuatro,
cinco, seis, siete y ocho”.
A continuación de esta estrategia, aparece otra con la ventaja de que se reduce al mínimo el
recuento a realizar. Es el “recuento-sobre a partir del mayor sumando”. De este modo, la misma
operación anterior de 3+5, comenzaría con el número mayor y se le añadiría el menor
empleando la misma técnica de conteo: “Cinco (mayor sumando), seis, siete y ocho”. Esta
última estrategia es la más económica de las tres, y este procedimiento de conteo es denominado
“Min”. Groen y Parkman (1972) mostraban con claridad que este procedimiento era el
predominante en los primeros años de escolaridad. Pero de aquí surge una pregunta importante
y llamativa, ¿esto indica que el niño conoce a esa edad la propiedad conmutativa de la suma?
Desde luego, el hecho de aplicar esta estrategia, facilitará la posterior comprensión consciente
de dicha propiedad
En cuanto al algoritmo de la resta, la primera estrategia consiste en representar la cantidad
mayor quitando a continuación tantos elementos como indique el número menor y dando por
solución la cantidad restante. Esta estrategia se llama “separación” y puede darse a nivel
manipulativo o con sus propios dedos.
La estrategia que le sigue es el “recuento hacia atrás desde el dado”, que consiste en un
recuento regresivo con apoyo en sus dedos comenzando desde el número mayor tantas veces
como indique el número menor. En el caso de 7-3 sería: “Siete (número mayor), seis, cinco y
cuatro”, siendo la solución el último número pronunciado. Si no pueden contar con los dedos,
esta estrategia se torna más difícil puesto que el niño en el primer curso de Educación Primaria
le supone de gran dificultad el contar regresivamente.
La siguiente y última estrategia a este nivel es el “recuento hacia adelante desde el dado”, que
es una estrategia paralela consistente en partir del número pequeño y contar hacia adelante hasta
alcanzar el número mayor. En el mismo caso anterior, 7-3, consistiría en: “Tres (número
pequeño), cuatro, cinco, seis y siete” y contar el número de elementos o dedos que se han
empleado para llegar de la cantidad inicial a la final. Esta estrategia es más común que la
anterior, puesto que un conteo progresivo en vez de regresivo simplifica la tarea y la carga de
memoria empleada.
Y es fundamental recordar que la contextualización es importante porque según Lester y
Zawojewski (2007) “nuestra interpretación de la heurística de Polya es que las estrategias se
plantean para ayudar a los resoluctores de problemas a pensar, reflexionar, e interpretar
16
situaciones de problema, más que para ayudarles a decidir qué hacer cuando se “atascan” al
intentar solucionarlo”. (pág. 768)
10. FASE EXPERIMENTAL
Esta fase experimental tiene lugar con el objetivo de poder comprobar si el alumnado avanza
en la resolución de problemas, aun siendo en un corto periodo de tiempo y así mostrar el avance
puede llegar a alcanzar la muestra seleccionada de 1º de Primaria, y aprovechando el periodo
de prácticas docentes, vamos a trabajar en la medida de lo posible con ellos la resolución de
problemas.
La evaluación de los problemas se lleva a cabo mediante los siguientes criterios:
- Totalmente correcto (TC): en la resolución del problema el niño selecciona el algoritmo
adecuado y lo realiza correctamente.
- Parcialmente correcto (PC): el niño selecciona el algoritmo adecuado, pero surgen
equivocaciones en la aplicación del mismo.
- Incorrecto (I): el niño no selecciona el algoritmo adecuado, ni realiza correctamente la
operación que ha escrito.
- No válido (NV): el niño no selecciona el algoritmo adecuado, pero hay que reconocer
que el algoritmo por el que se ha decantado está correctamente resuelto.
Por lo tanto, englobaremos los dos primeros que nos permiten comprobar que han entendido el
problema y como se resolvería, aunque los PC mantengan errores de aplicación del algoritmo;
y por otro lado los dos últimos, que nos demuestran que no han adquirido la conciencia de
resolución de problemas, y que los incorrectos, a su vez, tampoco terminan de aplicar el
algoritmo.
Los problemas que se llevan a cabo serán de una sola operación tanto por el hecho de estar en
1º de Educación Primaria, como para poder facilitar la observación de que tipo y/o nivel de
problemas resultan de mayor o menor complejidad. Se podrían comprobar los distintos errores
que C. Maza Gómez (1989) enuncia y que se comentó previamente.
10.1. FASE INICIAL
Para comenzar, planteamos una “evaluación inicial” consistente en dieciocho problemas del
nivel de dificultad 1: seis de Cambio 1, seis de Cambio 2 y seis de Combinación 1. El contexto
de los problemas pretende ser variado y de su entorno más cercano, intentando relacionarlos a
su vez con las otras áreas y asignaturas del alumnado.
17
10.1.1. Relación con otras áreas del curriculum
Los problemas principalmente se relacionaron con la asignatura de Lengua Castellana y con
Conocimiento del Medio, aunque en algunas ocasiones también se han relacionado estos con
otros aspectos de las Matemáticas, vinculantes a las monedas y euros, que se empieza a
presentar de manera sutil en el primer curso de Educación Primaria. En el área de Lengua se
trataron palabras conocidas y otras nuevas con las letras y/o sílabas que se estaban trabajando
en clase: “ca, co, cu”, “qu”, “b”, “bl”, “br”, “fl”, “dr”, “cr”, “ñ”, “ga, go, gu” y la distinción
entre “r” suave (como se da en la palabra de margarita) y “r” fuerte (en la palabra de rosa), ya
que tenemos que recordar que nos encontramos en un curso en el que la habilidad lectora aun
es limitada, y es importante que se le presenten palabras nuevas para promover la lectura y el
aprendizaje de estas. En el área de Conocimiento del Medio se introducían palabras también
conocidas y otras nuevas relacionadas con la temática de los animales y las plantas, que están
siempre presentes a lo largo del primer curso.
FASE INICIAL: Nivel 1
Combinación 1 Cambio 1 Cambio 2
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Lengua C. X X X X X X X X X X X X X X X X X
Conoc.
Medio
X X X X
Matem. (€) X X
10.1.2. Problemas planteados
Los problemas que se plantearon fueron los siguientes:
FASE INICIAL
NIV
EL
1
CO
MB
INA
CIÓ
N 1
1. En la feria, Marta ha ganado 36 canicas y Rosa ha ganado 13 canicas. ¿Cuántas
canicas tienen entre Marta y Rosa?
2. En la clase de segundo A han hecho 26 dibujos y en la clase de segundo B han hecho
15 dibujos. ¿Cuántos dibujos hay en total?
3. En la visita al zoo, Jesús vio 34 focas y 28 leones. ¿Cuántos animales vio Jesús en
total?
4. El papá de Antonio tiene 42 años y su mamá tiene 37 años. ¿Cuántos años tienen
entre los dos?
5. En la biblioteca hay 47 libros de dibujos y 34 libros de cuentos. ¿Cuántos libros hay
en la biblioteca?
6. Paseando por el parque, conté 27 perros y 13 gatos. ¿Cuántas mascotas paseaban por
el parque?
C A M BI
O
1 1. Pedro tenía 16 euros y su mamá le dio 4 euros más. ¿Cuántos euros tiene ahora
Pedro?
18
FASE INICIAL
2. En mi casa tengo 24 libros y por mi cumpleaños me han regalado 7 libros más.
¿Cuántos libros tendré ahora?
3. En mi álbum tengo 41 pegatinas y a la salida del cole me voy a comprar 12 pegatinas
más. ¿Cuántas pegatinas tendré al final?
4. En el jardín de mi abuela hay 32 rosas y ayer plantó 19 margaritas. ¿Cuántas flores
hay ahora?
5. Mi hermana tiene 27 camisetas y le he dado 14 camisetas mías. ¿Cuántas camisetas
tiene ahora mi hermana?
6. En la fiesta del colegio Alonso llevó 45 bizcochos y Mafalda llevó 6 bizcochos más.
¿Cuántos bizcochos había en la fiesta del colegio?
CA
MB
IO 2
1. En la merienda había 52 galletas y mi familia se ha comido 21 galletas. ¿Cuántas
galletas quedan?
2. Mi amigo Pelayo tenía 37 cromos pero se le han perdido 12 por el camino. ¿Cuántos
cromos tiene ahora?
3. Mi vecina tenía 45 flores en su terraza pero 13 se le han marchitado. ¿Cuántas flores
hay ahora?
4. En la panadería hay 58 barras de pan, se han vendido 31 barras. ¿Cuántas barras de
pan quedan ahora?
5. En la clase hay 27 niños pero 6 se han ido al médico. ¿Cuántos niños hay ahora?
6. En el bolsillo tenía 49 monedas pero andando se me han caído 7 monedas. ¿Cuántas
monedas tengo ahora?
10.1.3. Resultados de la fase inicial
Después de proponer los 18 problemas a todos los niños de nuestra muestra, en esta evaluación
inicial los resultados obtenidos fueron los siguientes:
- En el Cambio 1 hay un 77% de totalmente correcto y un 18% de parcialmente correcto,
lo que deja un 95% de problemas resueltos de manera aceptable.
(ver gráfico Inicial - Nivel 1: Cambio 1)
- En el Cambio 2 hay un 60% de totalmente correcto y un 24% de parcialmente correcto,
lo que deja un 84% de problemas resueltos aceptablemente. (ver gráfico Inicial - Nivel
1: Cambio 2)
- En la Combinación 1 hay un 83% de totalmente correcto y un 14% de parcialmente
correcto, lo que deja un 97% de problemas resueltos aceptablemente. (ver gráfico Inicial
- Nivel 1: Combinación 1)
- A través de estos resultados, podemos comprobar que el Cambio 2 genera algo más de
dificultad a los estudiantes.
- Aunque en la suma de Totalmente Correctos (TC) y Parcialmente Correctos (PC) tres
de ellos (Israel, Sara B. y Daleska) tengan un porcentaje relativamente alto en el Cambio
1 y Combinación 1, el Cambio 2 aún no lo controlan, lo que impide que deban avanzar
al siguiente nivel de dificultad. El resto de estudiantes promocionan al Nivel 2.
19
Ver tabla: Tabla evaluación inicial – nivel 1
83%
14%3%0%
INICIALNIVEL 1 -
COMBINACIÓN 1
TC PC I NV
60%24%
5%
11%
INICIAL NIVEL 1 - CAMBIO 2
TC PC I NV
77%
18%
4%1%
INICIALNIVEL 1 - CAMBIO 1
TC PC
20
Tabla evaluación inicial – nivel 1
LEYENDA
TC = Totalmente Correcto
PC = Parcialmente Correcto
I = Incorrecto
NV = No válido
PROBLEMAS NIVEL 1
CAMBIO 1 6 6 6 CAMBIO 2 6,0 6,0 6,0 COMBINACIÓN 1 6 6 6 GENERAL N1 18 18 18
NOMBRE Nº TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC I NV % TC % PC % TC & PC
Sara B. 1 1 4 1 0 16,7 66,7 83,3 0 0 2 4 0,0 0,0 0,0 1 4 1 0 16,7 66,7 83,3 2 8 4 4 11,1 44,4 55,6
Álvaro 2 4 1 1 0 66,7 16,7 83,3 3 2 0 1 50,0 33,3 83,3 5 0 1 0 83,3 0,0 83,3 12 3 2 1 66,7 16,7 83,3
Mª Carmen 3 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 3 3 0 0 50,0 50,0 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 14 4 0 0 77,8 22,2 100,0
Alba 4 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 3 3 0 0 50,0 50,0 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 14 4 0 0 77,8 22,2 100,0
Israel 5 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 0 0 2 4 0,0 0,0 0,0 1 5 0 0 16,7 83,3 100,0 5 7 2 4 27,8 38,9 66,7
Asun 6 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 16 2 0 0 88,9 11,1 100,0
Enrique 7 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 3 3 0 0 50,0 50,0 100,0 13 5 0 0 72,2 27,8 100,0
Ángel 9 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 13 5 0 0 72,2 27,8 100,0
Adrián 11 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 18 0 0 0 100,0 0,0 100,0
Pablo 12 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 2 3 0 1 33,3 50,0 83,3 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 13 4 0 1 72,2 22,2 94,4
Nerea 13 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 14 4 0 0 77,8 22,2 100,0
Hugo 14 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 16 2 0 0 88,9 11,1 100,0
Manuel 15 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 15 3 0 0 83,3 16,7 100,0
Carmen 16 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 3 3 0 0 50,0 50,0 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 14 4 0 0 77,8 22,2 100,0
Sara R. 17 5 0 1 0 83,3 0,0 83,3 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 15 2 1 0 83,3 11,1 94,4
Gema 18 4 1 1 0 66,7 16,7 83,3 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 15 2 1 0 83,3 11,1 94,4
Sergio 19 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 18 0 0 0 100,0 0,0 100,0
Óscar 20 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 16 2 0 0 88,9 11,1 100,0
Juan Felix 21 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 15 3 0 0 83,3 16,7 100,0
Daleska 23 2 2 1 1 33,3 33,3 66,7 0 1 2 3 0,0 16,7 16,7 5 0 1 0 83,3 0,0 83,3 7 3 4 4 38,9 16,7 55,6
93 21 5 1 77,5 72 29 6 13 100 17 3 0 265 67 14 14 73,6 18,6 92,2
21
10.2. FASE INTERMEDIA
Con los resultados obtenidos de la evaluación inicial, pasamos a una primera ronda de
problemas, en las que plantearemos dos niveles de dificultad diferentes: seguirán trabajando el
nivel de dificultad 1 aquellos que han obtenido un porcentaje general inferior a 75%
(correspondiente al porcentaje del total de problemas Totalmente Correctos y Parcialmente
Correctos del nivel 1, tal como se puede observar en la tabla), y empezarán trabajando el nivel
2, los que superaron dicho porcentaje.
El cuadernillo del nivel 1 mantendrá la misma estructura que el de la evaluación inicial,
mientras que el del nivel 2, planteará 12 problemas, manteniendo así el hecho de realizar 6
problemas de cada tipo, en este caso de Cambio 3 y Cambio 4.
10.2.1. Relación con otras áreas del curriculum
A su vez, ambos cuadernillos plantean contextos similares que pretenden enlazarse a los
contenidos que se están viendo en otras áreas, como son palabras conocidas y otras nuevas con
las letras y/o sílabas que se estaban trabajando en clase, ya sean de repaso: “qu”, “bl”, “cr”, “ñ”,
o de nuevo aprendizaje: “m antes de p”, “tr” y “pr”, en el área de Lengua y la introducción de
palabras también conocidas y otras nuevas relacionadas con la temática de los animales, las
plantas y los medios de transporte en el área de Conocimiento del Medio. No debemos olvidar
que en algunas ocasiones también se relaciona con otras áreas de Matemáticas referentes a las
monedas y euros.
FASE INTERMEDIA: Nivel 1
Combinación 1 Cambio 1 Cambio 2
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Lengua C. X X X X X X X X X X X X X X X X
Conoc.
Medio
X X X X X X
Matem. (€) X
FASE INTERMEDIA: Nivel 2
Cambio 3 Cambio 4
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Lengua C. X X X X X X X X X X X
Conoc. Medio X X X X
Matem. (€) X
22
10.2.2. Problemas planteados
Los problemas que se plantearon fueron los siguientes:
FASE INTERMEDIA
NIV
EL
1
CO
MB
INA
CIÓ
N 1
1. En la estación hay 31 autobuses y 45 trenes. ¿Cuántos medios de transporte público
hay en total?
2. En la biblioteca hay 28 libros de lectura y 36 comics. ¿Cuántos libros hay entre los
dos?
3. Pablo ha hecho 24 actividades de matemáticas y 56 actividades de lengua. ¿Cuántas
actividades ha hecho Pablo?
4. En el campamento, 83 personas juegan al baloncesto y 14 personas practican
piragüismo. ¿Cuántas personas hacen deporte?
5. En el zoo hay 65 pingüinos y 37 hipopótamos. ¿Cuántos animales hay en total?
6. En el avión se han montado 83 adultos y 9 niños. ¿Cuántas personas se han montado
en total?
CA
MB
IO 1
1. Blanca tenía 31 peluches y en las fiestas de su barrio ganó 26 peluches más. ¿Cuántos
peluches tiene ahora Blanca?
2. Había 67 pasajeros en el tren, y se subieron 24 más. ¿Cuántos pasajeros hay ahora?
3. En una tienda había 63 camisetas de colores y el dependiente trajo 42 camisetas más.
¿Cuántas camisetas hay ahora?
4. En la oficina había 21 trabajadores y al rato llegaron 18 más. ¿Cuántos trabajadores
hay ahora?
5. En la hucha, Pedro tenía 46 euros y su abuela le dio 12 euros más. ¿Cuántos euros tiene
Pedro ahora?
6. En la fiesta de cumpleaños había 36 refrescos y mi amigo llevó 26 refrescos más.
¿Cuántos refrescos hay en la fiesta?
CA
MB
IO 2
1. En el campo había 93 árboles y como no llovió se secaron 40 árboles. ¿Cuántos árboles
hay al final?
2. Blas tenía 89 cromos pero jugando perdió 24. ¿Cuántos cromos tiene ahora?
3. En el tren de Jaén van 84 personas y en la siguiente estación se bajan 52. ¿Cuántas
personas quedan en el tren?
4. En la fiesta de fin de curso hay 55 pasteles y los niños de primaria se han comido 34
pasteles. ¿Cuántos pasteles quedan en la fiesta?
5. El panadero hace 66 barras de pan pero 16 se le queman. ¿Cuántas barras de pan le
quedaron?
6. En mi casa hay 37 platos pero se me han roto 14. ¿Cuántos platos me quedan ahora?
FASE INTERMEDIA
NIV
EL
2
C
AM
BIO
3
1. Blanca tenía 31 peluches y en las fiestas de su barrio ganó algunos peluches más. Si al
final tiene 72 peluches ¿Cuántos peluches ganó Blanca?
2. Había 36 pasajeros en el tren, y se subieron algunos más. Si al final hay 68 pasajeros
¿cuántos pasajeros se subieron?
3. En una tienda había 67 camisetas de colores y el dependiente llevó algunas camisetas
más. Ahora hay 99 camisetas ¿Cuántas camisetas llevó el dependiente?
4. En la oficina había 32 trabajadores y al rato llegaron algunos más. Ahora hay 78
trabajadores. ¿Cuántos trabajadores llegaron?
5. En la hucha, Pedro tenía 77 euros y su abuela le dio algunos euros más. Ahora tiene
89 euros. ¿Cuántos euros le dio su abuela?
23
FASE INTERMEDIA
6. En la fiesta de cumpleaños había 84 refrescos y mi amigo llevó algunos refrescos más.
Al final hay 96 refrescos. ¿Cuántos refrescos llevó mi amigo?
CA
MB
IO 4
1. En el campo había 95 árboles y como no llovió se secaron algunos árboles. Ahora
quedan 51 árboles. ¿Cuántos árboles se secaron?
2. Blas tenía 87 cromos pero jugando perdió algunos. Ahora le quedan 55 cromos.
¿Cuántos cromos perdió jugando?
3. En el tren de Jaén van 85 personas y en la siguiente estación se bajan algunas. Ahora
quedan 35 personas. ¿Cuántas personas se bajaron del tren?
4. En la fiesta de fin de curso hay 59 pasteles y los niños de primaria se han comido algunos
pasteles. Ahora quedan 27 pasteles. ¿Cuántos pasteles se han comido los niños de
primaria?
5. El panadero hace 76 barras de pan pero algunos se le queman. 52 barras de pan no se le
han quemado ¿Cuántas barras de pan se le han quemado?
6. En mi casa hay 48 platos pero se me han roto algunos. Me quedan 21 platos. ¿Cuántos
platos se me han roto?
10.2.3. Resultados de la fase intermedia
En esta evaluación intermedia los resultados obtenidos son los siguientes:
En cuanto a los tres estudiantes que seguían en el Nivel 1:
- En el Cambio 1 hay un 72% de totalmente correcto y un 22% de parcialmente correcto,
lo que deja un 94% de problemas resueltos de manera aceptable.
(ver gráfico Intermedio - Nivel 1: Cambio 1)
- En el Cambio 2 hay un 39% de totalmente correcto y un 28% de parcialmente correcto,
lo que deja un 67% de problemas resueltos aceptablemente. (ver gráfico Intermedio -
Nivel 1: Cambio 2)
- En la Combinación 1 hay un 50% de totalmente correcto y un 44% de parcialmente
correcto, lo que deja un 94% de problemas resueltos aceptablemente. (ver gráfico
Intermedio - Nivel 1: Combinación 1)
- A través de estas puntuaciones, podemos comprobar que el Cambio 2 sigue generando
algo más de dificultad a los estudiantes, pero se observa una notable mejora y un ascenso
en los porcentajes, con lo que ya están preparados para pasar el nivel de dificultad 2,
puesto que en el total general de los problemas totalmente correctos y parcialmente
correctos oscilan entre el percentil 80 y 90.
En cuanto a los diecisiete estudiantes que se encuentran en el Nivel 2:
- En el Cambio 3 hay un 28% de totalmente correcto y un 22% de parcialmente correcto,
lo que deja un 50% de problemas resueltos de manera aceptable.
(ver gráfico Intermedio - Nivel 2: Cambio 3)
24
- En el Cambio 4 hay un 54% de totalmente correcto y un 22% de parcialmente correcto,
lo que deja un 76% de problemas resueltos aceptablemente. (ver gráfico Intermedio -
Nivel 2: Cambio 4)
- A través de estas notas, podemos comprobar que el Cambio 4 de manera general
presenta menos dificultad a los estudiantes, aunque hay que observar la tabla con detalle
puesto que se obtienen resultados bien dispares, mientras que en el Cambio 3 se hace
presente una mayor dificultad por el hecho de que se dan puntuaciones relativamente
bajas en los problemas de esa tipología.
- En la sumatoria general de TC y PC no se obtiene un porcentaje alto, por lo que aquellos
estudiantes (9 estudiantes) que no superen en el porcentaje general de la suma de TC y
PC el 75%, continuaran trabajando la resolución de problemas del Nivel 2, mientras que
aquellos que sí lo han superado (8 estudiantes), promocionaran al Nivel 3.
Ver tabla: Tabla evaluación intermedia - nivel 1 y Tabla evaluación intermedia – nivel 2
50%44%
6%0%
INTERMEDIONIVEL 1 -
COMBINACIÓN 1TC PC I NV
39%
28%
33%
0%
INTERMEDIONIVEL 1 - CAMBIO 2
TC PC I NV
72%
22%
6%0%
INTERMEDIONIVEL 1 - CAMBIO 1
TC PC I NV
54%
22%
20%
4%
INTERMEDIONIVEL 2 - CAMBIO 4
TC PC I NV
28%
22%
45%
5%
INTERMEDIONIVEL 2 - CAMBIO 3
TC PC I NV
25
Tabla evaluación intermedia – nivel 1
Tabla evaluación intermedia – nivel 2
PROBLEMAS NIVEL 1
CAMBIO 1 6 6 6 CAMBIO 2 6 6 6 COMBINACIÓN 16 6 6 GENERAL N118 18 18
NOMBRE Nº TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC % TC % PC % TC & PC
Sara B. 1 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 1 3 2 0 16,7 50,0 66,7 2 3 1 0 33,3 50,0 83,3 7 8 38,9 44,4 83,3
Israel 5 3 2 1 0 50,0 33,3 83,3 3 2 1 0 50,0 33,3 83,3 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 10 6 55,6 33,3 88,9
Daleska 23 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 3 0 3 0 50,0 0,0 50,0 3 3 0 0 50,0 50,0 100,0 12 3 66,7 16,7 83,3
13 4 1 0 72,2 22,2 94,4 7 5 6 0 38,9 27,8 66,7 9 8 1 0 50,0 44,4 94,4 29 17 53,7 31,5 85,2
PROBLEMAS NIVEL 2
CAMBIO 3 6 6 6 CAMBIO 4 6 6 6 GENERAL N112 12 12
NOMBRE Nº TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC % TC % PC % TC & PC
Álvaro 2 1 3 2 0 16,7 50,0 66,7 3 3 0 0 50,0 50,0 100,0 4 6 33,3 50 83,33333
Mª Carmen 3 0 1 3 2 0,0 16,7 16,7 2 3 1 0 33,3 50,0 83,3 2 4 16,7 33,3 50
Alba 4 0 0 6 0 0,0 0,0 0,0 2 2 2 0 33,3 33,3 66,7 2 2 16,7 16,7 33,33333
Asun 6 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 11 1 91,7 8,33 100
Enrique 7 0 0 6 0 0,0 0,0 0,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 5 1 41,7 8,33 50
Ángel 9 0 2 4 0 0,0 33,3 33,3 0 1 5 0 0,0 16,7 16,7 0 3 0 25 25
Adrián 11 0 0 4 2 0,0 0,0 0,0 2 1 1 2 33,3 16,7 50,0 2 1 16,7 8,33 25
Pablo 12 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 11 1 91,7 8,33 100
Nerea 13 3 2 1 0 50,0 33,3 83,3 3 1 2 0 50,0 16,7 66,7 6 3 50 25 75
Hugo 14 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 0 0 4 2 0,0 0,0 0,0 5 1 41,7 8,33 50
Manuel 15 0 4 2 0 0,0 66,7 66,7 3 2 1 0 50,0 33,3 83,3 3 6 25 50 75
Carmen 16 2 2 2 0 33,3 33,3 66,7 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 8 2 66,7 16,7 83,33333
Sara R. 17 3 0 3 0 50,0 0,0 50,0 5 0 1 0 83,3 0,0 83,3 8 0 66,7 0 66,66667
Gema 18 1 2 3 0 16,7 33,3 50,0 1 5 0 0 16,7 83,3 100,0 2 7 16,7 58,3 75
Sergio 19 0 0 6 0 0,0 0,0 0,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 5 1 41,7 8,33 50
Óscar 20 3 3 0 0 50,0 50,0 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 8 4 66,7 33,3 100
Juan Felix 21 0 1 4 1 0,0 16,7 16,7 2 1 3 0 33,3 16,7 50,0 2 2 16,7 16,7 33,33333
29 22 46 5 28,4 21,6 50,0 55 23 # 4 53,9 22,5 76,5 84 45 41,2 22,1 63,23529
LEYENDA
TC = Totalmente Correcto
PC = Parcialmente Correcto
I = Incorrecto
NV = No Válido
26
10.3. FASE FINAL
Con los resultados obtenidos de la evaluación intermedia, pasamos a una ronda final de
problemas, en las que plantearemos dos niveles diferentes: el nivel 2 lo trabajaran aquellos que
han obtenido un porcentaje inferior a 75% en el Nivel 2 de la fase intermedia y los que han
superado el 75% en el Nivel 1 de la fase intermedia que han promocionado al Nivel 2.
El cuadernillo del nivel 2 mantendrá la misma estructura que el de la evaluación intermedia,
mientras que el del nivel 3 planteará 18 problemas, manteniendo así la constante de realizar 6
problemas de cada tipo, en este caso de Cambio 5, Cambio 6 y Combinación 2.
Siguiendo a Maza Gómez, citado anteriormente en los tipos de problemas, omitiremos los
problemas de comparación por pertenecer a ciclos superiores.
10.3.1. Relación con otras áreas del curriculum
A su vez, ambos cuadernillos plantean contextos similares a los anteriores que pretenden
enlazarse a los contenidos que se están viendo en otras áreas del currículo, como son palabras
conocidas y otras nuevas con las letras y/o sílabas que se estaban trabajando en clase, ya sean
de repaso como “qu”, “bl”, “cr”, “ñ”, “br”, “fl”, “tr”, “pr”, “m antes de p” o de nuevo
aprendizaje como “pal, pel, pil, pol, pul”, “bal, bel, bil, bol, bul”, “gr” y “b y v”, en el área de
Lengua y la introducción de palabras también conocidas y otras nuevas relacionadas con la
temática de los animales, las plantas y los trabajos y sus trabajadores en el área de Conocimiento
del Medio. No debemos olvidar que en algunas ocasiones también se relaciona con otras áreas
de Matemáticas referentes a las monedas y euros.
FASE FINAL: Nivel 2
Cambio 3 Cambio 4
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Lengua C. X X X X X X X X X X X X
Conoc. Medio X X
Matem. (€) X
27
FASE FINAL: Nivel 3
Combinación 2 Cambio 5 Cambio 6
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Lengua C. X X X X X X X X X X X X X X X X X
Conoc.
Medio
X X X X X
Matem. (€) X
En la fase intermedia de problemas se comprueba que muchos de los que fácilmente habían
superado la prueba inicial de problemas de nivel 1, se encuentran con dificultades en el nivel 2,
por lo que decidimos seguir lo que Luceño Campos (1999) plantea como técnica “trabajar con
números más cómodos”, puesto que cuando se trabaja con situaciones problemáticas reales,
lógicamente los números son bastante grandes o “incómodos”, y es importante que el alumnado
se familiarice desde el comienzo con ellos, pero en muchas ocasiones resulta un factor
inhibidor. Por lo tanto, si se sustituye por otros más cómodos, el problema habrá eliminado una
dificultad suplementaria y estará más libre para centrar su atención en la comprensión del
problema y en el diseño del plan de resolución. De este modo, los problemas de la fase final
constan de números más cómodos/pequeños que les facilitará la comprensión del problema y a
nosotros la observación deshaciéndonos de obstáculos que no permiten captar la esencia de la
propia observación.
10.3.2. Problemas planteados
Los problemas que se plantearon fueron los siguientes:
FASE FINAL
NIV
EL
2
CA
MB
IO 3
1. La madre de María recibió 12 flores, y María le regaló algunas flores más. Al
final tenía 27 flores. ¿Cuántas flores le regaló María?
2. En el campo encontré 7 mariquitas y mi hermano me dio algunas mariquitas
más. Al final tengo 11 mariquitas. ¿Cuántas mariquitas me dio mi hermano?
3. Diana tenía 21 piruletas y su padre le trajo algunas piruletas más. Al final tiene
28 piruletas. ¿Cuántas piruletas le trajo su padre?
4. La “seño” mandó 11 trabajos, pero el “profe” de inglés mandó algunos
trabajos más. Al final tengo que hacer 29 trabajos. ¿Cuántos trabajos mandó el
profe de inglés?
5. En las fiestas de mi pueblo había 30 toros bravos. Un torero trajo algunos toros
más. Al final hay 48 toros. ¿Cuántos toros bravos trajo el torero?
6. En la tienda había 11 trajes y un vendedor llevó algunos trajes más. Si al final
hay 24 trajes, ¿cuántos trajes llevó el vendedor?
28
CA
MB
IO 4
1. El año pasado me compré 18 camisetas brillantes, y este año se me han
estropeado algunas camisetas. Me quedan 10 camisetas. ¿Cuántas camisetas
brillantes se me han estropeado?
2. Mi amigo Pedro tenía 18 cromos pero se le han perdido algunos cromos por el
camino. Ahora le quedan 11 cromos. ¿Cuántos cromos se le han perdido?
3. Mi vecina tenía 27 flores en su terraza pero algunas se le han marchitado. Ahora
le quedan 15 flores. ¿Cuántas flores se le han marchitado?
4. Mi primo tenía 31 pulseras pero ha vendido algunas. Ahora le quedan 10
pulseras. ¿Cuántas pulseras ha vendido mi primo?
5. En unos dibujos había 19 protagonistas pero algunos se han ido. Ahora hay 12
protagonistas. ¿Cuántos protagonistas se han ido?
6. En el bolsillo tenía 29 monedas pero andando se me han caído algunas
monedas. Ahora me quedan 13 monedas. ¿Cuántas monedas se me han caído?
FASE FINAL
NIV
EL
3
CO
MB
INA
CIÓ
N 2
1. En el jardín han salido 27 margaritas y algunas rosas. Si en total han salido 39
flores, ¿cuántas rosas han salido?
2. El mago de la fiesta hizo 32 trucos de cartas y algunos trucos con el
sombrero. Si en total hizo 43 trucos, ¿Cuántos trucos con el sombrero hizo?
3. En la visita al zoo, mi padre vio 18 delfines y algunos tigres. En total vio 27
animales ¿Cuántos tigres vio mi padre?
4. La hermana de Antonio tiene 24 años y Antonio tiene también algunos años.
Entre los dos tienen 36 años. ¿Cuántos años tiene Antonio?
5. En la biblioteca hay 25 libros de dibujos y algunos libros de cuentos. Si en total
hay 31 libros, ¿cuántos libros de cuentos hay?
6. En la pradera, conté 47 ovejas y algunas cabras. En total vi 69 animales
¿Cuántas cabras había?
CA
MB
IO 5
1. La madre de María recibió algunas flores, y María le regaló 15 flores más. Al
final tenía 27 flores. ¿Cuántas flores tenía al principio?
2. En el campo encontré algunas mariquitas y mi hermano me dio 4 mariquitas
más. Al final tengo 11 mariquitas. ¿Cuántas mariquitas encontré yo?
3. Diana tenía algunas piruletas y su padre le trajo 7 piruletas más. Al final tiene
28 piruletas. ¿Cuántas piruletas tenía Diana al principio?
4. La seño mandó algunos trabajos, pero el profe de inglés mandó 18 trabajos más.
Al final tengo que hacer 29 trabajos. ¿Cuántos trabajos mandó la seño?
5. En las fiestas de mi pueblo había algunos toros bravos. Un torero trajo 18 toros
más. Al final hay 48 toros. ¿Cuántos toros bravos había en mi pueblo?
6. En la tienda había algunos trajes y un vendedor llevó 13 trajes más. Si al final
hay 24 trajes, ¿cuántos trajes había en la tienda?
CA
MB
IO 6
1. El año pasado me compré algunas camisetas brillantes, y este año se me han
estropeado 8 camisetas. Me quedan 10 camisetas. ¿Cuántas camisetas brillantes
tenía al principio?
2. Mi amigo Pedro tenía algunos cromos pero se le han perdido 7 cromos por el
camino. Ahora le quedan 11 cromos. ¿Cuántos cromos tenía Pedro al principio?
3. Mi vecina tenía algunas flores en su terraza pero 12 se le han marchitado. Ahora
le quedan 15 flores. ¿Cuántas flores tenía mi vecina?
29
4. Mi primo tenía algunas pulseras pero ha vendido 21. Ahora le quedan 10
pulseras. ¿Cuántas pulseras tenía mi primo?
5. En unos dibujos había algunos protagonistas pero 7 se han ido. Ahora hay 12
protagonistas. ¿Cuántos protagonistas había antes?
6. En el bolsillo tenía algunas monedas pero andando se me han caído 16
monedas. Ahora me quedan 13 monedas. ¿Cuántas monedas tenía al principio?
Como se puede comprobar si se leen los problemas, en la fase intermedia, los contextos
planteados en los problemas de Cambio 1 y Cambio 2 del cuadernillo del nivel 1 se
corresponden con los contextos de los problemas planteados en los problemas de Cambio 3 y
Cambio 4 del cuadernillo del nivel 2; del mismo modo que en la fase final los contextos de los
problemas de Cambio 3 y Cambio 4 del cuadernillo de nivel 2 se corresponden con los contextos
de los problemas de Cambio 5 y Cambio 6 del cuadernillo de nivel 3.
10.3.3. Resultados de la fase final
En esta evaluación final los resultados obtenidos son los siguientes:
En cuanto a los doce estudiantes que se encuentran en el Nivel 2, bien porque hubieran estado
pero no hubieran promocionado; bien porque finalmente hubiesen ascendido del nivel 1, se
comprueba que:
- En el Cambio 3 hay un 11% de totalmente correcto y un 7% de parcialmente correcto,
lo que deja un 17% de problemas resueltos de manera aceptable. (ver gráfico Final -
Nivel 2: Cambio 3)
- En el Cambio 4 hay un 69% de totalmente correcto y un 17% de parcialmente correcto,
lo que deja un 86% de problemas resueltos aceptablemente. (ver gráfico Final - Nivel
2: Cambio 4)
- A través de estas notas, podemos comprobar que el Cambio 3 sigue generando más
dificultad a los estudiantes, pero que el Cambio 4, a excepción de casos puntuales, se
encuentra en percentiles elevados.
En cuanto a los ocho estudiantes que se encuentran en el Nivel 3:
- En el Cambio 5 hay un 50% de totalmente correcto y un 6% de parcialmente correcto,
lo que deja un 56% de problemas resueltos de manera aceptable. (ver gráfico Final -
Nivel 3: Cambio 5)
- En el Cambio 6 hay un 40% de totalmente correcto y un 17% de parcialmente correcto,
lo que deja un 57% de problemas resueltos aceptablemente. (ver gráfico Final - Nivel
3: Cambio 6)
30
- En el Combinación 2 hay un 58% de totalmente correcto y un 13% de parcialmente
correcto, lo que deja un 71% de problemas resueltos aceptablemente. (ver gráfico Final
- Nivel 3: Combinación 2)
- A través de estas notas, podemos comprobar que el Cambio 5 y 6 de manera general
presenta cierta dificultad a los estudiantes, y que la Combinación 2 genera menos
dificultad al grupo.
Ver: Tabla evaluación final – nivel 2 y Tabla evaluación final – nivel 3
11%
7%
13%
69%
FINAL
NIVEL 2 - CAMBIO 3
TC PC I NV
69%
17%
10%4%
FINALNIVEL 2 - CAMBIO 4
TC PC I NV
50%
6%4%
40%
FINAL
NIVEL 3 - CAMBIO 5
TC PC I NV
40%
17%6%
37%
FINALNIVEL 3 - CAMBIO 6
TC PC I NV
58%
13%
2%
27%
FINALNIVEL 3 -
COMBINACIÓN 2
TC PC I NV
31
Tabla evaluación final – Nivel 2
Tabla evaluación final – Nivel 3
PROBLEMAS NIVEL 2
CAMBIO 3 6 6 6 CAMBIO 4 6 6 6 GENERAL N118,0 18,0 18,0
NOMBRE Nº TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC % TC % PC % TC & PC
Sara B. 1 1 0 1 4 16,7 0,0 16,7 2 3 1 0 33,3 50,0 83,3 3 3 16,7 16,7 33,3
Mª Carmen 3 0 0 0 6 0,0 0,0 0,0 3 3 0 0 50,0 50,0 100,0 3 3 16,7 16,7 33,3
Alba 4 0 0 0 6 0,0 0,0 0,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 6 0 33,3 0,0 33,3
Israel 5 0 0 1 5 0,0 0,0 0,0 4 1 1 0 66,7 16,7 83,3 4 1 22,2 5,6 27,8
Enrique 7 0 0 1 5 0,0 0,0 0,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 6 0 33,3 0,0 33,3
Ángel 9 3 1 1 1 50,0 16,7 66,7 1 2 2 1 16,7 33,3 50,0 4 3 22,2 16,7 38,9
Adrián 11 0 0 1 5 0,0 0,0 0,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 6 0 33,3 0,0 33,3
Hugo 14 1 1 1 3 16,7 16,7 33,3 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 7 1 38,9 5,6 44,4
Sara R. 17 0 0 0 6 0,0 0,0 0,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 5 1 27,8 5,6 33,3
Sergio 19 0 0 0 6 0,0 0,0 0,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 6 0 33,3 0,0 33,3
Juan Felix 21 3 2 1 0 50,0 33,3 83,3 1 1 2 2 16,7 16,7 33,3 4 3 22,2 16,7 38,9
Daleska 23 0 1 2 3 0,0 16,7 16,7 4 1 1 0 66,7 16,7 83,3 4 2 22,2 11,1 33,3
8 5 9 50 11,1 6,9 18,1 50 12 7 3 69,4 16,7 86,1 58 17 26,9 7,9 34,7
PROBLEMAS NIVEL 3
CAMBIO 5 6 6 6 CAMBIO 6 6 6 6 COMBINACIÓN 2 6 6 6 GENERAL 18 18 18
NOMBRE Nº TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC I NV % TC % PC % TC & PC TC PC % TC % PC % TC & PC
Álvaro 2 3 1 1 1 50,0 16,7 66,7 2 0 1 3 33,3 0,0 33,3 5 0 1 0 83,3 0,0 83,3 10 1 55,6 5,6 61,1
Asun 6 2 0 0 4 33,3 0,0 33,3 1 1 0 4 16,7 16,7 33,3 3 0 0 3 50,0 0,0 50,0 6 1 33,3 5,6 38,9
Pablo 12 4 1 1 0 66,7 16,7 83,3 2 2 0 2 33,3 33,3 66,7 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 11 4 61,1 22,2 83,3
Nerea 13 2 1 0 3 33,3 16,7 50,0 2 1 0 3 33,3 16,7 50,0 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 10 2 55,6 11,1 66,7
Manuel 15 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 2 4 0 0 33,3 66,7 100,0 12 6 66,7 33,3 100,0
Carmen 16 0 0 0 6 0,0 0,0 0,0 2 0 0 4 33,3 0,0 33,3 2 0 0 4 33,3 0,0 33,3 4 0 22,2 0,0 22,2
Gema 18 1 0 0 5 16,7 0,0 16,7 2 0 2 2 33,3 0,0 33,3 0 0 0 6 0,0 0,0 0,0 3 0 16,7 0,0 16,7
Óscar 20 6 0 0 0 100,0 0,0 100,0 4 2 0 0 66,7 33,3 100,0 5 1 0 0 83,3 16,7 100,0 15 3 83,3 16,7 100,0
24 3 2 19 50,0 6,3 56,3 19 8 3 18 39,6 16,7 56,3 28 6 1 13 58,3 12,5 70,8 49,3 11,8 61,1
LEYENDA
TC = Totalmente Correctos
PC = Parcialmente Correctos
I = Incorrecto
NV = No Válido
32
11. DISCUSIÓN
Una vez realizado un análisis global de la clase en las distintas etapas experimentales, considero
oportuno añadir una evaluación individualizada de los diferentes estudiantes.
Para ello, como en la gráfica siguiente se podrá valorar, se ve el proceso de cada uno de ellos
en las tres etapas trazadas: inicial, intermedia y final.
Para no darles el mismo valor a aquellos que han realizado los problemas Totalmente Correctos
y los que lo han realizado Parcialmente Correctos, que aunque la esencia del problema haya
sido captada en ambas partes, en los Parcialmente Correctos aún mantienen ciertos errores con
los algoritmos; aquellos problemas que han sido Parcialmente Correctos tienen el valor de 1
punto, y los Totalmente Correctos el valor de 2 y se ha valorado con 0 los Incorrectos y No
Válidos.
De igual modo, al encontrarnos en la tesitura de que no en todas las etapas se encontraban todo
el alumnado en el mismo nivel de dificultad, le hemos otorgado diferentes valores a los
problemas según el nivel al que pertenecieran.
Para ello, siguiendo la escala numérica, tenemos que tener en cuenta lo siguiente:
- En referencia a los valores otorgados a los problemas Totalmente Correctos y
Parcialmente Correcto, el mínimo en cada nivel a sacar sería 0 (lo que significa que no
hay problemas TC ni PC, sino que serían Incorrectos o No válidos) y el máximo sería
el producto del número de problemas de dicho nivel por dos (siendo 36 en los niveles 1
y 3 por haber 18 problemas, y siendo 24 en el nivel 2 por haber 12 problemas; si se
realizaran todos ellos Totalmente Correctos, se les otorgaría un valor de 2 a cada uno,
lo que supondría 18 ∙ 2=36 o 12 ∙ 2=24)
- Para realizar una diferencia entre niveles y poder comprobar si el alumnado mejora, ya
sea dentro del mismo nivel, o promocionando al siguiente, los valores posibles en el
nivel 1 oscilaran del 0 al 36, los valores del nivel 2 se encontrarán entre 37 y 60
(correspondiente a los 24 siguientes dígitos de los 12 problemas pertenecientes a ese
nivel) y los valores del nivel 3 podrán ser entre 61 y 96 (correspondiente a los 36
siguientes dígitos de los 18 problemas pertenecientes a ese nivel).
Para poder realizar esta operación correctamente debemos tener en cuenta:
Nivel 1 X = x
Nivel 2 X = 36 + x
Nivel 3 X = 60 + x
Siendo X el resultado final obtenido, y x el resultado del nivel en el que se encuentra.
Ver gráfico: Evolución individualizada general
33
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
80
84
88
92
96
inicial intermedio final
Evolución individualizada
Sara B. Álvaro Mª Carmen Alba Israel Asun Enrique
Ángel Adrián Pablo Nerea Hugo Manuel Carmen
Sara R. Gema Sergio Óscar Juan Felix Daleska
34
Tal como el gráfico de la evolución individualizada general contempla, en la fase inicial los
datos obtenidos son muy aproximados entre ellos, siendo una de las razones el hecho de que
todo el alumnado parte desde el mismo nivel (nivel 1).
Si contemplamos la fase final del gráfico, este nos muestra resultados muy dispares y dispersos
en la franja superior, mas en la zona inferior los resultados se aproximan más entre sí, lo que
nos permite deducir la distinta evolución de cada uno de ellos.
El gráfico nos permite finalmente observar la mejora, a diferentes niveles, del alumnado de esta
clase, ya siendo la mejora dentro del mismo nivel de dificultad o con el ascenso de nivel.
Aunque para ver realmente el desarrollo en mejor medida analizaremos la evolución siguiendo
tres parámetros, distinguidos en tres gráficas diferentes, según el nivel en que se encuentran en
cada fase (Inicial – Intermedia – Final)
Parámetro 1: Nivel 1 – Nivel 1 – Nivel 2
El parámetro 1 lo componen los tres estudiantes que empezando en el nivel 1 obtuvieron una
puntuación baja, de los cuales se observa la mejora dentro del mismo nivel en la fase intermedia,
que a su vez obtiene mejoría en la fase final promocionando al nivel 2 con resultados
suficientemente buenos. Hay que tener en cuenta el hecho de que, aunque en la gráfica general
se muestren estos tres estudiantes como los que obtienen resultados más bajos, ubicándose en
la zona inferior de la gráfica, hay que reconocer la notable mejoría que se produce en ellos. (Ver
tabla: Evolución individualizada – Parámetro 1)
048
12162024283236404448525660646872768084889296
inicial intermedio final
Evolución individualizada - Parámetro 1
Sara B. Israel Daleska
35
Parámetro 2: Nivel 1 – Nivel 2 – Nivel 2
Siguiendo estas líneas, el parámetro 2 lo componen los nueve estudiantes que observamos que,
partiendo del nivel 1, promocionaron al nivel 2 sin resultados muy elevados en la fase
intermedia, y en la fase final mantienen la puntuación, habiendo casos en los que esta se
incrementa un poco, y otros en los que desciende. Se puede inducir que al ser el grupo promedio,
en el que se encuentra mayor población, los resultados son más estáticos y frecuentes. (Ver
tabla: Evolución individualizada – Parámetro 2)
Parámetro 3: Nivel 1 – Nivel 2 – Nivel 3
El parámetro 3 lo componen los ocho estudiantes que, en líneas generales, observamos que
partiendo del nivel 1 con una alta puntuación, promocionaron al nivel 2 en la fase intermedia
obteniendo resultados elevados, y ascienden al nivel 3 con resultados igualmente notables.
Aunque bien es cierto que este parámetro muestra resultados algo más dispersos entre la
población que se muestra, también es importante decir que es en el que se observa una progreso
mayor. (Ver tabla: Evolución individualizada – Parámetro 3)
048
12162024283236404448525660646872768084889296
inicial intermedio final
Evolución individualizada - Parámetro 2
Mª Carmen Alba Enrique Ángel Adrián
Hugo Sara R. Sergio Juan Felix
36
Y para concluir la discusión, que mejor que añadir un resumen de la promoción de nivel de los
estudiantes, en la que concluimos que con 20 estudiantes se produce una mejora y promoción
a tres diferentes niveles:
PARÁMETRO Nº DE EST. ESTUDIANTES
Parámetro 1
Se observa una mejora dentro del mismo nivel de
dificultad de la fase inicial a la fase intermedia, y
una promoción de la fase intermedia a la fase final
3 Sara B., Israel y Daleska
Parámetro 2
Se observa una promoción de nivel de dificultad
de la fase inicial a la intermedia, y un
mantenimiento dentro del mismo nivel de la fase
intermedia a la final
9 Mª Carmen, Alba,
Enrique, Ángel, Adrián,
Hugo, Sara R., Sergio y
Juan Félix
Parámetro 3
Se observa una promoción de nivel de dificultad
de la fase inicial a la intermedia, y una segunda
promoción a un tercer nivel de la fase intermedia
a la final
8 Álvaro, Asun, Pablo,
Nerea, Manuel, Carmen,
Gema y Óscar
048
12162024283236404448525660646872768084889296
inicial intermedio final
Evolución individualizada - Parámetro 3
Álvaro Asun Pablo Nerea Manuel Carmen Gema Óscar
37
12. CONCLUSIÓN
Tras haber realizado este estudio y análisis hemos podido observar como a medida que el niño
“practica” la resolución de problemas, no solo entiende técnicas, sino que las hace suyas,
dándole mayor utilidad y provecho. Y es que ante un mismo tipo de problema, los niños
emplean diversas estrategias de resolución y este cambia de estrategia conforme se da cuenta
de que una distinta le facilita el trabajo.
A su vez, queda bastante claro que la evolución en el alumnado está asegurada, simplemente
habría que matizar que cada niño como ser individual que es, sigue un ritmo diferente, pero en
mayor o menor medida y a mayor o menor ritmo, se produce una evolución y ascenso en su
aprendizaje. Podríamos decir que siempre va a existir un grupo “central” como se da en el
Parámetro 2, que siga una moda y la varianza sea escasa; y del mismo modo, habrá grupos
“extremo”, ya sea por encima o por debajo, lo que implica un ascenso notable o una mejora
más ralentizada pero igual de importante que la anteriormente citada.
No debemos olvidar que los estudiantes son niños y niñas con diferentes realidades, diferentes
entornos familiares y diferentes experiencias a nivel personal, lo que les puede bien facilitar el
aprendizaje (no solo de la resolución de problemas, sino de cualquier aspecto a aprender), o
entorpecer, ya que la tensión, interés, presión, ansiedad o perseverancia, son factores afectivos
que convierten al niño en un reflejo de lo que les rodea, y esto les puede hacer quedar rezagados
o incluso perder el interés.
Para concluir, creo que es importante comenzar con los planteamientos de resolución de
problemas desde temprana edad, puesto que en caso contrario, empezaran a aprender fórmulas
estandarizadas aislando el problema de su realidad y convirtiéndolo en lo que comúnmente ha
sido, un problema.
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