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La Géométrie Autrement Triangle rectangle et cercle iangle rectangle, cercle circonscri médiane stance d’un point à une droite Points d’une bissectrice Cercle et tangente mode d'emploi
La Géométrie Autrement Triangle rectangle et cercle
Triangle rectangle, cercle circonscrit, médiane
Distance d’un point à une droite
Points d’une bissectrice
Cercle et tangente mode d'emploi
La Géométrie Autrement
Triangle rectangle
cercle circonscrit
médiane
La Géométrie Autrement
Rappels
La médiatrice d ’un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu.
A
M
B
Définition de la médiatrice d’un segment
La Géométrie Autrement
Construction de la médiatrice d’un segment
A
B
Rappels
La Géométrie Autrement
Rappels
Vocabulaire du triangle rectangle
A
C
B
Dans un triangle rectangle l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
à copier
La Géométrie Autrement
A
C
B
ABC est un triangle rectangle en BOn trace le cercle circonscrit à ce triangle
Le point d’intersection des médiatrices de [BC] de [AC] est le centre du cercle circonscrit au triangle.
On constate que c’est le milieu de [AC], hypoténuse du triangle ABC.
La Géométrie Autrement
PropriétésSi un triangle est rectangle
alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.
A
C
B
M
Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est le
diamètre du cercle circonscrit.
ou encore
La Géométrie Autrement
triangle rectangle cercle
Comment tracer un triangle rectangle sans réquerre ni rapporteur
mais avec un compas ?
On trace le segment [RS], le cercle de diamètre RS, quelque soit la position du point T sur le cercle, le triangle RST est rectangle en T.
La Géométrie Autrement
Propriété
Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle,
alors ce triangle est rectangle en ce point.
B
CA
à copier
La Géométrie Autrement
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et
le milieu du côté opposé à ce sommet.
Rappels
A
CBM
(AM) est la médiane issue de A
dans le triangle ABC.
Définition de la médiane d’un triangle
La Géométrie Autrement
Traçons la médiane issue de B dans le triangle ABC.
A
C
B
M
C’est un rayon du cercle circonscritdonc la moitié du diamètre ACdonc la moitié de l’hypoténuse du triangle ABC.
La Géométrie Autrement
Propriété
Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la
longueur de l’hypoténuse.
A
C
B
M
La Géométrie Autrement
Propriété
Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé,
alors le triangle est rectangle en ce sommet.
A
C
B
M
à copier
La Géométrie Autrement
Distance d’un point à une droite
La Géométrie Autrement
(d)A
H
M
Définition
Soit une droite (d) et un point A qui n’appartient pas à (d).
Le point le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est perpendiculaire à (d).AH est appelé la distance du point A à la droite (d).
Pour tout point M non confondu avec H, on a AH<AM à copier
La Géométrie Autrement
Points d’une bissectrice
La Géométrie Autrement
A
B
C
La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de l'angle et qui le partage en 2 angles de même mesure.
Définition de la bissectrice d’un angle
Rappels
La Géométrie Autrement
A
B
CJe dessine le cercle de centre A et de rayon quelconque.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
D et E sont les points d’intersection de [AB) et de [AC) avec le cercle.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
Je dessine le cercle de centre D qui passe par A.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
Je dessine le cercle de centre E qui passe par A.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
G
G est le 2ème point d’intersection de ces 2 cercles.
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
La Géométrie Autrement
A
B
C
D
E
G
Je dessine la droite (AG).
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
La Géométrie Autrement
A
B
C
G
Je code la figure
Construction de la bissectrice d’un angle
Rappels
La Géométrie Autrement
Que peut-on dire de la distance d’un point de la bissectrice d’un angle
aux côtés de cet angle ?
Utilisons Cabri géomètre
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Propriété
A
B
C
Si un point est sur la bissectrice de l’angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle.
M
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Propriété réciproque
A
B
C
Si un point M est équidistant des côtés d’un angle de sommet A,
alors [AM) est la bissectrice de cet angle.
M
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Une autre propriété
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes, elles se rencontrent en un même point.
T
R
I à copier
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Cercle et
tangente
La Géométrie Autrement
Définition
La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon qui passe par ce point.
O
A
(d)(d) est la tangente au cercleC en A.
CRq : la tangente à un cercle coupe ce cercle en un seul point.
La Géométrie Autrement
Cercle inscrit dans un triangle
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes.Leur point d’intersection est le centre du
cercle tangent aux 3 côtés du triangle.
T
R
I
Ce cercle est appelé
cercle inscrit dans le triangle.
à copier
La Géométrie Autrement
fin
La Géométrie Autrement
Triangle rectangle et cercle1) Triangle rectangle cercle circonscrit médiane a) Médiatrice et triangle rectangle
Définition de la médiatrice d’un segment
La médiatrice d ’un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu.
A
B
Vocabulaire du triangle rectangle A C
B
Dans un triangle rectangle l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. retour
La Géométrie Autrement
Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit.Propriété 3 : Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point.
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.
A
C
B
M
retour
La Géométrie Autrement
b) Médiane et triangle rectangle
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
A
CBM
(AM) est la médiane issue de A dans le triangle ABC.
Définition de la médiane d’un triangle
La Géométrie Autrement
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
A
C
B
M
Propriété 2 : Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.
retour
La Géométrie Autrement
Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit.Propriété 3 : Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point.
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse.
A
C
B
M
retour
La Géométrie Autrement
b) Médiane et triangle rectangle
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
A
CBM
(AM) est la médiane issue de A dans le triangle ABC.
Définition de la médiane d’un triangle
La Géométrie Autrement
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
A
C
B
M
Propriété 2 : Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet.
retour
La Géométrie Autrement
2) Distance d’un point à une droite
(d)A
H
M
Soit une droite (d) et un point A qui n’appartient pas à (d).
Le point le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est perpendiculaire à (d).AH est appelé la distance du point A à la droite (d).
Pour tout point M non confondu avec H, on a AH<AM retour
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3) Points d’une bissectrice
A
B
La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de l'angle et qui le partage en 2 angles de même mesure.
a) Définition de la bissectrice d’un angle
La Géométrie Autrement
b) Propriétés
A
B
C
Si un point est sur la bissectrice de l’angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle.
M
Si un point M est équidistant des côtés d’un angle de sommet A, alors [AM) est la bissectrice de cet angle.
La Géométrie Autrement
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes, elles se rencontrent en un même point.
T
R
I
retour
La Géométrie Autrement
4) Cercle et tangentea) Définition
La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon qui passe par ce point.
O
A
(d)(d) est la tangente au cercleC en A.
CRq : la tangente à un cercle coupe ce cercle en un seul point.
La Géométrie Autrement
b) Cercle inscrit dans un triangle
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes.Leur point d’intersection est le centre du cercle tangent aux 3 côtés du triangle.
T
R
I
Ce cercle est appelé
cercle inscrit dans le triangle.
retour
La Géométrie Autrement
retour
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