Trieste, march 2007GianCarlo Ghirardi 1 MECCANICA QUANTISTICA: alcuni promettenti sviluppi...

Trieste, march 2007 GianCarlo Ghirardi 1

MECCANICA MECCANICA QUANTISTICA: alcuni QUANTISTICA: alcuni promettenti sviluppi promettenti sviluppi

tecnologicitecnologici

GianCarlo Ghirardi

Dept. of Theor. Physics, Trieste, The Abdus Salam I.C.T.P., Trieste,

The INFN, Sezione di Trieste, Italy


The twentieth century is one of the golden ages of metaphysics ….

It is legitimate, in view of all these rich results, to speak of the enterprise of experimental metaphysics …

Abner Shimony

Il secolo scorso ha visto la nascita di due delle più importanti rivoluzioni nella storia del pensiero scientifico

La Relatività e la Meccanica Quantistica

Entrambe hanno avuto un impatto molto rilevante per la nostra concezione del mondo e inoltre per le implicazioni, anche pra-tiche, di estremo interesse (attuali e/o sperate).

It is easy to predict that in the twenty-first century it will be quantum mechanics that influences all our lifes. … The most dramatic influences are, however, likely to come from the deliberate mani-pulation of entangled states.

Sir. Michael Berry


Per una sintetica introduzione alla meccanica quantistica farò esclusivo riferimento agli stati di polarizzazione dei quanti del campo elettromagnetico: i fotoni.

Luce polarizzata piana: il vettore di campo elettrico vibra in un piano perpen-dicolare alla direzione di propagazione.

La legge di Malus:

IItrastras=I=Iinc inc x cosx cos22

governa la trasmissione di fotoni polarizzati piani attraverso un filtro (p.es. una lastra polaroid) polarizzatore.


Alcuni aspetti della Meccanica Quantistica Alcuni aspetti della Meccanica Quantistica importanti per la nostra analisiimportanti per la nostra analisi

•La natura lineare degli stati e l’effet-to della misura (riduzione).

Ci stiamo riferendo agli stati di polarizzazione di un fotone:

,t V H , 2

2

1

,t 45 0 135 0 , 2

2

1

e rimango con |V>.

Riduzione del pacchetto: misuro V/H. Se ottengo V, il che avviene con probabilità ||2:

|,t > = |V> + |H>,

•L’entanglement dei sistemi composti e il suo ruolo essen-ziale.

•La natura fonda-mentalmente non-locale dei processi fisici


Sistemi compostiSupponiamo

S=S1+S2

Primo caso:

Stati fattorizzati.

|>=|1,V>|2,V >

Tutto va come se avessi due fotoni con le caratteristiche indicate


Entanglement

Abbiamo considerato lo stato |1,V>|2,V> di 2 fotoni polariz-zati V.

Avremmo potuto considerare 2 fotoni polarizzati H, |1,H>|2,H>.

Ma la meccanica quantistica è lineare, quindi

(1,2) 12

V ,1 V ,2 H ,1 H ,2

E’ ancora uno stato possibile di S=S1+S2


Quali sono le sue proprietà rispetto a processi di

misura?Si misuri la polarizzazione del fotone 1: supponiamo di ottenere V. Allora

(1,2) 1/ 2 1,V 2,V 1,H 2,H

1,V 2,V

La Particella 2, che, prima della misura aveva uguali probabilità di dare l’esito H o V ha acquistato istantaneamente una polarizzazione precisa, cioè V !!!!


Una disposizione tipica

1/ 2 V ,V H ,H 1/ 2 45,45 135,135


1/ 2 V ,V H ,H 1/ 2 45,45 135,135

(1,2) 1/ 2 1,V 2,V 1,H 2,H

Alice misura la polariz-zazione V/H e ottiene V

1,V 2,V

Alice misura la polariz-zazione V/H e ottiene H

1,H 2,HSe Bob misura la polariz-zazione V/H della 2 ottiene di certo V!

Se Bob misura la polariz-zazione V/H della 2 ottiene di certo H!

Nota: in misure uguali ottengono sempre esiti uguali !


Una fondamentale proprietà del nostro stato

(1,2) 1/ 2 1,V 2,V 1, H 2, H

Esso è invariante per rotazioni il che significa che può anche scriversi facendo riferimento ad altri stati di polarizzazione, per esempio:

(1,2) 1/ 2 1,450 2, 450 1,1350 2,1350

o, più in generale, nella forma:

(1,2) 1/ 2 1,n 2,n 1,n 2,n

n, n due direzioni arbitrarie ortogonali.


Le implicazioni peculiari dell’entanglement•Prima di qualsiasi misura ogni fotone ha una genuina

probabilità nonepistemica = 1/2 di sopravvivere o venire assorbito quando sottoposto a un arbitrario test di polarizzazione.

•Tuttavia, se entrambi i fotoni sono sottoposti allo stesso test (non importa quale) allora o entrambi falliscono o entrambi superano il test. I fallimenti e i successi si presentano a caso con uguali probabilità

•Non esiste alcun modo di prevedere (di fatto, se la M.Q. vale, non si può neppure pensare che ci sia qualcosa di obiettivo circa il fatto) che un fotone sia tale da superare o fallire certamente il test.

•Questi aspetti sono strettamente legati al famoso paradosso di EPR.


La crittografia La crittografia quantisticaquantistica


•Per sottolineare come la situazione appena descritta, oltre a una grande importanza concettuale presenti anche un estremo interesse pratico, mi sembra interessante mostrare come, proprio facendo ricorso all’entanglement, si possano elaborare protocolli inviolabili di trasmissione dell’informazione. Discuterò quindi il caso della:

CRITTOGRAFIA CRITTOGRAFIA QUANTISTICAQUANTISTICA


Un’osservazioneUn’osservazione

Potete facilmente immaginare l’importanza, per la nostra società, di disporre di una risorsa di questo tipo, vale a dire, di un sistema crittografico inviolabile.

A parte l’interesse militare o quello per la sicurezza, basta pensare alla rilevanza, per esempio per il sistema bancario, di avere un modo certo e inviolabile per identificare un cliente (firma elettronica).


L’attacco persiano ai greci

nel 405 AC

Antichi codici Greci:

Una variante di questo era ancora usato nella prima guerra mondiale.

W A R = 52 11 42

Un po’ di storiaUn po’ di storia


Un salto a tempi recentiUn salto a tempi recenti

La macchina Enigma

Il computer Colosso usato per violare il

codice Enigma

See: D.Kahn:The Codebreakers


Oggi: la crittografia standard, vale a dire Oggi: la crittografia standard, vale a dire “classica”“classica”

•E’ a chiave pubblica: quasi tutto è noto

•La sicurezza è affidata alla complessità

Un esempio: la chiave sono i fattori di un numero. Ora:

4993 x 3217 = 16062481Facile!

16062481 = 4993 x 3217

Difficile!

Ricordate questo

Fatto.


Oggi: la crittografia a chiave Oggi: la crittografia a chiave segretasegreta

•E’ sicura;

•Il problema è la distribuzione della chiave;

•La M.Q. fornisce una soluzione ideale.


Alcuni concetti generaliAlcuni concetti generali

•Testo in chiaro: il messaggio da trasmettere•Testo cifrato: il crittogramma

•La chiave, lo strumento che permette di crittare e decrittare il testo in chiaro.

•La spia: colui che cerca di intercettare e decifrare il messaggio


Sistema binario e il codice ASCII•Per motivi puramente pratici Alice e Bob usano il codice ASCII per scrivere il loro testo in chiaro.

•I loro messaggi saranno quindi delle sequenze di 0 e 1 che contengono un multiplo di 8 bits.

•Per di più essi usano la somma modulo 2

011

101

110

000

Somma modulo 2

Nota:Se m+c=k

Allora c+k=m


Un esempioUn esempio

ASCII: W=01010111,A=01000001,R=01010010,sp=00100000

N=01001110,D=01000100,P=01010000,E=01000101,C=01000011

Quindi WAR AND PEACE è una sequenza di 13x8=104 bits:01010111/01000001/01010010/00100000/01000001/01001110/

01000100/0010000001010000/01000101/01000001/01000011/

01000101

Limitiamoci, per semplicità alla stringa “WAR”, cioè,

010101110100000101010010


Il Teorema di ShannonIl Teorema di ShannonData una stringa che rappresenta il testo in chiaro, per esempio WAR

Testo in chiaro: 010101110100000101010010

E una stringa casuale di 0 e 1 della stessa lunghezza:

Sequenza casuale: 110100111101100001011011

La conoscenza della somma (modulo 2) delle due non fornisce alcuna informazione sul testo

La sequenza casuale è la chiave!

Nota, la sequenza deve essere usata una sola volta.


Nel nostro caso Alice invia la stringa:

010101110100000101010010+

110100111101100001011011 =

100001001001100100001001

Testo in chiaro

Successione casuale

Somma mod.2

Bob usa il crittogramma e la stessa sequenza casuale che condivide con Alice, ed esegue la somma modulo 2:

100001001001100100001001+

110100111101100001011011=

010101110100000101010010

Casuale

Testo in chiaro

Testo cifrato


ConclusioneConclusione

Se Alice and Bob condividono una sequenza casuale possono comunicare in un modo che non può essere violato da chi non conosca la sequenza in questione.

Problema: come utilizzare la Problema: come utilizzare la fondamentale casualità dei processi fondamentale casualità dei processi quantistici per fare in modo che quantistici per fare in modo che Alice e Bob, e nessun altro, Alice e Bob, e nessun altro, condividano la stessa sequenza condividano la stessa sequenza casuale?casuale?


Il dispositivo = il protocolloIl dispositivo = il protocolloAlice e Bob dispongono di una sorgente di fotoni entangled nello stato che abbiamo considerato e si accordano di eseguire solo misure di polarizzazione V o a 450, ma scelgono a caso il tipo di misura che eseguiranno. Tengono un registro delle misure fatte e degli esiti.

1/ 2 V ,V H ,H 1/ 2 45,45 135,135


•Alice e Bob registrano la successione delle loro misure: V o a 450.

•Registrano anche gli esiti, vale a dire se i fotoni hanno superato (e allora scrivono 1) o no (e allora scrivono 0) il test.

•Alla fine essi rendono noti pubblicamente le succes-sioni delle misure ma non quelle degli esiti.

•Eliminano tutti i casi in cui hanno fatto misure diverse. In this list only

cases in which they have made the same measurement appear. The outcomes are random and equal.

La condivisione di una sequenza.La condivisione di una sequenza.


Rimane un problema: come essere certi che nessun altro ha interferito e conosce la loro sequenza?

Qui emerge una conseguenza impor-tante della teoria: qualunque tentativo di una spia di intercet-tare la sequenza o di truccare la sorgente (usando ad esempio una falsa sorgente a 3 fotoni) comporta che solo in 3 casi su 4 non si altera il fatto che gli esiti di Alice e Bob risultino coincidenti (J.S. Bell)

Essi enunciano pubblicamente 100 esiti. Poiché (3/4)100=10 -13, se i 100 coincidono essi sono praticamente certi che nessuno ha interferito.


Qualche informazionePochi anni fa N. Gisin, utilizzando delle fibre ottiche della compagnia telefonica svizzera sotto il lago di Ginevra ha mostrato che le perfette correlazioni quantistiche si mantengono a distanze di 40 Km.

Successivamente lui e A. Zeilinger (Vienna) hanno portato la distanza a 300 Km! Se si assumesse che è la misura ad un estremo che influenza l’esito all’altro estremo si dovrebbe assumere che l’azione si propaga a una velocità di molti ordini di grandezza superiore a quella della luce.

Le banche di Londra e di Vienna stanno considerando la possibilità di implementare un sistema crittografico a livello cittadino basato sull’uso della meccanica quantistica


Il teletrasporto Il teletrasporto quantisticoquantistico


Il tema in esame ha una grande rilevanza concettuale e illustra bene “The mistery of the “The mistery of the Quantum World”.Quantum World”. Esso potrebbe anche avere implicazioni pratiche di notevole rilievo.

Il molto rumore dei media circa il processo in questione deriva ovviamente dal fatto che esso rieccheggia e/o configura sbalorditive performances fanta-scientifiche che sono entrate nell’immaginario comune. Basterà ricordare il celeberrimo caso di


Il Il processoprocesso

Coinvolge due personaggi, tradizionalmente indicati come Alice e Bob, arbitrariamente lontani.

Alice Bob

Alice dispone, nel suo laboratorio, di un sistema fisico T - tipicamente penseremo a un fotone in un preciso stato - e vuole fare in modo che Bob si ritrovi con una copia identica di T.

??? Sta per un procedimento da precisare

T T


Ovviamente siamo interessati a Ovviamente siamo interessati a teletrasportare, non a trasportare!teletrasportare, non a trasportare!


Alcune importanti Alcune importanti precisazioniprecisazioni

•La stessa Alice può non conoscere lo stato del sistema T e, secondo la M.Q., se cercasse di capirne qualcosa potrebbe alterarlo radicalmente, un fatto che non vuole assolutamente che accada.

•Alla fine del processo Alice avrà “perso” il suo sistema T.

•Sempre alla fine del processo Bob si ritroverà con un sistema del tutto identico a T nel suo laboratorio.


Il procedimento: prima faseIl procedimento: prima faseLa performance può realizzarsi solo se Alice e Bob dispongono di una peculiarepeculiare sorgente (=entangledentangled) comune di sistemi dello stesso tipo di T (due fotoni) che si propagano verso di loro.

Questo è un punto assolutamente cruciale: i due sistemi A e B che si propagano verso Alice e Bob sono dello stesso tipo di T e si trovano in uno stato entangledentangled.


Il procedimento: seconda Il procedimento: seconda fasefaseA questo punto Alice mette in interazione il suo fotone T con il

fotone A che l’ha raggiunta (di fatto esegue una specifica misura sul sistema globale T+A) e può ottenere - l’indeterminismo quantisticol’indeterminismo quantistico - uno a caso tra quattro possibili esiti che caratterizzeremo con i relativi numeri:


Il procedimento: terza faseIl procedimento: terza fase•Va segnalato un fatto di estrema rilevanza. Grazie all’entanglement tra A e B e agli effetti quantistici nonlocalinonlocali che conseguono a un processo di misura (riduzione del pacchetto), l’operazione eseguita da Alice comporta che il sistema B di Bob venga a trovarsi, istantaneamente, vale a dire subito dopo la istantaneamente, vale a dire subito dopo la misura di Alicemisura di Alice, in una tra quattro possibili precise situazioni diverse da quella originale e correlate agli esiti di Alice, a partire da ciascuna delle quali con semplici operazioni si può ricostituire lo stato originale del sistema T.

•L’operazione cruciale che deve essere eseguita a questo stadio consiste quindi nel rendere noto a Bob quale dei quattro possibili esiti Alice abbia di fatto ottenuto.

•Va segnalato che, a sua volta, qualunque operazione inappropriata da parte di Bob (vale a dire che non corrisponda a quella richiesta dall’esito della misura di Alice) potrebbe modificare in modo irreparabile il suo stato.


Per essere più precisi:Per essere più precisi:

•Se l’esito è quello associato al numero 1, allora lo stato di Bob risulta già coincidere con quello originario di T. •Se l’esito è quello associato al numero 2, allora Bob dovrà eseguire una ben precisa procedura (banale) per portarlo a coincidere con quello originario di T.

•Similmente per i rimanenti casi 3 e 4 .


Ribadiamo i punti essenzialiRibadiamo i punti essenziali

•Di fatto, Alice, per teletrasportare il suo sistema T, deve condividere con Bob una coppia entangled di sistemi dello stesso tipo e, inoltreinoltre, deve informare Bob circa l’esito del suo processo di misura. Quindi si deve fare ricorso a un mezzo di comunicazione - inevitabilmente luminaleinevitabilmente luminale - tra i due.

•Una volta che Bob dispone di questa informazione essenziale, egli sa come procedere per portare a compimento il processo di teletrasporto.

•Lasciatemi illustrare l’intero processo con una figura significativa.



Alcune puntualizzazioni Alcune puntualizzazioni essenzialiessenziali•Non accade che qualcosa sparisca da una regione e

appaia istantaneamente in un’altra regione

•L’azione di Alice sul sistema T+A ha un esito del tutto imprevedibile (indeterminismo) tra i 4 possibili, ma il solo fatto che Alice esegua la misura “cambia”“cambia” lo stato del fotone B istantaneamenteistantaneamente (nonlocalità), indipendentemente da quanto Alice disti da Bob.

•Questo è l’aspetto più sbalorditivo del processo e dipende in modo cruciale dall’entanglement “The “The most characteristic trait of Q.M. the one which most characteristic trait of Q.M. the one which enforces its entire departure from classical lines of enforces its entire departure from classical lines of thought”thought” (E. Schrödinger).


Conclusioni:Conclusioni:Demitizzanti:

•Non c’è nulla che sparisce e riappare lontano

•Occorre disporre di una peculiare sorgente di coppie di sistemi dello stesso tipo di quello da trasportare.

•Risulta necessario scambiarsi dell’informazione, e questo può avvenire solo in accordo con le richieste relativistiche.


Conclusioni:Conclusioni:

Di grande rilievo:

•La performance si basa interamente sulla nonlocalità quantistica e sul fenomeno dell’entanglement, due facce assolutamente rivoluzionarie del mondo fenomenico.

•Il processo di teletrasporto potrebbe risultare (ma occorre grande cautela nell’affermarlo) utile per migliorare - qualora si riesca innanzitutto a realizzarli -l’efficienza di quegli strumenti che configurano un grande sogno di questi tempi: i computers quantistici.


Un’ulteriore commento risulta appropriato.Un’ulteriore commento risulta appropriato. La precisa conoscenza dello stato T di Alice richiede, di fatto, l’informazione contenuta in due numeri reali. Infatti, la specificazione dello stato di polarizzazione del fotone T risulta: la quale coinvolge la conoscenza precisa dei due numeri reali e , vale a dire di un numero infinito di bits classici (bits che Alice stessa non può conoscere, a meno che lei stessa non abbia preparato lo stato). Ciononstante, Alice, comunicando a Bob quale dei 4 possibili esiti ha ottenuto, cioè trasmettendogli 2 bits classici, gli consente di agire in modo di avere lo stesso identico stato T nel suo laboratorio (con due bits si trasferisce una quantità di informazione che richiede infiniti bits!).


57 in notatione binaria si scrive 111001. Per codificarlo sono necessari 6 bits classici.

Si considerino ora 6 Q-bits tutti nello stato:

1/ 2 0 1

UN PO’ DI COMPUTAZIONE UN PO’ DI COMPUTAZIONE QUANTISTICAQUANTISTICA


1/ 2 0 1 . 1/ 2 0 1 ... 1/ 2 0 1 1/ 8 000000 000001 000010 ... 111111

i 6 Q-bits “codificano” simultanemente tutti i numeri da 0 a 63

Solo per presentare l’uso più semplice che si può fare della natura quantistica dei bits si supponga di eseguire un processo di misura su questo stato. Si otterrà, con la stessa probabilità uno degli stati sovrapposti.

In questo modo noi abbiamo costruito un In questo modo noi abbiamo costruito un elementare generatore di numeri genuinamente elementare generatore di numeri genuinamente casuali, qualcosa che non è possibile fare con casuali, qualcosa che non è possibile fare con procedimenti classici.procedimenti classici.


Un’interessante performance: come comprimere due bits Un’interessante performance: come comprimere due bits in unoin unoTutto si basa sul solito stato entangled che, nel linguaggio che usiamo, si scrive:

1

20

A0

B 1

A1

B

Esistono semplici cancelli logici quantistici che agiscono su un singolo Q-bit nel modo seguente:

I : 0 0 ; 1 1 ,

X : 0 1 ; 1 0 ,

Z : 0 0 ; 1 1 ,

XZ : 0 1 ; 1 0 .

Bob vuole informare Alice circa la scelta che egli fa tra 4 possibili alternative. Classicamente dovrebbe trasmettere ad Alice uno tra i 4 numeri (0,1,2,3) i quali, in notazione binaria sono: 00, 01, 10, 11. Bob dovrà quindi inviare ad Alice 2 bits classici. Utilizzando il fatto che il suo bit è quantistico egli può procedere in un altro modo: sottoporlo a una delle operazioni sopra elencate e rinviarlo ad Alice la quale nel frattempo tiene in serbo il suo bit. Bob e Alice si accordano secondo il protocollo:

0 I,1 X, 2 Z, 3 XZ.


1

20

A0

B 1

A1

B

I : 0 0 ; 1 1 ,

X : 0 1 ; 1 0 ,

Z : 0 0 ; 1 1 ,

XZ : 0 1 ; 1 0 .

Ricordando lo stato iniziale e l’effetto delle operazioni eseguite da Bob

Questi 4 stati sono ortogonali e quindi distinguibili con una semplice misura da parte di Alice. Conclusione: Bob puo’ trasmettere ad Alice un’infor-mazione che richiederebbe due bit classici mandandole un solo bit quantistico.

si vede subito che, a seconda della scelta di Bob

0 I,1 X, 2 Z, 3 XZ.

lo stato finale dei due Q-bits di Alice sarà

1

20 0 1 1 ,

1

20 1 1 0 ,

1

20 0 1 1 ,

1

20 1 1 0 .


Un’osservazioneUn’osservazioneCome ho discusso in precedenza, la crittografia moderna è pubblica e utilizza, per garantire la riservatezza, il fatto che certe operazioni (moltiplicare) sono semplici, mentre altre (fattorizzare) sono difficili.Il sistema RSA usa il prodotto di due numeri primi di circa 100 cifre.

Nel 1995, per fattorizzare questo numero 1600 computers in parallelo hanno dovuto lavorare per 8 mesi.


Nello stesso anno Peter Shor (AT&T Bell’s Lab.) ha elaborato un algoritmo per un ipotetico computer quantistico. Esso richiede un sistema quantistico con circa 2000 quantum bits. Se si disponesse di un dispositivo siffatto si potrebbe procedere alla fattorizzazione di un numero quale quello considerato in circa 8 secondi! Al momento attuale, mantenere la necessaria perfetta coerenza tra 2000 sistemi quantistici si configura come un sogno. Ma questo problema ci costringe ad affrontare una sfida tecnologica eccezionale ed estremamente promettente.Per ora si è mostrato, con questo metodo, che 15=3x5!



Date post:	01-May-2015
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