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 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA  – UNAD

Curso: PENSAMIENTO LÓGICO Y MATEMÁTICO

TRABAJO FINAL

Estudiante:

Tutora:

MARTHA FABIOLA CONTRERAS HIHUERA

24 DE MAYO DE 2015

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INTRODUCCIÓN

En este trabajo se puede evidenciar la aplicación de métodos como

diagrama de venn, tabla de verdad, leyes de la inferencias y conocer los

diferentes tipos de proposiciones los cuales son de gran importancia para el

desarrollo de las problemáticas que se presentaron en cada una de las

unidades, las cuales tienen como objetivo llegar a las conclusiones

pertinentes y de forma correcta dependiendo cada enunciado. 

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OBJETIVOS

 Aplicar cada uno de los métodos propuestos en cada unidad para dar

solución a los problemas que se presentan en nuestra vida cotidiana.

  Utilizar el diagrama de venn como método para dar respuesta a

interrogantes de una forma gráfica y en conjunto.

  Aplicar la tabla de verdad o las leyes de la inferencia de una forma

correcta y la cual podamos llegar a una conclusión y podamos saber si el

argumento es válido o no. 

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BANCO DE PROBLEMAS En los numerales (1), (2) y (3) aplicar las propiedades y las operaciones con

conjuntos y validar los procesos con el uso de Diagramas de Venn para la solución de cada problema:

1. En un grupo de 165 estudiantes del programa de Psicología de la UNAD, 8 matricularon el

curso de Cálculo Diferencial, Fundamentos de Psicología y Herramientas Digitales; 33

matricularon Cálculo Diferencial y Herramientas digitales; 20 matricularon Cálculo

diferencial y fundamentos de Psicología; 24 matricularon Fundamentos de Psicología y

Herramientas Digitales; 79 matricularon Cálculo Diferencial; 83 matricularon Fundamentos

de Psicología y 63 matricularon Herramientas Digitales.

U

 = {x ϵ estudiantes del programa de Psicología de la UNAD} 

A = {x ϵ estudiantes que matricularon el curso de Cálculo Diferencial}

B = {x ϵ  estudiantes que matricularon el curso de Fundamentos de

Psicología}

C = {x ϵ  estudiantes que matricularon el curso de Herramientas

Digitales}

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1.1. ¿Cuántos estudiantes matricularon solamente dos cursos?

A ∩ B = {20}

A ∩ C = {33}

B ∩ C = {24}

20+33+24 = 77

Rta. 77 estudiantes matricularon solamente dos cursos.

1.2. ¿Cuántos estudiantes no matricularon ninguno de estos cursos? 

U – A – B – C = {31} 

Rta. 31 estudiantes no matricularon ninguno de estos cursos.

A B

31 Estudiantes18 Estudiantes

31

Estudiantess

C

20

Estudiantes

33

Estudiantes

24

Estudiantes

8 Estudiantes

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 2. Se consultó a un grupo de 10 estudiantes del curso Pensamiento Lógico y Matemático sobre

sus preferencias por dos modalidades de acompañamiento sincrónico en el curso, Skype y Chat

del Curso y se obtuvieron los siguientes resultados: todos admitieron que les gusta alguno de

los dos modos de comunicación sincrónica, 3 estudiantes manifestaron que les gusta Skypepero no Chat del Curso, 6 dijeron que no les gusta Chat del Curso.

U = {x ϵ 10 estudiantes del curso Pensamiento Lógico y Matemático}  

A = {x ϵ estudiantes que prefieren Skype}

B = {x ϵ estudiantes que prefieren el Chat del Curso}

Se desea saber:

¿cuántos de los encuestados prefirieron Chat del Curso?

B – A = {6}

Rta. 6 encuestados prefirieron Chat del Curso.

¿Cuántos de los encuestados prefirieron Skype?

A – B = {3}

U 

B

6 Estudiantes1 Estudiante3 Estudiantes

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En los numerales (4), (5) y (6) identificar todas las expresiones que considera son proposiciones

lógicas simples y también las expresiones que no son proposiciones. El siguiente paso es

identificar proposiciones compuestas. Para lograr esta identificación, conviene reescribir el textoresaltando los conectivos lógicos que no están explícitos en la expresión. Declarar las

proposiciones simples, asignando una de las últimas letras del alfabeto para identificarlas.

Finalmente, expresar en lenguaje simbólico las proposiciones simples, compuestas identificadas;

y construir sus tablas de verdad.

B

26 Docentes44 Docentes

U

C

17 Docentes

Docentes s

26 DocentesDocentes

6 Docentes

45 Docentes

10 Docentes

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 4. Martha se está preparando para el desarrollo del Examen Nacional de Pensamiento Lógico y

Matemático, para lo cual requiere sacar una nota sobresaliente para poder aprobar el curso. Ella

hace el siguiente análisis: “he hecho todos los ejercicios del Módulo y he obtenido un sobresaliente

en la nota definitiva del Curso y en el Examen Nacional. Para obtener un sobresaliente en la notadefinitiva del Curso, es necesario obtener un sobresaliente en el Examen Nacional. Conseguir un

sobresaliente en el Examen Nacional y realizar todos los ejercicios del Módulo, entonces es

suficiente para obtener un sobresaliente en el curso de Pensamiento Lógico y Matemático.

Proposiciones lógicas simples:

  Realizar todos los ejercicios del Módulo  Obtener un sobresaliente en la nota definitiva del Curso  Obtener un sobresaliente en el Examen Nacional

Expresiones que no son proposiciones

  Martha se está preparando para el desarrollo del Examen Nacional de Pensamiento Lógicoy Matemático

  Para lo cual requiere sacar una nota sobresaliente para poder aprobar el curso.  Ella hace el siguiente análisis

Proposiciones compuestas 

  He hecho todos los ejercicios del Módulo y  he obtenido un sobresaliente en la nota

definitiva del Curso y en el Examen Nacional.  Para obtener un sobresaliente en la nota definitiva del Curso, es necesario  obtener un

sobresaliente en el Examen Nacional.

  Conseguir un sobresaliente en el Examen Nacionaly realizar todos los ejercicios del Módulo,entonces es suficiente para obtener un sobresaliente en el curso de Pensamiento Lógico y

Matemático.

Identificación de Proposiciones Lógicas Simples:

p: Realizar todos los ejercicios del Módulo

q: Obtener un sobresaliente en la nota definitiva del Curso

r: Obtener un sobresaliente en el Examen Nacional

Expresar en lenguaje simbólico las proposiciones compuestas identificadas:

Premisa 1: (pɅq)Ʌr

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 Premisa 2: r→q 

Conclusión: (rɅp)→q 

[((pΛq)Λr)Λ(q↔r)]→((rΛp)→q) 

p q r pɅq (pɅq)Ʌr q↔r ((pɅq)Ʌr)Ʌ(q↔r) r Ʌp (r Ʌp)  [((pɅq)Ʌr)Ʌ(q↔r)] ((r Ʌp)  ) 

V V V V V V V V V VV V F V F F F F V VV F V F F F F V F VV F F F F V F F F V

F V V F F V F F V VF V F F F F F F V VF F V F F F F F F VF F F F F V F F F V

La expresión es una tautología 

5. Paulo es un docente del Programa de Psicología y para una presentación oral de sus estudiantes,

les asigna el comentario que le hizo uno de sus pacientes al consultarlo, la idea es que los

estudiantes realicen un debate sobre lo expuesto. El comentario del paciente es: “Si los conejos

volaran o supieran tocar la guitarra, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me

internaran en un psiquiátrico”. 

Proposiciones lógicas simples:

  los conejos volaran  los conejos supieran tocar la guitarra   pensaría que estoy como una regadera  dejaría que me internaran en un psiquiátrico

Expresiones que no son proposiciones

  Paulo es un docente del Programa de Psicología  para una presentación oral de sus estudiantes  les asigna el comentario que le hizo uno de sus pacientes al consultarlo

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 F F V V F V VF F V F F F VF F F V F F V

F F F F F F V

6. Salomé se encuentra en un gran dilema, porque desea cumplir sus sueños de ser una profesional,

pero debe suplir sus necesidades económicas, para lo cual piensa en lo siguiente: “Si acepto este

trabajo o dejo de estudiar por falta de tiempo, entonces no realizaré mis sueños. He aceptado el

trabajo y he dejado de estudiar. Por lo tanto, no realizaré mis sueños”.

Proposiciones lógicas simples:

  Acepto este trabajo  Dejo de estudiar por falta de tiempo  Realizaré mis sueños

Expresiones que no son proposiciones

  Salomé se encuentra en un gran dilema  porque desea cumplir sus sueños de ser una profesional  pero debe suplir sus necesidades económicas  para lo cual piensa en lo siguiente. 

Proposiciones compuestas

  Si acepto este trabajo o dejo de estudiar por falta de tiempo, entonces no realizaré missueños.

  He aceptado el trabajo y he dejado de estudiar. Por lo tanto, no realizaré mis sueños 

Identificación de Proposiciones Lógicas Simples:

p = Acepto este trabajo

q = Dejo de estudiar por falta de tiempo

r = Realizaré mis sueños 

Expresar en lenguaje simbólico las proposiciones compuestas identificadas:

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 (pVq)→~r

pɅq ∴~r 

[((pVq)→~r)Ʌ(pɅq)]→~r

Realizar la tabla de Verdad

TABLA DE VERDAD

p q R ~r pVq (pVq)→~r pɅq [((pVq)→~r)Ʌ(pɅq) [((pVq)→~r)Ʌ(pɅq)]→~rV V V F V F V F VV V F V V V V V V

V F V F V F F F VV F F V V V F F VF V V F V F F F VF V F V V V F F VF F V F F V F F VF F F V F V F F V

En los numerales (7), (8) y (9) identificar (del texto dado), los razonamientos lógicos inductivos ydeductivos, y en ellos el tipo de razonamiento. A partir de los razonamientos propuestos para el

texto, responder la pregunta: ¿Se verifica la conclusión propuesta? Y presentar argumentos que

permitan respaldar veracidad a la respuesta dada. Es decir, a partir de las tablas de verdad y las

leyes de inferencia demostrar la validez o no del razonamiento.

7. En este año 2015 en uno de los canales nacionales realizarán un real TV, unos estudiantes de la

UNAD se han inscrito para este Real TV, para lo cual comentan entre ellos: “Si vamos a participar,

entonces llegaremos hasta la India. Si vamos a participar entonces, si llegamos hasta la India

visitaremos Varanasi. Si vamos a India entonces, si visitamos Varanasi podremos ver el Ganges. Por

lo tanto, si vamos a participar veremos el Ganges”.

Solución:

La estructura del enunciado corresponde a un razonamiento lógico inductivo.

p = vamos a participar

q = llegaremos hasta la India

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 r = visitaremos Varanasi

s = veremos el Ganges

Premisa 1: p→qPremisa 2: p→(q→r)

Premisa 3: q→ (r→s)

Conclusión: p→s

Demostración por tabla de verdad

[(p→q)Λ(p→(q→r))Λ( q→(r→s))]→( p→s) 

Truth Table

p q r s [(p→q)Λ(p→(q→r))Λ( q→(r→s))]→( p→s) 

T T T T

T T T F

T T F T

T T F F

T F T T

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F F F F

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T

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T

T

T

La expresión es una tautología, es decir, el razonamiento es válido.

Demostración por leyes de inferencia:

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 Premisa 1: p→q

Premisa 2: p→(q→r)

Premisa 3: q→ (r→s) ∴p→s

Premisa 4: pPremisa 5: q MPP 4, 1

Premisa 6: r>s SH 5, 3

Premisa 7: s MPP 6

Premisa 8: p→s SH 4, 3, 7

8. Todo número entero o es primo o es compuesto. Si es compuesto, es un producto de factores

primos, y si es un producto de factores primos, entonces es divisible por ellos. Pero si un número

entero es primo, no es compuesto, aunque es divisible por sí mismo y por la unidad, y

consiguientemente, también divisible por números primos. Por tanto, todo número entero es

divisible por números primos.

Solución:

La estructura del enunciado corresponde a un razonamiento lógico deductivo.

p: Todo número entero es primo

q: Todo número entero es compuesto

r: es un producto de factores primos

s: es divisible por números primos

t: es divisible por sí mismo y por la unidad

Premisa 1: pVq

Premisa 2: (q→r)Ʌ(r→s)

Premisa 3: (p→~q)Ʌ(tɅs) 

Conclusión: (pɅq)→s

[(pVq)Ʌ((q→r)Ʌ(r→s))Ʌ((p→~q)Ʌ(tɅs))]→((pɅq)→s)

Truth Table

p q r s t [(pVq)Λ((q→r)Λ(r→s))Λ((p→¬q)Λ(tΛs))]→((pΛq)→s) 

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T T T T T

T T T T F

T T T F TT T T F F

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La expresión es una tautología, por lo tanto el argumento es válido. 

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9. Karla está estudiando Administración de Empresas en la UNAD y debe hacer un ensayocon relación al siguiente enunciado pero ella quiere primero verificar su validez según lasleyes de la lógica: “Si el dollar está con un alto valor, el petróleo está barato pero lasexportaciones resultan caras. Si Estados Unidos se endeuda o la economía no crece, elpetróleo no estará barato. La economía crece si y sólo si ni las exportaciones resultan carasni la inflación aumenta. Por tanto, si la inflación aumenta, el dollar no está con un alto valor.

Solución:

La estructura del enunciado corresponde a un razonamiento lógico deductivo.

p: el dollar está con un alto valorq: el petróleo está barator: las exportaciones resultan carass: Estados Unidos se endeudat: la economía creceu: la inflación aumenta

Premisa 1: p>(qɅr)Premisa 2: (sV~t)>~qPremisa 3: t↔(~rɅ~u)Conclusión: u→~p 

[(p→(qɅr))Ʌ( (sV~t)→~q)Ʌ(t↔(~rɅ~u))]→( u→~p) 

Truth Table

p q r s t u [(p→(qΛr))Λ( (sV¬t)→¬q)Λ(t↔(¬rΛ¬u))]→( u→¬p) 

T T T T T T

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CONCLUSIÓN

Finalmente podemos concluir que la aplicación de estos métodos son

demasiados importantes y necesarios para poder saber cuándo un

argumento es o no válido o poder dar respuesta de una forma agrupada

gracias al diagrama de venn. De igual manera podemos decir que la lógica

y el razonamiento matemático son elementos Indispensables a la hora de

dar solución a interrogantes y problemas, ya que al utilizarlos podemos

expresar diferentes puntos de vista, algo importante a la hora de razonar. Ypor último la utilización de la tabla de verdad y/o la aplicación de las leyes

de inferencias son herramientas importantes porque nos ayuda a

comprender cuando un argumento es o no valido y de dos formas muy

distintas como pudimos ver en el proceso de cada ejercicio desarrollado. 

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BIBLIOGRAFÍA

http://turner.faculty.swau.edu/mathematics/materialslibrary/truth/ 

http://turner.faculty.swau.edu/mathematics/materialslibrary/truth/http://turner.faculty.swau.edu/mathematics/materialslibrary/truth/http://turner.faculty.swau.edu/mathematics/materialslibrary/truth/