Transition vers la turbulence
dans les ecoulements de cisaillement:
Problemes actuels
Reference:
P. Manneville,
Instabilities, Chaos and Turbulence
2nd edition
Imperial College Press, 2010
niveau M1/M2 et +
Reynolds(1842–1912)
1883: An experimental investigation of the circumstances which determine
whether the motion of water shall be direct or sinuous and the law of
resistance in parallel channels. Phil. Trans. R. Soc. 174, 935–982
2008: 125eme anniversaire ⇒ Phil. Trans. R. Soc. A 367 2009, 449–. . .
premieres etudes formelles de stabilite d’ecoulements
; Helmholtz, Kelvin (∼ 1870) Rayleigh (1880). . .
1
ecoulement ; U , L
fluide de viscosite cinematique νU(y)
zy
x
; τa = L/U τv = L2/ν
comparer ; former le rapport τv/τa ≡ R nombre de Reynolds
R� 1 ; τv court ; dissipation dominante ; laminaire
R� 1 ; τa court ; cisaillement dominant ; turbulent
laminaire → turbulent ? ; ?? stabilite ??
limite ν → 0 ; critere de Rayleigh: point d’inflexion
∃ yc t.q. U ′′(yc) s’annule et change de signe
(!! CN non S d’instabilite)
2
ecoulements typiques: cisaillement “libre” (i.e. “loin des parois”)
vs. ecoulement “de paroi” (vis. monotone sans point d’inflexion)
U1
U2
y U(y) y U(y)U8
; instabilite mecanique de type Kelvin–Helmholtz
couche de melange, mais aussi sillage et jets
; ecoulements a point d’inflexion
effet de la viscosite ; retarde l’instabilite
3
couche limite, mais aussi ecoulement de Poiseuille (tube ou plan)
; pas de point d’inflexion
effet de la viscosite contre-intuitif ; instabilite a R eleve
; ondes de Tollmien–Schlichting
equations de Navier–Stokes
∂tv + v ·∇v = −∇p+R−1∇2v
∇ · v = 0
de la forme generale
ddtX = L(R)X +NL(X,X)
non-linearite ; non unicite des solutions, coexistence possible
bifurcations ; theorie des systemes dynamiques
transition vers la turbulence
; cascade de bifurcations, Landau (1944) vs. Ruelle–Takens (1971)
; notion de chaos deterministe
4
aparte: bifurcation super-critique et sous critique
0
0
r
Xf
0
0
r
Xf
transition globalement super-critique
; extension du cas super-critique ; approche “par perturbation”
; chaque regime bifurque reste proche du regime bifurquant
sinon ?
; toujours plus delicat, vis. racine d’un polynome de degre > 2
5
retour a la transition vers la turbulence dans les ecoulements
� avec point d’inflexion
; transition progressive (globalement super-critique)
� sans point d’inflexion
; pas d’instabilite mecanique (KH) a R petit
; instabilite visqueuse a R grand (TS, perturb. infinitesimales)
cas extremes ; Rc =∞ pour
– ecoulement de cisaillement simple (Couette plan)
– ecoulement dans un tube de section circulaire/carree
; transition directe observee a R modere
sensibilites aux perturbations d’amplitude finie
lift-up ;
amplification transitoire
de l’energie
operateur de stabilite
lineaire non-normal
U(y)U(y,z)
x
y
z
6
deux exemples paradigmatiques:
– ecoulement dans un tuyau rectiligne de section circulaire
(Pipe Flow = PF), cf. Reynolds (1883)
stabilite lineaire: Salwen et al. (1981)
– ecoulement de cisaillement simple (Plane Couette Flow = PCF)
stabilite lineaire: Romanov (1973)
� non-linearite ; transition directe vers la turbulence a R modere
� sous-criticalite ; coexistence laminaire-turbulent
principale difference: dimensionnalite effective
– PF ; 1D, experimentalement plus facile mais advection vers l’aval
– PCF ; 2D, numeriquement plus simple (c.l.p., “stress-free”)
PCF plus academique que PF mais sert de prototype pour
– ecoulement de Poiseuille plan (canal)
– ecoulement de Couette de torsion (entre disques tournants)
– ecoulement de couche limite
– . . .
7
• phenomenologie du PF� coexistence ; turbulent slugs (bouchons turbulents)
Coles (1962), compilation de resultats de Lindgren (1957–60)
� elucidation du regime transitionnel ; Wignansky et al. (1973):turbulent puffs (bouffees turbulentes)recemment: Mullin et al. (1995–. . . ), Hof et al. (2006–. . . ); puffs seulement transitoiresdifficulte ; advection vers l’aval ; affaire a suivre
8
• phenomenologie de l’ecoulement de cisaillement simple; considerer d’abord l’ecoulement de Couette cylindrique
r2r1
1
2
r1/r2 = η
R1 = r21ω1/ν
R2 = r22ω2/ν
� ω2 = 0 ; Taylor
� ω1 = 0 ; stable
� contra-rotatif ;
turbulence spirale
Coles (1962)R2
Rayleigh-stabledomain
counter-rotating co-rotating
featurelessturbulence
tran
sitio
nal
regi
mes
spiral turbulence
azimuthalCouette flow
R1
interm. spir.
d’apres Andereck et al (1986)
courbure + rotation
(R1, R2) ; (Rm, R)
R = 21+η
(R1 − ηR2)
Rm = 1+η4η
(R1 + ηR2)
; cisaillement plan
400 300 200 100 0 1001000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
Rm
R=0.883
ST
IS
FT
AZVF
400 300 200 100 0 1001000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
Rm
R=0.983
ST
IS
FT
AZVF
100 50 0 50 1001000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
Rm
R
ST
IS
FT
LF
=1 (pCf)
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approches theoriques
; regime transitionnel au dela de la stabilite lineaire
• recherche de solutions non-triviales exactesNagata (1990), Clever & Busse (1992), . . .
• analyse du mecanisme d’auto-entretien de la turbulence
� reduction a la taille minimaleMinimal Flow Unit = MFU, Jimenez & Moin (1991)
� Self-Sustaining Process =SSP, Hamilton, Kim & Waleffe (1995)
10
; support d’une approche en termes de systemes dynamiques
� orbites periodiques instables (Unstable Periodic Orbit = UPO)
– PCF: Kawahara & Kida (2001), . . .
– PF: ondes propagatives, Faisst & Eckhardt (2003) . . .
� dynamique non-lineaire et chaos
interpretation des transitoires:
UPOs ⇒ varietes stables/instables “squelette” de la dynamique
; enchevetrement homocline (Poincare, 1890)
11
aparte: chaos transitoire ; temps de vie: distribution de Poisson
� enchevetrement
homocline
stable ∩ instable
F
U
S
S U
U
H0
H1
H2
U
F
U
S
� reduction
; iteration
tent map
; transitoire:
echappement ;
distrib. exponent.
decroissante
seuil ?
1
0 1Xk
r > 2 1 < r < 2
Xk Xk+1
Xk+1
12 233 3 3
; travaux recents
12
• Pipe Flow
� effondrement d’un puff: Peixinho & Mullin (2005)
puff decay 1900↘ 1500
statistique des temps de vie:[1− P (td > τ)
]∝ exp(−τ/τd(R))
seuil? τd(R) ∝ (Rc −R)−α? ∝ exp(aR)? ∝ exp(exp(aR))?
Avila et al (2011) Hof et al. (2008)
; controverse ; divergence super-exponentielle (Hof et al., 2008)
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� puff splitting ; propage la turbulence
; Avila et al (2011):
competition decay vs. splitting ; ∃ seuil bien defini Rg ≈ 2040
� transition puff → slug (mecanisme type KH)puff, R = 2000 (Duguet, 2010)slug, R = 3000 (Duguet, 2010)slug, R = 4500 (Duguet, 2010)slug, R = 6000 (Duguet, 2010)
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• ecoulement de cisaillement simpley
x
Ub
2h
Ub
R = Uh/ν
experimentalement (Saclay, 1992–2002)
R200 300 400 500
turbulence homogèneéc. de Couetteturbulence!transitoire
Rg ≅ 325
turbulence en bandes (entretrenue)
≅ 415≅ 280
� R < Rg
; spots turbulents de
duree de vie finie
(Bottin, 1998; 280× 2× 70)
� R > Rg ; bandes turbulentes obliques
(Prigent, 2001; 770× 2× 340)
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MFU: `x × 2× `z, Waleffe (2003) ; `x ∼ 12, `z ∼ 4
a comparer a λx ∼ 110 et λz ∼ 45–80 (fonction de R)
et dimensions Lx ∼ 250–700, Lz ∼ 100–300
⇒ Lx,z � λx,z � `x,z
illustration numerique ; Duguet et coll. (2010)
Lx = 800, Lz = 356 video: R = 330, cond. init. = bruit
bien resolu ⇒ tres realiste mais numeriquement tres lourd
alleger ? ; Barkley & Tuckerman (2005–. . . ) ; domaine incline,
Lx′ = 10, allonge Lz′ = 120
economique mais orientation gelee
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ma contribution ; alleger autrement; preserver le qualitatif et ceder sur le quantitatif; DNS avec abaissement raisonne de la resolution ; OK!; ChannelFlow (http://www.channelflow.org/index.html)
schema Fourier (x) × Chebyshev (y) × Fourier (z) de-aliase
bon compromis: Nx = Lx, Ny = 15, Nz = 3Lzsur PC de bureau ; domaine typique Lx = 432, Ly = 2, Lz = 256
R = 340 R = 320 R = 290 R = 280
accepter que [Rg, Rt] s’abaisse de [325,410] a [275,350] (≈ 15%)
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examiner le voisinage de Rg(≈ 275), en particulier:
� effondrement des bandes pour R . Rg
� croissance partant d’une poche turbulente pour R & Rg
illustrations:
video 1: (432× 256), R = 272.50, 3 bandes → laminaire
video 2: (468× 272), R = 285.00, germe → 3 bandes,
a voir:
– effondrement en 2 temps: rupture de bande puis lente regression
– croissance en competition avec rupture, nucleation de bourgeons
processus a 2 echelles:
– petite echelle le long des bandes et aux extremites
– a l’echelle de la largeur de bande: rupture/bourgeonnement
cadre theorique general ; physique statistique (Pomeau, 1986)
18
Pomeau (1986) ;
transition sous-critique ⇒ transition de phase du 1er ordre
A) coexistence ⇒ fronts
– si l’un des etats possibles est chaotique ⇒ front stochastique
– bon cadre: percolation dirigee (DP):
* 2 etats ; site actif = turbulent, site absorbant = laminaire
* site absorbant ne peut etre reactive que par contamination
* site actif peut relaxer spontanement
– extension: intermittence spatio-temporelle (STI)
* dynamique deterministe distribuee dans l’espace physique
* chaos local transitoire + couplage spatial
⇒ application evidente a la transition mais difficulte car
DP et STI ; transitions continues ; phenomenes critiques
; exposants et classes d’universalite
; selon Barkley (2011) s’appliquerait au PF pour R ≈ 2040
(cas 1D), mais qu’en est-il de PCF (cas 2D)?
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B) nucleation (transition du 1er ordre pure et dure)
– fluctuations ⇒ germe
– croissance si germe > germe “critique”
– germe critique resultat de grandes deviations
par accumulation de petites deviations
pas incompatible avec le scenario STI qui peut etre discontinu
semble s’appliquer pour PCF:
– transition ‘T→ L’ et declin d’une bande
; nucleation d’un intervalle laminaire “critique”
– transition ‘L→ T’ et developpement d’un labyrinthe turbulent
; nucleation d’un bourgeon turbulent “critique”
cf. les videos ; a mettre sur un pied quantitatif ; en cours
de toute facon ; passer du temporel au spatio-temporel
abandonner le paradigme applique par beaucoup sur 2000–2010
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en guise de conclusion: quelques jalons chronologiques
• fin XIX eme
– instabilite de Kelvin–Helmholtz (Kelvin, 1871; Helmholtz, 1868)
– theorie de stabilite et critere du point d’inflexion (Rayleigh, 1880)
– experience du tube, definition de R (Reynolds, 1883)
• XX eme ; hydrodynamique “classique”
– stab. lineaire des ecoul. visqueux (Orr, 1907; Sommerfeld, 1908)
– instabilite visqueuse, ondes TS (Tollmien, 1929; Schlichting, 1933)
– poches turbulentes (Emmons, 1951)
– experiences PipeFlow (Lindgren, 1957–60; Wygnansky et al. 1973)
spirale turbulente (Coles, 1962)
– stabilite lineaire ∀R, PCF (Romanov, 1973)
PipeFlow, section circulaire (Salwen et al. 1981)
& section carree (Tatsumi & Yoshimura, 1990)
– lift-up (Landahl, 1980)
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• fin XX eme et debut XXI eme ; elargissement des perspectives
– appel aux concepts de physique statistique (Pomeau, 1986, 1998)
et de theorie des systemes dynamiques (Eckhardt et al, 1997; . . . )
– solutions exactes pour l’ecoul. de cisaill. simple (Nagata, 1990)
– stabilite non-modale, amplification de l’energie (Gustavsson,1991)
– minimal flow unit (Jimenez & Moin, 1991)
– self-sustaining process (Hamilton et al., 1995, Waleffe, 1997)
– solutions periodiques dans MFU-PCF (Kawahara & Kida, 2001; . . . )
ondes dans PipeFlow (Faisst & Eckhardt, 2003; . . . )
– bandes et spirales dans les ec. de cisail. (Prigent et al, 2001;. . . )
– decroissance des puffs et chaos transitoire (Hof et al., 2006)
– seuil pour PipeFlow (Avila et al., 2011; Barkley, 2011)
ecoulements transitionnels
empiriquement bien compris dans un tuyau cylindrique (1D)
en bonne voie pour l’ecoulement de cisaillement simple (2D)
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mais reste a faire
analyse hydrodynamique de certains mecanismes (role de R)
geometrie et pattern formation sur fond turbulent, lien avec
la physique statistique, nucleation et transitions du premier ordre
application aux ecoulements d’interet pratique (couches limites)
merci aux organisateurs pour leur invitation
merci a mes collaborateurs, passes et presents
et . . . merci de votre attention
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