Trabajo Integrador EDO-16!04!2013(1)

8/18/2019 Trabajo Integrador EDO-16!04!2013(1)

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TRABAJO INTEGRADOR DE ECUACIONESDIFERENCIALES

PROFESOR:

Ing. JULIO LOJA

NOMBRE:

ISMAEL VALDEZ

INGENIERIA MECANICA

MARZO – JULIO

CUENCA - ECUADOR

2013


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OBJETIVO GENERAL:

• Aplicar los conocimientos aprendidos en situaciones reales y así potencializar las competenciascientí icas y !en"ricas del estudiante#

OBJETIVO$ E$%E&'(I&O$:

• Analizar y resol)er pro*lemas aplicando los m"todos de resoluci+n de las ecuaciones de primer orden en el c,lculo de presi+n atmos "rica y presi+n de*a-o de a!ua de mar#

• O*tener +rmulas para el pro*lema de contaminaci+n de un la!o aplicando los m"todos deresoluci+n de las ecuaciones de primer orden a modelos con datos literales#

• Resol)er y analizar pro*lemas aplicando los m"todos de resoluci+n de las ecuaciones de se!undoorden en un sistema masa resorte con amorti!uamiento y oscilaci+n orzada#

• &ompro*ar la )alidez del modelo. contrastando la soluci+n analítica de la E/O con los datoso*tenidos e0perimentalmente#

A&TIVI/A/E$:

Es importante conocer las diferencias de trabajar con un fluido incompresible y uno compresible, sobretodo porque la densidad del primero no cambia con la presión y varía muy poco con la temperatura; encambio el segundo muestra variaciones de su densidad tanto con la presión como con la temperatura.

Para los problemas 1,2 y trabajaremos con la ecuación base!

dpdy

=− ρg

" adem#s necesitaremos que el estudiante investigue la ecuación de la densidad de un gas y analice la gr#fica presentada m#s adelante, para tener mayores argumentos para enfrentar los problemas 2 y .

1. Encuentre una ecuación que indique la variación de la presión en agua salda (fluidoincompresible) en función de la profundidad h si se considera que la presión a nivel del mar esigual a cero (es decir se trabajara con presiones relativas).

ECUAC !" #$% CA &E 'A E% $ CA &E 'U &*% 1na columna de lí2uido de una altura determinada e-ercer, una presi+n especí ica en el ondo de la

columna y en las paredes laterales de la columna en la zona cercana al ondo# %ara calcular dic3a presi+n. s+lo se tendr,n en cuenta la altura de la columna. la densidad del luido en el interior de lacolumna y la aceleraci+n de la !ra)edad. pero no in luir, la orma de la columna# $i tenemos un lí2uido est,tico de densidad constante . cual2uier elemento dentro del mismo estar,en e2uili*rio# Vamos a consideren un elemento de luido con orma de disco de ,rea 3orizontal A yalturad$# La masa de este elemento es:

dm= ρdv= ρAdh

4 su peso:

dw = ρgAdh


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Las uerzas 2ue act5an so*re este elemento son perpendiculares a su super icie en cada punto# En un plano 3orizontal la resultante de las uerzas es cero. puesto 2ue el elemento de luido no se mue)e:

∑i

F i x= 0

Esto es. las uerzas 3orizontales 2ue act5an so*re el disco son de*idas a la presi+n del lí2uidocircundante so*re el elemento y. por simetría. la presi+n de*e ser la misma en todas las direccionescontenidas en el plano 3orizontal# Verticalmente. el elemento de luido tam*i"n est, en reposo. por lo 2ue la resultante de las uerzasde*e ser tam*i"n cero:

∑i

F i y= 0

En este caso. las uerzas )erticales no s+lo son de*idas a la presi+n 2ue e-erce el lí2uido circundanteso*re las caras del disco. sino 2ue tam*i"n est, presente el peso del propio disco# $upon!amos 2ue la presi+n e-ercida so*re la cara in erior del disco es p y so*re la cara superior es

p%dp# La resultante de las uerzas )erticales es:

PA− ( P + dp )a− dw= 0

PA= ( P + dp ) A+ ρgAdh

Operando la ecuaci+n anterior. o*tenemos la si!uiente ecuaci+n di erencial de primer orden:

dpdh =− ρg

El si!ni icado ísico de esta ecuaci+n es 2ue la presi+n )aría con la pro undidad 6o altura7 dentro dellí2uido en unci+n del peso especí ico del mismo 6 8 !7. el cual es constante en todo el luido#$e!5n esto. la causa de esta )ariaci+n es el peso por unidad de ,rea trans)ersal de las capas del lí2uido2ue se encuentran por encima del elemento de luido considerado# La condici+n 2ue se de*e cumplir es 2ue el luido de*e ser incompresi*le. para 2ue la densidad permanezca constante#$i consideramos p9 como la presi+n 2ue 3ay a una pro undidad 6altura7 39 y p como la presi+n a otra pro undidad 3. la soluci+n de la ecuaci+n di erencial anterior es:

P 2 − P 1= ρg (h 2− h1 )

La cual se denomina ECUAC !" #$% CA &E 'A E% $ CA &E 'U &*% .


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+Cómo se comporta la presión en el interior del oc,ano- $o*re la super icie del mar. la presi+n 2ue e-erce la atm+s era se considera constante 6po7# $iconsideramos 2ue p 8 po. y 2ue la di erencia entre la super icie 637 y el ni)el de medida dentro dela!ua 6397 es la pro undidad 3. la ecuaci+n anterior se puede reescri*ir como:

P 1 = p0 + ρgh

&omo )emos. en el interior de un cuerpo de a!ua. como es en los mares y la!os. la presi+n aumentalinealmente a medida 2ue aumenta la pro undidad# /e 3ec3o. cuando nos encontramos en el interior del mar. la presi+n so*re nuestras ca*ezas aumentar, en proporci+n directa a la pro undidad a unaraz+n de 9;.;;; %a;; %a


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dpdh

=− ρg

4 sustituimos la densidad:

dpdh

=− ρ0 p0

pg

$eparando )aria*les e inte!rando. o*tenemos:

ln P p 0

=− g ρ0 p 0

h

/e donde o*tenemos:

P= p0 e− g

ρ0 p0

h

En esta ecuaci+n podemos )er 2ue la presi+n en la atm+s era disminuye e0ponencialmente amedida 2ue aumenta la altitud#

P = 1013.3 e− 9.80665 ( 1.2921013.3 )h

/. Encuentre una ecuación mejor que la del punto considerando ahora que la densidad del airecambia tanto con la presión como con la altura. Utilice la siguiente grafica para encontrar información valiosa.

La ecuaci+n altim"trica esta*lece una relaci+n entre la altitud de un lu!ar 6altura so*re el ni)el del mar7 con la presi+natmos "rica en ese lu!ar#

%ara deducir una e0presi+n elemental de la ecuaci+n altim"trica. ser, su iciente con suponer 2ue el aire se comportacomo n g!" #$%!& o per ecto y 2ue su densidad )iene dada en unci+n de la presi+n y de la '%()%*!' *! por

ρ= pM RT

/onde es la (!"! (+&!* media del aire 6 >.= !


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ln P p 0

= − Mg RT

z=− ( p 0 g p0 ) z= − 1α z/onde 3emos tenido en cuenta 2ue#

ρ0 p0 =

M RT

Así. la densidad del aire y. por ende. la presi+n atmos "rica. disminuye con la altitud se!5n una ley e0ponencial:

697 P= p0 e− zα

Tomando los )alores normales:

8 9. = C!; F m ;;; m

La e0presi+n697 nos permite despe-ar la altitud z en unci+n de la presi+n:

6 7 z= α ln p0 P

= 8000 ln p0 P 6en metros7

6D7 P = p0 e− g( M R∗T ) z

ρ 0 = 1.292 kg /m3

g= 9.80665 m / s2

p0 = 760 mmHg = 101325 Pa

P= 1013.3 e− 9.80665 ( 28.90.082 ∗T )12000

http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n_atmosf%C3%A9rica#Eqnref_1http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n_atmosf%C3%A9rica#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n_atmosf%C3%A9rica#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n_atmosf%C3%A9rica#Eqnref_2http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n_atmosf%C3%A9rica#Eqnref_1http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n_atmosf%C3%A9rica#Equation_1http://es.wikipedia.org/wiki/Presi%C3%B3n_atmosf%C3%A9rica#Eqnref_2


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Tomado de :3ttp:


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D# /onde 0 es T8 temperatura y 4 la presi+n

P= 1013.3 e− 9.80665 ( 28.90.082 ∗T )12000

La uni+n de las !ra icas

' menudo se reali&an c#lculos con literales para $allar una fórmula o ecuación en donde solo $aya quereempla&ar datos para obtener el comportamiento sin tener que volver a resolver el modelo (E)*+. En el ejercicio y - reali&aremos esto, para el modelo de tanque de me&clado aplicado en la contaminación deun lago por los desec$os de una f#brica.


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F# 1n rio 2ue tiene un caudal M9 m

3

s es la 5nica uente de entrada de a!ua a un la!o cuya

capacidad es de V cmD del la!o sale tam*i"n un rio cuyo caudal es Mm

3

s # supon!a 2ue una

,*rica situada rio arri*a antes del la!o est, emitiendo contaminantes a raz+n de B

kg

s y 2ue la

concentraci+n inicial del contaminante en el la!o es de /kgm

3 # $i el caudal de am*os ríos es

similar. encuentre una +rmula para calcular la concentraci+n de contaminante en la!o en cual2uier instante de tiempo t# Realice todos los c,lculos manualmente#

#

&audal de Entrada: M9m

3

s Raz+n del &ontaminante de Entrada: Bkgs

&audal de $alida: Mm3

s

Volumen del La!o: VI# del &ontaminante del la!o: /

kgm

3

M9m

3

s Mm

3

s

Bkgs

Ecuaci+n /i erencial:

dDdt = Q 1∗B− Q 2∗[ DV ]dDdt

+Q 2∗[ DV ]= Q 1∗BAplicamos (actor Inte!rante:

P (t )=Q 2

V → e∫ P (t )dt → e ∫ Q2∗dt /V → e

Q2V

t

V

D(t)


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ddt [eQ 2V t ∗ D]= e Q2V t ∗Q 1∗B

d[e Q 2V t ∗ D]= eQ 2V t ∗Q 1∗B∗dt

∫ d [e Q2V t ∗ D]=∫ eQ 2V t ∗Q 1∗B∗dt

eQ2V

t ∗ D= Q 1∗B∗V

Q 2[eQ2V t − 1 ]+

D= Q 1∗B∗V

Q 2∗e

Q 2V

t [e Q 2V t − 1 ]+

e

Q 2V

t

Q 1= Q 2

D= (B∗V )−(B∗V ∗e − Q 2V t )+( e − Q 2V t )

D(t )= (B∗V )(1 − e− Q2V t )+ e −Q 2V t

# &on la ayuda del so t are /eri)e. para simpli icar los c,lculos al!e*raicos esta*lezca lo mismodel pro*lema F pero esta )ez considere 2ue los caudales de entrada y salida son di erentes#

Q 1 ! Q 2

V (t )= V +(Q 1 − Q 2 )t

dDdt

= Q 1∗B−Q 2∗ D (t )

V (t )

dDdt

+ Q 2∗ D

V +(Q 1 − Q 2 )t = Q 1∗B

Aplicamos (actor Inte!rante:

P (t )= Q 2

V +(Q 1 − Q 2)t → e∫ Q2∗dt

V +(Q1− Q2 )t → eQ2

(Q1− Q2 ) ln ((Q1− Q2)t +V )

→[(V +(Q 1 − Q 2)t )]Q 2

(Q1 − Q 2 )t


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ddt [ D∗[ (V + (Q 1 − Q 2 )t )]

Q 2(Q 1 − Q 2 )t ]= [ (V + (Q 1 − Q 2)t )] Q 2(Q 1 − Q 2 )t ∗Q 1∗B

∫ d[ D∗[(V +(Q 1− Q 2 )t ) ] Q 2(Q 1− Q 2 )t ]=∫ [(V +(Q 1− Q 2 )t ) ] Q 2(Q1 − Q 2)t ∗Q 1∗B∗dt

D∗[ (V +(Q 1 − Q 2)t )]Q 2

(Q 1− Q 2 )t = B[(V +(Q 1 − Q 2 )t ) ]Q1

(Q 1− Q 2)− B+

D (t )= B(V +(Q 1 − Q 2 )t )− B[ (V +(Q 1 − Q 2)t )]Q 1

(Q2− Q1 )+ [(V +(Q 1 − Q 2 )t ) ]Q 1

(Q2− Q1 )

En un sistema masa resorte est#n involucrados variables como la masa, la constante deamortiguamiento y la constante del resorte, estas variables influyen directamente sobre el tipo demovimiento que tendr# el sistema. En el ejercicio , / y 0 se pide un an#lisis de este particular yluego se pide reali&ar un c#lculo con algunos datos a fin de tener un movimiento previamenteestablecido que finalmente ser# anali&ado.

># Indi2ue cuales son las relaciones entre la constante del resorte y el coe iciente de amorti!uamiento para o*tener un mo)imiento su*amorti!uado. críticamente amorti!uado y so*reamorti!uado#

Ecuaci+n del $istema asa Resorte:md

2 y

dt 2

+ " dydt

+ ky= 0

Ecuaci+n Au0iliar: m#2 +"# +k = 0

m 8 asa del &uerpo

* 8 (uerza de Amorti!uamiento

C 8 &onstante de Elasticidad del Resorte

M+ #(#%n'+ S /!(+*'#g !$+: &uando *P KmC. el discriminante * KmC es ne!ati)o y e0isten dosraíces comple-as con-u!adas de la ecuaci+n au0iliar# Estas raíces son∝ $ %& . donde

∝= − "2 m ' &= 12 m √

4 m− " 2 (

La soluci+n General ser,:

y (t )= e∝ t ( 1 )*s&t + 2 +e,&t )(

(orma alternati)a:

y (t )= Ae∝ t (+e, ( &t +ϕ ))(

A= √ 12+ 22 ' tan ϕ= 1 2

' Ae∝ t = Ae−( " / 2 m)t (


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Entonces y6t7 es el producto de un actor e0ponencial Ae∝ t = Ae−( " /2 m)t . y un actor sinusoidal

(+e, ( &t +ϕ )) . 2ue produce el mo)imiento oscilatorio# /e*ido a 2ue el actor seno )aría entre 9 y 9

con periodo Q< . la soluci+n y6t7 )aría entre− Ae∝ t y Ae

∝ t con cuasiperiodo % 8 Q< 8

4 m- √ 4

mk − "2 y cuasi recuencia 9


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M+ #(#%n'+ C* '# !(%n'% A(+*'#g !$+: &uando * 8 KmC. el discrimínate * KmC se anula y laecuaci+n au0iliar tiene la raíz repetida *< m#

$oluci+n General: y (t )=( 1 + 2 t )e−( " /2 m)t

%ara comprender el mo)imiento descrito por y6t7. primero considerando el comportamiento de y6t7 cuando

t → . # %or la re!la de L#Hopital.

limt → .

y(t )= limt →.

1+ 2 t e(" /

2 m)t = limt →.

2(" /2 m)e(" /2 m )t

= 0

*< m ¿ ;# %or tanto. y6t7 se e0tin!ue 3asta anularse cuandot → +. . A continuaci+n. como

y / (t )=( 2− "2 m 1 − "2 m

2 t )e−( " /2 m )t

.

Vemos de nue)o 2ue una soluci+n no tri)ial puede tener a lo m,s un m,0imo o un mínimo local para t¿;. de modo 2ue el mo)imiento no es oscilatorio# $i * uese li!eramente menor. 3a*ría oscilaciones# Así. elcaso especial en 2ue * 8 KmC es un mo)imiento críticamente amorti!uado# &ualitati)amente. losmo)imientos críticamente amorti!uados son similares a los mo)imientos so*reamorti!uados#

=# $i se cuenta con un sistema en donde la masa es de ;#F C! y para lle!ar al e2uili*rio 3a estirado elresorte cm determine la contante de amorti!uamiento para 2ue se produzca un mo)imientosu*amorti!uado# Realice los c,lculos respecti)os para el caso en 2ue el mo)imiento es ori!inado por una onda de uerza cuya amplitud es KN y su recuencia es # La masa se suelta desde elreposo. ;cm por de*a-o de la posici+n de e2uili*rio#

uestre las !r, icas y realice un an,lisis de la posici+n. )elocidad y aceleraci+n de la masa delsistema#

m 8 ;#F C! y6;7 8 ;(e0t 8 K N I#

recuencia 8 9< yW6;7 8 ;

( 8 CXsC 8 (97 K7

0.5 d2 y

dt 2 +8

dydt

+40 y= 4


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;#Fm >m K; 8 K

;#Fm >m D 8 ;m9. 8 > $ √ 2 i

yh= e− 8 t [ 1 cos (2 √ 2 i)+ 2 +e, (2 √ 2 i)] yh= A e

− 8 t [+e, (2 √ 2 i +∅)] A= √ 19.9 2 + 56.3 2 = 59.7 0 60

∅= tan − 1(19.956.3 )= 0.3397 yh= 60 e

− 8 t [+e, (2 √ 2 i+0.3397 )]

y p= A

y p/ = 0

y p / / = 0 K;A 8 KA 8 9


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•

dT dt

= k (T − Tm)

•

•

dT dt

= k (T − 16 )

•

• ∫ dT (T − 16 )= ∫ kdt •

• ln (T − 16 )= kt +

•

• T = e kt +16•

• 99 = e k (0 )+ 16

•

• 99 − 16 =

•

• = 83•

• 78 = 83 ek (3 )+ 16

•

• 78 − 16 = 83 e3 k

•

• ln (6283 )= 3 k

•

•

ln (6283 )3

= k

• k =− 0.09723•

• T = 83 e− 0.09723 t +16

Date post:	07-Jul-2018
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